Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen.

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Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen.

(Von den Herren R. Dedekind in Braunschweig und H. Weber in Königsberg.)

Einleitung.

Die im Nachstehenden mitgetheilten Untersuchungen verfolgen den Zweck, die Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen, welche eines der Hauptergebnisse der Riemannschen Schöpfung ist, von einem einfachen und zugleich strengen und völlig allgemeinen Gesichtspunkt aus zu begründen. Bei den bisherigen Untersuchungen über diesen Gegenstand werden in der Regel gewisse beschränkende Voraussetzungen über die Singularitäten der betrachteten Functionen gemacht, und die sogenannten Ausnahmefälle entweder als Grenzfälle beiläufig erwähnt oder auch ganz bei Seite gesetzt. Ebenso werden gewisse Grundsätze über die Stetigkeit und Entwickelbarkeit zugelassen, deren Evidenz sich auf geometrische Anschauung verschiedener Art stützt. Eine sichere Basis für die Grundvorstellungen sowie für eine allgemeine und ausnahmslose Behandlung der Theorie lässt sich gewinnen, wenn man von einer Verallgemeinerung der Theorie der rationalen Functionen einer Veränderlichen, ins Besondere des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen sich in lineare Factoren zerlegen lässt, ausgeht. Diese Verallgemeinerung ist einfach und bekannt in dem ersten Falle, in welchem die von Riemann mit $p$ bezeichnete Zahl (das Geschlecht nach Clebsch) den Werth Null hat. Für den allgemeinen Fall, welcher sich zu dem eben genannten ähnlich verhält, wie der Fall der allgemeinsten algebraischen Zahlen zu demjenigen der rationalen Zahlen, wiesen die mit bestem Erfolge in der Zahlentheorie angewandten Methoden, die sich an Kummers Schöpfung der idealen Zahlen anschliessen, und der

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Uebertragung auf die Theorie der Functionen fähig sind, auf den richtigen Weg${}^{*)}$.

Versteht man, analog der Zahlentheorie, unter einem Körper algebraischer Functionen ein System solcher Functionen von der Beschaffenheit, dass die Anwendung der vier Species auf Functionen des Systems immer zu Functionen desselben Systems führt, so deckt sich dieser Begriff vollständig mit dem der Riemannschen Classe algebraischer Functionen. Unter den Functionen eines solchen Körpers kann eine beliebige als unabhängige Veränderliche und die übrigen als von ihr abhängig betrachtet werden. Für jede dieser „Darstellungsweisen“ ergiebt sich ein System von Functionen des Körpers, die als ganze Functionen zu bezeichnen sind, deren Quotienten den ganzen Körper erschöpfen. Unter diesen ganzen Functionen lassen sich nun wieder Gruppen von Functionen aussondern, welchen die charakteristischen Merkmale solcher ganzen rationalen Functionen zukommen, die einen gemeinschaftlichen Theiler haben. Ein solcher Theiler existirt zwar im allgemeinen Falle nicht, wenn man aber die bezüglichen Sätze über rationale Functionen nicht an den Theiler selbst, sondern an das System der durch denselben theilbaren Functionen knüpft, so gestatten sie eine vollkommene Uebertragung auf die allgemeinen algebraischen Functionen. Auf diese Weise gelangt man zu dem Begriff des Ideals, ein Name, der aus Kummers zahlentheoretischen Arbeiten stammt, wo die nicht existirenden Theiler als „ideale Theiler“ in die Rechnung eingeführt werden.

Obwohl es sich in der vorliegenden Arbeit keineswegs um „ideale“ Functionen handelt, sondern alle Operationen nur an Systemen wirklich existirender Functionen ausgeführt werden, schien es doch zweckmässig, den Namen „Ideal“, der in der Zahlentheorie bereits gebräuchlich ist, beizubehalten.

Mit diesen Idealen lässt sich nach gehöriger Erklärung der Multiplication ganz nach denselben Regeln rechnen, wie mit rationalen Functionen.

*) Die idealen Zahlen sind von Kummer zuerst eingeführt durch die Abhandlung: Zur Theorie der complexen Zahlen (Crelles Journal, Bd. 35); eine weitere Fortführung und eine allgemeine Darstellung der Theorie der algebraischen Zahlen findet man in der zweiten und dritten Auflage von Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie, sowie in der Abhandlung von Dedekind: Sur la théorie des nombres entiers algébriques (Paris 1877. Abdruck aus dem Bulletin des Sciences math. et astron. von Darboux und Hoüel). Die Kenntniss dieser Schriften wird aber in unserer Arbeit nirgends vorausgesetzt.

Aus mündlichen Mittheilungen ist uns jetzt bekannt geworden, dass bereits vor Jahren Kronecker mit Beziehung auf die Arbeiten von Weierstrass Untersuchungen angestellt hat, die auf derselben Grundlage, wie die unsrigen, beruhen.

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Ins Besondere ergiebt sich der Satz, dass jedes Ideal auf eine einzige Weise in Factoren zerlegbar ist, welche selbst nicht weiter zerlegt werden können und daher Primideale genannt werden. Diese Primideale entsprechen den linearen Factoren in der Theorie der ganzen rationalen Functionen. Auf Grund derselben gelangt man zu einer völlig präcisen und allgemeinen Definition des „Punktes der Riemannschen Fläche“, d. h. eines vollkommen bestimmten Systems von Zahlwerthen, welche man den Functionen des Körpers widerspruchslos beilegen kann.

Eine darauf gegründete formale Definition des Differentialquotienten führt sodann zu der Geschlechtszahl und zu einer ganz allgemeinen, eleganten Darstellung der Differentiale erster Gattung. Hieran schliesst sich der Beweis des Riemann-Rochschen Satzes über die Anzahl der willkürlichen Constanten in einer durch ihre Unendlichkeitspunkte bestimmten Function, und die Theorie der Differentiale zweiter und dritter Gattung. Bis zu diesem Punkte kommt die Stetigkeit und Entwickelbarkeit der untersuchten Functionen in keiner Weise in Betracht. Es würde z. B. nirgends eine Lücke bleiben, wenn man das Gebiet der benutzten Zahlen auf das System der algebraischen Zahlen beschränken wollte. Dadurch wird ein wohl abgegrenzter und ziemlich umfassender Theil der Theorie der algebraischen Functionen lediglich durch die seiner eigenen Sphäre angehörigen Mittel behandelt.

Freilich ergeben sich alle diese Resultate durch einen weit geringeren Aufwand von Mitteln und als Specialfälle einer vielumfassenden Allgemeinheit aus Riemanns Theorie; allein es ist bekannt, dass diese Theorie bezüglich einer strengen Begründung noch gewisse Schwierigkeiten bietet, und bis es gelungen ist, diese Schwierigkeiten vollständig zu überwinden, dürfte der von uns betretene Weg oder wenigstens ein verwandter, wohl der einzige sein, der für die Theorie der algebraischen Functionen mit befriedigender Strenge und Allgemeinheit zum Ziele führt. So würde sich die Theorie der Ideale selbst ausserordentlich vereinfachen, wenn man den Begriff der Riemannschen Fläche und ins Besondere den eines Punktes derselben sammt den auf die Stetigkeit der algebraischen Functionen gegründeten Anschauungen voraussetzen wollte. In unserer Arbeit ist umgekehrt auf einem langen Umwege die Theorie der Ideale algebraisch begründet und aus dieser eine vollkommen präcise und strenge Definition des „Punktes der Riemannschen Fläche“ gewonnen, welche auch als Basis für die Untersuchung der Stetigkeit und der damit zusammenhängenden Fragen dienen kann. Diese Fragen,

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wozu auch die auf die Abelschen Integrale und die Periodicitätsmoduln bezüglichen gehören, bleiben von unserer Untersuchung einstweilen ausgeschlossen. Wir hoffen bei einer anderen Gelegenheit darauf zurückzukommen.

Königsberg, den 22. October 1880.

I. Abtheilung.

§ 1. Körper algebraischer Functionen.

Eine Variable $\theta$ heisst eine algebraische Function einer unabhängigen Veränderlichen $z$, wenn dieselbe einer irreductibeln algebraischen Gleichung \[ F(\theta, z) = 0 \tag{1.} \] genügt. $F$ bedeutet hierin einen Ausdruck von der Form \[ F(\theta, z) = a_{0}\theta^{n} + a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\theta + a_{n}, \] worin die Coefficienten $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{n}$ ganze rationale Functionen von $z$ ohne gemeinschaftlichen Theiler sind. Die vorausgesetzte Irreductibilität der Gleichung (1.) involvirt, dass $\theta$ nicht einer Gleichung niedrigeren Grades in Bezug auf $\theta$ genügt, und, wie sich aus dem Algorithmus des grössten gemeinschaftlichen Theilers ergiebt, wenn \[ G(\theta, z) = b_{0}\theta^{m} + b_{1}\theta^{m-1} + \cdots + b_{m-1}\theta + b_{m} = 0 \] eine zweite Gleichung ist, welcher $\theta$ genügt, dass $G(\theta, z)$ durch $F(\theta, z)$ algebraisch theilbar sein muss. Es lässt sich nun nachweisen, dass $G(\theta, z)$ auch in Bezug auf $z$ nicht von niedrigerem Grade sein kann als $F(\theta, z)$ und nur dann vom selben Grade, wenn sich aus $G(\theta, z)$ ein von $z$ unabhängiger Factor absondern lässt. Nehmen wir an, die Coefficienten $b_{0}, b_{1}, \ldots b_{m}$ seien von gemeinschaftlichen Factoren befreit, und bezeichnen wir mit \[ H(\theta, z) = c_{0}\theta^{m-n} + c_{1}\theta^{m-n-1} + \cdots + c_{m-n} \] den vom Nenner befreiten Quotienten von $G$ durch $F$, so ist \[ kG(\theta, z) = F(\theta, z).H(\theta, z), \] worin $k$ eine ganze rationale Function von $z$ ist, und die Vergleichung der Coefficienten ergiebt \[ \begin{aligned} kb_{0} &= a_{0}c_{0}, \\ kb_{1} &= a_{0}c_{1} + a_{1}c_{0}, \\ kb_{2} &= a_{0}c_{2} + a_{1}c_{1} + a_{2}c_{0}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned} \]

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worin die $c_{0}, c_{1}, \ldots c_{m-n}$ gleichfalls ohne gemeinschaftlichen Theiler vorausgesetzt werden können.

Hieraus folgt zunächst, dass $k$ constant sein muss, und $=1$ gesetzt werden kann; denn ist durch irgend einen Linearfactor von $k$ $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{r-1}, c_{0}, c_{1}, \ldots c_{s-1}$ theilbar, $a_{r}$, $c_{s}$ nicht theilbar, so folgt aus \[ kb_{r+s} = \cdots a_{r-1}c_{s+1} + a_{r}c_{s} + a_{r+1}c_{s-1} + \cdots \] der Widerspruch, dass $a_{r}c_{s}$ durch denselben Linearfactor theilbar sein müsste. Hieraus aber folgt weiter, dass der Grad von $G(\theta, z)$ in Bezug auf $z$ gleich ist der Summe der Grade von $F$ und $H$ in Bezug auf $z$; denn sind $a_{r}$, $c_{s}$ die ersten unter den Coefficienten $a$, $c$, deren Grad den Maximalwerth erreicht, so folgt wieder aus \[ b_{r+s} = \cdots a_{r-1}c_{s+1} + a_{r}c_{s} + a_{r+1}c_{s-1} + \cdots, \] dass der Grad von $b_{r+s}$ gleich der Summe der Grade von $a_{r}$ und $c_{s}$ ist.

Dividirt man die Gleichung (1.) durch $a_{0}$, so kann dieselbe auch in die Form gesetzt werden \[ f(\theta, z) = \theta^{n} + b_{1}\theta^{n-1} + \cdots + b_{n-1}\theta + b_{n} = 0, \tag{2.} \] worin die Coefficienten $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ auch gebrochene rationale Functionen von $z$ sein können.

Das System aller rationalen Functionen von $\theta$ und $z$, $\Phi(\theta, z)$, hat die Eigenschaft, dass seine Individuen sich durch die elementaren Rechenoperationen, Addition, Subtraction, Multiplication und Division reproduciren, und dies System wird daher als ein Körper algebraischer Functionen $\Omega$ vom Grade $n$ bezeichnet. Ist zunächst $\varphi(\theta)$ eine ganze rationale Function von $\theta$, deren Coefficienten rational von $z$ abhängen, so kann man durch algebraische Division zwei eben solche Functionen $q(\theta)$, $r(\theta)$ bestimmen, von denen die zweite den Grad $n-1$ nicht übersteigt, so dass \[ \varphi(\theta) = q(\theta)f(\theta) + r(\theta) \] oder wegen (2.) \[ \varphi(\theta) = r(\theta). \] Ist $\varphi(\theta)$ durch $f(\theta)$ nicht theilbar, so haben diese beiden Functionen (wegen der vorausgesetzten Irreductibilität von $f(\theta)$) keinen Theiler gemein, und daher lassen sich durch die Methode des grössten gemeinschaftlichen Theilers zwei Functionen $f_{1}(\theta)$, $\varphi_{1}(\theta)$ so bestimmen, dass \[ f(\theta)f_{1}(\theta) + \varphi(\theta)\varphi_{1}(\theta) = 1, \]

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also wegen (2.) \[ \varphi_{1}(\theta) = \frac{1}{\varphi(\theta)}. \] Aus diesen beiden Bemerkungen, zusammengenommen mit der Voraussetzung der Irreductibilität von $f(\theta)$ ergiebt sich der folgende

Lehrsatz. Jede Function $\zeta$ des Körpers $\Omega$ lässt sich auf eine einzige Weise in die Form setzen: \[ \zeta = x_{0} + x_{1}\theta + \cdots + x_{n-1}\theta^{n-1}, \] worin die Coefficienten $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n-1}$ rationale Functionen von $z$ sind. Umgekehrt gehört jede Function dieser Form selbstverständlich dem Körper $\Omega$ an.

Wählt man unter den Functionen des Körpers $\Omega$ $n$ beliebige aus: \[ \begin{aligned} \eta_{1} &= x_{0}^{(1)} + x_{1}^{(1)}\theta + \cdots + x_{n-1}^{(1)}\theta^{n-1}, \\ \eta_{2} &= x_{0}^{(2)} + x_{1}^{(2)}\theta + \cdots + x_{n-1}^{(2)}\theta^{n-1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{n} &= x_{0}^{(n)} + x_{1}^{(n)}\theta + \cdots + x_{n-1}^{(n)}\theta^{n-1}, \end{aligned} \] jedoch so, dass die Determinante \[ \Sigma \pm x_{0}^{(1)} x_{1}^{(2)} \ldots x_{n-1}^{(n)} \] nicht identisch Null ist, so ergiebt sich, dass jede Function des Körpers $\Omega$ auch in der Form dargestellt werden kann \[ \zeta = y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n}, \] deren Coefficienten $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ rationale Functionen von $z$ sind. Ein solches System von Functionen $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ soll eine Basis des Körpers $\Omega$ heissen.

Damit ein Functionensystem $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ des Körpers $\Omega$ eine Basis desselben bilde, ist erforderlich und hinreichend, dass zwischen ihnen keine Gleichung (Identität) von der Form \[ y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n} = 0 \] bestehe, in welcher die Coefficienten $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ nicht sämmtlich verschwinden. Beispielsweise bilden die Functionen $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ eine Basis von $\Omega$.

§ 2. Normen, Spuren und Discriminanten.

Wählt man zur Darstellung der Functionen von $\Omega$ eine beliebige Basis $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$, so kann man, wenn $\zeta$ irgend eine Function in $\Omega$ bedeutet, setzen:

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\[ \left\{ \begin{aligned} \zeta\eta_{1} &= y_{1,1}\eta_{1} + y_{1,2}\eta_{2} + \cdots + y_{1,n}\eta_{n}, \\ \zeta\eta_{2} &= y_{2,1}\eta_{1} + y_{2,2}\eta_{2} + \cdots + y_{2,n}\eta_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \zeta\eta_{n} &= y_{n,1}\eta_{1} + y_{n,2}\eta_{2} + \cdots + y_{n,n}\eta_{n}, \end{aligned} \right. \tag{1.} \] worin die Coefficienten $y_{\iota,\iota'}$ rationale Functionen von $z$ sind. Hieraus ergiebt sich die Gleichung \[ \begin{vmatrix} y_{1,1}-\zeta, & y_{1,2}, & \ldots & y_{1,n} \\ y_{2,1}, & y_{2,2}-\zeta, & \ldots & y_{2,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{n,1}, & y_{n,2}, & \ldots & y_{n,n}-\zeta \end{vmatrix} = 0, \tag{2.} \] welche, nach Potenzen von $\zeta$ geordnet, die Gestalt hat \[ \varphi(\zeta) = \zeta^{n} + b_{1}\zeta^{n-1} + \cdots + b_{n-1}\zeta + b_{n} = 0 \tag{3.} \] und, wie sich aus dem Multiplicationssatz der Determinanten ohne Schwierigkeit ergiebt, von der Wahl der zu Grunde gelegten Basis $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ ganz unabhängig ist. Von den Coefficienten $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ der Function $\varphi$, welche sämmtlich rationale Functionen von $z$ und durch die Function $\zeta$ vollkommen bestimmt sind, sollen zwei, die in der Folge von Wichtigkeit sind, durch besondere Namen ausgezeichnet werden. Die Function \[ (-1)^{n}b_{n} = \begin{vmatrix} y_{1,1}, & y_{1,2}, & \ldots & y_{1,n} \\ y_{2,1}, & y_{2,2}, & \ldots & y_{2,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{n,1}, & y_{n,2}, & \ldots & y_{n,n} \end{vmatrix} \tag{4.} \] heisst die Norm der Function $\zeta$, und wird mit $N(\zeta)$ bezeichnet. Von dieser Function gelten folgende Sätze.

1. Die einzige Function, deren Norm identisch verschwindet, ist die Function „Null“; denn macht man in dem System (1.) die Annahme, dass $N(\zeta) = 0$ sei, so folgt, dass sich ein System rationaler Functionen von $z$, die nicht sämmtlich verschwinden, $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ so bestimmen lässt, dass \[ \zeta(y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n}) = 0, \] also, da $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ eine Basis von $\Omega$ bilden, $\zeta = 0$.

2. Die Norm einer rationalen Function von $z$ ist die $n^{\text{te}}$ Potenz dieser Function. Denn ist $\zeta$ rational, so reduciren sich die Gleichungen (1.) auf die Identitäten $\zeta\eta_{h} = \zeta\eta_{h}$, woraus $N(\zeta) = \zeta^{n}$ folgt.

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3. Ist $\zeta'$ irgend eine zweite Function des Körpers $\Omega$ und das dem System (1.) entsprechende Gleichungssystem für diese Function \[ \zeta'\eta_{h} = \overset{\iota}{\Sigma} y'_{h,\iota}\eta_{\iota}, \] so folgt: \[ \zeta\zeta'\eta_{h} = \overset{\iota,\iota'}{\Sigma} y'_{h,\iota}y_{\iota,\iota'}\eta_{\iota'} \] *Editorial note: Over the second $y$ the print shows a small malformed mark; it is not clear from the print whether it is a prime or stray ink. Set unprimed, as the composition of the two systems requires. und daraus nach dem Multiplicationssatz der Determinanten \[ N(\zeta\zeta') = N(\zeta)N(\zeta'). \]

4. Aus 2. und 3. folgt: \[ N(\zeta)N\Bigl(\frac{1}{\zeta}\Bigr) = 1, \] also: \[ N\Bigl(\frac{\zeta}{\zeta'}\Bigr) = \frac{N(\zeta)}{N(\zeta')}. \]

5. Endlich ergiebt sich aus der Definition der Function $\varphi$, (2.), (3.) der wichtige Satz: Ist $t$ eine beliebige Constante (oder auch eine rationale Function von $z$), so ist \[ \varphi(t) = N(t-\zeta). \]

Es soll sodann die Function \[ -b_{1} = y_{1,1} + y_{2,2} + \cdots + y_{n,n} \tag{5.} \] die Spur von $\zeta$ genannt und mit $S(\zeta)$ bezeichnet werden. Für diese ergeben sich unmittelbar aus der Definition die Sätze: \[ S(0) = 0, \tag{6.} \] \[ S(1) = n. \tag{7.} \]

Und wenn $x$ eine rationale Function von $z$, ferner $\zeta$, $\zeta'$ zwei Functionen in $\Omega$ bedeuten: \[ S(x\zeta) = xS(\zeta), \tag{8.} \] \[ S(\zeta+\zeta') = S(\zeta) + S(\zeta'). \tag{9.} \]

Es hat sich aus dieser Betrachtung ergeben, dass jede Function $\zeta$ in $\Omega$ einer Gleichung $n^{\text{ten}}$ Grades, $\varphi(\zeta) = 0$, genügt, deren Coefficienten rational von $z$ abhängen. Wenn diese Gleichung irreductibel ist, so bilden die Functionen $1, \zeta, \zeta^{2}, \ldots \zeta^{n-1}$ eine Basis von $\Omega$. Im andern Falle sei \[ \varphi_{1}(\zeta) = \zeta^{e} + b'_{0}\zeta^{e-1} + \cdots + b'_{e-1}\zeta + b'_{e} = 0 \tag{10.} \] †Editorial note: Printed $b'_{0}$ as the coefficient of $\zeta^{e-1}$; the monic equation and the remaining coefficients $b'_{e-1}$, $b'_{e}$ require $b'_{1}$. An apparent misprint. die Gleichung niedrigsten Grades, deren Coefficienten in $z$ rational sind, welcher die Function $\zeta$ genügt, und mithin $\varphi_{1}(\zeta) = 0$ irreductibel, $e < n$.

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Da gleichwohl $\varphi(\zeta)$ verschwindet, so muss $\varphi(\zeta)$ durch $\varphi_{1}(\zeta)$ algebraisch theilbar sein, und wie in § 1 ergiebt sich, dass jede rationale Function $\eta$ von $z$ und $\zeta$ in der Form darstellbar ist \[ \eta = x_{0} + x_{1}\zeta + \cdots + x_{e-1}\zeta^{e-1}, \] deren Coefficienten $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{e-1}$ rational von $z$ abhängen${}^{*)}$. Ist nun \[ \theta^{f} + \eta_{1}\theta^{f-1} + \cdots + \eta_{f-1}\theta + \eta_{f} = 0 \] die Gleichung niedrigsten Grades, welcher $\theta$ genügt, deren Coefficienten rational von $z$ und $\zeta$ abhängen, so besteht zwischen den $e.f$ Functionen \[ \zeta^{h}\theta^{k} \qquad {\scriptstyle (h = 0,\, 1,\, \ldots\, e-1;\ k = 0,\, 1,\, \ldots\, f-1)} \tag{11.} \] keine lineare Gleichung mit rational von $z$ abhängigen Coefficienten, während jede Function in $\Omega$ linear mit rational von $z$ abhängigen Coefficienten durch diese Functionen darstellbar ist. Es ergiebt sich daraus, dass dieselben eine Basis von $\Omega$ bilden, und dass sonach \[ e.f = n, \] also $e$ ein Theiler von $n$ ist.

Wendet man die Basis (11.) zur Aufstellung der Norm von $\zeta$ an, so erkennt man leicht mittels der Gleichung (10.), dass \[ N(\zeta) = ((-1)^{e}b'_{e})^{f} = (-1)^{n}b_{e}^{\prime f} \] wird. Da ferner für ein beliebiges constantes $t$ die Function $\zeta-t$ einer Gleichung von demselben Grade genügt wie $\zeta$, so ergiebt sich der Satz:

10.‡Editorial note: Printed 10. although the preceding propositions of this § are numbered 1. to 5.; 6. expected. An apparent misprint. Die Function $\varphi(t)$ (3.) ist entweder irreductibel oder eine ganze Potenz einer irreductibeln Function.

Ist $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ ein beliebiges System von $n$ Functionen in $\Omega$, gleichviel ob dasselbe eine Basis bildet oder nicht, so führen wir eine zu diesem System gehörige rationale Function von $z$ ein, die wir als dessen Discriminante, $\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n})$ bezeichnen und folgendermassen definiren \[ \Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) = \begin{vmatrix} S(\eta_{1}\eta_{1}), & S(\eta_{1}\eta_{2}), & \ldots & S(\eta_{1}\eta_{n}) \\ S(\eta_{2}\eta_{1}), & S(\eta_{2}\eta_{2}), & \ldots & S(\eta_{2}\eta_{n}) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ S(\eta_{n}\eta_{1}), & S(\eta_{n}\eta_{2}), & \ldots & S(\eta_{n}\eta_{n}) \end{vmatrix}. \tag{12.} \] Die Discriminante ist dann und nur dann nicht identisch Null, wenn die Functionen $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ eine Basis von $\Omega$ bilden.

*) Aus der Gleichung $\varphi_{1}(\zeta) = 0$ entspringt ein Körper algebraischer Functionen $\Omega_{1}$ vom Grade $e$, dessen Functionen sämmtlich zugleich im Körper $\Omega$ enthalten sind, und der daher als ein Theiler des Körpers $\Omega$ bezeichnet werden kann.

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Um den ersten Theil dieser Behauptung zu beweisen, nehmen wir an, es sei $\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) = 0$. Es lässt sich unter dieser Voraussetzung ein System rationaler Functionen $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ von $z$, die nicht alle identisch verschwinden, so bestimmen, dass \[ \begin{gathered} y_{1}S(\eta_{1}\eta_{k}) + y_{2}S(\eta_{2}\eta_{k}) + \cdots + y_{n}S(\eta_{n}\eta_{k}) = S(\eta_{k}(y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n})) = 0. \\ {\scriptstyle (k = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \end{gathered} \] Wählt man daher ein System rationaler Functionen $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ von $z$, ganz beliebig und setzt: \[ \begin{aligned} y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n} &= \eta, \\ x_{1}\eta_{1} + x_{2}\eta_{2} + \cdots + x_{n}\eta_{n} &= \xi, \end{aligned} \] so folgt: \[ S(\xi\eta) = 0. \] Wenn aber die Functionen $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ eine Basis von $\Omega$ bilden, so kann $\xi$ jede beliebige Function in $\Omega$, also, da $\eta$ nicht verschwindet, beispielsweise auch $\dfrac{1}{\eta}$ sein. Dann ist aber die letzte Gleichung sicher nicht erfüllt, und es kann also unter dieser Voraussetzung die Discriminante von $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ nicht identisch verschwinden.

Halten wir die Annahme fest, dass $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ eine Basis von $\Omega$ sei, und setzen: \[ \eta'_{k} = x_{1,k}\eta_{1} + x_{2,k}\eta_{2} + \cdots + x_{n,k}\eta_{n}, \qquad {\scriptstyle (k = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \] so bilden die Functionen $\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{n}$ eine Basis von $\Omega$ oder nicht, je nachdem die Determinante der rationalen Functionen $x_{h,k}$ von $z$ \[ X = \Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2} \ldots x_{n,n} \] von Null verschieden ist oder nicht. Nun ist aber \[ S(\eta'_{h}\eta'_{k}) = \overset{\iota,\iota'}{\underset{1,n}{\Sigma}} x_{\iota,h}x_{\iota',k}S(\eta_{\iota}\eta_{\iota'}), \] und daraus ergiebt sich nach dem Multiplicationssatz der Determinanten der Hauptsatz über die Discriminanten \[ \Delta(\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{n}) = X^{2}\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}), \tag{13.} \] woraus auch die Richtigkeit des zweiten Theils der obigen Behauptung erhellt, dass die Discriminante eines Functionensystems stets dann identisch verschwindet, wenn dasselbe keine Basis von $\Omega$ bildet.

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§ 3. Das System der ganzen Functionen von $z$ im Körper $\Omega$.

Definition. Eine Function $\omega$ des Körpers $\Omega$ soll eine ganze Function von $z$ heissen, wenn in der Gleichung niedrigsten Grades, welcher dieselbe nach § 2 genügt: \[ \varphi(\omega) = \omega^{e} + b_{1}\omega^{e-1} + \cdots + b_{e-1}\omega + b_{e} = 0, \tag{1.} \] die Coefficienten $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{e}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind; im entgegengesetzten Fall heisse sie eine gebrochene Function. Der Inbegriff aller ganzen Functionen von $z$ in $\Omega$ soll mit $\mathfrak{o}$ bezeichnet werden. Da nach § 2 $N(t-\omega)$ eine ganze Potenz von $\varphi(t)$ ist, so folgt, dass für eine ganze Function $\omega$ auch die sämmtlichen Coefficienten von $N(t-\omega)$ ganze rationale Functionen von $z$ sind, also ins Besondere:

1. Die Norm und die Spur einer ganzen Function sind ganze rationale Functionen von $z$.

Aus der Definition der ganzen Functionen ergiebt sich ferner:

2. Eine rationale Function von $z$ gehört dann und nur dann zu dem System $\mathfrak{o}$, wenn sie eine ganze rationale Function von $z$ ist.

3. Jede Function $\eta$ in $\Omega$ kann durch Multiplication mit einer von Null verschiedenen ganzen rationalen Function von $z$ in eine Function des Systems $\mathfrak{o}$ verwandelt werden. Denn es genügt $\eta$ nach § 2 einer Gleichung niedrigsten Grades von der Form \[ b_{0}\eta^{e} + b_{1}\eta^{e-1} + \cdots + b_{e-1}\eta + b_{e} = 0, \] deren Coefficienten ganze rationale Functionen von $z$ sind, und diese geht durch die Substitution $b_{0}\eta = \omega$ in eine Gleichung von der Form (1.) für $\omega$ über.

4. Eine Function $\omega$ des Körpers $\Omega$, welche irgend einer Gleichung von der Form genügt \[ \psi(\omega) = \omega^{m} + c_{1}\omega^{m-1} + \cdots + c_{m-1}\omega + c_{m} = 0, \] in welcher die Coefficienten $c_{1}, \ldots c_{m}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind, ist eine ganze Function. Denn ist \[ \varphi(\omega) = \omega^{e} + b_{1}\omega^{e-1} + \cdots + b_{e-1}\omega + b_{e} = 0 \] die Gleichung niedrigsten Grades, welcher $\omega$ genügt, so muss $\psi(\omega)$ durch $\varphi(\omega)$ algebraisch theilbar sein: \[ \psi(\omega) = \varphi(\omega)\chi(\omega), \]

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was, wie leicht zu zeigen ist, zur Folge hat, dass auch die Coefficienten von $\varphi(\omega)$ und $\chi(\omega)$ ganze rationale Functionen von $z$ sind (Gauss, Disq. Ar. art. 42). Hieraus ergiebt sich der Hauptsatz über die ganzen Functionen:

5. Summe, Differenz, Product zweier ganzen Functionen sind wieder ganze Functionen.

Sind nämlich $\omega'$, $\omega''$ zwei ganze Functionen in $\Omega$, welche resp. den Gleichungen genügen \[ \begin{aligned} \omega'^{n'} + b'_{1}\omega'^{n'-1} + \cdots + b'_{n'-1}\omega' + b'_{n'} &= 0, \\ \omega''^{n''} + b''_{1}\omega''^{n''-1} + \cdots + b''_{n''-1}\omega'' + b''_{n''} &= 0, \end{aligned} \] so kann man, wenn man unter $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{m}$ die $m = n'n''$ Producte \[ \omega'^{h'}\omega''^{h''} \qquad {\scriptstyle (h' = 0,\, 1,\, \ldots\, n'-1;\ h'' = 0,\, 1,\, \ldots\, n''-1)} \] und unter $\omega$ eine der drei Functionen $\omega' \pm \omega''$, $\omega'\omega''$ versteht, setzen: \[ \begin{aligned} \omega\omega_{1} &= x_{1,1}\omega_{1} + \cdots + x_{1,m}\omega_{m}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \omega\omega_{m} &= x_{m,1}\omega_{1} + \cdots + x_{m,m}\omega_{m}, \end{aligned} \] worin die $x_{h,h'}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind, und daraus erhält man \[ \begin{vmatrix} x_{1,1}-\omega, & x_{1,2}, & \ldots & x_{1,m} \\ x_{2,1}, & x_{2,2}-\omega, & \ldots & x_{2,m} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{m,1}, & x_{m,2}, & \ldots & x_{m,m}-\omega \end{vmatrix} = 0, \] also eine Gleichung für $\omega$, deren Coefficienten ganze rationale Functionen von $z$ sind.

Als Corollar ergiebt sich hieraus, dass jede ganze rationale Function von Functionen in $\mathfrak{o}$ selbst eine Function des Systems $\mathfrak{o}$ ist.

6. Eine ganze Function $\omega$ heisst durch eine andere ganze Function $\omega'$ theilbar, wenn eine dritte ganze Function $\omega''$ existirt, welche der Bedingung genügt \[ \omega = \omega'\omega''. \] Aus dieser Definition ergiebt sich sofort:

Ist $\omega$ theilbar durch $\omega'$, $\omega'$ durch $\omega''$, so ist auch $\omega$ durch $\omega''$ theilbar.

Ist $\omega'$ und $\omega''$ durch $\omega$ theilbar, so ist auch $\omega' \pm \omega''$ durch $\omega$ theilbar, und allgemein: sind $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots$ durch $\omega$ theilbar, $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \omega'_{3}, \ldots$ beliebige Functionen in $\mathfrak{o}$, so ist auch $\omega'_{1}\omega_{1} + \omega'_{2}\omega_{2} + \omega'_{3}\omega_{3} + \cdots$ durch $\omega$ theilbar.

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7. Bilden die Functionen $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ eine Basis von $\Omega$, so kann man (nach 3.) $n$ von Null verschiedene ganze rationale Functionen von $z$, $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ der Art bestimmen, dass \[ \omega_{1} = a_{1}\eta_{1}, \qquad \omega_{2} = a_{2}\eta_{2}, \qquad \ldots \qquad \omega_{n} = a_{n}\eta_{n} \] ganze Functionen sind, und diese bilden ebenfalls eine Basis von $\Omega$, da \[ \Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}) = a_{1}^{2}a_{2}^{2}\ldots a_{n}^{2}\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) \] von Null verschieden ist. Es giebt also Basen von $\Omega$, $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$, welche aus lauter ganzen Functionen bestehen, und die Discriminante einer solchen Basis ist, da $S(\omega_{r}\omega_{s})$ ganze rationale Functionen von $z$ sind, selbst eine von Null verschiedene ganze rationale Function von $z$. Jede Function von der Form \[ \omega = x_{1}\omega_{1} + x_{2}\omega_{2} + \cdots + x_{n}\omega_{n}, \tag{2.} \] in welcher die $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind, gehört dann zu dem System $\mathfrak{o}$; aber es ist durchaus nicht nothwendig, dass umgekehrt jede Function in $\mathfrak{o}$ in dieser Form darstellbar sei.

Nehmen wir also an, es existiren in $\mathfrak{o}$ noch andere Functionen als die in der Form (2.) enthaltenen, so müssen sich eine lineare Function $z-c$ und gewisse ganze rationale Functionen $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, die nicht alle durch $z-c$ theilbar sind, so wählen lassen, dass \[ \frac{x_{1}\omega_{1} + x_{2}\omega_{2} + \cdots + x_{n}\omega_{n}}{z-c} \] eine ganze Function ist. Die Functionen $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ lassen sich nun auf ihre nicht sämmtlich verschwindenden constanten Reste $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$ in Bezug auf $z-c$ reduciren, und daraus erhellt, dass auch \[ \omega = \frac{c_{1}\omega_{1} + c_{2}\omega_{2} + \cdots + c_{n}\omega_{n}}{z-c} \] eine ganze Function ist. Ist $c_{1}$ von Null verschieden, so bilden auch die $n$ ganzen Functionen \[ \omega \quad \text{und} \quad \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots \omega_{n} \] eine Basis von $\Omega$ und zugleich ist nach § 2 (13.) \[ \Delta(\omega, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}) = \frac{c_{1}^{2}}{(z-c)^{2}}\Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}), \] also von niedrigerem Grade als $\Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n})$. Da nun diese beiden Discriminanten ganze rationale Functionen von $z$ sind, so gelangt man durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens schliesslich zu einer aus ganzen

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Functionen bestehenden Basis von $\Omega$, $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}$, deren Discriminante im Grade nicht weiter erniedrigt werden kann, und welche folglich die Eigenschaft hat, dass jede Function $\omega$ in $\mathfrak{o}$ in der Form enthalten ist \[ \omega = x_{1}\omega'_{1} + x_{2}\omega'_{2} + \cdots + x_{n}\omega'_{n} \] mit ganzen rationalen Functionen von $z$ als Coefficienten. Ein solches System soll eine Basis von $\mathfrak{o}$ genannt werden.

Ist $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ eine Basis von $\mathfrak{o}$ und \[ \omega'_{\iota} = x_{\iota,1}\omega_{1} + x_{\iota,2}\omega_{2} + \cdots + x_{\iota,n}\omega_{n}, \qquad {\scriptstyle (\iota = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \] so wird das System $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}$ dann und nur dann ebenfalls eine Basis von $\mathfrak{o}$ bilden, wenn die Determinante der ganzen rationalen Functionen $x_{\iota,\iota'}$ \[ X = \Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n} \] eine von Null verschiedene Constante ist. Denn nehmen wir an, es habe diese Determinante irgend einen Linearfactor $z-c$, so lassen sich Constanten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$, nicht sämmtlich verschwindend, so bestimmen, dass die $n$ ganzen rationalen Functionen von $z$ \[ c_{1}x_{1,\iota} + c_{2}x_{2,\iota} + \cdots + c_{n}x_{n,\iota} \] durch $z-c$ theilbar werden (d. h. für $z = c$ verschwinden); dann aber ist \[ \frac{c_{1}\omega'_{1} + c_{2}\omega'_{2} + \cdots + c_{n}\omega'_{n}}{z-c} \] eine ganze Function und mithin $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}$ keine Basis von $\mathfrak{o}$.

Da nun andererseits \[ \Delta(\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}) = X^{2}\Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}) \] ist, so folgt, dass die Discriminante einer Basis von $\mathfrak{o}$ von einem constanten Factor abgesehen von der Wahl dieser Basis unabhängig ist. Man erhält also eine vollkommen bestimmte ganze rationale Function von $z$, wenn man in der Discriminante einer beliebigen Basis von $\mathfrak{o}$ den Coefficienten der höchsten Potenz von $z$ durch Division $= 1$ macht. Diese Function soll die Discriminante des Körpers $\Omega$ oder des Systems $\mathfrak{o}$ genannt und mit $\Delta(\Omega)$ oder $\Delta(\mathfrak{o})$ bezeichnet werden.

§ 4. Die Functionenmoduln.

Wir betrachten im Folgenden Systeme von Functionen, welche wir Functionenmoduln oder auch schlechtweg Moduln nennen und folgendermassen

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definiren. Ein Functionensystem (in $\Omega$) heisst ein Modul, wenn sich die Functionen desselben durch Addition, Subtraction und durch Multiplication mit ganzen rationalen Functionen von $z$ reproduciren.

Bezeichnet man mit $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ irgend $m$ gegebene Functionen, mit $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ willkürliche ganze rationale Functionen von $z$, so bildet der Inbegriff aller Functionen von der Form \[ \alpha = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{m}\alpha_{m} \] einen Modul. Ein solcher soll ein endlicher Modul genannt und mit \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}] \] bezeichnet werden. Das Functionensystem $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ heisst die Basis dieses Moduls.

Wir wollen ein Functionensystem $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ rational irreductibel oder die Functionen $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{p}$§Editorial note: Printed $\alpha_{p}$ instead of $\alpha_{m}$; an apparent misprint. rational unabhängig nennen, wenn eine Gleichung von der Form \[ x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{m}\alpha_{m} = 0 \] für rationale $x$ nur dann bestehen kann, wenn $x_{1} = 0$, $x_{2} = 0$, $\ldots$ $x_{m} = 0$ ist. Ein Functionensystem, welches eine Basis des Körpers $\Omega$ bildet, ist daher stets rational irreductibel, und es giebt kein System von mehr als $n$ rational unabhängigen Functionen in $\Omega$.

Wir beweisen nun zunächst den Satz:

1. Jeder endliche Modul besitzt eine rational irreductible Basis.

Der Beweis desselben ergiebt sich unmittelbar aus dem folgenden Hülfssatz:

Sind die ganzen rationalen Functionen $y_{1,1}, y_{2,1}, \ldots y_{m,1}$ ohne gemeinschaftlichen Theiler, so lassen sich andere ganze rationale Functionen $y_{1,2}, y_{2,2}, \ldots y_{m,m}$ so bestimmen, dass \[ \Sigma \pm y_{1,1}y_{2,2}\ldots y_{m,m} = 1{}^{*)}. \]

*) Der Satz ist richtig und bekannt für $m = 2$. Nehmen wir also an, er sei bewiesen für $m-1$, so können wir, wenn $\partial$ den grössten gemeinschaftlichen Theiler von $y_{1,1}, y_{2,1}, \ldots y_{m-1,1}$ bedeutet, der Gleichung genügen \[ \begin{vmatrix} y_{1,1}, & y_{2,1}, & \ldots & y_{m-1,1} \\ y_{1,3}, & y_{2,3}, & \ldots & y_{m-1,3} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{1,m}, & y_{2,m}, & \ldots & y_{m-1,m} \end{vmatrix} = \partial \] und wenn wir also die ganzen rationalen Functionen $x$, $y$ so bestimmen, dass \[ xy_{m,1} - y\partial = (-1)^{m-1} \] ist, so folgt: \[ \begin{vmatrix} y_{1,1}, & y_{2,1}. & \ldots & y_{m-1,1}, & y_{m,1} \\ \frac{xy_{1,1}}{\partial}, & \frac{xy_{2,1}}{\partial}, & \ldots & \frac{xy_{m-1,1}}{\partial}, & y \\ y_{1,3}, & y_{2,3}, & \ldots & y_{m-1,3}, & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{1,m}, & y_{2,m}, & \ldots & y_{m-1,m}, & 0 \end{vmatrix} = 1. \]¶Editorial note: Printed a period after $y_{2,1}$ in the first row where a comma is expected; possibly a comma whose tail failed to ink.

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Genügen nun die Functionen $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ einer Gleichung \[ \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} y_{\iota,1}\alpha_{\iota} = 0, \] in welcher die ganzen rationalen Functionen $y_{1,1}, \ldots y_{m,1}$ ohne gemeinschaftlichen Theiler angenommen werden können, so setze man \[ \begin{aligned} \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} y_{\iota,2}\alpha_{\iota} &= \beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} y_{\iota,m}\alpha_{\iota} &= \beta_{m}; \end{aligned} \] dann ist der Modul $[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}]$ völlig identisch mit dem Modul $[\beta_{2}, \beta_{3}, \ldots \beta_{m}]$, dessen Basis eine Function weniger enthält. Sind die Functionen $\beta_{\iota}$ noch nicht rational unabhängig, so kann man sie in derselben Weise weiter reduciren, und gelangt schliesslich, falls die Functionen $\alpha_{\iota}$ nicht sämmtlich verschwinden (ein Fall, welchen wir von dem Modulbegriff ganz ausschliessen wollen) zu einer irreductibeln Basis. Wir werden in der Folge unter einer Basis schlechtweg stets eine irreductible Basis verstehen.

2. Obwohl man nach dem Vorhergehenden für einen und denselben Modul sehr verschiedene irreductible Basen auffinden kann, so ist doch die Zahl der Functionen, die in einer solchen enthalten sind, stets dieselbe, da im entgegengesetzten Fall dasjenige Functionensystem, welches mehr Functionen enthält, nicht rational irreductibel sein könnte. Sind also $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$; $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{m}$ zwei irreductible Basen desselben Moduls $\mathfrak{a}$, so ist, da sowohl die $\alpha_{k}$ als die $\beta_{k}$ in $\mathfrak{a}$ enthalten sind: \[ \alpha_{k} = \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} p_{k}^{(\iota)}\beta_{\iota}; \qquad \beta_{k} = \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} q_{\iota}^{(k)}\alpha_{\iota}, \] worin die Coefficienten $p$, $q$ ganze rationale Functionen von $z$ sind. Hieraus aber folgt: \[ \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} q_{\iota}^{(k)}p_{\iota}^{(h)} = 0 \quad \text{oder} \quad 1, \]

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je nachdem $h$ von $k$ verschieden ist oder nicht, und daraus: \[ \Sigma \pm p_{1}^{(1)}p_{2}^{(2)}\ldots p_{m}^{(m)}.\Sigma \pm q_{1}^{(1)}q_{2}^{(2)}\ldots q_{m}^{(m)} = 1, \] und da beide Determinanten ganze rationale Functionen von $z$ sind, so müssen sie beide constant sein.

3. Definition. Ein Modul $\mathfrak{a}$ heisst durch einen Modul $\mathfrak{b}$ theilbar, oder $\mathfrak{b}$ ein Theiler (Divisor) von $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{a}$ ein Vielfaches (Multiplum) von $\mathfrak{b}$ ($\mathfrak{b}$ geht in $\mathfrak{a}$ auf), wenn jede Function in $\mathfrak{a}$ zugleich in $\mathfrak{b}$ enthalten ist. $\mathfrak{b}$ soll ein echter Theiler von $\mathfrak{a}$ heissen, wenn $\mathfrak{a}$ durch $\mathfrak{b}$ theilbar, aber nicht mit $\mathfrak{b}$ identisch ist${}^{*)}$.

Aus dieser Definition ergiebt sich sofort:

Ist $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{c}$, so ist auch $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{c}$.

4. Definition. Der Inbegriff $\mathfrak{m}$ aller derjenigen Functionen, welche zugleich in zwei Moduln $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ enthalten sind, bildet, falls er nicht aus der einzigen Function „Null“ besteht, einen Modul (nach der allgemeinen Definition), welcher das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ heisst, weil jeder Modul, welcher ein Vielfaches zugleich von $\mathfrak{a}$ und von $\mathfrak{b}$ ist, auch ein Vielfaches von $\mathfrak{m}$ ist. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von einer beliebigen Zahl von Moduln $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ ist dem entsprechend der Inbegriff aller der Functionen, die zugleich in $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ enthalten sind. Man kann dasselbe bilden, indem man nach Belieben je zwei der Moduln $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ durch ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfache ersetzt.

5. Definition. Ist $\alpha$ eine beliebige Function in $\mathfrak{a}$, $\beta$ eine beliebige Function in $\mathfrak{b}$, so bildet der Inbegriff aller Functionen von der Form $\alpha + \beta$ einen Modul $\mathfrak{d}$, welcher der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Moduln $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ heisst. Derselbe ist, wenn $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ endliche Moduln sind, selbst ein solcher. Ist nämlich \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{r}], \qquad \mathfrak{b} = [\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}], \] so ist \[ \mathfrak{d} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{r}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}]. \] Nach der Definition der Theilbarkeit ist $\mathfrak{d}$ ein Theiler sowohl von $\mathfrak{a}$ als von $\mathfrak{b}$. Ist umgekehrt $\mathfrak{d}'$ ein Theiler von $\mathfrak{a}$ und von $\mathfrak{b}$, so sind die Functionen

*) Der Begriff der Theilbarkeit der Moduln ist der von den Zahlen her gewohnten Anschauung zuwider gebildet, insofern der Theiler einen grösseren Inhalt an Functionen enthält als das Vielfache.

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$\alpha$ sowohl als die Functionen $\beta$, mithin auch die Functionen $\alpha + \beta$ in $\mathfrak{d}'$ enthalten; daher ist $\mathfrak{d}$ durch $\mathfrak{d}'$ theilbar.

Die Definition des grössten gemeinschaftlichen Theilers einer beliebigen Anzahl von Moduln ergiebt sich hiernach von selbst.

6. Definition. Ist $\mathfrak{a}$ ein Modul, $\alpha$ jede Function in $\mathfrak{a}$ und $\mu$ eine beliebige Function in $\Omega$, so verstehen wir unter dem Product $\mu\mathfrak{a}$ oder $\mathfrak{a}\mu$ den Inbegriff aller Functionen $\mu\alpha$, welcher wieder ein Modul ist. Ist \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{r}] \] ein endlicher Modul, so ist \[ \mu\mathfrak{a} = [\mu\alpha_{1}, \mu\alpha_{2}, \ldots \mu\alpha_{r}], \] also ebenfalls ein endlicher Modul, und aus $\mu\mathfrak{a} = \mu\mathfrak{b}$ folgt $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$, wenn $\mu$ von Null verschieden ist.

7. Definition. Sind $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ zwei Moduln, $\alpha$, $\beta$ sämmtliche Functionen in $\mathfrak{a}$, resp. in $\mathfrak{b}$, so verstehen wir unter dem Product \[ \mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{b}\mathfrak{a} = \mathfrak{c} \] den Inbegriff aller Producte einer Function $\alpha$ und einer Function $\beta$ und aller Summen solcher Producte, also sämmtlicher Functionen, welche durch das Zeichen \[ \gamma = \Sigma\alpha\beta \] bezeichnet werden können.

Dieses Functionensystem bildet jederzeit einen Modul, und zwar einen endlichen, wenn $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ solche sind. Sind nämlich $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ so definirt, wie in 5., so bilden die $r.s$ Functionen $\alpha_{\iota}\beta_{\varkappa}$ eine, wenn auch reductible, Basis von $\mathfrak{c}$. Ein Product aus beliebig vielen Moduln $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ erklärt sich hiernach von selbst, und es gilt für dasselbe der Fundamentalsatz der Multiplication von der Vertauschbarkeit der Factoren. Sind die einzelnen Functionen eines solchen Products, deren Anzahl $m$ sei, einander gleich und $= \mathfrak{a}$, so wird dasselbe mit $\mathfrak{a}^{m}$ bezeichnet, und es ist \[ \mathfrak{a}^{m+m'} = \mathfrak{a}^{m}\mathfrak{a}^{m'}. \]

Im Allgemeinen ist ein Product $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ nicht durch $\mathfrak{a}$ theilbar. Dagegen gilt der Satz, dessen Beweis sich unmittelbar aus der Definition ergiebt:

Ist $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{a}_{1}$, $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{b}_{1}$, so ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{a}_{1}\mathfrak{b}_{1}$.

8. Definition. Unter dem Quotienten $\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}$ zweier Moduln $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ soll der Inbegriff aller derjenigen Functionen $\gamma$ verstanden werden, welche die Eigenschaft

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haben, dass $\gamma\mathfrak{a}$ durch $\mathfrak{b}$ theilbar ist. Dieser Quotient ist, falls er nicht aus der einzigen Function „Null“ besteht, ein Modul $\mathfrak{c}$, was sofort aus der Definition erhellt. Das Product $\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}\cdot\mathfrak{a}$ ist jederzeit durch $\mathfrak{b}$ theilbar, wenn auch nicht immer gleich $\mathfrak{b}$.

§ 5. Congruenzen.

Zwei Functionen $\alpha$, $\beta$ heissen congruent nach dem Modul $\mathfrak{a}$ \[ \alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] wenn die Differenz der beiden Functionen, $\alpha-\beta$, in dem Modul $\mathfrak{a}$ enthalten ist.

Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Sätze:

1. Ist $\alpha \equiv \beta$, $\beta \equiv \gamma \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, so ist $\alpha \equiv \gamma \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$.

2. Ist $\mathfrak{d}$ irgend ein Theiler von $\mathfrak{a}$, so folgt aus $\alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, dass auch $\alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{d})$ ist.

3. Ist $\alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, $\mu$ eine beliebige Function in $\Omega$, so folgt $\mu\alpha \equiv \mu\beta \ (\text{mod.}\,\mu\mathfrak{a})$, und umgekehrt folgt aus der letzteren Congruenz die erstere, wenn $\mu$ von Null verschieden.

4. Ist $\alpha \equiv \beta$, $\alpha_{1} \equiv \beta_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, so ist auch $\alpha \pm \alpha_{1} \equiv \beta \pm \beta_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$.

Sind $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ beliebig gegebene Functionen in $\Omega$, $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$ willkürliche Constanten, so heisst der Inbegriff aller Functionen von der Form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} \] eine Schaar und wird mit $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ bezeichnet. Das Functionensystem $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ heisst die Basis der Schaar. Die Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ heissen linear unabhängig oder ihr System linear irreductibel, wenn eine Gleichung (Identität) von der Form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} = 0 \] nicht anders bestehen kann, als wenn die constanten Coefficienten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$ alle verschwinden.

Hiernach gilt der Satz, dass jede Schaar eine linear irreductible Basis besitzt. Denn ist $c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} = 0$ und $c_{1}$ von Null verschieden, so ist die Schaar $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ identisch mit der Schaar $(\lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots \lambda_{m})$, deren Basis eine Function weniger enthält. Ist diese noch nicht linear irreductibel, so kann man auf die gleiche Weise weiterschliessen. Auch hier soll in

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der Folge unter einer Basis schlechtweg eine irreductible Basis verstanden sein. Die Anzahl der Functionen, welche in einer irreductiblen Basis einer Schaar enthalten sind, ist stets dieselbe und heisst die Dimension der Schaar. Ist $m$ die Dimension, so heisst die Schaar auch eine $m$-fache. Irgend $m$ Functionen einer solchen Schaar bilden eine irreductible Basis derselben dann und nur dann, wenn sie linear unabhängig sind.

Die Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ heissen linear unabhängig in Bezug auf den Modul $\mathfrak{a}$, wenn eine Congruenz von der Form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] für keine anderen als verschwindende constante Coefficienten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$ besteht. Zwei Summen von der Form $\Sigma c_{\iota}\lambda_{\iota}$ mit verschiedenen Werthen der constanten Coefficienten $c_{\iota}$ sind dann auch stets incongruent nach dem Modul $\mathfrak{a}$.

Es seien nun $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ zwei Moduln, und es werde zunächst angenommen, es existiren in $\mathfrak{b}$ nur eine endliche Anzahl von Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$, welche nach dem Modul $\mathfrak{a}$ linear unabhängig sind. Jede Function $\beta$ in $\mathfrak{b}$ genügt dann einer und nur einer Congruenz von der Form \[ \beta \equiv c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] mit constanten Coefficienten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$. Die Schaar $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ kann daher ein vollständiges Restsystem des Moduls $\mathfrak{b}$ nach dem Modul $\mathfrak{a}$ und $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ eine Basis desselben genannt werden, und man kann in symbolischer Bezeichnung setzen: \[ \mathfrak{b} \equiv (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \]

Wählt man in $\mathfrak{b}$ irgend ein System von $m$ Functionen $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{m}$ aus, so gelten $m$ Congruenzen \[ \lambda'_{h} \equiv \overset{\iota}{\Sigma} k_{h,\iota}\lambda_{\iota} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] mit constanten $k_{h,\iota}$, und dies System bildet dann und nur dann eine Basis eines vollständigen Restsystems von $\mathfrak{b}$ nach $\mathfrak{a}$, wenn die Determinante \[ \Sigma \pm k_{1,1}k_{2,2}\ldots k_{m,m} \] von Null verschieden ist.

§ 6. Norm eines Moduls in Bezug auf einen andern.

Ist $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ ein beliebiges vollständiges Restsystem eines Moduls $\mathfrak{b}$ in Bezug auf einen andern $\mathfrak{a}$, so ergiebt sich, weil $z\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{b}$

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theilbar ist, ein ganz bestimmtes System von $m^{2}$ Constanten $c_{h,k}$, durch welches die Congruenzen erfüllt werden: \[ \left. \begin{aligned} z\lambda_{1} &\equiv c_{1,1}\lambda_{1} + c_{2,1}\lambda_{2} + \cdots + c_{m,1}\lambda_{m} \\ z\lambda_{2} &\equiv c_{1,2}\lambda_{1} + c_{2,2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m,2}\lambda_{m} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\lambda_{m} &\equiv c_{1,m}\lambda_{1} + c_{2,m}\lambda_{2} + \cdots + c_{m,m}\lambda_{m} \end{aligned} \right\} (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] und durch Auflösung dieses Systems erkennt man, dass jede Function $\lambda_{\iota}$, und mithin jede Function $\beta$ des Moduls $\mathfrak{b}$ durch Multiplication mit der ganzen rationalen Function $m^{\text{ten}}$ Grades von $z$ \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (-1)^{m} \begin{vmatrix} c_{1,1}-z, & c_{2,1}, & \ldots & c_{m,1} \\ c_{1,2}, & c_{2,2}-z, & \ldots & c_{m,2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{1,m}, & c_{2,m}, & \ldots & c_{m,m}-z \end{vmatrix} \] in eine Function des Moduls $\mathfrak{a}$ verwandelt wird. Diese Function $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ ist, wie sich aus dem Multiplicationssatz der Determinanten leicht ergiebt, von der Wahl der Basis $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ unabhängig, also nur von den beiden Moduln $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ abhängig und soll die Norm von $\mathfrak{a}$ in Bezug auf $\mathfrak{b}$ genannt werden.

Ist jede Function in $\mathfrak{b}$ zugleich in $\mathfrak{a}$ enthalten, also $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{a}$ theilbar, so ist $m = 0$ und $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 1$ zu setzen. Wenn dagegen $\mathfrak{b}$ nicht, wie oben angenommen, eine endliche Anzahl in Bezug auf $\mathfrak{a}$ linear unabhängiger Functionen enthält, dann soll festgesetzt werden, dass $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 0$ sei.

1. Ist $\mathfrak{m}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, $\mathfrak{d}$ der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$, so ist jede Congruenz zwischen Functionen des Moduls $\mathfrak{b}$ in Bezug auf den Modul $\mathfrak{a}$ vollkommen gleichbedeutend mit der Congruenz derselben Functionen nach dem Modul $\mathfrak{m}$; andererseits ist jede Function in $\mathfrak{b}$ einer Function in $\mathfrak{d}$ und umgekehrt jede Function in $\mathfrak{d}$ einer Function in $\mathfrak{b}$ congruent nach dem Modul $\mathfrak{a}$. Aus diesen Bemerkungen ergiebt sich sofort der wichtige Satz: \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{b}, \mathfrak{m}) = (\mathfrak{d}, \mathfrak{a}), \] welcher auch richtig bleibt, wenn $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 0$ ist.

2. Ist der Modul $\mathfrak{a}$ theilbar durch den Modul $\mathfrak{b}$, dieser durch den dritten Modul $\mathfrak{c}$, so ist \[ (\mathfrak{c}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{c}, \mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}). \] Der Satz ist offenbar richtig, wenn von den beiden Normen $(\mathfrak{c}, \mathfrak{b})$, $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$

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eine verschwindet. Ist dies nicht der Fall und ist \[ \begin{aligned} \mathfrak{c} &\equiv (\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \\ \mathfrak{b} &\equiv (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \end{aligned} \] so sind die Functionen $\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s}$ zusammengenommen linear unabhängig nach dem Modul $\mathfrak{a}$; denn ist \[ \overset{\iota}{\Sigma} c_{\iota}\varrho_{\iota} + \overset{\iota}{\Sigma} c'_{\iota}\lambda_{\iota} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] so folgt, da $\mathfrak{a}$ durch $\mathfrak{b}$ theilbar ist und die Functionen $\lambda_{\iota}$ in $\mathfrak{b}$ enthalten sind, \[ \begin{aligned} \overset{\iota}{\Sigma} c_{\iota}\varrho_{\iota} &\equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \quad \text{mithin} \quad c_{\iota} = 0, \\ \overset{\iota}{\Sigma} c'_{\iota}\lambda_{\iota} &\equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \quad \text{mithin} \quad c'_{\iota} = 0. \end{aligned} \] Da ferner jede Function $\gamma$ in $\mathfrak{c}$ einer Congruenz von der Form genügt: \[ \gamma \equiv \Sigma c_{\iota}\varrho_{\iota} + \Sigma c'_{\iota}\lambda_{\iota} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] so ist die $(r+s)$-fache Schaar $(\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s})$ ein vollständiges Restsystem von $\mathfrak{c}$ nach $\mathfrak{a}$, oder \[ \mathfrak{c} \equiv (\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \] Ist daher \[ \begin{aligned} z\varrho_{1} &= e_{1,1}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,1}\varrho_{r} + \beta_{1} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\varrho_{r} &= e_{1,r}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,r}\varrho_{r} + \beta_{r}, \end{aligned} \] worin die $e_{\iota,\varkappa}$ Constanten, die $\beta_{\iota}$ Functionen in $\mathfrak{b}$ sind, also: \[ (\mathfrak{c}, \mathfrak{b}) = (-1)^{r} \begin{vmatrix} e_{1,1}-z, & \ldots & e_{r,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ e_{1,r}, & \ldots & e_{r,r}-z \end{vmatrix}, \] ferner: \[ \left. \begin{aligned} \beta_{1} &\equiv h_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \beta_{r} &\equiv h_{1,r}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,r}\lambda_{s} \\ z\lambda_{1} &\equiv c_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\lambda_{s} &\equiv c_{1,s}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,s}\lambda_{s} \end{aligned} \right\} (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] mit constanten Coefficienten $h_{\iota,\varkappa}$, $c_{\iota,\varkappa}$, also \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (-1)^{s} \begin{vmatrix} c_{1,1}-z, & \ldots & c_{s,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{1,s}, & \ldots & c_{s,s}-z \end{vmatrix}, \]

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so folgt: \[ \left. \begin{aligned} z\varrho_{1} &\equiv e_{1,1}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,1}\varrho_{r} + h_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\varrho_{r} &\equiv e_{1,r}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,r}\varrho_{r} + h_{1,r}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,r}\lambda_{s} \\ z\lambda_{1} &\equiv c_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\lambda_{s} &\equiv c_{1,s}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,s}\lambda_{s} \end{aligned} \right\} (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] und hieraus \[ (\mathfrak{c}, \mathfrak{a}) = (-1)^{r+s} \begin{vmatrix} e_{1,1}-z, & \ldots & e_{r,1}, & h_{1,1}, & \ldots & h_{s,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ e_{1,r}, & \ldots & e_{r,r}-z, & h_{1,r}, & \ldots & h_{s,r} \\ 0 & \ldots & 0 & c_{1,1}-z, & \ldots & c_{s,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \ldots & 0 & c_{1,s}, & \ldots & c_{s,s}-z \end{vmatrix} = (\mathfrak{c}, \mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}). \]

3. Wenn die Basis-Functionen $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}$ eines endlichen Moduls $\mathfrak{b} = [\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}]$ durch Multiplication mit von Null verschiedenen ganzen rationalen Functionen von $z$ in Functionen eines Moduls $\mathfrak{a}$ verwandelt werden können, so ist die Norm von $\mathfrak{a}$ in Bezug auf $\mathfrak{b}$, $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ von Null verschieden. Zugleich ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ ein endlicher Modul $\mathfrak{m}$, von dem eine irreductible Basis in der Form angenommen werden kann: \[ \begin{aligned} \mu_{1} &= a_{1,1}\beta_{1}, \\ \mu_{2} &= a_{1,2}\beta_{1} + a_{2,2}\beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \mu_{s} &= a_{1,s}\beta_{1} + a_{2,s}\beta_{2} + \cdots + a_{s,s}\beta_{s}, \end{aligned} \] worin die Coefficienten $a_{\iota,\varkappa}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind, und zwar so, dass \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{s,s}. \]

Zum Beweise dieses wichtigen Theorems nehmen wir an, es sei $\mathfrak{a}_{1}$ der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{a}$ und $[\beta_{1}]$, $\mathfrak{a}_{2}$ der von $\mathfrak{a}_{1}$ und $[\beta_{2}]$ u. s. f., so dass $\mathfrak{a}_{r}$ der Inbegriff aller Functionen von der Form \[ \alpha_{r} = \alpha + y_{1}\beta_{1} + \cdots + y_{r}\beta_{r} \] ist, wo $\alpha$ eine Function in $\mathfrak{a}$, $y_{1}, \ldots y_{r}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind. Es ist dann $\mathfrak{a}_{s}$ der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$. Da nun jeder Modul $\mathfrak{a}_{r}$ durch den folgenden $\mathfrak{a}_{r+1}$ theilbar ist, so folgt aus

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1. und 2. \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{a}_{s}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{a}_{s}, \mathfrak{a}_{s-1})(\mathfrak{a}_{s-1}, \mathfrak{a}_{s-2})\ldots(\mathfrak{a}_{1}, \mathfrak{a}), \] und es handelt sich also noch um die Bestimmung von $(\mathfrak{a}_{r}, \mathfrak{a}_{r-1})$. Es ist aber \[ \alpha_{r} = \alpha_{r-1} + y_{r}\beta_{r} \equiv y_{r}\beta_{r} \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}), \] und nach der Voraussetzung giebt es eine von Null verschiedene ganze rationale Function $x_{r}$ von $z$, für welche \[ x_{r}\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] also auch \[ x_{r}\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}). \] Ist nun $a_{r,r}$ unter allen der letzteren Congruenz genügenden Functionen $x_{r}$ eine von möglichst niedrigem Grade $m_{r}$, die zugleich so angenommen sei, dass der Coefficient der höchsten Potenz von $z = 1$ ist, so sind alle andern dieser Congruenz genügenden Functionen $x_{r}$ durch $a_{r,r}$ theilbar; denn es ist für ein beliebiges ganzes rationales $q$ \[ (x_{r} - qa_{r,r})\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}), \] und wenn $x_{r}$ nicht durch $a_{r,r}$ theilbar ist, so lässt sich $q$ so wählen, dass $x_{r} - qa_{r,r}$ von niedrigerem Grade wird als $a_{r,r}$, gegen die Voraussetzung.

Setzt man also \[ y_{r} = qa_{r,r} + b_{r,r} \] und bestimmt $q$ so, dass der Grad von $b_{r,r}$ kleiner als $m_{r}$ wird, so folgt: \[ \alpha_{r} \equiv b_{r,r}\beta_{r} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}) \] und hieraus \[ \mathfrak{a}_{r} \equiv (\beta_{r}, z\beta_{r}, \ldots z^{m_{r}-1}\beta_{r}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}). \] Wenn man daher für den Augenblick setzt: \[ \begin{aligned} a_{r,r} &= c_{0} + c_{1}z + \cdots + c_{m_{r}-1}z^{m_{r}-1} + z^{m_{r}}, \\ \lambda_{k} &= z^{k-1}\beta_{r}, \end{aligned} \] so folgt: \[ \begin{gathered} z\lambda_{1} = \lambda_{2}, \quad z\lambda_{2} = \lambda_{3}, \quad \ldots \\ z\lambda_{m_{r}} \equiv -c_{0}\lambda_{1} - c_{1}\lambda_{2} - \cdots - c_{m_{r}-1}\lambda_{m_{r}} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}) \end{gathered} \] also: \[ (\mathfrak{a}_{r}, \mathfrak{a}_{r-1}) = (-1)^{m_{r}} \begin{vmatrix} -z, & 1, & 0, & \ldots & 0 \\ 0, & -z, & 1, & \ldots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0, & 0, & 0, & \ldots & 1 \\ -c_{0}, & -c_{1}, & -c_{2}, & \ldots & -c_{m_{r}-1}-z \end{vmatrix} = a_{r,r}. \]

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Hieraus ergiebt sich wie in 2., dass das Functionensystem \[ \begin{aligned} &\beta_{1}, \quad z\beta_{1}, \quad \ldots \quad z^{m_{1}-1}\beta_{1}, \\ &\beta_{2}, \quad z\beta_{2}, \quad \ldots \quad z^{m_{2}-1}\beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ &\beta_{s}, \quad z\beta_{s}, \quad \ldots \quad z^{m_{s}-1}\beta_{s}, \end{aligned} \] eine Basis eines vollständigen Restsystems von $\mathfrak{b}$ nach $\mathfrak{a}$ bildet, und dass \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{s,s} \] vom Grade \[ m = m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{s} \] ist.

Da nun $a_{r,r}\beta_{r} \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1})$, so lässt sich eine Function $\mu_{r}$ in $\mathfrak{a}$ und ganze rationale Functionen $a_{k,r}$ so bestimmen, dass \[ \mu_{r} = a_{1,r}\beta_{1} + a_{2,r}\beta_{2} + \cdots + a_{r\,r}\beta_{r} \] ‖Editorial note: Printed $a_{r\,r}$ without the comma between the two indices; the notation throughout requires $a_{r,r}$. An apparent dropped sort. wird; die auf diese Weise bestimmten Functionen \[ \begin{aligned} \mu_{1} &= a_{1,1}\beta_{1}, \\ \mu_{2} &= a_{1,2}\beta_{1} + a_{2,2}\beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \mu_{s} &= a_{1,s}\beta_{1} + a_{2,s}\beta_{2} + \cdots + a_{s,s}\beta_{s} \end{aligned} \] sind, da keine der Functionen $a_{1,1}, \ldots a_{s,s}$ verschwindet, rational unabhängig und sind sämmtlich zugleich in $\mathfrak{a}$ und in $\mathfrak{b}$, also auch in dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen $\mathfrak{m}$ dieser beiden Moduln enthalten. Es ist noch nachzuweisen, dass dieselben eine Basis von $\mathfrak{m}$ bilden.

Es sei $\mathfrak{m}_{r}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $[\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{r}]$, $\mathfrak{m}_{s} = \mathfrak{m}$, so dass unter den Moduln $\mathfrak{m}_{1}, \mathfrak{m}_{2}, \ldots \mathfrak{m}_{s}$ jeder durch alle folgenden, also auch durch $\mathfrak{m}$ theilbar ist, und \[ \nu_{r} = z_{1}\beta_{1} + z_{2}\beta_{2} + \cdots + z_{r}\beta_{r} \] eine Function in $\mathfrak{m}_{r}$, also auch in $\mathfrak{a}$.

Es ist hiernach \[ z_{r}\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}), \] also \[ z_{r} = x_{r}a_{r,r}, \] worin $x_{r}$ eine ganze rationale Function bedeutet. Daher ist \[ \nu_{r} - x_{r}\mu_{r} \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{m}_{r-1}), \quad \nu_{1} - x_{1}\mu_{1} = 0, \] woraus folgt: \[ \nu_{r} = x_{1}\mu_{1} + x_{2}\mu_{2} + \cdots + x_{r}\mu_{r}, \]

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also: \[ \begin{aligned} \mathfrak{m}_{r} &= [\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{r}], \\ \mathfrak{m} &= [\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{s}], \end{aligned} \] w. z. b. w.

Hiernach enthält eine irreductible Basis des Moduls $\mathfrak{m}$ genau ebenso viele Functionen wie eine irreductible Basis von $\mathfrak{b}$. Wählt man statt der Basis $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{s}$ eine andere $\mu'_{1}, \mu'_{2}, \ldots \mu'_{s}$, so lässt sich $\mu'_{1}, \mu'_{2}, \ldots \mu'_{s}$ in der Form ausdrücken \[ \mu'_{k} = a'_{1,k}\beta_{1} + a'_{2,k}\beta_{2} + \cdots + a'_{s,k}\beta_{s} \] mit ganzen rationalen Coefficienten $a'_{\iota,k}$, und aus § 4, 2. ergiebt sich \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = \text{const.}\,\Sigma \pm a'_{1,1}a'_{2,2}\ldots a'_{s,s}. \]

4. Machen wir ins Besondere die Annahme, es sei $\mathfrak{a}$ gleichfalls ein endlicher Modul, der eine irreductible Basis von ebenso vielen Functionen besitzt wie $\mathfrak{b}$, und es sei ausserdem $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{b}$, dann lassen sich, wenn \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{s}] \] ist, die ganzen rationalen Functionen $b_{\iota,k}$ von $z$ so bestimmen, dass \[ \alpha_{k} = b_{1,k}\beta_{1} + b_{2,k}\beta_{2} + \cdots + b_{s,k}\beta_{s}, \] und die Voraussetzung von 3., dass die Functionen $\beta_{\iota}$ durch Multiplication mit ganzen rationalen Functionen von $z$ in Functionen des Moduls $\mathfrak{a}$ verwandelt werden können, ist erfüllt, wie man durch Auflösung dieses Gleichungssystems erkennt. Zugleich ist hier $\mathfrak{a}$ selbst das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$, und daraus ergiebt sich \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = \text{const.}\,\Sigma \pm b_{1,1}b_{2,2}\ldots b_{n,n}. \] **Editorial note: Printed $b_{n,n}$ as the last diagonal term; the bases here have $s$ members and the coefficients run to $b_{s,k}$, so $b_{s,s}$ is expected. An apparent misprint.

5. Ist $\mathfrak{m}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier Moduln $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ und $\nu$ eine beliebige Function in $\Omega$, so ist, wie sich aus der Definition ohne Schwierigkeit ergiebt, $\nu\mathfrak{m}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\nu\mathfrak{a}$ und $\nu\mathfrak{b}$. Ist $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 0$, so ist auch $(\nu\mathfrak{b}, \nu\mathfrak{a}) = 0$. Ist aber $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ und $\nu$ von Null verschieden, so ergiebt sich \[ (\nu\mathfrak{b}, \nu\mathfrak{a}) = (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}), \] wenn man in 3. die Basis-Functionen $\mu_{\iota}$, $\beta_{\iota}$ von $\mathfrak{m}$ und $\mathfrak{b}$ durch $\nu\mu_{\iota}$, $\nu\beta_{\iota}$ ersetzt.

§ 7. Die Ideale in $\mathfrak{o}$.

Ein System $\mathfrak{a}$ von ganzen Functionen von $z$ im Körper $\Omega$ heisst ein Ideal, wenn es die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:

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I. Summe und Differenz je zweier Functionen in $\mathfrak{a}$ ergeben wieder eine Function in $\mathfrak{a}$.

II. Das Product einer jeden Function in $\mathfrak{a}$ mit einer jeden Function in $\mathfrak{o}$ (§ 3) ist wieder eine Function in $\mathfrak{a}$.

Jedes Ideal ist also zugleich ein Modul und alle für die Moduln erklärten Begriffe und Bezeichnungen können auf die Ideale angewandt werden.

Der Modul $\mathfrak{o}$ (das System aller ganzen Functionen von $z$) ist selbst ein Ideal, und jedes Ideal ist durch $\mathfrak{o}$ theilbar. Ebenso ist, wenn $\mu$ eine beliebige von Null verschiedene Function in $\mathfrak{o}$ bedeutet, der Modul $\mathfrak{o}\mu$ (das System aller durch $\mu$ theilbaren ganzen Functionen) ein Ideal. Ein solches Ideal soll ein Hauptideal genannt werden. Ist $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ eine Basis von $\mathfrak{o}$, so ist \[ \mathfrak{o}\mu = [\omega_{1}\mu, \omega_{2}\mu, \ldots \omega_{n}\mu] \] und $\mathfrak{o}\mu$ ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{o}$ und $\mathfrak{o}\mu$. Daher ist nach § 6, 4. und nach der Definition (4.) in § 2: \[ (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\mu) = \text{const.}\,N(\mu) \tag{1.} \] und mithin von Null verschieden.

Ist $\mathfrak{a}$ irgend ein Ideal und $\alpha$ eine beliebige Function in $\mathfrak{a}$, so ist (wegen II.) das Hauptideal $\mathfrak{o}\alpha$ theilbar durch $\mathfrak{a}$, und mithin nach § 6, 2.: \[ (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\alpha) = (\mathfrak{o}, \mathfrak{a})(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha), \tag{2.} \] mithin auch $(\mathfrak{o}, \mathfrak{a})$ von Null verschieden. Da nun wieder $\mathfrak{a}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{o}$ ist, so besitzt $\mathfrak{a}$ nach § 6, 3. eine irreductible Basis, welche aus $n$ ganzen Functionen $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ besteht, die demnach auch eine Basis des Körpers $\Omega$ bilden.

Die Norm von $\mathfrak{a}$ in Bezug auf $\mathfrak{o}$, d. h. die ganze rationale Function $(\mathfrak{o}, \mathfrak{a})$ von $z$ soll die Norm des Ideals $\mathfrak{a}$ genannt und mit $N(\mathfrak{a})$ bezeichnet werden. Der Grad dieser ganzen rationalen Function heisst zugleich der Grad des Ideals $\mathfrak{a}$.

Ist \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}], \quad \mathfrak{o} = [\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}] \] und \[ \begin{aligned} \alpha_{1} &= a_{1,1}\omega_{1} + a_{2,1}\omega_{2} + \cdots + a_{n,1}\omega_{n}, \\ \alpha_{2} &= a_{1,2}\omega_{1} + a_{2,2}\omega_{2} + \cdots + a_{n,2}\omega_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \alpha_{n} &= a_{1,n}\omega_{1} + a_{2,n}\omega_{2} + \cdots + a_{n,n}\omega_{n} \end{aligned} \]

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mit ganzen rationalen Coefficienten $a_{\iota,\varkappa}$, so ergiebt sich aus § 6, 4.: \[ N(\mathfrak{a}) = \text{const.}\,\Sigma \pm a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{n,n}. \tag{3.} \] Da jede Function in $\mathfrak{o}$, also auch die Function „1“ durch Multiplication mit $N(\mathfrak{a})$ in eine Function des Ideals $\mathfrak{a}$ verwandelt wird, so ist $N(\mathfrak{a})$ stets eine Function in $\mathfrak{a}$.

Die Norm des Ideals $\mathfrak{o}$ ist gleich 1 und umgekehrt ist $\mathfrak{o}$ das einzige Ideal, welches diese Eigenschaft hat. Auch ist $\mathfrak{o}$ das einzige Ideal, welches die Function „1“ (oder eine Constante) enthält.

Ist $\alpha$ eine Function in $\mathfrak{a}$, so folgt aus (1.), (2.), (3.): \[ N(\alpha) = \text{const.}\,N(\mathfrak{a})(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha), \tag{4.} \] d. h. die Norm einer jeden in $\mathfrak{a}$ enthaltenen Function ist durch die Norm von $\mathfrak{a}$ theilbar.

Für die Congruenzen in Bezug auf einen Idealmodul gilt der folgende Satz, welcher die Ideale wesentlich von den allgemeinen Moduln unterscheidet.

Sind $\mu$, $\mu_{1}$, $\nu$, $\nu_{1}$ Functionen in $\mathfrak{o}$, welche den Congruenzen genügen \[ \mu \equiv \mu_{1}, \quad \nu \equiv \nu_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] so ist auch \[ \mu\nu \equiv \mu_{1}\nu_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \]

§ 8. Multiplication und Theilung der Ideale.

Aus den Grundeigenschaften I., II. der Ideale und aus den Begriffsbestimmungen in § 4 ergiebt sich zunächst:

1. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, der grösste gemeinschaftliche Theiler, das Product von zwei (und also auch von beliebig vielen) Idealen sind selbst Ideale. Ebenso ist, wenn $\nu$ eine Function in $\mathfrak{o}$, $\mathfrak{a}$ ein Ideal ist, das Product $\mathfrak{a}\nu$ ein Ideal.

2. Das Product aus mehreren Idealen ist durch jeden seiner Factoren theilbar, und es ist für jedes Ideal $\mathfrak{a}$ \[ \mathfrak{a}\mathfrak{o} = \mathfrak{a}; \] denn nach I., II. ist jede Function in $\mathfrak{a}\mathfrak{o}$ zugleich eine Function in $\mathfrak{a}$, und, da $\mathfrak{o}$ die Function „1“ enthält, auch umgekehrt jede Function in $\mathfrak{a}$ zugleich eine Function in $\mathfrak{a}\mathfrak{o}$.

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3. Ein Hauptideal $\mathfrak{o}\mu$ ist dann und nur dann theilbar durch ein Hauptideal $\mathfrak{o}\nu$, wenn die ganze Function $\mu$ theilbar ist durch die ganze Function $\nu$.

Wir fügen noch folgende Definitionen hinzu:

4. Definition. Eine Function $\alpha$ in $\mathfrak{o}$ soll durch das Ideal $\mathfrak{a}$ theilbar heissen, wenn das Hauptideal $\mathfrak{o}\alpha$ durch $\mathfrak{a}$ theilbar, oder, was dasselbe sagt, wenn $\alpha$ eine Function in $\mathfrak{a}$ ist.

5. Definition. Zwei Ideale $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ heissen relativ prim, wenn ihr grösster gemeinschaftlicher Theiler $\mathfrak{o}$ ist. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass in $\mathfrak{a}$ eine Function $\alpha$, in $\mathfrak{b}$ eine Function $\beta$ existirt der Art, dass \[ \alpha + \beta = 1, \] oder, anders ausgedrückt, dass in $\mathfrak{a}$ eine der Congruenz $\alpha \equiv 1 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b})$ oder in $\mathfrak{b}$ eine der Congruenz $\beta \equiv 1 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$ genügende Function existirt.

6. Definition. Ein von $\mathfrak{o}$ verschiedenes Ideal $\mathfrak{p}$ heisst ein Primideal, wenn kein anderes Ideal ausser $\mathfrak{p}$ und $\mathfrak{o}$ in $\mathfrak{p}$ aufgeht.

Auf Grund dieser Definitionen ergeben sich nun die folgenden Sätze über die Theilbarkeit der Ideale.

7. Sind $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ zwei Ideale mit dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen $\mathfrak{m}$ und dem grössten gemeinschaftlichen Theiler $\mathfrak{d}$, so folgt aus § 6, 1., 2. \[ \begin{aligned} N(\mathfrak{m}) &= N(\mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{m}) = N(\mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}), \\ N(\mathfrak{a}) &= N(\mathfrak{d})(\mathfrak{d}, \mathfrak{a}) = N(\mathfrak{d})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}), \end{aligned} \] folglich $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ von Null verschieden und \[ N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{m})N(\mathfrak{d}). \]

8. Ist das Ideal $\mathfrak{a}$ theilbar durch das Ideal $\mathfrak{b}$, so ist, nach § 6, 2. \[ N(\mathfrak{a}) = (\mathfrak{b}, \mathfrak{a})N(\mathfrak{b}), \] also $N(\mathfrak{a})$ theilbar durch $N(\mathfrak{b})$.

Ist ins Besondere $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 1$, so ist auch $\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{a}$, und es folgt:

9. Ist $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{b}$ und ist zugleich $N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{b})$, so ist $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$, d. h. beide Ideale sind identisch.

10. Ist $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{a}_{1}$, $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{b}_{1}$, so ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{a}_{1}\mathfrak{b}_{1}$ (§ 4, 7.).

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11. Ist ein Ideal $\mathfrak{a}$ theilbar durch ein Hauptideal $\mathfrak{o}\mu$, so sind alle Functionen in $\mathfrak{a}$ von der Form $\beta\mu$, und der Inbegriff der Functionen $\beta$ ist wieder ein Ideal $\mathfrak{b}$, so dass man setzen kann \[ \mathfrak{a} = \mu\mathfrak{b}. \]

12. Ist $\mu$ eine beliebige von Null verschiedene Function in $\mathfrak{o}$ und das Ideal $\mathfrak{a}\mu$ theilbar durch das Ideal $\mathfrak{b}\mu$, so ist $\mathfrak{a}$ theilbar durch $\mathfrak{b}$, und aus $\mathfrak{a}\mu = \mathfrak{b}\mu$ folgt $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$.

13. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier Ideale $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{o}\nu$, davon eines ein Hauptideal ist, hat nach 11. die Form $\mathfrak{r}\nu$, worin $\mathfrak{r}$ ein Ideal ist. Da andererseits $\mathfrak{a}\nu$ ein gemeinschaftliches Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{o}\nu$, also durch $\mathfrak{r}\nu$ theilbar ist, so ist nach 12. $\mathfrak{r}$ ein Theiler von $\mathfrak{a}$.

14. Ist $\mathfrak{a}$ ein Ideal, $\nu$ eine Function in $\mathfrak{o}$, so ist nach § 6, 2., 5.: \[ (\mathfrak{o}, \mathfrak{a}\nu) = (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\nu)(\mathfrak{o}\nu, \mathfrak{a}\nu) = (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\nu)(\mathfrak{o}, \mathfrak{a}), \] also \[ N(\mathfrak{a}\nu) = \text{const.}\,N(\mathfrak{a})N(\nu). \] Ist also $\mathfrak{r}\nu$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, $\mathfrak{d}$ der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Ideale $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{o}\nu$, so ergiebt sich aus 7. \[ N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{r})N(\mathfrak{d}). \]

15. Jedes von $\mathfrak{o}$ verschiedene Ideal $\mathfrak{a}$ ist durch ein Primideal $\mathfrak{p}$ theilbar.

Ist nämlich $\mathfrak{a}$ kein Primideal, so hat es mindestens einen von $\mathfrak{o}$ verschiedenen echten Theiler, und von diesen sei $\mathfrak{p}$ ein solcher, dessen Norm von möglichst niedrigem Grade ist. Dieser kann keinen von $\mathfrak{o}$ verschiedenen echten Theiler $\mathfrak{p}'$ haben, denn es wäre auch $\mathfrak{p}'$ ein Theiler von $\mathfrak{a}$ und zugleich (nach 8.) $N(\mathfrak{p}')$ von niedrigerem Grade als $N(\mathfrak{p})$. Dies widerspricht der Voraussetzung über $\mathfrak{p}$, und folglich ist $\mathfrak{p}$ ein Primideal.

16. Ist $\mathfrak{a}$ relativ prim zu $\mathfrak{b}$, so ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$, und folglich ist jedes durch $\mathfrak{a}$ und durch $\mathfrak{b}$ theilbare Ideal auch durch das Product $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ theilbar.

Denn nach Voraussetzung giebt es in $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ zwei Functionen $\alpha_{1}$, $\beta_{1}$ der Art, dass \[ \alpha_{1} + \beta_{1} = 1 \] ist (5.). Ist andererseits $\alpha = \beta$ eine Function des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen $\mathfrak{m}$ von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$, so ist hiernach \[ \alpha = \beta = \alpha_{1}\beta + \alpha\beta_{1}, \]

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also eine Function in $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$. Es ist demnach $\mathfrak{m}$ theilbar durch $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$, und da umgekehrt (zufolge 2.) $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{m}$ theilbar ist, so ist $\mathfrak{m}$ mit $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ identisch, und aus 7. folgt noch für diesen Fall \[ N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}). \]

17. Ist $\mathfrak{a}$ ein beliebiges Ideal, $\mathfrak{p}$ ein Primideal, so ist entweder $\mathfrak{a}$ durch $\mathfrak{p}$ theilbar oder $\mathfrak{a}$ relativ prim zu $\mathfrak{p}$; denn da $\mathfrak{p}$ keinen anderen Theiler hat als $\mathfrak{o}$ und $\mathfrak{p}$, so kann auch der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{p}$ kein anderer sein als $\mathfrak{o}$ oder $\mathfrak{p}$.

18. Ist $\mathfrak{a}$ relativ prim zu $\mathfrak{b}$ und zu $\mathfrak{c}$, so ist $\mathfrak{a}$ auch relativ prim zu $\mathfrak{b}\mathfrak{c}$.

Nach Voraussetzung (5.) giebt es in $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{c}$ zwei den Congruenzen \[ \beta \equiv 1, \quad \gamma \equiv 1 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] genügende Functionen, folglich nach § 7 \[ \beta\gamma \equiv 1 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \] Da $\beta\gamma$ in $\mathfrak{b}\mathfrak{c}$ enthalten ist, so ist hiermit die Behauptung erwiesen.

Es folgt hieraus noch, dass, falls das Product $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ durch ein Primideal theilbar ist, wenigstens einer der beiden Factoren $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{p}$ theilbar sein muss, und, auf Hauptideale angewandt, dass, wenn das Product zweier ganzen Functionen, $\mu\nu$, in $\mathfrak{p}$ enthalten ist, wenigstens der eine der beiden Factoren $\mu$, $\nu$ in $\mathfrak{p}$ enthalten sein muss.

19. Ist $\mathfrak{a}$ relativ prim zu $\mathfrak{c}$ und $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{c}$ theilbar, so ist $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{c}$ theilbar. Nach Voraussetzung giebt es in $\mathfrak{a}$ eine Function $\alpha$, welche der Congruenz genügt \[ \alpha \equiv 1 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{c}). \] Ist nun $\beta$ eine beliebige Function in $\mathfrak{b}$, so ist hiernach \[ \beta \equiv \alpha\beta \quad \text{und nach Vor.} \quad \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{c}), \] folglich $\beta$ in $\mathfrak{c}$ enthalten, also $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{c}$ theilbar.

§ 9. Gesetze der Theilbarkeit der Ideale.

Alle diese Sätze, die sich meist unmittelbar aus der Definition der Ideale ergaben, reichen nicht aus, um die vollständige Analogie zu beweisen, die zwischen den Gesetzen der Theilbarkeit der Ideale und denen der ganzen rationalen Functionen herrscht. Wir stützen uns bei diesem Beweis auf folgenden Satz:

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1. Ist $\mathfrak{a}$ ein Ideal und $k$ eine beliebige ganze rationale Function von $z$, so lässt sich in $\mathfrak{a}$ eine Function $\alpha$ so auswählen, dass $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)$ mit $k$ keinen Theiler gemeinschaftlich hat${}^{*)}$.

Ist nämlich \[ \begin{aligned} \mathfrak{a} &= [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}], \\ \mathfrak{o} &= [\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}], \end{aligned} \] und $\alpha$ eine beliebige Function in $\mathfrak{a}$, so lassen sich die ganzen rationalen Functionen $x_{h,k}$ so bestimmen, dass \[ \begin{aligned} \alpha\omega_{1} &= x_{1,1}\alpha_{1} + x_{2,1}\alpha_{2} + \cdots + x_{n,1}\alpha_{n}, \\ \alpha\omega_{2} &= x_{1,2}\alpha_{1} + x_{2,2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n,2}\alpha_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \alpha\omega_{n} &= x_{1,n}\alpha_{1} + x_{2,n}\alpha_{2} + \cdots + x_{n,n}\alpha_{n}, \end{aligned} \] und es ist (§ 6, 4.) \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha) = \text{const.}\,\Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n}. \] Ist nun $\Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n}$ durch einen Linearfactor $z-c$ von $k$ theilbar, so lässt sich eine nicht durch $z-c$ theilbare Function $\omega$ in $\mathfrak{o}$ und eine Function $\alpha'$ in $\mathfrak{a}$ so bestimmen, dass \[ \alpha\omega = (z-c)\alpha'{}^{**)}. \] Setzt man nun, indem man unter $t$ eine unbestimmte Constante versteht: \[ t(z-c) - \omega = \omega', \] so ist \[ N(\omega') = t^{n}(z-c)^{n} + a_{1}t^{n-1}(z-c)^{n-1} + \cdots + a_{n-1}t(z-c) + a_{n}, \] worin die von $t$ unabhängigen Coefficienten $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind. Es kann nun nicht zugleich $a_{1}$ durch $z-c$, $a_{2}$ durch $(z-c)^{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ durch $(z-c)^{n}$ theilbar sein, weil sonst gegen die Voraussetzung $\dfrac{\omega}{z-c}$ eine ganze Function wäre (§ 2, 5., § 3, 4.). Daher lassen sich nicht

*) Die Möglichkeit, diesen Satz schon an dieser Stelle zu beweisen, unterscheidet wesentlich die Theorie der algebraischen Functionen von der der algebraischen Zahlen und gestattet bei ersterer eine nicht unerhebliche Vereinfachung im Vergleich mit letzterer.

**) Wenn nämlich die Determinante $\Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n}$ durch $z-c$ theilbar ist, d. h. für $z = c$ verschwindet, so kann man ein System von Constanten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$, die nicht sämmtlich verschwinden, so bestimmen, dass die ganzen rationalen Functionen \[ c_{1}x_{k,1} + c_{2}x_{k,2} + \cdots + c_{k}x_{k,n} \qquad {\scriptstyle (k = 1,\, 2\, \ldots\, n)} \] ††Editorial note: Printed $c_{k}x_{k,n}$ as the last term; the sum runs over $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$, so $c_{n}x_{k,n}$ is expected. An apparent misprint. für $z = c$ verschwinden, also durch $z-c$ theilbar sind, und es ist dann \[ \omega = c_{1}\omega_{1} + c_{2}\omega_{2} + \cdots + c_{n}\omega_{n} \] zu setzen.

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alle Glieder von $N(\omega')$ durch $(z-c)^{n}$ theilen, und wenn also $(z-c)^{n-r}$ die höchste Potenz von $z-c$ ist, durch welche dieselben theilbar sind, so ist $r \geqslant 0$ und \[ \frac{N(\omega')}{(z-c)^{n-r}} = t^{n}(z-c)^{r} + b_{1}t^{n-1} + \cdots + b_{n-1}t + b_{n} = f(t), \] worin die ganzen rationalen Functionen $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ nicht alle für $z = c$ verschwinden. Es giebt daher nur eine endliche Anzahl von constanten Werthen $t$, für welche $f(t)$ durch $z-c$ theilbar ist. Ist $z-c'$ ein von $z-c$ verschiedener Linearfactor von $k$, so wird $f(t)$ auch nur für eine endliche Anzahl von Werthen $t$ durch $z-c'$ theilbar. Daraus folgt, dass man über $t$ so verfügen kann, dass $N(\omega')$ nicht durch $(z-c)^{n}$ und zugleich durch keinen andern Linearfactor von $k$ theilbar wird${}^{*)}$. Setzt man, wenn dies geschehen, \[ t\alpha - \alpha' = \alpha'', \] welches ebenfalls eine Function in $\mathfrak{a}$ ist, so folgt \[ \begin{aligned} \alpha\omega' &= (z-c)\alpha'', \\ N(\alpha'') &= \frac{N(\alpha)N(\omega')}{(z-c)^{n}} \end{aligned} \] und mithin, da nach § 7, (4.) \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha) = \text{const.}\,\frac{N(\alpha)}{N(\mathfrak{a})} \] ist: \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha'') = \text{const.}\,\frac{(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)N(\omega')}{(z-c)^{n}}. \] Die Function $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha'')$ enthält daher den Factor $z-c$ mindestens einmal weniger als $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)$, während sie zugleich keinen anderen Linearfactor von $k$ öfter enthält als $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)$. Durch wiederholte Anwendung dieses Verfahrens ergiebt sich die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes.

2. Jedes Ideal $\mathfrak{a}$ kann als grösster gemeinschaftlicher Theiler zweier Hauptideale $\mathfrak{o}\mu$, $\mathfrak{o}\nu$ dargestellt werden, von denen das eine ganz beliebig, nur theilbar durch $\mathfrak{a}$, angenommen werden kann.

Beweis. Man wähle nach Belieben in $\mathfrak{a}$ eine von Null verschiedene Function $\nu$, und eine zweite Function $\mu$ der Art, dass die beiden Functionen $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)$ und $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$ keinen gemeinschaftlichen Theiler haben (nach 1). Ist nun $\alpha$ eine beliebige Function in $\mathfrak{a}$, so ist nach § 6 $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)\alpha$ in $\mathfrak{o}\mu$, $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)\alpha$ in $\mathfrak{o}\nu$ enthalten, so dass es zwei Functionen $\omega$, $\omega'$ in $\mathfrak{o}$ giebt, für welche \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)\alpha = \mu\omega, \quad (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)\alpha = \nu\omega'. \]

*) Diese Schlüsse gelten in der analogen Frage der Zahlentheorie nicht mehr.

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Wählt man daher, was nach der Voraussetzung über $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$, $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)$ möglich ist, zwei ganze rationale Functionen $g$, $h$ von $z$, welche der Bedingung genügen \[ g(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu) + h(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu) = 1, \] so folgt \[ \alpha = g\mu\omega + h\nu\omega', \] d. h. $\mathfrak{a}$ ist theilbar durch den grössten gemeinschaftlichen Theiler von $\mathfrak{o}\mu$ und $\mathfrak{o}\nu$. Und da letzterer umgekehrt durch $\mathfrak{a}$ theilbar ist (weil $\mathfrak{o}\mu$ und $\mathfrak{o}\nu$ durch $\mathfrak{a}$ theilbar sind), so ist er gleich $\mathfrak{a}$, w. z. b. w.

3. Jedes Ideal $\mathfrak{a}$ kann durch Multiplication mit einem Ideal $\mathfrak{m}$ in ein Hauptideal $\mathfrak{o}\mu = \mathfrak{a}\mathfrak{m}$ verwandelt werden.

Beweis. Man wähle (nach 1.) in $\mathfrak{a}$ eine Function $\mu$ so, dass $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$ keinen Theiler mit $N(\mathfrak{a})$ gemein hat, hierauf eine zweite Function $\nu$ so, dass $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)$ mit $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$ keinen Theiler gemein hat. Dann ist (nach 2.) $\mathfrak{a}$ der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{o}\mu$ und $\mathfrak{o}\nu$. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{o}\mu$ und $\mathfrak{o}\nu$ ist (nach § 8, 13) von der Form $\mathfrak{m}\nu$, worin $\mathfrak{m}$ ein Theiler von $\mathfrak{o}\mu$ ist. Nach § 8, 14 ist alsdann \[ N(\mathfrak{m}) = \frac{N(\mathfrak{o}\mu)}{N(\mathfrak{a})} = (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu), \] also, nach Voraussetzung, ohne gemeinschaftlichen Theiler mit $N(\mathfrak{a})$. Bestimmt man also wieder zwei ganze rationale Functionen $g$, $h$ von $z$, so dass \[ gN(\mathfrak{m}) + hN(\mathfrak{a}) = 1, \] so folgt aus § 8, 5, da $N(\mathfrak{m})$ in $\mathfrak{m}$, $N(\mathfrak{a})$ in $\mathfrak{a}$ enthalten ist, dass $\mathfrak{m}$ und $\mathfrak{a}$ relative Primideale sind, und daraus, nach § 8, 16. \[ N(\mathfrak{m}\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{m})N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{o}\mu). \] Da nun $\mathfrak{o}\mu$ durch $\mathfrak{m}$ und durch $\mathfrak{a}$, also auch durch $\mathfrak{m}\mathfrak{a}$ theilbar ist (§ 8, 16.), so ist nach § 8, 9. \[ \mathfrak{m}\mathfrak{a} = \mathfrak{o}\mu, \] w. z. b. w.${}^{*)}$

4. Ist ein Ideal $\mathfrak{c}$ theilbar durch ein Ideal $\mathfrak{a}$, so giebt es ein und nur ein Ideal $\mathfrak{b}$, welches der Bedingung \[ \mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{c} \] genügt, welches der Quotient von $\mathfrak{c}$ durch $\mathfrak{a}$ heisst.

*) Man kann das Ideal $\mathfrak{m}$ zugleich so wählen, dass es relativ prim zu einem beliebigen Ideal $\mathfrak{b}$ wird. Dies wird erreicht, wenn man die Function $\mu$ so annimmt, dass $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu) = N(\mathfrak{m})$ keinen Theiler mit $N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})$ gemein hat (§ 8, 8.).

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Ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{a}\mathfrak{b}'$, so ist $\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{b}'$, und aus $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}'$ folgt $\mathfrak{b} = \mathfrak{b}'$.

Beweis. Es sei $\mathfrak{c}$ theilbar durch $\mathfrak{a}$ und (nach 3.) $\mathfrak{a}\mathfrak{m} = \mathfrak{o}\mu$. Es ist alsdann auch $\mathfrak{c}\mathfrak{m}$ theilbar durch $\mathfrak{a}\mathfrak{m} = \mathfrak{o}\mu$ und folglich $\mathfrak{c}\mathfrak{m} = \mathfrak{b}\mu$ (§ 8, 10., 11.); also, durch Multiplication der letzten Gleichung mit $\mathfrak{a}$, \[ \mathfrak{c}\mu = \mathfrak{a}\mathfrak{b}\mu \] und nach § 8, 12. \[ \mathfrak{c} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}, \] womit der erste Theil des Satzes bewiesen ist${}^{*)}$.

Ist ferner $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mathfrak{a}\mathfrak{b}'$, so ist (§ 8, 10.) $\mu\mathfrak{b}$ theilbar durch $\mu\mathfrak{b}'$, also $\mathfrak{b}$ durch $\mathfrak{b}'$. — Ist $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}'$, so folgt $\mu\mathfrak{b} = \mu\mathfrak{b}'$ und mithin $\mathfrak{b} = \mathfrak{b}'$ (§ 8, 12.).

5. Jedes von $\mathfrak{o}$ verschiedene Ideal ist entweder ein Primideal, oder es lässt sich, und nur auf eine Weise, als Product von lauter Primidealen darstellen.

Beweis. Ist das Ideal $\mathfrak{a}$ von $\mathfrak{o}$ verschieden, so ist es (§ 8, 15.) durch ein Primideal $\mathfrak{p}_{1}$ theilbar, und folglich (nach 4.) $= \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{a}_{1}$, worin $\mathfrak{a}_{1}$ ein echter Theiler von $\mathfrak{a}$ ist (denn aus $\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{a}$ würde nach 4. folgen $\mathfrak{p}_{1} = \mathfrak{o}$). Es ist also der Grad von $N(\mathfrak{a}_{1})$ niedriger als der von $N(\mathfrak{a})$. Ist $\mathfrak{a}_{1}$ von $\mathfrak{o}$ verschieden, so schliesst man ebenso, dass $\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{p}_{2}\mathfrak{a}_{2}$ sein muss, wobei der Grad von $N(\mathfrak{a}_{2})$ wieder niedriger ist als der von $N(\mathfrak{a}_{1})$. Fährt man auf diese Weise fort, so gelangt man schliesslich nach einer endlichen Anzahl von Zerlegungen zu einem Ideal $\mathfrak{a}_{r-1} = \mathfrak{p}_{r}\mathfrak{a}_{r}$ der Art, dass $N(\mathfrak{a}_{r}) = 1$, also $\mathfrak{a}_{r} = \mathfrak{o}$ ist. Es ist daher \[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots\mathfrak{p}_{r}. \] Wäre eine solche Zerlegung auf eine zweite Art möglich, etwa \[ \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots\mathfrak{p}_{r} = \mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}\ldots\mathfrak{q}_{s}, \] so müsste (§ 8, 18.) von den Primidealen $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots \mathfrak{p}_{r}$ mindestens eines, etwa $\mathfrak{p}_{1}$ durch $\mathfrak{q}_{1}$ theilbar und also $= \mathfrak{q}_{1}$ sein, also nach 4. \[ \mathfrak{p}_{2}\mathfrak{p}_{3}\ldots\mathfrak{p}_{r} = \mathfrak{q}_{2}\mathfrak{q}_{3}\ldots\mathfrak{q}_{s}. \] Hieraus schliesst man ebenso $\mathfrak{p}_{2} = \mathfrak{q}_{2}$ u. s. f.

Fasst man in der so gewonnenen Zerlegung die einander gleichen Primideale zu Potenzen zusammen, so kann man setzen \[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{e_{r}}. \]

*) Diese Definition des Quotienten zweier Ideale stimmt mit der in § 4, 8. gegebenen völlig überein.

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Irgend ein Theiler $\mathfrak{a}_{\iota}$ von $\mathfrak{a}$ kann dann durch kein von $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots \mathfrak{p}_{r}$ verschiedenes Primideal und durch keines öfter als $\mathfrak{a}$ theilbar sein. Man erhält also die sämmtlichen Divisoren von $\mathfrak{a}$, deren Anzahl endlich und $= (e_{1}+1)(e_{2}+1)\ldots(e_{r}+1)$ ist, wenn man in \[ \mathfrak{p}_{1}^{h_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{h_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{h_{r}} \] die Exponenten $h_{\iota}$ die Reihe der Zahlen $0, 1, 2, \ldots e_{\iota}$ durchlaufen lässt (wobei unter $\mathfrak{p}^{0}$ das Ideal $\mathfrak{o}$ zu verstehen ist). Sind $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ zwei Ideale \[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{e_{r}}; \quad \mathfrak{b} = \mathfrak{p}_{1}^{f_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{f_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{f_{r}} \] (worin die Exponenten $e$, $f$ auch zum Theil Null sein können), so erhält man den grössten gemeinschaftlichen Theiler und das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{b}$ in der Form \[ \mathfrak{p}_{1}^{g_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{g_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{g_{r}}, \] wenn man für $g_{1}, g_{2}, \ldots g_{r}$ für ersteren die kleinsten, für letzteres die grössten unter den Zahlen $e_{1}, f_{1}; e_{2}, f_{2}; \ldots e_{r}, f_{r}$ nimmt.

6. Sind $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ irgend zwei Ideale, so ist allgemein \[ N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}). \]

Beweis. Es sei, wie in 5., $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{a}_{1}$, so giebt es, weil $\mathfrak{a}_{1}$ ein echter Theiler von $\mathfrak{a}$ ist, in $\mathfrak{a}_{1}$ eine durch $\mathfrak{a}$ nicht theilbare Function $\eta$. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache und der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{o}\eta$ sind bezw. $\mathfrak{p}_{1}\eta$ und $\mathfrak{a}_{1}$, wie sich (nach 5.) sofort aus der Zerlegung von $\mathfrak{a}$ und $\mathfrak{o}\eta$ in ihre Primfactoren ergiebt. Hieraus folgt aber nach § 8, 14. \[ N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{p}_{1})N(\mathfrak{a}_{1}). \] Durch Wiederholung desselben Schlusses für $\mathfrak{a}_{1}$ u. s. f. ergiebt sich, wenn $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots\mathfrak{p}_{r}$ ist: \[ N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{p}_{1})N(\mathfrak{p}_{2})\ldots N(\mathfrak{p}_{r}) \] und daraus \[ N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}). \]

7. Jedes Primideal ist ein Ideal ersten Grades (§ 7) und umgekehrt, jedes Ideal ersten Grades ist ein Primideal${}^{*)}$.

Beweis. Ist $\mathfrak{p}$ ein Primideal, so ist $N(\mathfrak{p})$ durch $\mathfrak{p}$ theilbar, und daher wenigstens einer der Linearfactoren von $N(\mathfrak{p})$, etwa $z-c$, durch $\mathfrak{p}$ theilbar

*) Durch diesen Satz unterscheidet sich die Theorie der algebraischen Functionen wesentlich von der analogen Theorie der algebraischen Zahlen.

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(§ 8, 18.). Ist $\omega$ eine beliebige Function in $\mathfrak{o}$, welche der Gleichung genügt: \[ \omega^{n} + a_{1}\omega^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\omega + a_{n} = 0, \] so erhält man daraus, indem man die ganzen rationalen Functionen $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ auf ihre constanten Reste $a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, \ldots a_{n}^{(0)}$ nach $z-c$ reducirt, und die ganze Function \[ \omega^{n} + a_{1}^{(0)}\omega^{n-1} + \cdots + a_{n-1}^{(0)}\omega + a_{n}^{(0)} \] in ihre Linearfactoren $(\omega-b_{1}), (\omega-b_{2}), \ldots (\omega-b_{n})$ zerlegt: \[ (\omega-b_{1})(\omega-b_{2})\ldots(\omega-b_{n}) = (z-c)\omega' \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}). \]

Es muss also wenigstens einer der Factoren $\omega-b_{1}, \omega-b_{2}, \ldots$ durch $\mathfrak{p}$ theilbar sein, d. h. es ist \[ \omega \equiv b \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}), \] worin $b$ eine Constante bedeutet. Da hiernach jede Function in $\mathfrak{o}$ congruent einer Constanten ist $(\text{mod.}\,\mathfrak{p})$, so ist nach § 6 $(\mathfrak{o}, \mathfrak{p}) = N(\mathfrak{p}) = z-c$ eine lineare Function von $z$, wodurch der erste Theil der Behauptung erwiesen ist.

Umgekehrt: ist $\mathfrak{q}$ ein Ideal ersten Grades, und \[ N(\mathfrak{q}) = z-c, \] so ist $\mathfrak{q}$ gewiss durch ein Primideal $\mathfrak{p}$ theilbar, und da $N(\mathfrak{q})$ durch $N(\mathfrak{p})$ theilbar ist, so ist $N(\mathfrak{p}) = N(\mathfrak{q}) = z-c$, also (§ 8, 9.) \[ \mathfrak{p} = \mathfrak{q}. \]

Es ergiebt sich hieraus, dass der Grad eines Ideals gleich ist der Anzahl der Primfactoren, in welche sich dasselbe zerlegen lässt. Ist daher \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}\ldots, \] so ist \[ e_{1} + e_{2} + e_{3} + \cdots = n. \] Es folgt ferner noch, dass eine ganze rationale Function von $z$ dann und nur dann durch ein Primideal $\mathfrak{p}$ theilbar ist, wenn sie durch die Norm von $\mathfrak{p}$ theilbar ist.

§ 10. Die complementären Basen des Körpers $\Omega$.

1. Definition. Bilden die Functionen $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ eine Basis von $\Omega$, und setzt man zur Abkürzung \[ \begin{gathered} S(\alpha_{r}\alpha_{s}) = a_{r,s} = a_{s,r}, \\ \Delta(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}) = \Sigma \pm a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{n,n} = a \quad (\text{§~2}), \end{gathered} \]

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so lässt sich, da $a$ von Null verschieden ist, ein ganz bestimmtes Functionensystem $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$ aus den linearen Gleichungen bestimmen \[ \alpha_{r} = \overset{\iota}{\underset{1,n}{\Sigma}} a_{r,\iota}\alpha'_{\iota}, \tag{1.} \] und da \[ \Delta(\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}) = \frac{1}{a} \] von Null verschieden ist, so bilden die Functionen $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$ ebenfalls eine Basis von $\Omega$. Diese soll die zu $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ complementäre Basis heissen.

2. Bezeichnet man, wenn die Indices $r$, $s$ der Zahlenreihe $1, 2, \ldots n$ angehören, mit $(r, s)$ die Zahl 1 oder 0, je nachdem $r$, $s$ gleich oder verschieden sind, so ist \[ S(\alpha_{r}\alpha'_{s}) = (r, s), \tag{2.} \] denn durch Auflösung der Gleichungen (1.) folgt \[ \begin{gathered} \alpha'_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} a'_{\iota,s}\alpha_{\iota}; \\ a'_{r,s} = a'_{s,r}; \quad \overset{\iota}{\Sigma} a_{r,\iota}a'_{s,\iota} = (r, s), \end{gathered} \] hieraus: \[ \alpha_{r}\alpha'_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} a'_{\iota,s}\alpha_{\iota}\alpha_{r}; \quad S(\alpha_{r}\alpha'_{s}) = \overset{\iota}{\Sigma} a'_{\iota,s}a_{\iota,r} = (r, s). \] Genügt umgekehrt ein Functionensystem $\beta_{s}$ den Bedingungen $S(\alpha_{r}\beta_{s}) = (r, s)$, so ist $\beta_{s} = \alpha'_{s}$; denn setzt man $\beta_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} b_{\iota,s}\alpha'_{\iota}$, so folgt wegen (2.) \[ b_{r,s} = S(\beta_{s}\alpha_{r}) = (r, s). \] Daraus folgt unmittelbar, dass die Beziehung der $\alpha_{\iota}$ zu den $\alpha'_{\iota}$ eine gegenseitige ist, d. h. dass die Basis $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ complementär ist zu $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$.

3. Ist $\eta$ eine beliebige Function in $\Omega$, so kann man stets setzen \[ \eta = \Sigma x_{\iota}\alpha_{\iota} = \Sigma x'_{\iota}\alpha'_{\iota}, \] und durch Anwendung von (2.) folgt: \[ x_{\iota} = S(\eta\alpha'_{\iota}), \quad x' = S(\eta\alpha_{\iota}), \] ‡‡Editorial note: Printed $x'$ without a subscript; $x'_{\iota}$ is meant, as in the line above. also: \[ \eta = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\eta\alpha'_{\iota}) = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha'_{\iota}S(\eta\alpha_{\iota}). \tag{3.} \]

4. Ist $\eta$ eine beliebige von Null verschiedene Function in $\Omega$, so ist \[ \frac{\alpha'_{1}}{\eta}, \ \frac{\alpha'_{2}}{\eta}, \ \ldots \ \frac{\alpha'_{n}}{\eta} \] die zu $\eta\alpha_{1}, \eta\alpha_{2}, \ldots \eta\alpha_{n}$ complementäre Basis. Dies folgt aus 2. wegen \[ S\Bigl(\eta\alpha_{r}\cdot\frac{\alpha'_{s}}{\eta}\Bigr) = S(\alpha_{r}\alpha'_{s}) = (r, s). \]

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5. Wenn zwei Basen von $\Omega$, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ und $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{n}$ durch die $n$ Gleichungen zusammenhängen \[ \beta_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} x_{\iota,s}\alpha_{\iota} \] mit rationalen Coefficienten $x_{\iota,s}$, so hängen die zu ihnen complementären Basen zusammen durch die $n$ Gleichungen \[ \alpha'_{r} = \overset{\iota}{\Sigma} x_{r,\iota}\beta'_{\iota} \] (transponirte Substitution). Es ist dies eine unmittelbare Folge aus 3. wegen \[ x_{r,s} = S(\alpha'_{r}\beta_{s}). \]

6. Es ist \[ \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota} = 1, \] also: \[ \overset{\iota,\iota'}{\Sigma} a_{\iota,\iota'}\alpha'_{\iota}\alpha'_{\iota'} = \overset{\iota,\iota'}{\Sigma} a'_{\iota,\iota'}\alpha_{\iota}\alpha_{\iota'} = 1. \] Setzt man nämlich zunächst \[ \Sigma\alpha_{\iota}\alpha_{\iota'} = \sigma, \] §§Editorial note: Printed $\alpha_{\iota}\alpha_{\iota'}$; the argument requires $\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota}$, as in the first formula of 6. The prime appears to have been set on the subscript. so folgt aus 3. (auf die Functionen $\eta\alpha_{r}$ angewandt), \[ \eta\alpha_{r} = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\eta\alpha_{r}\alpha'_{\iota}), \] mithin, nach der Definition der Spur in § 2, (5.) \[ S(\eta) = \overset{\iota}{\Sigma} S(\eta\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota}) = S(\Sigma\eta\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota}), \] also: \[ S(\eta\sigma) = S(\eta), \] und daraus, wenn man in 3. einmal $\eta = \sigma$, dann $\eta = 1$ setzt: \[ \sigma = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\sigma\alpha'_{\iota}) = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\alpha'_{\iota}) = 1. \]

Wir gehen etwas genauer ein auf die Bildung der complementären Basen in zwei besonderen Fällen:

7. Es sei $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ eine Basis von $\mathfrak{o}$ und $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \varepsilon_{n}$ die complementäre Basis (von $\Omega$). Es sei \[ e_{r,s} = e_{s,r} = S(\omega_{r}\omega_{s}), \] welches ganze rationale Functionen sind, und \[ D = \text{const.}\,\Sigma \pm e_{1,1}e_{2,2}\ldots e_{n,n} \] die Discriminante von $\Omega$; es ist dann nach 2. \[ \varepsilon_{r} = \frac{1}{D}\overset{\iota}{\Sigma}\frac{\partial D}{\partial e_{\iota,r}}\omega_{\iota}, \]

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woraus hervorgeht, dass die Functionen $D\varepsilon_{r}$ zu den ganzen Functionen gehören. Aus 6. folgt aber ferner \[ D = \overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\frac{\partial D}{\partial e_{\iota,\iota'}}\omega_{\iota}\omega_{\iota'} \] und hieraus \[ \begin{aligned} \varepsilon_{r}\varepsilon_{s} &= \frac{1}{D^{2}}\overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\frac{\partial D}{\partial e_{r,\iota}}\frac{\partial D}{\partial e_{s,\iota'}}\omega_{\iota}\omega_{\iota'} \\ &= \frac{1}{D}\frac{\partial D}{\partial e_{r,s}} + \frac{1}{D^{2}}\overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\Bigl(\frac{\partial D}{\partial e_{r,\iota}}\frac{\partial D}{\partial e_{s,\iota'}} - \frac{\partial D}{\partial e_{r,s}}\frac{\partial D}{\partial e_{\iota,\iota'}}\Bigr)\omega_{\iota}\omega_{\iota'} \end{aligned} \] und daraus nach einem bekannten Determinantensatz: \[ \varepsilon_{r}\varepsilon_{s} = \frac{1}{D}\frac{\partial D}{\partial e_{r,s}} + \frac{1}{D}\overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\frac{\partial^{2}D}{\partial e_{r,\iota}\partial e_{s,\iota'}}\omega_{\iota}\omega_{\iota'}, \] woraus das wichtige Resultat folgt, dass auch die Functionen $D\varepsilon_{r}\varepsilon_{s}$ zu den ganzen Functionen gehören.

8. Es sei $\theta$ eine solche Function in $\Omega$, dass $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ eine Basis von $\Omega$ bilden, und es sei also \[ f(\theta) = \theta^{n} + a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\theta + a_{n} = 0 \tag{4.} \] mit rationalen Coefficienten $a$ irreductibel. Es soll die complementäre Basis zu $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ aufgesucht werden. Setzen wir, wenn $t$ eine unbestimmte Constante bedeutet, \[ \frac{f(t)}{t-\theta} = \eta_{0} + \eta_{1}t + \eta_{2}t^{2} + \cdots + \eta_{n-1}t^{n-1}, \] also: \[ \left\{ \begin{aligned} \eta_{0} &= a_{n-1} + a_{n-2}\theta + \cdots + a_{1}\theta^{n-2} + \theta^{n-1}, \\ \eta_{1} &= a_{n-2} + a_{n-3}\theta + \cdots + \theta^{n-2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{n-2} &= a_{1} + \theta, \\ \eta_{n-1} &= 1, \end{aligned} \right. \tag{5.} \] so bilden die Functionen $\eta_{0}, \eta_{1}, \ldots \eta_{n-1}$ gleichfalls eine Basis von $\Omega$, da die Determinante der Gleichungen (5.) $= (-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}$, also von Null verschieden ist. Es lässt sich daher jede Function $\zeta$ in $\Omega$ in der Form darstellen \[ \zeta = y_{0}\eta_{0} + y_{1}\eta_{1} + \cdots + y_{n-1}\eta_{n-1}. \] Die Reihe der rationalen Functionen $y_{0}, y_{1}, \ldots y_{n-1}$ setzen wir nun fort, indem wir die Functionen $y_{n}, y_{n+1}, \ldots$ durch die Recursion bestimmen \[ a_{n}y_{r} + a_{n-1}y_{r+1} + \cdots + a_{2}y_{r+n-2} + a_{1}y_{r+n-1} + y_{r+n} = 0. \tag{6.} \]

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Nun ist nach (5.) \[ \left\{ \begin{aligned} \theta\eta_{0} &= \phantom{\eta_{0}} - a_{n}\eta_{n-1}, \\ \theta\eta_{1} &= \eta_{0} - a_{n-1}\eta_{n-1}, \\ \theta\eta_{2} &= \eta_{1} - a_{n-2}\eta_{n-1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \theta\eta_{n-1} &= \eta_{n-2} - a_{1}\eta_{n-1}, \end{aligned} \right. \tag{7.} \] also \[ \zeta\theta = y_{1}\eta_{0} + y_{2}\eta_{1} + \cdots + y_{n-1}\eta_{n-2} + y_{n}\eta_{n-1}, \] und ebenso allgemein für jedes ganze positive $r$: \[ \zeta\theta^{r} = y_{r}\eta_{0} + y_{r+1}\eta_{1} + \cdots + y_{r+n-2}\eta_{n-2} + y_{r+n-1}\eta_{n-1}, \] oder, wenn man $\eta_{0}, \eta_{1}, \ldots \eta_{n-1}$ durch $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ ausdrückt: \[ \zeta\theta^{r} = x_{0}^{(r)} + x_{1}^{(r)}\theta + x_{2}^{(r)}\theta^{2} + \cdots + x_{n-1}^{(r)}\theta^{n-1}, \] worin \[ \begin{aligned} x_{0}^{(r)} &= y_{r}a_{n-1} + y_{r+1}a_{n-2} + \cdots + y_{r+n-2}a_{1} + y_{r+n-1}, \\ x_{1}^{(r)} &= y_{r}a_{n-2} + y_{r+1}a_{n-3} + \cdots + y_{r+n-2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ x_{n-2}^{(r)} &= y_{r}a_{1} + y_{r+1}, \\ x_{n-1}^{(r)} &= y_{r}. \end{aligned} \] Mithin ist (nach der Definition von $S$, § 2 (5.)) \[ \begin{aligned} S(\zeta) &= x_{0}^{(0)} + x_{1}^{(1)} + x_{2}^{(2)} + \cdots + x_{n-1}^{(n-1)} \\ &= y_{0}a_{n-1} + 2y_{1}a_{n-2} + \cdots + (n-1)y_{n-2}a_{1} + ny_{n-1}, \end{aligned} \] also, auf $\zeta = \eta_{r}$ angewandt: \[ S(\eta_{r}) = (r+1)a_{n-1-r}; \quad S(\eta_{n-1-r}) = (n-r)a_{r}, \] worin $a_{0} = 1$ zu setzen ist.

Setzt man daher zur Abkürzung \[ S(\theta^{r}) = s_{r}, \] so folgt, so lange $r \leqq n$, mittels (5.) \[ (n-r)a_{r} = a_{r}s_{0} + a_{r-1}s_{1} + \cdots + a_{1}s_{r-1} + s_{r} \tag{8.} \] und nach (4.) allgemein \[ 0 = a_{n}s_{r} + a_{n-1}s_{r+1} + \cdots + a_{1}s_{r+n-1} + s_{r+n}. \tag{9.} \] Aus diesen Formeln folgt aber ferner: \[ \left\{ \begin{aligned} f'(\theta) &= n\theta^{n-1} + (n-1)a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + 2a_{n-2}\theta + a_{n-1} \\ &= s_{0}\eta_{0} + s_{1}\eta_{1} + \cdots + s_{n-1}\eta_{n-1}, \\ \theta^{r}f'(\theta) &= s_{r}\eta_{0} + s_{r+1}\eta_{1} + \cdots + s_{r+n-2}\eta_{n-2} + s_{r+n-1}\eta_{n-1}. \end{aligned} \right. \tag{10.} \] ¶¶Editorial note: In the first line of (10.) the print sets $(n-1)a_{1}\theta^{n-1}$; the derivative requires $\theta^{n-2}$. An apparent misprint.

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Beachtet man nun den Werth der Determinante des Gleichungssystems (5.), so folgt hieraus mit Rücksicht auf die Definition der Norm und der Discriminante in § 2 (4.) und (12.) die wichtige Formel \[ Nf'(\theta) = (-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)} \begin{vmatrix} s_{0}, & s_{1}, & \ldots & s_{n-1} \\ s_{1}, & s_{2}, & \ldots & s_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ s_{n-1}, & s_{n}, & \ldots & s_{2n-2} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\Delta(1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}). \tag{11.} \] Die Gleichungen (10.) ergeben aber auch mit Rücksicht auf die Definition 1. die zu $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ complementäre Basis: \[ \frac{\eta_{0}}{f'(\theta)}, \ \frac{\eta_{1}}{f'(\theta)}, \ \ldots \ \frac{\eta_{n-1}}{f'(\theta)}. \]

9. Bedeutet $\mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}]$ einen Modul, dessen Basis zugleich eine Basis von $\Omega$ ist, so erhält man aus der zu $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ complementären Basis von $\Omega$, $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$ einen anderen Modul $\mathfrak{a}' = [\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}]$, welcher der zu $\mathfrak{a}$ complementäre Modul genannt wird. Derselbe ist, wie sich aus 5. in Verbindung mit § 4, 2. sofort ergiebt, von der Wahl der Basis von $\mathfrak{a}$ unabhängig.

10. Wir betrachten ins Besondere den zu $\mathfrak{o} = [\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}]$ complementären Modul $\mathfrak{e} = [\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \varepsilon_{n}]$. Setzen wir \[ \omega_{r}\omega_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} e_{r,s}^{(\iota)}\omega_{\iota}, \] so ist nach 3. \[ e_{r,s}^{(\iota)} = e_{s,r}^{(\iota)} = S(\omega_{r}\omega_{s}\varepsilon_{\iota}) \] eine ganze rationale Function von $z$, und es folgt: \[ \omega_{r}\varepsilon_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} e_{r,\iota}^{(s)}\varepsilon_{\iota}. \] Hieraus ergiebt sich, dass der Modul $\mathfrak{o}\mathfrak{e}$ (§ 4, 7.) theilbar ist durch $\mathfrak{e}$; andererseits ist, weil $\mathfrak{o}$ die Function 1 enthält, $\mathfrak{e}$ theilbar durch $\mathfrak{o}\mathfrak{e}$, also \[ \mathfrak{o}\mathfrak{e} = \mathfrak{e}, \] d. h. der Modul $\mathfrak{e}$, der zwar nicht bloss ganze Functionen enthält, besitzt die charakteristische Eigenschaft II. § 7 der Ideale. Dasselbe gilt in Folge dessen auch von dem Modul $\mathfrak{e}^{2}$. Da die beiden Moduln $D\mathfrak{e}$, $D\mathfrak{e}^{2}$ nach 7. nur ganze Functionen enthalten, so sind dieselben Ideale, und aus 7. ergiebt sich noch \[ N(D\mathfrak{e}) = D^{n-1}. \]

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11. Ist $\theta$ eine Function in $\mathfrak{o}$ von der Art, dass $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ eine Basis von $\Omega$ bildet, so dass in der irreductibeln Gleichung \[ f(\theta) = \theta^{n} + a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\theta + a_{n} = 0 \] die Coefficienten ganze rationale Functionen von $z$ sind, so kann man für $r = 0, 1, 2, \ldots n-1$ die ganzen rationalen Functionen $k_{\iota}^{(r)}$ so bestimmen, dass \[ \theta^{r} = \overset{\iota}{\underset{1,n}{\Sigma}} k_{\iota}^{(r)}\omega_{\iota} \] wird. Wendet man hierauf den Satz 5. und 8. an, so folgt: \[ f'(\theta)\varepsilon_{s} = k_{s}^{(0)}\eta_{0} + k_{s}^{(1)}\eta_{1} + \cdots + k_{s}^{(n-1)}\eta_{n-1}, \] und hieraus ergiebt sich, dass der Modul \[ f'(\theta)\mathfrak{e} = \mathfrak{k} \] nur ganze Functionen enthält. Aus 10. schliesst man, dass derselbe ein Ideal ist.

§ 11. Das Verzweigungsideal.

1. Hülfssatz. Sind je zwei der Ideale $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{c}$, $\ldots$ relativ prim, so existirt immer eine Function, welche in Bezug auf jedes von ihnen einer gegebenen Function in $\mathfrak{o}$ congruent ist.

Beweis. Man setze \[ \mathfrak{m} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}\mathfrak{c}\cdots = \mathfrak{a}\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{b}\mathfrak{b}_{1} = \mathfrak{c}\mathfrak{c}_{1} = \cdots; \] der grösste gemeinschaftliche Theiler von $\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{b}\mathfrak{c}\ldots$, $\mathfrak{b}_{1} = \mathfrak{a}\mathfrak{c}\ldots$, $\mathfrak{c}_{1} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}\ldots$ ist alsdann gleich $\mathfrak{o}$, da kein Primideal zugleich in $\mathfrak{a}_{1}, \mathfrak{b}_{1}, \mathfrak{c}_{1}, \ldots$ aufgehen kann. Folglich kann man (§ 4, 5.) $\alpha_{1}$ aus $\mathfrak{a}_{1}$, $\beta_{1}$ aus $\mathfrak{b}_{1}$, $\gamma_{1}$ aus $\mathfrak{c}_{1}$, $\ldots$ so auswählen, dass \[ \alpha_{1} + \beta_{1} + \gamma_{1} + \cdots = 1, \] also: \[ \begin{aligned} \alpha_{1} &\equiv 1, & \beta_{1} &\equiv 0, & \gamma_{1} &\equiv 0, & &\ldots \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \\ \alpha_{1} &\equiv 0, & \beta_{1} &\equiv 1, & \gamma_{1} &\equiv 0, & &\ldots \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \\ \alpha_{1} &\equiv 0, & \beta_{1} &\equiv 0, & \gamma_{1} &\equiv 1, & &\ldots \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{c}), \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned} \] Sind daher $\lambda, \mu, \nu, \ldots$ gegebene Functionen in $\mathfrak{o}$, so genügt \[ \omega \equiv \lambda\alpha_{1} + \mu\beta_{1} + \nu\gamma_{1} + \cdots \ (\text{mod.}\,\mathfrak{m}) \] den Bedingungen \[ \omega \equiv \lambda \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \quad \omega \equiv \mu \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \quad \omega \equiv \nu \ (\text{mod.}\,\mathfrak{c}), \quad \ldots \]

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2. Es seien $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ die sämmtlichen von einander verschiedenen in einer beliebigen linearen Function $z-c$ aufgehenden Primideale und \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}^{e}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots, \quad e + e_{1} + e_{2} + \cdots = n \quad (\text{§~9, 7.}). \] Man wähle die Functionen $\lambda, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ theilbar resp. durch $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$, aber nicht durch $\mathfrak{p}^{2}, \mathfrak{p}_{1}^{2}, \mathfrak{p}_{2}^{2}, \ldots$ und lasse $b, b_{1}, b_{2}, \ldots$ beliebige, jedoch von einander verschiedene Constanten bedeuten. Nach 1. lässt sich dann eine Function $\zeta$ bestimmen, welche den Congruenzen genügt \[ \zeta \equiv b + \lambda \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}^{2}), \quad \zeta \equiv b_{1} + \lambda_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{1}^{2}), \quad \zeta \equiv b_{2} + \lambda_{2} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{2}^{2}), \quad \ldots, \] also \[ \zeta \equiv b \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}), \quad \zeta \equiv b_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{1}), \quad \zeta \equiv b_{2} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{2}), \quad \ldots, \] so dass, wenn $a$ irgend eine Constante bedeutet, $\zeta-a$ höchstens durch eines der Primideale $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ und niemals durch eines ihrer Quadrate theilbar ist. Ist daher $\varphi(t) = \Pi(t-a)$ eine ganze Function der Variablen $t$ mit constanten Coefficienten, so ist $\varphi(\zeta) = \Pi(\zeta-a)$ stets und nur dann durch $\mathfrak{p}^{m}$ theilbar, wenn $\varphi(t)$ algebraisch durch $(t-b)^{m}$ theilbar ist, und wenn $\mathfrak{p}^{m}$ die höchste in $\varphi(\zeta)$ aufgehende Potenz von $\mathfrak{p}$ ist, so ist folglich $\mathfrak{p}^{m-1}$ die höchste in $\varphi'(\zeta)$ aufgehende Potenz von $\mathfrak{p}$. Soll daher $\varphi(\zeta)$ durch $z-c$ theilbar sein, so muss $\varphi(t)$ durch die Function $n^{\text{ten}}$ Grades \[ \psi(t) = (t-b)^{e}(t-b_{1})^{e_{1}}(t-b_{2})^{e_{2}}\ldots \] theilbar sein. Mithin ist die Congruenz \[ x_{0} + x_{1}\zeta + x_{2}\zeta^{2} + \cdots + x_{n-1}\zeta^{n-1} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c) \] nur durch solche ganze rationale $x$ zu befriedigen, die alle durch $z-c$ theilbar sind. Setzt man also, indem man mit $k_{1}^{(0)}, k_{1}^{(1)}, \ldots$ ganze rationale Functionen von $z$ und mit $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ eine Basis von $\mathfrak{o}$ bezeichnet: \[ \begin{aligned} 1 &= k_{1}^{(0)}\omega_{1} + k_{2}^{(0)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(0)}\omega_{n}, \\ \zeta &= k_{1}^{(1)}\omega_{1} + k_{2}^{(1)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(1)}\omega_{n}, \\ \zeta^{2} &= k_{1}^{(2)}\omega_{1} + k_{2}^{(2)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(2)}\omega_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \zeta^{n-1} &= k_{1}^{(n-1)}\omega_{1} + k_{2}^{(n-1)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(n-1)}\omega_{n}, \end{aligned} \] so kann die Determinante \[ k = \Sigma \pm k_{1}^{(0)}k_{2}^{(1)}\ldots k_{n}^{(n-1)} \] weder identisch verschwinden, noch durch $z-c$ theilbar sein (vgl. die Note zu § 9, 1.).

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Es folgt also, dass \[ N(t-\zeta) = f(t, z) \] irreductibel ist. Da nun $f(\zeta, z) = 0$, also $f(\zeta, c)$ durch $z-c$ theilbar ist, so muss $f(t, c)$ durch $\psi(t)$ theilbar, also, da beide Functionen von gleichem Grade sind, \[ f(t, c) = \psi(t) \] sein, woraus man noch für eine folgende Anwendung schliesst: \[ S(\zeta) \equiv eb + e_{1}b_{1} + e_{2}b_{2} + \cdots \quad (\text{mod.}\,z-c), \] und, indem man dieselbe Betrachtung auf die Functionen $\zeta^{2}, \zeta^{3}, \ldots$ anwendet, was falls keine der Constanten $b$ verschwindet, sicher gestattet ist: \[ \begin{aligned} S(\zeta^{2}) &\equiv eb^{2} + e_{1}b_{1}^{2} + e_{2}b_{2}^{2} + \cdots \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ S(\zeta^{3}) &\equiv eb^{3} + e_{1}b_{1}^{3} + e_{2}b_{2}^{3} + \cdots \quad (\text{mod.}\,z-c). \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned} \]

Es ist also $\mathfrak{p}^{e}$ die höchste in $f(\zeta, c)$, also $\mathfrak{p}^{e-1}$ die höchste in $f'(\zeta, c)$ aufgehende Potenz von $\mathfrak{p}$, und da \[ f'(\zeta, c) \equiv f'(\zeta, z) \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{p}^{e}), \] so ist $\mathfrak{p}^{e-1}$ auch die höchste in $f'(\zeta, z)$ aufgehende Potenz von $\mathfrak{p}$. Hieraus ergiebt sich \[ \mathfrak{o}f'(\zeta, z) = \mathfrak{m}\mathfrak{p}^{e-1}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}-1}\ldots, \] worin $\mathfrak{m}$ und folglich auch $N(\mathfrak{m})$ relativ prim zu $z-c$ ist.

Ist nun $D$ die Discriminante von $\Omega$, so ist hiernach und nach § 10, (11.) und § 2, (13.) (von constanten Factoren abgesehen) \[ Nf'(\zeta, z) = \Delta(1, \zeta, \zeta^{2}, \ldots \zeta^{n-1}) = Dk^{2} = (z-c)^{n-s}N(\mathfrak{m}), \] wenn $s$ die Anzahl der verschiedenen in $z-c$ aufgehenden Primideale $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ bedeutet; und da $k$ und $N(\mathfrak{m})$ durch $z-c$ nicht theilbar sind, so ist $(z-c)^{n-s}$ die höchste in $D$ aufgehende Potenz von $z-c$. Folglich: \[ D = \Pi(z-c)^{n-s}, \tag{1.} \] worin das Productzeichen $\Pi$ sich auf alle solche linearen Ausdrücke $z-c$ bezieht, in denen weniger als $n$ verschiedene Primfactoren aufgehen, die also durch die zweite oder eine höhere Potenz eines Primideals theilbar sind.

Es giebt also nur eine endliche Anzahl linearer Functionen $z-c$, die durch das Quadrat eines Primideals theilbar sind.

Wir setzen nun \[ \mathfrak{z} = \Pi\mathfrak{p}^{e-1}, \tag{2.} \] worin sich das Productzeichen $\Pi$ auf alle diejenigen Primideale $\mathfrak{p}$ bezieht,

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von denen eine höhere als die erste, nämlich die $e^{\text{te}}$ Potenz in ihrer Norm aufgeht, und nennen dieses Ideal $\mathfrak{z}$ das Verzweigungsideal. Aus (1.) und (2.) folgt sofort \[ N(\mathfrak{z}) = D. \tag{3.} \] Da ferner $n-s \geqq e-1$, also $e(n-s) - 2(e-1) \geqq (e-1)(e-2) \geqq 0$ ist, so ist $D$ theilbar durch $\mathfrak{p}^{2(e-1)}$, also auch durch $\mathfrak{z}^{2}$, und man kann, wenn man mit $\mathfrak{d}$ gleichfalls ein Ideal bezeichnet, setzen: \[ \mathfrak{o}D = \mathfrak{d}\mathfrak{z}^{2}, \quad N(\mathfrak{d}) = D^{n-2}. \tag{4.} \]

3. Ist eine Function $\varrho$ in $\mathfrak{o}$ durch jedes in $z-c$ aufgehende Primideal theilbar, so ist $S(\varrho)$ durch $z-c$ theilbar.

Beweis. Es sei $\zeta$ dieselbe Function wie in 2., so dass man setzen kann: \[ x\varrho = x_{0} + x_{1}\zeta + x_{2}\zeta^{2} + \cdots + x_{n-1}\zeta^{n-1}, \] worin die Coefficienten $x, x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n-1}$ ganze rationale Functionen von $z$ ohne gemeinsamen Theiler sind, von denen die erste durch $z-c$ nicht theilbar ist (vgl. 2.). Aus unserer Voraussetzung über die Function $\varrho$ folgt, wenn die Constanten $b$ dieselbe Bedeutung wie in 2. haben \[ \begin{aligned} x_{0} + x_{1}b + x_{2}b^{2} + \cdots + x_{n-1}b^{n-1} &\equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ x_{0} + x_{1}b_{1} + x_{2}b_{1}^{2} + \cdots + x_{n-1}b_{1}^{n-1} &\equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ x_{0} + x_{1}b_{2} + x_{2}b_{2}^{2} + \cdots + x_{n-1}b_{2}^{n-1} &\equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ \cdots\cdots\cdots\cdots& \end{aligned} \] und hieraus, indem man die Congruenzen mit $e, e_{1}, e_{2}, \ldots$ multiplicirt und addirt: \[ x_{0}n + x_{1}S(\zeta) + x_{2}S(\zeta^{2}) + \cdots + x_{n-1}S(\zeta^{n-1}) = xS(\varrho) \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \] also, da $x$ durch $z-c$ nicht theilbar ist, \[ S(\varrho) \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c) \] w. z. b. w.

4. Es sei jetzt \[ r = (z-c)(z-c_{1})(z-c_{2})\ldots \] das Product sämmtlicher von einander verschiedenen Linearfactoren von $D$ und \[ \mathfrak{r} = \mathfrak{p}\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots \] das Product der sämmtlichen von einander verschiedenen in $r$ aufgehenden Primideale. Ist wie oben $\mathfrak{z}$ das Verzweigungsideal, so ist \[ \mathfrak{r}\mathfrak{z} = \Pi\mathfrak{p}^{e} = \mathfrak{o}r \tag{5.} \] und mithin \[ N(\mathfrak{r}) = \frac{r^{n}}{D}. \]

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Jede Function $\varrho$ in $\mathfrak{r}$ hat nach 3. die Eigenschaft, dass $S(\varrho)$ durch $r$ theilbar ist. Ist nun, wie in § 10 \[ \mathfrak{e} = [\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \varepsilon_{n}] \] der zu $\mathfrak{o}$ complementäre Modul, $\varrho$ eine beliebige Function in $\mathfrak{r}$, so kann man setzen \[ \varrho = x_{1}\varepsilon_{1} + x_{2}\varepsilon_{2} + \cdots + x_{n}\varepsilon_{n}, \] worin nach § 10, 3. \[ x_{\iota} = S(\varrho\omega_{\iota}), \] also, da $\varrho\omega_{\iota}$ eine Function in $\mathfrak{r}$ ist, $x_{\iota}$ eine durch $r$ theilbare ganze rationale Function von $z$. Hieraus folgt, dass das Ideal $\mathfrak{r}$ durch den Modul $r\mathfrak{e}$ theilbar ist. Es ist also auch das Ideal $D\mathfrak{r}$ theilbar durch das Ideal $rD\mathfrak{e}$. Zugleich ist \[ N(D\mathfrak{r}) = r^{n}D^{n-1}, \quad N(rD\mathfrak{e}) = r^{n}D^{n-1} \qquad (\text{§~10, 10.}); \] mithin nach § 8, 9. \[ D\mathfrak{r} = rD\mathfrak{e} \] oder \[ \mathfrak{r} = r\mathfrak{e}. \tag{6.} \] Woraus mittelst der obigen Bemerkung über $\varrho$ folgt, dass, wenn $\varepsilon$ eine beliebige Function in $\mathfrak{e}$ bedeutet, $S(\varepsilon)$ eine ganze rationale Function von $z$ ist. Aus der Formel (6.) folgt durch Multiplication mit $\mathfrak{z}$ nach (5.) \[ \mathfrak{r}\mathfrak{z} = r\mathfrak{e}\mathfrak{z} = \mathfrak{o}r \] und folglich \[ \mathfrak{e}\mathfrak{z} = \mathfrak{o}. \tag{7.} \] Multiplicirt man die letzte Gleichung mit $D$, so ergiebt sich aus (4.) \[ \mathfrak{e}D\mathfrak{z} = \mathfrak{z}^{2}\mathfrak{d}, \] folglich \[ D\mathfrak{e} = \mathfrak{z}\mathfrak{d} \tag{8.} \] und durch Multiplication dieser Gleichung mit $\mathfrak{e}$ nach (7.) \[ D\mathfrak{e}^{2} = \mathfrak{d}. \tag{9.} \]

4.‖‖Editorial note: The print numbers this item 4. a second time, after item 4. on p. 226; 5. would be expected. Ist $\theta$ eine ganze Function von $z$ in $\Omega$ und $N(t-\theta) = f(t)$, so ist $f'(\theta)$ theilbar durch das Verzweigungsideal $\mathfrak{z}$.

Beweis. Ist $f(t)$ reductibel, so ist $f'(\theta) = 0$, also sicher theilbar durch $\mathfrak{z}$. Im anderen Fall ist nach § 10, 11. \[ \mathfrak{e}f'(\theta) = \mathfrak{k} \]

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ein Ideal, folglich durch Multiplication mit $\mathfrak{z}$ nach (7.) \[ \mathfrak{o}f'(\theta) = \mathfrak{k}\mathfrak{z}. \tag{10.} \] Zugleich folgt, wenn wir wie in § 10, 11. \[ \begin{aligned} \theta^{r} &= \overset{\iota}{\Sigma} k_{\iota}^{(r)}\omega_{\iota}, \\ k &= \Sigma \pm k_{1}^{(0)}k_{2}^{(1)}\ldots k_{n}^{(n-1)} \end{aligned} \] setzen, \[ \begin{aligned} Nf'(\theta) &= N(\mathfrak{k})N(\mathfrak{z}) = DN(\mathfrak{k}) \\ &= \text{const.}\,k^{2}D \quad (\text{§~10, (11.) und §~2, (13.)}), \end{aligned} \] also: \[ N(\mathfrak{k}) = \text{const.}\,k^{2} \tag{11.} \] ein vollständiges Quadrat.

§ 12. Die gebrochenen Functionen von $z$ im Körper $\Omega$.

1. Jede beliebige Function $\eta$ in $\Omega$ lässt sich nach § 3, 3. auf unendlich viele Arten als Quotient zweier ganzen Functionen von $z$ darstellen (der Nenner kann sogar eine ganze rationale Function von $z$ sein). Es sei also \[ \eta = \frac{\nu}{\mu} \] und $\mu$, $\nu$ ganze Functionen von $z$ (Functionen in $\mathfrak{o}$). Ist nun $\mathfrak{m}$ der grösste gemeinschaftliche Theiler der beiden Hauptideale $\mathfrak{o}\mu$, $\mathfrak{o}\nu$, also, wenn $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ relative Primideale sind, \[ \mathfrak{o}\mu = \mathfrak{a}\mathfrak{m}, \quad \mathfrak{o}\nu = \mathfrak{b}\mathfrak{m}, \tag{1.} \] so folgt (§ 4, 6.) \[ \mathfrak{a}\nu = \mathfrak{b}\mu \quad \text{oder} \quad \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}. \tag{2.} \]

Ist also $\alpha$ eine beliebige Function in $\mathfrak{a}$, so ist $\alpha\eta$ in $\mathfrak{b}$ enthalten, also jedenfalls eine ganze Function von $z$. Ist umgekehrt $\alpha$ eine ganze Function von $z$, welche die Eigenschaft hat, dass $\alpha\eta = \beta$ eine ganze Function ist, so folgt \[ \alpha\nu = \beta\mu, \] also nach (1.) \[ \alpha\mathfrak{b} = \beta\mathfrak{a}; \] da nun $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ relativ prim sind, so muss $\alpha$ durch $\mathfrak{a}$, $\beta$ durch $\mathfrak{b}$ theilbar sein, und daraus folgt:

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Es ist $\mathfrak{a}$ der Inbegriff aller derjenigen ganzen Functionen $\alpha$, welche die Eigenschaft haben, dass $\alpha\eta$ eine ganze Function ist, und der Inbegriff aller dieser ganzen Functionen $\alpha\eta$ ist das Ideal $\mathfrak{b}$; oder anders ausgedrückt:

Es ist $\mathfrak{b}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{o}\eta$ und $\mathfrak{o}$, ebenso $\mathfrak{a}$ das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\frac{\mathfrak{o}}{\eta}$ und $\mathfrak{o}$. Hiernach muss, wenn $\mathfrak{a}'$, $\mathfrak{b}'$ zwei der Bedingung \[ \mathfrak{a}'\eta = \mathfrak{b}' \] genügende Ideale sind, $\mathfrak{a}'$ durch $\mathfrak{a}$ theilbar sein. Sei also \[ \mathfrak{a}' = \mathfrak{n}\mathfrak{a}, \] so folgt: \[ \mathfrak{b}' = \mathfrak{n}\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{n}\mathfrak{b}. \] Umgekehrt ist auch für ein beliebiges Ideal $\mathfrak{n}$ \[ \mathfrak{n}\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{n}\mathfrak{b}. \]

2. Es seien jetzt $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ zwei der Bedingung \[ \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b} \] genügende Ideale, gleichviel ob relativ prim oder nicht. Der Quotient $\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}$ ist nach § 4, 8. der Inbegriff aller derjenigen Functionen $\gamma$, welche die Eigenschaft haben, dass $\mathfrak{a}\gamma$ durch $\mathfrak{b}$ theilbar ist. Zu diesen Functionen gehören gewiss alle Functionen von der Form $\omega\eta$, wenn $\omega$ eine beliebige Function in $\mathfrak{o}$ bedeutet. Aber auch umgekehrt ist jede Function $\gamma$ von dieser Form; denn da $\mathfrak{a}\gamma$ durch $\mathfrak{b}$, also auch durch $\mathfrak{o}$ theilbar ist, so ist es ein Ideal (da es die Eigenschaften I., II. § 7 besitzt), also wenn $\mathfrak{c}$ gleichfalls ein Ideal ist: \[ \mathfrak{a}\gamma = \mathfrak{c}\mathfrak{b} \] und durch Multiplication mit $\eta$ \[ \mathfrak{b}\gamma = \mathfrak{c}\mathfrak{b}\eta. \] Ist nun wie oben $\eta = \frac{\nu}{\mu}$, und, wenn $\varrho$, $\sigma$ ganze Functionen sind, $\gamma = \frac{\varrho}{\sigma}$, so folgt hieraus \[ \mathfrak{b}\varrho\mu = \mathfrak{c}\mathfrak{b}\nu\sigma, \] also: \[ \mathfrak{o}\varrho\mu = \mathfrak{c}\nu\sigma, \quad \mathfrak{o}\gamma = \mathfrak{c}\eta. \] Beides zusammen liefert den Satz \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}. \tag{3.} \]

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Sind in dieser Darstellung $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{a}$ relativ prim, was nach 1. stets und nur auf eine Weise angenommen werden kann, so soll $\mathfrak{b}$ das Oberideal, $\mathfrak{a}$ das Unterideal der Function $\eta$ heissen.

3. Ist wieder allgemein \[ \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}, \quad \text{also} \quad \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}} \] und $\alpha$ eine beliebige Function in $\mathfrak{a}$, $\beta$ eine zugehörige Function in $\mathfrak{b}$, so ist \[ \eta = \frac{\beta}{\alpha} \quad \text{und} \quad \mathfrak{a}\beta = \mathfrak{b}\alpha. \] Hieraus folgt durch Bildung der Normen \[ N(\eta) = \text{const.}\,\frac{N(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{b})}. \] ***Editorial note: As printed, with $N(\mathfrak{a})$ in the numerator. Since $\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}$, the quotient $N(\mathfrak{b})$ over $N(\mathfrak{a})$ would be expected; this appears to be a misprint.

4. Sind $\eta$, $\eta'$ zwei Functionen in $\Omega$ und ist wie in 1. \[ \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}; \quad \mathfrak{a}'\eta' = \mathfrak{b}', \] gleichviel ob $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$; $\mathfrak{a}'$, $\mathfrak{b}'$ relativ prim sind oder nicht, so folgt \[ \mathfrak{a}\mathfrak{a}'\eta\eta' = \mathfrak{b}\mathfrak{b}'. \] Es folgen also aus \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}, \quad \mathfrak{o}\eta' = \frac{\mathfrak{b}'}{\mathfrak{a}'} \] die Gleichungen \[ \mathfrak{o}\eta\eta' = \frac{\mathfrak{b}\mathfrak{b}'}{\mathfrak{a}\mathfrak{a}'}, \quad \mathfrak{o}\frac{1}{\eta} = \frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}, \quad \mathfrak{o}\frac{\eta}{\eta'} = \frac{\mathfrak{b}\mathfrak{a}'}{\mathfrak{a}\mathfrak{b}'}. \]

5. Ist $\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}$, $\mathfrak{a}\eta' = \mathfrak{b}'$, so wird auch \[ \mathfrak{a}(\eta \pm \eta') = \mathfrak{b}'' \] ein Ideal sein, weil, wenn $\alpha\eta$, $\alpha\eta'$ ganze Functionen sind, stets auch $\alpha(\eta \pm \eta')$ eine solche ist. Ist also \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}, \quad \mathfrak{o}\eta' = \frac{\mathfrak{b}'}{\mathfrak{a}}, \] so folgt \[ \mathfrak{o}(\eta \pm \eta') = \frac{\mathfrak{b}''}{\mathfrak{a}}; \] haben die beiden Ideale $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{b}'$ einen gemeinsamen Theiler, so ist derselbe auch Theiler von $\mathfrak{b}''$.

6. Es sei jetzt $\varrho$ eine Function in $\Omega$, deren Oberideal durch ein beliebig gegebenes Primideal $\mathfrak{p}$, aber nicht durch $\mathfrak{p}^{2}$ theilbar ist (solche Functionen

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existiren stets; dieselben können sogar ganze Functionen von $z$ sein), also \[ \mathfrak{o}\varrho = \frac{\mathfrak{m}\mathfrak{p}}{\mathfrak{n}}, \] worin $\mathfrak{m}$, $\mathfrak{n}$ durch $\mathfrak{p}$ nicht theilbare Ideale sind. Sei ferner $\eta$ eine beliebige Function in $\Omega$, deren Unterideal durch $\mathfrak{p}$ nicht theilbar ist, also \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}} \] und $\mathfrak{a}$ nicht theilbar durch $\mathfrak{p}$. Man wähle eine beliebige Function $\alpha$ in $\mathfrak{a}$, die nicht durch $\mathfrak{p}$ theilbar ist, und eine entsprechende Function $\beta$ in $\mathfrak{b}$, so dass \[ \eta = \frac{\beta}{\alpha} \] wird. Sei \[ \alpha \equiv \alpha_{0}, \quad \beta \equiv \beta_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}), \quad c_{0} = \frac{\beta_{0}}{\alpha_{0}}, \] worin $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$, $c_{0}$ Constanten sind, deren erste von Null verschieden ist. Nach 5. ist \[ \mathfrak{o}(\eta - c_{0}) = \mathfrak{o}\frac{\beta - c_{0}\alpha}{\alpha} = \frac{\mathfrak{b}_{1}}{\mathfrak{a}}, \] und aus \[ \mathfrak{a}(\beta - c_{0}\alpha) = \mathfrak{b}_{1}\alpha, \quad \beta - c_{0}\alpha \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}) \] folgt, da $\alpha$ durch $\mathfrak{p}$ nicht theilbar ist, dass $\mathfrak{b}_{1}$ durch $\mathfrak{p}$ theilbar sein muss. Setzt man also \[ \eta - c_{0} = \varrho\eta_{1}, \] so ist auch das Unterideal von $\eta_{1}$ durch $\mathfrak{p}$ nicht theilbar. Auf diese Weise lässt sich eine ganz bestimmte Reihe von Constanten $c_{0}, c_{1}, \ldots c_{r-1}, \ldots$ der Art ermitteln, dass \[ \begin{aligned} \eta &= c_{0} + \varrho\eta_{1}, \\ \eta_{1} &= c_{1} + \varrho\eta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{r-1} &= c_{r-1} + \varrho\eta_{r}, \quad \ldots, \end{aligned} \] worin die $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{r}, \ldots$ Functionen bedeuten, deren Unterideale keine andern Primfactoren haben können als das Unterideal von $\eta$ und das Oberideal von $\varrho$ mit Ausschluss von $\mathfrak{p}$. Demnach ist für jedes ganze positive $r$ \[ \eta = c_{0} + c_{1}\varrho + \cdots + c_{r-1}\varrho^{r-1} + \eta_{r}\varrho^{r}. \] Ist das Unterideal von $\zeta$ durch $\mathfrak{p}^{s}$, nicht durch $\mathfrak{p}^{s+1}$ theilbar, so kann man dieselbe Betrachtung auf die Function $\eta = \zeta\varrho^{s}$ anwenden und erhält \[ \zeta = c_{0}\varrho^{-s} + c_{1}\varrho^{-s+1} + \cdots + c_{r-1}\varrho^{-s+r} + \eta_{r}\varrho^{-s+r}. \] †††Editorial note: Printed $c_{r-1}\varrho^{-s+r}$; by the preceding expansion $c_{r-1}\varrho^{-s+r-1}$ is expected, an apparent misprint.

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§ 13. Die rationalen Transformationen der Functionen des Körpers $\Omega$.

Ist $z_{1}$ eine beliebige, nicht constante, Function des Körpers $\Omega$ (eine Variable in $\Omega$), so besteht, wie in § 2 nachgewiesen, zwischen $z_{1}$ und $z$ eine irreductible algebraische Gleichung, welche, von Nennern befreit, in Bezug auf $z_{1}$ vom Grade $e$, in Bezug auf $z$ vom Grade $e_{1}$ sei. Es ist, wie eben dort gezeigt, $e$ ein Divisor von $n$, $n = ef$. Es sei diese Gleichung \[ G(\overset{e}{z_{1}}, \overset{e_{1}}{z}) = 0. \tag{1.} \] Jede rationale Function $\zeta$ von $z$ und $z_{1}$ lässt sich (§ 1) mit Hilfe dieser Gleichung auf die beiden Formen bringen \[ \left\{ \begin{aligned} \zeta &= x_{0} + x_{1}z_{1} + \cdots + x_{e-1}z_{1}^{e-1}, \\ \zeta &= x_{0}^{(1)} + x_{1}^{(1)}z + \cdots + x_{e_{1}-1}^{(1)}z^{e_{1}-1} \end{aligned} \right. \tag{2.} \] und zwar nur auf eine Weise so, dass $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{e-1}$ rationale Functionen von $z$, $x_{0}^{(1)}, x_{1}^{(1)}, \ldots x_{e_{1}-1}^{(1)}$ rationale Functionen von $z_{1}$ sind.

Ist nun $\theta$ eine solche Function, dass $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ eine Basis${}^{*)}$ von $\Omega$ (in Bezug auf $z$) bilden, so bilden nach § 2 die $n$ Functionen \[ \left\{ \begin{matrix} 1, & z_{1}, & z_{1}^{2}, & \ldots & z_{1}^{e-1}, \\ \theta, & \theta z_{1}, & \theta z_{1}^{2}, & \ldots & \theta z_{1}^{e-1}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \theta^{f-1}, & \theta^{f-1}z_{1}, & \theta^{f-1}z_{1}^{2}, & \ldots & \theta^{f-1}z_{1}^{e-1} \end{matrix} \right. \tag{3.} \] gleichfalls eine solche Basis, und daraus ergiebt sich nach (2.), dass zwischen den $e_{1}f = n_{1}$ Functionen \[ \left\{ \begin{matrix} 1, & z, & z^{2}, & \ldots & z^{e_{1}-1}, \\ \theta, & \theta z, & \theta z^{2}, & \ldots & \theta z^{e_{1}-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \theta^{f-1}, & \theta^{f-1}z, & \theta^{f-1}z^{2}, & \ldots & \theta^{f-1}z^{e_{1}-1}, \end{matrix} \right. \tag{4.} \] die zur Abkürzung mit \[ \eta_{1}^{(1)}, \quad \eta_{2}^{(1)}, \quad \ldots \quad \eta_{n_{1}}^{(1)} \] bezeichnet sein mögen, eine Gleichung von der Form \[ x_{1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)} = 0 \]

*) Man könnte statt der Basis $1, \theta, \ldots \theta^{n-1}$ auch eine beliebige andere Basis von $\Omega$ dieser Betrachtung zu Grunde legen. Es genügt aber für unsern Zweck, wenn wir gerade diese wählen.

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nur dann besteht, wenn die rationalen Functionen $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}, \ldots x_{n_{1}}^{(1)}$ von $z_{1}$ sämmtlich verschwinden. Daraus folgt nach (2.), dass jede Function $\eta$ in $\Omega$, und zwar nur auf eine einzige Art, darstellbar ist in der Form: \[ \eta = x_{1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \] worin die $x^{(1)}$ rationale Functionen von $z_{1}$ sind.

Jede solche Function $\eta$ genügt einer algebraischen Gleichung vom Grade $n_{1}$, deren Coefficienten rational von $z_{1}$ abhängen, denn es ist \[ \begin{aligned} \eta\eta_{1}^{(1)} &= x_{1,1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{1,2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{1,n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ \eta\eta_{2}^{(1)} &= x_{2,1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{2,n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta\eta_{n_{1}}^{(1)} &= x_{n_{1},1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{n_{1},2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \end{aligned} \] und mithin \[ \begin{vmatrix} x_{1,1}^{(1)} - \eta, & x_{1,2}^{(1)}, & \ldots & x_{1,n_{1}}^{(1)} \\ x_{2,1}^{(1)}, & x_{2,2}^{(1)} - \eta, & \ldots & x_{2,n_{1}}^{(1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{n_{1},1}^{(1)}, & x_{n_{1},2}^{(1)}. & \ldots & x_{n_{1},n_{1}}^{(1)} - \eta \end{vmatrix} = 0. \] ‡‡‡Editorial note: The entry $x_{n_{1},2}^{(1)}$ is printed with a period where every other entry carries a comma; probably a comma that printed incompletely.

Es lässt sich nun zeigen, dass man eine Function $\eta = \theta_{1}$ so auswählen kann, dass $\theta_{1}$ nicht zugleich einer Gleichung niedrigeren Grades, deren Coefficienten rational von $z_{1}$ abhängen, genügt.

Wir stützen uns zum Beweis dieser Behauptung auf den folgenden Satz, dessen Beweis sich leicht durch den Schluss von $m-1$ auf $m$ ergiebt. Ist \[ F(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}) \] eine ganze rationale Function von $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$, deren Coefficienten Functionen in $\Omega$ sind, die nicht alle verschwinden, so kann man für die $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ solche constanten oder rational von $z_{1}$ abhängigen Grössen setzen, dass $F$ in eine nicht verschwindende Function in $\Omega$ übergeht. Ist also $F(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m})$ für alle solche $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ gleich Null, so folgt auch für beliebige constante oder rational von $z_{1}$ abhängige $dx_{1}, dx_{2}, \ldots dx_{m}$ \[ dF = F'(x_{1})\,dx_{1} + F'(x_{2})\,dx_{2} + \cdots + F'(x_{m})\,dx_{m} = 0. \] Ist nun \[ \theta_{1} = x_{1}\eta_{1}^{(1)} + x_{2}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1}}\eta_{n_{1}}^{(1)} \] und \[ \left\{ \begin{aligned} 1 &= x_{1,0}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,0}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},0}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ \theta_{1} &= x_{1,1}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,1}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},1}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \theta_{1}^{m} &= x_{1,m}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,m}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},m}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \end{aligned} \right. \tag{5.} \]

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so sind die $x_{k,h}$ ganze rationale und homogene Functionen vom Grade $h$ von $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n_{1}}$ und hängen ausserdem rational von $z_{1}$ ab.

Ist also \[ \varphi(\theta_{1}) = a_{m}\theta_{1}^{m} + a_{m-1}\theta_{1}^{m-1} + \cdots + a_{1}\theta_{1} + a_{0} = 0 \] die Gleichung niedrigsten Grades, welcher $\theta_{1}$ genügt, deren Coefficienten rational von $z_{1}$ abhängen, so genügen die Functionen $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{m}$ der Bedingung \[ a_{0}x_{\iota,0} + a_{1}x_{\iota,1} + \cdots + a_{m}x_{\iota,m} = 0, \qquad {\scriptstyle (\iota = 1,\, 2,\, \ldots\, n_{1})} \] und zugleich ist $m \leqq n_{1}$. Da nun nicht alle aus den Coefficienten $x_{h,k}$ zu bildenden $m$-reihigen Determinanten verschwinden können, weil sonst $\theta_{1}$ einer Gleichung von niedrigerem als dem $m^{\text{ten}}$ Grade genügen würde, so folgt aus letzteren Gleichungen, dass man die $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{m}$ als ganze homogene Functionen von $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n_{1}}$ voraussetzen kann.

Wenn nun die Gleichung $\varphi(\theta_{1}) = 0$ für alle rational von $z_{1}$ abhängigen $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n_{1}}$ bestehen soll, so muss nach obigem Satze auch \[ d\varphi = \varphi'(\theta_{1})\,d\theta_{1} + da_{m}\theta_{1}^{m} + \cdots + da_{1}\theta_{1} + da_{0} = 0 \] sein, und wenn $m < n_{1}$ ist, so lassen sich die $dx_{1}, dx_{2}, \ldots dx_{n_{1}}$, ohne dass sie alle verschwinden, so bestimmen, dass \[ da_{m} : da_{m-1} : \ldots : da_{1} : da_{0} = a_{m} : a_{m-1} : \ldots : a_{1} : a_{0} \] und folglich \[ \varphi'(\theta_{1})\,d\theta_{1} = 0 \] ist. Da aber $\varphi'(\theta_{1})$ vom Grade $m-1$ ist, so muss $d\theta_{1} = 0$, also $dx_{1} = 0$, $dx_{2} = 0, \ldots dx_{n_{1}} = 0$ sein. Daher kann nur $m = n_{1}$ sein.

Ist also $\theta_{1}$ so bestimmt, dass die Gleichung niedrigsten Grades \[ F_{1}(\overset{n_{1}}{\theta_{1}}, z_{1}) = 0 \] den Grad $n_{1}$ wirklich erreicht, so lassen sich alle Functionen in $\Omega$, und zwar nur auf eine Weise in der Form darstellen \[ \eta = x_{0}^{(1)} + x_{1}^{(1)}\theta_{1} + \cdots + x_{n_{1}-1}^{(1)}\theta_{1}^{n_{1}-1}, \] worin die Coefficienten $x_{0}^{(1)}, x_{1}^{(1)}, \ldots x_{n_{1}-1}^{(1)}$ rational von $z_{1}$ abhängen; denn man kann unter dieser Voraussetzung $\eta_{1}^{(1)}, \eta_{2}^{(1)}, \ldots \eta_{n_{1}}^{(1)}$ vermittelst der Gleichungen (5.) in der angegebenen Weise darstellen.

Es lassen sich also sowohl $z_{1}$, $\theta_{1}$ rational durch $z$, $\theta$, als auch umgekehrt $z$, $\theta$ rational durch $z_{1}$, $\theta_{1}$ darstellen.

Die Variable $z$, die wir bisher als die unabhängige bezeichnet haben, kann daher jede beliebige (nicht constante) Function des Körpers $\Omega$ sein.

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Während aber die Gesammtheit aller Functionen des Körpers $\Omega$ gänzlich ungeändert bleibt, sind die Begriffe: Basis, Norm, Spur, Discriminante, ganze Function, Modul, Ideal, wesentlich abhängig von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen $z$.

In dem besonderen Falle nur, wenn zwei Variable $z$, $z_{1}$ linear von einander abhängen, ist eine Basis von $\Omega$ in Bezug auf $z$ zugleich eine solche in Bezug auf $z_{1}$; ebenso sind Normen, Spuren und Discriminanten in diesem Fall für $z$ und $z_{1}$ identisch.

Sind $\alpha$, $\beta$ irgend zwei Functionen in $\Omega$, so bestehen zwischen denselben Gleichungen, deren linker Theil eine ganze rationale Function von $\alpha$ und $\beta$ ist.

Unter diesen ist eine (nach § 1) \[ F(\alpha, \beta) = 0, \] welche sowohl in Bezug auf $\alpha$ als in Bezug auf $\beta$ von möglichst niedrigem Grade ist, und diese soll die zwischen $\alpha$ und $\beta$ bestehende irreductible Gleichung heissen. Diese ist, von einem constanten Factor abgesehen, völlig bestimmt.

II. Abtheilung.

§ 14. Die Punkte der Riemannschen Fläche.

Die bisherigen Betrachtungen über die Functionen des Körpers $\Omega$ waren rein formaler Natur. Alle Resultate waren rationale, d. h. nach den Regeln der Buchstabenrechnung mittelst der vier Species abgeleitete Folgerungen aus der zwischen zwei Functionen in $\Omega$ bestehenden irreductibeln Gleichung. Die numerischen Werthe dieser Functionen kamen nirgends in Betracht. Man würde sogar, ohne andere Principien anzuwenden, die formelle Behandlung noch wesentlich weiter treiben können, indem man zwei Functionen des Körpers $\Omega$ nicht als durch eine Gleichung verbunden, sondern als unabhängige Veränderliche auffasst, wobei dann alles auf algebraische Theilbarkeit von rationalen Functionen zweier Veränderlichen hinausläuft. Wir haben auch diesen Weg durchgeführt, der jedoch in Darstellung und Ausdrucksweise sehr schwerfällig ist und bezüglich der Strenge

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nichts mehr leistet als der im Vorhergehenden benutzte Gang. Nachdem nun aber der formale Theil der Untersuchung so weit geführt ist, drängt sich die Frage auf, in welchem Umfange es möglich ist, den Functionen in $\Omega$ solche bestimmten Zahlenwerthe beizulegen, dass alle zwischen diesen Functionen bestehenden rationalen Relationen (Identitäten) in richtige Zahlengleichungen übergehen. Es erweist sich bei dieser Untersuchung als zweckmässig, auch das Unendlichgrosse als eine bestimmte Zahl $\infty$ (Constante) zu betrachten, mit welcher nach bestimmten Regeln gerechnet wird${}^{*)}$. Die mittelst der rationalen Operationen in dem so erweiterten Zahlengebiet ausgeführten Rechnungen führen stets zu einem ganz bestimmten Zahlenresultat, wenn nicht im Verlaufe der Rechnung eines der Zeichen $\infty \pm \infty$, $0.\infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ auftritt, Zeichen, welchen kein bestimmter Werth zukommt. Das Auftreten einer solchen Unbestimmtheit in einer Gleichung ist nicht als ein Widerspruch aufzufassen, da in diesem Fall die Gleichung gar keine bestimmte Behauptung mehr enthält, also von der Wahrheit oder Unwahrheit derselben auch keine Rede sein kann. Unter den Functionen des Körpers $\Omega$ finden sich ausser unendlich vielen Veränderlichen auch sämmtliche Constanten, d. h. Zahlen. Hiernach gelangt man durch die oben gestellte Forderung zu folgendem Begriff.

1. Definition. Wenn alle Individuen $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ des Körpers $\Omega$ durch bestimmte Zahlwerthe $\alpha_{0}, \beta_{0}, \gamma_{0}, \ldots$ so ersetzt werden, dass \[ \begin{aligned} &(\text{I.}) \quad \alpha_{0} = \alpha, \quad \text{falls } \alpha \text{ constant ist, und allgemein} \\ &(\text{II.}) \quad (\alpha + \beta)_{0} = \alpha_{0} + \beta_{0}, \qquad (\text{IV.}) \quad (\alpha\beta)_{0} = \alpha_{0}\beta_{0}, \\ &(\text{III.}) \quad (\alpha - \beta)_{0} = \alpha_{0} - \beta_{0}, \qquad (\text{V.}) \quad \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_{0} = \frac{\alpha_{0}}{\beta_{0}} \end{aligned} \] wird, so soll einem solchen Zusammentreffen bestimmter Werthe ein Punkt $\mathfrak{P}$ zugeordnet werden (den man sich zur Versinnlichung irgend wie im Raume gelegen vorstellen mag${}^{**)}$), und wir sagen, in $\mathfrak{P}$ sei $\alpha = \alpha_{0}$, oder $\alpha$ habe in $\mathfrak{P}$ den Werth $\alpha_{0}$. Zwei Punkte heissen stets und nur dann verschieden,

*) Das Unendliche als einen bestimmten Werth zu betrachten ist in der Functionentheorie vielfach üblich und nützlich. Es spricht sich dies bei Riemann z. B. darin aus, dass er seine die algebraischen Functionen darstellenden Flächen als geschlossen betrachtet.

**) Eine geometrische Versinnlichung des „Punktes“ ist übrigens keineswegs nothwendig, und trägt zu einer leichteren Auffassung nicht einmal viel bei. Es genügt, das Wort „Punkt“ als einen kurzen und bequemen Ausdruck für die beschriebene Werth-Coexistenz zu betrachten.

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wenn eine Function $\alpha$ in $\Omega$ existirt, die in beiden Punkten verschiedene Werthe hat.

Aus dieser Definition des Punktes soll nun die Existenz desselben, sowie der Umfang des Begriffes deducirt werden. Zunächst ist aber hervorzuheben, dass nach dieser Definition der „Punkt“ ein zum Körper $\Omega$ gehöriger invarianter Begriff ist, der in keiner Weise abhängt von der Wahl der unabhängigen Veränderlichen, durch welche man die Functionen des Körpers darstellt.

2. Satz. Ist ein Punkt $\mathfrak{P}$ gegeben, und $z$ eine in $\mathfrak{P}$ endliche Variable in $\Omega$ (eine solche existirt für jeden Punkt; denn ist $z_{0} = \infty$, so ist $\left(\frac{1}{z}\right)_{0} = 0$, also endlich), so hat auch jede ganze Function $\omega$ von $z$ in $\mathfrak{P}$ einen endlichen Werth $\omega_{0}$ — denn zwischen $\omega$ und $z$ besteht eine Relation von der Form \[ 1 = a\frac{1}{\omega} + b\frac{1}{\omega^{2}} + \cdots + k\frac{1}{\omega^{m}}, \] worin $a, b, \ldots k$ als ganze rationale Functionen von $z$ nach (II.), (III.), (IV.) in $\mathfrak{P}$ endliche Werthe haben. Mithin kann $\left(\frac{1}{\omega}\right)_{0}$ nicht gleich 0, also $\omega_{0}$ nicht gleich $\infty$ sein.

3. Satz. Ist $z$ irgend eine in $\mathfrak{P}$ endliche Variable, so ist der Inbegriff $\mathfrak{p}$ aller derjenigen ganzen Functionen $\pi$ von $z$, welche in $\mathfrak{P}$ verschwinden, ein Primideal in $z$; wir sagen, der Punkt $\mathfrak{P}$ erzeuge dies Primideal $\mathfrak{p}$. Ist $\omega$ eine ganze Function von $z$, welche in $\mathfrak{P}$ den Werth $\omega_{0}$ hat, so ist $\omega \equiv \omega_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$.

Beweis. Ist $\pi'_{0} = 0$, $\pi''_{0} = 0$, so ist auch $(\pi' + \pi'')_{0} = \pi'_{0} + \pi''_{0} = 0$, und wenn $\omega$ eine beliebige ganze Function von $z$, also $\omega_{0}$ endlich ist, so folgt aus $\pi_{0} = 0$ auch $(\omega\pi)_{0} = \omega_{0}\pi_{0} = 0$; also ist $\mathfrak{p}$ ein Ideal in $z$ (§ 7, I., II.). Das Ideal $\mathfrak{p}$ ist von $\mathfrak{o}$ verschieden, da es die Function „1“ nicht enthält.

Hat $\omega$ in $\mathfrak{P}$ den Werth $\omega_{0}$, so ist $(\omega - \omega_{0})_{0} = 0$, folglich $\omega \equiv \omega_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$, also jede ganze Function von $z$ einer Constanten congruent nach dem Modul $\mathfrak{p}$. Daher ist (§ 9, 7.) $\mathfrak{p}$ ein Primideal.

4. Satz. Dasselbe Primideal $\mathfrak{p}$ kann nicht durch zwei verschiedene Punkte erzeugt werden.

Denn zunächst ist der Werth einer jeden ganzen Function $\omega$ in einem das Ideal $\mathfrak{p}$ erzeugenden Punkt $\mathfrak{P}$ durch die Congruenz $\omega \equiv \omega_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$ vollkommen bestimmt. Ist aber $\eta$ eine beliebige Function in $\Omega$, so lassen

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sich nach § 12, 1. zwei ganze Functionen $\alpha$, $\beta$, die nicht beide durch $\mathfrak{p}$ theilbar sind, so bestimmen, dass \[ \eta = \frac{\alpha}{\beta} \] wird. Da nun die endlichen Werthe $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$ nicht beide verschwinden, so folgt aus (V.) \[ \eta_{0} = \frac{\alpha_{0}}{\beta_{0}}, \] also ebenfalls durch $\mathfrak{p}$ vollkommen bestimmt.

Es ergiebt sich hieraus noch, dass zwei Punkte, in denen eine Variable $z$ endliche Werthe hat, dann und nur dann von einander verschieden sind, wenn eine ganze Function von $z$ existirt, welche in beiden verschiedene Werthe hat.

5. Satz. Ist $z$ irgend eine Variable in $\Omega$ und $\mathfrak{p}$ ein Primideal in $z$, so giebt es einen (und nach 4. auch nur einen) Punkt $\mathfrak{P}$, welcher dies Primideal erzeugt, und welcher der Nullpunkt des Ideals $\mathfrak{p}$ genannt werden soll.

Beweis. Es sei $\eta$ eine beliebige Function in $\Omega$, und $\varrho$ eine solche, deren Oberideal durch $\mathfrak{p}$ aber nicht durch $\mathfrak{p}^{2}$ theilbar ist. Es lassen sich dann nach § 12, 6. stets und nur auf eine Weise eine ganze Zahl $m$, eine von Null verschiedene endliche Constante $c$ und eine Function $\eta_{1}$, deren Unterideal nicht durch $\mathfrak{p}$ theilbar ist, so bestimmen, dass \[ \eta = c\varrho^{m} + \eta_{1}\varrho^{m+1}. \] Wir setzen \[ \eta_{0} = 0, \quad c, \quad \infty, \] je nachdem $m$ positiv, Null oder negativ ist. Dieser Werthbestimmung der Functionen des Körpers $\Omega$ entspricht ein Punkt $\mathfrak{P}$, da die Bedingungen (I.) bis (V.), wie man sofort übersieht, erfüllt sind${}^{*)}$.

*) Ist $\eta' = c'\varrho^{m'} + \eta'_{1}\varrho^{m'+1}$, so ist z. B. \[ \frac{\eta}{\eta'} = \varrho^{m-m'}\left(\frac{c}{c'} + \varrho\eta''_{1}\right), \] worin \[ \eta''_{1} = \frac{c'\eta_{1} - c\eta'_{1}}{c'(c' + \varrho\eta'_{1})} \] eine Function von derselben Beschaffenheit ist wie $\eta_{1}$ (noch einfacher ist der Beweis in den übrigen Fällen).

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Jede Function, deren Oberideal durch $\mathfrak{p}$ theilbar ist, also ins Besondere jede Function in $\mathfrak{p}$ erhält nach dieser Festsetzung in $\mathfrak{P}$ den Werth Null, d. h. der so bestimmte Punkt $\mathfrak{P}$ erzeugt das Primideal $\mathfrak{p}$.

Jede Function, deren Unterideal durch $\mathfrak{p}$ theilbar ist, und nur eine solche hat in $\mathfrak{P}$ den Werth $\infty$, und daraus geht hervor, dass eine ganze Function von $z$ in keinem Punkt, in welchem $z$ einen endlichen Werth hat, unendlich ist, und, da eine gebrochene Function von $z$ im Unterideal gewiss ein Primideal enthält, also mindestens in einem Punkt, in welchem $z$ endlich ist, unendlich sein muss, so ist auch umgekehrt jede Function, die in keinem Punkt, in welchem $z$ einen endlichen Werth hat, unendlich ist, eine ganze Function von $z$.

6. Aus 3., 4., 5. ergiebt sich nun das folgende Resultat. Um alle existirenden Punkte $\mathfrak{P}$ und jeden nur ein einziges mal zu erhalten, ergreife man eine beliebige Variable $z$ des Körpers $\Omega$; man bilde alle Primideale $\mathfrak{p}$ in $z$ und construire für jedes derselben den Nullpunkt, so sind alle diejenigen Punkte $\mathfrak{P}$ gefunden, in denen $z$ endlich bleibt; ist $\mathfrak{P}'$ ein von diesen verschiedener Punkt, so hat in ihm $z' = \frac{1}{z}$ den endlichen Werth Null; umgekehrt ist jeder Punkt $\mathfrak{P}'$, in dem $z'$ den Werth Null hat, von den Punkten $\mathfrak{P}$ verschieden. Das durch einen solchen Punkt $\mathfrak{P}'$ erzeugte Primideal $\mathfrak{p}'$ in $z'$ (welches aus allen in $\mathfrak{P}'$ verschwindenden ganzen Functionen von $z'$ besteht) geht in $z'$ auf, und umgekehrt ist der Nullpunkt eines jeden in $z'$ aufgehenden Primideals $\mathfrak{p}'$ in $z'$ ein Punkt $\mathfrak{P}'$, in welchem $z' = 0$ also $z = \infty$ ist. Mit diesen in endlicher Anzahl vorhandenen, den verschiedenen $\mathfrak{p}'$ entsprechenden Ergänzungspunkten und den vorher aus den Primidealen $\mathfrak{p}$ in $z$ abgeleiteten ist die Gesammtheit aller Punkte $\mathfrak{P}$ erschöpft, deren Inbegriff die Riemannsche Fläche $T$ bildet.

§ 15. Die Ordnungszahlen.

1. Definition. Ist $\mathfrak{P}$ ein bestimmter Punkt, so betrachten wir die sämmtlichen in $\mathfrak{P}$ verschwindenden Functionen $\pi$ in $\Omega$, und ertheilen jeder derselben eine bestimmte Ordnungszahl nach folgendem Gesichtspunkt.

Eine solche Function $\varrho$ hat die Ordnungszahl 1, oder heisst unendlich klein in der ersten Ordnung oder $0^{1}$ in $\mathfrak{P}$, wenn alle Quotienten $\frac{\pi}{\varrho}$ in $\mathfrak{P}$ endlich bleiben. Ist $\varrho'$ eine ebensolche Function wie $\varrho$, so ist $\frac{\varrho'}{\varrho}$ in $\mathfrak{P}$

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weder 0 noch $\infty$, und umgekehrt, ist $\frac{\varrho'}{\varrho}$ in $\mathfrak{P}$ weder 0 noch $\infty$, so ist $\varrho'$ gleichfalls unendlich klein von der ersten Ordnung. Giebt es ferner für irgend eine Function $\pi$ einen ganzen positiven Exponenten $r$, so dass $\frac{\pi}{\varrho^{r}}$ in $\mathfrak{P}$ weder 0 noch $\infty$ wird, so gilt dasselbe von $\frac{\pi}{\varrho^{\prime r}}$, und $\pi$ erhält die Ordnungszahl $r$ oder heisst unendlich klein in der Ordnung $r$ im Punkte $\mathfrak{P}$. Wir werden auch sagen, $\pi$ ist $0^{r}$ in $\mathfrak{P}$ oder $\pi$ ist 0 in $\mathfrak{P}^{r}$.

Um die Frage nach der Existenz solcher Functionen $\varrho$ und solcher Ordnungszahlen $r$ zu entscheiden, ergreife man eine beliebige in $\mathfrak{P}$ endliche Variable $z$, bezeichne mit $\mathfrak{p}$ das durch $\mathfrak{P}$ erzeugte Primideal in $z$, und stelle jede Function $\pi$ (mit Ausnahme der ordnungslosen Constanten 0) nach § 12 als Quotienten von zwei relativen Primidealen in $z$ dar. Das Oberideal jeder dieser Functionen ist dann durch $\mathfrak{p}$ theilbar, und es giebt darunter auch solche, deren Oberideal nicht durch $\mathfrak{p}^{2}$ theilbar ist; diese haben die Ordnungszahl 1; für die übrigen Functionen $\pi$ ist die Ordnungszahl der Exponent der höchsten im Oberideal aufgehenden Potenz von $\mathfrak{p}$, was sich aus den Sätzen des § 12 ohne Weiteres ergiebt.

2. Hat eine Function $\eta$ den endlichen Werth $\eta_{0}$ in $\mathfrak{P}$, so sagen wir, $\eta$ habe diesen Werth $r$-mal in $\mathfrak{P}$ oder in $r$ mit $\mathfrak{P}$ zusammenfallenden Punkten, oder in $\mathfrak{P}^{r}$, wenn die Function $\eta - \eta_{0}$ in $\mathfrak{P}$ unendlich klein in der Ordnung $r$ ist. Ist aber $\eta_{0} = \infty$, so sagen wir, $\eta$ habe den Werth $\infty$ $r$-mal in $\mathfrak{P}$ oder in $r$ mit $\mathfrak{P}$ zusammenfallenden Punkten, oder $\eta$ sei $\infty^{r}$ in $\mathfrak{P}$ oder $\infty$ in $\mathfrak{P}^{r}$, wenn $\frac{1}{\eta}$ in $\mathfrak{P}^{r}$ verschwindet.

3. Wird eine Function $\eta$ in $\mathfrak{P}$ $\infty^{r}$, so legen wir derselben auch die Ordnungszahl $-r$ bei, wenn aber $\eta$ in $\mathfrak{P}$ weder 0 noch $\infty$ wird, so habe sie die Ordnungszahl 0. Hiernach kommt in einem beliebigen Punkt $\mathfrak{P}$ jeder Function des Körpers $\Omega$ eine ganz bestimmte Ordnungszahl zu, mit Ausnahme der beiden Constanten 0 und $\infty$.

4. Ist $\varrho$ eine Function, welche in einem beliebigen Punkt $\mathfrak{P}$ die Ordnungszahl 1 besitzt, und $\eta$ eine Function mit der (positiven, negativen oder verschwindenden) Ordnungszahl $m$, so lässt sich nach dem Schlusssatz des § 12 für jedes beliebige positive $r$ eine Reihe von Constanten $c_{0}, c_{1}, \ldots c_{r-1}$, deren erste nicht verschwindet, und eine in $\mathfrak{P}$ endliche Function $\sigma$ so bestimmen, dass \[ \eta = c_{0}\varrho^{m} + c_{1}\varrho^{m+1} + \cdots + c_{r-1}\varrho^{m+r-1} + \sigma\varrho^{m+r} \] wird.

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5. Hieraus ergiebt sich unmittelbar, dass die Ordnungszahl eines Productes zweier oder mehrerer Functionen gleich ist der Summe der Ordnungszahlen der einzelnen Factoren.

Die Ordnungszahl eines Quotienten zweier Functionen ist gleich der Differenz der Ordnungszahlen des Zählers und Nenners.

Ist $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s}$ eine Reihe von Functionen und $m$ die algebraisch kleinste unter ihren Ordnungszahlen, so ist \[ \begin{aligned} \eta_{1} &= e_{1}\varrho^{m} + \sigma_{1}\varrho^{m+1}, \\ \eta_{2} &= e_{2}\varrho^{m} + \sigma_{2}\varrho^{m+1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{s} &= e_{s}\varrho^{m} + \sigma_{s}\varrho^{m+1}, \end{aligned} \] worin die Constanten $e_{1}, e_{2}, \ldots e_{s}$ jedenfalls nicht alle verschwinden. Sind daher $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ Constanten, so ist die Ordnungszahl von \[ \eta = c_{1}\eta_{1} + c_{2}\eta_{2} + \cdots + c_{s}\eta_{s}, \] falls $c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + \cdots + c_{s}e_{s}$ von Null verschieden ist, ebenfalls $m$, sonst grösser als $m$.

6. Complexe von Punkten, welche denselben Punkt auch mehrmals enthalten können, nennen wir Polygone und bezeichnen dieselben mit $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}, \ldots$

Es bedeute ferner $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ das aus den Punkten von $\mathfrak{A}$ und von $\mathfrak{B}$ zusammengesetzte Polygon, in der Weise, dass, wenn ein Punkt $\mathfrak{P}$ $r$-mal in $\mathfrak{A}$, $s$-mal in $\mathfrak{B}$ auftritt, er $(r+s)$-mal in $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ vorkommt. Daraus ergiebt sich die Bedeutung von $\mathfrak{P}^{r}$ und von $\mathfrak{A} = \mathfrak{P}^{r}\mathfrak{P}_{1}^{r_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{r_{2}}\ldots$, und die Gesetze der Theilbarkeit der Polygone in vollkommener Uebereinstimmung mit denen der Theilbarkeit der ganzen Zahlen und der Ideale. Die Rolle der Primfactoren übernehmen dabei die Punkte; um aber auch die Einheit zu erhalten, muss man das gar keinen Punkt enthaltende Polygon $\mathfrak{O}$ (das Nulleck) zulassen.

Die Anzahl der Punkte eines Polygons heisst seine Ordnung. Ein Polygon von der Ordnung $n$ wird auch kurz ein $n$-Eck genannt.

Der grösste gemeinschaftliche Theiler zweier Polygone $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ ist dasjenige Polygon, welches jeden Punkt $\mathfrak{P}$ so oft enthält, als er in $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ mindestens vorkommt. Ist dies $\mathfrak{O}$, so heissen $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ relativ prim.

Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ ist dasjenige Polygon, welches jeden Punkt so oft enthält, als er in $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ höchstens

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vorkommt. Sind $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ relativ prim, so ist $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ ihr kleinstes gemeinschaftliches Vielfache.

Ist $\mathfrak{A} = \mathfrak{P}^{r}\mathfrak{P}_{1}^{r_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{r_{2}}\ldots$ ein beliebiges Polygon, so giebt es stets Functionen $z$ in $\Omega$, welche in keinem der Punkte $\mathfrak{A}$ unendlich sind. Denn wenn $z$ in einigen Punkten von $\mathfrak{A}$ unendlich ist, so kann man eine Constante $c$ so wählen, dass $z-c$ in keinem der Punkte von $\mathfrak{A}$ den Werth 0 hat, und dann ist $\frac{1}{z-c}$ in allen Punkten des Polygons $\mathfrak{A}$ endlich. Legt man eine solche Variable $z$ zu Grunde, so ist der Inbegriff aller derjenigen ganzen Functionen von $z$, welche in den Punkten des Polygons $\mathfrak{A}$ (jeden nach seiner Vielfachheit gezählt) verschwinden, ein Ideal $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}^{r}\mathfrak{p}_{1}^{r_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{r_{2}}\ldots$, und man kann sagen, das Polygon $\mathfrak{A}$ erzeuge das Ideal $\mathfrak{a}$, oder $\mathfrak{A}$ sei das Nullpolygon des Ideals $\mathfrak{a}$. Der Idealbegriff fällt hiernach vollständig zusammen mit dem Begriff eines Systems ganzer Functionen, welche alle in denselben festen Punkten verschwinden. Das Ideal $\mathfrak{o}$ wird erzeugt durch das Nulleck $\mathfrak{O}$.

Das Product zweier oder mehrerer Ideale wird erzeugt durch das Product der Nullpolygone der Factoren, grösster gemeinschaftlicher Theiler und kleinstes gemeinschaftliches Vielfache zweier Ideale durch den grössten gemeinschaftlichen Theiler und das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der entsprechenden Nullpolygone.

7. Satz. Ist $z$ irgend eine Variable in $\Omega$ und $n$ der Grad des Körpers $\Omega$ in Bezug auf $z$, so nimmt $z$ jeden bestimmten Werth $c$ in genau $n$ Punkten an. — Denn wenn $\mathfrak{o}$ das System aller ganzen Functionen von $z$ und $c$ eine endliche Constante bedeutet, so ist \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots, \quad e_{1} + e_{2} + \cdots = n \quad (\text{§~9, 7.}), \] wenn $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ von einander verschiedene Primideale in $z$ bedeuten. Bezeichnet man mit $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots$ die Nullpunkte von $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$, so hat nach 2. $z$ den Werth $c$ in $e_{1}$ Punkten $\mathfrak{P}_{1}$ (oder in $\mathfrak{P}_{1}^{e_{1}}$), in $e_{2}$ Punkten $\mathfrak{P}_{2}$ (oder in $\mathfrak{P}_{2}^{e_{2}}$) u. s. f., also in den $n$ Punkten des Polygons $\mathfrak{P}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{e_{2}}\ldots$ Umgekehrt: ist $\mathfrak{P}$ ein Punkt, in welchem $z$ den Werth $c$ hat, und $\mathfrak{p}$ das durch $\mathfrak{P}$ erzeugte Primideal in $z$, so ist $z \equiv c \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$, und folglich ist $\mathfrak{p}$ eines der Ideale $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$, mithin $\mathfrak{P}$ einer der Punkte $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\ldots$ Dasselbe Resultat gilt aber auch für $c = \infty$; denn weil $n$ auch der Grad von $\Omega$ in Bezug auf $\frac{1}{z}$ ist, so nimmt letztere Variable den Werth 0, folglich $z$ den Werth $\infty$ in genau $n$ Punkten an. Aus § 11 folgt, dass nur für eine endliche Anzahl

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von Werthen der Constanten $c$ einer der Exponenten $e_{1}, e_{2}, \ldots$ grösser als 1 sein kann.

Die Zahl $n$, d. h. die Anzahl der Punkte, in welchen die Function $z$ je einen constanten Werth hat, soll die Ordnung der Function $z$ genannt werden. Die Constanten und nur diese haben die Ordnung Null. Für alle anderen Functionen in $\Omega$ ist die Ordnung eine positive ganze Zahl. Die Ordnung einer Variablen $z$ ist zugleich der Grad des Körpers $\Omega$ in Bezug auf $z$.

§ 16. Conjugirte Punkte und conjugirte Werthe.

1. Definition. Ist $c$ ein bestimmter Zahlwerth, so entspricht demselben, wie in § 15 gezeigt, ein Polygon $\mathfrak{A}$ von $n$ (gleichen oder verschiedenen) Punkten $\mathfrak{P}', \mathfrak{P}'', \ldots \mathfrak{P}^{(n)}$, in welchen die Variable $n^{\text{ter}}$ Ordnung $z$ eben diesen Werth hat; diese $n$ Punkte sollen conjugirt nach $z$ heissen; durch einen von ihnen (und durch die Variable $z$) sind die übrigen bestimmt. Lässt man $c$ nach und nach alle Werthe annehmen, so bewegt sich das Polygon $\mathfrak{A} = \mathfrak{P}'\mathfrak{P}''\ldots\mathfrak{P}^{(n)}$ und zwar so, dass stets alle seine Punkte sich verändern. Man erhält hierbei also alle überhaupt existirenden Punkte und nur diejenigen (in endlicher Anzahl vorhandenen) mehrfach, in welchen $z - z_{0}$ oder $\frac{1}{z}$ in höherer als der ersten Ordnung verschwindet. Es ist daher das Product aller dieser Polygone \[ \Pi\mathfrak{A} = T\mathfrak{Z}_{z}, \] wo $T$ die einfache Gesammtheit aller Punkte, die Riemannsche Fläche, $\mathfrak{Z}_{z}$ ein bestimmtes endliches Polygon ist, welches das Verzweigungs- oder Windungspolygon von $T$ in $z$ heisst. Jeder in $\mathfrak{Z}_{z}$ enthaltene Punkt $\mathfrak{Q}$ heisst ein Verzweigungs- oder Windungspunkt von $T$ in $z$, und zwar von der Ordnung $s$, wenn er genau $s$-mal in $\mathfrak{Z}_{z}$ vorkommt. Es ist $s = e-1$, wenn $z - z_{0}$ oder $\frac{1}{z}$ in $\mathfrak{Q}$ unendlich klein von der $e^{\text{ten}}$ Ordnung ist. Die Ordnung des Polygons $\mathfrak{Z}_{z}$ heisst die Verzweigungs- oder Windungszahl $\mathrm{w}_{z}$ der Fläche $T$ nach $z$. Diejenigen Punkte des Verzweigungspolygons, in welchen $z$ einen endlichen Werth hat, erzeugen zusammen das Verzweigungsideal in $z$ (§ 11).

Will man von dieser Definition der „absoluten“ Riemannschen Fläche, welche ein zu dem Körper $\Omega$ gehöriger invarianter Begriff ist, zu der bekannten Riemannschen Vorstellung übergehen, so hat man sich die Fläche

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in einer $z$-Ebene ausgebreitet zu denken, welche sie dann überall mit Ausnahme der Verzweigungspunkte $n$-fach bedeckt.

2. Satz. Ist \[ z' = \frac{c+dz}{a+bz}, \] worin $a, b, c, d$ Constanten bedeuten, deren Determinante $ad-bc$ von Null verschieden ist, so ist \[ \mathfrak{Z}_{z} = \mathfrak{Z}_{z'}; \quad \mathrm{w}_{z} = \mathrm{w}_{z'}. \] Denn wenn in einem Punkt $\mathfrak{P}$ $z - z_{0}$ oder $\frac{1}{z}$ unendlich klein in der $e^{\text{ten}}$ Ordnung ist, so ist in demselben Punkte auch \[ z' - z'_{0} = \frac{(ad-bc)(z-z_{0})}{(a+bz)(a+bz_{0})}, \] oder falls $z_{0}$ unendlich ist: \[ z' - z'_{0} = \frac{-(ad-bc)}{b(a+bz)}, \] oder falls $z'_{0} = \infty$, also $a+bz_{0} = 0$ ist: \[ \frac{1}{z'} = \frac{a+bz}{c+dz} \] unendlich klein in der $e^{\text{ten}}$ Ordnung.

Ist ins Besondere $z' = \frac{1}{z}$, so ist die Verzweigungszahl $\mathrm{w}_{z} = \mathrm{w}_{z'}$ gleich dem Grad der Discriminante $\Delta_{z}(\Omega)$ vermehrt um die Anzahl der verschwindenden Wurzeln von $\Delta_{z'}(\Omega) = 0$ (§ 11).

3. Definition. Die Werthe $\eta', \eta'', \ldots \eta^{(n)}$, welche eine beliebige Function $\eta$ in $\Omega$ in $n$ nach $z$ conjugirten Punkten $\mathfrak{P}', \mathfrak{P}'', \ldots \mathfrak{P}^{(n)}$ annimmt, heissen conjugirte Werthe von $\eta$ nach $z$.

4. Satz. Ist $N_{z}(\eta)$ die Norm einer beliebigen Function $\eta$ in Bezug auf $z$, so ist der Werth, welchen diese rationale Function von $z$ für $z = z_{0}$ besitzt, gleich dem Product $\eta'\eta''\ldots\eta^{(n)}$ der zu $z = z_{0}$ gehörigen conjugirten Werthe von $\eta$, wobei von dem Fall, dass dies Product unbestimmt wird, also einer dieser conjugirten Werthe 0, ein anderer $\infty$ ist, abzusehen ist. Beim Beweis dieses Satzes können wir annehmen, es sei $z_{0}$ endlich; denn ist $z_{0} = \infty$, so legen wir statt $z$ die Variable $z' = \frac{1}{z}$ zu Grunde, wobei die Norm ungeändert bleibt. Ferner können wir annehmen, die Werthe $\eta', \eta'', \ldots \eta^{(n)}$ seien alle endlich; denn ist einer von ihnen unendlich, so ist n. V. keiner derselben gleich 0, und wir betrachten statt $\eta$ die Function $\frac{1}{\eta}$.

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Es sei nun unter diesen Voraussetzungen \[ \mathfrak{o}(z-z_{0}) = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}\ldots \] und $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots$ die Nullpunkte der von einander verschiedenen Primideale $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \mathfrak{p}_{3}, \ldots$ Wir construiren ein System ganzer Functionen $\lambda, \mu$ von $z$ nach folgender Regel: Es sei \[ \begin{matrix} \lambda_{1} & \text{theilbar} & \text{durch} & \mathfrak{p}_{1}, & \text{nicht} & \text{durch} & \mathfrak{p}_{1}^{2}; \\ \lambda_{2} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{2}, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{2}^{2}; \\ \lambda_{3} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{3}, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{3}^{2}; \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \] \[ \begin{matrix} \mu_{1} & \text{theilbar} & \text{durch} & \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}, \ldots, & \text{nicht} & \text{durch} & \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}+1}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}+1}, \ldots; \\ \mu_{2} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}, \ldots, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{2}, \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}+1}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}+1}, \ldots; \\ \mu_{3} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}, \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}, \ldots, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{3}, \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}+1}, \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}+1}, \ldots{}^{*)}. \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \] Die $n$ Functionen \[ \begin{matrix} \mu_{1}, & \mu_{1}\lambda_{1}, & \mu_{1}\lambda_{1}^{2}, & \ldots & \mu_{1}\lambda_{1}^{e_{1}-1}, \\ \mu_{2}, & \mu_{2}\lambda_{2}, & \mu_{2}\lambda_{2}^{2}, & \ldots & \mu_{2}\lambda_{2}^{e_{2}-1}, \\ \mu_{3}, & \mu_{3}\lambda_{3}, & \mu_{3}\lambda_{3}^{2}, & \ldots & \mu_{3}\lambda_{3}^{e_{3}-1}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \] die wir mit $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ bezeichnen, bilden dann eine Basis von $\Omega$; diese Behauptung ist in der nun zu beweisenden allgemeineren enthalten.

Wenn \[ (z-z_{0})\zeta = x_{1}\eta_{1} + x_{2}\eta_{2} + \cdots + x_{n}\eta_{n} \] mit ganzen rationalen Coefficienten $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ ist, und $\zeta$ in den Punkten $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots$ endliche Werthe $\zeta', \zeta'', \zeta''', \ldots$ hat, so müssen die sämmtlichen Coefficienten $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ durch $z-z_{0}$ theilbar sein. In der That ist z. B. im Punkte $\mathfrak{P}_{1}$ die linke Seite unendlich klein mindestens in der Ordnung $e_{1}$. Es muss also nach § 15, 5. auch \[ x_{1}\eta_{1} + x_{2}\eta_{2} + \cdots + x_{e_{1}}\eta_{e_{1}} = \mu_{1}(x_{1} + x_{2}\lambda_{1} + \cdots + x_{e_{1}}\lambda_{1}^{e_{1}-1}) \] in dieser Ordnung unendlich klein sein. Dies ist aber nur möglich, wenn $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{e_{1}}$ in $\mathfrak{P}_{1}$ verschwinden, also durch $z-z_{0}$ theilbar sind, w. z. b. w.

*) Die Möglichkeit, solche Functionen zu bestimmen, ergiebt sich aus § 9, 3. Anmerkung, oder auch nach § 11, 2., wonach man z. B. setzen kann \[ \lambda = \varrho - b, \quad \mu\lambda^{e} = \psi(\varrho). \]

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Hiernach können wir setzen: \[ \begin{aligned} \eta\mu_{1}\lambda_{1}^{r} &= \mu_{1}(x_{1}^{(0)} + x_{1}^{(1)}\lambda_{1} + \cdots + x_{1}^{(e_{1}-1)}\lambda_{1}^{e_{1}-1}) \\ &\quad + \mu_{2}(x_{2}^{(0)} + x_{2}^{(1)}\lambda_{2} + \cdots + x_{2}^{(e_{2}-1)}\lambda_{2}^{e_{2}-1}) \\ &\quad + \mu_{3}(x_{3}^{(0)} + x_{3}^{(1)}\lambda_{3} + \cdots + x_{3}^{(e_{3}-1)}\lambda_{3}^{e_{3}-1}) + \cdots, \end{aligned} \] worin die $x_{1}^{(0)}, x_{1}^{(1)}, \ldots x_{2}^{(0)}, \ldots$ rationale Functionen von $z$ sind, die alle für $z = z_{0}$ endlich bleiben. In den Punkten $\mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots$ ist die linke Seite unendlich klein mindestens in der Ordnung $e_{2}, e_{3}, \ldots$ Dasselbe gilt für $\mathfrak{P}_{2}$ von $\mu_{1}, \mu_{3}, \ldots$ aber nicht von $\mu_{2}$, für $\mathfrak{P}_{3}$ von $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ aber nicht von $\mu_{3}, \ldots$; folglich ist für $z = z_{0}$ \[ \begin{gathered} x_{2}^{(0)} = 0, \quad x_{2}^{(1)} = 0, \quad \ldots \quad x_{2}^{(e_{2}-1)} = 0, \\ x_{3}^{(0)} = 0, \quad x_{3}^{(1)} = 0, \quad \ldots \quad x_{3}^{(e_{3}-1)} = 0, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \end{gathered} \] In $\mathfrak{P}_{1}$ ist die linke Seite unendlich klein mindestens in der Ordnung $r$; daher wird, wenn $r < e_{1}$ ist, für $z = z_{0}$ \[ x_{1}^{(0)} = 0, \quad x_{1}^{(1)} = 0, \quad \ldots \quad x_{1}^{(r-1)} = 0, \quad x_{1}^{(r)} = \eta'. \] Dieselbe Betrachtung lässt sich auf die Functionen $\eta\mu_{2}\lambda_{2}^{r}, \eta\mu_{3}\lambda_{3}^{r}, \ldots$ anwenden. Setzt man also \[ \begin{aligned} \eta\eta_{1} &= x_{1,1}\eta_{1} + x_{1,2}\eta_{2} + \cdots + x_{1,n}\eta_{n}, \\ \eta\eta_{2} &= x_{2,1}\eta_{1} + x_{2,2}\eta_{2} + \cdots + x_{2,n}\eta_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta\eta_{n} &= x_{n,1}\eta_{1} + x_{n,2}\eta_{2} + \cdots + x_{n,n}\eta_{n}, \end{aligned} \] so werden in der Determinante \[ N(\eta) = \Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n} \] sämmtliche links von der Diagonalreihe stehenden Glieder für $z = z_{0}$ verschwinden, während von den Diagonalgliedern $e_{1}$ gleich $\eta'$, $e_{2}$ gleich $\eta''$, $e_{3}$ gleich $\eta'''$, $\ldots$ werden. Es ist also für $z = z_{0}$ \[ N(\eta) = \eta^{\prime e_{1}}\eta^{\prime\prime e_{2}}\eta^{\prime\prime\prime e_{3}}\ldots \] w. z. b. w.

5. Da nach der Definition der Spur (§ 2) \[ S(\eta) = x_{1,1} + x_{2,2} + \cdots + x_{n,n} \] ist, so führen dieselben Betrachtungen zu dem Satze:

Es ist für $z = z_{0}$ \[ S(\eta) = e_{1}\eta' + e_{2}\eta'' + e_{3}\eta''' + \cdots, \]

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welcher jedoch nur unter der Voraussetzung gilt, dass die Werthe $\eta', \eta'', \eta''', \ldots$ endlich sind.

Der Satz 4. ergiebt für ein beliebiges constantes (oder rational von $z$ abhängiges) $t$ für $z = z_{0}$ \[ N(t-\eta) = (t-\eta')^{e_{1}}(t-\eta'')^{e_{2}}(t-\eta''')^{e_{3}}\ldots, \] und daraus durch Vergleichung der Coefficienten gleicher Potenzen von $t$ für jeden dieser Coefficienten einen Ausdruck durch die conjugirten Werthe (symmetrische Functionen).

6. Ist $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ eine Basis von $\Omega$, so ergiebt sich durch Anwendung von 5. sofort der Werth der Discriminante dieses Systems für $z = z_{0}$ \[ \Delta_{z}(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) = (\Sigma \pm \eta'_{1}\eta''_{2}\ldots\eta_{n}^{(n)})^{2}, \] wenn $\eta'_{\iota}, \eta''_{\iota}, \ldots \eta_{\iota}^{(n)}$ die sämmtlichen gleichen oder verschiedenen, aber als endlich vorausgesetzten, zu $z = z_{0}$ gehörigen conjugirten Werthe von $\eta_{\iota}$ bedeuten.

§ 17. Darstellung der Functionen des Körpers $\Omega$ durch Polygonquotienten.

Eine Function $\eta$ des Körpers $\Omega$ hat nur in einer endlichen Anzahl von Punkten eine von Null verschiedene Ordnungszahl; die Summe sämmtlicher Ordnungszahlen ist gleich 0, also die Summe der positiven gleich der Summe der negativen Ordnungszahlen, und zwar gleich der Ordnung der Function $\eta$ (§ 15). Sind die Ordnungszahlen einer Function $\eta$ für jeden Punkt $\mathfrak{P}$ bekannt, so ist damit die Function $\eta$ bis auf einen constanten Factor bestimmt; denn hat $\eta'$ überall dieselbe Ordnungszahl wie $\eta$, so hat $\frac{\eta}{\eta'}$ (nach § 15, 5.) überall die Ordnungszahl Null und ist also (nach § 15, 7.) eine Constante.

Bilden wir also ein Polygon $\mathfrak{A}$, in welches wir jeden Punkt, in dem $\eta$ eine positive Ordnungszahl hat, so oft aufnehmen, als diese Ordnungszahl angiebt, und ein zweites Polygon $\mathfrak{B}$, in welches wir in entsprechender Weise die Punkte aufnehmen, in welchen $\eta$ eine negative Ordnungszahl hat, so sind die Polygone $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ von gleicher Ordnung, und zwar von der Ordnung der Function $\eta$. Durch diese Polygone $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ ist also die Function $\eta$ bis auf einen constanten Factor bestimmt. Wir setzen in symbolischer Bezeichnung

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\[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \] und nennen $\mathfrak{A}$ das Obereck, $\mathfrak{B}$ das Untereck der Function $\eta{}^{*)}$.

Nach dieser Festsetzung sind die beiden Polygone $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ relativ prim; es ist aber zweckmässig, die Bezeichnung dahin auszudehnen, dass man auch gemeinschaftliche Factoren in $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ zulässt, was durch die Bestimmung geschieht, dass \[ \frac{\mathfrak{M}\mathfrak{A}}{\mathfrak{M}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}} \] sein soll, wenn $\mathfrak{M}$ ein beliebiges Polygon bedeutet. Setzen wir nach dieser verallgemeinerten Bezeichnung \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \] so kann ein Punkt $\mathfrak{P}$, in welchem $\eta$ die Ordnungszahl $m$ besitzt, $m_{1}$-mal in $\mathfrak{A}$, $m_{2}$-mal in $\mathfrak{B}$ aufgenommen werden, wenn $m_{1} - m_{2} = m$ ist. Es ist auch jetzt noch die Ordnung von $\mathfrak{A}$ gleich der von $\mathfrak{B}$, aber nicht mehr gleich der Ordnung der Function $\eta$.

Aus dieser Definition ergiebt sich (nach § 15, 5.) unmittelbar der Satz: Ist \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \quad \eta' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}'}, \] so ist \[ \eta\eta' = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}\mathfrak{B}'}, \quad \frac{\eta}{\eta'} = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{B}'}{\mathfrak{B}\mathfrak{A}'}. \] Nach § 14, 5. ist eine Function $\eta'$ dann und nur dann eine ganze Function von $\eta$, wenn jeder im Untereck von $\eta'$ aufgehende Punkt auch in dem von $\eta$ enthalten ist.

§ 18. Aequivalente Polygone und Polygonclassen.

1. Definition. Zwei Polygone $\mathfrak{A}, \mathfrak{A}'$ von gleichviel Punkten heissen äquivalent, wenn eine Function $\eta$ in $\Omega$ existirt, welche (nach § 17) die Bezeichnung hat:

*) Alle Functionen der einfachen Schaar $(\eta)$ haben hiernach dieselbe Bezeichnung $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$, und es würde daher correcter sein, $(\eta) = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$ zu setzen; indessen führt diese Bezeichnung zu unnöthigen Weitläufigkeiten.

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\[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{A}'}. \]

2. Satz. Ist $\mathfrak{A}$ äquivalent mit $\mathfrak{A}'$ und mit $\mathfrak{A}''$, so ist auch $\mathfrak{A}'$ mit $\mathfrak{A}''$ äquivalent; denn aus \[ \eta' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}}; \quad \eta'' = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}} \] folgt: \[ \frac{\eta'}{\eta''} = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}''}. \]

3. Definition und Satz. Alle mit einem gegebenen Polygon $\mathfrak{A}$ äquivalenten Polygone $\mathfrak{A}', \mathfrak{A}'', \ldots$ bilden eine Polygonclasse $A$. Nach 2. kommt dann jedes beliebige Polygon in einer und nur in einer Classe vor; denn sind $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ zwei äquivalente Polygone, welche zu den Classen $A, B$ führen, so ist nach 2. jedes Polygon der Classe $B$ zugleich in $A$ enthalten und umgekehrt, und daher sind beide Classen identisch.

Alle Polygone einer Classe haben dieselbe Ordnung, welche die Ordnung der Classe genannt werden soll.

4. Es können aber Polygone existiren, welche mit keinem andern äquivalent sind, und deren jedes daher für sich eine Classe bildet. Solche Polygone mögen isolirte genannt sein.

5. Ist $\mathfrak{M}$ ein beliebiges Polygon, und $\mathfrak{A}$ äquivalent mit $\mathfrak{A}'$, so ist auch $\mathfrak{M}\mathfrak{A}$ äquivalent mit $\mathfrak{M}\mathfrak{A}'$; aber auch umgekehrt folgt aus der Aequivalenz von $\mathfrak{M}\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{M}\mathfrak{A}'$ die Aequivalenz von $\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{A}'$.

6. Ist $\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{A}'$, $\mathfrak{B}$ mit $\mathfrak{B}'$ äquivalent, so ist auch $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ mit $\mathfrak{A}'\mathfrak{B}'$ äquivalent. Die Classe $C$, welcher das Product $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ angehört, umfasst daher die sämmtlichen Producte je zweier Polygone der Classen $A, B$ von $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ (aber ausserdem unter Umständen noch unendlich viele andere Polygone) und soll als das Product der beiden Classen $A, B$ bezeichnet sein: \[ C = AB = BA. \] Die Definition des Products von mehreren Classen und die Gültigkeit des Fundamentalsatzes der Multiplication ergiebt sich hieraus von selbst.

7. Sind $A, B, D$ drei Classen, welche der Bedingung \[ DA = DB \] genügen, so folgt $A = B$; denn sind $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{D}$ drei Polygone der Classen $A, B, D$, so folgt aus der Voraussetzung, dass $\mathfrak{D}\mathfrak{B}$ mit $\mathfrak{D}\mathfrak{A}$, und folglich $\mathfrak{B}$ mit $\mathfrak{A}$ äquivalent ist.

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8. Geht ein Polygon $\mathfrak{A}$ der Classe $A$ in einem Polygon $\mathfrak{C}$ der Classe $C$ auf, so gilt dasselbe von jedem Polygon $\mathfrak{A}'$ der Classe $A$; denn aus $\mathfrak{C} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}$ folgt nach 5., dass $\mathfrak{C}' = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}$ in $C$ enthalten ist, und wir können also, obschon nicht umgekehrt jedes Polygon der Classe $C$ durch ein Polygon der Classe $A$ theilbar zu sein braucht, sagen, die Classe $C$ sei durch die Classe $A$ theilbar. Ist $\mathfrak{B}'$ irgend ein Polygon der Classe $B$ von $\mathfrak{B}$, so ist auch $\mathfrak{C}'' = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}'$ in $C$ enthalten und folglich \[ C = AB. \] Ist also $C$ durch $A$ theilbar, so giebt es eine und (nach 7.) nur eine Classe $B$, welche der Bedingung \[ C = AB \] genügt.

§ 19. Die Polygonschaaren.

1. Sind $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ bestimmte, und zwar äquivalente Polygone, und $\mathfrak{A}$ ein beliebiges Polygon derselben Classe $A$, so existiren $s$ Functionen in $\Omega$ \[ \eta_{1} = \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{A}}, \quad \eta_{2} = \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{A}}, \quad \ldots \quad \eta_{s} = \frac{\mathfrak{A}_{s}}{\mathfrak{A}}. \] Setzt man, wie in § 15, 5. für einen beliebigen Punkt $\mathfrak{P}$ \[ \begin{aligned} \eta_{1} &= e_{1}\varrho^{m} + \sigma_{1}\varrho^{m+1}, \\ \eta_{2} &= e_{2}\varrho^{m} + \sigma_{2}\varrho^{m+1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{s} &= e_{s}\varrho^{m} + \sigma_{s}\varrho^{m+1}, \end{aligned} \] worin $\varrho$ in $\mathfrak{P}$ $0^{1}$ ist, $e_{1}, e_{2}, \ldots e_{s}$ Constanten, die nicht alle verschwinden, und $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots \sigma_{s}$ in $\mathfrak{P}$ endliche Functionen bedeuten, so folgt, dass jede Function $\eta$ der Schaar $(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s})$, d. h. jede Function von der Form \[ \eta = c_{1}\eta_{1} + c_{2}\eta_{2} + \cdots + c_{s}\eta_{s} \] in $\mathfrak{P}$ eine Ordnungszahl hat, die nicht kleiner als $m$ ist, und daraus nach § 17, dass die Function $\eta$ in die Form \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} \] gesetzt werden kann, wo $\mathfrak{A}'$ gleichfalls in der Classe $A$ enthalten ist.

Wählt man für $\mathfrak{A}$ ein beliebiges anderes Polygon $\mathfrak{B}$ der Classe $A$, und setzt

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\[ \begin{gathered} \zeta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \\ \eta_{1}\zeta = \eta'_{1} = \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{B}}, \quad \eta_{2}\zeta = \eta'_{2} = \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{B}}, \quad \ldots \quad \eta_{s}\zeta = \eta'_{s} = \frac{\mathfrak{A}_{s}}{\mathfrak{B}}, \end{gathered} \] so wird auch \[ \eta\zeta = \eta' = c_{1}\eta'_{1} + c_{2}\eta'_{2} + \cdots + c_{s}\eta'_{s}, \] und folglich \[ \eta' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}}. \] Jedes durch den Nenner $\mathfrak{A}$ und ein Constantensystem $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ erzeugte Polygon wird daher auch durch jeden andern derselben Classe angehörigen Nenner $\mathfrak{B}$ erzeugt, und der Inbegriff der sämmtlichen Polygone $\mathfrak{A}'$, die den verschiedenen Werthen der Constanten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ entsprechen, ist nur abhängig von den Polygonen $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$. Dieser Inbegriff soll daher eine Polygonschaar mit der Basis $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ genannt und mit \[ (\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}) \] bezeichnet werden.

2. Haben die Polygone $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ einen grössten gemeinschaftlichen Theiler $\mathfrak{M}$, so ist derselbe nach 1. auch Theiler eines jeden Polygons $\mathfrak{A}'$ der Schaar $(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s})$, und kann der Theiler der Schaar genannt werden; aber es lässt sich in dieser Schaar ein Polygon $\mathfrak{A}' = \mathfrak{M}\mathfrak{B}$ der Art bestimmen, dass $\mathfrak{B}$ relativ prim zu einem beliebig gegebenen Polygon wird. Ist nämlich unter Beibehaltung der Bezeichnung von 1. ein Punkt $\mathfrak{P}$ genau $\mu$-mal in $\mathfrak{M}$ und $\nu$-mal in $\mathfrak{A}$ enthalten, so ist, wenn \[ \eta = e\varrho^{m} + \sigma\varrho^{m+1} \] gesetzt wird, $m$ niemals kleiner als $\mu - \nu$, und es ist $m = \mu - \nu$, wenn man die Constanten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ so wählt, dass \[ e = c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + \cdots + c_{s}e_{s} \] von Null verschieden ist. Der Punkt $\mathfrak{P}$ ist daher mindestens $\mu$-mal in $\mathfrak{A}'$ enthalten, und unter der letzteren Voraussetzung auch nicht öfter als $\mu$-mal. Da man nun die Constanten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ immer so wählen kann, dass eine beliebige Anzahl von Ausdrücken der Form \[ \Sigma c_{\iota}e_{\iota}, \quad \Sigma c_{\iota}e'_{\iota}, \quad \ldots, \] in deren keinem die sämmtlichen Constanten $e_{\iota}, e'_{\iota}, \ldots$ verschwinden, von Null verschiedene Werthe haben, so folgt die Richtigkeit der aufgestellten Behauptung.

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3. Sind die Functionen $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s}$ in 1. linear abhängig oder unabhängig, so gilt das Gleiche von den Functionen $\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{s}$. Wir werden dem entsprechend auch die Polygone $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ linear abhängig oder unabhängig und ihr System linear reductibel oder irreductibel nennen.

Da nach § 5, 4. jede Functionenschaar eine irreductible Basis besitzt, so folgt, dass auch jede Polygonschaar eine irreductible Basis hat. Ist $s$ die Anzahl der Polygone einer solchen Basis, so heisst die Schaar eine $s$-fache, oder $s$ die Dimension der Schaar. Irgend $s$ Polygone einer solchen Schaar bilden eine irreductible Basis derselben oder nicht, je nachdem sie linear unabhängig oder abhängig sind. (Vgl. § 5, 4.).

4. Sind die Polygone $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ linear abhängig oder unabhängig, so sind, wenn $\mathfrak{M}$ ein beliebiges Polygon bedeutet, auch $\mathfrak{M}\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{M}\mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{M}\mathfrak{A}_{s}$ linear abhängig oder unabhängig und umgekehrt.

§ 20. Erniedrigung der Dimension der Schaar durch Theilbarkeitsbedingungen.

1. Es sei \[ S = (\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}) \] eine $s$-fache Schaar vom Theiler $\mathfrak{M}$. Es wird nach der Mannigfaltigkeit derjenigen Polygone $\mathfrak{A}'$ der Schaar $S$ gefragt, welche einen beliebig gegebenen Punkt wenigstens einmal öfter enthalten als der Theiler $\mathfrak{M}$ der Schaar.

Ist der Punkt $\mathfrak{P}$ $\mu$-mal in $\mathfrak{M}$ und $\nu$-mal in einem beliebigen mit $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots$ äquivalenten Polygon $\mathfrak{A}$ enthalten, so ist, wenn wir wie in § 19 \[ \begin{aligned} \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{A}} &= \eta_{1} = e_{1}\varrho^{m} + \sigma_{1}\varrho^{m+1}, \\ \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{A}} &= \eta_{2} = e_{2}\varrho^{m} + \sigma_{2}\varrho^{m+1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \frac{\mathfrak{A}_{s}}{\mathfrak{A}} &= \eta_{s} = e_{s}\varrho^{m} + \sigma_{s}\varrho^{m+1} \end{aligned} \] setzen, $m = \mu - \nu$, und von den Constanten $e_{1}, e_{2}, \ldots e_{s}$ ist wenigstens eine, etwa $e_{s}$, von Null verschieden. Die gesuchten Polygone $\mathfrak{A}'$ sind dann durch die Gleichung charakterisirt \[ \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} = \eta' = c_{1}\eta_{1} + c_{2}\eta_{2} + \cdots + c_{s}\eta_{s}, \] worin die Constanten $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ an die Bedingung gebunden sind \[ c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + \cdots + c_{s}e_{s} = 0. \]

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Hiernach können wir setzen \[ \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} = e_{s}\eta' = c_{1}(e_{s}\eta_{1} - e_{1}\eta_{s}) + \cdots + c_{s-1}(e_{s}\eta_{s-1} - e_{s-1}\eta_{s}). \] Daraus aber ergiebt sich, wenn wir \[ \begin{aligned} \eta'_{1} &= e_{s}\eta_{1} - e_{1}\eta_{s}, \\ \eta'_{2} &= e_{s}\eta_{2} - e_{2}\eta_{s}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta'_{s-1} &= e_{s}\eta_{s-1} - e_{s-1}\eta_{s} \end{aligned} \] setzen, dass die Functionen $\eta'$ eine $(s-1)$-fache Schaar $(\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{s-1})$ bilden; denn die Functionen $\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{s-1}$ sind linear unabhängig, wenn es, wie vorausgesetzt, die Functionen $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s}$ sind. Es bilden also auch die Polygone $\mathfrak{A}'$ eine $(s-1)$-fache Schaar \[ S' = (\mathfrak{A}'_{1}, \mathfrak{A}'_{2}, \ldots \mathfrak{A}'_{s-1}), \] wenn \[ \frac{\mathfrak{A}'_{\iota}}{\mathfrak{A}} = e_{s}\eta_{\iota} - e_{\iota}\eta_{s} \] gesetzt wird. Der Theiler dieser Schaar ist durch $\mathfrak{M}\mathfrak{P}$ theilbar, wenn auch nicht nothwendig damit identisch.

2. Hieraus ergiebt sich sofort, dass die Polygone einer Schaar $S$, welche durch ein beliebiges $r$-Eck $\mathfrak{R}$ theilbar sind, eine mindestens $(s-r)$-fache Schaar bilden. Denn nehmen wir an, es sei dies bereits für ein $r$-Eck $\mathfrak{R}$ bewiesen, so folgt die Richtigkeit der Behauptung für ein $(r+1)$-Eck $\mathfrak{P}\mathfrak{R}$ unmittelbar aus 1, indem durch das Hinzutreten des Punktes $\mathfrak{P}$, wenn $\mathfrak{P}$ im Theiler der durch $\mathfrak{R}$ bereits reducirten Schaar enthalten ist, die Dimension nicht weiter geändert, sonst um 1 erniedrigt wird.

Hieraus folgt als Specialfall, dass es in einer $s$-fachen Schaar immer wenigstens ein Polygon giebt, welches durch ein gegebenes $(s-1)$-Eck theilbar ist.

3. Man kann, wenn $r \leqq s$ ist, das $r$-Eck $\mathfrak{R}$ so wählen, dass die durch $\mathfrak{R}$ theilbaren Polygone der Schaar $S$ eine genau $(s-r)$-fache Schaar bilden. Zu diesem Ende wähle man einen Punkt $\mathfrak{P}$, welcher im Theiler von $S$ nicht enthalten ist; die durch $\mathfrak{P}$ theilbaren Polygone in $S$ bilden nach 1. eine $(s-1)$-fache Schaar $S'$; man wähle einen zweiten Punkt $\mathfrak{P}'$, der nicht im Theiler von $S'$ enthalten ist; die Polygone in $S'$, die durch $\mathfrak{P}'$, d. h. die Polygone in $S$, die durch $\mathfrak{P}\mathfrak{P}'$ theilbar sind, bilden eine $(s-2)$-fache

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Schaar, u. s. f.; zugleich erhellt aus dieser Bildungsweise, dass man $\mathfrak{R}$ zu einem beliebig gegebenen Polygon relativ prim annehmen kann. Ist $r = s$, so wird hiernach in $S$ kein durch $\mathfrak{R}$ theilbares Polygon existiren.

§ 21. Die Dimensionen der Polygonclassen.

1. Die Polygone einer Classe bilden eine Schaar von endlicher Dimension, welche die Dimension der Classe heissen soll.

Beweis. Wählt man in einer Classe $A$, deren Ordnung $m$ sei, irgend $s$ Polygone $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ aus, so gehören alle Polygone der Schaar $(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s})$ zugleich in die Classe $A$. Die Anzahl der linear unabhängigen Polygone, die in $A$ enthalten sind, kann daher gewiss nicht grösser sein als $m+1$, weil man sonst (nach § 20, 2.) in der Classe ein durch ein beliebiges $(m+1)$-Eck theilbares Polygon finden könnte, was widersinnig ist. Wenn daher $s$ die Maximalzahl der linear unabhängigen Polygone $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ der Classe $A$ ist, so muss jedes Polygon dieser Classe in der Schaar $(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s})$ enthalten sein, und $s$ ist die Dimension der Classe. Das System der Polygone $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ soll eine Basis der Classe genannt werden.

Die isolirten Polygone bilden Classen von der Dimension 1.

2. Giebt es in einer Classe $C$ $s$ und nicht mehr linear unabhängige, durch ein gegebenes Polygon $\mathfrak{A}$ der Classe $A$ theilbare Polygone \[ \mathfrak{C}_{1} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{1}, \quad \mathfrak{C}_{2} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{2}, \quad \ldots \quad \mathfrak{C}_{s} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{s}, \] so ist $C$ durch $A$ theilbar, und es existiren in $C$ auch ebenso viele linear unabhängige Polygone \[ \mathfrak{C}'_{1} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}_{1}, \quad \mathfrak{C}'_{2} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}_{2}, \quad \ldots \quad \mathfrak{C}'_{s} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}_{s}, \] welche durch ein beliebiges mit $\mathfrak{A}$ äquivalentes Polygon $\mathfrak{A}'$ theilbar sind. (§ 18, 8.; § 19, 4.). Diese Zahl $s$ hängt daher nur von den beiden Classen $A$, $C$ ab und kann füglich mit $(A, C)$ bezeichnet werden. Der Werth des Symbols $(A, C)$ ist gleich 0 zu setzen, wenn $C$ nicht durch $A$ theilbar ist. Die Dimension einer Classe $A$ wird hiernach mit $(O, A)$ bezeichnet, wo $O$ die aus dem Nulleck $\mathfrak{O}$ bestehende Classe bedeutet. Ist (nach § 18, 8.) \[ C = AB, \] so folgt: \[ (A, C) = (A, AB) = (O, B); \tag{1.} \]

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denn die Polygone $\mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{B}_{2}, \ldots \mathfrak{B}_{s}$, die sämmtlich in $B$ enthalten sind, sind linear unabhängig, daher $(O, B)$ gewiss nicht kleiner als $s$. Ist umgekehrt $\mathfrak{B}$ ein beliebiges Polygon der Classe $B$, so ist $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ in $C$ enthalten, also auch in der Schaar $(\mathfrak{A}\mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{2}, \ldots \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{s})$, mithin $\mathfrak{B}$ in der Schaar $(\mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{B}_{2}, \ldots \mathfrak{B}_{s})$ enthalten, d. h. $(O, B) = s$.

Ist $a$ die Ordnung der Classe $A$, so ist nach § 20, 2. $(A, C) \geqq (O, C) - a$, und daraus folgt mittelst (1.) der allgemeine Satz \[ (O, B) \geqq (O, AB) - a. \tag{2.} \]

3. Haben die sämmmtlichen§§§Editorial note: Printed “sämmmtlichen” with three m; read “sämmtlichen”. An apparent misprint. Basis-Polygone einer Classe $A$ den grössten gemeinschaftlichen Theiler $\mathfrak{M}$, so ist dieser auch Theiler sämmtlicher Polygone der Classe $A$. Ist $\mathfrak{M}$ gleich dem Nulleck $\mathfrak{O}$, so heisst die Classe eine eigentliche, im entgegengesetzten Fall eine uneigentliche vom Theiler $\mathfrak{M}$.

Unterdrückt man in sämmtlichen Polygonen einer uneigentlichen Classe $A$ den Theiler $\mathfrak{M}$, so erhält man eine eigentliche Classe $A'$ von niedrigerer Ordnung, aber von derselben Dimension. Diese Beziehung von $A$ zu $A'$ soll durch das Zeichen ausgedrückt sein \[ A = \mathfrak{M}A'. \]

4. Dêr¶¶¶Editorial note: Printed “Dêr” with a circumflex-like mark over the e; read “Der”. Probably a stray or damaged piece of type. Theiler $\mathfrak{M}$ einer uneigentlichen Classe $A$ ist stets ein isolirtes Polygon. Ist nämlich \[ A = \mathfrak{M}A', \] so kann man in der eigentlichen Classe $A'$ nach § 19, 2. ein Polygon $\mathfrak{A}'$ so wählen, dass es relativ prim zu $\mathfrak{M}$ ist. Ist also $\mathfrak{M}'$ äquivalent mit $\mathfrak{M}$, so ist $\mathfrak{M}'\mathfrak{A}'$ äquivalent mit $\mathfrak{M}\mathfrak{A}'$, also in $A$ enthalten, mithin durch $\mathfrak{M}$ theilbar. Es ist also auch $\mathfrak{M}'$ durch $\mathfrak{M}$ theilbar, und da $\mathfrak{M}$ und $\mathfrak{M}'$ von gleicher Ordnung sind, \[ \mathfrak{M} = \mathfrak{M}'. \] Hiernach bildet das einzige Polygon $\mathfrak{M}$ eine Classe $M$, und die Bezeichnung $\mathfrak{M}A'$ ist gleichbedeutend mit $MA'$ (§ 18, 6.).

§ 22. Die Normalbasen von $\mathfrak{o}$.

1. Wir betrachten im Folgenden das System $\mathfrak{o}$ der ganzen Functionen $\omega$ einer beliebigen Variablen $z$ in $\Omega$ und zugleich das System $\mathfrak{o}'$ der ganzen Functionen $\omega'$ von $z' = \frac{1}{z}$. Aus der Definition der ganzen Functionen

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erhellt sofort, dass die beiden Systeme $\mathfrak{o}, \mathfrak{o}'$ nur die Constanten mit einander gemein haben, dass dagegen jede Function $\omega$ durch Multiplication mit einer bestimmten positiven Potenz von $z'$ in eine Function $\omega'$ verwandelt werden kann. Ist $\omega z'^{r}$ in $\mathfrak{o}'$ enthalten, so gilt das Gleiche auch von $\omega z'^{r+1}, \omega z'^{r+2}, \ldots$ In der Reihe der Functionen \[ \omega, \quad \frac{\omega}{z} = z'\omega, \quad \frac{\omega}{z^{2}} = z'^{2}\omega, \quad \ldots \] werden also von einem bestimmten Gliede $\omega z'^{r}$ an alle folgenden Functionen in $\mathfrak{o}'$ enthalten sein, während alle vorangehenden nicht darin enthalten sind. Die kleinste Zahl $r$, für welche $z'^{r}\omega$ in $\mathfrak{o}'$ enthalten ist, soll der Exponent der Function $\omega$ in Bezug auf $z$ genannt werden. Die Constanten, und nur diese, haben den Exponenten Null. Ist $\omega$ von Null verschieden, und $r$ sein Exponent, so ist $r+1$ der Exponent von $(z-c)\omega$; denn ist $\omega = z^{r}\omega'$, so ist \[ \begin{aligned} \frac{(z-c)\omega}{z^{r+1}} &= (1-cz')\omega' \quad \text{in } \mathfrak{o}' \text{ enthalten,} \\ \frac{(z-c)\omega}{z^{r}} &= z\omega' - c\omega' \quad \text{nicht in } \mathfrak{o}' \text{ enthalten,} \end{aligned} \] da zwar $c\omega'$, nicht aber $z\omega' = \frac{\omega}{z^{r-1}}$ in $\mathfrak{o}'$ enthalten ist. Daraus folgt allgemein:

Ist $x$ eine ganze rationale Function von $z$ vom Grade $s$, und $r$ der Exponent von $\omega$, so ist $(r+s)$ der Exponent von $x\omega$.

2. Wir wählen nun ein Functionensystem $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ in $\mathfrak{o}$ nach folgender Regel aus:

Es sei $\lambda_{1}$ eine von Null verschiedene Constante, z. B. 1; $\lambda_{2}$ sei unter denjenigen Functionen in $\mathfrak{o}$, welche nicht einer Constanten nach dem Modul $\mathfrak{o}z$ congruent sind, eine von möglichst niedrigem Exponenten $r_{2}$ u. s. f.; allgemein sei $\lambda_{s}$ unter denjenigen Functionen in $\mathfrak{o}$, welche nicht congruent sind einer Function der Schaar $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s-1})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z)$, eine von möglichst niedrigem Exponenten $r_{s}$. Da $(\mathfrak{o}, \mathfrak{o}z) = N(z) = z^{n}$ vom $n^{\text{ten}}$ Grade ist, so giebt es in $\mathfrak{o}$ $n$ und nicht mehr nach dem Modul $\mathfrak{o}z$ linear unabhängige Functionen (§ 6), und daher kann die Reihe der Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots$ nicht mehr und nicht weniger als $n$ Glieder enthalten. Es ist dann (§ 5) \[ \mathfrak{o} \equiv (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z). \] Die Exponenten $r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}$ der Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ genügen der Forderung \[ r_{1} = 0, \quad 1 \leqq r_{2} \leqq r_{3} \cdots \leqq r_{n}. \]

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Jede Function in $\mathfrak{o}$, deren Exponent $< r_{s}$, ist nach dem Modul $\mathfrak{o}z$ congruent einer Function aus der $(s-1)$-fachen Schaar \[ (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s-1}). \] Diese Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ bilden eine Basis von $\mathfrak{o}$, wie sich aus folgender Betrachtung ergiebt.

Wäre es nicht der Fall, so könnte man (§ 3, 7.) eine lineare Function $z-c$ und ein System nicht alle verschwindender Constanten $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ so bestimmen, dass \[ a_{1}\lambda_{1} + a_{2}\lambda_{2} + \cdots + a_{n}\lambda_{n} = (z-c)\omega \] wäre. Ist unter den Constanten $a$ die letzte nicht verschwindende $a_{s}$, so ist auch \[ a_{1}\lambda_{1} + a_{2}\lambda_{2} + \cdots + a_{s}\lambda_{s} = (z-c)\omega, \] und der Exponent von $\omega$ ist sicher kleiner als $r_{s}$ (weil $\frac{(z-c)\omega}{z^{r_{s}}}$ in $\mathfrak{o}'$ enthalten ist). Es ist also $\omega$, und mithin, da $a_{s}$ von 0 verschieden ist, auch $\lambda_{s}$ congruent einer Function der Schaar $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s-1})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z)$, was gegen die Voraussetzung ist.

Die Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ bilden daher eine Basis von $\mathfrak{o}$, und diese soll Normalbasis genannt werden. Die charakteristischen Eigenschaften der Normalbasis sind:

I. Die Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ sind linear unabhängig nach dem Modul $\mathfrak{o}z$.

II. Jede Function in $\mathfrak{o}$, deren Exponent kleiner ist als der Exponent $r_{s}$ von $\lambda_{s}$, ist in der Form enthalten \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{s-1}\lambda_{s-1} + z\omega_{s}, \] worin $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s-1}$ Constanten, $\omega_{s}$ eine Function in $\mathfrak{o}$.

3. Die in $\mathfrak{o}'$ enthaltenen Functionen \[ \lambda'_{1} = \frac{\lambda_{1}}{z^{r_{1}}}, \quad \lambda'_{2} = \frac{\lambda_{2}}{z^{r_{2}}}, \quad \ldots \quad \lambda'_{n} = \frac{\lambda_{n}}{z^{r_{n}}} \] bilden eine Normalbasis von $\mathfrak{o}'$.

Ist nämlich $\omega$ eine durch $z$ nicht theilbare Function in $\mathfrak{o}$ vom Exponenten $r$, so ist der Exponent von $\omega' = \frac{\omega}{z^{r}}$ in Bezug auf $z'$ ebenfalls $r$; denn es ist zwar $\frac{\omega'}{z'^{r}} = \omega$, aber nicht $\frac{\omega'}{z'^{r-1}} = \frac{\omega}{z}$ in $\mathfrak{o}$ enthalten. Da die Functionen $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ alle durch $z$ nicht theilbar sind, so sind hiernach

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die Exponenten von $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}$ in Bezug auf $z'$ resp. $r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}$. Dies vorausgeschickt beweisen wir, dass das Functionensystem $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}$ die Eigenschaften I., II. besitzt, wenn dort $\mathfrak{o}$, $z$ durch $\mathfrak{o}'$, $z'$ ersetzt werden.

Wäre die Bedingung I. nicht erfüllt, so liessen sich die Constanten $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{s}$, deren letzte nicht verschwindet, so bestimmen, dass \[ a_{1}\lambda'_{1} + a_{2}\lambda'_{2} + \cdots + a_{s}\lambda'_{s} = z'\omega', \] also auch (durch Multiplication mit $z^{r_{s}}$) \[ a_{1}z^{r_{s}-r_{1}}\lambda_{1} + a_{2}z^{r_{s}-r_{2}}\lambda_{2} + \cdots + a_{s}\lambda_{s} = \omega, \] worin \[ \omega = z^{r_{s}-1}\omega', \] also eine Function in $\mathfrak{o}$, deren Exponent kleiner als $r_{s}$ wäre. Dies ist aber, da $a_{s}$ von Null verschieden, wegen der Voraussetzung über die $\lambda$ unmöglich, und folglich die Bedingung I. erfüllt; daraus folgt: \[ \mathfrak{o}' \equiv (\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}'z'). \]

Wäre die Bedingung II. nicht erfüllt, und $\lambda'$ eine Function in $\mathfrak{o}'$, deren Exponent $r < r_{s}$, die nicht in der Form enthalten ist \[ a_{1}\lambda'_{1} + a_{2}\lambda'_{2} + \cdots + a_{s-1}\lambda'_{s-1} + z'\omega', \] so könnte man $e \geqq s$ so wählen, dass \[ \lambda' = a_{1}\lambda'_{1} + a_{2}\lambda'_{2} + \cdots + a_{e}\lambda'_{e} + z'\omega' \] mit constanten Coefficienten, deren letzter $a_{e}$ nicht verschwindet. Es ist hiernach auch $r_{e} \geqq r_{s} > r$.

Demnach ist $\lambda = z^{r_{e}-1}\lambda'$ eine Function in $\mathfrak{o}$, und es ergiebt sich durch Multiplication mit $z^{r_{e}}$ \[ z\lambda = a_{1}z^{r_{e}-r_{1}}\lambda_{1} + a_{2}z^{r_{e}-r_{2}}\lambda_{2} + \cdots + a_{e}\lambda_{e} + z^{r_{e}-1}\omega'. \] Es ist daher $\omega = z^{r_{e}-1}\omega'$ eine Function in $\mathfrak{o}$, deren Exponent (nach 1.) $\leqq r_{e}-1$, und welche der Congruenz genügt \[ \omega \equiv a'_{1}\lambda_{1} + a'_{2}\lambda_{2} + \cdots + a'_{e}\lambda_{e}\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z), \] worin $a'_{e} = -a_{e}$ von Null verschieden ist. Hiernach müsste aber wegen der Eigenschaft II. der Functionen $\lambda$ der Exponent von $\omega \geqq r_{e}$ sein, woraus der Widerspruch erhellt.

Hiermit ist nachgewiesen, dass das Functionensystem $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}$ eine Normalbasis von $\mathfrak{o}'$ bildet.

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4. Wir bilden nun die Discriminante von $\Omega$ in Bezug auf die Variable $z$ und $z'$ mit Hülfe der beiden Normalbasen $\lambda$, $\lambda'$; es ist: \[ \begin{aligned} \Delta_{z}(\Omega) &= \text{const.}\,\Delta(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}), \\ \Delta_{z'}(\Omega) &= \text{const.}\,\Delta(\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}). \end{aligned} \] Setzt man aber für $\lambda'_{\iota}$ die Ausdrücke $z'^{r_{\iota}}\lambda_{\iota}$, so folgt aus dem Satze § 2, (13.) \[ \Delta_{z'}(\Omega) = \text{const.}\,z'^{2(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n})}\Delta_{z}(\Omega). \] Ist $\Delta_{z}(\Omega)$ vom Grade $\delta$, so besitzt $\Delta_{z'}(\Omega)$ die Wurzel $z' = 0$ $(2(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n})-\delta)$-mal, und daraus ergiebt sich nach § 16, 2. die Verzweigungszahl \[ \mathrm{w}_{z} = 2(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}), \] welche hiernach stets eine gerade Zahl ist.

§ 23. Die Differentialquotienten.

1. Da eine jede von Null verschiedene Function des Körpers $\Omega$ nur in einer endlichen Anzahl von Punkten den Werth Null hat, so folgt, dass eine Function in $\Omega$, von der sich unendlich viele Nullpunkte nachweisen lassen, nothwendig identisch Null ist, oder dass zwei Functionen in $\Omega$, welche in unendlich vielen Punkten denselben Werth haben, identisch sein müssen.

2. Sind $\alpha$, $\beta$ irgend zwei Variable des Körpers $\Omega$, so existirt in $\Omega$ eine mit $\left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)$ zu bezeichnende Function, welche in unendlich vielen Punkten $\mathfrak{P}$ der Bedingung genügt: \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0} = \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}, \] welche der Differentialquotient von $\alpha$ nach $\beta$ genannt wird. Ist nämlich $F(\alpha, \beta) = 0$ die zwischen $\alpha$, $\beta$ bestehende irreductible Gleichung, so ist, wenn wir zunächst diejenigen (in endlicher Zahl vorhandenen) Punkte ausschliessen, in welchen $\alpha_{0}$ oder $\beta_{0} = \infty$ oder $F'(\alpha_{0}) = 0$ oder $F'(\beta_{0}) = 0$ ist, \[ \begin{gathered} 0 = F(\alpha, \beta) = F(\alpha_{0}, \beta_{0}) + (\alpha-\alpha_{0})F'(\alpha_{0}) + (\beta-\beta_{0})F'(\beta_{0}) \\ + \frac{1}{2}\{(\alpha-\alpha_{0})^{2}F''(\alpha_{0}, \alpha_{0}) + 2(\alpha-\alpha_{0})(\beta-\beta_{0})F''(\alpha_{0}, \beta_{0}) + (\beta-\beta_{0})^{2}F''(\beta_{0}, \beta_{0})\} + \cdots \end{gathered} \] Von den beiden Quotienten $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$, $\left(\frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}\right)_{0}$ ist gewiss der eine endlich; ist es der erstere, so ziehen wir aus der letzten Gleichung die folgende:

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\[ \begin{gathered} 0 = \frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}F'(\alpha_{0}) + F'(\beta_{0}) \\ + (\beta-\beta_{0})\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)^{2}F''(\alpha_{0}, \alpha_{0}) + 2\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)F''(\alpha_{0}, \beta_{0}) + F''(\beta_{0}, \beta_{0})\right\} + \cdots, \end{gathered} \] woraus für den Punkt $\mathfrak{P}$ folgt: \[ \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0} = -\frac{F'(\beta_{0})}{F'(\alpha_{0})} = -\left(\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)}\right)_{0}. \] Wäre $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$ unendlich, so würden wir ebenso in Bezug auf $\frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}$ schliessen.

Es hat also \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = -\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)} \tag{1.} \] die verlangte Eigenschaft. Dies bleibt auch noch richtig, wenn von den beiden Functionen $\alpha$, $\beta$ eine constant ist; denn ist z. B. $\alpha$ constant, so ist $F(\alpha, \beta) = \alpha - \alpha_{0}$ von $\beta$ unabhängig, also $F'(\alpha) = 1$, $F'(\beta) = 0$.

3. Aus Vorstehendem folgt, dass, falls $\beta$ nicht constant ist, abgesehen von einer endlichen Anzahl von Punkten $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$ ein endlicher Werth ist. Ist daher $\gamma$ eine dritte Variable in $\Omega$, so ist in unendlich vielen Punkten \[ \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0} = \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\gamma-\gamma_{0}}\right)_{0}\left(\frac{\gamma-\gamma_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}, \] also auch \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0} = \left(\frac{d\alpha}{d\gamma}\right)_{0}\left(\frac{d\gamma}{d\beta}\right)_{0}. \] Hiernach und nach 1. ist aber die Identität erfüllt: \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = \left(\frac{d\alpha}{d\gamma}\right)\left(\frac{d\gamma}{d\beta}\right){}^{*)}. \tag{2.} \]

4. In Folge dieses letzten Satzes können wir jeder der Functionen $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ des Körpers $\Omega$ eine Function $d\alpha, d\beta, d\gamma, \ldots$ (Differential) in

*) Man kann auch den Differentialquotienten durch die Gleichung \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = -\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)} \] definiren und durch algebraische Division zum Beweis des Satzes \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = \left(\frac{d\alpha}{d\gamma}\right)\left(\frac{d\gamma}{d\beta}\right) \] gelangen.

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der Weise zuordnen, dass allgemein \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) \] wird. Die Differentiale der Constanten, und nur diese sind Null zu setzen; die übrigen sind völlig bestimmt, sobald eines derselben willkürlich angenommen ist. Besteht zwischen den Variablen $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ eine rationale Gleichung \[ F(\alpha, \beta, \gamma, \ldots) = 0, \] so folgt aus derselben \[ F'(\alpha)\,d\alpha + F'(\beta)\,d\beta + F'(\gamma)\,d\gamma + \cdots = 0; \tag{3.} \] denn auf dieselbe Weise wie in 2. schliesst man, dass diese Gleichung für unendlich viele Punkte befriedigt ist.

Unmittelbare Folgen des letzten Satzes sind die bekannten Regeln für die Differentiation von Summen, Differenzen, Producten und Quotienten: \[ d(\alpha \pm \beta) = d\alpha \pm d\beta, \tag{4.} \] \[ d(\alpha\beta) = \alpha\,d\beta + \beta\,d\alpha, \tag{5.} \] \[ d\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \frac{\beta\,d\alpha - \alpha\,d\beta}{\beta^{2}}. \tag{6.} \]

5. Ist $\omega$ eine ganze Function von $z$, so wird im Allgemeinen $\frac{d\omega}{dz}$ keine ganze Function von $z$ sein. Es ist aber aus dem Ausdruck (§ 3, 7.) \[ \omega = x_{1}\omega_{1} + x_{2}\omega_{2} + \cdots + x_{n}\omega_{n} \] ersichtlich, da die Differentialquotienten der ganzen rationalen Functionen $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ wieder ganze rationale Functionen sind, dass die Unterideale der sämmtlichen Functionen $\frac{d\omega}{dz}$ in einem bestimmten Ideal aufgehen müssen, nämlich in dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen der Unterideale von $\frac{d\omega_{1}}{dz}, \frac{d\omega_{2}}{dz}, \ldots \frac{d\omega_{n}}{dz}$. Es soll untersucht werden, welches dies Ideal ist. Zu dem Ende sei $z-c$ eine beliebige lineare Function von $z$ und \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}^{e}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots, \] worin die Primideale $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ von einander verschieden sind. Es sei nun $\zeta$ dieselbe Function wie in § 11, 2., d. h. eine ganze Function von $z$, welche in den durch die Primideale $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ erzeugten Punkten $\mathfrak{P}, \mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots$ lauter verschiedene Werthe hat und jeden derselben nur einfach;

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dann lässt sich $\omega$ in der Form darstellen \[ \omega = y_{0} + y_{1}\zeta + \cdots + y_{n-1}\zeta^{n-1}, \] worin die rationalen Functionen $y_{0}, y_{1}, \ldots y_{n-1}$ von $z$ zwar gebrochen sein können, aber den Factor $z-c$ gewiss nicht im Nenner enthalten. Daraus folgt, dass das Unterideal von $\frac{d\omega}{dz}$ durch keine höheren Potenzen der Ideale $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ theilbar sein kann, als das Unterideal von $\frac{d\zeta}{dz}$. Ist aber \[ f(\zeta, z) = 0 \] die zwischen $\zeta$ und $z$ bestehende irreductible Gleichung, so ist nach § 11, 2. \[ \mathfrak{o}f'(\zeta) = \mathfrak{m}\mathfrak{p}^{e-1}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}-1}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}-1}\ldots \] und $\mathfrak{m}$ relativ prim zu $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ Da aber \[ \frac{d\zeta}{dz} = -\frac{f'(z)}{f'(\zeta)} \] ist, so kann das Unterideal von $\frac{d\zeta}{dz}$, und mithin auch das von $\frac{d\omega}{dz}$ keinen der Factoren $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ öfter als $(e-1)$, $(e_{1}-1)$, $(e_{2}-1)$, … mal enthalten. Da nun $z-c$ jede beliebige lineare Function sein kann, so folgt, dass $\frac{d\omega}{dz}$ kein anderes Unterideal haben kann, als ein solches, welches in dem Verzweigungsideal $\mathfrak{z} = \Pi\mathfrak{p}^{e-1}$ (§ 11) aufgeht. Es ist also, wenn $\mathfrak{a}$ ein Ideal bedeutet: \[ \mathfrak{z}\frac{d\omega}{dz} = \mathfrak{a}, \] also nach § 11, (7.) \[ \mathfrak{o}\frac{d\omega}{dz} = \mathfrak{e}\mathfrak{a}, \] woraus hervorgeht, dass die Functionen $\frac{d\omega}{dz}$ sämmtlich dem zu $\mathfrak{o}$ complementären Modul $\mathfrak{e}$ angehören.

6. Ist die irreductible Gleichung $F(\omega, z) = 0$ zwischen $\omega$ und $z$ vom $n^{\text{ten}}$ Grade in Bezug auf $\omega$, also $1, \omega, \omega^{2}, \ldots \omega^{n-1}$ eine Basis von $\Omega$, so ist nach § 11, (10.) \[ \mathfrak{o}F'(\omega) = \mathfrak{z}\mathfrak{k}, \] und daher muss wegen \[ \frac{d\omega}{dz} = -\frac{F'(z)}{F'(\omega)} \]

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$\mathfrak{o}F'(z)$ durch das Ideal $\mathfrak{k}$ theilbar sein, \[ \mathfrak{o}F'(z) = \mathfrak{k}\mathfrak{a}, \] $\mathfrak{k}$ kann man daher das Ideal der Doppelpunkte in Bezug auf $\omega$, $z$ nennen.

7. Ist $\mathfrak{P}$ ein Punkt, in welchem $z-c$ unendlich klein in der ersten Ordnung ist (also kein Verzweigungspunkt in $z$), so sind nach 5. die Functionen $\frac{d\omega}{dz}$ in $\mathfrak{P}$ alle endlich. Ist also $\eta$ irgend eine Function in $\Omega$, welche in $\mathfrak{P}$ endlich ist, so kann man diese als Quotienten zweier ganzen Functionen $\frac{\alpha}{\beta}$ darstellen, von denen $\beta$ in $\mathfrak{P}$ nicht verschwindet, und daher ist nach (6.) auch $\frac{d\eta}{dz}$ in $\mathfrak{P}$ endlich.

8. Es seien jetzt $\alpha$, $\beta$ irgend zwei Variable in $\Omega$; es soll das Verhalten von $\frac{d\alpha}{d\beta}$ in irgend einem Punkt $\mathfrak{P}$ untersucht werden.

Man wähle eine Variable $z$ in $\Omega$, welche in $\mathfrak{P}$ unendlich klein in der ersten Ordnung ist. Hat $\alpha$ in $\mathfrak{P}$ einen endlichen Werth $\alpha_{0}$, so kann man nach § 15, 1., 2. eine positive ganze Zahl $r$ und eine in $\mathfrak{P}$ endliche und von Null verschiedene Function $\alpha'$ so bestimmen, dass \[ \alpha = \alpha_{0} + z^{r}\alpha' \] wird. Dies gilt auch noch, wenn $\alpha$ in $\mathfrak{P}$ unendlich ist; nur ist dann $r$ eine negative ganze Zahl, und $\alpha_{0}$ ist durch eine beliebige endliche Constante, z. B. 0 zu ersetzen. Ebenso kann man \[ \beta = \beta_{0} + z^{s}\beta' \] setzen; $r$ und $s$ sind dann die Ordnungszahlen von $\alpha-\alpha_{0}$, $\beta-\beta_{0}$ im Punkte $\mathfrak{P}$, die sowohl positiv als negativ, aber nicht 0 sein können. Aus (2.) ergiebt sich dann: \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = z^{r-s}\frac{r\alpha' + z\frac{d\alpha'}{dz}}{s\beta' + z\frac{d\beta'}{dz}} \] oder \[ \frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}\frac{d\alpha}{d\beta} = \frac{r + z\frac{d\alpha'}{\alpha'dz}}{s + z\frac{d\beta'}{\beta'dz}}. \] Bezeichnet man nun wieder durch den Index 0 den Werth einer Function im Punkte $\mathfrak{P}$, so ist, da \[ \left(\frac{d\alpha'}{\alpha'dz}\right)_{0}, \quad \left(\frac{d\beta'}{\beta'dz}\right)_{0} \]

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nach 7. endlich sind, \[ \left(\frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0} = \frac{r}{s}, \tag{7.} \] also endlich und von Null verschieden. Hieraus ergiebt sich, dass die Ordnungszahl des Differentialquotienten $\frac{d\alpha}{d\beta}$ gleich ist der Differenz der Ordnungszahlen von $\alpha-\alpha_{0}$ und $\beta-\beta_{0}$. Ist $r \gtrless s$, so ist $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$ und mithin $\left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0}$ Null oder unendlich. Ist dagegen $r = s$, so sind beide Werthe endlich und von 0 verschieden, und wir haben daher in allen Fällen \[ \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0}. \tag{8.} \] Hierin sind $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$ die Werthe von $\alpha$, $\beta$ in $\mathfrak{P}$, wenn diese Werthe endlich sind, sonst beliebige Constanten, z. B. 0.

9. Sind $a$, $b$ die Ordnungszahlen von $\alpha-\alpha_{0}$, $\beta-\beta_{0}$ in $\mathfrak{P}$, so kommt, falls $a$, $b$ positiv sind, der Punkt $\mathfrak{P}$ $(a-1)$-mal resp. $(b-1)$-mal in den Verzweigungspolygonen $\mathfrak{Z}_{\alpha}$, $\mathfrak{Z}_{\beta}$ in $\alpha$, $\beta$ vor. Ist aber $a$ negativ, so enthält $\mathfrak{Z}_{\alpha}$ den Punkt $\mathfrak{P}$ $(-a-1)$-mal, und Entsprechendes gilt, wenn $b$ negativ ist (§ 16, 1.). Bezeichnet man also mit $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ die Unterecke von $\alpha$, $\beta$, so erhält man, weil die Ordnungszahl von $\frac{d\alpha}{d\beta}$ (wie eben bewiesen) immer gleich $a-b$ ist, für diese Function folgenden Ausdruck als Polygonquotienten \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = \frac{\mathfrak{Z}_{\alpha}\mathfrak{B}^{2}}{\mathfrak{Z}_{\beta}\mathfrak{A}^{2}}. \tag{9.} \]

§ 24. Das Geschlecht des Körpers $\Omega$.

1. Bezeichnet man mit $\mathrm{w}_{\alpha}$, $\mathrm{w}_{\beta}$ die Verzweigungszahlen, mit $n_{\alpha}$, $n_{\beta}$ die Ordnungen der Variablen $\alpha$, $\beta$, so folgt aus der Formel (9.) des vorigen §, da Zähler und Nenner von $\frac{d\alpha}{d\beta}$ gleichviel Punkte enthalten müssen, die wichtige Relation \[ \mathrm{w}_{\alpha} - 2n_{\alpha} = \mathrm{w}_{\beta} - 2n_{\beta}; \] wenn man also \[ p = \frac{1}{2}\mathrm{w} - n + 1 \tag{1.} \] setzt, welches nach § 22, 4. eine ganze Zahl ist, so ist diese von der Wahl der Variablen unabhängig und eine für den Körper $\Omega$ charakteristische Zahl,

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welche das Geschlecht des Körpers $\Omega$ genannt wird. Dass diese Zahl niemals negativ ist, ergiebt sich, wenn man für $\frac{1}{2}\mathrm{w}$ den Werth $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}$ aus § 22 einsetzt. Man erhält dann \[ p = (r_{2}-1)+(r_{3}-1)+\cdots+(r_{n}-1), \tag{2.} \] was, da $r_{2}, r_{3}, \ldots r_{n} \geqq 1$ sind, nicht negativ werden kann.

2. Es seien $\alpha$, $\beta$ zwei Functionen in $\Omega$ von den Ordnungen $m$, $n$, von der Beschaffenheit, dass alle Functionen in $\Omega$ rational durch $\alpha$, $\beta$ darstellbar sind. Es ist dann \[ \begin{aligned} F(\alpha, \beta) &= a_{0}\alpha^{n} + a_{1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\alpha + a_{n} \\ &= b_{0}\beta^{m} + b_{1}\beta^{m-1} + \cdots + b_{m-1}\beta + b_{m} = 0 \end{aligned} \] die zwischen $\alpha$, $\beta$ bestehende irreductible Gleichung, worin $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{n}$ ganze rationale Functionen von $\beta$, ebenso $b_{0}, b_{1}, \ldots b_{m}$ ganze rationale Functionen von $\alpha$ sind.

Es sei ferner \[ \alpha = \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{A}}, \quad \beta = \frac{\mathfrak{B}_{1}}{\mathfrak{B}} \] und $\mathfrak{A}_{1}$ relativ prim zu $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}_{1}$ zu $\mathfrak{B}$, so dass $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}_{1}$ von der Ordnung $m$, $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{B}_{1}$ von der Ordnung $n$ sind. Nun ist \[ \begin{aligned} F'(\alpha) &= na_{0}\alpha^{n-1} + (n-1)a_{1}\alpha^{n-2} + \cdots + a_{n-1}, \\ \alpha F'(\alpha) &= -a_{1}\alpha^{n-1} - 2a_{2}\alpha^{n-2} - \cdots - na_{n}, \end{aligned} \] woraus hervorgeht, dass \[ F'(\alpha) = \frac{\mathfrak{K}}{\mathfrak{A}^{n-2}\mathfrak{B}^{m}} \] und ebenso \[ F'(\beta) = \frac{\mathfrak{L}}{\mathfrak{A}^{n}\mathfrak{B}^{m-2}} \] sein muss. Es ist nun nachzuweisen, dass das Polygon $\mathfrak{K}$ durch $\mathfrak{Z}_{\beta}$, $\mathfrak{L}$ durch $\mathfrak{Z}_{\alpha}$ theilbar ist.

Für $\mathfrak{K}$ ist dies leicht einzusehen unter der Voraussetzung, dass in sämmtlichen Punkten von $\mathfrak{Z}_{\beta}$ die Function $\beta$ einen endlichen, und $a_{0}$ einen von Null verschiedenen Werth hat; denn es ist \[ \alpha' = a_{0}\alpha \] eine ganze Function von $\beta$, und wenn man \[ f(\alpha') = a^{n-1}F(\alpha, \beta) \] ‖‖‖Editorial note: Printed $a^{n-1}$ without the subscript; $a_{0}^{n-1}$ is meant, as $\alpha' = a_{0}\alpha$ and the next line has $a_{0}^{n-2}$. Possibly a dropped subscript. setzt, so ist \[ f'(\alpha') = a_{0}^{n-2}F'(\alpha). \]

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Da nun nach § 11, 5. $\mathfrak{o}_{\beta}f'(\alpha')$ durch das von $\mathfrak{Z}_{\beta}$ erzeugte Verzweigungsideal in $\beta$ theilbar ist, so folgt hieraus die Richtigkeit der Behauptung. Analoges gilt für $F'(\beta)$.

Macht man nun für $\alpha$, $\beta$ beliebige lineare Substitutionen: \[ \begin{gathered} \alpha = \frac{c+d\alpha'}{a+b\alpha'}; \quad \beta = \frac{c'+d'\beta'}{a'+b'\beta'}, \\ (a+b\alpha')(d-b\alpha) = ad-bc, \\ (a'+b'\beta')(d'-b'\beta) = a'd'-b'c', \end{gathered} \] so ist nach § 16, 2. \[ \mathfrak{Z}_{\alpha} = \mathfrak{Z}_{\alpha'}; \quad \mathfrak{Z}_{\beta} = \mathfrak{Z}_{\beta'}, \] und die zwischen $\alpha'$, $\beta'$ bestehende irreductible Gleichung lautet: \[ F_{1}(\alpha', \beta') = (a+b\alpha')^{n}(a'+b'\beta')^{m}F(\alpha, \beta) = 0. \] Es lassen sich aber unter allen Umständen die Constanten $a$, $b$, $c$, $d$; $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ so wählen, dass die oben angegebenen Voraussetzungen sowohl für $\alpha'$ als für $\beta'$ erfüllt sind.

Denn setzt man die Coefficienten $a'_{0}$, $b'_{0}$ von $\alpha'^{n}$, $\beta'^{m}$ in $F_{1}(\alpha', \beta')$ in die Form \[ \begin{aligned} a'_{0} &= (a'+b'\beta')^{m}(a_{0}d^{n} + a_{1}d^{n-1}b + \cdots + a_{n}b^{n}) = \left(\frac{a'd'-b'c'}{d'-b'\beta}\right)^{m}(a_{0}d^{n} + a_{1}d^{n-1}b + \cdots + a_{n}b^{n}), \\ b'_{0} &= (a+b\alpha')^{n}(b_{0}d'^{m} + b_{1}d'^{m-1}b' + \cdots + b_{m}b'^{m}) = \left(\frac{ad-bc}{d-b\alpha}\right)^{n}(b_{0}d'^{m} + b_{1}d'^{m-1}b' + \cdots + b_{m}b'^{m}), \end{aligned} \] so erkennt man leicht, dass nur für eine endliche Anzahl von Werthen der Verhältnisse $d : b$, $d' : b'$ die Functionen $a'_{0}$, $d'-b'\beta$ in einem Punkt von $\mathfrak{Z}_{\beta}$, $b'_{0}$, $d-b\alpha$ in einem Punkt von $\mathfrak{Z}_{\alpha}$ verschwinden können.

Setzen wir nun \[ \alpha' = \frac{\mathfrak{A}'_{1}}{\mathfrak{A}'}, \quad \beta' = \frac{\mathfrak{B}'_{1}}{\mathfrak{B}'}, \] so folgt (§ 19, 1.) \[ d-b\alpha = \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{A}}, \quad a+b\alpha' = \frac{\mathfrak{A}'_{2}}{\mathfrak{A}'}, \] also: \[ \mathfrak{A}_{2}\mathfrak{A}'_{2} = \mathfrak{A}\mathfrak{A}'. \] Ist aber, wie angenommen, $b$ von Null verschieden, so ist $\mathfrak{A}_{2}$ relativ prim zu $\mathfrak{A}$, weil in einem Punkt von $\mathfrak{A}$ die Ordnungszahl von $d-b\alpha$ dieselbe ist, wie die von $\alpha$ (§ 15, 5.) und folglich \[ \mathfrak{A}_{2} = \mathfrak{A}', \quad \mathfrak{A}'_{2} = \mathfrak{A}, \]

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also: \[ a+b\alpha' = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{A}'}, \] und ebenso: \[ a'+b'\beta' = \frac{\mathfrak{B}}{\mathfrak{B}'}. \] Nun ist aber, da $F(\alpha, \beta) = 0$ ist: \[ F'_{1}(\alpha') = (ad-bc)(a+b\alpha')^{n-2}(a'+b'\beta')^{m}F'(\alpha), \] und wenn also, wie vorausgesetzt: \[ F'_{1}(\alpha') = \frac{\mathfrak{R}\mathfrak{Z}_{\beta}}{\mathfrak{A}'^{n-2}\mathfrak{B}'^{m}}, \] so folgt \[ F'(\alpha) = \frac{\mathfrak{R}\mathfrak{Z}_{\beta}}{\mathfrak{A}^{n-2}\mathfrak{B}^{m}} \] und in gleicher Weise \[ F'(\beta) = \frac{\mathfrak{R}\mathfrak{Z}_{\alpha}}{\mathfrak{A}^{n}\mathfrak{B}^{m-2}}. \] Dass das im Zähler dieser beiden Ausdrücke auftretende Polygon $\mathfrak{R}$ in beiden Ausdrücken dasselbe sein muss, ergiebt sich aus \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = -\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)} = \frac{\mathfrak{B}^{2}\mathfrak{Z}_{\alpha}}{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{Z}_{\beta}}. \] Nun ist die Ordnung des Polygons $\mathfrak{A}^{n-2}\mathfrak{B}^{m}$ \[ m(n-2)+mn = 2m(n-1), \] also die Ordnung von $\mathfrak{R}$ \[ 2r = 2m(n-1)-\mathrm{w}_{\beta} \] stets eine gerade Zahl, und daraus ergiebt sich \[ p = \frac{1}{2}\mathrm{w}_{\beta}-n+1 = (n-1)(m-1)-r. \tag{3.} \] Das Polygon $\mathfrak{R}$ wird das Polygon der Doppelpunkte in $(\alpha, \beta)$ genannt.

§ 25. Die Differentiale in $\Omega$.

Sind $z$, $z_{1}$ irgend zwei Variable in $\Omega$ von den Ordnungen $n$, $n_{1}$ und den Verzweigungszahlen $\mathrm{w}$, $\mathrm{w}_{1}$, ferner $\mathfrak{Z}$, $\mathfrak{Z}_{1}$ die Verzweigungspolygone, $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{U}_{1}$ die Unterecke von $z$, $z_{1}$, so ist (§ 23) \[ \frac{dz}{dz_{1}} = \frac{\mathfrak{Z}\mathfrak{U}_{1}^{2}}{\mathfrak{Z}_{1}\mathfrak{U}^{2}}. \tag{1.} \]

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Jede Function $\omega$ in $\Omega$ lässt sich in die Form setzen \[ \omega = \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}\mathfrak{B}}, \tag{2.} \] worin $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ Polygone bedeuten, deren Ordnungen $a$, $b$ der Bedingung genügen \[ 2n+a = \mathrm{w}+b \] oder (§ 24) \[ a = b+2p-2. \tag{3.} \] Wenn man nun eine Function $\omega_{1}$ durch die Gleichung erklärt \[ \omega\,dz = \omega_{1}\,dz_{1}, \] so erhält nach (1.) $\omega_{1}$ die Bezeichnung \[ \omega_{1} = \frac{\mathfrak{U}_{1}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}_{1}\mathfrak{B}}. \] Wir nennen in der Folge solche Ausdrücke, wie \[ \omega\,dz = \omega_{1}\,dz_{1} \] Differentiale in $\Omega$, und bezeichnen dieselben in symbolischer Weise durch ein Zeichen wie $d\varpi$. Ein solches Differential ist hierdurch invariant, d. h. unabhängig von der Wahl der Veränderlichen $z$ erklärt und ist durch die beiden Polygone $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ vollständig bestimmt.

Wir können ohne Gefahr eines Missverständnisses die symbolische Bezeichnung \[ d\varpi = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \] also beispielsweise auch \[ dz = \frac{\mathfrak{Z}}{\mathfrak{U}^{2}} \] anwenden. Diese Bezeichnung eines Differentials durch einen Polygonquotienten unterscheidet sich von der ähnlichen Bezeichnung der Functionen in $\Omega$ (§ 17) dadurch, dass bei letzterer Zähler und Nenner von gleicher Ordnung sind, während bei den Differentialen die Ordnung des Zählers die des Nenners um $2p-2$ übertrifft. Wie bei der Bezeichnung in § 17, können auch hier gemeinschaftliche Theiler, welche $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ etwa enthalten, unterdrückt werden. Sind $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ relativ prim, so heisst $\mathfrak{A}$ das Obereck, $\mathfrak{B}$ das Untereck des Differentials $d\varpi$.

Unter den hier aufgestellten allgemeinen Begriff des Differentials in $\Omega$ fallen als specielle Fälle auch die in § 23, 4. erklärten Differentiale der Functionen des Körpers $\Omega$. Diese nennen wir eigentliche Differentiale,

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während die anderen, welche nicht als Differentiale von in $\Omega$ existirenden Functionen dargestellt werden können, uneigentliche oder Abelsche Differentiale genannt werden.

Functionen von der Form (2.), die nach unserer jetzt getroffenen Festsetzung mit $\frac{d\varpi}{dz}$ bezeichnet werden können, nennen wir Differentialquotienten nach $z$ und unterscheiden gleichfalls zwischen eigentlichen und uneigentlichen Differentialquotienten, je nachdem $d\varpi$ ein eigentliches oder uneigentliches Differential ist${}^{*)}$.

Es entsteht nun die Aufgabe, den Umfang des Begriffs der Differentiale festzustellen, d. h. alle Polygone $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ zu finden, welche Ober- und Untereck eines Differentials sein können. Wir schicken darüber die folgenden allgemeinen Bemerkungen voraus:

Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$ ein Differential sei, ist die, dass für eine beliebige Variable $z$ \[ \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}\mathfrak{B}} \] eine Function in $\Omega$ ist, also dass $\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{Z}\mathfrak{B}$ äquivalent ist. Dies Verhältniss bleibt aber bestehen, wenn $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ selbst durch äquivalente Polygone $\mathfrak{A}'$, $\mathfrak{B}'$ ersetzt werden. Halten wir $\mathfrak{B}$ fest, und ist $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$ ein Differential, so werden hiernach \[ \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}}, \quad \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{B}}, \quad \ldots \] dann und nur dann Differentiale darstellen, wenn die Polygone $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'$, $\mathfrak{A}''$, $\ldots$ alle derselben Classe $A$ angehören. Bilden die Polygone $\mathfrak{A}_{1}$, $\mathfrak{A}_{2}$, $\mathfrak{A}_{3}$, $\ldots$ eine Basis von $A$, ist also \[ A = (\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \mathfrak{A}_{3}, \ldots), \] so bilden die zugehörigen Differentialquotienten in Bezug auf eine beliebige Variable $z$, $\frac{d\varpi_{1}}{dz}$, $\frac{d\varpi_{2}}{dz}$, $\frac{d\varpi_{3}}{dz}$, $\ldots$ die Basis einer Functionenschaar von endlicher Dimension, und dem entsprechend werden wir auch $d\varpi_{1}$, $d\varpi_{2}$, $d\varpi_{3}$, $\ldots$ die Basis einer Schaar von Differentialen \[ (d\varpi_{1}, d\varpi_{2}, d\varpi_{3}, \ldots) \]

*) Der Quotient irgend zweier eigentlichen oder uneigentlichen Differentiale $\frac{d\varpi}{d\varpi'}$ hat stets die Bedeutung einer bestimmten Function in $\Omega$. Wir beschränken uns im Folgenden aber auf die Betrachtung solcher Quotienten, bei denen wenigstens der Nenner ein eigentliches Differential ist.

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von derselben Dimension nennen. Dies besagt, dass jedes Differential $d\varpi$, dessen Untereck $\mathfrak{B}$ oder ein Theiler von $\mathfrak{B}$ ist, in der Form dargestellt werden kann \[ d\varpi = c_{1}\,d\varpi_{1} + c_{2}\,d\varpi_{2} + c_{3}\,d\varpi_{3} + \cdots \] mit constanten Coefficienten $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $\ldots$

§ 26. Die Differentiale erster Gattung.

Wir betrachten zunächst die einfachsten unter den Differentialen in $\Omega$, nämlich die, deren Untereck das Nulleck $\mathfrak{O}$ ist. Solche Differentiale (deren Existenz freilich erst noch nachzuweisen ist) heissen Differentiale erster Gattung. Das Obereck $\mathfrak{W}$ eines solchen Differentials $dw$, dessen Ordnung $2p-2$ ist, wird als das Grundpolygon von $dw$ bezeichnet und heisst ein vollständiges Polygon erster Gattung, während jeder Theiler eines solchen ein Polygon erster Gattung schlechtweg genannt wird. Ist $\mathfrak{W} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}$, so heissen $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ Ergänzungspolygone von einander. Ein Polygon, welches nicht Theiler eines vollständigen Polygons erster Gattung ist, also ins Besondere jedes Polygon von mehr als $2p-2$ Punkten heisst ein Polygon zweiter Gattung.

1. Nach dem oben Bemerkten bilden alle vollständigen Polygone erster Gattung eine Polygonclasse $W$, deren Dimension zu bestimmen ist; ergiebt sich diese Dimension $> 0$, so ist damit zugleich die Existenz der Polygone erster Gattung nachgewiesen. Diese Dimension ist aber dieselbe wie die Dimension der Schaar der Differentiale erster Gattung oder auch, für eine beliebige Variable $z$, der Schaar der Differentialquotienten erster Gattung, wenn wir als Differentialquotienten erster Gattung nach $z$ die Functionen \[ u = \frac{dw}{dz} \] bezeichnen. Eine solche Function $u$ hat nach § 25, (2.) den Ausdruck \[ u = \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \] und man erkennt leicht aus der Betrachtung der Ordnungszahlen in den verschiedenen Punkten, dass ein solcher Differentialquotient erster Gattung durch folgende beiden Eigenschaften vollkommen definirt ist:

I. In jedem Punkt $\mathfrak{P}$, in welchem $z$ einen endlichen Werth $z_{0}$ hat, ist \[ (u(z-z_{0}))_{0} = 0. \]

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II. In einem Punkt $\mathfrak{P}$, in welchem $z$ unendlich ist, ist \[ (zu)_{0} = 0. \]

Bedeutet wie in § 11, 4. \[ r = (z-c)(z-c_{1})(z-c_{2})\ldots \] das Product sämmtlicher von einander verschiedenen Linearfactoren der Discriminante $\Delta_{z}(\Omega)$, $\mathfrak{r}$ das Product sämmtlicher von einander verschiedenen in $r$ aufgehenden Primideale, so ist die Bedingung I. vollkommen gleichbedeutend mit der, dass $ru$ eine Function in $\mathfrak{r}$, oder dass $u$ eine Function des zu $\mathfrak{o}$ complementären Moduls $\mathfrak{e}$ sein muss (§ 11, 4. (6.)). Um also die Gesammtheit der Functionen $u$ zu erhalten, hat man unter den Functionen in $\mathfrak{e}$ diejenigen aufzusuchen, welche der Bedingung II. genügen.

2. Zu diesem Zweck legen wir eine Normalbasis $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ von $\mathfrak{o}$ zu Grunde (§ 22) und bezeichnen die dazu complementäre Basis mit $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{n}$, so dass jede der Bedingung I. genügende Function, also auch jeder Differentialquotient erster Gattung, in der Form enthalten ist \[ u = y_{1}\mu_{1} + y_{2}\mu_{2} + \cdots + y_{n}\mu_{n}, \tag{1.} \] worin $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ ganze rationale Functionen von $z$ sind. Aus den Grundeigenschaften der complementären Basis ergiebt sich aber (§ 10, 3.) \[ y_{s} = S(u\lambda_{s}); \quad \frac{y_{s}}{z^{r_{s}-1}} = S\left(uz\cdot\frac{\lambda_{s}}{z^{r_{s}}}\right). \] Da nun $\frac{\lambda_{s}}{z^{r_{s}}}$ in $\mathfrak{o}'$ enthalten, also für $z = \infty$ endlich ist, und $uz$ nach II. in jedem solchen Punkt verschwindet, so folgt (§ 16, 5.), dass $\frac{y_{s}}{z^{r_{s}-1}}$ für $z = \infty$ verschwinden muss, d. h. dass die ganze rationale Function $y_{s}$ den Grad $r_{s}-2$ nicht übersteigen kann.

Es muss daher, falls $r_{s} < 2$ ist, $y_{s}$ verschwinden, also ist unter allen Umständen (§ 22, 2.) \[ y_{1} = 0; \quad S(u) = 0 \] (Abelsches Theorem für Differentiale erster Gattung) und, falls $r_{s} \geqq 2$: \[ y_{s} = c_{0} + c_{1}z + c_{2}z^{2} + \cdots + c_{r_{s}-2}z^{r_{s}-2}. \tag{2.} \] Es ist noch zu zeigen, dass diese Bedingungen auch hinreichend sind, d. h. dass jede Function von der Form (1.), in welcher die $y_{s}$ den Ausdruck (2.) haben, der Forderung II. genügt, oder, was dasselbe ist, dass, wenn $r_{s} \geqq 2$ ist, $z^{r_{s}-1}\mu_{s}$ in allen Punkten, in welchen $z$ unendlich wird, verschwindet.

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Dies ergiebt sich sofort durch die Betrachtung des Systems $\mathfrak{o}'$ der ganzen Functionen von $z' = \frac{1}{z}$, für welches nach § 22, 3. die Functionen \[ \lambda'_{1} = \frac{\lambda_{1}}{z^{r_{1}}}, \quad \lambda'_{2} = \frac{\lambda_{2}}{z^{r_{2}}}, \quad \ldots \quad \lambda'_{n} = \frac{\lambda_{n}}{z^{r_{n}}} \] eine Normalbasis bilden. Die hierzu complementäre Basis ist nach § 10, 5. \[ \mu'_{1} = z^{r_{1}}\mu_{1}, \quad \mu'_{2} = z^{r_{2}}\mu_{2}, \quad \ldots \quad \mu'_{n} = z^{r_{n}}\mu_{n}, \] und da (wegen der Eigenschaft I., auf $z'$, $\mu'$ angewandt) \[ z'\mu'_{s} = 0 \quad \text{für} \quad z' = 0, \] so folgt \[ z^{r_{s}-1}\mu_{s} = 0 \quad \text{für} \quad z = \infty \] w. z. b. w.

Da aber die Functionen $z^{h}\mu_{s}$ linear unabhängig sind (wegen der rationalen Unabhängigkeit der Functionen $\mu_{s}$), so ergiebt sich hieraus nach § 24, (2.) der Hauptsatz:

Die Schaar der Differentiale erster Gattung ist von der Dimension \[ (r_{2}-1) + (r_{3}-1) + \cdots + (r_{n}-1) = p, \] und demnach ist auch $p$ die Dimension der Classe $W$ der vollständigen Polygone erster Gattung.

Als Basis der Schaar der Differentialquotienten erster Gattung nach $z$ kann man die $p$ Functionen $z^{h}\mu_{s}$ $(h \leqq r_{s}-2)$ wählen, und die Grundpolygone $\mathfrak{W}_{1}, \mathfrak{W}_{2}, \ldots \mathfrak{W}_{p}$ der zugehörigen Differentiale $dw$ bilden eine Basis der Classe $W$.

3. Wegen einer späteren Anwendung soll hier noch eine besondere Art von Differentialquotienten erster Gattung $u'$ betrachtet werden, nämlich die, bei welchen die Bedingung II. ersetzt ist durch die dieselbe einschliessende Bedingung.

III. In jedem Punkte $\mathfrak{P}$, in welchem $z$ unendlich ist, sei \[ (z^{k}u')_{0} = 0, \] wo $k$ eine gegebene positive ganze Zahl.

Die Functionen $u'$ lassen sich darstellen durch \[ u' = \frac{\mathfrak{U}^{k+1}\mathfrak{W}'}{\mathfrak{Z}} \] und bilden ebenfalls eine Schaar; desgleichen bilden die Polygone $\mathfrak{W}'$ eine Classe $W'$, deren Ordnung ist \[ \mathrm{w}-n(k+1) = 2p-2-n(k-1). \] Die Polygone $\mathfrak{W}'$ sind jedoch von der Wahl der Variablen $z$ nicht unabhängig.

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Die Dimension der Classe $W'$ lässt sich nach derselben Methode bestimmen, wie die der Classe $W$. Da nämlich die Bedingung I. erfüllt ist, so sind die Functionen $u'$ gleichfalls in der Form (1.) enthalten; jedoch muss jetzt \[ \frac{y_{s}}{z^{r_{s}-k}} = S\left(u'z^{k}\frac{\lambda_{s}}{z^{r_{s}}}\right) \] für $z = \infty$ verschwinden, und daher kann der Grad der ganzen rationalen Function $y_{s}$ die Zahl $r_{s}-k-1$ nicht übersteigen. Es verschwindet also $y_{s}$ identisch, sobald $r_{s} < k+1$; andernfalls ist \[ y_{s} = c_{0} + c_{1}z + \cdots + c_{r_{s}-k-1}z^{r_{s}-k-1}. \tag{3.} \] Hat umgekehrt $y_{s}$ diese Form, so wird durch die Function \[ u' = \overset{s}{\Sigma} y_{s}\mu_{s} \] der Bedingung III. genügt, denn es hat, wie in 2. bewiesen, \[ z^{k}(z^{r_{s}-k-1}\mu_{s}) = z^{r_{s}-1}\mu_{s} \] für $z = \infty$ den Werth 0.

Daraus ergiebt sich, dass die Dimension der Schaar der Functionen $u'$ und folglich auch der Classe $W'$ \[ = \overset{\iota}{\Sigma}(r_{\iota}-k) \] ist, wobei jedoch in der Summe nur diejenigen Glieder beizubehalten sind, die einen positiven Werth haben. Sind alle $r_{\iota}-k \leqq 0$, so existiren die gesuchten Functionen überhaupt nicht.

§ 27. Polygonclassen erster und zweiter Gattung.

Ist $\mathfrak{A}$ ein Polygon erster Gattung, so sind alle mit $\mathfrak{A}$ äquivalenten Polygone gleichfalls von der ersten Gattung. Denn wenn $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ Ergänzungspolygone sind und \[ \mathfrak{A}\mathfrak{B} = \mathfrak{W}, \] so ist, wenn $A$, $B$ die Classen von $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ sind: \[ AB = W, \] und, wenn $\mathfrak{A}'$ mit $\mathfrak{A}$ äquivalent ist, auch $\mathfrak{A}'\mathfrak{B} = \mathfrak{W}'$ äquivalent mit $\mathfrak{W}$ (§ 18, 5.).

Wir nennen daher solche Classen, welche Polygone erster Gattung enthalten, Polygonclassen erster Gattung, die übrigen Polygonclassen zweiter

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Gattung. Die Classe $W$ der vollständigen Polygone erster Gattung heisst die Hauptclasse, und zwei Classen $A$, $B$, die der Bedingung genügen \[ AB = W, \] Ergänzungsclassen.

Ist \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} \] eine Function in $\Omega$, und $\mathfrak{A}'$ relativ prim zu $\mathfrak{A}$, also die Classe $A$ von $\mathfrak{A}$ eine eigentliche, so nennen wir $\eta$ eine Function erster oder zweiter Gattung, je nachdem die Classe $A$ von der ersten oder von der zweiten Gattung ist.

Ist $A$ eine beliebige Classe erster Gattung und $q$ die Anzahl der von einander unabhängigen Polygone $\mathfrak{W}$, die durch irgend ein Polygon $\mathfrak{A}$ der Classe $A$ theilbar sind, so ist nach § 21, 2. \[ q = (A, W) = (O, B) \] d. h. gleich der Dimension der Ergänzungsclasse $B$ von $A$. Ebenso ist $(B, W)$ gleich der Dimension der Classe $A$. Ist $A$ eine Classe zweiter Gattung, so ist $(A, W) = 0$. Da $p$ die Dimension von $W$ ist, so ist nach § 20, 2., 3. jede Classe, deren Ordnung $\leqq p-1$ ist, von der ersten Gattung, und es giebt ins Besondere Classen $A$ von der Ordnung $p-k$ der Art, dass $(A, W) = (O, B) = k$ ist. Aus den gleichen Sätzen folgt, dass es Classen von der Ordnung $p$ giebt, welche von der zweiten Gattung sind.

§ 28. Der Riemann-Rochsche Satz für eigentliche Classen.

Der Riemann-Rochsche Satz, der nach seiner gewöhnlichen Ausdrucksweise die Anzahl der willkürlichen Constanten kennen lehrt, welche eine Function enthält, die in einer gewissen Anzahl gegebener Punkte unendlich wird, enthält nach unserer Darstellungsweise eine Beziehung zwischen der Dimension und der Ordnung einer Classe, resp. einer Classe und ihrer Ergänzungsclasse. Indem wir uns zunächst auf eigentliche Classen beschränken, schicken wir der Ableitung dieser fundamentalen Relation die folgenden Bemerkungen voraus.

1. In einer eigentlichen Classe $A$ kann man nach § 19, 2. stets zwei zu einander relativ prime Polygone $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'$ auswählen (eines derselben kann in der Classe beliebig angenommen werden). Setzt man also \[ z = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} \]

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und, wenn $\mathfrak{A}''$ ein beliebiges drittes Polygon der Classe $A$ bedeutet: \[ \omega = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}}, \quad \frac{\omega}{z} = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}'}, \] so ist nach § 17 $\omega$ eine ganze Function von $z$, $\frac{\omega}{z}$ eine ganze Function von $\frac{1}{z}$. Es ist daher (§ 22) der Exponent von $\omega \leqq 1$.

Ist umgekehrt $\omega$ eine ganze Function von $z$, deren Exponent $\leqq 1$ ist, so hat es die Form \[ \omega = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}}, \] wo $\mathfrak{A}''$ ein Polygon der Classe $A$ ist. Wenn nämlich \[ \omega = \frac{\mathfrak{A}''_{1}}{\mathfrak{A}_{1}}, \quad \frac{\omega}{z} = \frac{\mathfrak{A}''_{1}\mathfrak{A}}{\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}'} \] und $\mathfrak{A}''_{1}$ relativ prim zu $\mathfrak{A}_{1}$ angenommen wird, so kann zunächst, da $\omega$ eine ganze Function von $z$ sein soll, $\mathfrak{A}_{1}$ keinen Punkt enthalten, der nicht auch in $\mathfrak{A}$ enthalten wäre. Es kann aber auch $\mathfrak{A}_{1}$ keinen Punkt öfter als $\mathfrak{A}$ enthalten, weil sonst $\frac{\omega}{z}$ in einem solchen Punkt (der nicht in $\mathfrak{A}'$ vorkommen kann) unendlich, also keine ganze Function von $\frac{1}{z}$ wäre. Daher ist $\mathfrak{A}$ theilbar durch $\mathfrak{A}_{1}$, und $\omega$ kann in die Form $\frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}}$ gesetzt werden.

2. Um also die Gesammtheit der Polygone der Classe $A$ zu erhalten, haben wir nur diejenigen ganzen Functionen von $z$ aufzusuchen, deren Exponent $\leqq 1$ ist.

Ist $n$ die Ordnung der Classe $A$, also auch die Ordnung der Variablen $z$, und bilden $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ eine Normalbasis von $\mathfrak{o}$ mit den Exponenten $r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}$, darunter $r_{s}$ der letzte, welcher $\leqq 1$ ist, so kann jede Function $\omega$, deren Exponent $\leqq 1$ ist, nach § 22, 2. in der Form dargestellt werden \[ \omega = c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{s}\lambda_{s} + z\omega_{1}. \] Da der Exponent von $z\omega_{1}$ aber nicht grösser als 1 sein kann, so muss $\omega_{1}$ eine Constante sein, und daher \[ \omega = c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{s}\lambda_{s} + c_{s+1}z. \] Umgekehrt genügt jede Function von dieser Form der gestellten Forderung. Es ist also $s+1$ die Dimension der Classe $A$, welche hiernach, in Uebereinstimmung mit § 21, 1., stets $\leqq n+1$ ist. Die obere Grenze $n+1$ kann aber nur in dem Falle $p = 0$ erreicht werden und wird auch wirklich erreicht, weil in diesem Falle $r_{2}, r_{3}, \ldots r_{n} = 1$ sind. Daraus ergiebt sich,

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dass ein einzelner Punkt $\mathfrak{P}$ nur, falls $p = 0$ ist, zu einer eigentlichen Classe gehören kann.

3. Wenn von den Exponenten $r_{s+1}, r_{s+2}, \ldots r_{n}$ einer grösser als 2 ist, so ist sicher auch $r_{n} > 2$, und es sind nach § 26, 2., wenn $\mathfrak{Z}$ das Verzweigungspolygon in $z$ bedeutet, \[ \mu_{n} = \frac{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \quad \mu_{n}z = \frac{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{W}_{1}}{\mathfrak{Z}} = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{A}'\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}} \] Differentialquotienten erster Gattung nach $z$, also \[ \mathfrak{A}\mathfrak{W}_{1} = \mathfrak{A}'\mathfrak{W} \] oder, da $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'$ relativ prim sind, \[ \mathfrak{W} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}, \quad \mathfrak{W}_{1} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}, \] d. h. die Classe $A$ ist von der ersten Gattung ($z$ eine Variable erster Gattung). Machen wir daher zunächst die Annahme, es sei $A$ eine Classe zweiter Gattung, so folgt \[ r_{s+1} = 2, \quad r_{s+2} = 2, \quad \ldots \quad r_{n} = 2 \] und \[ p = (r_{2}-1) + \cdots + (r_{s}-1) + (r_{s+1}-1) + \cdots + (r_{n}-1) = n-s. \] Die Dimension $s+1$ der Classe $A$ ist daher \[ (O, A) = n-p+1. \]

4. Machen wir zweitens die Annahme, es sei $A$ von der ersten Gattung und wie in § 27 \[ q = (A, W), \] so existiren $q$ linear unabhängige, durch $\mathfrak{A}$ theilbare vollständige Polygone erster Gattung, und die diesen entsprechenden Differentialquotienten erster Gattung nach $z$, deren es ebenfalls $q$ und nicht mehr linear unabhängige giebt, haben den Ausdruck \[ v = \frac{\mathfrak{A}^{3}\mathfrak{B}}{\mathfrak{Z}}, \] worin $\mathfrak{B}$ ein Polygon von $2p-2-n$ Punkten bedeutet; die Classe $B$ von $\mathfrak{B}$ ist die Ergänzungsclasse von $A$, und daher ihre Dimension gleich $q$ (§ 27).

Diese Functionen $v$ haben aber die Eigenschaft, dass in den Eckpunkten von $\mathfrak{A}$, d. h. für $z = \infty$ nicht nur $zv$, sondern auch \[ z^{2}v = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{A}'^{2}\mathfrak{B}}{\mathfrak{Z}} \] verschwindet, und sind hierdurch und durch die Forderung, Differentialquotienten

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erster Gattung zu sein, völlig bestimmt. Denn ist \[ v = \frac{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \quad vz^{2} = \frac{\mathfrak{A}'^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \] so muss, wenn $z^{2}v$ in allen Punkten von $\mathfrak{A}$ verschwinden soll, $\mathfrak{W}$ durch $\mathfrak{A}$ theilbar sein, da $\mathfrak{A}'$ relativ prim zu $\mathfrak{A}$ vorausgesetzt ist. Es ist daher nach § 26, 3: \[ q = (r_{s+1}-2)+(r_{s+2}-2)+\cdots+(r_{n}-2), \] andererseits \[ p = (r_{s+1}-1)+(r_{s+2}-1)+\cdots+(r_{n}-1), \] folglich: \[ p-q = n-s, \quad s = n-p+q. \] Hierin ist der Riemann-Rochsche Satz enthalten, dem wir, mit Rücksicht auf § 27, für diesen Fall folgenden Ausdruck geben können: Sind $A$, $B$ Ergänzungsclassen erster Gattung, von denen wenigstens die eine eine eigentliche ist, und $a$, $b$ ihre Ordnungen, also \[ a+b = 2p-2, \] so ist \[ (O, A)-\frac{1}{2}a = (O, B)-\frac{1}{2}b. \]

5. Wir können, wenn wir den Fall $(A, W) = 0$ nicht ausschliessen, den Riemann-Rochschen Satz für beide Fälle dahin zusammenfassen:

Ist $A$ eine eigentliche Classe von der Ordnung $n$, so ist ihre Dimension \[ (O, A) = n-p+1+(A, W). \] Da die Dimension einer eigentlichen Classe (wenn sie nicht aus dem einzigen Nulleck besteht) mindestens $= 2$ sein muss, so folgt noch, wenn $(A, W) = 0$ ist, \[ n \geqq p+1, \] und daraus der von Riemann herrührende Satz:

Jede Function, deren Ordnung $\leqq p$ ist, ist eine Function erster Gattung.

6. Es lässt sich mit Hülfe dieser Sätze leicht beweisen, dass die Hauptclasse $W$ der vollständigen Polygone erster Gattung stets eine eigentliche ist.

Ist nämlich $\mathfrak{M}$ der Theiler von $W$, so lässt sich nach § 19, 2. in $W$ ein Polygon $\mathfrak{A}\mathfrak{M}$ der Art finden, dass $\mathfrak{A}$ relativ prim zu $\mathfrak{M}$ ist. Die Classe $A$ von $\mathfrak{A}$ ist eine eigentliche (§ 21, 3.), und zugleich ist $\mathfrak{A}\mathfrak{M}$ das einzige durch $\mathfrak{A}$ theilbare Polygon der Classe $W$ (weil jedes Polygon in $W$ den Theiler $\mathfrak{M}$ hat). Also ist \[ (A, W) = 1. \]

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Nun ist $p$ die Dimension von $W$, also auch die von $A$, und mithin nach dem Riemann-Rochschen Satze die Ordnung von $A$ gleich $2p-2$, d. h. ebenso gross wie die von $W$. Mithin ist $\mathfrak{M} = \mathfrak{O}$.

§ 29. Der Riemann-Rochsche Satz für uneigentliche Classen erster Gattung.

Ist $A$ eine Classe erster Gattung vom Theiler $\mathfrak{M}$ und \[ A = \mathfrak{M}A', \] so ist $A'$ eine eigentliche Classe erster Gattung. Es sei $B$ die Ergänzungsclasse von $A$; $B'$ die von $A'$; $a$, $b$ die Ordnungen der Classen $A$, $B$; $m$ die Ordnung von $\mathfrak{M}$. Die gesammte Classe $B$ erhält man, wenn man in sämmtlichen durch $\mathfrak{M}$ theilbaren Polygonen der Classe $B'$ den Factor $\mathfrak{M}$ unterdrückt; denn ist \[ \mathfrak{A}\mathfrak{B} = \mathfrak{A}'\mathfrak{M}\mathfrak{B} = \mathfrak{W}, \] so gehört $\mathfrak{M}\mathfrak{B}$ in die Classe $B'$, und umgekehrt, wenn \[ \mathfrak{A}'\mathfrak{B}' = \mathfrak{A}'\mathfrak{M}\mathfrak{B} = \mathfrak{W} \] ist, so gehört $\mathfrak{B}$ in die Classe $B$.

Hieraus ergiebt sich aber nach § 21, 2. \[ (O, B) \geqq (O, B')-m. \] Nun ist $A'$ eine eigentliche Classe von derselben Dimension wie $A$ und von der Ordnung $a-m$, also (§ 28, 5.) \[ (O, A) = (O, A') = a-m-p+1+(A', W), \] oder \[ (O, A) = (O, B')-m+a-p+1; \] daher \[ (O, A) \leqq (O, B)+a-p+1 = (O, B)+\frac{1}{2}(a-b), \] also \[ (O, A)-\frac{1}{2}a \leqq (O, B)-\frac{1}{2}b. \] Da aber die Classen $A$, $B$ mit einander vertauscht werden können, so folgt in gleicher Weise \[ (O, B)-\frac{1}{2}b \leqq (O, A)-\frac{1}{2}a, \] d. h. \[ (O, A)-\frac{1}{2}a = (O, B)-\frac{1}{2}b, \]

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wodurch der Riemann-Rochsche Satz in derselben Form wie in § 28, 4. für Polygonclassen erster Gattung allgemein nachgewiesen ist${}^{*)}$.

§ 30. Uneigentliche Classen zweiter Gattung.

Es soll nun die Bedingung aufgesucht werden, unter der eine Polygonclasse zweiter Gattung $A$ von der Ordnung $n$ überhaupt eine uneigentliche sein kann, wobei sich die allgemeine Gültigkeit des Riemann-Rochschen Satzes von selbst ergeben wird.

1. Jede Classe $A$ kann stets durch Multiplication mit einer andern Classe $N$ von der Ordnung $\nu$ in eine eigentliche Classe $AN$ verwandelt werden. Denn ist $\mathfrak{A}$ ein beliebiges Polygon in $A$, so wähle man eine Variable $z$, welche in sämmtlichen Punkten von $\mathfrak{A}$ endlich bleibt (§ 15, 6.). Ist dann $\eta$ eine beliebige Function des durch $\mathfrak{A}$ erzeugten Ideals in $z$, so ist das Obereck von $\eta$ durch $\mathfrak{A}$ theilbar, also von der Form $\mathfrak{A}\mathfrak{N}$, und die Classe von $\mathfrak{A}\mathfrak{N}$ ist eine eigentliche.

2. Die Dimension der eigentlichen Classe $AN$ zweiter Gattung ist nach § 28, 3. \[ (O, AN) = n+\nu-p+1, \] und hieraus folgt nach § 21, 2. \[ (O, A) \geqq n-p+1. \] Ist nun der Theiler $\mathfrak{M}$ der Classe $A$ von der Ordnung $m$, und \[ A = \mathfrak{M}A', \] so ist $A'$ eine eigentliche Classe von derselben Dimension wie $A$, und mithin (§ 28, 5.) \[ (O, A) = (O, A') = n-m-p+1+(A', W), \] also \[ (A', W) \geqq m, \] d. h. $A'$ muss gewiss von der ersten Gattung sein, wenn $A$ eine uneigentliche Classe ist. Ist also $B'$ die Ergänzungsclasse von $A'$, so ist auch \[ (O, B') \geqq m. \]

*) Nach der Ausdrucksweise von Christoffel (Ueber die canonische Form der Riemannschen Integrale erster Gattung, Annali di Matematica pura ed applicata, Serie II, Tomo IX) ist \[ (A, W)+a-p = (O, B)+a-p = (O, A)-1 \] der „Ueberschuss“, \[ (A, W)-1 = (O, B)-1 \] der „Defect“ des Punktsystems $\mathfrak{A}$.

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Wäre aber $(O, B') > m$, so würde sich nach § 20, 2. in $B'$ ein durch $\mathfrak{M}$ theilbares Polygon $\mathfrak{M}\mathfrak{B}$ finden lassen und es wäre \[ \mathfrak{A}'\mathfrak{M}\mathfrak{B} = \mathfrak{A}\mathfrak{B} = \mathfrak{W}, \] also $A$ von der ersten Gattung, gegen die Voraussetzung. Es ist also \[ (A', W) = m \] und folglich \[ (O, A) = n-p+1, \] worin wieder der Riemann-Rochsche Satz für diesen Fall, genau in der Form von § 28, 3. enthalten ist.

3. Enthält die Classe $A$ nur ein einziges isolirtes Polygon, so ist $(O, A) = n-p+1 = 1$, mithin $n = p$, d. h. ein isolirtes Polygon zweiter Gattung hat stets die Ordnung $p$. Umgekehrt ist nach 2. jedes Polygon zweiter Gattung von der Ordnung $p$ ein isolirtes.

4. Unter Beibehaltung der Bezeichnung von 2. ist $(O, B') = m$, und daher lässt sich nach dem oft angewandten Satze (§ 20, 2.) in $B'$ ein durch ein beliebiges $(m-1)$-Eck theilbares Polygon finden. Setzt man also, indem man einen beliebigen Punkt $\mathfrak{P}$ von $\mathfrak{M}$ absondert, \[ \mathfrak{M} = \mathfrak{P}\mathfrak{M}', \] so ist ein Polygon $\mathfrak{M}'\mathfrak{B}$ in $B'$ enthalten und also \[ \mathfrak{A}'\mathfrak{M}'\mathfrak{B} = \mathfrak{W}. \] Das Polygon $\mathfrak{A}'\mathfrak{M}' = \mathfrak{A}''$ und seine Classe $A''$ sind daher von der ersten Gattung, und $A$ hat, wenn $P$ die Classe von $\mathfrak{P}$ bedeutet, die Form \[ A = PA''. \] Zugleich muss $(A'', W) = (O, B'') = 1$ sein, d. h. die Ergänzungsclasse $B''$ von $A''$ enthält nur ein einziges isolirtes Polygon $\mathfrak{B}''$, da sonst in $B''$ ein durch $\mathfrak{P}$ theilbares Polygon existiren würde, und also auch $A$ gegen die Voraussetzung von der ersten Gattung wäre.

5. Ist umgekehrt $A''$ eine Classe erster Gattung, für welche $(A'', W) = 1$, so dass die Ergänzungsclasse $B''$ von $A''$ aus einem isolirten Polygon $\mathfrak{B}''$ besteht; ist ferner $\mathfrak{P}$ ein in $\mathfrak{B}''$ nicht aufgehender Punkt, und seine Classe $P$, so ist $A = PA''$ eine uneigentliche Classe zweiter Gattung von der Ordnung $n$, in deren Theiler $\mathfrak{P}$ aufgeht.

Dass $A$ von der zweiten Gattung ist, ergiebt sich zunächst aus der Annahme, dass $\mathfrak{P}$ in $\mathfrak{B}''$ nicht aufgeht. Die Dimension von $A$ ist daher nach 2. \[ (O, A) = n-p+1, \]

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wo $n$ die Ordnung von $A$ bedeutet; andererseits ist die Dimension der Classe $A''$ nach §§ 28 und 29: \[ (O, A'') = n-p+(A'', W) = n-p+1; \] also sind $A$ und $A''$ von derselben Dimension. Sämmtliche Polygone der Classe $A''$ gehen aber durch Multiplication mit $\mathfrak{P}$ in Polygone der Classe $A$ über, und wegen der Gleichheit der Dimensionen wird hierdurch auch die letzte Classe vollständig erschöpft. Es enthalten daher sämmtliche Polygone der Classe $A$ den Factor $\mathfrak{P}$, der sonach auch im Theiler von $A$ aufgeht.

6. In dem besonderen Fall, wo das Geschlecht $p$ des Körpers $\Omega$ den Werth 0 hat, kommen Polygone und Classen erster Gattung überhaupt nicht vor. Es existiren also in diesem Falle auch keine uneigentlichen Classen. Die Dimension einer jeden Classe ist um 1 grösser als ihre Ordnung. Insbesondere gehört also auch jeder Punkt $\mathfrak{P}$ zu einer eigentlichen Classe von der Dimension 2, und daher existiren in diesem Fall in $\Omega$ Functionen $z$, welche von der ersten Ordnung sind. Durch eine solche lässt sich jede andere Function des Körpers rational ausdrücken, denn die zwischen $z$ und einer andern Variabeln des Körpers bestehende irreductible Gleichung ist in Bezug auf letztere vom ersten Grad (§ 15, 7.).

§ 31. Die Differentiale zweiter und dritter Gattung.

1. Ist jetzt nach der in § 25 eingeführten Bezeichnung \[ d\varpi = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}} \] ein beliebiges Differential in $\Omega$, also, wenn $a$, $b$ die Ordnungen von $\mathfrak{A}$ und $\mathfrak{B}$ sind, \[ a = b+2p-2, \] und werden $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ als relativ prim vorausgesetzt, so muss, wenn $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{Z}$ Untereck und Verzweigungspolygon für eine beliebige Variable $z$ bedeuten, $\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{Z}\mathfrak{B}$ äquivalent sein (§ 25). Bezeichnet man also mit $U$, $Z$, $A$, $B$ die Classen der Polygone $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{Z}$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, so muss \[ U^{2}A = ZB \] sein. Andererseits ist aber, wenn $W$ die Hauptclasse erster Gattung ist, \[ U^{2}W = Z, \]

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woraus sich die Relation \[ A = BW \] ergiebt. Ist umgekehrt $\mathfrak{A}$ ein beliebiges Polygon der Classe $BW$, so folgt daraus die Aequivalenz von $\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}$ mit $\mathfrak{Z}\mathfrak{B}$, also die Existenz eines Differentials von der Bezeichnung $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$. Daraus ergiebt sich, dass $\mathfrak{B}$ dann und nur dann Untereck eines Differentials $d\varpi$ sein kann, wenn in $BW$ ein zu $\mathfrak{B}$ relativ primes Polygon existirt, d. h. wenn der Theiler der Classe $BW$ relativ prim zu $\mathfrak{B}$ ist. Die Dimension der Classe $BW$ giebt dann zugleich die Dimension der zum Untereck $\mathfrak{B}$ gehörigen Schaar von Differentialen $d\varpi$ (§ 25). Die Sätze § 30, 4., 5. ergeben daher, da $(W, W) = 1$ ist, das folgende Resultat.

a) Besteht $\mathfrak{B}$ aus einem einzigen Punkt (ist $b = 1$), so ist die Classe $BW$ eine uneigentliche mit dem Theiler $\mathfrak{B}$; also kann die Ordnung $b$ des Unterecks eines Differentials $d\varpi$ nicht gleich Eins sein.

b) Ist $b \geqq 2$, so ist $BW$ stets eine eigentliche Classe zweiter Gattung und daher ihre Dimension \[ b+p-1. \] Untereck eines Differentials kann also jedes beliebige Polygon von mehr als einem Punkt sein, und es existiren unter den zu einem Untereck von der Ordnung $b$ gehörigen Differentialen $b+p-1$ linear unabhängige.

2. Wir suchen jetzt unter der Voraussetzung, dass $b \geqq 2$ ist, für die Classe $A$ eine Basis der Art auf, dass jedes Element $\mathfrak{A}_{r}$ dieser Basis ein Differential $d\varpi_{r}$ von möglichst einfacher Beschaffenheit liefert, nämlich ein solches, dessen Untereck eine Potenz eines einzelnen Punktes oder das Product aus nur zwei verschiedenen Punkten ist.

Angenommen, es sei für die Classe $BW$ eine solche Basis bereits gefunden \[ \mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \mathfrak{A}_{3}, \ldots \mathfrak{A}_{b+p-1}, \tag{1.} \] so bilden wir daraus, wenn $P$ die Classe eines beliebigen Punktes $\mathfrak{P}$ bedeutet, eine ebensolche Basis für die Classe $BPW$ von der Dimension $b+p$, nämlich \[ \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{b+p-1}, \mathfrak{A}'. \tag{2.} \] Die ersten $b+p-1$ dieser Polygone gehören wirklich der Classe $BPW$ an und sind von einander unabhängig, weil es die Polygone (1.) sind; zugleich

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sind die aus ihnen gebildeten Differentiale \[ d\varpi_{r} = \frac{\mathfrak{P}\mathfrak{A}_{r}}{\mathfrak{P}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{A}_{r}}{\mathfrak{B}} \] mit den aus (1.) gebildeten identisch. Es kommt also nur noch auf die Bildung von $\mathfrak{A}'$ an, wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind.

a) Geht $\mathfrak{P}$ in $\mathfrak{B}$ auf und ist $\mathfrak{B} = \mathfrak{M}\mathfrak{P}^{m}$, $\mathfrak{M}$ nicht durch $\mathfrak{P}$ theilbar, so ist $P^{m+1}W$ eine eigentliche Classe (weil $m+1 \geqq 2$, § 30, 4.), in welcher folglich ein durch $\mathfrak{P}$ nicht theilbares Polygon $\mathfrak{N}$ existirt; setzt man nun $\mathfrak{A}' = \mathfrak{M}\mathfrak{N}$, so gehört $\mathfrak{A}'$ der Classe $BPW$ an und ist durch $\mathfrak{P}$ nicht theilbar, folglich auch nicht in der Schaar $(\mathfrak{P}\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{b+p-1})$, deren Theiler $\mathfrak{P}$ ist, enthalten; mithin sind die Polygone (2.) unabhängig von einander, und da ihre Anzahl $b+p$ ist, so bilden sie eine Basis der Classe $BPW$. Das aus $\mathfrak{A}'$ gebildete Differential \[ d\varpi' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{P}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{N}}{\mathfrak{P}^{m+1}} \] hat die geforderte Form, da sein Untereck eine Potenz eines einzelnen Punktes ist.

b) Geht $\mathfrak{P}$ nicht in $\mathfrak{B}$ auf, so wähle man ein für allemal einen in $\mathfrak{B}$ aufgehenden Punkt $\mathfrak{P}_{1}$ und setze $\mathfrak{B} = \mathfrak{M}\mathfrak{P}_{1}$ (gleichgültig ob $\mathfrak{M}$ durch $\mathfrak{P}_{1}$ theilbar ist oder nicht). Man wähle sodann in der eigentlichen Classe $PP_{1}W$ ein durch $\mathfrak{P}$ und $\mathfrak{P}_{1}$ nicht theilbares Polygon $\mathfrak{N}$, so gehört $\mathfrak{A}' = \mathfrak{M}\mathfrak{N}$ wieder in die Classe $PBW$, und da $\mathfrak{A}'$ nicht durch $\mathfrak{P}$ theilbar ist, so folgt wie oben, dass die Polygone (2.) eine Basis von $BPW$ bilden. Zugleich ist \[ d\varpi' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{P}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{N}}{\mathfrak{P}\mathfrak{P}_{1}}, \] also von der verlangten Form.

Es bleibt noch übrig, den Anfang dieser Operation zu beschreiben. Ist $b = 0$, also $\mathfrak{B} = \mathfrak{O}$, so ist \[ BW = W = (\mathfrak{W}_{1}, \mathfrak{W}_{2}, \ldots \mathfrak{W}_{p}) \] (die Hauptclasse erster Gattung).

Ist $b = 2$, so wähle man aus der eigentlichen Classe $BW$ ein Polygon $\mathfrak{N}$, welches relativ prim zu $\mathfrak{B}$ ist; dann ist \[ BW = (\mathfrak{B}\mathfrak{W}_{1}, \mathfrak{B}\mathfrak{W}_{2}, \ldots \mathfrak{B}\mathfrak{W}_{p}, \mathfrak{N}). \] Geht man von dieser Basis aus, um in der oben beschriebenen Weise eine Basis (1.) zu bestimmen, die dem beliebig gegebenen Polygon \[ \mathfrak{B} = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\mathfrak{P}_{3}^{m_{3}}\ldots \]

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entspricht, und bestimmt die beiden Polygone $\mathfrak{A}'_{r}$, $\mathfrak{B}'_{r}$ aus der Bedingung \[ d\varpi_{r} = \frac{\mathfrak{A}_{r}}{\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{A}'_{r}}{\mathfrak{B}'_{r}}, \] so dass sie keinen gemeinschaftlichen Theiler haben, so sind die Polygone $\mathfrak{B}'_{r}$, die als Unterecke der Differentiale $d\varpi_{r}$ auftreten, folgende:

a) $p$-mal tritt der Nenner $\mathfrak{O}$ auf, und die zugehörigen Differentiale $d\varpi_{r}$ sind die Differentiale erster Gattung.

b) Je einmal treten die Unterecke $\mathfrak{P}_{1}^{2}, \mathfrak{P}_{1}^{3}, \ldots \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}$ (wenn $m_{1} \geqq 2$), $\mathfrak{P}_{2}^{2}, \mathfrak{P}_{2}^{3}, \ldots \mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}$; $\mathfrak{P}_{3}^{2}, \mathfrak{P}_{3}^{3}, \ldots \mathfrak{P}_{3}^{m_{3}}$, … auf.

Die zu den Unterecken $\mathfrak{P}^{r}$ gehörigen Differentiale $d\varpi_{r}$ werden, wenn eine genauere Unterscheidung nöthig ist, mit $dt_{(\mathfrak{P}^{r-1})}$ bezeichnet und heissen Differentiale zweiter Gattung.

c) Endlich treten die Producte $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}$, $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{3}$, … (bei festgehaltenem $\mathfrak{P}_{1}$) je einmal auf. Die zugehörigen Differentiale $d\varpi_{r}$ werden mit $d\pi_{(\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{r})}$ bezeichnet und heissen Differentiale dritter Gattung.

Jedes Differential $d\varpi$, dessen Untereck $\mathfrak{B}$ ist, kann in der Form dargestellt werden \[ d\varpi = \overset{r}{\Sigma} c_{r}\,d\varpi_{r} \tag{3.} \] mit constanten Coefficienten $c_{r}$, welche die Normalform des Differentials $d\varpi$ genannt wird. Hat man jedes der einzelnen Differentiale $d\varpi_{r}$ auf eine bestimmte Art gewählt, so lässt sich die Normalform auch nur auf eine einzige Weise herstellen, was unmittelbar aus der linearen Unabhängigkeit der Differentiale $d\varpi_{r}$ folgt.

§ 32. Die Residuen.

1. Ist $d\varpi$ ein beliebiges Differential in $\Omega$ und $\mathfrak{P}$ ein Punkt, der $m$-mal im Untereck $\mathfrak{B}$ desselben vorkommt ($m \geqq 0$), so wähle man eine Variable $z$ so, dass sie in $\mathfrak{P}$ $\infty^{1}$ wird. Es lässt sich dann (nach § 15, 4.), und zwar nur auf eine Weise, setzen \[ \frac{d\varpi}{dz} = a_{m-2}z^{m-2}+a_{m-3}z^{m-3}+\cdots+a_{1}z+a_{0}+a_{-1}z^{-1}+\eta z^{-2}, \tag{1.} \] worin die $a$ Constanten, $\eta$ eine Function in $\Omega$, die in $\mathfrak{P}$ endlich ist. Der Coefficient $-a_{-1}$ von $-z^{-1}$ in diesem Ausdruck heisst das Residuum des Differentials $d\varpi$ in Bezug auf den Punkt $\mathfrak{P}$. Aus dieser Definition ergeben sich die folgenden Sätze:

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2. Das Residuum in Bezug auf einen Punkt $\mathfrak{P}$ kann nur dann von Null verschieden sein, wenn $m > 0$, d. h. wenn der Punkt $\mathfrak{P}$ im Untereck von $d\varpi$ wirklich vorkommt, und ist daher für die Differentiale erster Gattung immer gleich 0.

3. Das Residuum einer Summe von Differentialen ist gleich der Summe der Residuen der einzelnen Differentiale.

4. Das Residuum eines eigentlichen Differentials ist stets gleich 0. Ist nämlich $\sigma$ eine Function in $\Omega$, und wenn die $b$ Constanten, $\sigma'$ eine in $\mathfrak{P}$ endliche Function bedeuten, \[ \sigma = b_{m}z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_{1}z+\sigma', \] so ergiebt sich durch Differentiation dieses Ausdruckes nach $z$, da $\frac{d\sigma'}{dz}$ in $\mathfrak{P}$ unendlich klein von mindestens zweiter Ordnung ist (§ 23, 10.)****Editorial note: Printed "§ 23, 10.", but § 23 has only articles 1.–9. and formulas (1.)–(9.). The fact used is presumably § 23, 8.: the order of $\frac{d\alpha}{d\beta}$ is the difference of the orders of $\alpha-\alpha_{0}$ and $\beta-\beta_{0}$ (following formula (7.)). Here $z$ is $\infty^{1}$ in $\mathfrak{P}$ and $\sigma'$ is finite there, so $\frac{d\sigma'}{dz}$ has order at least $1-(-1) = 2$., dass in dem Ausdruck für $\frac{d\sigma}{dz}$ ein Glied mit $z^{-1}$ gar nicht vorkommt, womit die Behauptung erwiesen ist.

5. Das Residuum eines Differentials $d\varpi$ ist unabhängig von der Wahl der Veränderlichen $z$. Ist nämlich $z_{1}$ eine zweite Veränderliche von derselben Beschaffenheit wie $z$, also, wenn $a$ constant, $\zeta$ in $\mathfrak{P}$ endlich ist: \[ z = az_{1}+\zeta, \tag{2.} \] so ergiebt sich, wenn zur Abkürzung \[ \alpha = \frac{a_{m-2}z^{m-1}}{m-1}+\frac{a_{m-3}z^{m-2}}{m-2}+\cdots+a_{0}z \] gesetzt wird: \[ \frac{d\varpi}{dz_{1}} = \frac{d\varpi}{dz}\frac{dz}{dz_{1}} = \frac{d\alpha}{dz_{1}}+a_{-1}z^{-1}\frac{dz}{dz_{1}}-\eta\frac{dz^{-1}}{dz_{1}}. \] Nun ist, wenn $\zeta'$, $\zeta''$ in $\mathfrak{P}$ endliche Functionen sind, wie sich nach § 23 und § 15, 4. leicht ergiebt: \[ z^{-1}\frac{dz}{dz_{1}} = z_{1}^{-1}+z_{1}^{-2}\zeta', \quad \frac{dz^{-1}}{dz_{1}} = z_{1}^{-2}\zeta'', \] und daraus folgt nach 3., 4. die Richtigkeit der aufgestellten Behauptung${}^{*)}$.

6. Die Summe der Residuen eines jeden Differentials $d\varpi$ in Bezug auf alle Punkte $\mathfrak{P}$ ist stets gleich Null.

*) Man kann bei der Definition des Residuums auch eine Veränderliche $r$ zu Grunde legen, die in $\mathfrak{P}$ unendlich klein in der ersten Ordnung ist. Ist dann \[ \frac{d\varpi}{dr} = a_{m}r^{-m}+\cdots+a_{1}r^{-1}+\eta \] und $\eta$ in $\mathfrak{P}$ endlich, so ist $a_{1}$ das Residuum von $d\varpi$ in Bezug auf $\mathfrak{P}$.

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Beim Beweise dieses wichtigen Satzes können wir uns auf die Betrachtung der Residuen beschränken, welche zu den sämmtlichen im Untereck $\mathfrak{B}$ von $d\varpi$ aufgehenden von einander verschiedenen Punkten gehören; wir fügen jedoch zu diesen noch so viele von einander verschiedene willkürliche Punkte mit verschwindenden Residuen hinzu, bis wir ein aus lauter einfachen Punkten bestehendes einer eigentlichen Classe angehöriges Polygon $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\ldots\mathfrak{P}_{n}$ erhalten. Dann wählen wir eine Variable $z$ von der Ordnung $n$, deren Untereck eben dies Polygon ist, welche also in jedem der Punkte $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots \mathfrak{P}_{n}$ und nur in diesen $\infty^{1}$ wird. Unter diesen finden sich dann sämmtliche von einander verschiedene in $\mathfrak{B}$ aufgehende Punkte. Es ergiebt sich unter dieser Voraussetzung für $\iota = 1, 2, \ldots n$ \[ \frac{d\varpi}{dz} = a_{m-2}^{(\iota)}z^{m-2}+a_{m-3}^{(\iota)}z^{m-3}+\cdots+a_{0}^{(\iota)}+a_{-1}^{(\iota)}z^{-1}+\eta^{(\iota)}z^{-2}, \tag{3.} \] wo $\eta^{(\iota)}$ eine in $\mathfrak{P}_{\iota}$ endliche Function bedeutet. Lassen wir für die Constanten $a^{(\iota)}$ auch den Werth 0 zu, so kann der Exponent $m$ unabhängig von $\iota$ angenommen werden ($m$ ist dann, wenn nicht alle $a_{m-2}^{(\iota)}$ verschwinden, der Exponent der höchsten Potenz eines einzelnen Punktes, welche in $\mathfrak{B}$ vorkommt). Der zu beweisende Satz besteht dann darin, dass $\overset{\iota}{\Sigma} a_{-1}^{(\iota)} = 0$ ist. Um ihn zu beweisen, bilden wir die Spur der Function $\frac{d\varpi}{dz}$ für die Variable $z$ (§ 2) und bedienen uns dabei einer Erweiterung des Verfahrens § 16, 4. Wir wählen ein Functionensystem $\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{n}$ in $\Omega$ folgendermassen: Es sei \[ \begin{matrix} \varrho_{1} = 0^{m} & \text{in}\ \mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots \mathfrak{P}_{n}, & \text{endlich} & \text{und} & \text{von} & \text{Null} & \text{verschieden} & \text{in} & \mathfrak{P}_{1}, \\ \varrho_{2} = 0^{m} & \text{in}\ \mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots \mathfrak{P}_{n}, & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{P}_{2}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varrho_{n} = 0^{m} & \text{in}\ \mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots \mathfrak{P}_{n-1}, & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{P}_{n}. \end{matrix} \] Sind nun $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ rationale Functionen von $z$, und ist \[ \eta = x_{1}\varrho_{1}+x_{2}\varrho_{2}+\cdots+x_{n}\varrho_{n} \] eine Function in $\Omega$, welche für $z = \infty$, d. h. in $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots \mathfrak{P}_{n}$ endlich ist, so müssen $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ ebenfalls für $z = \infty$ endlich sein. Sind nämlich die $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ für $z = \infty$ nicht alle endlich, so existirt ein positiver Exponent $r$ von der Beschaffenheit, dass die Producte $x_{1}z^{-r}, x_{2}z^{-r}, \ldots x_{n}z^{-r}$ für $z = \infty$ alle endlich sind, und mindestens eines von ihnen, etwa $x_{1}z^{-r}$ von Null verschieden; dann enthält aber die Gleichung \[ \eta z^{-r} = x_{1}z^{-r}\varrho_{1}+\cdots+x_{n}z^{-r}\varrho_{n} \] den Widerspruch, dass im Punkte $\mathfrak{P}_{1}$ die linke Seite und alle Glieder der rechten Seite mit Ausnahme des ersten verschwinden.

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Hieraus ergiebt sich zugleich, wenn man $\eta = 0$ setzt, dass die Functionen $\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{n}$ eine Basis von $\Omega$ bilden. Setzt man daher, indem man mit $x_{\iota,\iota'}$ rationale Functionen von $z$ bezeichnet, \[ \frac{d\varpi}{dz}\varrho_{\iota} = x_{\iota,1}\varrho_{1}+x_{\iota,2}\varrho_{2}+\cdots+x_{\iota,n}\varrho_{n}, \qquad {\scriptstyle (\iota = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \tag{4.} \] so ist (§ 2) \[ S\left(\frac{d\varpi}{dz}\right) = x_{1,1}+x_{2,2}+\cdots+x_{n,n}. \tag{5.} \] Nun ist, wie aus (3.) hervorgeht, $z^{-m+2}\frac{d\varpi}{dz}\varrho_{\iota}$ für $z = \infty$ endlich und daraus ergiebt sich nach der soeben bewiesenen Eigenschaft der Functionen $\varrho$, dass auch \[ z^{-m+2}x_{\iota,\iota'} \] für $z = \infty$ endlich sind. Nun sind z. B. in dem Punkt $\mathfrak{P}_{2}$ die Functionen $\varrho_{1}, \varrho_{3}, \ldots \varrho_{n}$ unendlich klein in der $m^{\text{ten}}$ Ordnung, während $\varrho_{2}$ dort endlich und von Null verschieden ist. Daher werden in $\mathfrak{P}_{2}$ die Functionen \[ z\frac{d\varpi}{dz}\varrho_{1}, \quad zx_{1,1}\varrho_{1}, \quad zx_{1,3}\varrho_{3}, \quad \ldots \quad zx_{1,n}\varrho_{n} \] alle verschwinden, und es muss mithin auch $zx_{1,2}$ für $z = \infty$ verschwinden. Das Gleiche folgt für $zx_{1,3}, \ldots zx_{1,n}$ und allgemein für $zx_{\iota,\iota'}$, sobald $\iota$, $\iota'$ von einander verschieden sind. Daher wird $z^{2}x_{\iota,\iota'}$ für $z = \infty$ endlich sein.

Setzt man nun, indem man $x_{\iota}$ eine neue rationale Function bedeuten lässt, \[ x_{\iota,\iota} = a_{m-2}^{(\iota)}z^{m-2}+a_{m-3}^{(\iota)}z^{m-3}+\cdots+a_{-1}^{(\iota)}z^{-1}+x_{\iota}z^{-2}, \tag{6.} \] so folgt aus (3.) \[ x_{\iota,\iota}-\frac{d\varpi}{dz} = z^{-2}(x_{\iota}-\eta^{(\iota)}), \] und aus (4.) \[ (\eta^{(\iota)}-x_{\iota})\varrho_{\iota} = z^{2}x_{\iota,1}\varrho_{1}+\cdots+z^{2}x_{\iota,\iota-1}\varrho_{\iota-1}+z^{2}x_{\iota,\iota+1}\varrho_{\iota+1}+\cdots+z^{2}x_{\iota,n}\varrho_{n}. \] Da nun in $\mathfrak{P}_{\iota}$ $\eta^{(\iota)}$ endlich und $\varrho_{\iota}$ von Null verschieden, ferner alle Glieder der rechten Seite Null sind, so folgt, dass auch $x_{\iota}$ im Punkte $\mathfrak{P}_{\iota}$, und mithin, da es rational ist, für $z = \infty$ endlich ist. Aus (5.) und (6.) ergiebt sich dann \[ S\left(\frac{d\varpi}{dz}\right) = \overset{\iota}{\Sigma} a_{m-2}^{(\iota)}z^{m-2}+\overset{\iota}{\Sigma} a_{m-3}^{(\iota)}z^{m-3}+\cdots+\overset{\iota}{\Sigma} a_{-1}^{(\iota)}z^{-1}+\overset{\iota}{\Sigma} x_{\iota}z^{-2}. \tag{7.} \] Nun ist aber andererseits, wenn wieder $\mathfrak{U}$ das Untereck, $\mathfrak{Z}$ das Verzweigungspolygon von $z$ ist: \[ \frac{d\varpi}{dz} = \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}\mathfrak{B}}, \]

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und $\mathfrak{B}$ enthält keinen Punkt, der nicht auch in $\mathfrak{U}$ enthalten ist. Daraus ergiebt sich wie in § 26, dass $\frac{d\varpi}{dz}$, als Function von $z$ aufgefasst, eine Function des zu $\mathfrak{o}$ complementären Moduls $\mathfrak{e}$ ist, und mithin ist \[ S\left(\frac{d\varpi}{dz}\right) \] eine ganze rationale Function von $z$ (§ 11, 4.). Beachtet man dies, so folgt aus (7.) $\overset{\iota}{\Sigma} x_{\iota} = 0$ und ferner der zu beweisende Satz \[ \overset{(\iota)}{\Sigma} a_{-1}^{(\iota)} = 0. \]

Wir können diesem Satze auch den folgenden Ausdruck geben: Das Residuum eines Differentials zweiter Gattung $dt_{(\mathfrak{P}^{r})}$ in Bezug auf den Punkt $\mathfrak{P}$ ist Null.

Die Residuen eines Integrals dritter Gattung $d\pi_{(\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2})}$ in Bezug auf $\mathfrak{P}_{1}$, $\mathfrak{P}_{2}$ sind einander gleich und entgegengesetzt, und sicher von Null verschieden, da sonst $d\pi$ ein Differential erster Gattung sein würde.

Aus diesen Bemerkungen ergiebt sich noch mittelst 4., dass ein eigentliches Differential $d\sigma$, in der Normalform dargestellt, kein Differential dritter Gattung enthalten kann. Es verdient ferner erwähnt zu werden, dass die Residuen des logarithmischen Differentials $\frac{d\sigma}{\sigma}$ ganze Zahlen, nämlich die Ordnungszahlen der Function $\sigma$ sind (zufolge § 23).

§ 33. Relationen zwischen Differentialen erster und zweiter Gattung.

1. Es sei $\sigma$ eine Function in $\Omega$ mit dem Untereck \[ \mathfrak{B}' = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}-1}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}-1}\ldots \qquad {\scriptstyle (m_{1},\, m_{2},\, \ldots\, \geqq 2)} \] und dem Verzweigungspolygon (§ 16) \[ \mathfrak{S} = \mathfrak{S}'\mathfrak{P}_{1}^{m_{1}-2}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}-2}\ldots, \] worin $\mathfrak{S}'$ durch die als verschieden vorausgesetzten Punkte $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots$ nicht theilbar ist. Demnach ist in der symbolischen Bezeichnung von § 25 das eigentliche Differential \[ d\sigma = \frac{\mathfrak{S}}{\mathfrak{B}'^{2}} = \frac{\mathfrak{S}'}{\mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\ldots}, \] woraus zunächst hervorgeht, dass ein eigentliches Differential niemals von der ersten Gattung sein kann.

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2. Das eigentliche Differential $d\sigma$, welches in seiner Darstellung durch die Normalform nur Differentiale erster und zweiter Gattung enthalten kann, gehört zu der Schaar derjenigen Differentiale, deren Untereck \[ \mathfrak{B} = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\cdots = \mathfrak{B}'\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\ldots \] ist. Umgekehrt wird man also auch in einer solchen Schaar, vorausgesetzt dass $m_{1}, m_{2}, \ldots \geqq 2$ sind, und dass $\mathfrak{B}'$ zu einer eigentlichen Polygonclasse gehört, stets mindestens ein eigentliches Differential $d\sigma$ finden. Denn dazu ist nach 1. nur erforderlich, dass in $\Omega$ eine Function $\sigma$ mit dem Untereck $\mathfrak{B}'$ existirt.

3. Hieraus ergiebt sich nun der folgende wichtige Satz. Alle Differentiale zweiter Gattung lassen sich linear mit constanten Coefficienten darstellen durch $p$ besondere passend gewählte Differentiale zweiter Gattung, durch Differentiale erster Gattung und durch eigentliche Differentiale.

Um dies einzusehen, wähle man ein beliebiges Polygon zweiter Gattung $\mathfrak{A}$ von der Ordnung $p$. Ist nun $\mathfrak{P}$ ein beliebiger Punkt, $r$ ein positiver Exponent, so ist das Polygon $\mathfrak{A}\mathfrak{P}^{r}$ gleichfalls von der zweiten Gattung, und folglich kann der Theiler $\mathfrak{M}$ der zugehörigen Classe nicht durch $\mathfrak{P}$ theilbar sein, weil sonst $\mathfrak{A}\mathfrak{P}^{r-1}$, also auch $\mathfrak{A}$ ein Polygon erster Gattung wäre (§ 30, 4.). Setzt man daher \[ \mathfrak{A}\mathfrak{P}^{r} = \mathfrak{M}\mathfrak{B}', \] so wird $\mathfrak{P}$ nicht in $\mathfrak{M}$ aufgehen, und folglich enthält $\mathfrak{B}'$ den Factor $\mathfrak{P}$ genau $r$-mal öfter als $\mathfrak{A}$. Zugleich gehört $\mathfrak{B}'$ in eine eigentliche Classe. Ist nun \[ \mathfrak{B}' = \mathfrak{P}^{m+r}\mathfrak{P}'^{m'}\mathfrak{P}''^{m''}\ldots, \] so gehen die Punktpotenzen $\mathfrak{P}^{m}$, $\mathfrak{P}'^{m'}$, $\mathfrak{P}''^{m''}$, … alle in $\mathfrak{A}$ auf. Setzen wir also \[ \mathfrak{B} = \mathfrak{P}^{m+r+1}\mathfrak{P}'^{m'+1}\mathfrak{P}''^{m''+1}\ldots = \mathfrak{B}'\mathfrak{P}\mathfrak{P}'\mathfrak{P}''\ldots, \] so existirt nach 2. in der zu dem Untereck $\mathfrak{B}$ gehörigen Differentialschaar gewiss ein eigentliches Differential $d\sigma$. Die Darstellung desselben durch die Normalform enthält sicher das Differential \[ dt_{(\mathfrak{P}^{m+r})} \tag{1.} \] und ausserdem alle oder einige der Differentiale \[ \left\{ \begin{matrix} dt_{(\mathfrak{P})}, & dt_{(\mathfrak{P}^{2})}, & \ldots & dt_{(\mathfrak{P}^{m})}\ldots dt_{(\mathfrak{P}^{m+r-1})}, \\ dt_{(\mathfrak{P}')}, & dt_{(\mathfrak{P}'^{2})}, & \ldots & dt_{(\mathfrak{P}'^{m'})}, \\ dt_{(\mathfrak{P}'')}, & dt_{(\mathfrak{P}''^{2})}, & \ldots & dt_{(\mathfrak{P}''^{m''})} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \right. \tag{2.} \]

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nebst Differentialen erster Gattung. Es lässt sich also das Differential (1.) linear und mit constanten Coefficienten durch (2.), durch Differentiale erster Gattung und durch $d\sigma$ ausdrücken.

Ist daher das $p$-Eck zweiter Gattung \[ \mathfrak{A} = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\ldots \] so erkennt man durch wiederholte Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens, dass alle Differentiale zweiter Gattung in der Weise, wie unser Satz es ausspricht, darstellbar sind durch die $p$ Differentiale \[ \left\{ \begin{matrix} dt_{(\mathfrak{P}_{1})}\ldots dt_{(\mathfrak{P}_{1}^{m_{1}})}, \\ dt_{(\mathfrak{P}_{2})}\ldots dt_{(\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}})}, \\ \cdots \end{matrix} \right. \tag{3.} \]

Braunschweig und Königsberg i. Pr., im October 1880.

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Theory of algebraic functions of one variable.

(By Messrs. R. Dedekind in Braunschweig and H. Weber in Königsberg.)

Introduction.

The investigations communicated below have the aim of founding the theory of the algebraic functions of one variable, which is one of the principal results of Riemann's creation, from a simple and at the same time rigorous and completely general point of view. In the investigations on this subject so far, certain restrictive assumptions are as a rule made about the singularities of the functions under consideration, and the so-called exceptional cases are either mentioned in passing as limiting cases or else set aside altogether. Likewise certain principles about continuity and expandability are admitted, whose evidence rests on geometric intuition of various kinds. A secure basis for the fundamental notions, as well as for a general treatment of the theory without exceptions, can be gained if one starts from a generalization of the theory of the rational functions of one variable, in particular of the theorem that every integral rational function of one variable can be decomposed into linear factors. This generalization is simple and well known in the first case, in which the number denoted by Riemann by $p$ (the genus according to Clebsch) has the value zero. For the general case, which is related to the one just mentioned as the case of the most general algebraic numbers is to that of the rational numbers, the methods applied with the best success in the theory of numbers, which attach to Kummer's creation of the ideal numbers, and which are capable of

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transfer to the theory of functions, pointed out the right way${}^{*)}$.

If, in analogy with the theory of numbers, one understands by a field of algebraic functions a system of such functions of such a nature that the application of the four species to functions of the system always leads to functions of the same system, then this notion coincides completely with that of Riemann's class of algebraic functions. Among the functions of such a field any one may be regarded as the independent variable and the rest as dependent on it. For each of these “modes of representation” there results a system of functions of the field, to be designated as integral functions, whose quotients exhaust the whole field. Among these integral functions one can now again single out groups of functions which possess the characteristic marks of those integral rational functions that have a common divisor. Such a divisor does not, it is true, exist in the general case; but if one attaches the relevant theorems about rational functions not to the divisor itself but to the system of the functions divisible by it, then they admit a complete transfer to the general algebraic functions. In this way one arrives at the notion of the ideal, a name that comes from Kummer's number-theoretic works, where the non-existent divisors are introduced into the calculation as “ideal divisors”.

Although the present work is by no means concerned with “ideal” functions, but all operations are carried out only on systems of actually existing functions, it nevertheless seemed expedient to retain the name “ideal”, which is already customary in the theory of numbers.

With these ideals, after a proper explanation of multiplication, one can calculate entirely by the same rules as with rational functions.

*) The ideal numbers were first introduced by Kummer in the memoir: Zur Theorie der complexen Zahlen (Crelle's Journal, vol. 35); a further continuation and a general exposition of the theory of algebraic numbers is to be found in the second and third editions of Dirichlet's lectures on the theory of numbers, as well as in the memoir by Dedekind: Sur la théorie des nombres entiers algébriques (Paris 1877. Reprint from the Bulletin des Sciences math. et astron. of Darboux and Hoüel). A knowledge of these writings, however, is nowhere presupposed in our work.

From oral communications it has now become known to us that Kronecker, years ago already, with reference to the works of Weierstrass, undertook investigations which rest on the same foundation as ours.

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In particular there results the theorem that every ideal is decomposable in one single way into factors which themselves cannot be decomposed further and are therefore called prime ideals. These prime ideals correspond to the linear factors in the theory of integral rational functions. On their basis one arrives at a completely precise and general definition of the “point of the Riemann surface”, i.e. of a perfectly determined system of numerical values which can be assigned to the functions of the field without contradiction.

A formal definition of the differential quotient founded on this then leads to the genus number and to a quite general, elegant representation of the differentials of the first kind. To this is attached the proof of the Riemann-Roch theorem on the number of arbitrary constants in a function determined by its points of infinity, and the theory of the differentials of the second and third kinds. Up to this point the continuity and expandability of the functions investigated come into consideration in no way whatever. There would, e.g. nowhere remain a gap if one wished to restrict the domain of the numbers used to the system of the algebraic numbers. Thereby a well delimited and fairly comprehensive part of the theory of algebraic functions is treated solely by means belonging to its own sphere.

Admittedly all these results follow with a far smaller expenditure of means, and as special cases of a far-reaching generality, from Riemann's theory; but it is known that this theory still offers certain difficulties as regards a rigorous foundation, and until these difficulties have been completely overcome, the way we have taken, or at least a related one, may well be the only one that leads to the goal for the theory of algebraic functions with satisfactory rigour and generality. Thus the theory of ideals itself would be extraordinarily simplified if one were willing to presuppose the notion of the Riemann surface, and in particular that of a point of it, together with the intuitions founded on the continuity of algebraic functions. In our work, conversely, the theory of ideals is founded algebraically by a long detour, and from it a perfectly precise and rigorous definition of the “point of the Riemann surface” is obtained, which can also serve as a basis for the investigation of continuity and of the questions connected with it. These questions,

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to which those relating to the Abelian integrals and the moduli of periodicity also belong, remain excluded from our investigation for the time being. We hope to return to them on another occasion.

Königsberg, 22 October 1880.

Part I.

§ 1. Fields of algebraic functions.

A variable $\theta$ is called an algebraic function of an independent variable $z$ if it satisfies an irreducible algebraic equation \[ F(\theta, z) = 0 \tag{1.} \] Here $F$ denotes an expression of the form \[ F(\theta, z) = a_{0}\theta^{n} + a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\theta + a_{n}, \] in which the coefficients $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{n}$ are integral rational functions of $z$ without a common divisor. The assumed irreducibility of equation (1.) implies that $\theta$ does not satisfy an equation of lower degree with respect to $\theta$, and, as follows from the algorithm of the greatest common divisor, that if \[ G(\theta, z) = b_{0}\theta^{m} + b_{1}\theta^{m-1} + \cdots + b_{m-1}\theta + b_{m} = 0 \] is a second equation which $\theta$ satisfies, $G(\theta, z)$ must be algebraically divisible by $F(\theta, z)$. It can now be shown that $G(\theta, z)$ cannot be of lower degree than $F(\theta, z)$ with respect to $z$ either, and is of the same degree only if a factor independent of $z$ can be split off from $G(\theta, z)$. Let us assume that the coefficients $b_{0}, b_{1}, \ldots b_{m}$ have been freed of common factors, and denote by \[ H(\theta, z) = c_{0}\theta^{m-n} + c_{1}\theta^{m-n-1} + \cdots + c_{m-n} \] the quotient of $G$ by $F$, freed of its denominator; then \[ kG(\theta, z) = F(\theta, z).H(\theta, z), \] where $k$ is an integral rational function of $z$, and comparison of the coefficients gives \[ \begin{aligned} kb_{0} &= a_{0}c_{0}, \\ kb_{1} &= a_{0}c_{1} + a_{1}c_{0}, \\ kb_{2} &= a_{0}c_{2} + a_{1}c_{1} + a_{2}c_{0}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned} \]

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where the $c_{0}, c_{1}, \ldots c_{m-n}$ may likewise be assumed to be without a common divisor.

From this it follows first that $k$ must be constant and may be set $=1$; for if $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{r-1}, c_{0}, c_{1}, \ldots c_{s-1}$ are divisible by some linear factor of $k$, and $a_{r}$, $c_{s}$ are not divisible, then it follows from \[ kb_{r+s} = \cdots a_{r-1}c_{s+1} + a_{r}c_{s} + a_{r+1}c_{s-1} + \cdots \] the contradiction that $a_{r}c_{s}$ would have to be divisible by the same linear factor. But from this it follows further that the degree of $G(\theta, z)$ with respect to $z$ is equal to the sum of the degrees of $F$ and $H$ with respect to $z$; for if $a_{r}$, $c_{s}$ are the first among the coefficients $a$, $c$ whose degree reaches the maximum value, then it follows again from \[ b_{r+s} = \cdots a_{r-1}c_{s+1} + a_{r}c_{s} + a_{r+1}c_{s-1} + \cdots, \] that the degree of $b_{r+s}$ is equal to the sum of the degrees of $a_{r}$ and $c_{s}$.

If one divides equation (1.) by $a_{0}$, it can also be put in the form \[ f(\theta, z) = \theta^{n} + b_{1}\theta^{n-1} + \cdots + b_{n-1}\theta + b_{n} = 0, \tag{2.} \] where the coefficients $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ may also be fractional rational functions of $z$.

The system of all rational functions of $\theta$ and $z$, $\Phi(\theta, z)$, has the property that its individuals reproduce themselves under the elementary operations of calculation, addition, subtraction, multiplication and division, and this system is therefore designated as a field of algebraic functions $\Omega$ of degree $n$. If first $\varphi(\theta)$ is an integral rational function of $\theta$ whose coefficients depend rationally on $z$, then by algebraic division one can determine two functions of the same kind, $q(\theta)$, $r(\theta)$, of which the second does not exceed the degree $n-1$, such that \[ \varphi(\theta) = q(\theta)f(\theta) + r(\theta) \] or, because of (2.), \[ \varphi(\theta) = r(\theta). \] If $\varphi(\theta)$ is not divisible by $f(\theta)$, then these two functions (because of the assumed irreducibility of $f(\theta)$) have no divisor in common, and therefore by the method of the greatest common divisor two functions $f_{1}(\theta)$, $\varphi_{1}(\theta)$ can be determined such that \[ f(\theta)f_{1}(\theta) + \varphi(\theta)\varphi_{1}(\theta) = 1, \]

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hence, because of (2.), \[ \varphi_{1}(\theta) = \frac{1}{\varphi(\theta)}. \] From these two remarks, taken together with the assumption of the irreducibility of $f(\theta)$, there results the following

Theorem. Every function $\zeta$ of the field $\Omega$ can be put in one single way into the form: \[ \zeta = x_{0} + x_{1}\theta + \cdots + x_{n-1}\theta^{n-1}, \] where the coefficients $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n-1}$ are rational functions of $z$. Conversely, every function of this form belongs, as a matter of course, to the field $\Omega$.

If one chooses from among the functions of the field $\Omega$ $n$ arbitrary ones: \[ \begin{aligned} \eta_{1} &= x_{0}^{(1)} + x_{1}^{(1)}\theta + \cdots + x_{n-1}^{(1)}\theta^{n-1}, \\ \eta_{2} &= x_{0}^{(2)} + x_{1}^{(2)}\theta + \cdots + x_{n-1}^{(2)}\theta^{n-1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{n} &= x_{0}^{(n)} + x_{1}^{(n)}\theta + \cdots + x_{n-1}^{(n)}\theta^{n-1}, \end{aligned} \] but in such a way that the determinant \[ \Sigma \pm x_{0}^{(1)} x_{1}^{(2)} \ldots x_{n-1}^{(n)} \] is not identically zero, then it follows that every function of the field $\Omega$ can also be represented in the form \[ \zeta = y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n}, \] whose coefficients $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ are rational functions of $z$. Such a system of functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ shall be called a basis of the field $\Omega$.

For a system of functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ of the field $\Omega$ to form a basis of it, it is necessary and sufficient that there exist among them no equation (identity) of the form \[ y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n} = 0 \] in which the coefficients $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ do not all vanish. For example, the functions $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ form a basis of $\Omega$.

§ 2. Norms, traces and discriminants.

If one chooses an arbitrary basis $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ for the representation of the functions of $\Omega$, then, if $\zeta$ denotes any function in $\Omega$, one can set:

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\[ \left\{ \begin{aligned} \zeta\eta_{1} &= y_{1,1}\eta_{1} + y_{1,2}\eta_{2} + \cdots + y_{1,n}\eta_{n}, \\ \zeta\eta_{2} &= y_{2,1}\eta_{1} + y_{2,2}\eta_{2} + \cdots + y_{2,n}\eta_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \zeta\eta_{n} &= y_{n,1}\eta_{1} + y_{n,2}\eta_{2} + \cdots + y_{n,n}\eta_{n}, \end{aligned} \right. \tag{1.} \] where the coefficients $y_{\iota,\iota'}$ are rational functions of $z$. From this there results the equation \[ \begin{vmatrix} y_{1,1}-\zeta, & y_{1,2}, & \ldots & y_{1,n} \\ y_{2,1}, & y_{2,2}-\zeta, & \ldots & y_{2,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{n,1}, & y_{n,2}, & \ldots & y_{n,n}-\zeta \end{vmatrix} = 0, \tag{2.} \] which, ordered by powers of $\zeta$, has the shape \[ \varphi(\zeta) = \zeta^{n} + b_{1}\zeta^{n-1} + \cdots + b_{n-1}\zeta + b_{n} = 0 \tag{3.} \] and, as follows without difficulty from the multiplication theorem of determinants, is entirely independent of the choice of the basis $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ taken as foundation. Of the coefficients $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ of the function $\varphi$, which are all rational functions of $z$ and are completely determined by the function $\zeta$, two which are of importance in what follows shall be distinguished by special names. The function \[ (-1)^{n}b_{n} = \begin{vmatrix} y_{1,1}, & y_{1,2}, & \ldots & y_{1,n} \\ y_{2,1}, & y_{2,2}, & \ldots & y_{2,n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{n,1}, & y_{n,2}, & \ldots & y_{n,n} \end{vmatrix} \tag{4.} \] is called the norm of the function $\zeta$, and is denoted by $N(\zeta)$. The following theorems hold for this function.

1. The only function whose norm vanishes identically is the function “zero”; for if one makes the assumption in the system (1.) that $N(\zeta) = 0$, it follows that a system of rational functions of $z$ which do not all vanish, $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$, can be determined such that \[ \zeta(y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n}) = 0, \] hence, since $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ form a basis of $\Omega$, $\zeta = 0$.

2. The norm of a rational function of $z$ is the $n^{\text{th}}$ power of this function. For if $\zeta$ is rational, the equations (1.) reduce to the identities $\zeta\eta_{h} = \zeta\eta_{h}$, from which $N(\zeta) = \zeta^{n}$ follows.

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3. If $\zeta'$ is any second function of the field $\Omega$ and the system of equations for this function corresponding to the system (1.) is \[ \zeta'\eta_{h} = \overset{\iota}{\Sigma} y'_{h,\iota}\eta_{\iota}, \] then it follows: \[ \zeta\zeta'\eta_{h} = \overset{\iota,\iota'}{\Sigma} y'_{h,\iota}y_{\iota,\iota'}\eta_{\iota'} \] *Editorial note: Over the second $y$ the print shows a small malformed mark; it is not clear from the print whether it is a prime or stray ink. Set unprimed, as the composition of the two systems requires. and from this, by the multiplication theorem of determinants, \[ N(\zeta\zeta') = N(\zeta)N(\zeta'). \]

4. From 2. and 3. it follows: \[ N(\zeta)N\Bigl(\frac{1}{\zeta}\Bigr) = 1, \] hence: \[ N\Bigl(\frac{\zeta}{\zeta'}\Bigr) = \frac{N(\zeta)}{N(\zeta')}. \]

5. Finally there results from the definition of the function $\varphi$, (2.), (3.), the important theorem: If $t$ is an arbitrary constant (or also a rational function of $z$), then \[ \varphi(t) = N(t-\zeta). \]

Next, the function \[ -b_{1} = y_{1,1} + y_{2,2} + \cdots + y_{n,n} \tag{5.} \] shall be called the trace of $\zeta$ and denoted by $S(\zeta)$. For it the following theorems result immediately from the definition: \[ S(0) = 0, \tag{6.} \] \[ S(1) = n. \tag{7.} \]

And if $x$ denotes a rational function of $z$, and further $\zeta$, $\zeta'$ two functions in $\Omega$: \[ S(x\zeta) = xS(\zeta), \tag{8.} \] \[ S(\zeta+\zeta') = S(\zeta) + S(\zeta'). \tag{9.} \]

It has resulted from this consideration that every function $\zeta$ in $\Omega$ satisfies an equation of the $n^{\text{th}}$ degree, $\varphi(\zeta) = 0$, whose coefficients depend rationally on $z$. If this equation is irreducible, the functions $1, \zeta, \zeta^{2}, \ldots \zeta^{n-1}$ form a basis of $\Omega$. In the other case let \[ \varphi_{1}(\zeta) = \zeta^{e} + b'_{0}\zeta^{e-1} + \cdots + b'_{e-1}\zeta + b'_{e} = 0 \tag{10.} \] †Editorial note: Printed $b'_{0}$ as the coefficient of $\zeta^{e-1}$; the monic equation and the remaining coefficients $b'_{e-1}$, $b'_{e}$ require $b'_{1}$. An apparent misprint. be the equation of lowest degree, with coefficients rational in $z$, which the function $\zeta$ satisfies, and consequently $\varphi_{1}(\zeta) = 0$ irreducible, $e < n$.

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Since $\varphi(\zeta)$ nevertheless vanishes, $\varphi(\zeta)$ must be algebraically divisible by $\varphi_{1}(\zeta)$, and as in § 1 it follows that every rational function $\eta$ of $z$ and $\zeta$ can be represented in the form \[ \eta = x_{0} + x_{1}\zeta + \cdots + x_{e-1}\zeta^{e-1}, \] whose coefficients $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{e-1}$ depend rationally on $z$${}^{*)}$. Now if \[ \theta^{f} + \eta_{1}\theta^{f-1} + \cdots + \eta_{f-1}\theta + \eta_{f} = 0 \] is the equation of lowest degree which $\theta$ satisfies, with coefficients depending rationally on $z$ and $\zeta$, then between the $e.f$ functions \[ \zeta^{h}\theta^{k} \qquad {\scriptstyle (h = 0,\, 1,\, \ldots\, e-1;\ k = 0,\, 1,\, \ldots\, f-1)} \tag{11.} \] there exists no linear equation with coefficients depending rationally on $z$, while every function in $\Omega$ can be represented linearly by these functions with coefficients depending rationally on $z$. It follows from this that they form a basis of $\Omega$, and that accordingly \[ e.f = n, \] hence $e$ is a divisor of $n$.

If one applies the basis (11.) to setting up the norm of $\zeta$, one easily recognizes by means of equation (10.) that \[ N(\zeta) = ((-1)^{e}b'_{e})^{f} = (-1)^{n}b_{e}^{\prime f} \] holds. Since further, for an arbitrary constant $t$, the function $\zeta-t$ satisfies an equation of the same degree as $\zeta$, there results the theorem:

10.‡Editorial note: Printed 10. although the preceding propositions of this § are numbered 1. to 5.; 6. expected. An apparent misprint. The function $\varphi(t)$ (3.) is either irreducible or an integral power of an irreducible function.

If $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ is an arbitrary system of $n$ functions in $\Omega$, no matter whether it forms a basis or not, we introduce a rational function of $z$ belonging to this system, which we designate as its discriminant, $\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n})$, and define as follows \[ \Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) = \begin{vmatrix} S(\eta_{1}\eta_{1}), & S(\eta_{1}\eta_{2}), & \ldots & S(\eta_{1}\eta_{n}) \\ S(\eta_{2}\eta_{1}), & S(\eta_{2}\eta_{2}), & \ldots & S(\eta_{2}\eta_{n}) \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ S(\eta_{n}\eta_{1}), & S(\eta_{n}\eta_{2}), & \ldots & S(\eta_{n}\eta_{n}) \end{vmatrix}. \tag{12.} \] The discriminant is not identically zero if and only if the functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ form a basis of $\Omega$.

*) From the equation $\varphi_{1}(\zeta) = 0$ there arises a field of algebraic functions $\Omega_{1}$ of degree $e$, whose functions are all at the same time contained in the field $\Omega$, and which can therefore be designated as a divisor of the field $\Omega$.

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To prove the first part of this assertion, we assume that $\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) = 0$. Under this assumption a system of rational functions $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ of $z$, which do not all vanish identically, can be determined such that \[ \begin{gathered} y_{1}S(\eta_{1}\eta_{k}) + y_{2}S(\eta_{2}\eta_{k}) + \cdots + y_{n}S(\eta_{n}\eta_{k}) = S(\eta_{k}(y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n})) = 0. \\ {\scriptstyle (k = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \end{gathered} \] If one therefore chooses a system of rational functions $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ of $z$ quite arbitrarily and sets: \[ \begin{aligned} y_{1}\eta_{1} + y_{2}\eta_{2} + \cdots + y_{n}\eta_{n} &= \eta, \\ x_{1}\eta_{1} + x_{2}\eta_{2} + \cdots + x_{n}\eta_{n} &= \xi, \end{aligned} \] it follows: \[ S(\xi\eta) = 0. \] But if the functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ form a basis of $\Omega$, then $\xi$ can be any function whatever in $\Omega$, hence, since $\eta$ does not vanish, for example also $\dfrac{1}{\eta}$. But then the last equation is certainly not satisfied, and therefore under this assumption the discriminant of $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ can not vanish identically.

Let us keep to the assumption that $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ is a basis of $\Omega$, and set: \[ \eta'_{k} = x_{1,k}\eta_{1} + x_{2,k}\eta_{2} + \cdots + x_{n,k}\eta_{n}, \qquad {\scriptstyle (k = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \] then the functions $\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{n}$ form a basis of $\Omega$ or not, according as the determinant of the rational functions $x_{h,k}$ of $z$ \[ X = \Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2} \ldots x_{n,n} \] is different from zero or not. Now, however, \[ S(\eta'_{h}\eta'_{k}) = \overset{\iota,\iota'}{\underset{1,n}{\Sigma}} x_{\iota,h}x_{\iota',k}S(\eta_{\iota}\eta_{\iota'}), \] and from this, by the multiplication theorem of determinants, there results the fundamental theorem on discriminants \[ \Delta(\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{n}) = X^{2}\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}), \tag{13.} \] from which the correctness of the second part of the above assertion also becomes clear, that the discriminant of a system of functions always vanishes identically when it does not form a basis of $\Omega$.

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§ 3. The system of integral functions of $z$ in the field $\Omega$.

Definition. A function $\omega$ of the field $\Omega$ shall be called an integral function of $z$ if in the equation of lowest degree which it satisfies according to § 2: \[ \varphi(\omega) = \omega^{e} + b_{1}\omega^{e-1} + \cdots + b_{e-1}\omega + b_{e} = 0, \tag{1.} \] the coefficients $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{e}$ are integral rational functions of $z$; in the opposite case let it be called a fractional function. The totality of all integral functions of $z$ in $\Omega$ shall be denoted by $\mathfrak{o}$. Since according to § 2 $N(t-\omega)$ is an integral power of $\varphi(t)$, it follows that for an integral function $\omega$ all the coefficients of $N(t-\omega)$ too are integral rational functions of $z$, hence in particular:

1. The norm and the trace of an integral function are integral rational functions of $z$.

From the definition of the integral functions there results further:

2. A rational function of $z$ belongs to the system $\mathfrak{o}$ if and only if it is an integral rational function of $z$.

3. Every function $\eta$ in $\Omega$ can be converted into a function of the system $\mathfrak{o}$ by multiplication by an integral rational function of $z$ different from zero. For according to § 2 $\eta$ satisfies an equation of lowest degree of the form \[ b_{0}\eta^{e} + b_{1}\eta^{e-1} + \cdots + b_{e-1}\eta + b_{e} = 0, \] whose coefficients are integral rational functions of $z$, and by the substitution $b_{0}\eta = \omega$ this passes over into an equation of the form (1.) for $\omega$.

4. A function $\omega$ of the field $\Omega$ which satisfies any equation of the form \[ \psi(\omega) = \omega^{m} + c_{1}\omega^{m-1} + \cdots + c_{m-1}\omega + c_{m} = 0, \] in which the coefficients $c_{1}, \ldots c_{m}$ are integral rational functions of $z$, is an integral function. For if \[ \varphi(\omega) = \omega^{e} + b_{1}\omega^{e-1} + \cdots + b_{e-1}\omega + b_{e} = 0 \] is the equation of lowest degree which $\omega$ satisfies, then $\psi(\omega)$ must be algebraically divisible by $\varphi(\omega)$: \[ \psi(\omega) = \varphi(\omega)\chi(\omega), \]

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which, as is easily shown, has the consequence that the coefficients of $\varphi(\omega)$ and $\chi(\omega)$ too are integral rational functions of $z$ (Gauss, Disq. Ar. art. 42). From this there results the fundamental theorem on integral functions:

5. Sum, difference, product of two integral functions are again integral functions.

For if $\omega'$, $\omega''$ are two integral functions in $\Omega$ which satisfy respectively the equations \[ \begin{aligned} \omega'^{n'} + b'_{1}\omega'^{n'-1} + \cdots + b'_{n'-1}\omega' + b'_{n'} &= 0, \\ \omega''^{n''} + b''_{1}\omega''^{n''-1} + \cdots + b''_{n''-1}\omega'' + b''_{n''} &= 0, \end{aligned} \] then, if one understands by $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{m}$ the $m = n'n''$ products \[ \omega'^{h'}\omega''^{h''} \qquad {\scriptstyle (h' = 0,\, 1,\, \ldots\, n'-1;\ h'' = 0,\, 1,\, \ldots\, n''-1)} \] and by $\omega$ one of the three functions $\omega' \pm \omega''$, $\omega'\omega''$, one can set: \[ \begin{aligned} \omega\omega_{1} &= x_{1,1}\omega_{1} + \cdots + x_{1,m}\omega_{m}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \omega\omega_{m} &= x_{m,1}\omega_{1} + \cdots + x_{m,m}\omega_{m}, \end{aligned} \] where the $x_{h,h'}$ are integral rational functions of $z$, and from this one obtains \[ \begin{vmatrix} x_{1,1}-\omega, & x_{1,2}, & \ldots & x_{1,m} \\ x_{2,1}, & x_{2,2}-\omega, & \ldots & x_{2,m} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{m,1}, & x_{m,2}, & \ldots & x_{m,m}-\omega \end{vmatrix} = 0, \] hence an equation for $\omega$ whose coefficients are integral rational functions of $z$.

As a corollary it follows from this that every integral rational function of functions in $\mathfrak{o}$ is itself a function of the system $\mathfrak{o}$.

6. An integral function $\omega$ is called divisible by another integral function $\omega'$ if there exists a third integral function $\omega''$ which satisfies the condition \[ \omega = \omega'\omega''. \] From this definition there follows at once:

If $\omega$ is divisible by $\omega'$, and $\omega'$ by $\omega''$, then $\omega$ is also divisible by $\omega''$.

If $\omega'$ and $\omega''$ are divisible by $\omega$, then $\omega' \pm \omega''$ is also divisible by $\omega$, and in general: if $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots$ are divisible by $\omega$, and $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \omega'_{3}, \ldots$ are arbitrary functions in $\mathfrak{o}$, then $\omega'_{1}\omega_{1} + \omega'_{2}\omega_{2} + \omega'_{3}\omega_{3} + \cdots$ is also divisible by $\omega$.

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7. If the functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ form a basis of $\Omega$, then (by 3.) one can determine $n$ integral rational functions of $z$ different from zero, $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$, in such a way that \[ \omega_{1} = a_{1}\eta_{1}, \qquad \omega_{2} = a_{2}\eta_{2}, \qquad \ldots \qquad \omega_{n} = a_{n}\eta_{n} \] are integral functions, and these likewise form a basis of $\Omega$, since \[ \Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}) = a_{1}^{2}a_{2}^{2}\ldots a_{n}^{2}\Delta(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) \] is different from zero. There are therefore bases of $\Omega$, $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$, which consist entirely of integral functions, and the discriminant of such a basis, since the $S(\omega_{r}\omega_{s})$ are integral rational functions of $z$, is itself an integral rational function of $z$ different from zero. Every function of the form \[ \omega = x_{1}\omega_{1} + x_{2}\omega_{2} + \cdots + x_{n}\omega_{n}, \tag{2.} \] in which the $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ are integral rational functions of $z$, then belongs to the system $\mathfrak{o}$; but it is by no means necessary that, conversely, every function in $\mathfrak{o}$ be representable in this form.

Let us therefore assume that there exist in $\mathfrak{o}$ still other functions than those contained in the form (2.); then a linear function $z-c$ and certain integral rational functions $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, not all divisible by $z-c$, must be capable of being chosen such that \[ \frac{x_{1}\omega_{1} + x_{2}\omega_{2} + \cdots + x_{n}\omega_{n}}{z-c} \] is an integral function. The functions $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ can now be reduced to their constant remainders $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$ with respect to $z-c$, which do not all vanish, and from this it becomes clear that \[ \omega = \frac{c_{1}\omega_{1} + c_{2}\omega_{2} + \cdots + c_{n}\omega_{n}}{z-c} \] is also an integral function. If $c_{1}$ is different from zero, then the $n$ integral functions \[ \omega \quad \text{and} \quad \omega_{2}, \omega_{3}, \ldots \omega_{n} \] also form a basis of $\Omega$, and at the same time, by § 2 (13.), \[ \Delta(\omega, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}) = \frac{c_{1}^{2}}{(z-c)^{2}}\Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}), \] hence of lower degree than $\Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n})$. Now since these two discriminants are integral rational functions of $z$, one arrives by repeated application of this procedure finally at a basis of $\Omega$ consisting of integral

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functions, $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}$, whose discriminant cannot be lowered further in degree, and which consequently has the property that every function $\omega$ in $\mathfrak{o}$ is contained in the form \[ \omega = x_{1}\omega'_{1} + x_{2}\omega'_{2} + \cdots + x_{n}\omega'_{n} \] with integral rational functions of $z$ as coefficients. Such a system shall be called a basis of $\mathfrak{o}$.

If $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ is a basis of $\mathfrak{o}$ and \[ \omega'_{\iota} = x_{\iota,1}\omega_{1} + x_{\iota,2}\omega_{2} + \cdots + x_{\iota,n}\omega_{n}, \qquad {\scriptstyle (\iota = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \] then the system $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}$ will likewise form a basis of $\mathfrak{o}$ if and only if the determinant of the integral rational functions $x_{\iota,\iota'}$ \[ X = \Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n} \] is a constant different from zero. For let us assume that this determinant has some linear factor $z-c$; then constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$, not all vanishing, can be determined such that the $n$ integral rational functions of $z$ \[ c_{1}x_{1,\iota} + c_{2}x_{2,\iota} + \cdots + c_{n}x_{n,\iota} \] become divisible by $z-c$ (i.e. vanish for $z = c$); but then \[ \frac{c_{1}\omega'_{1} + c_{2}\omega'_{2} + \cdots + c_{n}\omega'_{n}}{z-c} \] is an integral function and consequently $\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}$ is not a basis of $\mathfrak{o}$.

Now since on the other hand \[ \Delta(\omega'_{1}, \omega'_{2}, \ldots \omega'_{n}) = X^{2}\Delta(\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}) \] it follows that the discriminant of a basis of $\mathfrak{o}$, apart from a constant factor, is independent of the choice of this basis. One therefore obtains a perfectly determined integral rational function of $z$ if in the discriminant of an arbitrary basis of $\mathfrak{o}$ one makes the coefficient of the highest power of $z$ $= 1$ by division. This function shall be called the discriminant of the field $\Omega$ or of the system $\mathfrak{o}$ and denoted by $\Delta(\Omega)$ or $\Delta(\mathfrak{o})$.

§ 4. The function modules.

In what follows we consider systems of functions which we call function modules, or also simply modules, and define as follows.

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A system of functions (in $\Omega$) is called a module if its functions reproduce themselves under addition, subtraction and multiplication by integral rational functions of $z$.

If one denotes by $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ any $m$ given functions, and by $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ arbitrary integral rational functions of $z$, then the totality of all functions of the form \[ \alpha = x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{m}\alpha_{m} \] forms a module. Such a one shall be called a finite module and denoted by \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}] \] The system of functions $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ is called the basis of this module.

We shall call a system of functions $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ rationally irreducible, or the functions $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{p}$§Editorial note: Printed $\alpha_{p}$ instead of $\alpha_{m}$; an apparent misprint. rationally independent, if an equation of the form \[ x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{m}\alpha_{m} = 0 \] for rational $x$ can hold only if $x_{1} = 0$, $x_{2} = 0$, $\ldots$ $x_{m} = 0$. A system of functions which forms a basis of the field $\Omega$ is therefore always rationally irreducible, and there is no system of more than $n$ rationally independent functions in $\Omega$.

We now prove first the theorem:

1. Every finite module possesses a rationally irreducible basis.

Its proof results immediately from the following lemma:

If the integral rational functions $y_{1,1}, y_{2,1}, \ldots y_{m,1}$ are without a common divisor, then other integral rational functions $y_{1,2}, y_{2,2}, \ldots y_{m,m}$ can be determined such that \[ \Sigma \pm y_{1,1}y_{2,2}\ldots y_{m,m} = 1{}^{*)}. \]

*) The theorem is true and known for $m = 2$. Let us therefore assume it proved for $m-1$; then, if $\partial$ denotes the greatest common divisor of $y_{1,1}, y_{2,1}, \ldots y_{m-1,1}$, we can satisfy the equation \[ \begin{vmatrix} y_{1,1}, & y_{2,1}, & \ldots & y_{m-1,1} \\ y_{1,3}, & y_{2,3}, & \ldots & y_{m-1,3} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{1,m}, & y_{2,m}, & \ldots & y_{m-1,m} \end{vmatrix} = \partial \] and if we then determine the integral rational functions $x$, $y$ such that \[ xy_{m,1} - y\partial = (-1)^{m-1} \] it follows: \[ \begin{vmatrix} y_{1,1}, & y_{2,1}. & \ldots & y_{m-1,1}, & y_{m,1} \\ \frac{xy_{1,1}}{\partial}, & \frac{xy_{2,1}}{\partial}, & \ldots & \frac{xy_{m-1,1}}{\partial}, & y \\ y_{1,3}, & y_{2,3}, & \ldots & y_{m-1,3}, & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ y_{1,m}, & y_{2,m}, & \ldots & y_{m-1,m}, & 0 \end{vmatrix} = 1. \]¶Editorial note: Printed a period after $y_{2,1}$ in the first row where a comma is expected; possibly a comma whose tail failed to ink.

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Now if the functions $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$ satisfy an equation \[ \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} y_{\iota,1}\alpha_{\iota} = 0, \] in which the integral rational functions $y_{1,1}, \ldots y_{m,1}$ may be assumed to be without a common divisor, set \[ \begin{aligned} \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} y_{\iota,2}\alpha_{\iota} &= \beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} y_{\iota,m}\alpha_{\iota} &= \beta_{m}; \end{aligned} \] then the module $[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}]$ is completely identical with the module $[\beta_{2}, \beta_{3}, \ldots \beta_{m}]$, whose basis contains one function fewer. If the functions $\beta_{\iota}$ are not yet rationally independent, one can reduce them further in the same way, and one finally arrives, provided the functions $\alpha_{\iota}$ do not all vanish (a case which we wish to exclude entirely from the notion of a module), at an irreducible basis. In what follows we shall always understand by a basis simply an irreducible basis.

2. Although by the foregoing one can find very different irreducible bases for one and the same module, the number of functions contained in such a basis is nevertheless always the same, since in the opposite case that system of functions which contains more functions could not be rationally irreducible. If therefore $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{m}$; $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{m}$ are two irreducible bases of the same module $\mathfrak{a}$, then, since both the $\alpha_{k}$ and the $\beta_{k}$ are contained in $\mathfrak{a}$: \[ \alpha_{k} = \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} p_{k}^{(\iota)}\beta_{\iota}; \qquad \beta_{k} = \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} q_{\iota}^{(k)}\alpha_{\iota}, \] where the coefficients $p$, $q$ are integral rational functions of $z$. But from this it follows: \[ \overset{\iota}{\underset{1,m}{\Sigma}} q_{\iota}^{(k)}p_{\iota}^{(h)} = 0 \quad \text{or} \quad 1, \]

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according as $h$ is different from $k$ or not, and from this: \[ \Sigma \pm p_{1}^{(1)}p_{2}^{(2)}\ldots p_{m}^{(m)}.\Sigma \pm q_{1}^{(1)}q_{2}^{(2)}\ldots q_{m}^{(m)} = 1, \] and since both determinants are integral rational functions of $z$, they must both be constant.

3. Definition. A module $\mathfrak{a}$ is called divisible by a module $\mathfrak{b}$, or $\mathfrak{b}$ a divisor of $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{a}$ a multiple of $\mathfrak{b}$ ($\mathfrak{b}$ goes into $\mathfrak{a}$), if every function in $\mathfrak{a}$ is at the same time contained in $\mathfrak{b}$. $\mathfrak{b}$ shall be called a proper divisor of $\mathfrak{a}$ if $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$ but not identical with $\mathfrak{b}$${}^{*)}$.

From this definition there follows at once:

If $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$, and $\mathfrak{b}$ divisible by $\mathfrak{c}$, then $\mathfrak{a}$ is also divisible by $\mathfrak{c}$.

4. Definition. The totality $\mathfrak{m}$ of all those functions which are contained at the same time in two modules $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ forms, if it does not consist of the single function “zero”, a module (by the general definition), which is called the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$, because every module which is a multiple both of $\mathfrak{a}$ and of $\mathfrak{b}$ is also a multiple of $\mathfrak{m}$. The least common multiple of an arbitrary number of modules $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ is correspondingly the totality of all the functions that are contained at the same time in $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$. One can form it by replacing, at pleasure, any two of the modules $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ by their least common multiple.

5. Definition. If $\alpha$ is an arbitrary function in $\mathfrak{a}$, and $\beta$ an arbitrary function in $\mathfrak{b}$, then the totality of all functions of the form $\alpha + \beta$ forms a module $\mathfrak{d}$, which is called the greatest common divisor of the two modules $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$. It is, if $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are finite modules, itself such a one. For if \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{r}], \qquad \mathfrak{b} = [\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}], \] then \[ \mathfrak{d} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{r}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}]. \] By the definition of divisibility $\mathfrak{d}$ is a divisor both of $\mathfrak{a}$ and of $\mathfrak{b}$. If conversely $\mathfrak{d}'$ is a divisor of $\mathfrak{a}$ and of $\mathfrak{b}$, then the functions

*) The notion of divisibility of modules is formed contrary to the intuition familiar from numbers, inasmuch as the divisor has a greater content of functions than the multiple.

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$\alpha$ as well as the functions $\beta$, and consequently also the functions $\alpha + \beta$, are contained in $\mathfrak{d}'$; therefore $\mathfrak{d}$ is divisible by $\mathfrak{d}'$.

The definition of the greatest common divisor of an arbitrary number of modules now follows of itself.

6. Definition. If $\mathfrak{a}$ is a module, $\alpha$ every function in $\mathfrak{a}$, and $\mu$ an arbitrary function in $\Omega$, we understand by the product $\mu\mathfrak{a}$ or $\mathfrak{a}\mu$ the totality of all functions $\mu\alpha$, which is again a module. If \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{r}] \] is a finite module, then \[ \mu\mathfrak{a} = [\mu\alpha_{1}, \mu\alpha_{2}, \ldots \mu\alpha_{r}], \] hence likewise a finite module, and from $\mu\mathfrak{a} = \mu\mathfrak{b}$ there follows $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$ if $\mu$ is different from zero.

7. Definition. If $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are two modules, and $\alpha$, $\beta$ all the functions in $\mathfrak{a}$, resp. in $\mathfrak{b}$, we understand by the product \[ \mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{b}\mathfrak{a} = \mathfrak{c} \] the totality of all products of a function $\alpha$ and a function $\beta$ and of all sums of such products, hence of all the functions which can be denoted by the sign \[ \gamma = \Sigma\alpha\beta \]

This system of functions always forms a module, and indeed a finite one if $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are such. For if $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ are defined as in 5., the $r.s$ functions $\alpha_{\iota}\beta_{\varkappa}$ form a basis of $\mathfrak{c}$, albeit a reducible one. A product of arbitrarily many modules $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}, \mathfrak{c}, \ldots$ is now explained of itself, and for it the fundamental theorem of multiplication on the interchangeability of the factors holds. If the individual functions of such a product, whose number may be $m$, are equal to one another and $= \mathfrak{a}$, it is denoted by $\mathfrak{a}^{m}$, and \[ \mathfrak{a}^{m+m'} = \mathfrak{a}^{m}\mathfrak{a}^{m'}. \]

In general a product $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is not divisible by $\mathfrak{a}$. On the other hand the theorem holds, whose proof follows immediately from the definition:

If $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{a}_{1}$, and $\mathfrak{b}$ by $\mathfrak{b}_{1}$, then $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{a}_{1}\mathfrak{b}_{1}$.

8. Definition. By the quotient $\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}$ of two modules $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ shall be understood the totality of all those functions $\gamma$ which have the property

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that $\gamma\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$. This quotient, if it does not consist of the single function “zero”, is a module $\mathfrak{c}$, as becomes clear at once from the definition. The product $\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}\cdot\mathfrak{a}$ is always divisible by $\mathfrak{b}$, though not always equal to $\mathfrak{b}$.

§ 5. Congruences.

Two functions $\alpha$, $\beta$ are called congruent with respect to the module $\mathfrak{a}$ \[ \alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] if the difference of the two functions, $\alpha-\beta$, is contained in the module $\mathfrak{a}$.

From this definition the following theorems result immediately:

1. If $\alpha \equiv \beta$, $\beta \equiv \gamma \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, then $\alpha \equiv \gamma \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$.

2. If $\mathfrak{d}$ is any divisor of $\mathfrak{a}$, it follows from $\alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$ that also $\alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{d})$.

3. If $\alpha \equiv \beta \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, and $\mu$ is an arbitrary function in $\Omega$, then $\mu\alpha \equiv \mu\beta \ (\text{mod.}\,\mu\mathfrak{a})$ follows, and conversely the former congruence follows from the latter if $\mu$ is different from zero.

4. If $\alpha \equiv \beta$, $\alpha_{1} \equiv \beta_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$, then also $\alpha \pm \alpha_{1} \equiv \beta \pm \beta_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$.

If $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ are arbitrarily given functions in $\Omega$, and $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$ arbitrary constants, then the totality of all functions of the form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} \] is called a family and is denoted by $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$. The system of functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ is called the basis of the family. The functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ are called linearly independent, or their system linearly irreducible, if an equation (identity) of the form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} = 0 \] cannot hold otherwise than if the constant coefficients $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$ all vanish.

Accordingly the theorem holds that every family possesses a linearly irreducible basis. For if $c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} = 0$ and $c_{1}$ is different from zero, then the family $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ is identical with the family $(\lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots \lambda_{m})$, whose basis contains one function fewer. If this is not yet linearly irreducible, one can continue the inference in the same way. Here too, in

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what follows, a basis shall be understood simply as an irreducible basis. The number of functions contained in an irreducible basis of a family is always the same and is called the dimension of the family. If $m$ is the dimension, the family is also called an $m$-fold one. Any $m$ functions of such a family form an irreducible basis of it if and only if they are linearly independent.

The functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ are called linearly independent with respect to the module $\mathfrak{a}$ if a congruence of the form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] holds for no constant coefficients $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$ other than vanishing ones. Two sums of the form $\Sigma c_{\iota}\lambda_{\iota}$ with different values of the constant coefficients $c_{\iota}$ are then also always incongruent with respect to the module $\mathfrak{a}$.

Now let $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ be two modules, and let it first be assumed that there exist in $\mathfrak{b}$ only a finite number of functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ which are linearly independent with respect to the module $\mathfrak{a}$. Every function $\beta$ in $\mathfrak{b}$ then satisfies one and only one congruence of the form \[ \beta \equiv c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m}\lambda_{m} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] with constant coefficients $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{m}$. The family $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ can therefore be called a complete system of residues of the module $\mathfrak{b}$ with respect to the module $\mathfrak{a}$, and $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$ a basis of it, and in symbolic notation one can set: \[ \mathfrak{b} \equiv (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \]

If one chooses in $\mathfrak{b}$ any system of $m$ functions $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{m}$, then $m$ congruences hold \[ \lambda'_{h} \equiv \overset{\iota}{\Sigma} k_{h,\iota}\lambda_{\iota} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] with constant $k_{h,\iota}$, and this system forms a basis of a complete system of residues of $\mathfrak{b}$ with respect to $\mathfrak{a}$ if and only if the determinant \[ \Sigma \pm k_{1,1}k_{2,2}\ldots k_{m,m} \] is different from zero.

§ 6. Norm of a module with respect to another.

If $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m})$ is an arbitrary complete system of residues of a module $\mathfrak{b}$ with respect to another, $\mathfrak{a}$, then, because $z\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{b}$,

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there results a completely determined system of $m^{2}$ constants $c_{h,k}$ by which the congruences are satisfied: \[ \left. \begin{aligned} z\lambda_{1} &\equiv c_{1,1}\lambda_{1} + c_{2,1}\lambda_{2} + \cdots + c_{m,1}\lambda_{m} \\ z\lambda_{2} &\equiv c_{1,2}\lambda_{1} + c_{2,2}\lambda_{2} + \cdots + c_{m,2}\lambda_{m} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\lambda_{m} &\equiv c_{1,m}\lambda_{1} + c_{2,m}\lambda_{2} + \cdots + c_{m,m}\lambda_{m} \end{aligned} \right\} (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] and by solving this system one recognizes that every function $\lambda_{\iota}$, and consequently every function $\beta$ of the module $\mathfrak{b}$, is converted into a function of the module $\mathfrak{a}$ by multiplication by the integral rational function of $z$ of the $m^{\text{th}}$ degree \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (-1)^{m} \begin{vmatrix} c_{1,1}-z, & c_{2,1}, & \ldots & c_{m,1} \\ c_{1,2}, & c_{2,2}-z, & \ldots & c_{m,2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{1,m}, & c_{2,m}, & \ldots & c_{m,m}-z \end{vmatrix} \] This function $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ is, as follows easily from the multiplication theorem of determinants, independent of the choice of the basis $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{m}$, hence dependent only on the two modules $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$, and shall be called the norm of $\mathfrak{a}$ with respect to $\mathfrak{b}$.

If every function in $\mathfrak{b}$ is at the same time contained in $\mathfrak{a}$, hence $\mathfrak{b}$ divisible by $\mathfrak{a}$, then $m = 0$ and $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 1$ is to be set. If on the other hand $\mathfrak{b}$ does not, as assumed above, contain a finite number of functions linearly independent with respect to $\mathfrak{a}$, then it shall be stipulated that $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 0$.

1. If $\mathfrak{m}$ is the least common multiple and $\mathfrak{d}$ the greatest common divisor of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$, then every congruence between functions of the module $\mathfrak{b}$ with respect to the module $\mathfrak{a}$ is completely equivalent to the congruence of the same functions with respect to the module $\mathfrak{m}$; on the other hand every function in $\mathfrak{b}$ is congruent to a function in $\mathfrak{d}$, and conversely every function in $\mathfrak{d}$ to a function in $\mathfrak{b}$, with respect to the module $\mathfrak{a}$. From these remarks there results at once the important theorem: \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{b}, \mathfrak{m}) = (\mathfrak{d}, \mathfrak{a}), \] which remains true also when $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 0$.

2. If the module $\mathfrak{a}$ is divisible by the module $\mathfrak{b}$, and this by the third module $\mathfrak{c}$, then \[ (\mathfrak{c}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{c}, \mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}). \] The theorem is evidently true if of the two norms $(\mathfrak{c}, \mathfrak{b})$, $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$

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one vanishes. If this is not the case, and \[ \begin{aligned} \mathfrak{c} &\equiv (\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \\ \mathfrak{b} &\equiv (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \end{aligned} \] then the functions $\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s}$ taken together are linearly independent with respect to the module $\mathfrak{a}$; for if \[ \overset{\iota}{\Sigma} c_{\iota}\varrho_{\iota} + \overset{\iota}{\Sigma} c'_{\iota}\lambda_{\iota} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] then, since $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$ and the functions $\lambda_{\iota}$ are contained in $\mathfrak{b}$, it follows \[ \begin{aligned} \overset{\iota}{\Sigma} c_{\iota}\varrho_{\iota} &\equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \quad \text{hence} \quad c_{\iota} = 0, \\ \overset{\iota}{\Sigma} c'_{\iota}\lambda_{\iota} &\equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \quad \text{hence} \quad c'_{\iota} = 0. \end{aligned} \] Since further every function $\gamma$ in $\mathfrak{c}$ satisfies a congruence of the form: \[ \gamma \equiv \Sigma c_{\iota}\varrho_{\iota} + \Sigma c'_{\iota}\lambda_{\iota} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] the $(r+s)$-fold family $(\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s})$ is a complete system of residues of $\mathfrak{c}$ with respect to $\mathfrak{a}$, or \[ \mathfrak{c} \equiv (\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{r}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \] If therefore \[ \begin{aligned} z\varrho_{1} &= e_{1,1}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,1}\varrho_{r} + \beta_{1} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\varrho_{r} &= e_{1,r}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,r}\varrho_{r} + \beta_{r}, \end{aligned} \] where the $e_{\iota,\varkappa}$ are constants and the $\beta_{\iota}$ functions in $\mathfrak{b}$, hence: \[ (\mathfrak{c}, \mathfrak{b}) = (-1)^{r} \begin{vmatrix} e_{1,1}-z, & \ldots & e_{r,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ e_{1,r}, & \ldots & e_{r,r}-z \end{vmatrix}, \] and further: \[ \left. \begin{aligned} \beta_{1} &\equiv h_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \beta_{r} &\equiv h_{1,r}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,r}\lambda_{s} \\ z\lambda_{1} &\equiv c_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\lambda_{s} &\equiv c_{1,s}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,s}\lambda_{s} \end{aligned} \right\} (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] with constant coefficients $h_{\iota,\varkappa}$, $c_{\iota,\varkappa}$, hence \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (-1)^{s} \begin{vmatrix} c_{1,1}-z, & \ldots & c_{s,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{1,s}, & \ldots & c_{s,s}-z \end{vmatrix}, \]

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then it follows: \[ \left. \begin{aligned} z\varrho_{1} &\equiv e_{1,1}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,1}\varrho_{r} + h_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\varrho_{r} &\equiv e_{1,r}\varrho_{1} + \cdots + e_{r,r}\varrho_{r} + h_{1,r}\lambda_{1} + \cdots + h_{s,r}\lambda_{s} \\ z\lambda_{1} &\equiv c_{1,1}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,1}\lambda_{s} \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ z\lambda_{s} &\equiv c_{1,s}\lambda_{1} + \cdots + c_{s,s}\lambda_{s} \end{aligned} \right\} (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] and from this \[ (\mathfrak{c}, \mathfrak{a}) = (-1)^{r+s} \begin{vmatrix} e_{1,1}-z, & \ldots & e_{r,1}, & h_{1,1}, & \ldots & h_{s,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ e_{1,r}, & \ldots & e_{r,r}-z, & h_{1,r}, & \ldots & h_{s,r} \\ 0 & \ldots & 0 & c_{1,1}-z, & \ldots & c_{s,1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & \ldots & 0 & c_{1,s}, & \ldots & c_{s,s}-z \end{vmatrix} = (\mathfrak{c}, \mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}). \]

3. If the basis functions $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}$ of a finite module $\mathfrak{b} = [\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{s}]$ can be converted into functions of a module $\mathfrak{a}$ by multiplication by integral rational functions of $z$ different from zero, then the norm of $\mathfrak{a}$ with respect to $\mathfrak{b}$, $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$, is different from zero. At the same time the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ is a finite module $\mathfrak{m}$, of which an irreducible basis may be assumed in the form: \[ \begin{aligned} \mu_{1} &= a_{1,1}\beta_{1}, \\ \mu_{2} &= a_{1,2}\beta_{1} + a_{2,2}\beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \mu_{s} &= a_{1,s}\beta_{1} + a_{2,s}\beta_{2} + \cdots + a_{s,s}\beta_{s}, \end{aligned} \] where the coefficients $a_{\iota,\varkappa}$ are integral rational functions of $z$, and indeed such that \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{s,s}. \]

To prove this important theorem, let us assume that $\mathfrak{a}_{1}$ is the greatest common divisor of $\mathfrak{a}$ and $[\beta_{1}]$, $\mathfrak{a}_{2}$ that of $\mathfrak{a}_{1}$ and $[\beta_{2}]$, and so on, so that $\mathfrak{a}_{r}$ is the totality of all functions of the form \[ \alpha_{r} = \alpha + y_{1}\beta_{1} + \cdots + y_{r}\beta_{r} \] where $\alpha$ is a function in $\mathfrak{a}$ and $y_{1}, \ldots y_{r}$ are integral rational functions of $z$. Then $\mathfrak{a}_{s}$ is the greatest common divisor of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$. Now since every module $\mathfrak{a}_{r}$ is divisible by the following one $\mathfrak{a}_{r+1}$, it follows from

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1. and 2. \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{a}_{s}, \mathfrak{a}) = (\mathfrak{a}_{s}, \mathfrak{a}_{s-1})(\mathfrak{a}_{s-1}, \mathfrak{a}_{s-2})\ldots(\mathfrak{a}_{1}, \mathfrak{a}), \] and it is therefore still a matter of determining $(\mathfrak{a}_{r}, \mathfrak{a}_{r-1})$. But \[ \alpha_{r} = \alpha_{r-1} + y_{r}\beta_{r} \equiv y_{r}\beta_{r} \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}), \] and by the assumption there is an integral rational function $x_{r}$ of $z$, different from zero, for which \[ x_{r}\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] hence also \[ x_{r}\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}). \] Now if $a_{r,r}$ is, among all the functions $x_{r}$ satisfying the latter congruence, one of the lowest possible degree $m_{r}$, which at the same time is assumed such that the coefficient of the highest power of $z = 1$, then all the other functions $x_{r}$ satisfying this congruence are divisible by $a_{r,r}$; for, for an arbitrary integral rational $q$, \[ (x_{r} - qa_{r,r})\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}), \] and if $x_{r}$ is not divisible by $a_{r,r}$, then $q$ can be chosen such that $x_{r} - qa_{r,r}$ becomes of lower degree than $a_{r,r}$, contrary to the assumption.

If one therefore sets \[ y_{r} = qa_{r,r} + b_{r,r} \] and determines $q$ such that the degree of $b_{r,r}$ becomes smaller than $m_{r}$, it follows: \[ \alpha_{r} \equiv b_{r,r}\beta_{r} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}) \] and from this \[ \mathfrak{a}_{r} \equiv (\beta_{r}, z\beta_{r}, \ldots z^{m_{r}-1}\beta_{r}) \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}). \] If one therefore sets for the moment: \[ \begin{aligned} a_{r,r} &= c_{0} + c_{1}z + \cdots + c_{m_{r}-1}z^{m_{r}-1} + z^{m_{r}}, \\ \lambda_{k} &= z^{k-1}\beta_{r}, \end{aligned} \] it follows: \[ \begin{gathered} z\lambda_{1} = \lambda_{2}, \quad z\lambda_{2} = \lambda_{3}, \quad \ldots \\ z\lambda_{m_{r}} \equiv -c_{0}\lambda_{1} - c_{1}\lambda_{2} - \cdots - c_{m_{r}-1}\lambda_{m_{r}} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}) \end{gathered} \] hence: \[ (\mathfrak{a}_{r}, \mathfrak{a}_{r-1}) = (-1)^{m_{r}} \begin{vmatrix} -z, & 1, & 0, & \ldots & 0 \\ 0, & -z, & 1, & \ldots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0, & 0, & 0, & \ldots & 1 \\ -c_{0}, & -c_{1}, & -c_{2}, & \ldots & -c_{m_{r}-1}-z \end{vmatrix} = a_{r,r}. \]

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From this it follows, as in 2., that the system of functions \[ \begin{aligned} &\beta_{1}, \quad z\beta_{1}, \quad \ldots \quad z^{m_{1}-1}\beta_{1}, \\ &\beta_{2}, \quad z\beta_{2}, \quad \ldots \quad z^{m_{2}-1}\beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ &\beta_{s}, \quad z\beta_{s}, \quad \ldots \quad z^{m_{s}-1}\beta_{s}, \end{aligned} \] forms a basis of a complete system of residues of $\mathfrak{b}$ with respect to $\mathfrak{a}$, and that \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{s,s} \] is of degree \[ m = m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{s} \]

Now since $a_{r,r}\beta_{r} \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1})$, a function $\mu_{r}$ in $\mathfrak{a}$ and integral rational functions $a_{k,r}$ can be determined such that \[ \mu_{r} = a_{1,r}\beta_{1} + a_{2,r}\beta_{2} + \cdots + a_{r\,r}\beta_{r} \] ‖Editorial note: Printed $a_{r\,r}$ without the comma between the two indices; the notation throughout requires $a_{r,r}$. An apparent dropped sort. holds; the functions determined in this way \[ \begin{aligned} \mu_{1} &= a_{1,1}\beta_{1}, \\ \mu_{2} &= a_{1,2}\beta_{1} + a_{2,2}\beta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \mu_{s} &= a_{1,s}\beta_{1} + a_{2,s}\beta_{2} + \cdots + a_{s,s}\beta_{s} \end{aligned} \] are, since none of the functions $a_{1,1}, \ldots a_{s,s}$ vanishes, rationally independent, and are all contained at the same time in $\mathfrak{a}$ and in $\mathfrak{b}$, hence also in the least common multiple $\mathfrak{m}$ of these two modules. It remains to be shown that they form a basis of $\mathfrak{m}$.

Let $\mathfrak{m}_{r}$ be the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $[\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{r}]$, $\mathfrak{m}_{s} = \mathfrak{m}$, so that among the modules $\mathfrak{m}_{1}, \mathfrak{m}_{2}, \ldots \mathfrak{m}_{s}$ each is divisible by all the following ones, hence also by $\mathfrak{m}$, and let \[ \nu_{r} = z_{1}\beta_{1} + z_{2}\beta_{2} + \cdots + z_{r}\beta_{r} \] be a function in $\mathfrak{m}_{r}$, hence also in $\mathfrak{a}$.

Accordingly \[ z_{r}\beta_{r} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}_{r-1}), \] hence \[ z_{r} = x_{r}a_{r,r}, \] where $x_{r}$ denotes an integral rational function. Therefore \[ \nu_{r} - x_{r}\mu_{r} \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{m}_{r-1}), \quad \nu_{1} - x_{1}\mu_{1} = 0, \] from which it follows: \[ \nu_{r} = x_{1}\mu_{1} + x_{2}\mu_{2} + \cdots + x_{r}\mu_{r}, \]

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hence: \[ \begin{aligned} \mathfrak{m}_{r} &= [\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{r}], \\ \mathfrak{m} &= [\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{s}], \end{aligned} \] q. e. d.

Accordingly an irreducible basis of the module $\mathfrak{m}$ contains exactly as many functions as an irreducible basis of $\mathfrak{b}$. If instead of the basis $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{s}$ one chooses another one $\mu'_{1}, \mu'_{2}, \ldots \mu'_{s}$, then $\mu'_{1}, \mu'_{2}, \ldots \mu'_{s}$ can be expressed in the form \[ \mu'_{k} = a'_{1,k}\beta_{1} + a'_{2,k}\beta_{2} + \cdots + a'_{s,k}\beta_{s} \] with integral rational coefficients $a'_{\iota,k}$, and from § 4, 2. there results \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = \text{const.}\,\Sigma \pm a'_{1,1}a'_{2,2}\ldots a'_{s,s}. \]

4. If we make in particular the assumption that $\mathfrak{a}$ is likewise a finite module possessing an irreducible basis of just as many functions as $\mathfrak{b}$, and that moreover $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$, then, if \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{s}] \] the integral rational functions $b_{\iota,k}$ of $z$ can be determined such that \[ \alpha_{k} = b_{1,k}\beta_{1} + b_{2,k}\beta_{2} + \cdots + b_{s,k}\beta_{s}, \] and the assumption of 3., that the functions $\beta_{\iota}$ can be converted into functions of the module $\mathfrak{a}$ by multiplication by integral rational functions of $z$, is fulfilled, as one recognizes by solving this system of equations. At the same time $\mathfrak{a}$ itself is here the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$, and from this there results \[ (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = \text{const.}\,\Sigma \pm b_{1,1}b_{2,2}\ldots b_{n,n}. \] **Editorial note: Printed $b_{n,n}$ as the last diagonal term; the bases here have $s$ members and the coefficients run to $b_{s,k}$, so $b_{s,s}$ is expected. An apparent misprint.

5. If $\mathfrak{m}$ is the least common multiple of two modules $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$, and $\nu$ an arbitrary function in $\Omega$, then, as follows without difficulty from the definition, $\nu\mathfrak{m}$ is the least common multiple of $\nu\mathfrak{a}$ and $\nu\mathfrak{b}$. If $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 0$, then also $(\nu\mathfrak{b}, \nu\mathfrak{a}) = 0$. But if $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ and $\nu$ are different from zero, there results \[ (\nu\mathfrak{b}, \nu\mathfrak{a}) = (\mathfrak{b}, \mathfrak{a}), \] if in 3. one replaces the basis functions $\mu_{\iota}$, $\beta_{\iota}$ of $\mathfrak{m}$ and $\mathfrak{b}$ by $\nu\mu_{\iota}$, $\nu\beta_{\iota}$.

§ 7. The ideals in $\mathfrak{o}$.

A system $\mathfrak{a}$ of integral functions of $z$ in the field $\Omega$ is called an ideal if it fulfils the two following conditions:

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I. The sum and difference of any two functions in $\mathfrak{a}$ again yield a function in $\mathfrak{a}$.

II. The product of each function in $\mathfrak{a}$ with each function in $\mathfrak{o}$ (§ 3) is again a function in $\mathfrak{a}$.

Every ideal is thus at the same time a module, and all the notions and notations explained for modules can be applied to ideals.

The module $\mathfrak{o}$ (the system of all integral functions of $z$) is itself an ideal, and every ideal is divisible by $\mathfrak{o}$. Likewise, if $\mu$ denotes an arbitrary function in $\mathfrak{o}$ different from zero, the module $\mathfrak{o}\mu$ (the system of all integral functions divisible by $\mu$) is an ideal. Such an ideal shall be called a principal ideal. If $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ is a basis of $\mathfrak{o}$, then \[ \mathfrak{o}\mu = [\omega_{1}\mu, \omega_{2}\mu, \ldots \omega_{n}\mu] \] and $\mathfrak{o}\mu$ is the least common multiple of $\mathfrak{o}$ and $\mathfrak{o}\mu$. Therefore, by § 6, 4. and by the definition (4.) in § 2: \[ (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\mu) = \text{const.}\,N(\mu) \tag{1.} \] and consequently different from zero.

If $\mathfrak{a}$ is any ideal and $\alpha$ an arbitrary function in $\mathfrak{a}$, then (because of II.) the principal ideal $\mathfrak{o}\alpha$ is divisible by $\mathfrak{a}$, and consequently, by § 6, 2.: \[ (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\alpha) = (\mathfrak{o}, \mathfrak{a})(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha), \tag{2.} \] consequently $(\mathfrak{o}, \mathfrak{a})$ too is different from zero. Now since again $\mathfrak{a}$ is the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{o}$, $\mathfrak{a}$ possesses, by § 6, 3., an irreducible basis consisting of $n$ integral functions $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$, which accordingly also form a basis of the field $\Omega$.

The norm of $\mathfrak{a}$ with respect to $\mathfrak{o}$, i.e. the integral rational function $(\mathfrak{o}, \mathfrak{a})$ of $z$, shall be called the norm of the ideal $\mathfrak{a}$ and denoted by $N(\mathfrak{a})$. The degree of this integral rational function is at the same time called the degree of the ideal $\mathfrak{a}$.

If \[ \mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}], \quad \mathfrak{o} = [\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}] \] and \[ \begin{aligned} \alpha_{1} &= a_{1,1}\omega_{1} + a_{2,1}\omega_{2} + \cdots + a_{n,1}\omega_{n}, \\ \alpha_{2} &= a_{1,2}\omega_{1} + a_{2,2}\omega_{2} + \cdots + a_{n,2}\omega_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \alpha_{n} &= a_{1,n}\omega_{1} + a_{2,n}\omega_{2} + \cdots + a_{n,n}\omega_{n} \end{aligned} \]

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with integral rational coefficients $a_{\iota,\varkappa}$, then there results from § 6, 4.: \[ N(\mathfrak{a}) = \text{const.}\,\Sigma \pm a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{n,n}. \tag{3.} \] Since every function in $\mathfrak{o}$, hence also the function “1”, is converted into a function of the ideal $\mathfrak{a}$ by multiplication by $N(\mathfrak{a})$, $N(\mathfrak{a})$ is always a function in $\mathfrak{a}$.

The norm of the ideal $\mathfrak{o}$ is equal to 1, and conversely $\mathfrak{o}$ is the only ideal which has this property. Also $\mathfrak{o}$ is the only ideal which contains the function “1” (or a constant).

If $\alpha$ is a function in $\mathfrak{a}$, it follows from (1.), (2.), (3.): \[ N(\alpha) = \text{const.}\,N(\mathfrak{a})(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha), \tag{4.} \] i.e. the norm of every function contained in $\mathfrak{a}$ is divisible by the norm of $\mathfrak{a}$.

For congruences with respect to an ideal modulus the following theorem holds, which essentially distinguishes ideals from general modules.

If $\mu$, $\mu_{1}$, $\nu$, $\nu_{1}$ are functions in $\mathfrak{o}$ which satisfy the congruences \[ \mu \equiv \mu_{1}, \quad \nu \equiv \nu_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \] then also \[ \mu\nu \equiv \mu_{1}\nu_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \]

§ 8. Multiplication and division of ideals.

From the fundamental properties I., II. of ideals and from the definitions in § 4 there results first:

1. The least common multiple, the greatest common divisor, and the product of two (and hence also of arbitrarily many) ideals are themselves ideals. Likewise, if $\nu$ is a function in $\mathfrak{o}$ and $\mathfrak{a}$ an ideal, the product $\mathfrak{a}\nu$ is an ideal.

2. The product of several ideals is divisible by each of its factors, and for every ideal $\mathfrak{a}$ \[ \mathfrak{a}\mathfrak{o} = \mathfrak{a}; \] for by I., II. every function in $\mathfrak{a}\mathfrak{o}$ is at the same time a function in $\mathfrak{a}$, and, since $\mathfrak{o}$ contains the function “1”, conversely every function in $\mathfrak{a}$ is at the same time a function in $\mathfrak{a}\mathfrak{o}$.

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3. A principal ideal $\mathfrak{o}\mu$ is divisible by a principal ideal $\mathfrak{o}\nu$ if and only if the integral function $\mu$ is divisible by the integral function $\nu$.

We add the following definitions:

4. Definition. A function $\alpha$ in $\mathfrak{o}$ shall be called divisible by the ideal $\mathfrak{a}$ if the principal ideal $\mathfrak{o}\alpha$ is divisible by $\mathfrak{a}$, or, what says the same thing, if $\alpha$ is a function in $\mathfrak{a}$.

5. Definition. Two ideals $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are called relatively prime if their greatest common divisor is $\mathfrak{o}$. The necessary and sufficient condition for this is that there exist in $\mathfrak{a}$ a function $\alpha$, and in $\mathfrak{b}$ a function $\beta$, such that \[ \alpha + \beta = 1, \] or, expressed otherwise, that there exists in $\mathfrak{a}$ a function satisfying the congruence $\alpha \equiv 1 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b})$, or in $\mathfrak{b}$ one satisfying the congruence $\beta \equiv 1 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a})$.

6. Definition. An ideal $\mathfrak{p}$ different from $\mathfrak{o}$ is called a prime ideal if no other ideal besides $\mathfrak{p}$ and $\mathfrak{o}$ goes into $\mathfrak{p}$.

On the basis of these definitions the following theorems on the divisibility of ideals now result.

7. If $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are two ideals with the least common multiple $\mathfrak{m}$ and the greatest common divisor $\mathfrak{d}$, then it follows from § 6, 1., 2. \[ \begin{aligned} N(\mathfrak{m}) &= N(\mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{m}) = N(\mathfrak{b})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}), \\ N(\mathfrak{a}) &= N(\mathfrak{d})(\mathfrak{d}, \mathfrak{a}) = N(\mathfrak{d})(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}), \end{aligned} \] consequently $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a})$ is different from zero and \[ N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{m})N(\mathfrak{d}). \]

8. If the ideal $\mathfrak{a}$ is divisible by the ideal $\mathfrak{b}$, then, by § 6, 2. \[ N(\mathfrak{a}) = (\mathfrak{b}, \mathfrak{a})N(\mathfrak{b}), \] hence $N(\mathfrak{a})$ is divisible by $N(\mathfrak{b})$.

If in particular $(\mathfrak{b}, \mathfrak{a}) = 1$, then $\mathfrak{b}$ too is divisible by $\mathfrak{a}$, and it follows:

9. If $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$ and at the same time $N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{b})$, then $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$, i.e. the two ideals are identical.

10. If $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{a}_{1}$, and $\mathfrak{b}$ by $\mathfrak{b}_{1}$, then $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{a}_{1}\mathfrak{b}_{1}$ (§ 4, 7.).

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11. If an ideal $\mathfrak{a}$ is divisible by a principal ideal $\mathfrak{o}\mu$, then all functions in $\mathfrak{a}$ are of the form $\beta\mu$, and the totality of the functions $\beta$ is again an ideal $\mathfrak{b}$, so that one can set \[ \mathfrak{a} = \mu\mathfrak{b}. \]

12. If $\mu$ is an arbitrary function in $\mathfrak{o}$ different from zero, and the ideal $\mathfrak{a}\mu$ divisible by the ideal $\mathfrak{b}\mu$, then $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{b}$, and from $\mathfrak{a}\mu = \mathfrak{b}\mu$ follows $\mathfrak{a} = \mathfrak{b}$.

13. The least common multiple of two ideals $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{o}\nu$, of which one is a principal ideal, has by 11. the form $\mathfrak{r}\nu$, where $\mathfrak{r}$ is an ideal. Since on the other hand $\mathfrak{a}\nu$ is a common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{o}\nu$, hence divisible by $\mathfrak{r}\nu$, $\mathfrak{r}$ is by 12. a divisor of $\mathfrak{a}$.

14. If $\mathfrak{a}$ is an ideal and $\nu$ a function in $\mathfrak{o}$, then by § 6, 2., 5.: \[ (\mathfrak{o}, \mathfrak{a}\nu) = (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\nu)(\mathfrak{o}\nu, \mathfrak{a}\nu) = (\mathfrak{o}, \mathfrak{o}\nu)(\mathfrak{o}, \mathfrak{a}), \] hence \[ N(\mathfrak{a}\nu) = \text{const.}\,N(\mathfrak{a})N(\nu). \] If therefore $\mathfrak{r}\nu$ is the least common multiple and $\mathfrak{d}$ the greatest common divisor of the two ideals $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{o}\nu$, there results from 7. \[ N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{r})N(\mathfrak{d}). \]

15. Every ideal $\mathfrak{a}$ different from $\mathfrak{o}$ is divisible by a prime ideal $\mathfrak{p}$.

For if $\mathfrak{a}$ is not a prime ideal, it has at least one proper divisor different from $\mathfrak{o}$, and among these let $\mathfrak{p}$ be one whose norm is of the lowest possible degree. This cannot have a proper divisor $\mathfrak{p}'$ different from $\mathfrak{o}$, for then $\mathfrak{p}'$ too would be a divisor of $\mathfrak{a}$, and at the same time (by 8.) $N(\mathfrak{p}')$ of lower degree than $N(\mathfrak{p})$. This contradicts the assumption about $\mathfrak{p}$, and consequently $\mathfrak{p}$ is a prime ideal.

16. If $\mathfrak{a}$ is relatively prime to $\mathfrak{b}$, then $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$, and consequently every ideal divisible by $\mathfrak{a}$ and by $\mathfrak{b}$ is also divisible by the product $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$.

For by assumption there are in $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ two functions $\alpha_{1}$, $\beta_{1}$ such that \[ \alpha_{1} + \beta_{1} = 1 \] (5.). If on the other hand $\alpha = \beta$ is a function of the least common multiple $\mathfrak{m}$ of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$, then accordingly \[ \alpha = \beta = \alpha_{1}\beta + \alpha\beta_{1}, \]

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hence a function in $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$. Accordingly $\mathfrak{m}$ is divisible by $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$, and since conversely (in consequence of 2.) $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{m}$, $\mathfrak{m}$ is identical with $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$, and from 7. it further follows for this case \[ N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}). \]

17. If $\mathfrak{a}$ is an arbitrary ideal and $\mathfrak{p}$ a prime ideal, then either $\mathfrak{a}$ is divisible by $\mathfrak{p}$ or $\mathfrak{a}$ is relatively prime to $\mathfrak{p}$; for since $\mathfrak{p}$ has no other divisor than $\mathfrak{o}$ and $\mathfrak{p}$, the greatest common divisor of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{p}$ too can be none other than $\mathfrak{o}$ or $\mathfrak{p}$.

18. If $\mathfrak{a}$ is relatively prime to $\mathfrak{b}$ and to $\mathfrak{c}$, then $\mathfrak{a}$ is also relatively prime to $\mathfrak{b}\mathfrak{c}$.

By assumption (5.) there are in $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{c}$ two functions satisfying the congruences \[ \beta \equiv 1, \quad \gamma \equiv 1 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}) \] consequently, by § 7, \[ \beta\gamma \equiv 1 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}). \] Since $\beta\gamma$ is contained in $\mathfrak{b}\mathfrak{c}$, the assertion is hereby proved.

It further follows from this that, if the product $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is divisible by a prime ideal, at least one of the two factors $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ must be divisible by $\mathfrak{p}$, and, applied to principal ideals, that if the product of two integral functions, $\mu\nu$, is contained in $\mathfrak{p}$, at least one of the two factors $\mu$, $\nu$ must be contained in $\mathfrak{p}$.

19. If $\mathfrak{a}$ is relatively prime to $\mathfrak{c}$ and $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ divisible by $\mathfrak{c}$, then $\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{c}$. By assumption there is in $\mathfrak{a}$ a function $\alpha$ which satisfies the congruence \[ \alpha \equiv 1 \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{c}). \] Now if $\beta$ is an arbitrary function in $\mathfrak{b}$, then accordingly \[ \beta \equiv \alpha\beta \quad \text{and by hyp.} \quad \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{c}), \] consequently $\beta$ is contained in $\mathfrak{c}$, hence $\mathfrak{b}$ divisible by $\mathfrak{c}$.

§ 9. Laws of divisibility of ideals.

All these theorems, which for the most part followed immediately from the definition of ideals, do not suffice to prove the complete analogy which prevails between the laws of divisibility of ideals and those of integral rational functions. In this proof we rely on the following theorem:

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1. If $\mathfrak{a}$ is an ideal and $k$ an arbitrary integral rational function of $z$, then a function $\alpha$ can be selected in $\mathfrak{a}$ such that $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)$ has no divisor in common with $k$${}^{*)}$.

For if \[ \begin{aligned} \mathfrak{a} &= [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}], \\ \mathfrak{o} &= [\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}], \end{aligned} \] and $\alpha$ is an arbitrary function in $\mathfrak{a}$, then the integral rational functions $x_{h,k}$ can be determined such that \[ \begin{aligned} \alpha\omega_{1} &= x_{1,1}\alpha_{1} + x_{2,1}\alpha_{2} + \cdots + x_{n,1}\alpha_{n}, \\ \alpha\omega_{2} &= x_{1,2}\alpha_{1} + x_{2,2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n,2}\alpha_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \alpha\omega_{n} &= x_{1,n}\alpha_{1} + x_{2,n}\alpha_{2} + \cdots + x_{n,n}\alpha_{n}, \end{aligned} \] and (§ 6, 4.) \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha) = \text{const.}\,\Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n}. \] Now if $\Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n}$ is divisible by a linear factor $z-c$ of $k$, then a function $\omega$ in $\mathfrak{o}$ not divisible by $z-c$ and a function $\alpha'$ in $\mathfrak{a}$ can be determined such that \[ \alpha\omega = (z-c)\alpha'{}^{**)}. \] If one now sets, understanding by $t$ an indeterminate constant: \[ t(z-c) - \omega = \omega', \] then \[ N(\omega') = t^{n}(z-c)^{n} + a_{1}t^{n-1}(z-c)^{n-1} + \cdots + a_{n-1}t(z-c) + a_{n}, \] where the coefficients $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$, independent of $t$, are integral rational functions of $z$. Now it cannot be that at the same time $a_{1}$ is divisible by $z-c$, $a_{2}$ by $(z-c)^{2}$, $\ldots$, $a_{n}$ by $(z-c)^{n}$, because otherwise, contrary to the assumption, $\dfrac{\omega}{z-c}$ would be an integral function (§ 2, 5., § 3, 4.). Therefore not

*) The possibility of proving this theorem already at this point essentially distinguishes the theory of algebraic functions from that of algebraic numbers, and permits in the former a not inconsiderable simplification in comparison with the latter.

**) For if the determinant $\Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n}$ is divisible by $z-c$, i.e. vanishes for $z = c$, then one can determine a system of constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$, not all vanishing, such that the integral rational functions \[ c_{1}x_{k,1} + c_{2}x_{k,2} + \cdots + c_{k}x_{k,n} \qquad {\scriptstyle (k = 1,\, 2\, \ldots\, n)} \] ††Editorial note: Printed $c_{k}x_{k,n}$ as the last term; the sum runs over $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{n}$, so $c_{n}x_{k,n}$ is expected. An apparent misprint. vanish for $z = c$, hence are divisible by $z-c$, and one then has to set \[ \omega = c_{1}\omega_{1} + c_{2}\omega_{2} + \cdots + c_{n}\omega_{n} \]

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all the terms of $N(\omega')$ can be divided by $(z-c)^{n}$, and if therefore $(z-c)^{n-r}$ is the highest power of $z-c$ by which they are divisible, then $r \geqslant 0$ and \[ \frac{N(\omega')}{(z-c)^{n-r}} = t^{n}(z-c)^{r} + b_{1}t^{n-1} + \cdots + b_{n-1}t + b_{n} = f(t), \] where the integral rational functions $b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}$ do not all vanish for $z = c$. There is therefore only a finite number of constant values $t$ for which $f(t)$ is divisible by $z-c$. If $z-c'$ is a linear factor of $k$ different from $z-c$, then $f(t)$ likewise becomes divisible by $z-c'$ only for a finite number of values $t$. From this it follows that one can dispose of $t$ in such a way that $N(\omega')$ becomes divisible neither by $(z-c)^{n}$ nor at the same time by any other linear factor of $k$${}^{*)}$. If, when this has been done, one sets \[ t\alpha - \alpha' = \alpha'', \] which is likewise a function in $\mathfrak{a}$, it follows \[ \begin{aligned} \alpha\omega' &= (z-c)\alpha'', \\ N(\alpha'') &= \frac{N(\alpha)N(\omega')}{(z-c)^{n}} \end{aligned} \] and consequently, since by § 7, (4.) \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha) = \text{const.}\,\frac{N(\alpha)}{N(\mathfrak{a})} \] holds: \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha'') = \text{const.}\,\frac{(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)N(\omega')}{(z-c)^{n}}. \] The function $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha'')$ therefore contains the factor $z-c$ at least once fewer than $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)$, while at the same time it contains no other linear factor of $k$ more often than $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\alpha)$. By repeated application of this procedure the correctness of the stated theorem results.

2. Every ideal $\mathfrak{a}$ can be represented as the greatest common divisor of two principal ideals $\mathfrak{o}\mu$, $\mathfrak{o}\nu$, of which one may be assumed quite arbitrarily, only divisible by $\mathfrak{a}$.

Proof. Choose at pleasure in $\mathfrak{a}$ a function $\nu$ different from zero, and a second function $\mu$ such that the two functions $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)$ and $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$ have no common divisor (by 1). Now if $\alpha$ is an arbitrary function in $\mathfrak{a}$, then by § 6 $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)\alpha$ is contained in $\mathfrak{o}\mu$ and $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)\alpha$ in $\mathfrak{o}\nu$, so that there are two functions $\omega$, $\omega'$ in $\mathfrak{o}$ for which \[ (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)\alpha = \mu\omega, \quad (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)\alpha = \nu\omega'. \]

*) These inferences no longer hold in the analogous question of the theory of numbers.

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If therefore one chooses, as is possible by the assumption about $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$, $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)$, two integral rational functions $g$, $h$ of $z$ which satisfy the condition \[ g(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu) + h(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu) = 1, \] it follows \[ \alpha = g\mu\omega + h\nu\omega', \] i.e. $\mathfrak{a}$ is divisible by the greatest common divisor of $\mathfrak{o}\mu$ and $\mathfrak{o}\nu$. And since the latter conversely is divisible by $\mathfrak{a}$ (because $\mathfrak{o}\mu$ and $\mathfrak{o}\nu$ are divisible by $\mathfrak{a}$), it is equal to $\mathfrak{a}$, q. e. d.

3. Every ideal $\mathfrak{a}$ can be converted by multiplication by an ideal $\mathfrak{m}$ into a principal ideal $\mathfrak{o}\mu = \mathfrak{a}\mathfrak{m}$.

Proof. Choose (by 1.) in $\mathfrak{a}$ a function $\mu$ such that $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$ has no divisor in common with $N(\mathfrak{a})$, and thereupon a second function $\nu$ such that $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\nu)$ has no divisor in common with $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu)$. Then (by 2.) $\mathfrak{a}$ is the greatest common divisor of $\mathfrak{o}\mu$ and $\mathfrak{o}\nu$. The least common multiple of $\mathfrak{o}\mu$ and $\mathfrak{o}\nu$ is (by § 8, 13) of the form $\mathfrak{m}\nu$, where $\mathfrak{m}$ is a divisor of $\mathfrak{o}\mu$. By § 8, 14 we then have \[ N(\mathfrak{m}) = \frac{N(\mathfrak{o}\mu)}{N(\mathfrak{a})} = (\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu), \] hence, by assumption, without a common divisor with $N(\mathfrak{a})$. If therefore one again determines two integral rational functions $g$, $h$ of $z$ such that \[ gN(\mathfrak{m}) + hN(\mathfrak{a}) = 1, \] then it follows from § 8, 5, since $N(\mathfrak{m})$ is contained in $\mathfrak{m}$ and $N(\mathfrak{a})$ in $\mathfrak{a}$, that $\mathfrak{m}$ and $\mathfrak{a}$ are relatively prime ideals, and from this, by § 8, 16. \[ N(\mathfrak{m}\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{m})N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{o}\mu). \] Now since $\mathfrak{o}\mu$ is divisible by $\mathfrak{m}$ and by $\mathfrak{a}$, hence also by $\mathfrak{m}\mathfrak{a}$ (§ 8, 16.), by § 8, 9. \[ \mathfrak{m}\mathfrak{a} = \mathfrak{o}\mu, \] q. e. d.${}^{*)}$

4. If an ideal $\mathfrak{c}$ is divisible by an ideal $\mathfrak{a}$, there is one and only one ideal $\mathfrak{b}$ which satisfies the condition \[ \mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{c} \] and which is called the quotient of $\mathfrak{c}$ by $\mathfrak{a}$.

*) One can at the same time choose the ideal $\mathfrak{m}$ such that it becomes relatively prime to an arbitrary ideal $\mathfrak{b}$. This is achieved if one takes the function $\mu$ such that $(\mathfrak{a}, \mathfrak{o}\mu) = N(\mathfrak{m})$ has no divisor in common with $N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b})$ (§ 8, 8.).

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If $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{a}\mathfrak{b}'$, then $\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{b}'$, and from $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}'$ follows $\mathfrak{b} = \mathfrak{b}'$.

Proof. Let $\mathfrak{c}$ be divisible by $\mathfrak{a}$ and (by 3.) $\mathfrak{a}\mathfrak{m} = \mathfrak{o}\mu$. Then $\mathfrak{c}\mathfrak{m}$ too is divisible by $\mathfrak{a}\mathfrak{m} = \mathfrak{o}\mu$, and consequently $\mathfrak{c}\mathfrak{m} = \mathfrak{b}\mu$ (§ 8, 10., 11.); hence, by multiplication of the last equation by $\mathfrak{a}$, \[ \mathfrak{c}\mu = \mathfrak{a}\mathfrak{b}\mu \] and by § 8, 12. \[ \mathfrak{c} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}, \] whereby the first part of the theorem is proved${}^{*)}$.

Further, if $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ is divisible by $\mathfrak{a}\mathfrak{b}'$, then (§ 8, 10.) $\mu\mathfrak{b}$ is divisible by $\mu\mathfrak{b}'$, hence $\mathfrak{b}$ by $\mathfrak{b}'$. — If $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}'$, then $\mu\mathfrak{b} = \mu\mathfrak{b}'$ follows, and consequently $\mathfrak{b} = \mathfrak{b}'$ (§ 8, 12.).

5. Every ideal different from $\mathfrak{o}$ is either a prime ideal, or it can be represented, and in only one way, as a product of prime ideals alone.

Proof. If the ideal $\mathfrak{a}$ is different from $\mathfrak{o}$, it is (§ 8, 15.) divisible by a prime ideal $\mathfrak{p}_{1}$, and consequently (by 4.) $= \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{a}_{1}$, where $\mathfrak{a}_{1}$ is a proper divisor of $\mathfrak{a}$ (for from $\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{a}$ it would follow by 4. that $\mathfrak{p}_{1} = \mathfrak{o}$). Hence the degree of $N(\mathfrak{a}_{1})$ is lower than that of $N(\mathfrak{a})$. If $\mathfrak{a}_{1}$ is different from $\mathfrak{o}$, one infers in the same way that $\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{p}_{2}\mathfrak{a}_{2}$ must hold, where the degree of $N(\mathfrak{a}_{2})$ is again lower than that of $N(\mathfrak{a}_{1})$. Continuing in this way, one finally arrives, after a finite number of decompositions, at an ideal $\mathfrak{a}_{r-1} = \mathfrak{p}_{r}\mathfrak{a}_{r}$ such that $N(\mathfrak{a}_{r}) = 1$, hence $\mathfrak{a}_{r} = \mathfrak{o}$. Therefore \[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots\mathfrak{p}_{r}. \] If such a decomposition were possible in a second way, say \[ \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots\mathfrak{p}_{r} = \mathfrak{q}_{1}\mathfrak{q}_{2}\ldots\mathfrak{q}_{s}, \] then (§ 8, 18.) of the prime ideals $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots \mathfrak{p}_{r}$ at least one, say $\mathfrak{p}_{1}$, would have to be divisible by $\mathfrak{q}_{1}$ and hence $= \mathfrak{q}_{1}$, hence by 4. \[ \mathfrak{p}_{2}\mathfrak{p}_{3}\ldots\mathfrak{p}_{r} = \mathfrak{q}_{2}\mathfrak{q}_{3}\ldots\mathfrak{q}_{s}. \] From this one infers in the same way $\mathfrak{p}_{2} = \mathfrak{q}_{2}$, and so on.

If in the decomposition thus obtained one combines the prime ideals equal to one another into powers, one can set \[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{e_{r}}. \]

*) This definition of the quotient of two ideals agrees completely with the one given in § 4, 8.

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Any divisor $\mathfrak{a}_{\iota}$ of $\mathfrak{a}$ can then be divisible by no prime ideal different from $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots \mathfrak{p}_{r}$, and by none more often than $\mathfrak{a}$. One therefore obtains all the divisors of $\mathfrak{a}$, whose number is finite and $= (e_{1}+1)(e_{2}+1)\ldots(e_{r}+1)$, if in \[ \mathfrak{p}_{1}^{h_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{h_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{h_{r}} \] one lets the exponents $h_{\iota}$ run through the series of numbers $0, 1, 2, \ldots e_{\iota}$ (where by $\mathfrak{p}^{0}$ the ideal $\mathfrak{o}$ is to be understood). If $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are two ideals \[ \mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{e_{r}}; \quad \mathfrak{b} = \mathfrak{p}_{1}^{f_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{f_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{f_{r}} \] (where some of the exponents $e$, $f$ may also be zero), then one obtains the greatest common divisor and the least common multiple of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{b}$ in the form \[ \mathfrak{p}_{1}^{g_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{g_{2}}\ldots\mathfrak{p}_{r}^{g_{r}}, \] if for $g_{1}, g_{2}, \ldots g_{r}$ one takes, for the former the smallest, for the latter the greatest, among the numbers $e_{1}, f_{1}; e_{2}, f_{2}; \ldots e_{r}, f_{r}$.

6. If $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are any two ideals, then in general \[ N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}). \]

Proof. Let, as in 5., $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{a}_{1}$; then, because $\mathfrak{a}_{1}$ is a proper divisor of $\mathfrak{a}$, there is in $\mathfrak{a}_{1}$ a function $\eta$ not divisible by $\mathfrak{a}$. The least common multiple and the greatest common divisor of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{o}\eta$ are respectively $\mathfrak{p}_{1}\eta$ and $\mathfrak{a}_{1}$, as follows at once (by 5.) from the decomposition of $\mathfrak{a}$ and $\mathfrak{o}\eta$ into their prime factors. But from this it follows by § 8, 14. \[ N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{p}_{1})N(\mathfrak{a}_{1}). \] By repetition of the same inference for $\mathfrak{a}_{1}$, and so on, there results, if $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots\mathfrak{p}_{r}$: \[ N(\mathfrak{a}) = N(\mathfrak{p}_{1})N(\mathfrak{p}_{2})\ldots N(\mathfrak{p}_{r}) \] and from this \[ N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N(\mathfrak{a})N(\mathfrak{b}). \]

7. Every prime ideal is an ideal of the first degree (§ 7), and conversely, every ideal of the first degree is a prime ideal${}^{*)}$.

Proof. If $\mathfrak{p}$ is a prime ideal, then $N(\mathfrak{p})$ is divisible by $\mathfrak{p}$, and therefore at least one of the linear factors of $N(\mathfrak{p})$, say $z-c$, is divisible by $\mathfrak{p}$

*) By this theorem the theory of algebraic functions differs essentially from the analogous theory of algebraic numbers.

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(§ 8, 18.). If $\omega$ is an arbitrary function in $\mathfrak{o}$ which satisfies the equation: \[ \omega^{n} + a_{1}\omega^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\omega + a_{n} = 0, \] then one obtains from it, by reducing the integral rational functions $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$ to their constant remainders $a_{1}^{(0)}, a_{2}^{(0)}, \ldots a_{n}^{(0)}$ with respect to $z-c$, and decomposing the integral function \[ \omega^{n} + a_{1}^{(0)}\omega^{n-1} + \cdots + a_{n-1}^{(0)}\omega + a_{n}^{(0)} \] into its linear factors $(\omega-b_{1}), (\omega-b_{2}), \ldots (\omega-b_{n})$: \[ (\omega-b_{1})(\omega-b_{2})\ldots(\omega-b_{n}) = (z-c)\omega' \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}). \]

Hence at least one of the factors $\omega-b_{1}, \omega-b_{2}, \ldots$ must be divisible by $\mathfrak{p}$, i.e. \[ \omega \equiv b \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}), \] where $b$ denotes a constant. Since accordingly every function in $\mathfrak{o}$ is congruent to a constant $(\text{mod.}\,\mathfrak{p})$, by § 6 $(\mathfrak{o}, \mathfrak{p}) = N(\mathfrak{p}) = z-c$ is a linear function of $z$, whereby the first part of the assertion is proved.

Conversely: if $\mathfrak{q}$ is an ideal of the first degree, and \[ N(\mathfrak{q}) = z-c, \] then $\mathfrak{q}$ is certainly divisible by a prime ideal $\mathfrak{p}$, and since $N(\mathfrak{q})$ is divisible by $N(\mathfrak{p})$, $N(\mathfrak{p}) = N(\mathfrak{q}) = z-c$, hence (§ 8, 9.) \[ \mathfrak{p} = \mathfrak{q}. \]

It follows from this that the degree of an ideal is equal to the number of prime factors into which it can be decomposed. If therefore \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}\ldots, \] then \[ e_{1} + e_{2} + e_{3} + \cdots = n. \] It follows further that an integral rational function of $z$ is divisible by a prime ideal $\mathfrak{p}$ if and only if it is divisible by the norm of $\mathfrak{p}$.

§ 10. The complementary bases of the field $\Omega$.

1. Definition. If the functions $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ form a basis of $\Omega$, and one sets for brevity \[ \begin{gathered} S(\alpha_{r}\alpha_{s}) = a_{r,s} = a_{s,r}, \\ \Delta(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}) = \Sigma \pm a_{1,1}a_{2,2}\ldots a_{n,n} = a \quad (\text{§~2}), \end{gathered} \]

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then, since $a$ is different from zero, a completely determined system of functions $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$ can be determined from the linear equations \[ \alpha_{r} = \overset{\iota}{\underset{1,n}{\Sigma}} a_{r,\iota}\alpha'_{\iota}, \tag{1.} \] and since \[ \Delta(\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}) = \frac{1}{a} \] is different from zero, the functions $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$ likewise form a basis of $\Omega$. This shall be called the complementary basis to $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$.

2. If, when the indices $r$, $s$ belong to the series of numbers $1, 2, \ldots n$, one denotes by $(r, s)$ the number 1 or 0 according as $r$, $s$ are equal or different, then \[ S(\alpha_{r}\alpha'_{s}) = (r, s), \tag{2.} \] for by solving the equations (1.) it follows \[ \begin{gathered} \alpha'_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} a'_{\iota,s}\alpha_{\iota}; \\ a'_{r,s} = a'_{s,r}; \quad \overset{\iota}{\Sigma} a_{r,\iota}a'_{s,\iota} = (r, s), \end{gathered} \] and from this: \[ \alpha_{r}\alpha'_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} a'_{\iota,s}\alpha_{\iota}\alpha_{r}; \quad S(\alpha_{r}\alpha'_{s}) = \overset{\iota}{\Sigma} a'_{\iota,s}a_{\iota,r} = (r, s). \] If conversely a system of functions $\beta_{s}$ satisfies the conditions $S(\alpha_{r}\beta_{s}) = (r, s)$, then $\beta_{s} = \alpha'_{s}$; for if one sets $\beta_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} b_{\iota,s}\alpha'_{\iota}$, it follows because of (2.) \[ b_{r,s} = S(\beta_{s}\alpha_{r}) = (r, s). \] From this it follows immediately that the relation of the $\alpha_{\iota}$ to the $\alpha'_{\iota}$ is a reciprocal one, i.e. that the basis $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ is complementary to $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$.

3. If $\eta$ is an arbitrary function in $\Omega$, one can always set \[ \eta = \Sigma x_{\iota}\alpha_{\iota} = \Sigma x'_{\iota}\alpha'_{\iota}, \] and by application of (2.) it follows: \[ x_{\iota} = S(\eta\alpha'_{\iota}), \quad x' = S(\eta\alpha_{\iota}), \] ‡‡Editorial note: Printed $x'$ without a subscript; $x'_{\iota}$ is meant, as in the line above. hence: \[ \eta = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\eta\alpha'_{\iota}) = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha'_{\iota}S(\eta\alpha_{\iota}). \tag{3.} \]

4. If $\eta$ is an arbitrary function in $\Omega$ different from zero, then \[ \frac{\alpha'_{1}}{\eta}, \ \frac{\alpha'_{2}}{\eta}, \ \ldots \ \frac{\alpha'_{n}}{\eta} \] is the complementary basis to $\eta\alpha_{1}, \eta\alpha_{2}, \ldots \eta\alpha_{n}$. This follows from 2. because of \[ S\Bigl(\eta\alpha_{r}\cdot\frac{\alpha'_{s}}{\eta}\Bigr) = S(\alpha_{r}\alpha'_{s}) = (r, s). \]

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5. If two bases of $\Omega$, $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ and $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{n}$, are connected by the $n$ equations \[ \beta_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} x_{\iota,s}\alpha_{\iota} \] with rational coefficients $x_{\iota,s}$, then the bases complementary to them are connected by the $n$ equations \[ \alpha'_{r} = \overset{\iota}{\Sigma} x_{r,\iota}\beta'_{\iota} \] (transposed substitution). This is an immediate consequence of 3. because of \[ x_{r,s} = S(\alpha'_{r}\beta_{s}). \]

6. We have \[ \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota} = 1, \] hence: \[ \overset{\iota,\iota'}{\Sigma} a_{\iota,\iota'}\alpha'_{\iota}\alpha'_{\iota'} = \overset{\iota,\iota'}{\Sigma} a'_{\iota,\iota'}\alpha_{\iota}\alpha_{\iota'} = 1. \] For if one first sets \[ \Sigma\alpha_{\iota}\alpha_{\iota'} = \sigma, \] §§Editorial note: Printed $\alpha_{\iota}\alpha_{\iota'}$; the argument requires $\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota}$, as in the first formula of 6. The prime appears to have been set on the subscript. then it follows from 3. (applied to the functions $\eta\alpha_{r}$), \[ \eta\alpha_{r} = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\eta\alpha_{r}\alpha'_{\iota}), \] consequently, by the definition of the trace in § 2, (5.) \[ S(\eta) = \overset{\iota}{\Sigma} S(\eta\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota}) = S(\Sigma\eta\alpha_{\iota}\alpha'_{\iota}), \] hence: \[ S(\eta\sigma) = S(\eta), \] and from this, if in 3. one sets first $\eta = \sigma$, then $\eta = 1$: \[ \sigma = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\sigma\alpha'_{\iota}) = \overset{\iota}{\Sigma}\alpha_{\iota}S(\alpha'_{\iota}) = 1. \]

We go somewhat more closely into the formation of the complementary bases in two special cases:

7. Let $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ be a basis of $\mathfrak{o}$ and $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \varepsilon_{n}$ the complementary basis (of $\Omega$). Let \[ e_{r,s} = e_{s,r} = S(\omega_{r}\omega_{s}), \] which are integral rational functions, and \[ D = \text{const.}\,\Sigma \pm e_{1,1}e_{2,2}\ldots e_{n,n} \] the discriminant of $\Omega$; then by 2. \[ \varepsilon_{r} = \frac{1}{D}\overset{\iota}{\Sigma}\frac{\partial D}{\partial e_{\iota,r}}\omega_{\iota}, \]

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from which it emerges that the functions $D\varepsilon_{r}$ belong to the integral functions. But from 6. it follows further \[ D = \overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\frac{\partial D}{\partial e_{\iota,\iota'}}\omega_{\iota}\omega_{\iota'} \] and from this \[ \begin{aligned} \varepsilon_{r}\varepsilon_{s} &= \frac{1}{D^{2}}\overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\frac{\partial D}{\partial e_{r,\iota}}\frac{\partial D}{\partial e_{s,\iota'}}\omega_{\iota}\omega_{\iota'} \\ &= \frac{1}{D}\frac{\partial D}{\partial e_{r,s}} + \frac{1}{D^{2}}\overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\Bigl(\frac{\partial D}{\partial e_{r,\iota}}\frac{\partial D}{\partial e_{s,\iota'}} - \frac{\partial D}{\partial e_{r,s}}\frac{\partial D}{\partial e_{\iota,\iota'}}\Bigr)\omega_{\iota}\omega_{\iota'} \end{aligned} \] and from this, by a known theorem on determinants: \[ \varepsilon_{r}\varepsilon_{s} = \frac{1}{D}\frac{\partial D}{\partial e_{r,s}} + \frac{1}{D}\overset{\iota,\iota'}{\Sigma}\frac{\partial^{2}D}{\partial e_{r,\iota}\partial e_{s,\iota'}}\omega_{\iota}\omega_{\iota'}, \] from which follows the important result that the functions $D\varepsilon_{r}\varepsilon_{s}$ too belong to the integral functions.

8. Let $\theta$ be a function in $\Omega$ such that $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ form a basis of $\Omega$, and let therefore \[ f(\theta) = \theta^{n} + a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\theta + a_{n} = 0 \tag{4.} \] be irreducible, with rational coefficients $a$. The complementary basis to $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ is to be found. Let us set, where $t$ denotes an indeterminate constant, \[ \frac{f(t)}{t-\theta} = \eta_{0} + \eta_{1}t + \eta_{2}t^{2} + \cdots + \eta_{n-1}t^{n-1}, \] hence: \[ \left\{ \begin{aligned} \eta_{0} &= a_{n-1} + a_{n-2}\theta + \cdots + a_{1}\theta^{n-2} + \theta^{n-1}, \\ \eta_{1} &= a_{n-2} + a_{n-3}\theta + \cdots + \theta^{n-2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{n-2} &= a_{1} + \theta, \\ \eta_{n-1} &= 1, \end{aligned} \right. \tag{5.} \] then the functions $\eta_{0}, \eta_{1}, \ldots \eta_{n-1}$ likewise form a basis of $\Omega$, since the determinant of the equations (5.) is $= (-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}$, hence different from zero. Every function $\zeta$ in $\Omega$ can therefore be represented in the form \[ \zeta = y_{0}\eta_{0} + y_{1}\eta_{1} + \cdots + y_{n-1}\eta_{n-1}. \] We now continue the series of rational functions $y_{0}, y_{1}, \ldots y_{n-1}$ by determining the functions $y_{n}, y_{n+1}, \ldots$ through the recursion \[ a_{n}y_{r} + a_{n-1}y_{r+1} + \cdots + a_{2}y_{r+n-2} + a_{1}y_{r+n-1} + y_{r+n} = 0. \tag{6.} \]

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Now by (5.) \[ \left\{ \begin{aligned} \theta\eta_{0} &= \phantom{\eta_{0}} - a_{n}\eta_{n-1}, \\ \theta\eta_{1} &= \eta_{0} - a_{n-1}\eta_{n-1}, \\ \theta\eta_{2} &= \eta_{1} - a_{n-2}\eta_{n-1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \theta\eta_{n-1} &= \eta_{n-2} - a_{1}\eta_{n-1}, \end{aligned} \right. \tag{7.} \] hence \[ \zeta\theta = y_{1}\eta_{0} + y_{2}\eta_{1} + \cdots + y_{n-1}\eta_{n-2} + y_{n}\eta_{n-1}, \] and likewise in general for every positive integer $r$: \[ \zeta\theta^{r} = y_{r}\eta_{0} + y_{r+1}\eta_{1} + \cdots + y_{r+n-2}\eta_{n-2} + y_{r+n-1}\eta_{n-1}, \] or, if one expresses $\eta_{0}, \eta_{1}, \ldots \eta_{n-1}$ by $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$: \[ \zeta\theta^{r} = x_{0}^{(r)} + x_{1}^{(r)}\theta + x_{2}^{(r)}\theta^{2} + \cdots + x_{n-1}^{(r)}\theta^{n-1}, \] where \[ \begin{aligned} x_{0}^{(r)} &= y_{r}a_{n-1} + y_{r+1}a_{n-2} + \cdots + y_{r+n-2}a_{1} + y_{r+n-1}, \\ x_{1}^{(r)} &= y_{r}a_{n-2} + y_{r+1}a_{n-3} + \cdots + y_{r+n-2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ x_{n-2}^{(r)} &= y_{r}a_{1} + y_{r+1}, \\ x_{n-1}^{(r)} &= y_{r}. \end{aligned} \] Consequently (by the definition of $S$, § 2 (5.)) \[ \begin{aligned} S(\zeta) &= x_{0}^{(0)} + x_{1}^{(1)} + x_{2}^{(2)} + \cdots + x_{n-1}^{(n-1)} \\ &= y_{0}a_{n-1} + 2y_{1}a_{n-2} + \cdots + (n-1)y_{n-2}a_{1} + ny_{n-1}, \end{aligned} \] hence, applied to $\zeta = \eta_{r}$: \[ S(\eta_{r}) = (r+1)a_{n-1-r}; \quad S(\eta_{n-1-r}) = (n-r)a_{r}, \] where $a_{0} = 1$ is to be set.

If one therefore sets for brevity \[ S(\theta^{r}) = s_{r}, \] it follows, as long as $r \leqq n$, by means of (5.) \[ (n-r)a_{r} = a_{r}s_{0} + a_{r-1}s_{1} + \cdots + a_{1}s_{r-1} + s_{r} \tag{8.} \] and by (4.) in general \[ 0 = a_{n}s_{r} + a_{n-1}s_{r+1} + \cdots + a_{1}s_{r+n-1} + s_{r+n}. \tag{9.} \] But from these formulae it follows further: \[ \left\{ \begin{aligned} f'(\theta) &= n\theta^{n-1} + (n-1)a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + 2a_{n-2}\theta + a_{n-1} \\ &= s_{0}\eta_{0} + s_{1}\eta_{1} + \cdots + s_{n-1}\eta_{n-1}, \\ \theta^{r}f'(\theta) &= s_{r}\eta_{0} + s_{r+1}\eta_{1} + \cdots + s_{r+n-2}\eta_{n-2} + s_{r+n-1}\eta_{n-1}. \end{aligned} \right. \tag{10.} \] ¶¶Editorial note: In the first line of (10.) the print sets $(n-1)a_{1}\theta^{n-1}$; the derivative requires $\theta^{n-2}$. An apparent misprint.

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If one now takes into account the value of the determinant of the system of equations (5.), then from this, with regard to the definition of the norm and of the discriminant in § 2 (4.) and (12.), there follows the important formula \[ Nf'(\theta) = (-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)} \begin{vmatrix} s_{0}, & s_{1}, & \ldots & s_{n-1} \\ s_{1}, & s_{2}, & \ldots & s_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ s_{n-1}, & s_{n}, & \ldots & s_{2n-2} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\Delta(1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}). \tag{11.} \] But the equations (10.), with regard to the definition 1., also yield the complementary basis to $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$: \[ \frac{\eta_{0}}{f'(\theta)}, \ \frac{\eta_{1}}{f'(\theta)}, \ \ldots \ \frac{\eta_{n-1}}{f'(\theta)}. \]

9. If $\mathfrak{a} = [\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}]$ denotes a module whose basis is at the same time a basis of $\Omega$, then from the basis of $\Omega$ complementary to $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$, $\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}$, one obtains another module $\mathfrak{a}' = [\alpha'_{1}, \alpha'_{2}, \ldots \alpha'_{n}]$, which is called the complementary module to $\mathfrak{a}$. It is, as follows at once from 5. in connection with § 4, 2., independent of the choice of the basis of $\mathfrak{a}$.

10. We consider in particular the module $\mathfrak{e} = [\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \varepsilon_{n}]$ complementary to $\mathfrak{o} = [\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}]$. If we set \[ \omega_{r}\omega_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} e_{r,s}^{(\iota)}\omega_{\iota}, \] then by 3. \[ e_{r,s}^{(\iota)} = e_{s,r}^{(\iota)} = S(\omega_{r}\omega_{s}\varepsilon_{\iota}) \] is an integral rational function of $z$, and it follows: \[ \omega_{r}\varepsilon_{s} = \overset{\iota}{\Sigma} e_{r,\iota}^{(s)}\varepsilon_{\iota}. \] From this it results that the module $\mathfrak{o}\mathfrak{e}$ (§ 4, 7.) is divisible by $\mathfrak{e}$; on the other hand, because $\mathfrak{o}$ contains the function 1, $\mathfrak{e}$ is divisible by $\mathfrak{o}\mathfrak{e}$, hence \[ \mathfrak{o}\mathfrak{e} = \mathfrak{e}, \] i.e. the module $\mathfrak{e}$, which, it is true, does not contain merely integral functions, possesses the characteristic property II. § 7 of ideals. The same consequently holds also of the module $\mathfrak{e}^{2}$. Since the two modules $D\mathfrak{e}$, $D\mathfrak{e}^{2}$ contain by 7. only integral functions, they are ideals, and from 7. there further results \[ N(D\mathfrak{e}) = D^{n-1}. \]

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11. If $\theta$ is a function in $\mathfrak{o}$ of such a kind that $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ forms a basis of $\Omega$, so that in the irreducible equation \[ f(\theta) = \theta^{n} + a_{1}\theta^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\theta + a_{n} = 0 \] the coefficients are integral rational functions of $z$, then for $r = 0, 1, 2, \ldots n-1$ one can determine the integral rational functions $k_{\iota}^{(r)}$ such that \[ \theta^{r} = \overset{\iota}{\underset{1,n}{\Sigma}} k_{\iota}^{(r)}\omega_{\iota} \] holds. If one applies to this the theorems 5. and 8., it follows: \[ f'(\theta)\varepsilon_{s} = k_{s}^{(0)}\eta_{0} + k_{s}^{(1)}\eta_{1} + \cdots + k_{s}^{(n-1)}\eta_{n-1}, \] and from this it results that the module \[ f'(\theta)\mathfrak{e} = \mathfrak{k} \] contains only integral functions. From 10. one infers that it is an ideal.

§ 11. The ramification ideal.

1. Lemma. If any two of the ideals $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{c}$, $\ldots$ are relatively prime, there always exists a function which with respect to each of them is congruent to a given function in $\mathfrak{o}$.

Proof. Set \[ \mathfrak{m} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}\mathfrak{c}\cdots = \mathfrak{a}\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{b}\mathfrak{b}_{1} = \mathfrak{c}\mathfrak{c}_{1} = \cdots; \] the greatest common divisor of $\mathfrak{a}_{1} = \mathfrak{b}\mathfrak{c}\ldots$, $\mathfrak{b}_{1} = \mathfrak{a}\mathfrak{c}\ldots$, $\mathfrak{c}_{1} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}\ldots$ is then equal to $\mathfrak{o}$, since no prime ideal can go into $\mathfrak{a}_{1}, \mathfrak{b}_{1}, \mathfrak{c}_{1}, \ldots$ at the same time. Consequently (§ 4, 5.) one can select $\alpha_{1}$ from $\mathfrak{a}_{1}$, $\beta_{1}$ from $\mathfrak{b}_{1}$, $\gamma_{1}$ from $\mathfrak{c}_{1}$, $\ldots$ such that \[ \alpha_{1} + \beta_{1} + \gamma_{1} + \cdots = 1, \] hence: \[ \begin{aligned} \alpha_{1} &\equiv 1, & \beta_{1} &\equiv 0, & \gamma_{1} &\equiv 0, & &\ldots \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \\ \alpha_{1} &\equiv 0, & \beta_{1} &\equiv 1, & \gamma_{1} &\equiv 0, & &\ldots \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \\ \alpha_{1} &\equiv 0, & \beta_{1} &\equiv 0, & \gamma_{1} &\equiv 1, & &\ldots \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{c}), \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned} \] If therefore $\lambda, \mu, \nu, \ldots$ are given functions in $\mathfrak{o}$, then \[ \omega \equiv \lambda\alpha_{1} + \mu\beta_{1} + \nu\gamma_{1} + \cdots \ (\text{mod.}\,\mathfrak{m}) \] satisfies the conditions \[ \omega \equiv \lambda \ (\text{mod.}\,\mathfrak{a}), \quad \omega \equiv \mu \ (\text{mod.}\,\mathfrak{b}), \quad \omega \equiv \nu \ (\text{mod.}\,\mathfrak{c}), \quad \ldots \]

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2. Let $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ be all the mutually different prime ideals going into an arbitrary linear function $z-c$, and \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}^{e}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots, \quad e + e_{1} + e_{2} + \cdots = n \quad (\text{§~9, 7.}). \] Choose the functions $\lambda, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots$ divisible respectively by $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$, but not by $\mathfrak{p}^{2}, \mathfrak{p}_{1}^{2}, \mathfrak{p}_{2}^{2}, \ldots$, and let $b, b_{1}, b_{2}, \ldots$ denote arbitrary but mutually different constants. By 1. a function $\zeta$ can then be determined which satisfies the congruences \[ \zeta \equiv b + \lambda \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}^{2}), \quad \zeta \equiv b_{1} + \lambda_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{1}^{2}), \quad \zeta \equiv b_{2} + \lambda_{2} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{2}^{2}), \quad \ldots, \] hence \[ \zeta \equiv b \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}), \quad \zeta \equiv b_{1} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{1}), \quad \zeta \equiv b_{2} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}_{2}), \quad \ldots, \] so that, if $a$ denotes any constant, $\zeta-a$ is divisible by at most one of the prime ideals $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ and never by one of their squares. If therefore $\varphi(t) = \Pi(t-a)$ is an integral function of the variable $t$ with constant coefficients, then $\varphi(\zeta) = \Pi(\zeta-a)$ is divisible by $\mathfrak{p}^{m}$ always and only when $\varphi(t)$ is algebraically divisible by $(t-b)^{m}$, and if $\mathfrak{p}^{m}$ is the highest power of $\mathfrak{p}$ going into $\varphi(\zeta)$, then consequently $\mathfrak{p}^{m-1}$ is the highest power of $\mathfrak{p}$ going into $\varphi'(\zeta)$. If therefore $\varphi(\zeta)$ is to be divisible by $z-c$, then $\varphi(t)$ must be divisible by the function of the $n^{\text{th}}$ degree \[ \psi(t) = (t-b)^{e}(t-b_{1})^{e_{1}}(t-b_{2})^{e_{2}}\ldots \] Consequently the congruence \[ x_{0} + x_{1}\zeta + x_{2}\zeta^{2} + \cdots + x_{n-1}\zeta^{n-1} \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c) \] can be satisfied only by such integral rational $x$ as are all divisible by $z-c$. If therefore one sets, denoting by $k_{1}^{(0)}, k_{1}^{(1)}, \ldots$ integral rational functions of $z$ and by $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ a basis of $\mathfrak{o}$: \[ \begin{aligned} 1 &= k_{1}^{(0)}\omega_{1} + k_{2}^{(0)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(0)}\omega_{n}, \\ \zeta &= k_{1}^{(1)}\omega_{1} + k_{2}^{(1)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(1)}\omega_{n}, \\ \zeta^{2} &= k_{1}^{(2)}\omega_{1} + k_{2}^{(2)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(2)}\omega_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \zeta^{n-1} &= k_{1}^{(n-1)}\omega_{1} + k_{2}^{(n-1)}\omega_{2} + \cdots + k_{n}^{(n-1)}\omega_{n}, \end{aligned} \] then the determinant \[ k = \Sigma \pm k_{1}^{(0)}k_{2}^{(1)}\ldots k_{n}^{(n-1)} \] can neither vanish identically nor be divisible by $z-c$ (cf. the note to § 9, 1.).

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It follows therefore that \[ N(t-\zeta) = f(t, z) \] is irreducible. Now since $f(\zeta, z) = 0$, and hence $f(\zeta, c)$ is divisible by $z-c$, $f(t, c)$ must be divisible by $\psi(t)$, and hence, since both functions are of the same degree, \[ f(t, c) = \psi(t) \] from which one further infers, for a later application: \[ S(\zeta) \equiv eb + e_{1}b_{1} + e_{2}b_{2} + \cdots \quad (\text{mod.}\,z-c), \] and, by applying the same consideration to the functions $\zeta^{2}, \zeta^{3}, \ldots$, which is certainly permitted if none of the constants $b$ vanishes: \[ \begin{aligned} S(\zeta^{2}) &\equiv eb^{2} + e_{1}b_{1}^{2} + e_{2}b_{2}^{2} + \cdots \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ S(\zeta^{3}) &\equiv eb^{3} + e_{1}b_{1}^{3} + e_{2}b_{2}^{3} + \cdots \quad (\text{mod.}\,z-c). \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \end{aligned} \]

Thus $\mathfrak{p}^{e}$ is the highest power of $\mathfrak{p}$ going into $f(\zeta, c)$, hence $\mathfrak{p}^{e-1}$ the highest going into $f'(\zeta, c)$, and since \[ f'(\zeta, c) \equiv f'(\zeta, z) \quad (\text{mod.}\,\mathfrak{p}^{e}), \] $\mathfrak{p}^{e-1}$ is also the highest power of $\mathfrak{p}$ going into $f'(\zeta, z)$. From this there results \[ \mathfrak{o}f'(\zeta, z) = \mathfrak{m}\mathfrak{p}^{e-1}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}-1}\ldots, \] where $\mathfrak{m}$, and consequently also $N(\mathfrak{m})$, is relatively prime to $z-c$.

Now if $D$ is the discriminant of $\Omega$, then accordingly, and by § 10, (11.) and § 2, (13.) (apart from constant factors) \[ Nf'(\zeta, z) = \Delta(1, \zeta, \zeta^{2}, \ldots \zeta^{n-1}) = Dk^{2} = (z-c)^{n-s}N(\mathfrak{m}), \] if $s$ denotes the number of the different prime ideals $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ going into $z-c$; and since $k$ and $N(\mathfrak{m})$ are not divisible by $z-c$, $(z-c)^{n-s}$ is the highest power of $z-c$ going into $D$. Consequently: \[ D = \Pi(z-c)^{n-s}, \tag{1.} \] where the product sign $\Pi$ refers to all such linear expressions $z-c$ into which fewer than $n$ different prime factors go, which are therefore divisible by the second or a higher power of a prime ideal.

There is therefore only a finite number of linear functions $z-c$ which are divisible by the square of a prime ideal.

We now set \[ \mathfrak{z} = \Pi\mathfrak{p}^{e-1}, \tag{2.} \] where the product sign $\Pi$ refers to all those prime ideals $\mathfrak{p}$

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of which a higher power than the first, namely the $e^{\text{th}}$, goes into their norm, and we call this ideal $\mathfrak{z}$ the ramification ideal. From (1.) and (2.) there follows at once \[ N(\mathfrak{z}) = D. \tag{3.} \] Since further $n-s \geqq e-1$, hence $e(n-s) - 2(e-1) \geqq (e-1)(e-2) \geqq 0$, $D$ is divisible by $\mathfrak{p}^{2(e-1)}$, hence also by $\mathfrak{z}^{2}$, and one can set, denoting by $\mathfrak{d}$ likewise an ideal: \[ \mathfrak{o}D = \mathfrak{d}\mathfrak{z}^{2}, \quad N(\mathfrak{d}) = D^{n-2}. \tag{4.} \]

3. If a function $\varrho$ in $\mathfrak{o}$ is divisible by every prime ideal going into $z-c$, then $S(\varrho)$ is divisible by $z-c$.

Proof. Let $\zeta$ be the same function as in 2., so that one can set: \[ x\varrho = x_{0} + x_{1}\zeta + x_{2}\zeta^{2} + \cdots + x_{n-1}\zeta^{n-1}, \] where the coefficients $x, x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n-1}$ are integral rational functions of $z$ without a common divisor, of which the first is not divisible by $z-c$ (cf. 2.). From our assumption about the function $\varrho$ it follows, if the constants $b$ have the same meaning as in 2., \[ \begin{aligned} x_{0} + x_{1}b + x_{2}b^{2} + \cdots + x_{n-1}b^{n-1} &\equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ x_{0} + x_{1}b_{1} + x_{2}b_{1}^{2} + \cdots + x_{n-1}b_{1}^{n-1} &\equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ x_{0} + x_{1}b_{2} + x_{2}b_{2}^{2} + \cdots + x_{n-1}b_{2}^{n-1} &\equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \\ \cdots\cdots\cdots\cdots& \end{aligned} \] and from this, by multiplying the congruences by $e, e_{1}, e_{2}, \ldots$ and adding: \[ x_{0}n + x_{1}S(\zeta) + x_{2}S(\zeta^{2}) + \cdots + x_{n-1}S(\zeta^{n-1}) = xS(\varrho) \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c), \] hence, since $x$ is not divisible by $z-c$, \[ S(\varrho) \equiv 0 \quad (\text{mod.}\,z-c) \] q. e. d.

4. Now let \[ r = (z-c)(z-c_{1})(z-c_{2})\ldots \] be the product of all the mutually different linear factors of $D$, and \[ \mathfrak{r} = \mathfrak{p}\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\ldots \] the product of all the mutually different prime ideals going into $r$. If, as above, $\mathfrak{z}$ is the ramification ideal, then \[ \mathfrak{r}\mathfrak{z} = \Pi\mathfrak{p}^{e} = \mathfrak{o}r \tag{5.} \] and consequently \[ N(\mathfrak{r}) = \frac{r^{n}}{D}. \]

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Every function $\varrho$ in $\mathfrak{r}$ has by 3. the property that $S(\varrho)$ is divisible by $r$. Now if, as in § 10, \[ \mathfrak{e} = [\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots \varepsilon_{n}] \] is the module complementary to $\mathfrak{o}$, and $\varrho$ an arbitrary function in $\mathfrak{r}$, one can set \[ \varrho = x_{1}\varepsilon_{1} + x_{2}\varepsilon_{2} + \cdots + x_{n}\varepsilon_{n}, \] where by § 10, 3. \[ x_{\iota} = S(\varrho\omega_{\iota}), \] hence, since $\varrho\omega_{\iota}$ is a function in $\mathfrak{r}$, $x_{\iota}$ is an integral rational function of $z$ divisible by $r$. From this it follows that the ideal $\mathfrak{r}$ is divisible by the module $r\mathfrak{e}$. Hence the ideal $D\mathfrak{r}$ too is divisible by the ideal $rD\mathfrak{e}$. At the same time \[ N(D\mathfrak{r}) = r^{n}D^{n-1}, \quad N(rD\mathfrak{e}) = r^{n}D^{n-1} \qquad (\text{§~10, 10.}); \] consequently, by § 8, 9. \[ D\mathfrak{r} = rD\mathfrak{e} \] or \[ \mathfrak{r} = r\mathfrak{e}. \tag{6.} \] From which, by means of the above remark about $\varrho$, it follows that, if $\varepsilon$ denotes an arbitrary function in $\mathfrak{e}$, $S(\varepsilon)$ is an integral rational function of $z$. From the formula (6.) there follows, by multiplication by $\mathfrak{z}$, by (5.) \[ \mathfrak{r}\mathfrak{z} = r\mathfrak{e}\mathfrak{z} = \mathfrak{o}r \] and consequently \[ \mathfrak{e}\mathfrak{z} = \mathfrak{o}. \tag{7.} \] If one multiplies the last equation by $D$, there results from (4.) \[ \mathfrak{e}D\mathfrak{z} = \mathfrak{z}^{2}\mathfrak{d}, \] consequently \[ D\mathfrak{e} = \mathfrak{z}\mathfrak{d} \tag{8.} \] and by multiplication of this equation by $\mathfrak{e}$, by (7.) \[ D\mathfrak{e}^{2} = \mathfrak{d}. \tag{9.} \]

4.‖‖Editorial note: The print numbers this item 4. a second time, after item 4. on p. 226; 5. would be expected. If $\theta$ is an integral function of $z$ in $\Omega$ and $N(t-\theta) = f(t)$, then $f'(\theta)$ is divisible by the ramification ideal $\mathfrak{z}$.

Proof. If $f(t)$ is reducible, then $f'(\theta) = 0$, hence certainly divisible by $\mathfrak{z}$. In the other case, by § 10, 11., \[ \mathfrak{e}f'(\theta) = \mathfrak{k} \]

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is an ideal, consequently, by multiplication by $\mathfrak{z}$, by (7.) \[ \mathfrak{o}f'(\theta) = \mathfrak{k}\mathfrak{z}. \tag{10.} \] At the same time it follows, if as in § 10, 11. we set \[ \begin{aligned} \theta^{r} &= \overset{\iota}{\Sigma} k_{\iota}^{(r)}\omega_{\iota}, \\ k &= \Sigma \pm k_{1}^{(0)}k_{2}^{(1)}\ldots k_{n}^{(n-1)} \end{aligned} \] that \[ \begin{aligned} Nf'(\theta) &= N(\mathfrak{k})N(\mathfrak{z}) = DN(\mathfrak{k}) \\ &= \text{const.}\,k^{2}D \quad (\text{§~10, (11.) and §~2, (13.)}), \end{aligned} \] hence: \[ N(\mathfrak{k}) = \text{const.}\,k^{2} \tag{11.} \] a perfect square.

§ 12. The fractional functions of $z$ in the field $\Omega$.

1. Every function $\eta$ whatever in $\Omega$ can, by § 3, 3., be represented in infinitely many ways as the quotient of two integral functions of $z$ (the denominator can even be an integral rational function of $z$). Let therefore \[ \eta = \frac{\nu}{\mu} \] and $\mu$, $\nu$ integral functions of $z$ (functions in $\mathfrak{o}$). Now if $\mathfrak{m}$ is the greatest common divisor of the two principal ideals $\mathfrak{o}\mu$, $\mathfrak{o}\nu$, hence, if $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are relatively prime ideals, \[ \mathfrak{o}\mu = \mathfrak{a}\mathfrak{m}, \quad \mathfrak{o}\nu = \mathfrak{b}\mathfrak{m}, \tag{1.} \] then it follows (§ 4, 6.) \[ \mathfrak{a}\nu = \mathfrak{b}\mu \quad \text{or} \quad \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}. \tag{2.} \]

If therefore $\alpha$ is an arbitrary function in $\mathfrak{a}$, then $\alpha\eta$ is contained in $\mathfrak{b}$, hence in any case an integral function of $z$. If conversely $\alpha$ is an integral function of $z$ which has the property that $\alpha\eta = \beta$ is an integral function, it follows \[ \alpha\nu = \beta\mu, \] hence by (1.) \[ \alpha\mathfrak{b} = \beta\mathfrak{a}; \] now since $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ are relatively prime, $\alpha$ must be divisible by $\mathfrak{a}$ and $\beta$ by $\mathfrak{b}$, and from this it follows:

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$\mathfrak{a}$ is the totality of all those integral functions $\alpha$ which have the property that $\alpha\eta$ is an integral function, and the totality of all these integral functions $\alpha\eta$ is the ideal $\mathfrak{b}$; or, expressed otherwise:

$\mathfrak{b}$ is the least common multiple of $\mathfrak{o}\eta$ and $\mathfrak{o}$, and likewise $\mathfrak{a}$ the least common multiple of $\frac{\mathfrak{o}}{\eta}$ and $\mathfrak{o}$. Accordingly, if $\mathfrak{a}'$, $\mathfrak{b}'$ are two ideals satisfying the condition \[ \mathfrak{a}'\eta = \mathfrak{b}' \] $\mathfrak{a}'$ must be divisible by $\mathfrak{a}$. Let therefore \[ \mathfrak{a}' = \mathfrak{n}\mathfrak{a}, \] then it follows: \[ \mathfrak{b}' = \mathfrak{n}\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{n}\mathfrak{b}. \] Conversely, for an arbitrary ideal $\mathfrak{n}$ too, \[ \mathfrak{n}\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{n}\mathfrak{b}. \]

2. Now let $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ be two ideals satisfying the condition \[ \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b} \] no matter whether relatively prime or not. The quotient $\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}$ is by § 4, 8. the totality of all those functions $\gamma$ which have the property that $\mathfrak{a}\gamma$ is divisible by $\mathfrak{b}$. To these functions certainly belong all functions of the form $\omega\eta$, if $\omega$ denotes an arbitrary function in $\mathfrak{o}$. But conversely, too, every function $\gamma$ is of this form; for since $\mathfrak{a}\gamma$ is divisible by $\mathfrak{b}$, hence also by $\mathfrak{o}$, it is an ideal (since it possesses the properties I., II. § 7), hence, if $\mathfrak{c}$ is likewise an ideal: \[ \mathfrak{a}\gamma = \mathfrak{c}\mathfrak{b} \] and by multiplication by $\eta$ \[ \mathfrak{b}\gamma = \mathfrak{c}\mathfrak{b}\eta. \] Now if, as above, $\eta = \frac{\nu}{\mu}$, and, if $\varrho$, $\sigma$ are integral functions, $\gamma = \frac{\varrho}{\sigma}$, it follows from this \[ \mathfrak{b}\varrho\mu = \mathfrak{c}\mathfrak{b}\nu\sigma, \] hence: \[ \mathfrak{o}\varrho\mu = \mathfrak{c}\nu\sigma, \quad \mathfrak{o}\gamma = \mathfrak{c}\eta. \] Both together yield the theorem \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}. \tag{3.} \]

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If in this representation $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{a}$ are relatively prime, which by 1. can always be assumed, and in only one way, then $\mathfrak{b}$ shall be called the upper ideal and $\mathfrak{a}$ the lower ideal of the function $\eta$.

3. If again in general \[ \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}, \quad \text{hence} \quad \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}} \] and $\alpha$ is an arbitrary function in $\mathfrak{a}$, and $\beta$ a corresponding function in $\mathfrak{b}$, then \[ \eta = \frac{\beta}{\alpha} \quad \text{and} \quad \mathfrak{a}\beta = \mathfrak{b}\alpha. \] From this it follows, by forming the norms, \[ N(\eta) = \text{const.}\,\frac{N(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{b})}. \] ***Editorial note: As printed, with $N(\mathfrak{a})$ in the numerator. Since $\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}$, the quotient $N(\mathfrak{b})$ over $N(\mathfrak{a})$ would be expected; this appears to be a misprint.

4. If $\eta$, $\eta'$ are two functions in $\Omega$ and, as in 1., \[ \mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}; \quad \mathfrak{a}'\eta' = \mathfrak{b}', \] no matter whether $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$; $\mathfrak{a}'$, $\mathfrak{b}'$ are relatively prime or not, it follows \[ \mathfrak{a}\mathfrak{a}'\eta\eta' = \mathfrak{b}\mathfrak{b}'. \] Thus from \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}, \quad \mathfrak{o}\eta' = \frac{\mathfrak{b}'}{\mathfrak{a}'} \] there follow the equations \[ \mathfrak{o}\eta\eta' = \frac{\mathfrak{b}\mathfrak{b}'}{\mathfrak{a}\mathfrak{a}'}, \quad \mathfrak{o}\frac{1}{\eta} = \frac{\mathfrak{a}}{\mathfrak{b}}, \quad \mathfrak{o}\frac{\eta}{\eta'} = \frac{\mathfrak{b}\mathfrak{a}'}{\mathfrak{a}\mathfrak{b}'}. \]

5. If $\mathfrak{a}\eta = \mathfrak{b}$, $\mathfrak{a}\eta' = \mathfrak{b}'$, then also \[ \mathfrak{a}(\eta \pm \eta') = \mathfrak{b}'' \] will be an ideal, because, if $\alpha\eta$, $\alpha\eta'$ are integral functions, $\alpha(\eta \pm \eta')$ is always one too. If therefore \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}}, \quad \mathfrak{o}\eta' = \frac{\mathfrak{b}'}{\mathfrak{a}}, \] it follows \[ \mathfrak{o}(\eta \pm \eta') = \frac{\mathfrak{b}''}{\mathfrak{a}}; \] if the two ideals $\mathfrak{b}$, $\mathfrak{b}'$ have a common divisor, it is also a divisor of $\mathfrak{b}''$.

6. Now let $\varrho$ be a function in $\Omega$ whose upper ideal is divisible by an arbitrarily given prime ideal $\mathfrak{p}$, but not by $\mathfrak{p}^{2}$ (such functions

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always exist; they can even be integral functions of $z$), hence \[ \mathfrak{o}\varrho = \frac{\mathfrak{m}\mathfrak{p}}{\mathfrak{n}}, \] where $\mathfrak{m}$, $\mathfrak{n}$ are ideals not divisible by $\mathfrak{p}$. Let further $\eta$ be an arbitrary function in $\Omega$ whose lower ideal is not divisible by $\mathfrak{p}$, hence \[ \mathfrak{o}\eta = \frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{a}} \] and $\mathfrak{a}$ not divisible by $\mathfrak{p}$. Choose an arbitrary function $\alpha$ in $\mathfrak{a}$ which is not divisible by $\mathfrak{p}$, and a corresponding function $\beta$ in $\mathfrak{b}$, so that \[ \eta = \frac{\beta}{\alpha} \] holds. Let \[ \alpha \equiv \alpha_{0}, \quad \beta \equiv \beta_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}), \quad c_{0} = \frac{\beta_{0}}{\alpha_{0}}, \] where $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$, $c_{0}$ are constants, of which the first is different from zero. By 5. \[ \mathfrak{o}(\eta - c_{0}) = \mathfrak{o}\frac{\beta - c_{0}\alpha}{\alpha} = \frac{\mathfrak{b}_{1}}{\mathfrak{a}}, \] and from \[ \mathfrak{a}(\beta - c_{0}\alpha) = \mathfrak{b}_{1}\alpha, \quad \beta - c_{0}\alpha \equiv 0 \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p}) \] it follows, since $\alpha$ is not divisible by $\mathfrak{p}$, that $\mathfrak{b}_{1}$ must be divisible by $\mathfrak{p}$. If therefore one sets \[ \eta - c_{0} = \varrho\eta_{1}, \] then the lower ideal of $\eta_{1}$ too is not divisible by $\mathfrak{p}$. In this way a completely determined series of constants $c_{0}, c_{1}, \ldots c_{r-1}, \ldots$ can be found such that \[ \begin{aligned} \eta &= c_{0} + \varrho\eta_{1}, \\ \eta_{1} &= c_{1} + \varrho\eta_{2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{r-1} &= c_{r-1} + \varrho\eta_{r}, \quad \ldots, \end{aligned} \] where the $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{r}, \ldots$ denote functions whose lower ideals can have no other prime factors than the lower ideal of $\eta$ and the upper ideal of $\varrho$, with the exclusion of $\mathfrak{p}$. Accordingly, for every positive integer $r$, \[ \eta = c_{0} + c_{1}\varrho + \cdots + c_{r-1}\varrho^{r-1} + \eta_{r}\varrho^{r}. \] If the lower ideal of $\zeta$ is divisible by $\mathfrak{p}^{s}$, not by $\mathfrak{p}^{s+1}$, then one can apply the same consideration to the function $\eta = \zeta\varrho^{s}$ and obtains \[ \zeta = c_{0}\varrho^{-s} + c_{1}\varrho^{-s+1} + \cdots + c_{r-1}\varrho^{-s+r} + \eta_{r}\varrho^{-s+r}. \] †††Editorial note: Printed $c_{r-1}\varrho^{-s+r}$; by the preceding expansion $c_{r-1}\varrho^{-s+r-1}$ is expected, an apparent misprint.

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§ 13. The rational transformations of the functions of the field $\Omega$.

If $z_{1}$ is an arbitrary, non-constant function of the field $\Omega$ (a variable in $\Omega$), then, as shown in § 2, there exists between $z_{1}$ and $z$ an irreducible algebraic equation which, freed of denominators, may be of degree $e$ with respect to $z_{1}$ and of degree $e_{1}$ with respect to $z$. As was shown in that same place, $e$ is a divisor of $n$, $n = ef$. Let this equation be \[ G(\overset{e}{z_{1}}, \overset{e_{1}}{z}) = 0. \tag{1.} \] Every rational function $\zeta$ of $z$ and $z_{1}$ can (§ 1), with the help of this equation, be brought into the two forms \[ \left\{ \begin{aligned} \zeta &= x_{0} + x_{1}z_{1} + \cdots + x_{e-1}z_{1}^{e-1}, \\ \zeta &= x_{0}^{(1)} + x_{1}^{(1)}z + \cdots + x_{e_{1}-1}^{(1)}z^{e_{1}-1} \end{aligned} \right. \tag{2.} \] and indeed in only one way such that $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{e-1}$ are rational functions of $z$, and $x_{0}^{(1)}, x_{1}^{(1)}, \ldots x_{e_{1}-1}^{(1)}$ rational functions of $z_{1}$.

Now if $\theta$ is a function such that $1, \theta, \theta^{2}, \ldots \theta^{n-1}$ form a basis${}^{*)}$ of $\Omega$ (with respect to $z$), then by § 2 the $n$ functions \[ \left\{ \begin{matrix} 1, & z_{1}, & z_{1}^{2}, & \ldots & z_{1}^{e-1}, \\ \theta, & \theta z_{1}, & \theta z_{1}^{2}, & \ldots & \theta z_{1}^{e-1}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \theta^{f-1}, & \theta^{f-1}z_{1}, & \theta^{f-1}z_{1}^{2}, & \ldots & \theta^{f-1}z_{1}^{e-1} \end{matrix} \right. \tag{3.} \] likewise form such a basis, and from this it follows by (2.) that between the $e_{1}f = n_{1}$ functions \[ \left\{ \begin{matrix} 1, & z, & z^{2}, & \ldots & z^{e_{1}-1}, \\ \theta, & \theta z, & \theta z^{2}, & \ldots & \theta z^{e_{1}-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \theta^{f-1}, & \theta^{f-1}z, & \theta^{f-1}z^{2}, & \ldots & \theta^{f-1}z^{e_{1}-1}, \end{matrix} \right. \tag{4.} \] which for brevity may be denoted by \[ \eta_{1}^{(1)}, \quad \eta_{2}^{(1)}, \quad \ldots \quad \eta_{n_{1}}^{(1)} \] an equation of the form \[ x_{1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)} = 0 \]

*) Instead of the basis $1, \theta, \ldots \theta^{n-1}$ one could also take any other basis of $\Omega$ as the foundation of this consideration. For our purpose, however, it suffices to choose just this one.

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holds only if the rational functions $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(1)}, \ldots x_{n_{1}}^{(1)}$ of $z_{1}$ all vanish. From this it follows by (2.) that every function $\eta$ in $\Omega$ can be represented, and indeed in only one single way, in the form: \[ \eta = x_{1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \] where the $x^{(1)}$ are rational functions of $z_{1}$.

Every such function $\eta$ satisfies an algebraic equation of degree $n_{1}$ whose coefficients depend rationally on $z_{1}$, for \[ \begin{aligned} \eta\eta_{1}^{(1)} &= x_{1,1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{1,2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{1,n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ \eta\eta_{2}^{(1)} &= x_{2,1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{2,n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta\eta_{n_{1}}^{(1)} &= x_{n_{1},1}^{(1)}\eta_{1}^{(1)} + x_{n_{1},2}^{(1)}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},n_{1}}^{(1)}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \end{aligned} \] and consequently \[ \begin{vmatrix} x_{1,1}^{(1)} - \eta, & x_{1,2}^{(1)}, & \ldots & x_{1,n_{1}}^{(1)} \\ x_{2,1}^{(1)}, & x_{2,2}^{(1)} - \eta, & \ldots & x_{2,n_{1}}^{(1)} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_{n_{1},1}^{(1)}, & x_{n_{1},2}^{(1)}. & \ldots & x_{n_{1},n_{1}}^{(1)} - \eta \end{vmatrix} = 0. \] ‡‡‡Editorial note: The entry $x_{n_{1},2}^{(1)}$ is printed with a period where every other entry carries a comma; probably a comma that printed incompletely.

It can now be shown that one can select a function $\eta = \theta_{1}$ such that $\theta_{1}$ does not at the same time satisfy an equation of lower degree whose coefficients depend rationally on $z_{1}$.

To prove this assertion we rely on the following theorem, whose proof results easily by inference from $m-1$ to $m$. If \[ F(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}) \] is an integral rational function of $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ whose coefficients are functions in $\Omega$ that do not all vanish, then one can put for $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$ such constant quantities, or quantities depending rationally on $z_{1}$, that $F$ passes over into a non-vanishing function in $\Omega$. If therefore $F(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m})$ is equal to zero for all such $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{m}$, it follows also, for arbitrary $dx_{1}, dx_{2}, \ldots dx_{m}$, constant or depending rationally on $z_{1}$, that \[ dF = F'(x_{1})\,dx_{1} + F'(x_{2})\,dx_{2} + \cdots + F'(x_{m})\,dx_{m} = 0. \] Now if \[ \theta_{1} = x_{1}\eta_{1}^{(1)} + x_{2}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1}}\eta_{n_{1}}^{(1)} \] and \[ \left\{ \begin{aligned} 1 &= x_{1,0}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,0}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},0}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ \theta_{1} &= x_{1,1}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,1}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},1}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \theta_{1}^{m} &= x_{1,m}\eta_{1}^{(1)} + x_{2,m}\eta_{2}^{(1)} + \cdots + x_{n_{1},m}\eta_{n_{1}}^{(1)}, \end{aligned} \right. \tag{5.} \]

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then the $x_{k,h}$ are integral rational and homogeneous functions of degree $h$ of $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n_{1}}$ and depend, besides, rationally on $z_{1}$.

If therefore \[ \varphi(\theta_{1}) = a_{m}\theta_{1}^{m} + a_{m-1}\theta_{1}^{m-1} + \cdots + a_{1}\theta_{1} + a_{0} = 0 \] is the equation of lowest degree which $\theta_{1}$ satisfies, with coefficients depending rationally on $z_{1}$, then the functions $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{m}$ satisfy the condition \[ a_{0}x_{\iota,0} + a_{1}x_{\iota,1} + \cdots + a_{m}x_{\iota,m} = 0, \qquad {\scriptstyle (\iota = 1,\, 2,\, \ldots\, n_{1})} \] and at the same time $m \leqq n_{1}$. Now since not all the determinants of $m$ rows formed from the coefficients $x_{h,k}$ can vanish, because otherwise $\theta_{1}$ would satisfy an equation of lower than the $m^{\text{th}}$ degree, it follows from the latter equations that the $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{m}$ may be assumed to be integral homogeneous functions of $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n_{1}}$.

Now if the equation $\varphi(\theta_{1}) = 0$ is to hold for all $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n_{1}}$ depending rationally on $z_{1}$, then by the above theorem also \[ d\varphi = \varphi'(\theta_{1})\,d\theta_{1} + da_{m}\theta_{1}^{m} + \cdots + da_{1}\theta_{1} + da_{0} = 0 \] must hold, and if $m < n_{1}$, the $dx_{1}, dx_{2}, \ldots dx_{n_{1}}$ can be determined, without all of them vanishing, such that \[ da_{m} : da_{m-1} : \ldots : da_{1} : da_{0} = a_{m} : a_{m-1} : \ldots : a_{1} : a_{0} \] and consequently \[ \varphi'(\theta_{1})\,d\theta_{1} = 0 \] But since $\varphi'(\theta_{1})$ is of degree $m-1$, $d\theta_{1} = 0$ must hold, hence $dx_{1} = 0$, $dx_{2} = 0, \ldots dx_{n_{1}} = 0$. Therefore only $m = n_{1}$ is possible.

If therefore $\theta_{1}$ is so determined that the equation of lowest degree \[ F_{1}(\overset{n_{1}}{\theta_{1}}, z_{1}) = 0 \] actually reaches the degree $n_{1}$, then all functions in $\Omega$ can be represented, and indeed in only one way, in the form \[ \eta = x_{0}^{(1)} + x_{1}^{(1)}\theta_{1} + \cdots + x_{n_{1}-1}^{(1)}\theta_{1}^{n_{1}-1}, \] where the coefficients $x_{0}^{(1)}, x_{1}^{(1)}, \ldots x_{n_{1}-1}^{(1)}$ depend rationally on $z_{1}$; for under this assumption one can represent $\eta_{1}^{(1)}, \eta_{2}^{(1)}, \ldots \eta_{n_{1}}^{(1)}$ in the stated way by means of the equations (5.).

Thus $z_{1}$, $\theta_{1}$ can be represented rationally by $z$, $\theta$, and conversely $z$, $\theta$ rationally by $z_{1}$, $\theta_{1}$.

The variable $z$, which we have so far designated as the independent one, can therefore be any (non-constant) function of the field $\Omega$ whatever.

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But while the totality of all functions of the field $\Omega$ remains entirely unchanged, the notions basis, norm, trace, discriminant, integral function, module, ideal are essentially dependent on the choice of the independent variable $z$.

Only in the special case when two variables $z$, $z_{1}$ depend linearly on one another is a basis of $\Omega$ with respect to $z$ at the same time one with respect to $z_{1}$; likewise norms, traces and discriminants are in this case identical for $z$ and $z_{1}$.

If $\alpha$, $\beta$ are any two functions in $\Omega$, then there exist between them equations whose left-hand side is an integral rational function of $\alpha$ and $\beta$.

Among these there is one (by § 1) \[ F(\alpha, \beta) = 0, \] which is of the lowest possible degree both with respect to $\alpha$ and with respect to $\beta$, and this shall be called the irreducible equation existing between $\alpha$ and $\beta$. It is, apart from a constant factor, completely determined.

Part II.

§ 14. The points of the Riemann surface.

The considerations so far on the functions of the field $\Omega$ were of a purely formal nature. All the results were rational consequences, i.e. consequences derived according to the rules of literal calculation by means of the four species, of the irreducible equation existing between two functions in $\Omega$. The numerical values of these functions nowhere came into consideration. One could even, without applying other principles, carry the formal treatment considerably further by regarding two functions of the field $\Omega$ not as connected by an equation but as independent variables, whereupon everything comes down to the algebraic divisibility of rational functions of two variables. We have also carried out this way, which however is very cumbersome in exposition and mode of expression, and as regards rigour

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accomplishes nothing more than the course used in the foregoing. But now that the formal part of the investigation has been carried so far, the question forces itself upon us to what extent it is possible to assign to the functions in $\Omega$ such determinate numerical values that all the rational relations (identities) existing between these functions pass over into correct numerical equations. In this investigation it proves expedient to regard the infinitely great too as one determinate number $\infty$ (constant), with which one calculates according to determinate rules${}^{*)}$. The calculations carried out by means of the rational operations in the number domain thus extended always lead to a completely determinate numerical result, unless in the course of the calculation one of the signs $\infty \pm \infty$, $0.\infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ occurs, signs to which no determinate value belongs. The occurrence of such an indeterminacy in an equation is not to be regarded as a contradiction, since in this case the equation no longer contains any determinate assertion at all, and so there can be no question of its truth or falsity either. Among the functions of the field $\Omega$ there are, besides infinitely many variables, also all the constants, i.e. numbers. Accordingly the requirement posed above leads to the following notion.

1. Definition. If all the individuals $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ of the field $\Omega$ are replaced by determinate numerical values $\alpha_{0}, \beta_{0}, \gamma_{0}, \ldots$ in such a way that \[ \begin{aligned} &(\text{I.}) \quad \alpha_{0} = \alpha, \quad \text{if } \alpha \text{ is constant, and in general} \\ &(\text{II.}) \quad (\alpha + \beta)_{0} = \alpha_{0} + \beta_{0}, \qquad (\text{IV.}) \quad (\alpha\beta)_{0} = \alpha_{0}\beta_{0}, \\ &(\text{III.}) \quad (\alpha - \beta)_{0} = \alpha_{0} - \beta_{0}, \qquad (\text{V.}) \quad \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_{0} = \frac{\alpha_{0}}{\beta_{0}} \end{aligned} \] then to such a concurrence of determinate values a point $\mathfrak{P}$ shall be assigned (which, to make it perceptible, one may imagine as situated somewhere in space${}^{**)}$), and we say that at $\mathfrak{P}$ $\alpha = \alpha_{0}$, or that $\alpha$ has the value $\alpha_{0}$ at $\mathfrak{P}$. Two points are called different always and only

*) To regard the infinite as a determinate value is in many ways customary and useful in the theory of functions. With Riemann this is expressed, e.g. in his regarding his surfaces representing the algebraic functions as closed.

**) A geometric illustration of the “point” is, moreover, by no means necessary, and does not even contribute much to an easier comprehension. It suffices to regard the word “point” as a short and convenient expression for the co-existence of values described.

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when there exists a function $\alpha$ in $\Omega$ which has different values at the two points.

From this definition of the point, its existence as well as the extent of the notion is now to be deduced. But first it must be emphasized that by this definition the “point” is an invariant notion belonging to the field $\Omega$, which in no way depends on the choice of the independent variable by which one represents the functions of the field.

2. Theorem. If a point $\mathfrak{P}$ is given, and $z$ is a variable in $\Omega$ that is finite at $\mathfrak{P}$ (such a one exists for every point; for if $z_{0} = \infty$, then $\left(\frac{1}{z}\right)_{0} = 0$, hence finite), then every integral function $\omega$ of $z$ too has a finite value $\omega_{0}$ at $\mathfrak{P}$ — for between $\omega$ and $z$ there exists a relation of the form \[ 1 = a\frac{1}{\omega} + b\frac{1}{\omega^{2}} + \cdots + k\frac{1}{\omega^{m}}, \] where $a, b, \ldots k$, as integral rational functions of $z$, have finite values at $\mathfrak{P}$ by (II.), (III.), (IV.). Consequently $\left(\frac{1}{\omega}\right)_{0}$ cannot be equal to 0, hence $\omega_{0}$ cannot be equal to $\infty$.

3. Theorem. If $z$ is any variable finite at $\mathfrak{P}$, then the totality $\mathfrak{p}$ of all those integral functions $\pi$ of $z$ which vanish at $\mathfrak{P}$ is a prime ideal in $z$; we say that the point $\mathfrak{P}$ generates this prime ideal $\mathfrak{p}$. If $\omega$ is an integral function of $z$ which has the value $\omega_{0}$ at $\mathfrak{P}$, then $\omega \equiv \omega_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$.

Proof. If $\pi'_{0} = 0$, $\pi''_{0} = 0$, then also $(\pi' + \pi'')_{0} = \pi'_{0} + \pi''_{0} = 0$, and if $\omega$ is an arbitrary integral function of $z$, hence $\omega_{0}$ finite, then from $\pi_{0} = 0$ also $(\omega\pi)_{0} = \omega_{0}\pi_{0} = 0$ follows; hence $\mathfrak{p}$ is an ideal in $z$ (§ 7, I., II.). The ideal $\mathfrak{p}$ is different from $\mathfrak{o}$, since it does not contain the function “1”.

If $\omega$ has the value $\omega_{0}$ at $\mathfrak{P}$, then $(\omega - \omega_{0})_{0} = 0$, consequently $\omega \equiv \omega_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$, hence every integral function of $z$ is congruent to a constant with respect to the modulus $\mathfrak{p}$. Therefore (§ 9, 7.) $\mathfrak{p}$ is a prime ideal.

4. Theorem. The same prime ideal $\mathfrak{p}$ cannot be generated by two different points.

For first, the value of every integral function $\omega$ at a point $\mathfrak{P}$ generating the ideal $\mathfrak{p}$ is completely determined by the congruence $\omega \equiv \omega_{0} \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$. But if $\eta$ is an arbitrary function in $\Omega$, then

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by § 12, 1. two integral functions $\alpha$, $\beta$, not both divisible by $\mathfrak{p}$, can be determined such that \[ \eta = \frac{\alpha}{\beta} \] Now since the finite values $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$ do not both vanish, it follows from (V.) \[ \eta_{0} = \frac{\alpha_{0}}{\beta_{0}}, \] which is therefore likewise completely determined by $\mathfrak{p}$.

It further follows from this that two points at which a variable $z$ has finite values are different from one another if and only if there exists an integral function of $z$ which has different values at the two.

5. Theorem. If $z$ is any variable in $\Omega$ and $\mathfrak{p}$ a prime ideal in $z$, there is one (and by 4. also only one) point $\mathfrak{P}$ which generates this prime ideal, and which shall be called the zero point of the ideal $\mathfrak{p}$.

Proof. Let $\eta$ be an arbitrary function in $\Omega$, and $\varrho$ one whose upper ideal is divisible by $\mathfrak{p}$ but not by $\mathfrak{p}^{2}$. Then by § 12, 6. an integer $m$, a finite constant $c$ different from zero, and a function $\eta_{1}$ whose lower ideal is not divisible by $\mathfrak{p}$ can always be determined, and in only one way, such that \[ \eta = c\varrho^{m} + \eta_{1}\varrho^{m+1}. \] We set \[ \eta_{0} = 0, \quad c, \quad \infty, \] according as $m$ is positive, zero or negative. To this determination of the values of the functions of the field $\Omega$ there corresponds a point $\mathfrak{P}$, since the conditions (I.) to (V.), as one sees at once, are fulfilled${}^{*)}$.

*) If $\eta' = c'\varrho^{m'} + \eta'_{1}\varrho^{m'+1}$, then e.g. \[ \frac{\eta}{\eta'} = \varrho^{m-m'}\left(\frac{c}{c'} + \varrho\eta''_{1}\right), \] where \[ \eta''_{1} = \frac{c'\eta_{1} - c\eta'_{1}}{c'(c' + \varrho\eta'_{1})} \] is a function of the same nature as $\eta_{1}$ (the proof is still simpler in the remaining cases).

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Every function whose upper ideal is divisible by $\mathfrak{p}$, hence in particular every function in $\mathfrak{p}$, receives by this stipulation the value zero at $\mathfrak{P}$, i.e. the point $\mathfrak{P}$ so determined generates the prime ideal $\mathfrak{p}$.

Every function whose lower ideal is divisible by $\mathfrak{p}$, and only such a one, has the value $\infty$ at $\mathfrak{P}$, and from this it emerges that an integral function of $z$ is infinite at no point at which $z$ has a finite value; and since a fractional function of $z$ certainly contains a prime ideal in its lower ideal, and hence must be infinite at at least one point at which $z$ is finite, conversely every function which is infinite at no point at which $z$ has a finite value is an integral function of $z$.

6. From 3., 4., 5. there now results the following. In order to obtain all existing points $\mathfrak{P}$, and each only a single time, take an arbitrary variable $z$ of the field $\Omega$; form all the prime ideals $\mathfrak{p}$ in $z$ and construct the zero point for each of them; then all those points $\mathfrak{P}$ have been found at which $z$ remains finite; if $\mathfrak{P}'$ is a point different from these, then at it $z' = \frac{1}{z}$ has the finite value zero; conversely every point $\mathfrak{P}'$ at which $z'$ has the value zero is different from the points $\mathfrak{P}$. The prime ideal $\mathfrak{p}'$ in $z'$ generated by such a point $\mathfrak{P}'$ (which consists of all integral functions of $z'$ vanishing at $\mathfrak{P}'$) goes into $z'$, and conversely the zero point of every prime ideal $\mathfrak{p}'$ in $z'$ going into $z'$ is a point $\mathfrak{P}'$ at which $z' = 0$, hence $z = \infty$. With these supplementary points, finite in number and corresponding to the different $\mathfrak{p}'$, and those derived before from the prime ideals $\mathfrak{p}$ in $z$, the totality of all points $\mathfrak{P}$ is exhausted, whose aggregate forms the Riemann surface $T$.

§ 15. The order numbers.

1. Definition. If $\mathfrak{P}$ is a determinate point, we consider all the functions $\pi$ in $\Omega$ vanishing at $\mathfrak{P}$, and assign to each of them a determinate order number according to the following point of view.

Such a function $\varrho$ has the order number 1, or is called infinitely small of the first order, or $0^{1}$ at $\mathfrak{P}$, if all the quotients $\frac{\pi}{\varrho}$ remain finite at $\mathfrak{P}$. If $\varrho'$ is a function of the same kind as $\varrho$, then $\frac{\varrho'}{\varrho}$ is at $\mathfrak{P}$

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neither 0 nor $\infty$, and conversely, if $\frac{\varrho'}{\varrho}$ is neither 0 nor $\infty$ at $\mathfrak{P}$, then $\varrho'$ is likewise infinitely small of the first order. If further for some function $\pi$ there is a positive integral exponent $r$ such that $\frac{\pi}{\varrho^{r}}$ becomes neither 0 nor $\infty$ at $\mathfrak{P}$, then the same holds of $\frac{\pi}{\varrho^{\prime r}}$, and $\pi$ receives the order number $r$, or is called infinitely small of the order $r$ at the point $\mathfrak{P}$. We shall also say that $\pi$ is $0^{r}$ at $\mathfrak{P}$, or $\pi$ is 0 at $\mathfrak{P}^{r}$.

To decide the question of the existence of such functions $\varrho$ and such order numbers $r$, take an arbitrary variable $z$ finite at $\mathfrak{P}$, denote by $\mathfrak{p}$ the prime ideal in $z$ generated by $\mathfrak{P}$, and represent every function $\pi$ (with the exception of the orderless constant 0) according to § 12 as the quotient of two relatively prime ideals in $z$. The upper ideal of each of these functions is then divisible by $\mathfrak{p}$, and among them there are also such whose upper ideal is not divisible by $\mathfrak{p}^{2}$; these have the order number 1; for the remaining functions $\pi$ the order number is the exponent of the highest power of $\mathfrak{p}$ going into the upper ideal, as follows directly from the theorems of § 12.

2. If a function $\eta$ has the finite value $\eta_{0}$ at $\mathfrak{P}$, we say that $\eta$ has this value $r$ times at $\mathfrak{P}$, or at $r$ points coinciding with $\mathfrak{P}$, or at $\mathfrak{P}^{r}$, if the function $\eta - \eta_{0}$ is infinitely small of the order $r$ at $\mathfrak{P}$. But if $\eta_{0} = \infty$, we say that $\eta$ has the value $\infty$ $r$ times at $\mathfrak{P}$, or at $r$ points coinciding with $\mathfrak{P}$, or that $\eta$ is $\infty^{r}$ at $\mathfrak{P}$ or $\infty$ at $\mathfrak{P}^{r}$, if $\frac{1}{\eta}$ vanishes at $\mathfrak{P}^{r}$.

3. If a function $\eta$ becomes $\infty^{r}$ at $\mathfrak{P}$, we also attribute to it the order number $-r$; but if $\eta$ becomes neither 0 nor $\infty$ at $\mathfrak{P}$, let it have the order number 0. Accordingly, at an arbitrary point $\mathfrak{P}$, a completely determinate order number belongs to every function of the field $\Omega$, with the exception of the two constants 0 and $\infty$.

4. If $\varrho$ is a function which possesses the order number 1 at an arbitrary point $\mathfrak{P}$, and $\eta$ a function with the (positive, negative or vanishing) order number $m$, then by the concluding theorem of § 12, for every arbitrary positive $r$, a series of constants $c_{0}, c_{1}, \ldots c_{r-1}$, of which the first does not vanish, and a function $\sigma$ finite at $\mathfrak{P}$ can be determined such that \[ \eta = c_{0}\varrho^{m} + c_{1}\varrho^{m+1} + \cdots + c_{r-1}\varrho^{m+r-1} + \sigma\varrho^{m+r} \]

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5. From this it follows immediately that the order number of a product of two or more functions is equal to the sum of the order numbers of the individual factors.

The order number of a quotient of two functions is equal to the difference of the order numbers of the numerator and denominator.

If $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s}$ is a series of functions and $m$ the algebraically smallest among their order numbers, then \[ \begin{aligned} \eta_{1} &= e_{1}\varrho^{m} + \sigma_{1}\varrho^{m+1}, \\ \eta_{2} &= e_{2}\varrho^{m} + \sigma_{2}\varrho^{m+1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{s} &= e_{s}\varrho^{m} + \sigma_{s}\varrho^{m+1}, \end{aligned} \] where the constants $e_{1}, e_{2}, \ldots e_{s}$ in any case do not all vanish. If therefore $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ are constants, the order number of \[ \eta = c_{1}\eta_{1} + c_{2}\eta_{2} + \cdots + c_{s}\eta_{s}, \] if $c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + \cdots + c_{s}e_{s}$ is different from zero, is likewise $m$, otherwise greater than $m$.

6. Complexes of points, which may also contain the same point several times, we call polygons and denote them by $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{C}, \ldots$

Further let $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ denote the polygon composed of the points of $\mathfrak{A}$ and of $\mathfrak{B}$, in such a way that, if a point $\mathfrak{P}$ occurs $r$ times in $\mathfrak{A}$ and $s$ times in $\mathfrak{B}$, it occurs $(r+s)$ times in $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$. From this follows the meaning of $\mathfrak{P}^{r}$ and of $\mathfrak{A} = \mathfrak{P}^{r}\mathfrak{P}_{1}^{r_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{r_{2}}\ldots$, and the laws of divisibility of polygons, in complete agreement with those of the divisibility of the integers and of ideals. The role of the prime factors is here taken over by the points; but in order to obtain the unit as well, one must admit the polygon $\mathfrak{O}$ containing no point at all (the zero-gon).

The number of points of a polygon is called its order. A polygon of the order $n$ is also called briefly an $n$-gon.

The greatest common divisor of two polygons $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ is that polygon which contains every point $\mathfrak{P}$ as often as it occurs at least in $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$. If this is $\mathfrak{O}$, $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ are called relatively prime.

The least common multiple of $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ is that polygon which contains every point as often as it occurs at most in $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$.

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If $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ are relatively prime, then $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ is their least common multiple.

If $\mathfrak{A} = \mathfrak{P}^{r}\mathfrak{P}_{1}^{r_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{r_{2}}\ldots$ is an arbitrary polygon, there are always functions $z$ in $\Omega$ which are infinite at none of the points $\mathfrak{A}$. For if $z$ is infinite at some points of $\mathfrak{A}$, one can choose a constant $c$ such that $z-c$ has the value 0 at none of the points of $\mathfrak{A}$, and then $\frac{1}{z-c}$ is finite at all points of the polygon $\mathfrak{A}$. If one takes such a variable $z$ as the foundation, then the totality of all those integral functions of $z$ which vanish at the points of the polygon $\mathfrak{A}$ (each counted according to its multiplicity) is an ideal $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}^{r}\mathfrak{p}_{1}^{r_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{r_{2}}\ldots$, and one can say that the polygon $\mathfrak{A}$ generates the ideal $\mathfrak{a}$, or that $\mathfrak{A}$ is the zero polygon of the ideal $\mathfrak{a}$. The notion of ideal accordingly coincides completely with the notion of a system of integral functions all of which vanish at the same fixed points. The ideal $\mathfrak{o}$ is generated by the zero-gon $\mathfrak{O}$.

The product of two or more ideals is generated by the product of the zero polygons of the factors, and the greatest common divisor and least common multiple of two ideals by the greatest common divisor and the least common multiple of the corresponding zero polygons.

7. Theorem. If $z$ is any variable in $\Omega$ and $n$ the degree of the field $\Omega$ with respect to $z$, then $z$ takes every determinate value $c$ at exactly $n$ points. — For if $\mathfrak{o}$ denotes the system of all integral functions of $z$ and $c$ a finite constant, then \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots, \quad e_{1} + e_{2} + \cdots = n \quad (\text{§~9, 7.}), \] if $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ denote mutually different prime ideals in $z$. If one denotes by $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots$ the zero points of $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$, then by 2. $z$ has the value $c$ at $e_{1}$ points $\mathfrak{P}_{1}$ (or at $\mathfrak{P}_{1}^{e_{1}}$), at $e_{2}$ points $\mathfrak{P}_{2}$ (or at $\mathfrak{P}_{2}^{e_{2}}$), and so on, hence at the $n$ points of the polygon $\mathfrak{P}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{e_{2}}\ldots$ Conversely: if $\mathfrak{P}$ is a point at which $z$ has the value $c$, and $\mathfrak{p}$ the prime ideal in $z$ generated by $\mathfrak{P}$, then $z \equiv c \ (\text{mod.}\,\mathfrak{p})$, and consequently $\mathfrak{p}$ is one of the ideals $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$, and hence $\mathfrak{P}$ one of the points $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\ldots$ But the same result also holds for $c = \infty$; for because $n$ is also the degree of $\Omega$ with respect to $\frac{1}{z}$, the latter variable takes the value 0, and consequently $z$ the value $\infty$, at exactly $n$ points. From § 11 it follows that only for a finite number

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of values of the constant $c$ can one of the exponents $e_{1}, e_{2}, \ldots$ be greater than 1.

The number $n$, i.e. the number of points at which the function $z$ has any one constant value, shall be called the order of the function $z$. The constants, and only these, have the order zero. For all other functions in $\Omega$ the order is a positive integer. The order of a variable $z$ is at the same time the degree of the field $\Omega$ with respect to $z$.

§ 16. Conjugate points and conjugate values.

1. Definition. If $c$ is a determinate numerical value, there corresponds to it, as shown in § 15, a polygon $\mathfrak{A}$ of $n$ (equal or different) points $\mathfrak{P}', \mathfrak{P}'', \ldots \mathfrak{P}^{(n)}$, at which the variable $z$ of the $n^{\text{th}}$ order has just this value; these $n$ points shall be called conjugate with respect to $z$; by one of them (and by the variable $z$) the rest are determined. If one lets $c$ take all values in succession, the polygon $\mathfrak{A} = \mathfrak{P}'\mathfrak{P}''\ldots\mathfrak{P}^{(n)}$ moves, and indeed in such a way that all its points always change. One thus obtains all points that exist at all, and only those (finite in number) several times at which $z - z_{0}$ or $\frac{1}{z}$ vanishes in higher than the first order. Therefore the product of all these polygons is \[ \Pi\mathfrak{A} = T\mathfrak{Z}_{z}, \] where $T$ is the simple totality of all points, the Riemann surface, and $\mathfrak{Z}_{z}$ a determinate finite polygon, which is called the ramification or winding polygon of $T$ in $z$. Every point $\mathfrak{Q}$ contained in $\mathfrak{Z}_{z}$ is called a ramification or winding point of $T$ in $z$, and indeed of the order $s$ if it occurs exactly $s$ times in $\mathfrak{Z}_{z}$. We have $s = e-1$ if $z - z_{0}$ or $\frac{1}{z}$ is infinitely small of the $e^{\text{th}}$ order at $\mathfrak{Q}$. The order of the polygon $\mathfrak{Z}_{z}$ is called the ramification or winding number $\mathrm{w}_{z}$ of the surface $T$ with respect to $z$. Those points of the ramification polygon at which $z$ has a finite value together generate the ramification ideal in $z$ (§ 11).

If one wishes to pass from this definition of the “absolute” Riemann surface, which is an invariant notion belonging to the field $\Omega$, to the familiar conception of Riemann, one has to think of the surface

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as spread out over a $z$-plane, which it then covers $n$-fold everywhere with the exception of the branch points.

2. Theorem. If \[ z' = \frac{c+dz}{a+bz}, \] where $a, b, c, d$ denote constants whose determinant $ad-bc$ is different from zero, then \[ \mathfrak{Z}_{z} = \mathfrak{Z}_{z'}; \quad \mathrm{w}_{z} = \mathrm{w}_{z'}. \] For if at a point $\mathfrak{P}$ $z - z_{0}$ or $\frac{1}{z}$ is infinitely small of the $e^{\text{th}}$ order, then at the same point \[ z' - z'_{0} = \frac{(ad-bc)(z-z_{0})}{(a+bz)(a+bz_{0})}, \] or, if $z_{0}$ is infinite: \[ z' - z'_{0} = \frac{-(ad-bc)}{b(a+bz)}, \] or, if $z'_{0} = \infty$, hence $a+bz_{0} = 0$: \[ \frac{1}{z'} = \frac{a+bz}{c+dz} \] is also infinitely small of the $e^{\text{th}}$ order.

If in particular $z' = \frac{1}{z}$, then the ramification number $\mathrm{w}_{z} = \mathrm{w}_{z'}$ is equal to the degree of the discriminant $\Delta_{z}(\Omega)$ increased by the number of vanishing roots of $\Delta_{z'}(\Omega) = 0$ (§ 11).

3. Definition. The values $\eta', \eta'', \ldots \eta^{(n)}$ which an arbitrary function $\eta$ in $\Omega$ takes at $n$ points $\mathfrak{P}', \mathfrak{P}'', \ldots \mathfrak{P}^{(n)}$ conjugate with respect to $z$ are called conjugate values of $\eta$ with respect to $z$.

4. Theorem. If $N_{z}(\eta)$ is the norm of an arbitrary function $\eta$ with respect to $z$, then the value which this rational function of $z$ possesses for $z = z_{0}$ is equal to the product $\eta'\eta''\ldots\eta^{(n)}$ of the conjugate values of $\eta$ belonging to $z = z_{0}$, the case in which this product becomes indeterminate, i.e. in which one of these conjugate values is 0 and another $\infty$, being disregarded. In the proof of this theorem we may assume that $z_{0}$ is finite; for if $z_{0} = \infty$, we take as foundation, instead of $z$, the variable $z' = \frac{1}{z}$, whereby the norm remains unchanged. Further we may assume that the values $\eta', \eta'', \ldots \eta^{(n)}$ are all finite; for if one of them is infinite, then by hyp. none of them is equal to 0, and we consider instead of $\eta$ the function $\frac{1}{\eta}$.

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Now under these assumptions let \[ \mathfrak{o}(z-z_{0}) = \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}\ldots \] and let $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots$ be the zero points of the mutually different prime ideals $\mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \mathfrak{p}_{3}, \ldots$ We construct a system of integral functions $\lambda, \mu$ of $z$ by the following rule: Let \[ \begin{matrix} \lambda_{1} & \text{divisible} & \text{by} & \mathfrak{p}_{1}, & \text{not} & \text{by} & \mathfrak{p}_{1}^{2}; \\ \lambda_{2} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{2}, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{2}^{2}; \\ \lambda_{3} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{3}, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{3}^{2}; \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \] \[ \begin{matrix} \mu_{1} & \text{divisible} & \text{by} & \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}, \ldots, & \text{not} & \text{by} & \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}+1}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}+1}, \ldots; \\ \mu_{2} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}}, \ldots, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{2}, \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}+1}, \mathfrak{p}_{3}^{e_{3}+1}, \ldots; \\ \mu_{3} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}, \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}, \ldots, & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{p}_{3}, \mathfrak{p}_{1}^{e_{1}+1}, \mathfrak{p}_{2}^{e_{2}+1}, \ldots{}^{*)}. \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \] The $n$ functions \[ \begin{matrix} \mu_{1}, & \mu_{1}\lambda_{1}, & \mu_{1}\lambda_{1}^{2}, & \ldots & \mu_{1}\lambda_{1}^{e_{1}-1}, \\ \mu_{2}, & \mu_{2}\lambda_{2}, & \mu_{2}\lambda_{2}^{2}, & \ldots & \mu_{2}\lambda_{2}^{e_{2}-1}, \\ \mu_{3}, & \mu_{3}\lambda_{3}, & \mu_{3}\lambda_{3}^{2}, & \ldots & \mu_{3}\lambda_{3}^{e_{3}-1}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \] which we denote by $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$, then form a basis of $\Omega$; this assertion is contained in the more general one now to be proved.

If \[ (z-z_{0})\zeta = x_{1}\eta_{1} + x_{2}\eta_{2} + \cdots + x_{n}\eta_{n} \] with integral rational coefficients $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, and $\zeta$ has finite values $\zeta', \zeta'', \zeta''', \ldots$ at the points $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots$, then all the coefficients $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ must be divisible by $z-z_{0}$. Indeed, e.g. at the point $\mathfrak{P}_{1}$ the left-hand side is infinitely small of at least the order $e_{1}$. Hence by § 15, 5. also \[ x_{1}\eta_{1} + x_{2}\eta_{2} + \cdots + x_{e_{1}}\eta_{e_{1}} = \mu_{1}(x_{1} + x_{2}\lambda_{1} + \cdots + x_{e_{1}}\lambda_{1}^{e_{1}-1}) \] must be infinitely small of this order. But this is possible only if $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{e_{1}}$ vanish at $\mathfrak{P}_{1}$, hence are divisible by $z-z_{0}$, q. e. d.

*) The possibility of determining such functions follows from § 9, 3., note, or also from § 11, 2., according to which one can set, e.g., \[ \lambda = \varrho - b, \quad \mu\lambda^{e} = \psi(\varrho). \]

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Accordingly we can set: \[ \begin{aligned} \eta\mu_{1}\lambda_{1}^{r} &= \mu_{1}(x_{1}^{(0)} + x_{1}^{(1)}\lambda_{1} + \cdots + x_{1}^{(e_{1}-1)}\lambda_{1}^{e_{1}-1}) \\ &\quad + \mu_{2}(x_{2}^{(0)} + x_{2}^{(1)}\lambda_{2} + \cdots + x_{2}^{(e_{2}-1)}\lambda_{2}^{e_{2}-1}) \\ &\quad + \mu_{3}(x_{3}^{(0)} + x_{3}^{(1)}\lambda_{3} + \cdots + x_{3}^{(e_{3}-1)}\lambda_{3}^{e_{3}-1}) + \cdots, \end{aligned} \] where the $x_{1}^{(0)}, x_{1}^{(1)}, \ldots x_{2}^{(0)}, \ldots$ are rational functions of $z$ which all remain finite for $z = z_{0}$. At the points $\mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots$ the left-hand side is infinitely small of at least the order $e_{2}, e_{3}, \ldots$ The same holds at $\mathfrak{P}_{2}$ of $\mu_{1}, \mu_{3}, \ldots$ but not of $\mu_{2}$, and at $\mathfrak{P}_{3}$ of $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots$ but not of $\mu_{3}, \ldots$; consequently for $z = z_{0}$ \[ \begin{gathered} x_{2}^{(0)} = 0, \quad x_{2}^{(1)} = 0, \quad \ldots \quad x_{2}^{(e_{2}-1)} = 0, \\ x_{3}^{(0)} = 0, \quad x_{3}^{(1)} = 0, \quad \ldots \quad x_{3}^{(e_{3}-1)} = 0, \\ \cdots\cdots\cdots\cdots \end{gathered} \] At $\mathfrak{P}_{1}$ the left-hand side is infinitely small of at least the order $r$; therefore, if $r < e_{1}$, for $z = z_{0}$ \[ x_{1}^{(0)} = 0, \quad x_{1}^{(1)} = 0, \quad \ldots \quad x_{1}^{(r-1)} = 0, \quad x_{1}^{(r)} = \eta'. \] The same consideration can be applied to the functions $\eta\mu_{2}\lambda_{2}^{r}, \eta\mu_{3}\lambda_{3}^{r}, \ldots$. If therefore one sets \[ \begin{aligned} \eta\eta_{1} &= x_{1,1}\eta_{1} + x_{1,2}\eta_{2} + \cdots + x_{1,n}\eta_{n}, \\ \eta\eta_{2} &= x_{2,1}\eta_{1} + x_{2,2}\eta_{2} + \cdots + x_{2,n}\eta_{n}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta\eta_{n} &= x_{n,1}\eta_{1} + x_{n,2}\eta_{2} + \cdots + x_{n,n}\eta_{n}, \end{aligned} \] then in the determinant \[ N(\eta) = \Sigma \pm x_{1,1}x_{2,2}\ldots x_{n,n} \] all the terms standing to the left of the diagonal will vanish for $z = z_{0}$, while of the diagonal terms $e_{1}$ become equal to $\eta'$, $e_{2}$ equal to $\eta''$, $e_{3}$ equal to $\eta'''$, $\ldots$. Hence for $z = z_{0}$ \[ N(\eta) = \eta^{\prime e_{1}}\eta^{\prime\prime e_{2}}\eta^{\prime\prime\prime e_{3}}\ldots \] q. e. d.

5. Since by the definition of the trace (§ 2) \[ S(\eta) = x_{1,1} + x_{2,2} + \cdots + x_{n,n} \] the same considerations lead to the theorem:

For $z = z_{0}$ \[ S(\eta) = e_{1}\eta' + e_{2}\eta'' + e_{3}\eta''' + \cdots, \]

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which however holds only under the assumption that the values $\eta', \eta'', \eta''', \ldots$ are finite.

Theorem 4. yields, for an arbitrary constant $t$ (or one depending rationally on $z$), for $z = z_{0}$ \[ N(t-\eta) = (t-\eta')^{e_{1}}(t-\eta'')^{e_{2}}(t-\eta''')^{e_{3}}\ldots, \] and from this, by comparison of the coefficients of equal powers of $t$, an expression for each of these coefficients by the conjugate values (symmetric functions).

6. If $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}$ is a basis of $\Omega$, then by application of 5. there results at once the value of the discriminant of this system for $z = z_{0}$ \[ \Delta_{z}(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{n}) = (\Sigma \pm \eta'_{1}\eta''_{2}\ldots\eta_{n}^{(n)})^{2}, \] if $\eta'_{\iota}, \eta''_{\iota}, \ldots \eta_{\iota}^{(n)}$ denote all the conjugate values of $\eta_{\iota}$ belonging to $z = z_{0}$, equal or different, but assumed to be finite.

§ 17. Representation of the functions of the field $\Omega$ by quotients of polygons.

A function $\eta$ of the field $\Omega$ has an order number different from zero at only a finite number of points; the sum of all the order numbers is equal to 0, hence the sum of the positive equal to the sum of the negative order numbers, and indeed equal to the order of the function $\eta$ (§ 15). If the order numbers of a function $\eta$ are known for every point $\mathfrak{P}$, then the function $\eta$ is thereby determined up to a constant factor; for if $\eta'$ has everywhere the same order number as $\eta$, then $\frac{\eta}{\eta'}$ has (by § 15, 5.) everywhere the order number zero and is therefore (by § 15, 7.) a constant.

If therefore we form a polygon $\mathfrak{A}$, into which we take every point at which $\eta$ has a positive order number as often as this order number indicates, and a second polygon $\mathfrak{B}$, into which we take in a corresponding way the points at which $\eta$ has a negative order number, then the polygons $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ are of equal order, and indeed of the order of the function $\eta$. By these polygons $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ the function $\eta$ is therefore determined up to a constant factor. We set in symbolic notation

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\[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \] and call $\mathfrak{A}$ the upper polygon, $\mathfrak{B}$ the lower polygon of the function $\eta{}^{*)}$.

By this stipulation the two polygons $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ are relatively prime; but it is expedient to extend the notation so that common factors are also admitted in $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$, which is done by the stipulation that \[ \frac{\mathfrak{M}\mathfrak{A}}{\mathfrak{M}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}} \] shall hold, if $\mathfrak{M}$ denotes an arbitrary polygon. If according to this generalized notation we set \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \] then a point $\mathfrak{P}$ at which $\eta$ possesses the order number $m$ can be taken $m_{1}$ times into $\mathfrak{A}$ and $m_{2}$ times into $\mathfrak{B}$, if $m_{1} - m_{2} = m$. Even now the order of $\mathfrak{A}$ is equal to that of $\mathfrak{B}$, but no longer equal to the order of the function $\eta$.

From this definition there follows immediately (by § 15, 5.) the theorem: If \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \quad \eta' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}'}, \] then \[ \eta\eta' = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}\mathfrak{B}'}, \quad \frac{\eta}{\eta'} = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{B}'}{\mathfrak{B}\mathfrak{A}'}. \] By § 14, 5. a function $\eta'$ is an integral function of $\eta$ if and only if every point going into the lower polygon of $\eta'$ is also contained in that of $\eta$.

§ 18. Equivalent polygons and polygon classes.

1. Definition. Two polygons $\mathfrak{A}, \mathfrak{A}'$ with the same number of points are called equivalent, if there exists a function $\eta$ in $\Omega$ which (by § 17) has the notation:

*) All functions of the simple family $(\eta)$ accordingly have the same notation $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$, and it would therefore be more correct to set $(\eta) = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$; however, this notation leads to unnecessary prolixity.

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\[ \eta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{A}'}. \]

2. Theorem. If $\mathfrak{A}$ is equivalent to $\mathfrak{A}'$ and to $\mathfrak{A}''$, then $\mathfrak{A}'$ is also equivalent to $\mathfrak{A}''$; for from \[ \eta' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}}; \quad \eta'' = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}} \] it follows: \[ \frac{\eta'}{\eta''} = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}''}. \]

3. Definition and theorem. All the polygons $\mathfrak{A}', \mathfrak{A}'', \ldots$ equivalent to a given polygon $\mathfrak{A}$ form a polygon class $A$. By 2. every polygon whatever then occurs in one and only one class; for if $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$ are two equivalent polygons which lead to the classes $A, B$, then by 2. every polygon of the class $B$ is at the same time contained in $A$ and conversely, and therefore the two classes are identical.

All the polygons of a class have the same order, which shall be called the order of the class.

4. But there may exist polygons which are equivalent to no other, and each of which therefore forms a class by itself. Such polygons may be called isolated.

5. If $\mathfrak{M}$ is an arbitrary polygon, and $\mathfrak{A}$ equivalent to $\mathfrak{A}'$, then $\mathfrak{M}\mathfrak{A}$ is also equivalent to $\mathfrak{M}\mathfrak{A}'$; but conversely too, from the equivalence of $\mathfrak{M}\mathfrak{A}$ with $\mathfrak{M}\mathfrak{A}'$ follows the equivalence of $\mathfrak{A}$ with $\mathfrak{A}'$.

6. If $\mathfrak{A}$ is equivalent to $\mathfrak{A}'$, and $\mathfrak{B}$ to $\mathfrak{B}'$, then $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ is also equivalent to $\mathfrak{A}'\mathfrak{B}'$. The class $C$ to which the product $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ belongs therefore comprises all the products of any two polygons of the classes $A, B$ of $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ (but besides, in certain circumstances, infinitely many other polygons as well), and shall be designated as the product of the two classes $A, B$: \[ C = AB = BA. \] The definition of the product of several classes and the validity of the fundamental theorem of multiplication follow from this of themselves.

7. If $A, B, D$ are three classes which satisfy the condition \[ DA = DB \] then $A = B$ follows; for if $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}, \mathfrak{D}$ are three polygons of the classes $A, B, D$, it follows from the assumption that $\mathfrak{D}\mathfrak{B}$ is equivalent to $\mathfrak{D}\mathfrak{A}$, and consequently $\mathfrak{B}$ to $\mathfrak{A}$.

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8. If a polygon $\mathfrak{A}$ of the class $A$ goes into a polygon $\mathfrak{C}$ of the class $C$, then the same holds of every polygon $\mathfrak{A}'$ of the class $A$; for from $\mathfrak{C} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}$ it follows by 5. that $\mathfrak{C}' = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}$ is contained in $C$, and we may therefore say, although conversely not every polygon of the class $C$ need be divisible by a polygon of the class $A$, that the class $C$ is divisible by the class $A$. If $\mathfrak{B}'$ is any polygon of the class $B$ of $\mathfrak{B}$, then $\mathfrak{C}'' = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}'$ too is contained in $C$, and consequently \[ C = AB. \] If therefore $C$ is divisible by $A$, there is one and (by 7.) only one class $B$ which satisfies the condition \[ C = AB \]

§ 19. The polygon families.

1. If $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ are determinate and indeed equivalent polygons, and $\mathfrak{A}$ an arbitrary polygon of the same class $A$, then there exist $s$ functions in $\Omega$ \[ \eta_{1} = \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{A}}, \quad \eta_{2} = \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{A}}, \quad \ldots \quad \eta_{s} = \frac{\mathfrak{A}_{s}}{\mathfrak{A}}. \] If one sets, as in § 15, 5., for an arbitrary point $\mathfrak{P}$ \[ \begin{aligned} \eta_{1} &= e_{1}\varrho^{m} + \sigma_{1}\varrho^{m+1}, \\ \eta_{2} &= e_{2}\varrho^{m} + \sigma_{2}\varrho^{m+1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta_{s} &= e_{s}\varrho^{m} + \sigma_{s}\varrho^{m+1}, \end{aligned} \] where $\varrho$ is $0^{1}$ at $\mathfrak{P}$, $e_{1}, e_{2}, \ldots e_{s}$ denote constants which do not all vanish, and $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \ldots \sigma_{s}$ functions finite at $\mathfrak{P}$, it follows that every function $\eta$ of the family $(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s})$, i.e. every function of the form \[ \eta = c_{1}\eta_{1} + c_{2}\eta_{2} + \cdots + c_{s}\eta_{s} \] has at $\mathfrak{P}$ an order number which is not smaller than $m$, and from this, by § 17, that the function $\eta$ can be put in the form \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} \] where $\mathfrak{A}'$ is likewise contained in the class $A$.

If for $\mathfrak{A}$ one chooses any other polygon $\mathfrak{B}$ of the class $A$, and sets

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\[ \begin{gathered} \zeta = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \\ \eta_{1}\zeta = \eta'_{1} = \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{B}}, \quad \eta_{2}\zeta = \eta'_{2} = \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{B}}, \quad \ldots \quad \eta_{s}\zeta = \eta'_{s} = \frac{\mathfrak{A}_{s}}{\mathfrak{B}}, \end{gathered} \] then also \[ \eta\zeta = \eta' = c_{1}\eta'_{1} + c_{2}\eta'_{2} + \cdots + c_{s}\eta'_{s}, \] and consequently \[ \eta' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}}. \] Every polygon generated by the denominator $\mathfrak{A}$ and a system of constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ is therefore also generated by every other denominator $\mathfrak{B}$ belonging to the same class, and the totality of all the polygons $\mathfrak{A}'$ corresponding to the different values of the constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ depends only on the polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$. This totality shall therefore be called a polygon family with the basis $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ and denoted by \[ (\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}) \]

2. If the polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ have a greatest common divisor $\mathfrak{M}$, then by 1. it is also a divisor of every polygon $\mathfrak{A}'$ of the family $(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s})$, and can be called the divisor of the family; but a polygon $\mathfrak{A}' = \mathfrak{M}\mathfrak{B}$ can be determined in this family such that $\mathfrak{B}$ becomes relatively prime to an arbitrarily given polygon. For if, keeping the notation of 1., a point $\mathfrak{P}$ is contained exactly $\mu$ times in $\mathfrak{M}$ and $\nu$ times in $\mathfrak{A}$, then, if \[ \eta = e\varrho^{m} + \sigma\varrho^{m+1} \] is set, $m$ is never smaller than $\mu - \nu$, and $m = \mu - \nu$ if one chooses the constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ such that \[ e = c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + \cdots + c_{s}e_{s} \] is different from zero. The point $\mathfrak{P}$ is therefore contained at least $\mu$ times in $\mathfrak{A}'$, and under the latter assumption also not more often than $\mu$ times. Now since one can always choose the constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ such that an arbitrary number of expressions of the form \[ \Sigma c_{\iota}e_{\iota}, \quad \Sigma c_{\iota}e'_{\iota}, \quad \ldots, \] in none of which all the constants $e_{\iota}, e'_{\iota}, \ldots$ vanish, have values different from zero, the correctness of the stated assertion follows.

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3. If the functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s}$ in 1. are linearly dependent or independent, the same holds of the functions $\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{s}$. Correspondingly we shall also call the polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ linearly dependent or independent, and their system linearly reducible or irreducible.

Since by § 5, 4. every family of functions possesses an irreducible basis, it follows that every polygon family also has an irreducible basis. If $s$ is the number of polygons of such a basis, the family is called an $s$-fold one, or $s$ the dimension of the family. Any $s$ polygons of such a family form an irreducible basis of it or not, according as they are linearly independent or dependent. (Cf. § 5, 4.).

4. If the polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ are linearly dependent or independent, then, if $\mathfrak{M}$ denotes an arbitrary polygon, $\mathfrak{M}\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{M}\mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{M}\mathfrak{A}_{s}$ too are linearly dependent or independent, and conversely.

§ 20. Lowering of the dimension of the family by conditions of divisibility.

1. Let \[ S = (\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}) \] be an $s$-fold family with the divisor $\mathfrak{M}$. We ask for the manifold of those polygons $\mathfrak{A}'$ of the family $S$ which contain an arbitrarily given point at least once more often than the divisor $\mathfrak{M}$ of the family.

If the point $\mathfrak{P}$ is contained $\mu$ times in $\mathfrak{M}$ and $\nu$ times in an arbitrary polygon $\mathfrak{A}$ equivalent to $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots$, then, if as in § 19 we set \[ \begin{aligned} \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{A}} &= \eta_{1} = e_{1}\varrho^{m} + \sigma_{1}\varrho^{m+1}, \\ \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{A}} &= \eta_{2} = e_{2}\varrho^{m} + \sigma_{2}\varrho^{m+1}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \frac{\mathfrak{A}_{s}}{\mathfrak{A}} &= \eta_{s} = e_{s}\varrho^{m} + \sigma_{s}\varrho^{m+1} \end{aligned} \] $m = \mu - \nu$, and of the constants $e_{1}, e_{2}, \ldots e_{s}$ at least one, say $e_{s}$, is different from zero. The polygons $\mathfrak{A}'$ sought are then characterized by the equation \[ \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} = \eta' = c_{1}\eta_{1} + c_{2}\eta_{2} + \cdots + c_{s}\eta_{s}, \] where the constants $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s}$ are bound to the condition \[ c_{1}e_{1} + c_{2}e_{2} + \cdots + c_{s}e_{s} = 0. \]

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Accordingly we can set \[ \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} = e_{s}\eta' = c_{1}(e_{s}\eta_{1} - e_{1}\eta_{s}) + \cdots + c_{s-1}(e_{s}\eta_{s-1} - e_{s-1}\eta_{s}). \] But from this it follows, if we set \[ \begin{aligned} \eta'_{1} &= e_{s}\eta_{1} - e_{1}\eta_{s}, \\ \eta'_{2} &= e_{s}\eta_{2} - e_{2}\eta_{s}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \eta'_{s-1} &= e_{s}\eta_{s-1} - e_{s-1}\eta_{s} \end{aligned} \] that the functions $\eta'$ form an $(s-1)$-fold family $(\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{s-1})$; for the functions $\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{s-1}$ are linearly independent if, as assumed, the functions $\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{s}$ are. Hence the polygons $\mathfrak{A}'$ too form an $(s-1)$-fold family \[ S' = (\mathfrak{A}'_{1}, \mathfrak{A}'_{2}, \ldots \mathfrak{A}'_{s-1}), \] if \[ \frac{\mathfrak{A}'_{\iota}}{\mathfrak{A}} = e_{s}\eta_{\iota} - e_{\iota}\eta_{s} \] is set. The divisor of this family is divisible by $\mathfrak{M}\mathfrak{P}$, though not necessarily identical with it.

2. From this it follows at once that the polygons of a family $S$ which are divisible by an arbitrary $r$-gon $\mathfrak{R}$ form an at least $(s-r)$-fold family. For let us assume that this has already been proved for an $r$-gon $\mathfrak{R}$; then the correctness of the assertion for an $(r+1)$-gon $\mathfrak{P}\mathfrak{R}$ follows immediately from 1, since by the addition of the point $\mathfrak{P}$ the dimension is not changed further if $\mathfrak{P}$ is contained in the divisor of the family already reduced by $\mathfrak{R}$, and is otherwise lowered by 1.

From this it follows as a special case that in an $s$-fold family there is always at least one polygon which is divisible by a given $(s-1)$-gon.

3. If $r \leqq s$, one can choose the $r$-gon $\mathfrak{R}$ such that the polygons of the family $S$ divisible by $\mathfrak{R}$ form an exactly $(s-r)$-fold family. To this end choose a point $\mathfrak{P}$ which is not contained in the divisor of $S$; the polygons in $S$ divisible by $\mathfrak{P}$ form by 1. an $(s-1)$-fold family $S'$; choose a second point $\mathfrak{P}'$ which is not contained in the divisor of $S'$; the polygons in $S'$ which are divisible by $\mathfrak{P}'$, i.e. the polygons in $S$ which are divisible by $\mathfrak{P}\mathfrak{P}'$, form an $(s-2)$-fold

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family, and so on; at the same time it is clear from this mode of formation that $\mathfrak{R}$ may be assumed relatively prime to an arbitrarily given polygon. If $r = s$, then accordingly no polygon divisible by $\mathfrak{R}$ will exist in $S$.

§ 21. The dimensions of the polygon classes.

1. The polygons of a class form a family of finite dimension, which shall be called the dimension of the class.

Proof. If in a class $A$, whose order may be $m$, one selects any $s$ polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$, then all the polygons of the family $(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s})$ belong at the same time to the class $A$. The number of linearly independent polygons contained in $A$ can therefore certainly not be greater than $m+1$, because otherwise (by § 20, 2.) one could find in the class a polygon divisible by an arbitrary $(m+1)$-gon, which is absurd. If therefore $s$ is the maximum number of linearly independent polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ of the class $A$, every polygon of this class must be contained in the family $(\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s})$, and $s$ is the dimension of the class. The system of polygons $\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{A}_{s}$ shall be called a basis of the class.

The isolated polygons form classes of dimension 1.

2. If there are in a class $C$ $s$, and not more, linearly independent polygons divisible by a given polygon $\mathfrak{A}$ of the class $A$ \[ \mathfrak{C}_{1} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{1}, \quad \mathfrak{C}_{2} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{2}, \quad \ldots \quad \mathfrak{C}_{s} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{s}, \] then $C$ is divisible by $A$, and there exist in $C$ also just as many linearly independent polygons \[ \mathfrak{C}'_{1} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}_{1}, \quad \mathfrak{C}'_{2} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}_{2}, \quad \ldots \quad \mathfrak{C}'_{s} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}_{s}, \] which are divisible by an arbitrary polygon $\mathfrak{A}'$ equivalent to $\mathfrak{A}$. (§ 18, 8.; § 19, 4.). This number $s$ therefore depends only on the two classes $A$, $C$ and can fittingly be denoted by $(A, C)$. The value of the symbol $(A, C)$ is to be set equal to 0 if $C$ is not divisible by $A$. The dimension of a class $A$ is accordingly denoted by $(O, A)$, where $O$ denotes the class consisting of the zero-gon $\mathfrak{O}$. If (by § 18, 8.) \[ C = AB, \] it follows: \[ (A, C) = (A, AB) = (O, B); \tag{1.} \]

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for the polygons $\mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{B}_{2}, \ldots \mathfrak{B}_{s}$, which are all contained in $B$, are linearly independent, hence $(O, B)$ is certainly not smaller than $s$. If conversely $\mathfrak{B}$ is an arbitrary polygon of the class $B$, then $\mathfrak{A}\mathfrak{B}$ is contained in $C$, hence also in the family $(\mathfrak{A}\mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{2}, \ldots \mathfrak{A}\mathfrak{B}_{s})$, and consequently $\mathfrak{B}$ is contained in the family $(\mathfrak{B}_{1}, \mathfrak{B}_{2}, \ldots \mathfrak{B}_{s})$, i.e. $(O, B) = s$.

If $a$ is the order of the class $A$, then by § 20, 2. $(A, C) \geqq (O, C) - a$, and from this follows by means of (1.) the general theorem \[ (O, B) \geqq (O, AB) - a. \tag{2.} \]

3. If all§§§Editorial note: Printed “sämmmtlichen” with three m; read “sämmtlichen”. An apparent misprint. the basis polygons of a class $A$ have the greatest common divisor $\mathfrak{M}$, then this is also a divisor of all the polygons of the class $A$. If $\mathfrak{M}$ is equal to the zero-gon $\mathfrak{O}$, the class is called a proper one, in the opposite case an improper one with the divisor $\mathfrak{M}$.

If in all the polygons of an improper class $A$ one suppresses the divisor $\mathfrak{M}$, one obtains a proper class $A'$ of lower order but of the same dimension. This relation of $A$ to $A'$ shall be expressed by the sign \[ A = \mathfrak{M}A'. \]

4. The¶¶¶Editorial note: Printed “Dêr” with a circumflex-like mark over the e; read “Der”. Probably a stray or damaged piece of type. divisor $\mathfrak{M}$ of an improper class $A$ is always an isolated polygon. For if \[ A = \mathfrak{M}A', \] then by § 19, 2. one can choose in the proper class $A'$ a polygon $\mathfrak{A}'$ such that it is relatively prime to $\mathfrak{M}$. If therefore $\mathfrak{M}'$ is equivalent to $\mathfrak{M}$, then $\mathfrak{M}'\mathfrak{A}'$ is equivalent to $\mathfrak{M}\mathfrak{A}'$, hence contained in $A$, and consequently divisible by $\mathfrak{M}$. Hence $\mathfrak{M}'$ too is divisible by $\mathfrak{M}$, and since $\mathfrak{M}$ and $\mathfrak{M}'$ are of the same order, \[ \mathfrak{M} = \mathfrak{M}'. \] Accordingly the single polygon $\mathfrak{M}$ forms a class $M$, and the notation $\mathfrak{M}A'$ is equivalent to $MA'$ (§ 18, 6.).

§ 22. The normal bases of $\mathfrak{o}$.

1. In what follows we consider the system $\mathfrak{o}$ of the integral functions $\omega$ of an arbitrary variable $z$ in $\Omega$, and at the same time the system $\mathfrak{o}'$ of the integral functions $\omega'$ of $z' = \frac{1}{z}$. From the definition of the integral functions

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it becomes clear at once that the two systems $\mathfrak{o}, \mathfrak{o}'$ have only the constants in common with each other, but that on the other hand every function $\omega$ can be converted into a function $\omega'$ by multiplication by a determinate positive power of $z'$. If $\omega z'^{r}$ is contained in $\mathfrak{o}'$, the same also holds of $\omega z'^{r+1}, \omega z'^{r+2}, \ldots$ In the series of functions \[ \omega, \quad \frac{\omega}{z} = z'\omega, \quad \frac{\omega}{z^{2}} = z'^{2}\omega, \quad \ldots \] therefore, from a determinate term $\omega z'^{r}$ on, all the following functions will be contained in $\mathfrak{o}'$, while all the preceding ones are not contained in it. The smallest number $r$ for which $z'^{r}\omega$ is contained in $\mathfrak{o}'$ shall be called the exponent of the function $\omega$ with respect to $z$. The constants, and only these, have the exponent zero. If $\omega$ is different from zero, and $r$ its exponent, then $r+1$ is the exponent of $(z-c)\omega$; for if $\omega = z^{r}\omega'$, then \[ \begin{aligned} \frac{(z-c)\omega}{z^{r+1}} &= (1-cz')\omega' \quad \text{is contained in } \mathfrak{o}' \text{,} \\ \frac{(z-c)\omega}{z^{r}} &= z\omega' - c\omega' \quad \text{is not contained in } \mathfrak{o}' \text{,} \end{aligned} \] since $c\omega'$, it is true, but not $z\omega' = \frac{\omega}{z^{r-1}}$, is contained in $\mathfrak{o}'$. From this it follows in general:

If $x$ is an integral rational function of $z$ of degree $s$, and $r$ the exponent of $\omega$, then $(r+s)$ is the exponent of $x\omega$.

2. We now select a system of functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ in $\mathfrak{o}$ according to the following rule:

Let $\lambda_{1}$ be a constant different from zero, e.g. 1; let $\lambda_{2}$ be, among those functions in $\mathfrak{o}$ which are not congruent to a constant with respect to the modulus $\mathfrak{o}z$, one of the lowest possible exponent $r_{2}$, and so on; in general let $\lambda_{s}$ be, among those functions in $\mathfrak{o}$ which are not congruent to a function of the family $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s-1})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z)$, one of the lowest possible exponent $r_{s}$. Since $(\mathfrak{o}, \mathfrak{o}z) = N(z) = z^{n}$ is of the $n^{\text{th}}$ degree, there are in $\mathfrak{o}$ $n$, and not more, functions linearly independent with respect to the modulus $\mathfrak{o}z$ (§ 6), and therefore the series of functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots$ can contain neither more nor fewer than $n$ terms. Then (§ 5) \[ \mathfrak{o} \equiv (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z). \] The exponents $r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}$ of the functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ satisfy the requirement \[ r_{1} = 0, \quad 1 \leqq r_{2} \leqq r_{3} \cdots \leqq r_{n}. \]

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Every function in $\mathfrak{o}$ whose exponent is $< r_{s}$ is congruent with respect to the modulus $\mathfrak{o}z$ to a function from the $(s-1)$-fold family \[ (\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s-1}). \] These functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ form a basis of $\mathfrak{o}$, as results from the following consideration.

If this were not the case, one could (§ 3, 7.) determine a linear function $z-c$ and a system of constants $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$, not all vanishing, such that \[ a_{1}\lambda_{1} + a_{2}\lambda_{2} + \cdots + a_{n}\lambda_{n} = (z-c)\omega \] If among the constants $a$ the last non-vanishing one is $a_{s}$, then also \[ a_{1}\lambda_{1} + a_{2}\lambda_{2} + \cdots + a_{s}\lambda_{s} = (z-c)\omega, \] and the exponent of $\omega$ is certainly smaller than $r_{s}$ (because $\frac{(z-c)\omega}{z^{r_{s}}}$ is contained in $\mathfrak{o}'$). Hence $\omega$, and consequently, since $a_{s}$ is different from 0, also $\lambda_{s}$, is congruent to a function of the family $(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{s-1})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z)$, which is contrary to the assumption.

The functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ therefore form a basis of $\mathfrak{o}$, and this shall be called a normal basis. The characteristic properties of the normal basis are:

I. The functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ are linearly independent with respect to the modulus $\mathfrak{o}z$.

II. Every function in $\mathfrak{o}$ whose exponent is smaller than the exponent $r_{s}$ of $\lambda_{s}$ is contained in the form \[ c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{s-1}\lambda_{s-1} + z\omega_{s}, \] where $c_{1}, c_{2}, \ldots c_{s-1}$ are constants and $\omega_{s}$ a function in $\mathfrak{o}$.

3. The functions contained in $\mathfrak{o}'$ \[ \lambda'_{1} = \frac{\lambda_{1}}{z^{r_{1}}}, \quad \lambda'_{2} = \frac{\lambda_{2}}{z^{r_{2}}}, \quad \ldots \quad \lambda'_{n} = \frac{\lambda_{n}}{z^{r_{n}}} \] form a normal basis of $\mathfrak{o}'$.

For if $\omega$ is a function in $\mathfrak{o}$ not divisible by $z$, of exponent $r$, then the exponent of $\omega' = \frac{\omega}{z^{r}}$ with respect to $z'$ is likewise $r$; for $\frac{\omega'}{z'^{r}} = \omega$ is contained in $\mathfrak{o}$, but $\frac{\omega'}{z'^{r-1}} = \frac{\omega}{z}$ is not. Since the functions $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ are all not divisible by $z$,

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the exponents of $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}$ with respect to $z'$ are accordingly $r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}$ respectively. This premised, we prove that the system of functions $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}$ possesses the properties I., II., if $\mathfrak{o}$, $z$ are there replaced by $\mathfrak{o}'$, $z'$.

If the condition I. were not fulfilled, the constants $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{s}$, of which the last does not vanish, could be determined such that \[ a_{1}\lambda'_{1} + a_{2}\lambda'_{2} + \cdots + a_{s}\lambda'_{s} = z'\omega', \] hence also (by multiplication by $z^{r_{s}}$) \[ a_{1}z^{r_{s}-r_{1}}\lambda_{1} + a_{2}z^{r_{s}-r_{2}}\lambda_{2} + \cdots + a_{s}\lambda_{s} = \omega, \] where \[ \omega = z^{r_{s}-1}\omega', \] would thus be a function in $\mathfrak{o}$ whose exponent is smaller than $r_{s}$. But this, since $a_{s}$ is different from zero, is impossible because of the assumption about the $\lambda$, and consequently the condition I. is fulfilled; from this it follows: \[ \mathfrak{o}' \equiv (\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n})\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}'z'). \]

If the condition II. were not fulfilled, and $\lambda'$ were a function in $\mathfrak{o}'$ whose exponent is $r < r_{s}$, which is not contained in the form \[ a_{1}\lambda'_{1} + a_{2}\lambda'_{2} + \cdots + a_{s-1}\lambda'_{s-1} + z'\omega', \] then one could choose $e \geqq s$ such that \[ \lambda' = a_{1}\lambda'_{1} + a_{2}\lambda'_{2} + \cdots + a_{e}\lambda'_{e} + z'\omega' \] with constant coefficients, of which the last, $a_{e}$, does not vanish. Accordingly also $r_{e} \geqq r_{s} > r$.

Hence $\lambda = z^{r_{e}-1}\lambda'$ is a function in $\mathfrak{o}$, and there results, by multiplication by $z^{r_{e}}$, \[ z\lambda = a_{1}z^{r_{e}-r_{1}}\lambda_{1} + a_{2}z^{r_{e}-r_{2}}\lambda_{2} + \cdots + a_{e}\lambda_{e} + z^{r_{e}-1}\omega'. \] Therefore $\omega = z^{r_{e}-1}\omega'$ is a function in $\mathfrak{o}$ whose exponent is (by 1.) $\leqq r_{e}-1$, and which satisfies the congruence \[ \omega \equiv a'_{1}\lambda_{1} + a'_{2}\lambda_{2} + \cdots + a'_{e}\lambda_{e}\ (\text{mod.}\,\mathfrak{o}z), \] where $a'_{e} = -a_{e}$ is different from zero. But then, because of the property II. of the functions $\lambda$, the exponent of $\omega \geqq r_{e}$ would have to hold, from which the contradiction becomes clear.

It is thereby proved that the system of functions $\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}$ forms a normal basis of $\mathfrak{o}'$.

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4. We now form the discriminant of $\Omega$ with respect to the variables $z$ and $z'$ with the help of the two normal bases $\lambda$, $\lambda'$; we have: \[ \begin{aligned} \Delta_{z}(\Omega) &= \text{const.}\,\Delta(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}), \\ \Delta_{z'}(\Omega) &= \text{const.}\,\Delta(\lambda'_{1}, \lambda'_{2}, \ldots \lambda'_{n}). \end{aligned} \] But if for $\lambda'_{\iota}$ one puts the expressions $z'^{r_{\iota}}\lambda_{\iota}$, it follows from the theorem § 2, (13.) \[ \Delta_{z'}(\Omega) = \text{const.}\,z'^{2(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n})}\Delta_{z}(\Omega). \] If $\Delta_{z}(\Omega)$ is of degree $\delta$, then $\Delta_{z'}(\Omega)$ possesses the root $z' = 0$ $(2(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n})-\delta)$ times, and from this there results by § 16, 2. the ramification number \[ \mathrm{w}_{z} = 2(r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}), \] which is accordingly always an even number.

§ 23. The differential quotients.

1. Since every function of the field $\Omega$ different from zero has the value zero at only a finite number of points, it follows that a function in $\Omega$ of which infinitely many zero points can be shown to exist is necessarily identically zero, or that two functions in $\Omega$ which have the same value at infinitely many points must be identical.

2. If $\alpha$, $\beta$ are any two variables of the field $\Omega$, there exists in $\Omega$ a function, to be denoted by $\left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)$, which at infinitely many points $\mathfrak{P}$ satisfies the condition: \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0} = \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}, \] and which is called the differential quotient of $\alpha$ with respect to $\beta$. For if $F(\alpha, \beta) = 0$ is the irreducible equation existing between $\alpha$, $\beta$, then, if we first exclude those points (finite in number) at which $\alpha_{0}$ or $\beta_{0} = \infty$ or $F'(\alpha_{0}) = 0$ or $F'(\beta_{0}) = 0$, \[ \begin{gathered} 0 = F(\alpha, \beta) = F(\alpha_{0}, \beta_{0}) + (\alpha-\alpha_{0})F'(\alpha_{0}) + (\beta-\beta_{0})F'(\beta_{0}) \\ + \frac{1}{2}\{(\alpha-\alpha_{0})^{2}F''(\alpha_{0}, \alpha_{0}) + 2(\alpha-\alpha_{0})(\beta-\beta_{0})F''(\alpha_{0}, \beta_{0}) + (\beta-\beta_{0})^{2}F''(\beta_{0}, \beta_{0})\} + \cdots \end{gathered} \] Of the two quotients $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$, $\left(\frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}\right)_{0}$ one is certainly finite; if it is the former, we derive from the last equation the following:

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\[ \begin{gathered} 0 = \frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}F'(\alpha_{0}) + F'(\beta_{0}) \\ + (\beta-\beta_{0})\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)^{2}F''(\alpha_{0}, \alpha_{0}) + 2\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)F''(\alpha_{0}, \beta_{0}) + F''(\beta_{0}, \beta_{0})\right\} + \cdots, \end{gathered} \] from which it follows for the point $\mathfrak{P}$: \[ \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0} = -\frac{F'(\beta_{0})}{F'(\alpha_{0})} = -\left(\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)}\right)_{0}. \] If $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$ were infinite, we would infer in the same way with respect to $\frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}$.

Thus \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = -\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)} \tag{1.} \] has the required property. This still remains true when one of the two functions $\alpha$, $\beta$ is constant; for if e.g. $\alpha$ is constant, then $F(\alpha, \beta) = \alpha - \alpha_{0}$ is independent of $\beta$, hence $F'(\alpha) = 1$, $F'(\beta) = 0$.

3. From the foregoing it follows that, if $\beta$ is not constant, then apart from a finite number of points $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$ is a finite value. If therefore $\gamma$ is a third variable in $\Omega$, then at infinitely many points \[ \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0} = \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\gamma-\gamma_{0}}\right)_{0}\left(\frac{\gamma-\gamma_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}, \] hence also \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0} = \left(\frac{d\alpha}{d\gamma}\right)_{0}\left(\frac{d\gamma}{d\beta}\right)_{0}. \] But by this and by 1. the identity is satisfied: \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = \left(\frac{d\alpha}{d\gamma}\right)\left(\frac{d\gamma}{d\beta}\right){}^{*)}. \tag{2.} \]

4. In consequence of this last theorem we can assign to each of the functions $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ of the field $\Omega$ a function $d\alpha, d\beta, d\gamma, \ldots$ (differential) in

*) One can also define the differential quotient by the equation \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = -\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)} \] and arrive by algebraic division at the proof of the theorem \[ \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) = \left(\frac{d\alpha}{d\gamma}\right)\left(\frac{d\gamma}{d\beta}\right) \]

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such a way that in general \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right) \] holds. The differentials of the constants, and only these, are to be set equal to zero; the rest are completely determined as soon as one of them has been assumed arbitrarily. If there exists between the variables $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ a rational equation \[ F(\alpha, \beta, \gamma, \ldots) = 0, \] then it follows from it that \[ F'(\alpha)\,d\alpha + F'(\beta)\,d\beta + F'(\gamma)\,d\gamma + \cdots = 0; \tag{3.} \] for in the same way as in 2. one infers that this equation is satisfied for infinitely many points.

Immediate consequences of the last theorem are the familiar rules for the differentiation of sums, differences, products and quotients: \[ d(\alpha \pm \beta) = d\alpha \pm d\beta, \tag{4.} \] \[ d(\alpha\beta) = \alpha\,d\beta + \beta\,d\alpha, \tag{5.} \] \[ d\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) = \frac{\beta\,d\alpha - \alpha\,d\beta}{\beta^{2}}. \tag{6.} \]

5. If $\omega$ is an integral function of $z$, then in general $\frac{d\omega}{dz}$ will not be an integral function of $z$. But it is evident from the expression (§ 3, 7.) \[ \omega = x_{1}\omega_{1} + x_{2}\omega_{2} + \cdots + x_{n}\omega_{n} \] since the differential quotients of the integral rational functions $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ are again integral rational functions, that the lower ideals of all the functions $\frac{d\omega}{dz}$ must go into a determinate ideal, namely into the least common multiple of the lower ideals of $\frac{d\omega_{1}}{dz}, \frac{d\omega_{2}}{dz}, \ldots \frac{d\omega_{n}}{dz}$. It is to be investigated which ideal this is. To this end let $z-c$ be an arbitrary linear function of $z$ and \[ \mathfrak{o}(z-c) = \mathfrak{p}^{e}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}}\ldots, \] where the prime ideals $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ are different from one another. Now let $\zeta$ be the same function as in § 11, 2., i.e. an integral function of $z$ which at the points $\mathfrak{P}, \mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots$ generated by the prime ideals $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ has values all different, and each of them only simply;

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then $\omega$ can be represented in the form \[ \omega = y_{0} + y_{1}\zeta + \cdots + y_{n-1}\zeta^{n-1}, \] where the rational functions $y_{0}, y_{1}, \ldots y_{n-1}$ of $z$ may indeed be fractional, but certainly do not contain the factor $z-c$ in the denominator. From this it follows that the lower ideal of $\frac{d\omega}{dz}$ can be divisible by no higher powers of the ideals $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ than the lower ideal of $\frac{d\zeta}{dz}$. But if \[ f(\zeta, z) = 0 \] is the irreducible equation existing between $\zeta$ and $z$, then by § 11, 2. \[ \mathfrak{o}f'(\zeta) = \mathfrak{m}\mathfrak{p}^{e-1}\mathfrak{p}_{1}^{e_{1}-1}\mathfrak{p}_{2}^{e_{2}-1}\ldots \] and $\mathfrak{m}$ is relatively prime to $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ But since \[ \frac{d\zeta}{dz} = -\frac{f'(z)}{f'(\zeta)} \] the lower ideal of $\frac{d\zeta}{dz}$, and consequently also that of $\frac{d\omega}{dz}$, can contain none of the factors $\mathfrak{p}, \mathfrak{p}_{1}, \mathfrak{p}_{2}, \ldots$ more often than $(e-1)$, $(e_{1}-1)$, $(e_{2}-1)$, … times. Now since $z-c$ can be any linear function whatever, it follows that $\frac{d\omega}{dz}$ can have no other lower ideal than one which goes into the ramification ideal $\mathfrak{z} = \Pi\mathfrak{p}^{e-1}$ (§ 11). Hence, if $\mathfrak{a}$ denotes an ideal: \[ \mathfrak{z}\frac{d\omega}{dz} = \mathfrak{a}, \] hence by § 11, (7.) \[ \mathfrak{o}\frac{d\omega}{dz} = \mathfrak{e}\mathfrak{a}, \] from which it emerges that the functions $\frac{d\omega}{dz}$ all belong to the module $\mathfrak{e}$ complementary to $\mathfrak{o}$.

6. If the irreducible equation $F(\omega, z) = 0$ between $\omega$ and $z$ is of the $n^{\text{th}}$ degree with respect to $\omega$, hence $1, \omega, \omega^{2}, \ldots \omega^{n-1}$ a basis of $\Omega$, then by § 11, (10.) \[ \mathfrak{o}F'(\omega) = \mathfrak{z}\mathfrak{k}, \] and therefore, because of \[ \frac{d\omega}{dz} = -\frac{F'(z)}{F'(\omega)} \]

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$\mathfrak{o}F'(z)$ must be divisible by the ideal $\mathfrak{k}$, \[ \mathfrak{o}F'(z) = \mathfrak{k}\mathfrak{a}, \] $\mathfrak{k}$ can therefore be called the ideal of the double points with respect to $\omega$, $z$.

7. If $\mathfrak{P}$ is a point at which $z-c$ is infinitely small of the first order (hence not a branch point in $z$), then by 5. the functions $\frac{d\omega}{dz}$ are all finite at $\mathfrak{P}$. If therefore $\eta$ is any function in $\Omega$ which is finite at $\mathfrak{P}$, one can represent it as the quotient of two integral functions $\frac{\alpha}{\beta}$, of which $\beta$ does not vanish at $\mathfrak{P}$, and therefore by (6.) $\frac{d\eta}{dz}$ too is finite at $\mathfrak{P}$.

8. Now let $\alpha$, $\beta$ be any two variables in $\Omega$; the behaviour of $\frac{d\alpha}{d\beta}$ at any point $\mathfrak{P}$ is to be investigated.

Choose a variable $z$ in $\Omega$ which is infinitely small of the first order at $\mathfrak{P}$. If $\alpha$ has a finite value $\alpha_{0}$ at $\mathfrak{P}$, then by § 15, 1., 2. one can determine a positive integer $r$ and a function $\alpha'$ finite and different from zero at $\mathfrak{P}$ such that \[ \alpha = \alpha_{0} + z^{r}\alpha' \] This still holds when $\alpha$ is infinite at $\mathfrak{P}$; only then $r$ is a negative integer, and $\alpha_{0}$ is to be replaced by an arbitrary finite constant, e.g. 0. Likewise one can set \[ \beta = \beta_{0} + z^{s}\beta' \] $r$ and $s$ are then the order numbers of $\alpha-\alpha_{0}$, $\beta-\beta_{0}$ at the point $\mathfrak{P}$, which can be positive as well as negative, but not 0. From (2.) there then results: \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = z^{r-s}\frac{r\alpha' + z\frac{d\alpha'}{dz}}{s\beta' + z\frac{d\beta'}{dz}} \] or \[ \frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}\frac{d\alpha}{d\beta} = \frac{r + z\frac{d\alpha'}{\alpha'dz}}{s + z\frac{d\beta'}{\beta'dz}}. \] If one now again denotes by the index 0 the value of a function at the point $\mathfrak{P}$, then, since \[ \left(\frac{d\alpha'}{\alpha'dz}\right)_{0}, \quad \left(\frac{d\beta'}{\beta'dz}\right)_{0} \]

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are finite by 7., \[ \left(\frac{\beta-\beta_{0}}{\alpha-\alpha_{0}}\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0} = \frac{r}{s}, \tag{7.} \] hence finite and different from zero. From this it follows that the order number of the differential quotient $\frac{d\alpha}{d\beta}$ is equal to the difference of the order numbers of $\alpha-\alpha_{0}$ and $\beta-\beta_{0}$. If $r \gtrless s$, then $\left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0}$, and consequently $\left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0}$, is zero or infinite. If on the other hand $r = s$, both values are finite and different from 0, and we therefore have in all cases \[ \left(\frac{\alpha-\alpha_{0}}{\beta-\beta_{0}}\right)_{0} = \left(\frac{d\alpha}{d\beta}\right)_{0}. \tag{8.} \] Here $\alpha_{0}$, $\beta_{0}$ are the values of $\alpha$, $\beta$ at $\mathfrak{P}$ if these values are finite, otherwise arbitrary constants, e.g. 0.

9. If $a$, $b$ are the order numbers of $\alpha-\alpha_{0}$, $\beta-\beta_{0}$ at $\mathfrak{P}$, then, if $a$, $b$ are positive, the point $\mathfrak{P}$ occurs $(a-1)$ times resp. $(b-1)$ times in the ramification polygons $\mathfrak{Z}_{\alpha}$, $\mathfrak{Z}_{\beta}$ in $\alpha$, $\beta$. But if $a$ is negative, $\mathfrak{Z}_{\alpha}$ contains the point $\mathfrak{P}$ $(-a-1)$ times, and correspondingly when $b$ is negative (§ 16, 1.). If therefore one denotes by $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ the lower polygons of $\alpha$, $\beta$, one obtains, because the order number of $\frac{d\alpha}{d\beta}$ is (as just proved) always equal to $a-b$, the following expression for this function as a quotient of polygons \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = \frac{\mathfrak{Z}_{\alpha}\mathfrak{B}^{2}}{\mathfrak{Z}_{\beta}\mathfrak{A}^{2}}. \tag{9.} \]

§ 24. The genus of the field $\Omega$.

1. If one denotes by $\mathrm{w}_{\alpha}$, $\mathrm{w}_{\beta}$ the ramification numbers and by $n_{\alpha}$, $n_{\beta}$ the orders of the variables $\alpha$, $\beta$, then from the formula (9.) of the preceding §, since the numerator and denominator of $\frac{d\alpha}{d\beta}$ must contain equally many points, there follows the important relation \[ \mathrm{w}_{\alpha} - 2n_{\alpha} = \mathrm{w}_{\beta} - 2n_{\beta}; \] if therefore one sets \[ p = \frac{1}{2}\mathrm{w} - n + 1 \tag{1.} \] which by § 22, 4. is an integer, then this is independent of the choice of the variable and is a number characteristic of the field $\Omega$,

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which is called the genus of the field $\Omega$. That this number is never negative follows if for $\frac{1}{2}\mathrm{w}$ one substitutes the value $r_{1}+r_{2}+\cdots+r_{n}$ from § 22. One then obtains \[ p = (r_{2}-1)+(r_{3}-1)+\cdots+(r_{n}-1), \tag{2.} \] which, since $r_{2}, r_{3}, \ldots r_{n} \geqq 1$, cannot become negative.

2. Let $\alpha$, $\beta$ be two functions in $\Omega$ of the orders $m$, $n$, of such a nature that all functions in $\Omega$ can be represented rationally by $\alpha$, $\beta$. Then \[ \begin{aligned} F(\alpha, \beta) &= a_{0}\alpha^{n} + a_{1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\alpha + a_{n} \\ &= b_{0}\beta^{m} + b_{1}\beta^{m-1} + \cdots + b_{m-1}\beta + b_{m} = 0 \end{aligned} \] is the irreducible equation existing between $\alpha$, $\beta$, where $a_{0}, a_{1}, \ldots a_{n}$ are integral rational functions of $\beta$, and likewise $b_{0}, b_{1}, \ldots b_{m}$ integral rational functions of $\alpha$.

Let further \[ \alpha = \frac{\mathfrak{A}_{1}}{\mathfrak{A}}, \quad \beta = \frac{\mathfrak{B}_{1}}{\mathfrak{B}} \] and $\mathfrak{A}_{1}$ relatively prime to $\mathfrak{A}$, and $\mathfrak{B}_{1}$ to $\mathfrak{B}$, so that $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}_{1}$ are of the order $m$, and $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{B}_{1}$ of the order $n$. Now \[ \begin{aligned} F'(\alpha) &= na_{0}\alpha^{n-1} + (n-1)a_{1}\alpha^{n-2} + \cdots + a_{n-1}, \\ \alpha F'(\alpha) &= -a_{1}\alpha^{n-1} - 2a_{2}\alpha^{n-2} - \cdots - na_{n}, \end{aligned} \] from which it emerges that \[ F'(\alpha) = \frac{\mathfrak{K}}{\mathfrak{A}^{n-2}\mathfrak{B}^{m}} \] and likewise \[ F'(\beta) = \frac{\mathfrak{L}}{\mathfrak{A}^{n}\mathfrak{B}^{m-2}} \] must hold. It is now to be shown that the polygon $\mathfrak{K}$ is divisible by $\mathfrak{Z}_{\beta}$, and $\mathfrak{L}$ by $\mathfrak{Z}_{\alpha}$.

For $\mathfrak{K}$ this is easily seen under the assumption that at all points of $\mathfrak{Z}_{\beta}$ the function $\beta$ has a finite value and $a_{0}$ a value different from zero; for \[ \alpha' = a_{0}\alpha \] is an integral function of $\beta$, and if one sets \[ f(\alpha') = a^{n-1}F(\alpha, \beta) \] ‖‖‖Editorial note: Printed $a^{n-1}$ without the subscript; $a_{0}^{n-1}$ is meant, as $\alpha' = a_{0}\alpha$ and the next line has $a_{0}^{n-2}$. Possibly a dropped subscript. then \[ f'(\alpha') = a_{0}^{n-2}F'(\alpha). \]

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Now since by § 11, 5. $\mathfrak{o}_{\beta}f'(\alpha')$ is divisible by the ramification ideal in $\beta$ generated by $\mathfrak{Z}_{\beta}$, the correctness of the assertion follows from this. The analogous holds for $F'(\beta)$.

If one now makes arbitrary linear substitutions for $\alpha$, $\beta$: \[ \begin{gathered} \alpha = \frac{c+d\alpha'}{a+b\alpha'}; \quad \beta = \frac{c'+d'\beta'}{a'+b'\beta'}, \\ (a+b\alpha')(d-b\alpha) = ad-bc, \\ (a'+b'\beta')(d'-b'\beta) = a'd'-b'c', \end{gathered} \] then by § 16, 2. \[ \mathfrak{Z}_{\alpha} = \mathfrak{Z}_{\alpha'}; \quad \mathfrak{Z}_{\beta} = \mathfrak{Z}_{\beta'}, \] and the irreducible equation existing between $\alpha'$, $\beta'$ reads: \[ F_{1}(\alpha', \beta') = (a+b\alpha')^{n}(a'+b'\beta')^{m}F(\alpha, \beta) = 0. \] But under all circumstances the constants $a$, $b$, $c$, $d$; $a'$, $b'$, $c'$, $d'$ can be chosen such that the assumptions stated above are fulfilled both for $\alpha'$ and for $\beta'$.

For if one puts the coefficients $a'_{0}$, $b'_{0}$ of $\alpha'^{n}$, $\beta'^{m}$ in $F_{1}(\alpha', \beta')$ into the form \[ \begin{aligned} a'_{0} &= (a'+b'\beta')^{m}(a_{0}d^{n} + a_{1}d^{n-1}b + \cdots + a_{n}b^{n}) = \left(\frac{a'd'-b'c'}{d'-b'\beta}\right)^{m}(a_{0}d^{n} + a_{1}d^{n-1}b + \cdots + a_{n}b^{n}), \\ b'_{0} &= (a+b\alpha')^{n}(b_{0}d'^{m} + b_{1}d'^{m-1}b' + \cdots + b_{m}b'^{m}) = \left(\frac{ad-bc}{d-b\alpha}\right)^{n}(b_{0}d'^{m} + b_{1}d'^{m-1}b' + \cdots + b_{m}b'^{m}), \end{aligned} \] one easily recognizes that only for a finite number of values of the ratios $d : b$, $d' : b'$ can the functions $a'_{0}$, $d'-b'\beta$ vanish at a point of $\mathfrak{Z}_{\beta}$, and $b'_{0}$, $d-b\alpha$ at a point of $\mathfrak{Z}_{\alpha}$.

Now if we set \[ \alpha' = \frac{\mathfrak{A}'_{1}}{\mathfrak{A}'}, \quad \beta' = \frac{\mathfrak{B}'_{1}}{\mathfrak{B}'}, \] it follows (§ 19, 1.) \[ d-b\alpha = \frac{\mathfrak{A}_{2}}{\mathfrak{A}}, \quad a+b\alpha' = \frac{\mathfrak{A}'_{2}}{\mathfrak{A}'}, \] hence: \[ \mathfrak{A}_{2}\mathfrak{A}'_{2} = \mathfrak{A}\mathfrak{A}'. \] But if, as assumed, $b$ is different from zero, then $\mathfrak{A}_{2}$ is relatively prime to $\mathfrak{A}$, because at a point of $\mathfrak{A}$ the order number of $d-b\alpha$ is the same as that of $\alpha$ (§ 15, 5.), and consequently \[ \mathfrak{A}_{2} = \mathfrak{A}', \quad \mathfrak{A}'_{2} = \mathfrak{A}, \]

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hence: \[ a+b\alpha' = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{A}'}, \] and likewise: \[ a'+b'\beta' = \frac{\mathfrak{B}}{\mathfrak{B}'}. \] But now, since $F(\alpha, \beta) = 0$: \[ F'_{1}(\alpha') = (ad-bc)(a+b\alpha')^{n-2}(a'+b'\beta')^{m}F'(\alpha), \] and if therefore, as assumed: \[ F'_{1}(\alpha') = \frac{\mathfrak{R}\mathfrak{Z}_{\beta}}{\mathfrak{A}'^{n-2}\mathfrak{B}'^{m}}, \] it follows \[ F'(\alpha) = \frac{\mathfrak{R}\mathfrak{Z}_{\beta}}{\mathfrak{A}^{n-2}\mathfrak{B}^{m}} \] and in the same way \[ F'(\beta) = \frac{\mathfrak{R}\mathfrak{Z}_{\alpha}}{\mathfrak{A}^{n}\mathfrak{B}^{m-2}}. \] That the polygon $\mathfrak{R}$ occurring in the numerator of these two expressions must be the same in both follows from \[ \frac{d\alpha}{d\beta} = -\frac{F'(\beta)}{F'(\alpha)} = \frac{\mathfrak{B}^{2}\mathfrak{Z}_{\alpha}}{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{Z}_{\beta}}. \] Now the order of the polygon $\mathfrak{A}^{n-2}\mathfrak{B}^{m}$ is \[ m(n-2)+mn = 2m(n-1), \] hence the order of $\mathfrak{R}$ \[ 2r = 2m(n-1)-\mathrm{w}_{\beta} \] is always an even number, and from this there results \[ p = \frac{1}{2}\mathrm{w}_{\beta}-n+1 = (n-1)(m-1)-r. \tag{3.} \] The polygon $\mathfrak{R}$ is called the polygon of the double points in $(\alpha, \beta)$.

§ 25. The differentials in $\Omega$.

If $z$, $z_{1}$ are any two variables in $\Omega$ of the orders $n$, $n_{1}$ and the ramification numbers $\mathrm{w}$, $\mathrm{w}_{1}$, and further $\mathfrak{Z}$, $\mathfrak{Z}_{1}$ the ramification polygons and $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{U}_{1}$ the lower polygons of $z$, $z_{1}$, then (§ 23) \[ \frac{dz}{dz_{1}} = \frac{\mathfrak{Z}\mathfrak{U}_{1}^{2}}{\mathfrak{Z}_{1}\mathfrak{U}^{2}}. \tag{1.} \]

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Every function $\omega$ in $\Omega$ can be put in the form \[ \omega = \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}\mathfrak{B}}, \tag{2.} \] where $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ denote polygons whose orders $a$, $b$ satisfy the condition \[ 2n+a = \mathrm{w}+b \] or (§ 24) \[ a = b+2p-2. \tag{3.} \] If one now explains a function $\omega_{1}$ by the equation \[ \omega\,dz = \omega_{1}\,dz_{1}, \] then by (1.) $\omega_{1}$ receives the notation \[ \omega_{1} = \frac{\mathfrak{U}_{1}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}_{1}\mathfrak{B}}. \] In what follows we call such expressions as \[ \omega\,dz = \omega_{1}\,dz_{1} \] differentials in $\Omega$, and denote them symbolically by a sign such as $d\varpi$. Such a differential is hereby explained invariantly, i.e. independently of the choice of the variable $z$, and is completely determined by the two polygons $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$.

We can, without danger of misunderstanding, use the symbolic notation \[ d\varpi = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}, \] hence for example also \[ dz = \frac{\mathfrak{Z}}{\mathfrak{U}^{2}} \] This notation of a differential by a quotient of polygons differs from the similar notation of the functions in $\Omega$ (§ 17) in that in the latter the numerator and denominator are of equal order, while with the differentials the order of the numerator exceeds that of the denominator by $2p-2$. As in the notation of § 17, common divisors which $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ may contain can be suppressed here too. If $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ are relatively prime, $\mathfrak{A}$ is called the upper polygon and $\mathfrak{B}$ the lower polygon of the differential $d\varpi$.

Under the general notion of the differential in $\Omega$ set up here there fall, as special cases, also the differentials of the functions of the field $\Omega$ explained in § 23, 4. These we call proper differentials,

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while the others, which cannot be represented as differentials of functions existing in $\Omega$, are called improper or Abelian differentials.

Functions of the form (2.), which by our present stipulation can be denoted by $\frac{d\varpi}{dz}$, we call differential quotients with respect to $z$, and likewise distinguish between proper and improper differential quotients, according as $d\varpi$ is a proper or an improper differential${}^{*)}$.

There now arises the task of establishing the extent of the notion of differentials, i.e. of finding all the polygons $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ which can be the upper and lower polygon of a differential. We premise on this the following general remarks:

The necessary and sufficient condition for $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$ to be a differential is that for an arbitrary variable $z$ \[ \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}\mathfrak{B}} \] be a function in $\Omega$, hence that $\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}$ be equivalent to $\mathfrak{Z}\mathfrak{B}$. But this relation persists if $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ themselves are replaced by equivalent polygons $\mathfrak{A}'$, $\mathfrak{B}'$. If we keep $\mathfrak{B}$ fixed, and $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$ is a differential, then accordingly \[ \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{B}}, \quad \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{B}}, \quad \ldots \] will represent differentials if and only if the polygons $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'$, $\mathfrak{A}''$, $\ldots$ all belong to the same class $A$. If the polygons $\mathfrak{A}_{1}$, $\mathfrak{A}_{2}$, $\mathfrak{A}_{3}$, $\ldots$ form a basis of $A$, hence \[ A = (\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \mathfrak{A}_{3}, \ldots), \] then the corresponding differential quotients with respect to an arbitrary variable $z$, $\frac{d\varpi_{1}}{dz}$, $\frac{d\varpi_{2}}{dz}$, $\frac{d\varpi_{3}}{dz}$, $\ldots$, form the basis of a family of functions of finite dimension, and correspondingly we shall also call $d\varpi_{1}$, $d\varpi_{2}$, $d\varpi_{3}$, $\ldots$ the basis of a family of differentials \[ (d\varpi_{1}, d\varpi_{2}, d\varpi_{3}, \ldots) \]

*) The quotient $\frac{d\varpi}{d\varpi'}$ of any two proper or improper differentials always has the meaning of a determinate function in $\Omega$. In what follows, however, we restrict ourselves to the consideration of such quotients in which at least the denominator is a proper differential.

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of the same dimension. This says that every differential $d\varpi$ whose lower polygon is $\mathfrak{B}$ or a divisor of $\mathfrak{B}$ can be represented in the form \[ d\varpi = c_{1}\,d\varpi_{1} + c_{2}\,d\varpi_{2} + c_{3}\,d\varpi_{3} + \cdots \] with constant coefficients $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$, $\ldots$

§ 26. The differentials of the first kind.

We consider first the simplest among the differentials in $\Omega$, namely those whose lower polygon is the zero-gon $\mathfrak{O}$. Such differentials (whose existence, admittedly, has still to be proved) are called differentials of the first kind. The upper polygon $\mathfrak{W}$ of such a differential $dw$, whose order is $2p-2$, is designated as the fundamental polygon of $dw$ and is called a complete polygon of the first kind, while every divisor of such a one is called simply a polygon of the first kind. If $\mathfrak{W} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}$, then $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ are called supplementary polygons of each other. A polygon which is not a divisor of a complete polygon of the first kind, hence in particular every polygon of more than $2p-2$ points, is called a polygon of the second kind.

1. By what was remarked above, all the complete polygons of the first kind form a polygon class $W$, whose dimension is to be determined; if this dimension turns out $> 0$, then the existence of the polygons of the first kind is thereby proved at the same time. But this dimension is the same as the dimension of the family of differentials of the first kind, or also, for an arbitrary variable $z$, of the family of differential quotients of the first kind, if we designate as differential quotients of the first kind with respect to $z$ the functions \[ u = \frac{dw}{dz} \] Such a function $u$ has by § 25, (2.) the expression \[ u = \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \] and one easily recognizes from the consideration of the order numbers at the various points that such a differential quotient of the first kind is completely defined by the following two properties:

I. At every point $\mathfrak{P}$ at which $z$ has a finite value $z_{0}$, \[ (u(z-z_{0}))_{0} = 0. \]

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II. At a point $\mathfrak{P}$ at which $z$ is infinite, \[ (zu)_{0} = 0. \]

If, as in § 11, 4., \[ r = (z-c)(z-c_{1})(z-c_{2})\ldots \] denotes the product of all the mutually different linear factors of the discriminant $\Delta_{z}(\Omega)$, and $\mathfrak{r}$ the product of all the mutually different prime ideals going into $r$, then the condition I. is completely equivalent to the condition that $ru$ be a function in $\mathfrak{r}$, or that $u$ must be a function of the module $\mathfrak{e}$ complementary to $\mathfrak{o}$ (§ 11, 4. (6.)). In order therefore to obtain the totality of the functions $u$, one has to look among the functions in $\mathfrak{e}$ for those which satisfy the condition II.

2. For this purpose we take as foundation a normal basis $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ of $\mathfrak{o}$ (§ 22) and denote the basis complementary to it by $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots \mu_{n}$, so that every function satisfying the condition I., hence also every differential quotient of the first kind, is contained in the form \[ u = y_{1}\mu_{1} + y_{2}\mu_{2} + \cdots + y_{n}\mu_{n}, \tag{1.} \] where $y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}$ are integral rational functions of $z$. But from the fundamental properties of the complementary basis there results (§ 10, 3.) \[ y_{s} = S(u\lambda_{s}); \quad \frac{y_{s}}{z^{r_{s}-1}} = S\left(uz\cdot\frac{\lambda_{s}}{z^{r_{s}}}\right). \] Now since $\frac{\lambda_{s}}{z^{r_{s}}}$ is contained in $\mathfrak{o}'$, hence finite for $z = \infty$, and $uz$ by II. vanishes at every such point, it follows (§ 16, 5.) that $\frac{y_{s}}{z^{r_{s}-1}}$ must vanish for $z = \infty$, i.e. that the integral rational function $y_{s}$ cannot exceed the degree $r_{s}-2$.

Therefore, if $r_{s} < 2$, $y_{s}$ must vanish; hence under all circumstances (§ 22, 2.) \[ y_{1} = 0; \quad S(u) = 0 \] (Abel's theorem for differentials of the first kind) and, if $r_{s} \geqq 2$: \[ y_{s} = c_{0} + c_{1}z + c_{2}z^{2} + \cdots + c_{r_{s}-2}z^{r_{s}-2}. \tag{2.} \] It remains to be shown that these conditions are also sufficient, i.e. that every function of the form (1.), in which the $y_{s}$ have the expression (2.), satisfies the requirement II., or, what is the same, that, if $r_{s} \geqq 2$, $z^{r_{s}-1}\mu_{s}$ vanishes at all points at which $z$ becomes infinite.

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This results at once from the consideration of the system $\mathfrak{o}'$ of the integral functions of $z' = \frac{1}{z}$, for which by § 22, 3. the functions \[ \lambda'_{1} = \frac{\lambda_{1}}{z^{r_{1}}}, \quad \lambda'_{2} = \frac{\lambda_{2}}{z^{r_{2}}}, \quad \ldots \quad \lambda'_{n} = \frac{\lambda_{n}}{z^{r_{n}}} \] form a normal basis. The basis complementary to this is by § 10, 5. \[ \mu'_{1} = z^{r_{1}}\mu_{1}, \quad \mu'_{2} = z^{r_{2}}\mu_{2}, \quad \ldots \quad \mu'_{n} = z^{r_{n}}\mu_{n}, \] and since (because of the property I., applied to $z'$, $\mu'$) \[ z'\mu'_{s} = 0 \quad \text{for} \quad z' = 0, \] it follows \[ z^{r_{s}-1}\mu_{s} = 0 \quad \text{for} \quad z = \infty \] q. e. d.

But since the functions $z^{h}\mu_{s}$ are linearly independent (because of the rational independence of the functions $\mu_{s}$), there results from this, by § 24, (2.), the fundamental theorem:

The family of differentials of the first kind is of the dimension \[ (r_{2}-1) + (r_{3}-1) + \cdots + (r_{n}-1) = p, \] and accordingly $p$ is also the dimension of the class $W$ of the complete polygons of the first kind.

As a basis of the family of differential quotients of the first kind with respect to $z$ one can choose the $p$ functions $z^{h}\mu_{s}$ $(h \leqq r_{s}-2)$, and the fundamental polygons $\mathfrak{W}_{1}, \mathfrak{W}_{2}, \ldots \mathfrak{W}_{p}$ of the corresponding differentials $dw$ form a basis of the class $W$.

3. For the sake of a later application, a special kind of differential quotients of the first kind $u'$ shall be considered here, namely those in which the condition II. is replaced by the following condition, which includes it.

III. At every point $\mathfrak{P}$ at which $z$ is infinite, let \[ (z^{k}u')_{0} = 0, \] where $k$ is a given positive integer.

The functions $u'$ can be represented by \[ u' = \frac{\mathfrak{U}^{k+1}\mathfrak{W}'}{\mathfrak{Z}} \] and likewise form a family; similarly the polygons $\mathfrak{W}'$ form a class $W'$, whose order is \[ \mathrm{w}-n(k+1) = 2p-2-n(k-1). \] The polygons $\mathfrak{W}'$, however, are not independent of the choice of the variable $z$.

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The dimension of the class $W'$ can be determined by the same method as that of the class $W$. For since the condition I. is fulfilled, the functions $u'$ are likewise contained in the form (1.); but now \[ \frac{y_{s}}{z^{r_{s}-k}} = S\left(u'z^{k}\frac{\lambda_{s}}{z^{r_{s}}}\right) \] must vanish for $z = \infty$, and therefore the degree of the integral rational function $y_{s}$ cannot exceed the number $r_{s}-k-1$. Thus $y_{s}$ vanishes identically as soon as $r_{s} < k+1$; otherwise \[ y_{s} = c_{0} + c_{1}z + \cdots + c_{r_{s}-k-1}z^{r_{s}-k-1}. \tag{3.} \] If conversely $y_{s}$ has this form, then the condition III. is satisfied by the function \[ u' = \overset{s}{\Sigma} y_{s}\mu_{s} \] for, as proved in 2., \[ z^{k}(z^{r_{s}-k-1}\mu_{s}) = z^{r_{s}-1}\mu_{s} \] has the value 0 for $z = \infty$.

From this it follows that the dimension of the family of the functions $u'$, and consequently also of the class $W'$, is \[ = \overset{\iota}{\Sigma}(r_{\iota}-k) \] where, however, only those terms of the sum are to be retained which have a positive value. If all $r_{\iota}-k \leqq 0$, the functions sought do not exist at all.

§ 27. Polygon classes of the first and second kind.

If $\mathfrak{A}$ is a polygon of the first kind, then all the polygons equivalent to $\mathfrak{A}$ are likewise of the first kind. For if $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$ are supplementary polygons and \[ \mathfrak{A}\mathfrak{B} = \mathfrak{W}, \] then, if $A$, $B$ are the classes of $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$: \[ AB = W, \] and, if $\mathfrak{A}'$ is equivalent to $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'\mathfrak{B} = \mathfrak{W}'$ too is equivalent to $\mathfrak{W}$ (§ 18, 5.).

We therefore call such classes as contain polygons of the first kind polygon classes of the first kind, and the rest polygon classes of the second

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kind. The class $W$ of the complete polygons of the first kind is called the principal class, and two classes $A$, $B$ which satisfy the condition \[ AB = W, \] supplementary classes.

If \[ \eta = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} \] is a function in $\Omega$, and $\mathfrak{A}'$ relatively prime to $\mathfrak{A}$, hence the class $A$ of $\mathfrak{A}$ a proper one, then we call $\eta$ a function of the first or second kind, according as the class $A$ is of the first or of the second kind.

If $A$ is an arbitrary class of the first kind and $q$ the number of mutually independent polygons $\mathfrak{W}$ which are divisible by some polygon $\mathfrak{A}$ of the class $A$, then by § 21, 2. \[ q = (A, W) = (O, B) \] i.e. equal to the dimension of the supplementary class $B$ of $A$. Likewise $(B, W)$ is equal to the dimension of the class $A$. If $A$ is a class of the second kind, then $(A, W) = 0$. Since $p$ is the dimension of $W$, then by § 20, 2., 3. every class whose order is $\leqq p-1$ is of the first kind, and there are in particular classes $A$ of the order $p-k$ such that $(A, W) = (O, B) = k$. From the same theorems it follows that there are classes of the order $p$ which are of the second kind.

§ 28. The Riemann-Roch theorem for proper classes.

The Riemann-Roch theorem, which in its usual mode of expression teaches the number of arbitrary constants contained in a function that becomes infinite at a certain number of given points, contains, in our mode of presentation, a relation between the dimension and the order of a class, resp. between a class and its supplementary class. Restricting ourselves first to proper classes, we premise the following remarks to the derivation of this fundamental relation.

1. In a proper class $A$ one can by § 19, 2. always select two polygons $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'$ relatively prime to each other (one of them may be assumed arbitrarily in the class). If therefore one sets \[ z = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{A}} \]

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and, if $\mathfrak{A}''$ denotes an arbitrary third polygon of the class $A$: \[ \omega = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}}, \quad \frac{\omega}{z} = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}'}, \] then by § 17 $\omega$ is an integral function of $z$, and $\frac{\omega}{z}$ an integral function of $\frac{1}{z}$. Therefore (§ 22) the exponent of $\omega \leqq 1$.

If conversely $\omega$ is an integral function of $z$ whose exponent is $\leqq 1$, then it has the form \[ \omega = \frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}}, \] where $\mathfrak{A}''$ is a polygon of the class $A$. For if \[ \omega = \frac{\mathfrak{A}''_{1}}{\mathfrak{A}_{1}}, \quad \frac{\omega}{z} = \frac{\mathfrak{A}''_{1}\mathfrak{A}}{\mathfrak{A}_{1}\mathfrak{A}'} \] and $\mathfrak{A}''_{1}$ is assumed relatively prime to $\mathfrak{A}_{1}$, then first, since $\omega$ is to be an integral function of $z$, $\mathfrak{A}_{1}$ can contain no point which is not also contained in $\mathfrak{A}$. But neither can $\mathfrak{A}_{1}$ contain any point more often than $\mathfrak{A}$, because otherwise $\frac{\omega}{z}$ would be infinite at such a point (which cannot occur in $\mathfrak{A}'$), and hence would not be an integral function of $\frac{1}{z}$. Therefore $\mathfrak{A}$ is divisible by $\mathfrak{A}_{1}$, and $\omega$ can be put into the form $\frac{\mathfrak{A}''}{\mathfrak{A}}$.

2. In order therefore to obtain the totality of the polygons of the class $A$, we have only to look for those integral functions of $z$ whose exponent is $\leqq 1$.

If $n$ is the order of the class $A$, hence also the order of the variable $z$, and $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ form a normal basis of $\mathfrak{o}$ with the exponents $r_{1}, r_{2}, \ldots r_{n}$, among them $r_{s}$ the last which is $\leqq 1$, then every function $\omega$ whose exponent is $\leqq 1$ can by § 22, 2. be represented in the form \[ \omega = c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{s}\lambda_{s} + z\omega_{1}. \] But since the exponent of $z\omega_{1}$ cannot be greater than 1, $\omega_{1}$ must be a constant, and therefore \[ \omega = c_{1}\lambda_{1} + c_{2}\lambda_{2} + \cdots + c_{s}\lambda_{s} + c_{s+1}z. \] Conversely every function of this form satisfies the requirement posed. Hence $s+1$ is the dimension of the class $A$, which accordingly, in agreement with § 21, 1., is always $\leqq n+1$. But the upper limit $n+1$ can be reached only in the case $p = 0$, and is also actually reached, because in this case $r_{2}, r_{3}, \ldots r_{n} = 1$. From this it follows

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that a single point $\mathfrak{P}$ can belong to a proper class only if $p = 0$.

3. If one of the exponents $r_{s+1}, r_{s+2}, \ldots r_{n}$ is greater than 2, then certainly also $r_{n} > 2$, and by § 26, 2., if $\mathfrak{Z}$ denotes the ramification polygon in $z$, \[ \mu_{n} = \frac{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \quad \mu_{n}z = \frac{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{W}_{1}}{\mathfrak{Z}} = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{A}'\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}} \] are differential quotients of the first kind with respect to $z$, hence \[ \mathfrak{A}\mathfrak{W}_{1} = \mathfrak{A}'\mathfrak{W} \] or, since $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}'$ are relatively prime, \[ \mathfrak{W} = \mathfrak{A}\mathfrak{B}, \quad \mathfrak{W}_{1} = \mathfrak{A}'\mathfrak{B}, \] i.e. the class $A$ is of the first kind ($z$ a variable of the first kind). If therefore we first make the assumption that $A$ is a class of the second kind, it follows \[ r_{s+1} = 2, \quad r_{s+2} = 2, \quad \ldots \quad r_{n} = 2 \] and \[ p = (r_{2}-1) + \cdots + (r_{s}-1) + (r_{s+1}-1) + \cdots + (r_{n}-1) = n-s. \] The dimension $s+1$ of the class $A$ is therefore \[ (O, A) = n-p+1. \]

4. Let us make secondly the assumption that $A$ is of the first kind and, as in § 27, \[ q = (A, W), \] then there exist $q$ linearly independent complete polygons of the first kind divisible by $\mathfrak{A}$, and the differential quotients of the first kind with respect to $z$ corresponding to them, of which there are likewise $q$, and not more, linearly independent ones, have the expression \[ v = \frac{\mathfrak{A}^{3}\mathfrak{B}}{\mathfrak{Z}}, \] where $\mathfrak{B}$ denotes a polygon of $2p-2-n$ points; the class $B$ of $\mathfrak{B}$ is the supplementary class of $A$, and therefore its dimension is equal to $q$ (§ 27).

But these functions $v$ have the property that at the vertices of $\mathfrak{A}$, i.e. for $z = \infty$, not only $zv$ but also \[ z^{2}v = \frac{\mathfrak{A}\mathfrak{A}'^{2}\mathfrak{B}}{\mathfrak{Z}} \] vanishes, and they are completely determined by this and by the requirement of being differential quotients

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of the first kind. For if \[ v = \frac{\mathfrak{A}^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \quad vz^{2} = \frac{\mathfrak{A}'^{2}\mathfrak{W}}{\mathfrak{Z}}, \] then, if $z^{2}v$ is to vanish at all points of $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{W}$ must be divisible by $\mathfrak{A}$, since $\mathfrak{A}'$ is assumed relatively prime to $\mathfrak{A}$. Therefore by § 26, 3: \[ q = (r_{s+1}-2)+(r_{s+2}-2)+\cdots+(r_{n}-2), \] on the other hand \[ p = (r_{s+1}-1)+(r_{s+2}-1)+\cdots+(r_{n}-1), \] consequently: \[ p-q = n-s, \quad s = n-p+q. \] In this is contained the Riemann-Roch theorem, to which, with regard to § 27, we can give the following expression for this case: If $A$, $B$ are supplementary classes of the first kind, of which at least one is a proper one, and $a$, $b$ their orders, hence \[ a+b = 2p-2, \] then \[ (O, A)-\frac{1}{2}a = (O, B)-\frac{1}{2}b. \]

5. If we do not exclude the case $(A, W) = 0$, we can combine the Riemann-Roch theorem for both cases thus:

If $A$ is a proper class of the order $n$, then its dimension is \[ (O, A) = n-p+1+(A, W). \] Since the dimension of a proper class (if it does not consist of the single zero-gon) must be at least $= 2$, it further follows, if $(A, W) = 0$, \[ n \geqq p+1, \] and from this the theorem due to Riemann:

Every function whose order is $\leqq p$ is a function of the first kind.

6. With the help of these theorems it can easily be proved that the principal class $W$ of the complete polygons of the first kind is always a proper one.

For if $\mathfrak{M}$ is the divisor of $W$, then by § 19, 2. a polygon $\mathfrak{A}\mathfrak{M}$ can be found in $W$ such that $\mathfrak{A}$ is relatively prime to $\mathfrak{M}$. The class $A$ of $\mathfrak{A}$ is a proper one (§ 21, 3.), and at the same time $\mathfrak{A}\mathfrak{M}$ is the only polygon of the class $W$ divisible by $\mathfrak{A}$ (because every polygon in $W$ has the divisor $\mathfrak{M}$). Hence \[ (A, W) = 1. \]

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Now $p$ is the dimension of $W$, hence also that of $A$, and consequently by the Riemann-Roch theorem the order of $A$ is equal to $2p-2$, i.e. just as great as that of $W$. Consequently $\mathfrak{M} = \mathfrak{O}$.

§ 29. The Riemann-Roch theorem for improper classes of the first kind.

If $A$ is a class of the first kind with the divisor $\mathfrak{M}$ and \[ A = \mathfrak{M}A', \] then $A'$ is a proper class of the first kind. Let $B$ be the supplementary class of $A$, $B'$ that of $A'$; $a$, $b$ the orders of the classes $A$, $B$; $m$ the order of $\mathfrak{M}$. The whole class $B$ is obtained if in all the polygons of the class $B'$ divisible by $\mathfrak{M}$ one suppresses the factor $\mathfrak{M}$; for if \[ \mathfrak{A}\mathfrak{B} = \mathfrak{A}'\mathfrak{M}\mathfrak{B} = \mathfrak{W}, \] then $\mathfrak{M}\mathfrak{B}$ belongs to the class $B'$, and conversely, if \[ \mathfrak{A}'\mathfrak{B}' = \mathfrak{A}'\mathfrak{M}\mathfrak{B} = \mathfrak{W} \] then $\mathfrak{B}$ belongs to the class $B$.

But from this there results by § 21, 2. \[ (O, B) \geqq (O, B')-m. \] Now $A'$ is a proper class of the same dimension as $A$ and of the order $a-m$, hence (§ 28, 5.) \[ (O, A) = (O, A') = a-m-p+1+(A', W), \] or \[ (O, A) = (O, B')-m+a-p+1; \] therefore \[ (O, A) \leqq (O, B)+a-p+1 = (O, B)+\frac{1}{2}(a-b), \] hence \[ (O, A)-\frac{1}{2}a \leqq (O, B)-\frac{1}{2}b. \] But since the classes $A$, $B$ can be interchanged with each other, it follows in the same way \[ (O, B)-\frac{1}{2}b \leqq (O, A)-\frac{1}{2}a, \] i.e. \[ (O, A)-\frac{1}{2}a = (O, B)-\frac{1}{2}b, \]

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whereby the Riemann-Roch theorem is proved in general for polygon classes of the first kind, in the same form as in § 28, 4.${}^{*)}$.

§ 30. Improper classes of the second kind.

The condition is now to be sought under which a polygon class $A$ of the second kind of the order $n$ can be an improper one at all, whereby the general validity of the Riemann-Roch theorem will result of itself.

1. Every class $A$ can always be converted into a proper class $AN$ by multiplication by another class $N$ of the order $\nu$. For if $\mathfrak{A}$ is an arbitrary polygon in $A$, choose a variable $z$ which remains finite at all points of $\mathfrak{A}$ (§ 15, 6.). If then $\eta$ is an arbitrary function of the ideal in $z$ generated by $\mathfrak{A}$, the upper polygon of $\eta$ is divisible by $\mathfrak{A}$, hence of the form $\mathfrak{A}\mathfrak{N}$, and the class of $\mathfrak{A}\mathfrak{N}$ is a proper one.

2. The dimension of the proper class $AN$ of the second kind is by § 28, 3. \[ (O, AN) = n+\nu-p+1, \] and from this it follows by § 21, 2. \[ (O, A) \geqq n-p+1. \] Now if the divisor $\mathfrak{M}$ of the class $A$ is of the order $m$, and \[ A = \mathfrak{M}A', \] then $A'$ is a proper class of the same dimension as $A$, and consequently (§ 28, 5.) \[ (O, A) = (O, A') = n-m-p+1+(A', W), \] hence \[ (A', W) \geqq m, \] i.e. $A'$ must certainly be of the first kind if $A$ is an improper class. If therefore $B'$ is the supplementary class of $A'$, then also \[ (O, B') \geqq m. \]

*) In the terminology of Christoffel (Ueber die canonische Form der Riemannschen Integrale erster Gattung, Annali di Matematica pura ed applicata, Serie II, Tomo IX) \[ (A, W)+a-p = (O, B)+a-p = (O, A)-1 \] is the “excess” and \[ (A, W)-1 = (O, B)-1 \] the “defect” of the point system $\mathfrak{A}$.

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But if $(O, B') > m$, then by § 20, 2. a polygon $\mathfrak{M}\mathfrak{B}$ divisible by $\mathfrak{M}$ could be found in $B'$, and we would have \[ \mathfrak{A}'\mathfrak{M}\mathfrak{B} = \mathfrak{A}\mathfrak{B} = \mathfrak{W}, \] hence $A$ of the first kind, contrary to the assumption. Hence \[ (A', W) = m \] and consequently \[ (O, A) = n-p+1, \] in which again the Riemann-Roch theorem for this case is contained, exactly in the form of § 28, 3.

3. If the class $A$ contains only one single isolated polygon, then $(O, A) = n-p+1 = 1$, consequently $n = p$, i.e. an isolated polygon of the second kind always has the order $p$. Conversely, by 2., every polygon of the second kind of the order $p$ is an isolated one.

4. Keeping the notation of 2., $(O, B') = m$, and therefore, by the often applied theorem (§ 20, 2.), a polygon divisible by an arbitrary $(m-1)$-gon can be found in $B'$. If therefore, separating off an arbitrary point $\mathfrak{P}$ of $\mathfrak{M}$, one sets \[ \mathfrak{M} = \mathfrak{P}\mathfrak{M}', \] then a polygon $\mathfrak{M}'\mathfrak{B}$ is contained in $B'$, and hence \[ \mathfrak{A}'\mathfrak{M}'\mathfrak{B} = \mathfrak{W}. \] The polygon $\mathfrak{A}'\mathfrak{M}' = \mathfrak{A}''$ and its class $A''$ are therefore of the first kind, and $A$ has, if $P$ denotes the class of $\mathfrak{P}$, the form \[ A = PA''. \] At the same time $(A'', W) = (O, B'') = 1$ must hold, i.e. the supplementary class $B''$ of $A''$ contains only one single isolated polygon $\mathfrak{B}''$, since otherwise a polygon divisible by $\mathfrak{P}$ would exist in $B''$, and hence $A$ too would be of the first kind, contrary to the assumption.

5. If conversely $A''$ is a class of the first kind for which $(A'', W) = 1$, so that the supplementary class $B''$ of $A''$ consists of an isolated polygon $\mathfrak{B}''$; if further $\mathfrak{P}$ is a point not going into $\mathfrak{B}''$, and $P$ its class, then $A = PA''$ is an improper class of the second kind of the order $n$, into whose divisor $\mathfrak{P}$ goes.

That $A$ is of the second kind follows first from the assumption that $\mathfrak{P}$ does not go into $\mathfrak{B}''$. The dimension of $A$ is therefore by 2. \[ (O, A) = n-p+1, \]

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where $n$ denotes the order of $A$; on the other hand the dimension of the class $A''$ is by §§ 28 and 29: \[ (O, A'') = n-p+(A'', W) = n-p+1; \] hence $A$ and $A''$ are of the same dimension. But all the polygons of the class $A''$ pass over by multiplication by $\mathfrak{P}$ into polygons of the class $A$, and because of the equality of the dimensions the latter class too is thereby completely exhausted. Therefore all the polygons of the class $A$ contain the factor $\mathfrak{P}$, which accordingly also goes into the divisor of $A$.

6. In the special case where the genus $p$ of the field $\Omega$ has the value 0, polygons and classes of the first kind do not occur at all. Hence in this case no improper classes exist either. The dimension of every class is greater by 1 than its order. In particular, therefore, every point $\mathfrak{P}$ too belongs to a proper class of dimension 2, and therefore in this case there exist in $\Omega$ functions $z$ which are of the first order. By such a one every other function of the field can be expressed rationally, for the irreducible equation existing between $z$ and another variable of the field is of the first degree with respect to the latter (§ 15, 7.).

§ 31. The differentials of the second and third kind.

1. If now, in the notation introduced in § 25, \[ d\varpi = \frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}} \] is an arbitrary differential in $\Omega$, hence, if $a$, $b$ are the orders of $\mathfrak{A}$ and $\mathfrak{B}$, \[ a = b+2p-2, \] and if $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$ are assumed relatively prime, then, if $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{Z}$ denote the lower polygon and ramification polygon for an arbitrary variable $z$, $\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}$ must be equivalent to $\mathfrak{Z}\mathfrak{B}$ (§ 25). If therefore one denotes by $U$, $Z$, $A$, $B$ the classes of the polygons $\mathfrak{U}$, $\mathfrak{Z}$, $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{B}$, then \[ U^{2}A = ZB \] must hold. But on the other hand, if $W$ is the principal class of the first kind, \[ U^{2}W = Z, \]

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from which the relation \[ A = BW \] results. If conversely $\mathfrak{A}$ is an arbitrary polygon of the class $BW$, then from this follows the equivalence of $\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}$ with $\mathfrak{Z}\mathfrak{B}$, hence the existence of a differential with the notation $\frac{\mathfrak{A}}{\mathfrak{B}}$. From this it follows that $\mathfrak{B}$ can be the lower polygon of a differential $d\varpi$ if and only if there exists in $BW$ a polygon relatively prime to $\mathfrak{B}$, i.e. if the divisor of the class $BW$ is relatively prime to $\mathfrak{B}$. The dimension of the class $BW$ then gives at the same time the dimension of the family of differentials $d\varpi$ belonging to the lower polygon $\mathfrak{B}$ (§ 25). The theorems § 30, 4., 5. therefore yield, since $(W, W) = 1$, the following result.

a) If $\mathfrak{B}$ consists of a single point (if $b = 1$), then the class $BW$ is an improper one with the divisor $\mathfrak{B}$; hence the order $b$ of the lower polygon of a differential $d\varpi$ cannot be equal to one.

b) If $b \geqq 2$, then $BW$ is always a proper class of the second kind, and therefore its dimension is \[ b+p-1. \] Any polygon whatever of more than one point can therefore be the lower polygon of a differential, and among the differentials belonging to a lower polygon of the order $b$ there exist $b+p-1$ linearly independent ones.

2. We now look, under the assumption that $b \geqq 2$, for a basis of the class $A$ of such a kind that every element $\mathfrak{A}_{r}$ of this basis yields a differential $d\varpi_{r}$ of the simplest possible nature, namely one whose lower polygon is a power of a single point or the product of only two different points.

Suppose that such a basis has already been found for the class $BW$ \[ \mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \mathfrak{A}_{3}, \ldots \mathfrak{A}_{b+p-1}, \tag{1.} \] then from it, if $P$ denotes the class of an arbitrary point $\mathfrak{P}$, we form a basis of the same kind for the class $BPW$ of the dimension $b+p$, namely \[ \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{b+p-1}, \mathfrak{A}'. \tag{2.} \] The first $b+p-1$ of these polygons actually belong to the class $BPW$ and are independent of one another, because the polygons (1.) are; at the same time

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the differentials formed from them \[ d\varpi_{r} = \frac{\mathfrak{P}\mathfrak{A}_{r}}{\mathfrak{P}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{A}_{r}}{\mathfrak{B}} \] are identical with those formed from (1.). It therefore only remains to form $\mathfrak{A}'$, where two cases are to be distinguished.

a) If $\mathfrak{P}$ goes into $\mathfrak{B}$ and $\mathfrak{B} = \mathfrak{M}\mathfrak{P}^{m}$, $\mathfrak{M}$ not divisible by $\mathfrak{P}$, then $P^{m+1}W$ is a proper class (because $m+1 \geqq 2$, § 30, 4.), in which consequently there exists a polygon $\mathfrak{N}$ not divisible by $\mathfrak{P}$; if one now sets $\mathfrak{A}' = \mathfrak{M}\mathfrak{N}$, then $\mathfrak{A}'$ belongs to the class $BPW$ and is not divisible by $\mathfrak{P}$, and consequently is also not contained in the family $(\mathfrak{P}\mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{2}, \ldots \mathfrak{P}\mathfrak{A}_{b+p-1})$, whose divisor is $\mathfrak{P}$; consequently the polygons (2.) are independent of one another, and since their number is $b+p$, they form a basis of the class $BPW$. The differential formed from $\mathfrak{A}'$ \[ d\varpi' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{P}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{N}}{\mathfrak{P}^{m+1}} \] has the required form, since its lower polygon is a power of a single point.

b) If $\mathfrak{P}$ does not go into $\mathfrak{B}$, choose once for all a point $\mathfrak{P}_{1}$ going into $\mathfrak{B}$ and set $\mathfrak{B} = \mathfrak{M}\mathfrak{P}_{1}$ (no matter whether $\mathfrak{M}$ is divisible by $\mathfrak{P}_{1}$ or not). Then choose in the proper class $PP_{1}W$ a polygon $\mathfrak{N}$ not divisible by $\mathfrak{P}$ and $\mathfrak{P}_{1}$; then $\mathfrak{A}' = \mathfrak{M}\mathfrak{N}$ again belongs to the class $PBW$, and since $\mathfrak{A}'$ is not divisible by $\mathfrak{P}$, it follows as above that the polygons (2.) form a basis of $BPW$. At the same time \[ d\varpi' = \frac{\mathfrak{A}'}{\mathfrak{P}\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{N}}{\mathfrak{P}\mathfrak{P}_{1}}, \] hence of the required form.

It still remains to describe the beginning of this operation. If $b = 0$, hence $\mathfrak{B} = \mathfrak{O}$, then \[ BW = W = (\mathfrak{W}_{1}, \mathfrak{W}_{2}, \ldots \mathfrak{W}_{p}) \] (the principal class of the first kind).

If $b = 2$, choose from the proper class $BW$ a polygon $\mathfrak{N}$ which is relatively prime to $\mathfrak{B}$; then \[ BW = (\mathfrak{B}\mathfrak{W}_{1}, \mathfrak{B}\mathfrak{W}_{2}, \ldots \mathfrak{B}\mathfrak{W}_{p}, \mathfrak{N}). \] If one starts from this basis in order to determine, in the way described above, a basis (1.) which corresponds to the arbitrarily given polygon \[ \mathfrak{B} = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\mathfrak{P}_{3}^{m_{3}}\ldots \]

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and determines the two polygons $\mathfrak{A}'_{r}$, $\mathfrak{B}'_{r}$ from the condition \[ d\varpi_{r} = \frac{\mathfrak{A}_{r}}{\mathfrak{B}} = \frac{\mathfrak{A}'_{r}}{\mathfrak{B}'_{r}}, \] so that they have no common divisor, then the polygons $\mathfrak{B}'_{r}$ which occur as lower polygons of the differentials $d\varpi_{r}$ are the following:

a) $p$ times the denominator $\mathfrak{O}$ occurs, and the corresponding differentials $d\varpi_{r}$ are the differentials of the first kind.

b) Once each there occur the lower polygons $\mathfrak{P}_{1}^{2}, \mathfrak{P}_{1}^{3}, \ldots \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}$ (if $m_{1} \geqq 2$), $\mathfrak{P}_{2}^{2}, \mathfrak{P}_{2}^{3}, \ldots \mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}$; $\mathfrak{P}_{3}^{2}, \mathfrak{P}_{3}^{3}, \ldots \mathfrak{P}_{3}^{m_{3}}$, ….

The differentials $d\varpi_{r}$ belonging to the lower polygons $\mathfrak{P}^{r}$ are, when a more precise distinction is necessary, denoted by $dt_{(\mathfrak{P}^{r-1})}$ and are called differentials of the second kind.

c) Finally the products $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}$, $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{3}$, … (with $\mathfrak{P}_{1}$ held fixed) occur once each. The corresponding differentials $d\varpi_{r}$ are denoted by $d\pi_{(\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{r})}$ and are called differentials of the third kind.

Every differential $d\varpi$ whose lower polygon is $\mathfrak{B}$ can be represented in the form \[ d\varpi = \overset{r}{\Sigma} c_{r}\,d\varpi_{r} \tag{3.} \] with constant coefficients $c_{r}$, which is called the normal form of the differential $d\varpi$. If each of the individual differentials $d\varpi_{r}$ has been chosen in a determinate way, then the normal form can also be produced in only one single way, which follows immediately from the linear independence of the differentials $d\varpi_{r}$.

§ 32. The residues.

1. If $d\varpi$ is an arbitrary differential in $\Omega$ and $\mathfrak{P}$ a point which occurs $m$ times in its lower polygon $\mathfrak{B}$ ($m \geqq 0$), choose a variable $z$ such that it becomes $\infty^{1}$ at $\mathfrak{P}$. Then one can set (by § 15, 4.), and indeed in only one way, \[ \frac{d\varpi}{dz} = a_{m-2}z^{m-2}+a_{m-3}z^{m-3}+\cdots+a_{1}z+a_{0}+a_{-1}z^{-1}+\eta z^{-2}, \tag{1.} \] where the $a$ are constants and $\eta$ a function in $\Omega$ which is finite at $\mathfrak{P}$. The coefficient $-a_{-1}$ of $-z^{-1}$ in this expression is called the residue of the differential $d\varpi$ with respect to the point $\mathfrak{P}$. From this definition the following theorems result:

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2. The residue with respect to a point $\mathfrak{P}$ can be different from zero only if $m > 0$, i.e. if the point $\mathfrak{P}$ actually occurs in the lower polygon of $d\varpi$, and is therefore always equal to 0 for the differentials of the first kind.

3. The residue of a sum of differentials is equal to the sum of the residues of the individual differentials.

4. The residue of a proper differential is always equal to 0. For if $\sigma$ is a function in $\Omega$, and, where the $b$ denote constants and $\sigma'$ a function finite at $\mathfrak{P}$, \[ \sigma = b_{m}z^{m}+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_{1}z+\sigma', \] then there results, by differentiation of this expression with respect to $z$, since $\frac{d\sigma'}{dz}$ is infinitely small of at least the second order at $\mathfrak{P}$ (§ 23, 10.)****Editorial note: Printed "§ 23, 10.", but § 23 has only articles 1.–9. and formulas (1.)–(9.). The fact used is presumably § 23, 8.: the order of $\frac{d\alpha}{d\beta}$ is the difference of the orders of $\alpha-\alpha_{0}$ and $\beta-\beta_{0}$ (following formula (7.)). Here $z$ is $\infty^{1}$ in $\mathfrak{P}$ and $\sigma'$ is finite there, so $\frac{d\sigma'}{dz}$ has order at least $1-(-1) = 2$., that in the expression for $\frac{d\sigma}{dz}$ a term with $z^{-1}$ does not occur at all, whereby the assertion is proved.

5. The residue of a differential $d\varpi$ is independent of the choice of the variable $z$. For if $z_{1}$ is a second variable of the same nature as $z$, hence, where $a$ is constant and $\zeta$ finite at $\mathfrak{P}$: \[ z = az_{1}+\zeta, \tag{2.} \] then there results, if for brevity \[ \alpha = \frac{a_{m-2}z^{m-1}}{m-1}+\frac{a_{m-3}z^{m-2}}{m-2}+\cdots+a_{0}z \] is set: \[ \frac{d\varpi}{dz_{1}} = \frac{d\varpi}{dz}\frac{dz}{dz_{1}} = \frac{d\alpha}{dz_{1}}+a_{-1}z^{-1}\frac{dz}{dz_{1}}-\eta\frac{dz^{-1}}{dz_{1}}. \] Now, if $\zeta'$, $\zeta''$ are functions finite at $\mathfrak{P}$, then, as follows easily by § 23 and § 15, 4.: \[ z^{-1}\frac{dz}{dz_{1}} = z_{1}^{-1}+z_{1}^{-2}\zeta', \quad \frac{dz^{-1}}{dz_{1}} = z_{1}^{-2}\zeta'', \] and from this follows by 3., 4. the correctness of the stated assertion${}^{*)}$.

6. The sum of the residues of every differential $d\varpi$ with respect to all points $\mathfrak{P}$ is always equal to zero.

*) In the definition of the residue one can also take as foundation a variable $r$ which is infinitely small of the first order at $\mathfrak{P}$. If then \[ \frac{d\varpi}{dr} = a_{m}r^{-m}+\cdots+a_{1}r^{-1}+\eta \] and $\eta$ is finite at $\mathfrak{P}$, then $a_{1}$ is the residue of $d\varpi$ with respect to $\mathfrak{P}$.

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In proving this important theorem we can restrict ourselves to the consideration of the residues which belong to all the mutually different points going into the lower polygon $\mathfrak{B}$ of $d\varpi$; to these, however, we add as many mutually different arbitrary points with vanishing residues as are needed to obtain a polygon $\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\ldots\mathfrak{P}_{n}$ consisting entirely of simple points and belonging to a proper class. Then we choose a variable $z$ of the order $n$ whose lower polygon is just this polygon, which therefore becomes $\infty^{1}$ at each of the points $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots \mathfrak{P}_{n}$ and only at these. Among these are then found all the mutually different points going into $\mathfrak{B}$. Under this assumption there results for $\iota = 1, 2, \ldots n$ \[ \frac{d\varpi}{dz} = a_{m-2}^{(\iota)}z^{m-2}+a_{m-3}^{(\iota)}z^{m-3}+\cdots+a_{0}^{(\iota)}+a_{-1}^{(\iota)}z^{-1}+\eta^{(\iota)}z^{-2}, \tag{3.} \] where $\eta^{(\iota)}$ denotes a function finite at $\mathfrak{P}_{\iota}$. If we also admit the value 0 for the constants $a^{(\iota)}$, the exponent $m$ can be assumed independent of $\iota$ ($m$ is then, if not all $a_{m-2}^{(\iota)}$ vanish, the exponent of the highest power of a single point which occurs in $\mathfrak{B}$). The theorem to be proved then consists in this, that $\overset{\iota}{\Sigma} a_{-1}^{(\iota)} = 0$. To prove it, we form the trace of the function $\frac{d\varpi}{dz}$ for the variable $z$ (§ 2), and in doing so make use of an extension of the procedure of § 16, 4. We choose a system of functions $\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{n}$ in $\Omega$ as follows: Let \[ \begin{matrix} \varrho_{1} = 0^{m} & \text{at}\ \mathfrak{P}_{2}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots \mathfrak{P}_{n}, & \text{finite} & \text{and} & \text{different} & \text{from} & \text{zero} & \text{at} & \mathfrak{P}_{1}, \\ \varrho_{2} = 0^{m} & \text{at}\ \mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{3}, \ldots \mathfrak{P}_{n}, & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{P}_{2}, \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \varrho_{n} = 0^{m} & \text{at}\ \mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots \mathfrak{P}_{n-1}, & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \text{''} & \mathfrak{P}_{n}. \end{matrix} \] Now if $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ are rational functions of $z$, and \[ \eta = x_{1}\varrho_{1}+x_{2}\varrho_{2}+\cdots+x_{n}\varrho_{n} \] is a function in $\Omega$ which is finite for $z = \infty$, i.e. at $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots \mathfrak{P}_{n}$, then $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ must likewise be finite for $z = \infty$. For if the $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ are not all finite for $z = \infty$, there exists a positive exponent $r$ of such a nature that the products $x_{1}z^{-r}, x_{2}z^{-r}, \ldots x_{n}z^{-r}$ are all finite for $z = \infty$, and at least one of them, say $x_{1}z^{-r}$, is different from zero; but then the equation \[ \eta z^{-r} = x_{1}z^{-r}\varrho_{1}+\cdots+x_{n}z^{-r}\varrho_{n} \] contains the contradiction that at the point $\mathfrak{P}_{1}$ the left-hand side and all the terms of the right-hand side except the first vanish.

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From this it follows at the same time, if one sets $\eta = 0$, that the functions $\varrho_{1}, \varrho_{2}, \ldots \varrho_{n}$ form a basis of $\Omega$. If therefore one sets, denoting by $x_{\iota,\iota'}$ rational functions of $z$, \[ \frac{d\varpi}{dz}\varrho_{\iota} = x_{\iota,1}\varrho_{1}+x_{\iota,2}\varrho_{2}+\cdots+x_{\iota,n}\varrho_{n}, \qquad {\scriptstyle (\iota = 1,\, 2,\, \ldots\, n)} \tag{4.} \] then (§ 2) \[ S\left(\frac{d\varpi}{dz}\right) = x_{1,1}+x_{2,2}+\cdots+x_{n,n}. \tag{5.} \] Now, as emerges from (3.), $z^{-m+2}\frac{d\varpi}{dz}\varrho_{\iota}$ is finite for $z = \infty$, and from this it follows, by the property of the functions $\varrho$ just proved, that the \[ z^{-m+2}x_{\iota,\iota'} \] too are finite for $z = \infty$. Now, e.g., at the point $\mathfrak{P}_{2}$ the functions $\varrho_{1}, \varrho_{3}, \ldots \varrho_{n}$ are infinitely small of the $m^{\text{th}}$ order, while $\varrho_{2}$ is finite there and different from zero. Therefore at $\mathfrak{P}_{2}$ the functions \[ z\frac{d\varpi}{dz}\varrho_{1}, \quad zx_{1,1}\varrho_{1}, \quad zx_{1,3}\varrho_{3}, \quad \ldots \quad zx_{1,n}\varrho_{n} \] will all vanish, and consequently $zx_{1,2}$ too must vanish for $z = \infty$. The same follows for $zx_{1,3}, \ldots zx_{1,n}$, and in general for $zx_{\iota,\iota'}$ as soon as $\iota$, $\iota'$ are different from each other. Therefore $z^{2}x_{\iota,\iota'}$ will be finite for $z = \infty$.

If one now sets, letting $x_{\iota}$ denote a new rational function, \[ x_{\iota,\iota} = a_{m-2}^{(\iota)}z^{m-2}+a_{m-3}^{(\iota)}z^{m-3}+\cdots+a_{-1}^{(\iota)}z^{-1}+x_{\iota}z^{-2}, \tag{6.} \] then it follows from (3.) \[ x_{\iota,\iota}-\frac{d\varpi}{dz} = z^{-2}(x_{\iota}-\eta^{(\iota)}), \] and from (4.) \[ (\eta^{(\iota)}-x_{\iota})\varrho_{\iota} = z^{2}x_{\iota,1}\varrho_{1}+\cdots+z^{2}x_{\iota,\iota-1}\varrho_{\iota-1}+z^{2}x_{\iota,\iota+1}\varrho_{\iota+1}+\cdots+z^{2}x_{\iota,n}\varrho_{n}. \] Now since at $\mathfrak{P}_{\iota}$ $\eta^{(\iota)}$ is finite and $\varrho_{\iota}$ different from zero, and further all the terms of the right-hand side are zero, it follows that $x_{\iota}$ too is finite at the point $\mathfrak{P}_{\iota}$, and consequently, since it is rational, for $z = \infty$. From (5.) and (6.) there then results \[ S\left(\frac{d\varpi}{dz}\right) = \overset{\iota}{\Sigma} a_{m-2}^{(\iota)}z^{m-2}+\overset{\iota}{\Sigma} a_{m-3}^{(\iota)}z^{m-3}+\cdots+\overset{\iota}{\Sigma} a_{-1}^{(\iota)}z^{-1}+\overset{\iota}{\Sigma} x_{\iota}z^{-2}. \tag{7.} \] But now on the other hand, if again $\mathfrak{U}$ is the lower polygon and $\mathfrak{Z}$ the ramification polygon of $z$: \[ \frac{d\varpi}{dz} = \frac{\mathfrak{U}^{2}\mathfrak{A}}{\mathfrak{Z}\mathfrak{B}}, \]

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and $\mathfrak{B}$ contains no point which is not also contained in $\mathfrak{U}$. From this it follows, as in § 26, that $\frac{d\varpi}{dz}$, regarded as a function of $z$, is a function of the module $\mathfrak{e}$ complementary to $\mathfrak{o}$, and consequently \[ S\left(\frac{d\varpi}{dz}\right) \] is an integral rational function of $z$ (§ 11, 4.). If one takes this into account, there follows from (7.) $\overset{\iota}{\Sigma} x_{\iota} = 0$, and further the theorem to be proved \[ \overset{(\iota)}{\Sigma} a_{-1}^{(\iota)} = 0. \]

We can also give this theorem the following expression: The residue of a differential of the second kind $dt_{(\mathfrak{P}^{r})}$ with respect to the point $\mathfrak{P}$ is zero.

The residues of an integral of the third kind $d\pi_{(\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2})}$ with respect to $\mathfrak{P}_{1}$, $\mathfrak{P}_{2}$ are equal and opposite to each other, and certainly different from zero, since otherwise $d\pi$ would be a differential of the first kind.

From these remarks it further follows by means of 4. that a proper differential $d\sigma$, represented in the normal form, can contain no differential of the third kind. It deserves further to be mentioned that the residues of the logarithmic differential $\frac{d\sigma}{\sigma}$ are integers, namely the order numbers of the function $\sigma$ (in consequence of § 23).

§ 33. Relations between differentials of the first and second kind.

1. Let $\sigma$ be a function in $\Omega$ with the lower polygon \[ \mathfrak{B}' = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}-1}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}-1}\ldots \qquad {\scriptstyle (m_{1},\, m_{2},\, \ldots\, \geqq 2)} \] and the ramification polygon (§ 16) \[ \mathfrak{S} = \mathfrak{S}'\mathfrak{P}_{1}^{m_{1}-2}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}-2}\ldots, \] where $\mathfrak{S}'$ is not divisible by the points $\mathfrak{P}_{1}, \mathfrak{P}_{2}, \ldots$, which are assumed different. Accordingly, in the symbolic notation of § 25, the proper differential is \[ d\sigma = \frac{\mathfrak{S}}{\mathfrak{B}'^{2}} = \frac{\mathfrak{S}'}{\mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\ldots}, \] from which it emerges first that a proper differential can never be of the first kind.

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2. The proper differential $d\sigma$, which in its representation by the normal form can contain only differentials of the first and second kind, belongs to the family of those differentials whose lower polygon is \[ \mathfrak{B} = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\cdots = \mathfrak{B}'\mathfrak{P}_{1}\mathfrak{P}_{2}\ldots \] Conversely, therefore, one will also always find at least one proper differential $d\sigma$ in such a family, provided that $m_{1}, m_{2}, \ldots \geqq 2$ and that $\mathfrak{B}'$ belongs to a proper polygon class. For by 1. all that is required for this is that there exist in $\Omega$ a function $\sigma$ with the lower polygon $\mathfrak{B}'$.

3. From this there now results the following important theorem. All differentials of the second kind can be represented linearly, with constant coefficients, by $p$ particular suitably chosen differentials of the second kind, by differentials of the first kind, and by proper differentials.

To see this, choose an arbitrary polygon $\mathfrak{A}$ of the second kind of the order $p$. Now if $\mathfrak{P}$ is an arbitrary point and $r$ a positive exponent, then the polygon $\mathfrak{A}\mathfrak{P}^{r}$ is likewise of the second kind, and consequently the divisor $\mathfrak{M}$ of the corresponding class cannot be divisible by $\mathfrak{P}$, because otherwise $\mathfrak{A}\mathfrak{P}^{r-1}$, and hence also $\mathfrak{A}$, would be a polygon of the first kind (§ 30, 4.). If therefore one sets \[ \mathfrak{A}\mathfrak{P}^{r} = \mathfrak{M}\mathfrak{B}', \] then $\mathfrak{P}$ will not go into $\mathfrak{M}$, and consequently $\mathfrak{B}'$ contains the factor $\mathfrak{P}$ exactly $r$ times more often than $\mathfrak{A}$. At the same time $\mathfrak{B}'$ belongs to a proper class. Now if \[ \mathfrak{B}' = \mathfrak{P}^{m+r}\mathfrak{P}'^{m'}\mathfrak{P}''^{m''}\ldots, \] then the powers of points $\mathfrak{P}^{m}$, $\mathfrak{P}'^{m'}$, $\mathfrak{P}''^{m''}$, … all go into $\mathfrak{A}$. If therefore we set \[ \mathfrak{B} = \mathfrak{P}^{m+r+1}\mathfrak{P}'^{m'+1}\mathfrak{P}''^{m''+1}\ldots = \mathfrak{B}'\mathfrak{P}\mathfrak{P}'\mathfrak{P}''\ldots, \] then by 2. there certainly exists a proper differential $d\sigma$ in the family of differentials belonging to the lower polygon $\mathfrak{B}$. Its representation by the normal form certainly contains the differential \[ dt_{(\mathfrak{P}^{m+r})} \tag{1.} \] and besides all or some of the differentials \[ \left\{ \begin{matrix} dt_{(\mathfrak{P})}, & dt_{(\mathfrak{P}^{2})}, & \ldots & dt_{(\mathfrak{P}^{m})}\ldots dt_{(\mathfrak{P}^{m+r-1})}, \\ dt_{(\mathfrak{P}')}, & dt_{(\mathfrak{P}'^{2})}, & \ldots & dt_{(\mathfrak{P}'^{m'})}, \\ dt_{(\mathfrak{P}'')}, & dt_{(\mathfrak{P}''^{2})}, & \ldots & dt_{(\mathfrak{P}''^{m''})} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{matrix} \right. \tag{2.} \]

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together with differentials of the first kind. Hence the differential (1.) can be expressed linearly, with constant coefficients, by (2.), by differentials of the first kind, and by $d\sigma$.

If therefore the $p$-gon of the second kind is \[ \mathfrak{A} = \mathfrak{P}_{1}^{m_{1}}\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}}\ldots \] one recognizes, by repeated application of the procedure described here, that all differentials of the second kind can be represented, in the way our theorem states, by the $p$ differentials \[ \left\{ \begin{matrix} dt_{(\mathfrak{P}_{1})}\ldots dt_{(\mathfrak{P}_{1}^{m_{1}})}, \\ dt_{(\mathfrak{P}_{2})}\ldots dt_{(\mathfrak{P}_{2}^{m_{2}})}, \\ \cdots \end{matrix} \right. \tag{3.} \]

Braunschweig and Königsberg i. Pr., October 1880.