Beweis der Unmöglichkeit algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen.

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Beweis der Unmöglichkeit algebraische Gleichungen von höheren Graden als dem vierten allgemein aufzulösen.

(Von Herrn N. H. Abel.)

Bekanntlich kann man algebraische Gleichungen bis zum vierten Grade allgemein auflösen, Gleichungen von höhern Graden aber nur in einzelnen Fällen, und irre ich nicht, so ist die Frage:

Ist es möglich, Gleichungen von höhern als dem vierten Grade allgemein aufzulösen?

noch nicht befriedigend beantwortet worden. Der gegenwärtige Aufsatz hat diese Frage zum Gegenstande.

Eine Gleichung algebraisch auflösen heißt nichts anders, als ihre Wurzeln durch eine algebraische Function der Coefficienten ausdrücken. Man muß also erst die allgemeine Form algebraischer Functionen betrachten und alsdann untersuchen, ob es möglich sei, der gegebenen Gleichung auf die Weise genug zu thun, daß man den Ausdruck einer algebraischen Function statt der unbekannten Größe setzt.

§. I. Ueber die allgemeine Form algebraischer Functionen.

Wenn $x', x'', x''' \ldots$ eine endliche Menge beliebiger Größen sind, so sagt man: $\varrho$ sei eine algebraische Function dieser Größen, wenn es sich durch $x', x'', x''' $ etc. vermittelst folgender Operationen ausdrücken läßt. Erstlich durch die Addition, zweitens durch die Multiplication, sowohl von Größen, die von $x', x'', x''' \ldots$ abhängen, als von Größen, die nicht davon abhängen; drittens durch die Division; viertens durch Ausziehen von Wurzeln mit Exponenten, die Primzahlen sind. Wir nennen die Subtraction, Potenziirung und Ausziehung von Wurzeln mit zusammengesetzten Exponenten nicht besonders, weil sie offenbar in den vier vorhin genannten Operationen mit enthalten sind.

Läßt sich die Function $\varrho$ durch die drei ersten der vier obigen Operationen zusammensetzen, so ist sie algebraisch rational oder blos rational; und

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sind nur die beiden ersten Operationen nöthig, so heißt sie algebraisch-rational und ungebrochen, oder auch blos ganze Function.

Es sei $f(x', x'', x''' \ldots)$ eine beliebige Function, welche durch die Summe einer endlichen Zahl von Gliedern von der Form \[ A\,x'^{m_1} x''^{m_2} \ldots \] ausgedrückt werden kann, wo $A$ eine von $x', x''$ etc. unabhängige Größe ist, und $m_1, m_2$ etc. ganze positive Zahlen bedeuten; so ist klar, daß die zwei ersten obigen Operationen besondere Fälle der durch $f(x', x'' \ldots)$ bezeichneten Operation sind. Man kann also ganze Functionen, ihrer Definition zufolge, als aus einer endlichen Zahl von Wiederholungen dieser Operationen entstehend betrachten. Bezeichnet man nun durch $\varrho', \varrho'', \varrho''' $ etc. mehrere Functionen der Größen $x', x'', x''' \ldots$ von der nämlichen Form wie $f(x', x'' \ldots)$, so ist auch offenbar $f(\varrho', \varrho'', \varrho''' \ldots)$ eine Function von eben der Form wie $f(x', x'' \ldots)$. Nun ist $f(\varrho', \varrho'' \ldots)$ der allgemeine Ausdruck der Functionen, welche durch zweimalige Wiederholung der Operation $f(x', x'' \ldots)$ entstehen. Man findet also auch immer das nämliche Resultat, wenn man die Operation beliebig oft wiederholt. Daraus folgt, daß jede ganze Function mehrer Größen $x', x'' \ldots$ durch die Summe mehrer Glieder von der Form $A x'^{m_1} x''^{m_2} \ldots$ ausgedrückt werden kann.

Wir wollen nunmehr die rationalen Functionen betrachten.

Wenn $f(x', x'' \ldots)$ und $\varphi(x', x'' \ldots)$ zwei ganze Functionen sind, so ist klar, daß der Quotient \[ \frac{f(x', x'' \ldots)}{\varphi(x', x'' \ldots)} \] ein besonderer Fall der Resultate der drei ersten Operationen ist, welche rationale Functionen geben. Man kann also eine rationale Function als das Resultat der Wiederholung dieser Operation betrachten. Bezeichnet man durch $\varrho', \varrho'', \varrho''' $ etc. mehrere Functionen von der Form $\dfrac{f(x', x'' \ldots)}{\varphi(x', x'' \ldots)}$, so ist leicht zu sehen, daß $\dfrac{f(\varrho', \varrho'' \ldots)}{\varphi(\varrho', \varrho'' \ldots)}$ wiederum auf die nämliche Form gebracht werden kann. Es folgt also, wie oben bei den ungebrochenen Functionen, daß jede rationale Function von mehreren Größen $x', x'' \ldots$ immer auf die Form \[ \frac{f(x', x'' \ldots)}{\varphi(x', x'' \ldots)} \] gebracht werden kann, wo Zähler und Nenner ganze Functionen sind.

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Wir wollen ferner die allgemeine Form algebraischer Functionen suchen.

Man bezeichne durch $f(x', x'' \ldots)$ eine beliebige rationale Function, so ist klar, daß jede algebraische Function vermittelst der durch $f(x', x'' \ldots)$ bezeichneten Operation, verbunden mit der Operation $\sqrt[m]{r}$, wo $m$ eine Primzahl ist, zusammengesetzt werden kann. Sind also $p', p'' \ldots$ rationale Functionen von $x', x'' \ldots$, so wird \[ p_1 = f(x', x'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots) \] die allgemeine Form algebraischer Functionen von $x', x'' \ldots$ sein, in welchen sich die durch $\sqrt[m]{r}$ ausgedrückte Operation nunmehr nur auf rationale Functionen bezieht. Wir wollen die Functionen von der Form $p_1$ algebraische Functionen von der ersten Ordnung nennen. Bezeichnet man durch $p_1', p_1'' $ etc. mehrere Größen von der Form $p_1$, so wird \[ p_2 = f(x', x'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots \sqrt[n_1']{p_1'}, \sqrt[n_1'']{p_1''} \ldots) \] die allgemeine Form algebraischer Functionen von $x', x'' \ldots$ sein, in welchen die Operation $\sqrt[m]{r}$ sich nur auf rationale und auf algebraische Functionen von der ersten Ordnung bezieht. Wir wollen die Functionen von der Form $p_2$ algebraische Functionen von der zweiten Ordnung nennen. Auf dieselbe Weise wird der Ausdruck \[ p_3 = f(x', x'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots \sqrt[n_1']{p_1'}, \sqrt[n_1'']{p_1''} \ldots \sqrt[n_2']{p_2'}, \sqrt[n_2'']{p_2''} \ldots), \] in welchem $p_2', p_2''$ Functionen der zweiten Ordnung sind, die allgemeine Form algebraischer Functionen von $x', x'' \ldots$ sein, in welchen die Operation $\sqrt[m]{r}$ sich nur auf rationale und auf algebraische Functionen der ersten und zweiten Ordnung bezieht.

Fährt man auf diese Weise fort, so bekommt man algebraische Functionen von der dritten, vierten $\ldots \mu^{\text{ten}}$ Ordnung, und es ist klar, daß der Ausdruck der Functionen von der $\mu^{\text{ten}}$ Ordnung der allgemeine Ausdruck algebraischer Functionen sein wird.

Bezeichnet man also durch $\mu$ die Ordnungszahl einer beliebigen algebraischen Function und durch $\varrho$ die Function selbst, so ist \[ \varrho = f(r', r'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots), \] wo $p', p'' \ldots$ Functionen von der Ordnung $\mu - 1$; $r', r'' \ldots$ Functionen von der Ordnung $\mu - 1$, oder niedrigen Ordnungen, und $n', n'' \ldots$ Primzahlen sind. $f$ bezeichnet, wie immer, eine rationale Function der Größen, welche zwischen den Klammern stehen.

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Man kann offenbar annehmen, daß es unmöglich ist, eine der Größen $\sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots$ durch eine rationale Function der übrigen und der Größen $r', r'' \ldots$ auszudrücken; denn wäre es möglich, so würde $\varrho$ die einfachere Gestalt \[ \varrho = f(r', r'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots) \] haben, wo die Zahl der Größen $\sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots$ wenigstens um eine Einheit geringer wäre wie oben. Reducirte man nun, wenn es angeht, diesen Ausdruck von $\varrho$ eben so noch weiter, so müßte man zuletzt nothwendig entweder auf einen irreductibeln Ausdruck, oder auf einen Ausdruck von der Form \[ \varrho = f(r', r'', r''' \ldots) \] kommen. Diese Function wäre aber blos von der $\mu - 1^{\text{ten}}$ Ordnung, während $\varrho$ von der $\mu^{\text{ten}}$ Ordnung sein sollte; welches sich widerspricht.

Ist in dem Ausdruck von $\varrho$ die Zahl der Größen $\sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots$ gleich $m$, so wollen wir die Function $\varrho$ von der $\mu^{\text{ten}}$ Ordnung und vom $m^{\text{ten}}$ Grade nennen. Auf diese Weise ist eine Function von der $\mu^{\text{ten}}$ Ordnung und vom $0^{\text{ten}}$ Grade das nemliche, wie eine Function von der $\mu - 1^{\text{ten}}$ Ordnung, und eine Function von der $0^{\text{ten}}$ Ordnung ist das nämliche wie eine rationale Function.

Daraus folgt, daß man setzen kann \[ \varrho = f(r', r'' \ldots \sqrt[n]{p}) \] wo $p$ eine Function von der $\mu - 1^{\text{ten}}$ Ordnung ist, $r', r'' \ldots$ aber Functionen von der $\mu^{\text{ten}}$ Ordnung und höchstens vom $m - 1^{\text{ten}}$ Grade und von der Art sind, daß es unmöglich ist, $\sqrt[n]{p}$ durch eine rationale Function dieser Größen auszudrücken.

Da eine rationale Function mehrer Größen, wie wir vorhin sahen, immer auf die Form \[ \frac{s}{t} \] gebracht werden kann, wo $s$ und $t$ ganze Functionen der nemlichen veränderlichen Größen sind, so kann $\varrho$ immer durch \[ \varrho = \frac{\varphi(r', r'' \ldots \sqrt[n]{p})}{\tau(r', r'' \ldots \sqrt[n]{p})} \] ausgedrückt werden, wo $\varphi$ und $\tau$ zwei ganze Functionen der Größen $r', r'' \ldots$ und $\sqrt[n]{p}$ bezeichnen. Vermöge dessen, was wir oben fanden, kann aber eine ganze Function mehrer Größen $s, r', r'' \ldots$ immer durch*Editorial note: The following display closes with a parenthesis that has no matching opening parenthesis in the print — an apparent typographical slip, reproduced here as printed. \[ t_0 + t_1 s^{1} + t_2 s^{2} \ldots t_m s^{m}) \]

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ausgedrückt werden, wenn $t_0, t_1 \ldots t_m$ ganze Functionen von $r', r'', r''' \ldots$ ohne $s$ bedeuten. Man kann also \[ \varrho = \frac{t_0 + t_1 p^{\frac{1}{n}} + t_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots t_m p^{\frac{m}{n}}}{\varrho_0 + \varrho_1 p^{\frac{1}{n}} + \varrho_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots \varrho_{m'} p^{\frac{m'}{n}}} = \frac{T}{V} \] setzen, wo $t_0, t_1 \ldots t_m$ und $\varrho_0, \varrho_1 \ldots \varrho_{m'}$ ganze Functionen von $r', r'', r''' $ etc. sind.

Nun mögen $V_1, V_2 \ldots V_{n-1}$ die $n - 1$ Werthe von $V$ sein, welche man findet, wenn man $\alpha \cdot p^{\frac{1}{n}}, \alpha^{2} p^{\frac{1}{n}}, \alpha^{3} p^{\frac{1}{n}} \ldots \alpha^{n-1} p^{\frac{1}{n}}$ statt $p^{\frac{1}{n}}$ setzt: $\alpha$ bedeutet eine der Wurzeln der Gleichung $\alpha^{n} - 1 = 0$, die nicht 1 ist. Alsdann erhält man, wenn man den Bruch $\frac{T}{V}$ oben und unten mit \[ V_1 V_2 \ldots V_{n-1} \text{ multiplicirt,} \] \[ \varrho = \frac{T \cdot V_1 \cdot V_2 \ldots V_{n-1}}{V \cdot V_1 \cdot V_2 \ldots V_{n-1}}. \] Das Product $V \cdot V_1 \ldots V_{n-1}$ kann aber, wie bekannt, durch eine ganze Function von $p$ und von den Größen $r', r'' \ldots$ ausgedrückt werden, und das Product $T \cdot V_1 \cdot V_2 \ldots V_{n-1}$ ist, wie man sieht, eine ganze Function von $\sqrt[n]{p}$ und $r', r'' \ldots$ Setzt man also dieses Product gleich \[ s_0 + s_1 p^{\frac{1}{n}} + s_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots s_k p^{\frac{k}{n}}, \] so findet man \[ \varrho = \frac{s_0 + s_1 p^{\frac{1}{n}} + s_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots s_k p^{\frac{k}{n}}}{M}, \] oder, wenn man $q_0, q_1, q_2 \ldots$ statt $\dfrac{s_0}{m}, \dfrac{s_1}{m}, \dfrac{s_2}{m}$ etc. schreibt, \[ \varrho = q_0 + q_1 p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_k p^{\frac{k}{n}}, \] wo $q_0, q_1 \ldots q_k$ rationale Functionen der Größen $p, r', r'' $ etc. sind. Welche nun auch die ganze Zahl $\mu$ sein mag, so kann man setzen \[ \mu = an + \alpha, \] wo $a$ und $\alpha$ zwei ganze Zahlen sind und $\alpha < n$ ist. Daraus folgt, daß \[ p^{\frac{\mu}{n}} = p^{\frac{an + \alpha}{n}} = p^{a} \cdot p^{\frac{\alpha}{n}}. \] Setzt man daher in den Ausdruck von $\varrho$, statt $p^{\frac{\mu}{n}}$ diesen Ausdruck, so erhält man \[ \varrho = q_0 + q_1 p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}}, \] wo $q_0, q_1, q_2$ etc., wie vorhin, rationale Functionen von $p, r', r'' \ldots$ und

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folglich Functionen von der $\mu^{\text{ten}}$ Ordnung und höchstens vom $m - 1^{\text{ten}}$ Grade und von der Art sind, daß sich $p^{\frac{1}{n}}$ nicht durch rationale Functionen dieser Größen ausdrücken läßt.

In dem obigen Ausdruck von $\varrho$ kann man immer \[ q_1 = 1 \] setzen. Denn wenn $q_1$ nicht Null ist, so erhält man, wenn man $p_1 = p \cdot q_1^{n}$ setzt, $p = \dfrac{p_1}{q_1^{n}}$, und $p^{\frac{1}{n}} = \dfrac{p_1^{\frac{1}{n}}}{q_1}$, also \[ \varrho = q_0 + p_1^{\frac{1}{n}} + \frac{q_2}{q_1^{2}} p_1^{\frac{2}{n}} \ldots + \frac{q_{n-1}}{q_1^{n-1}} p_1^{\frac{n-1}{n}}, \] welcher Ausdruck von der nemlichen Gestalt ist, wie der vorige, nur daß $q_1 = 1$. Ist $q_1 = 0$, so sei $q_\mu$ eine von den Größen $q_1, q_2 \ldots q_{n-1}$, welche nicht Null ist und $q_\mu^{n} p^{\mu} = p_1$. Dieses giebt $q_\mu^{\alpha} \cdot p^{\frac{\alpha\mu}{n}} = p_1^{\frac{\alpha}{n}}$. Nimmt man daher zwei ganze Zahlen $\alpha$ und $\beta$, welche der Gleichung $\alpha\mu - \beta n = \mu'$ genugthun, wo $\mu'$ eine ganze Zahl ist, so erhält man \[ q_\mu^{\alpha} p^{\frac{\beta n + \mu'}{n}} = p_1^{\frac{\alpha}{n}} \text{ und } p^{\frac{\mu'}{n}} = q_\mu^{-\alpha} \cdot p^{-\beta} \cdot p_1^{\frac{\alpha}{n}}. \] Diesem zufolge und weil $q_\mu p^{\frac{\mu}{n}} = p_1^{\frac{1}{n}}$ ist, wird $\varrho$ die Form \[ \varrho = q_0 + p_1^{\frac{1}{n}} + q_2 p_1^{\frac{2}{n}} \ldots q_{n-1} p_1^{\frac{n-1}{n}} \] haben.

Aus allem diesen folgt Nachstehendes:

Wenn $\varrho$ eine algebraische Function von der Ordnung $\mu$ und vom Grade $m$ ist, so kann man immer setzen: \[ \varrho = q_0 + p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} + q_3 p^{\frac{3}{n}} \ldots q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}}; \] $n$ ist eine Primzahl, $q_0, q_2 \ldots q_{n-1}$ sind algebraische Functionen von der Ordnung $\mu$ und höchstens vom Grade $m - 1$ und $p$ ist eine algebraische Function von der Ordnung $\mu - 1$ und von der Art, daß sich $p^{\frac{1}{n}}$ nicht durch eine rationale Function von $q_0, q_2 \ldots q_{n-1}$ ausdrücken läßt.

§. II. Eigenschaften der algebraischen Functionen, welche einer gegebenen Gleichung genugthun.

Es sei \[ c_0 + c_1 y + c_2 y^{2} \ldots + c_{r-1} y^{r-1} + y^{r} = 0 \tag{1} \]

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eine beliebige Gleichung vom Grade $r$, wo $c_0, c_1 \ldots$ rationale Functionen von $x', x'' \ldots$ sind. $x', x'' \ldots$ sind beliebige unabhängige Größen. Man nehme an, es lasse sich derselben genugthun, wenn man statt $y$ irgend eine algebraische Function von $x', x'', \ldots$ setzt. Diese Function sei \[ y = q_0 + p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} \tag{2} \] Substituirt man diesen Ausdruck von $y$ in die gegebene Gleichung, so erhält man, dem Obigen zufolge, einen Ausdruck von der Form \[ r_0 + r_1 p^{\frac{1}{n}} + r_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + r_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} = 0 \tag{3} \] wo $r_0, r_1, r_2 \ldots r_{n-1}$ rationale Functionen der Größen $p, q_0, q_1 \ldots q_{n-1}$ sind.

Nun behaupte ich, daß die Gleichung (3) nicht Statt finden kann, wenn nicht einzeln \[ r_0 = 0, \; r_1 = 0 \ldots r_{n-1} = 0 \] ist. Denn es sei nicht so, so müßten, wenn man z. B. $p^{\frac{1}{n}}$ durch $z$ bezeichnet, die beiden Gleichungen \[ z^{n} - p = 0 \text{ und} \] \[ r_0 + r_1 z + r_2 z^{2} \ldots + r_{n-1} z^{n-1} = 0 \] eine oder mehrere gemeinschaftliche Wurzeln haben. Es sei $k$ die Zahl dieser Wurzeln, so läßt sich, wie bekannt, eine Gleichung finden, welche diese $k$ Wurzeln hat und deren Coefficienten rationale Functionen der Größen $p, r_0, r_1 \ldots r_{n-1}$ sind.

Die Gleichung sei \[ s_0 + s_1 z + s_2 z^{2} \ldots + s_{k-1} z^{k-1} + z^{k} = 0 \] und \[ t_0 + t_1 z + t_2 z^{2} \ldots + t_{\mu-1} z^{\mu-1} + z^{\mu} \] ein Factor ihres ersten Gliedes, wo $t_0, t_1$ etc. rationale Functionen von $p, r_0, r_1 \ldots r_{n-1}$ sind, so ist auch†Editorial note: In the following display the third term is printed $t_2 z$ without an exponent; by the line just above it should read $t_2 z^{2}$. An apparent misprint, reproduced here as printed. \[ t_0 + t_1 z + t_2 z \ldots + t_{\mu-1} z^{\mu-1} + z^{\mu} = 0, \] und es ist klar, daß man es als unmöglich annehmen kann, eine Gleichung von niedrigerem Grade von der nemlichen Form zu finden. Diese Gleichung hat nun ihre $\mu$ Wurzeln mit der Gleichung $z^{n} - p$ gemein. Nun aber sind die Wurzeln der Gleichung $z^{n} - p$ alle von der Form $\alpha z$, wo $\alpha$ irgend eine Wurzel der Einheit ist. Erwägt man also, daß $\mu$ nicht kleiner sein kann als 2, weil es unmöglich sein soll, $z$ durch eine rationale Function der Größen $p, r_0, r_1 \ldots r_{n-1}$ auszudrücken, so folgt, daß zwei Gleichungen von der Form

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\[ t_0 + t_1 z + t_2 z^{2} \ldots + t_{\mu-1} z^{\mu-1} + z^{\mu} = 0 \text{ und} \] \[ t_0 + \alpha t_1 z + \alpha^{2} t_2 z^{2} \ldots + \alpha^{\mu-1} t_{\mu-1} z^{\mu-1} + \alpha^{\mu} z^{\mu} = 0 \] Statt finden müssen. Aus diesen Gleichungen folgt, wenn man $z^{\mu}$ eliminirt, \[ t_0(1 - \alpha^{\mu}) + t_1(\alpha - \alpha^{\mu})z \ldots + t_{\mu-1}(\alpha^{\mu-1} - \alpha^{\mu})z^{\mu-1} = 0. \] Da nun aber die Gleichung $z^{\mu} + t_{\mu-1} z^{\mu-1} \ldots = 0$ irreductibel ist, so muß sie, weil sie vom $\mu - 1^{\text{ten}}$ Grade ist, einzeln \[ \alpha^{\mu} - 1 = 0, \; \alpha - \alpha^{\mu} = 0 \ldots \alpha^{\mu-1} - \alpha^{\mu} = 0 \] geben; was nicht sein kann.

Es muß also \[ r_0 = 0, \; r_1 = 0 \ldots r_{n-1} = 0 \] sein.

Finden nun aber diese Gleichungen Statt, so ist klar, daß der gegebenen Gleichung durch alle die Werthe von $y$ genug gethan werden muß, welche man findet, wenn man der Größe $p^{\frac{1}{n}}$ alle die Werthe $\alpha p^{\frac{1}{n}}, \alpha^{2} p^{\frac{1}{n}}, \ldots \alpha^{n-1} p^{\frac{1}{n}}$ beilegt.

Man sieht leicht, daß alle diese Werthe von $y$ von einander verschieden sein müssen; denn sonst würde man eine Gleichung von derselben Gestalt wie (3) erhalten, und eine solche Gleichung würde, wie wir sahen, auf Widersprüche führen.

Bezeichnet man also durch $y_1, y_2 \ldots y_n$ $n$ verschiedene Wurzeln der Gleichung (1), so findet man \[ y_1 = q_0 + p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} \] \[ y_2 = q_0 + \alpha p^{\frac{1}{n}} + \alpha^{2} q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + \alpha^{n-1} q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} \] \[ \ldots \] \[ y_n = q_0 + \alpha^{n-1} p^{\frac{1}{n}} + \alpha^{n-2} q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + \alpha q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}}. \] Aus diesen $n$ Gleichungen folgt leicht \[ q_0 = \frac{1}{n}(y_1 + y_2 \ldots + y_n) \] \[ p^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}(y_1 + \alpha^{n-1} y_2 + \alpha^{n-2} y_3 \ldots + \alpha y_n) \] \[ q_2 p^{\frac{2}{n}} = \frac{1}{n}(y_1 + \alpha^{n-2} y_2 + \alpha^{n-4} y_3 \ldots + \alpha^{2} y_n) \] \[ \ldots \] \[ q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} = \frac{1}{n}(y_1 + \alpha y_2 + \alpha^{2} y_3 \ldots + \alpha^{n-1} y_n). \]

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Man sieht daraus, daß alle die Größen $p^{\frac{1}{n}}, q_0, q_2 \ldots q_{n-1}$ durch rationale Functionen der gegebenen Gleichung ausgedrückt werden können.

In der That ist \[ q_\mu = n^{\mu-1} \cdot \frac{y_1 + \alpha^{-\mu} y_2 + \alpha^{-2\mu} y_3 \ldots + \alpha^{-(n-1)\mu} y_n}{(y_1 + \alpha^{-1} y_2 + \alpha^{-2} y_3 \ldots + \alpha^{-(n-1)} y_n)^{\mu}} \] Man nehme nun eine allgemeine Gleichung vom Grade $m$ an, z. B. \[ 0 = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} \ldots + a_{m-1} x^{m-1} + x^{m} \] und setze, sie sei algebraisch auflösbar. Es sei \[ x = s_0 + \varrho^{\frac{1}{n}} + s_2 \varrho^{\frac{2}{n}} \ldots + s_{n-1} \varrho^{\frac{n-1}{n}}, \] so lassen sich dem Obigen zu Folge die Größen $\varrho, s_0, s_2$ etc. durch rationale Functionen von $x_1, x_2 \ldots x_m$ ausdrücken, wenn man durch $x_1, x_2 \ldots x_m$ die Wurzeln der gegebenen Gleichung bezeichnet.

Nun untersuche man irgend eine der Größen $\varrho, s_0, s_2$ etc., zum Beispiel $\varrho$. Man bezeichne durch $\varrho, \varrho_2, \ldots \varrho_n$, die verschiedenen Werthe von $\varrho$, welche man findet, wenn man die Wurzeln $x_1, x_2 \ldots x_m$ auf alle mögliche Weise untereinander verwechselt; so läßt sich eine Gleichung vom Grade $n'$ aufstellen, deren Coefficienten rationale Functionen von $a_0, a_1, \ldots a_{n-1}$ und deren Wurzeln die Größen $\varrho_1, \varrho_2 \ldots \varrho_{n'}$ sind, welche rationale Functionen der Größen $x_1, x_2 \ldots x_m$ sind. Setzt man also \[ \varrho = t_0 + u^{\frac{1}{\nu}} + t_2 u^{\frac{2}{\nu}} \ldots + t_{\nu-1} u^{\frac{\nu-1}{\nu}} \] so sind alle die Größen $u^{\frac{1}{\nu}}, t_0, t_2 \ldots t_{\nu-1}$ rationale Functionen von $\varrho_1, \varrho_2, \ldots \varrho_{n'}$, also auch von $x_1, x_2 \ldots x_m$. Verfährt man eben so mit den Größen $u, t_0, t_2$ etc., so folgt Nachstehendes:

Wenn eine Gleichung algebraisch auflösbar ist, so kann man der Wurzel allezeit eine solche Form geben, daß sich alle algebraische Functionen, aus welchen sie zusammengesetzt ist, durch rationale Functionen der Wurzeln der gegebenen Gleichung ausdrücken lassen.

§. III. Ueber die Zahl der verschiedenen Werthe, welche eine Function mehrerer Größen haben kann, wenn man die Größen, von welchen sie abhängt, unter einander vertauscht.

Es sei $v$ eine rationale Function mehrerer von einander unabhängiger Größen $x_1, x_2 \ldots x_n$. Die Zahl der verschiedenen Werthe, deren diese Func-

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tion durch Vertauschung der Größen, von welchen sie abhängt, fähig ist, kann nicht größer sein als das Product $1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n$. Dieses Product sei gleich $\mu$. Nun sei \[ v\binom{\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta\,\ldots}{a\,b\,c\,d\,\ldots} \] der Werth, welchen eine beliebige Function $v$ bekommt, wenn man darin $x_a, x_b, x_c, x_d$ etc. statt $x_\alpha, x_\beta, x_\gamma, x_\delta$ etc. setzt, so ist klar, daß wenn man durch $A_1, A_2 \ldots A_\mu$ die verschiedenen Formen bezeichnet, deren $1, 2, 3, 4 \ldots n$ durch Verwechselung der Zeiger $1, 2, 3 \ldots n$ fähig ist, die verschiedenen Werthe von $v$ durch \[ v\binom{A_1}{A_1}, \; v\binom{A_1}{A_2}, \; v\binom{A_1}{A_3} \ldots v\binom{A_1}{A_\mu} \] ausgedrückt werden können. Man setze, die Zahl der verschiedenen Werthe welche $v$ hat sei kleiner als $\mu$, so müssen mehrere Werthe von $v$ einander gleich sein. Es sei also \[ v\binom{A_1}{A_1} = v\binom{A_1}{A_2} \ldots = v\binom{A_1}{A_m}. \] Unterwirft man diese Größen der durch $\binom{A_1}{A_{m+1}}$ bezeichneten Verwandlung, so bekommt man die neue Reihe gleicher Werthe: \[ v\binom{A_1}{A_{m+1}} = v\binom{A_1}{A_{m+2}} \ldots = v\binom{A_1}{A_{2m}}, \] welche Größen von den vorigen verschieden, aber an Zahl ihnen gleich sind. Verwandelt man diese Größen von Neuem, wie es durch $\binom{A_1}{A_{2m+1}}$ ausgedrückt wird, so erhält man ein neues System von gleichen Größen, die sämmtlich von den vorigen verschieden sind. Fährt man auf diese Weise fort, bis die möglichen Verwandlungen erschöpft sind, so werden die $\mu$ Werthe von $v$ in eine gewisse Zahl von Systemen, jedes von $m$ gleichen Werthen, zerlegt sein. Es folgt also, daß wenn die Zahl der verschiedenen Werthe von $v$ gleich $\varrho$ ist, welche Zahl der Zahl der Systeme gleich kommt, daß dann \[ \varrho m = 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n \] sein muß, das heißt:

Die Zahl der verschiedenen Werthe, welche eine Function von $n$ Größen durch die möglichen Vertauschungen dieser Größen erhalten kann, ist nothwendig ein Submultiplum des Products $1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n$; wie bekannt.

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Es sei nunmehr $\binom{A_1}{A_m}$ eine beliebige Verwandlung. Dieselbe werde mit $v$ mehreremal vorgenommen, so entsteht eine Reihe von Werthen \[ v, v_1, v_2 \ldots v_{p-1}, v_p, \] und es ist klar, daß $v$ nothwendig wiederholt vorkommen muß. Kehrt $v$ nach $p$ Verwandlungen wieder, so nennt man $\binom{A_1}{A_m}$ wiederkehrende Verwandlung von der $p^{\text{ten}}$ Ordnung. Man hat alsdann die periodische Reihe \[ v, v_1, v_2 \ldots v_{p-1}, v, v_1, v_2 \ldots, \] oder wenn man durch $v\binom{A_1}{A_m}^{r}$ den Werth von $v$ bezeichnet, welcher entsteht, nachdem die durch $\binom{A_1}{A_m}$ bezeichnete Verwandlung $r$ mal wiederholt worden, die Reihe \[ v\binom{A_1}{A_m}^{0}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{1}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{2} \ldots v\binom{A_1}{A_m}^{p-1}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{0} \ldots \] Hieraus folgt, daß \[ v\binom{A_1}{A_m}^{\alpha p + r} = v\binom{A_1}{A_m}^{r} \] \[ v\binom{A_1}{A_m}^{\alpha p} = v\binom{A_1}{A_m}^{0} = v. \] Nun setze man, $p$ sei die größte in $n$ enthaltene Primzahl, und die Zahl der verschiedenen Werthe von $v$ sei kleiner als $p$, so müssen unter $p$ beliebigen Werthen von $v$ nothwendig zwei einander gleich sein.

Es müssen also zwei von den $p$ Werthen \[ v\binom{A_1}{A_m}^{0}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{1}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{2} \ldots v\binom{A_1}{A_m}^{p-1} \] gleich sein. Es sei z. B. \[ v\binom{A_1}{A_m}^{r} = v\binom{A_1}{A_m}^{r'}, \] so folgt daraus \[ v\binom{A_1}{A_m}^{r + p - r} = v\binom{A_1}{A_m}^{r' + p - r} \] Dieses giebt, weil $v\binom{A_1}{A_m}^{p} = v$, wenn man $r$ statt $r' + p - r$ setzt, \[ v = v\binom{A_1}{A_m}^{r}; \]

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wo $r$ offenbar kein Vielfaches von $p$ ist. Der Werth von $v$ wird also durch die Substitution $\binom{A_1}{A_m}^{r}$ nicht mehr verwandelt, folglich auch nicht durch die Wiederholung derselben. Es ist also \[ v = v\binom{A_1}{A_m}^{r\alpha}, \] wo $\alpha$ eine ganze Zahl bedeutet.

Wenn nun $p$ eine Primzahl ist, so läßt sich offenbar immer eine ganze Zahl $\beta$ finden, von der Art, daß \[ r\alpha = p\beta + 1. \] Also ist \[ v = v\binom{A_1}{A_m}^{p\beta + 1}, \] oder weil $v = v\binom{A_1}{A_m}^{p\beta}$ war, \[ v = v\binom{A_1}{A_m}. \] Der Werth von $v$ wird also durch die wiederkehrende Verwandlung $\binom{A_1}{A_m}$ vom Grade $p$ nicht verändert.

Nun ist klar, daß \[ \binom{\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta\,\ldots\,\zeta\,\eta}{\beta\,\gamma\,\delta\,\varepsilon\,\ldots\,\eta\,\alpha} \text{ und } \binom{\beta\,\gamma\,\delta\,\varepsilon\,\ldots\,\eta\,\alpha}{\gamma\,\alpha\,\beta\,\delta\,\ldots\,\zeta\,\eta} \] zwei wiederkehrende Verwandlungen vom Grade $p$ sind, wenn die Zahl der Zeiger $\alpha, \beta, \gamma \ldots \eta$ gleich $p$ ist. Der Werth von $v$ wird also auch durch die Verbindung dieser beiden Verwandlungen nicht verändert. Die beiden Verwandlungen sind aber offenbar gleich bedeutend mit der einen \[ \binom{\alpha\,\beta\,\gamma}{\gamma\,\alpha\,\beta} \] und diese eine mit den beiden nach einander vorgenommenen \[ \binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha} \text{ und } \binom{\beta\,\gamma}{\gamma\,\beta}. \] Der Werth von $v$ wird also durch diese beiden mit einander verbundenen Verwandlungen nicht verändert. Also ist \[ v = v\binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha}\binom{\beta\,\gamma}{\gamma\,\beta} \] und eben so \[ v = v\binom{\beta\,\gamma}{\gamma\,\beta}\binom{\gamma\,\delta}{\delta\,\gamma}, \]

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woraus \[ v = v\binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha}\binom{\gamma\,\delta}{\delta\,\gamma} \] folgt.

Man sieht hieraus, daß die Function $v$ durch zwei aufeinander folgende Verwandlungen von der Form $\binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha}$, wenn $\alpha$ und $\beta$ zwei beliebige Zeiger sind, nicht verändert wird. Nennt man daher eine solche Verwandlung, Versetzung (Transposition), so folgt, daß ein beliebiger Werth von $v$ durch eine grade Zahl von Versetzungen nicht verändert wird, und daß folglich alle Werthe von $v$, welche eine ungrade Zahl von Versetzungen geben, gleich sind. Jede beliebige Vertauschung der Elemente einer Function kann aber durch eine gewisse Zahl von Versetzungen geschehen: Die Function $v$ kann also nicht mehr als zwei verschiedene Werthe haben. Dieses giebt folgenden Lehrsatz:

Die Zahl der verschiedenen Werthe einer Function von $n$ Größen kann entweder gar nicht bis unter die größte Primzahl, die sich unter den Factoren von $n$ befindet, vermindert werden, oder nur bis auf 2 oder 1.

Es ist also unmöglich, eine Function von fünf Größen zu finden, welche 3 oder 4 verschiedene Werthe hätte.

Der Beweis dieses Lehrsatzes ist aus einem Mémoire von Cauchy genommen, welches sich in dem 17ten Hefte des Journal de l'école polytechnique pag. 1 etc. befindet.

Es mögen nun $v$ und $v'$ zwei Functionen sein, welche jede zwei verschiedene Werthe haben, so ist dem Vorigen zufolge klar, daß wenn man durch $v_1, v_2$ und $v_1', v_2'$ jene doppelten Werthe bezeichnet, daß alsdann die beiden Ausdrücke \[ v_1 + v_2 \text{ und } v_1 v_1' + v_2 v_2' \] symmetrische Functionen sind. Es sei \[ v_1 + v_2 = t \text{ und } v_1 v_1' + v_2 v_2' = t_1, \] so findet man \[ v_1 = \frac{t \cdot v_2' - t_1}{v_2' - v_1'}. \] Man setze nunmehr die Zahl der Größen $x_1, x_2 \ldots x_m$ sei fünf, so ist das Product \[ \varrho = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_1 - x_4)(x_1 - x_5)(x_2 - x_3)(x_2 - x_4)(x_2 - x_5)(x_3 - x_4)(x_3 - x_5)(x_4 - x_5) \] offenbar eine Function, welche zwei verschiedene Werthe hat; der zweite

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Werth ist die nemliche Function mit entgegengesetztem Zeichen. Setzt man also $v_1' = \varrho$, so ist $v_2' = -\varrho$. Der Ausdruck von $v_1$ ist also \[ v_1 = \frac{t_1 + \varrho t_2}{2\varrho}, \text{ oder} \] \[ v_1 = \tfrac{1}{2} t_2 + \frac{t_1}{2\varrho^{2}} \varrho, \] wo $\tfrac{1}{2} t_2$ eine symmetrische Function ist. $\varrho$ hat zwei Werthe, die nur dem Zeichen nach verschieden sind, so daß also $\dfrac{t_1}{2\varrho^{2}}$ ebenfalls eine symmetrische Function ist. Setzt man also $\tfrac{1}{2} t_2 = p$ und $\dfrac{t_1}{2\varrho^{2}} = q$, so folgt

daß jede Function von fünf Größen, welche zwei verschiedene Werthe hat, durch $p + q \cdot \varrho$ ausgedrückt werden kann, wo $p$ und $q$ zwei symmetrische Functionen sind und \[ \varrho = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3) \ldots (x_4 - x_5) \] ist.

Für unsern Zweck ist noch die allgemeine Form der Functionen von fünf Größen nöthig, welche fünf verschiedene Werthe haben. Man kann dieselben, wie folgt, finden.

Es sei $v$ eine rationale Function der Größen $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, welche die Eigenschaft hat, unveränderlich zu sein, wenn man beliebige vier von den fünf Größen z. B. $x_2, x_3, x_4, x_5$ untereinander vertauscht. Unter dieser Bedingung ist $v$ offenbar nach $x_2, x_3, x_4, x_5$ symmetrisch. Man kann also $v$ durch eine rationale Function von $x_1$ und symmetrische Functionen von $x_2, x_3, x_4, x_5$ ausdrücken. Jede symmetrische Function dieser Größe kann aber durch eine rationale Function der Coefficienten einer Gleichung vom vierten Grade ausgedrückt werden, deren Wurzeln $x_2, x_3, x_4, x_5$ sind. Setzt man also \[ (x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)(x - x_5) = x^{4} - px^{3} + qx^{2} - rx + s, \] so kann die Function $v$ durch eine rationale Function von $x_1, p, q, r, s$ ausgedrückt werden. Setzt man aber \[ (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)(x - x_5) = x^{5} - ax^{4} + bx^{3} - cx^{2} + dx - e, \] so erhält man \[ (x - x_1)(x^{4} - px^{3} + qx^{2} - rx + s) = x^{5} - ax^{4} + bx^{3} - cx^{2} + dx - e \] \[ = x^{5} - (p + x_1)x^{4} + (q + px_1)x^{3} - (r + qx_1)x^{2} + (s + rx_1)x - sx_1, \] woraus \[ p = a - x_1 \] \[ q = b - ax_1 + x_1^{2} \]

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\[ r = c - bx_1 + ax_1^{2} - x_1^{3} \] \[ s = d - cx_1 + bx_1^{2} - ax_1^{3} + x_1^{4} \] folgt. Es läßt sich also $v$ durch eine rationale Function von $x_1, a, b, c, d$ und $e$ ausdrücken.

Daraus folgt, daß man $v$ auf folgende Gestalt bringen kann: \[ v = \frac{t}{\varphi(x_1)} \] wo $t$ und $\varphi(x_1)$ zwei ganze Functionen von $x_1, a, b, c, d$ und $e$ sind. Multiplicirt man diesen Bruch oben und unten mit $\varphi(x_2), \varphi(x_3), \varphi(x_4), \varphi(x_5)$, so findet man \[ v = \frac{t \cdot \varphi(x_2) \cdot \varphi(x_3) \cdot \varphi(x_4) \cdot \varphi(x_5)}{\varphi(x_1) \cdot \varphi(x_2) \cdot \varphi(x_3) \cdot \varphi(x_4) \cdot \varphi(x_5)}. \] Nun ist $\varphi(x_2) \cdot \varphi(x_3) \cdot \varphi(x_4) \cdot \varphi(x_5)$, wie man sieht, eine ganze und symmetrische Function von $x_2, x_3, x_4, x_5$. Man kann also dieses Product durch eine ganze Function von $p, q, r, s$ ausdrücken, also auch durch eine ganze Function von $x_1, a, b, c, d$. Der Zähler des obigen Bruchs ist also eine ganze Function der nemlichen Größe; der Nenner ist eine symmetrische Function von $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ und kann also durch eine rationale Function von $a, b, c, d, e$ ausgedrückt werden. Daraus folgt, daß man \[ v = r_0 + r_1 x_1 + r_2 x_1^{2} \ldots + r_m x_1^{m} \] setzen kann. Multiplicirt man die Gleichung \[ x_1^{5} = ax_1^{4} - bx_1^{3} + cx_1^{2} - dx_1 + e \] mit $x_1, x_1^{2} \ldots x_1^{m-5}$, so ist klar, daß man $m - 4$ Gleichungen erhält, aus welchen sich der Reihe nach $x_1^{5}, x_1^{6} \ldots x_1^{m}$ finden lassen, und zwar durch Größen von der Form \[ \alpha + \beta x_1 + \gamma x_1^{2} + \delta x_1^{3} - \varepsilon x_1^{4}, \] in welchen $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ rationale Functionen von $a, b, c, d, e$ sind.

Man kann also $v$ auf die Form \[ v = r_0 + r_1 x_1 + r_2 x_1^{2} + r_3 x_1^{3} + r_4 x_1^{4} \tag{a} \] bringen, wo $r_0, r_1, r_2$ etc. rationale Functionen von $a, b, c, d, e$ sind, das heißt symmetrische Functionen von $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.

Dieses ist die allgemeine Form der Functionen, welche sich nicht verändern, wenn man die Größen $x_2, x_3, x_4, x_5$ vertauscht. Sie haben entweder fünf verschiedene Werthe, oder sie sind symmetrisch.

Es sei nunmehr $v$ irgend eine rationale Function von $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, welche die fünf Werthe $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$ hat. Man nehme die Function $x_1^{m} v$:

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Verwechselt man in derselben die vier Größen $x_2, x_3, x_4, x_5$ auf alle mögliche Art, so wird $x_1^{m} v$ jedesmal einen der Werthe \[ x_1^{m} v_1, \; x_1^{m} v_2, \; x_1^{m} v_3, \; x_1^{m} v_4, \; x_1^{m} v_5 \] bekommen.

Nun behaupte ich, daß die Zahl der durch diese Vertauschung entstehenden Werthe von $x_1^{m} v$ kleiner als fünf ist. Denn nimmt man alle fünf Werthe an, so entstehen durch die Vertauschung von $x_1$ mit $x_2, x_3, x_4, x_5$ aus diesen Werthen zwanzig andere, die nothwendig unter sich und von den vorigen verschieden sind. Die Function würde also überhaupt 25 verschiedene Werthe haben, welches nicht möglich ist; denn 25 ist kein Divisor des Products $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$. Bezeichnet man also durch $\mu$ die Zahl der Werthe, welche $v$ bekommt, wenn man die Größen $x_2, x_3, x_4, x_5$ unter einander vertauscht, so muß $\mu$ einen der vier Werthe $1, 2, 3, 4$ haben.

1. Es sei $\mu = 1$, so ist $v$, vermöge des Obigen, von der Form $(a)$.

2. Es sei $\mu = 4$, so ist $v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ eine Function von der Form $(a)$. Es ist aber \[ v_5 = (v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5) - (v_1 + v_2 + v_3 + v_4) \] $=$ einer symmetrischen Function, weniger $(v_1 + v_2 + v_3 + v_4)$; also ist $v_5$ von der Form $(a)$.

3. Es sei $\mu = 2$, so ist $v_1 + v_2$ eine Function von der Form $(a)$. Es sei also \[ v_1 + v_2 = r_0 + r_1 x_1 + r_2 x_1^{2} + r_3 x_1^{3} + r_4 x_1^{4} = \varphi(x_1) \] Vertauscht man der Reihe nach $x_1$ mit $x_2, x_3, x_4, x_5$, so erhält man \[ v_1 + v_2 = \varphi(x_1) \] \[ v_2 + v_3 = \varphi(x_2) \] \[ \ldots \] \[ v_{m-1} + v_m = \varphi(x_{m-1}) \] \[ v_m + v_1 = \varphi(x_m), \] wo $m$ eine der Zahlen $2, 3, 4, 5$ ist. Für $m = 2$ ist $\varphi(x_1) = \varphi(x_2)$, welches nicht möglich ist, weil die Zahl der Werthe von $\varphi(x_1)$ fünf sein soll. Für $m = 3$ ist \[ v_1 + v_2 = \varphi(x_1), \; v_2 + v_3 = \varphi(x_2), \; v_3 + v_1 = \varphi(x_3), \] welches \[ 2 v_1 = \varphi(x_1) - \varphi(x_2) + \varphi(x_3) \] giebt. Das zweite Glied dieser Gleichung hat aber mehr als fünf Werthe, nemlich 30. Auf dieselbe Weise läßt sich zeigen, daß auch $m$ nicht gleich 4 sein kann. $\mu$ kann also nicht gleich zwei sein.

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4. Es sei $\mu = 3$. Alsdann hat $v_1 + v_2 + v_3$, folglich auch $v_4 + v_5 = (v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5) - (v_1 + v_2 + v_3)$, fünf Werthe. Wir sahen aber, daß diese Voraussetzung nicht Statt findet. Also kann auch nicht $\mu = 3$ sein.

Zusammengenommen also findet man folgenden Lehrsatz:

Jede rationale Function von fünf Größen, welche fünf verschiedene Werthe hat, ist nothwendig von der Form \[ r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4}, \] wo $r_0, r_1, r_2$ etc. symmetrische Functionen sind, und $x$ eine von den fünf Größen ist.

Aus \[ r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4} = v \] findet man leicht, wenn man von der gegebenen Gleichung Gebrauch macht, den Werth von $x$, wie folgt, ausgedrückt \[ x = s_0 + s_1 v + s_2 v^{2} + s_3 v^{3} + s_4 v^{4} \] wo $s_0, s_1, s_2$ etc. eben wie $r_0, r_1, r_2$, etc., symmetrische Functionen sind.

Es sei $v$ irgend eine rationale Function, welche $m$ verschiedene Werthe $v_1, v_2, v_3 \ldots v_m$ hat. Setzt man \[ (v - v_1)(v - v_2)(v - v_3) \ldots (v - v_m) = q_0 + q_1 v + q_2 v^{2} \ldots + q_{m-1} v^{m-1} + v^{m} = 0, \] so sind bekanntlich $q_0, q_1, q_2 \ldots$ symmetrische Functionen, und die $m$ Wurzeln der Gleichung sind $v_1, v_2 \ldots v_m$. Nun behaupte ich, daß es unmöglich ist, den Werth von $v$ als Wurzel einer Gleichung von derselben Form, aber von einem niedrigeren Grade auszudrücken. Denn es sei \[ t_0 + t_1 v + t_2 v^{2} \ldots + t_{\mu-1} v^{\mu-1} + v^{\mu} = 0 \] eine solche Gleichung, wo $t_0, t_1$ etc. symmetrische Functionen sind, und $v_1$ sei ein Werth von $v$, der der Gleichung genug thut, so ist \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_1) \cdot P_1. \] Verwechselt man nun unter einander die Elemente der Function, so findet man folgende Reihe von Gleichungen: \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_2) \cdot P_2, \] \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_3) \cdot P_3, \] \[ \ldots \] \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_m) \cdot P_m. \] Daraus folgt, daß $v - v_1, v - v_2, v - v_3 \ldots v - v_m$ sämmtlich Factoren

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von $v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots$ sind, und daß folglich $\mu$ nothwendig gleich $m$ sein muß. Man erhält daher folgenden Lehrsatz:

Wenn eine rationale Function mehrerer Größen $m$ verschiedene Werthe hat, so läßt sich allezeit eine Gleichung vom Grade $m$ finden, deren Coefficienten symmetrische Functionen sind, und welche jene Werthe zu Wurzeln haben; aber es ist nicht möglich eine Gleichung von der nämlichen Form von niedrigerem Grade aufzustellen, welche einen oder mehrere jener Werthe zu Wurzeln hat.

§. IV. Beweis der Unmöglichkeit der allgemeinen Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade.

Vermöge der oben gefundenen Sätze zusammengenommen läßt sich behaupten:

daß es unmöglich ist, Gleichungen vom fünften Grade allgemein aufzulösen.

Nach (§. II.) nämlich können alle algebraische Functionen, aus welchen ein algebraischer Ausdruck der Wurzeln zusammengesetzt sein mag, durch rationale Functionen der Wurzeln der Gleichung ausgedrückt werden.

Da es nun unmöglich ist, die Wurzel einer Gleichung allgemein durch eine rationale Function der Coefficienten auszudrücken, so muß \[ R^{\frac{1}{m}} = v \ldots \] sein, wo $m$ eine Primzahl und $R$ eine rationale Function der Coefficienten der gegebenen Gleichung, das heißt, eine symmetrische Function der Wurzeln ist; $v$ ist eine rationale Function der Wurzeln. Daraus folgt: \[ v^{m} - R = 0 \] und da es zufolge (§. II.) unmöglich ist, den Grad dieser Gleichung zu erniedrigen, so wird die Function $v$, zufolge des letzten Lehrsatzes im vorigen Paragraph, $m$ verschiedene Werthe haben. Da nun $m$ ein Divisor von $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ sein muß, so kann $m$ gleich 2, 3 oder 5 sein. Nun existirt aber zufolge (§. III.) keine Function von fünf Größen, welche 3 Werthe hat: es muß also $m = 5$ oder $m = 2$ sein. Es sei $m = 5$; so erhält man, zufolge des vorigen Paragraphs, \[ \sqrt[5]{R} = r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4} \] und hieraus \[ x = s_0 + s_1 R^{\frac{1}{5}} + s_2 R^{\frac{2}{5}} + s_3 R^{\frac{3}{5}} + s_4 R^{\frac{4}{5}}. \] Nach (§. II.) folgt daraus \[ s_1 R^{\frac{1}{5}} = x_1 + \alpha^{4} x_2 + \alpha^{3} x_3 + \alpha^{2} x_4 + \alpha x_5, \]

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wo $\alpha^{5} = 1$. Diese Gleichung ist unmöglich, weil das zweite Glied 120 Werthe hat, und gleichwohl die Wurzel einer Gleichung vom fünften Grade $z^{5} - s_1^{5} R = 0$ ist.

Es muß also $m = 2$ sein.

Alsdann ist nach (§. II.) \[ \sqrt{R} = p + qs, \] wo $p$ und $q$ symmetrische Functionen sind, und \[ s = (x_1 - x_2) \ldots (x_4 - x_5) \] ist. Also ist, wenn man $x_1$ mit $x_2$ vertauscht, \[ -\sqrt{R} = p - qs, \] woraus $p = 0$ und $\sqrt{R} = qs$ folgt. Man sieht daraus, daß alle algebraische Functionen vom ersten Grade, welche sich in dem Ausdruck der Wurzeln befinden, von der Form $\alpha + \beta \cdot \sqrt{s^{2}} = \alpha + \beta s$ sein müssen, wo $\alpha$ und $\beta$ symmetrische Functionen sind. Da es nun unmöglich ist, die Wurzeln durch eine Function von der Form $\alpha + \beta \sqrt{R}$ auszudrücken, so muß eine Gleichung von der Form \[ \sqrt[m]{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})} = v \] Statt finden, wo $\alpha$ und $\beta$ nicht gleich Null sind, $m$ eine Primzahl ist, $\alpha$ und $\beta$ symmetrische Functionen sind, und $v$ eine rationale Function der Wurzeln ist. Dieses giebt \[ \sqrt[m]{(\alpha + \beta s)} = v_1 \text{ und } \sqrt[m]{(\alpha - \beta s)} = v_2, \] wo $v_1$ und $v_2$ rationale Functionen sind. Multiplicirt man $v_2$ mit $v_1$, so erhält man \[ v_2 v_1 = \sqrt[m]{(\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2})}. \] Nun ist $\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2}$ eine symmetrische Function. Wenn also $\sqrt[m]{(\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2})}$ nicht eine symmetrische Function wäre, so müßte, dem Obigen zufolge, $m = 2$ sein. Alsdann aber ist $v = \sqrt{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})}$, und $v$ hat folglich vier verschiedene Werthe; welches nicht möglich ist. Es muß also $\sqrt[m]{(\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2})}$ eine symmetrische Function sein. Eine solche Function sei $\gamma$, so ist \[ v_2 v_1 = \gamma \text{ und } v_2 = \frac{\gamma}{v_1}. \] Nun nehme man den Ausdruck \[ v_1 + v_2 = \sqrt[m]{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})} + \frac{\gamma}{\sqrt[m]{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})}} = p \] \[ = \sqrt[m]{R} + \frac{\gamma}{\sqrt[m]{R}} = R^{\frac{1}{m}} + \frac{\gamma}{R} R^{\frac{m-1}{m}}. \]

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Man bezeichne die Werthe, welche $p$ bekommen kann, wenn man $\alpha R^{\frac{1}{m}}, \alpha^{2} R^{\frac{1}{m}}, \alpha^{3} R^{\frac{1}{m}} \ldots \alpha^{m-1} R^{\frac{1}{m}}$ statt $R^{\frac{1}{m}}$ setzt, wo \[ \alpha^{m-1} + \alpha^{m-2} \ldots + \alpha + 1 = 0 \] ist, durch $p_1, p_2 \ldots p_m$, und mache das Product \[ (p - p_1)(p - p_2) \ldots (p - p_m) = p^{m} - Ap^{m-1} + A_1 p^{m-2} \ldots = 0, \] so ist leicht zu sehen, daß $A, A_1$ etc. rationale Functionen der Coefficienten der gegebenen Gleichung, also symmetrische Functionen der Wurzeln sein werden. Diese Gleichung ist aber offenbar irreductibel. Also muß $p$, zufolge des letzten Lehrsatzes im vorigen Paragraph, als Function der Wurzeln betrachtet, $m$ verschiedene Werthe haben. Folglich ist $m = 5$. Alsdann aber ist $p$ von der Form $(a)$ im vorigen Paragraph. Also wird \[ \sqrt[5]{R} + \frac{\gamma}{\sqrt[5]{R}} = r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4} = p, \] folglich \[ x = s_0 + s_1 p + s_2 p^{2} + s_3 p^{3} + s_4 p^{4}, \] das heißt, es wird, wenn man $R^{\frac{1}{5}} + \dfrac{\gamma}{R} R^{\frac{4}{5}}$ statt $p$ setzt, \[ x = t_0 + t_1 R^{\frac{1}{5}} + t_2 R^{\frac{2}{5}} + t_3 R^{\frac{3}{5}} + t_4 R^{\frac{4}{5}} \] sein, wo $t_0, t_1, t_2$ etc. rationale Functionen von $R$ und von den Coefficienten der gegebenen Gleichung sind. Daraus folgt, vermöge (§. II.) \[ t_1 R^{\frac{1}{5}} = x_1 + \alpha^{4} x_2 + \alpha^{3} x_3 + \alpha^{2} x_4 + \alpha x_5 = p, \] wo \[ \alpha^{4} + \alpha^{3} + \alpha^{2} + \alpha + 1 = 0 \] ist. Aus $p = t_1 R^{\frac{1}{5}}$ folgt aber $p^{5} = t_1^{5} R$, und weil $t_1^{5} R$ von der Form $u + u_1 \sqrt{s^{2}}$ ist, $p^{5} = u + u_1 \sqrt{s^{2}}$, welches \[ (p^{5} - u)^{2} = u_1^{2} s^{2} \] giebt. Diese Gleichung giebt, wie man sieht, $p$ durch eine Gleichung vom $10^{\text{ten}}$ Grade, deren Coefficienten sämmtlich symmetrische Functionen sind, welches aber, zufolge des letzten Lehrsatzes im vorigen Paragraph, nicht möglich ist; denn da‡Editorial note: In this last occurrence the coefficient of $x_4$ is printed $\alpha^{4}$; the identical resolvent above and on p. 82 has $\alpha^{2} x_4$. An apparent misprint for $\alpha^{2} x_4$, reproduced here as printed. \[ p = x_1 + \alpha^{4} x_2 + \alpha^{3} x_3 + \alpha^{4} x_4 + \alpha x_5 \] ist, so würde $p$, 120 verschiedene Werthe haben; welches ein Widerspruch ist.

Wir schließen aus diesem Allen:

daß es unmöglich ist, Gleichungen vom fünften Grade allgemein algebraisch aufzulösen.

Daraus folgt unmittelbar weiter, daß es ebenfalls unmöglich ist, Gleichungen von höheren als dem fünften Grade allgemein aufzulösen. Mithin sind die Gleichungen, welche sich algebraisch allgemein auflösen lassen, nur die von den vier ersten Graden.

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Proof of the impossibility of solving algebraic equations of degrees higher than the fourth in general.

(By Mr. N. H. Abel.)

It is well known that one can solve algebraic equations up to the fourth degree in general, but equations of higher degrees only in particular cases, and, if I am not mistaken, the question:

Is it possible to solve equations of higher than the fourth degree in general?

has not yet been answered satisfactorily. The present essay has this question for its subject.

To solve an equation algebraically means nothing other than to express its roots through an algebraic function of the coefficients. One must therefore first consider the general form of algebraic functions, and then investigate whether it is possible to satisfy the given equation in this way, namely that one sets the expression of an algebraic function in place of the unknown quantity.

§. I. On the general form of algebraic functions.

If $x', x'', x''' \ldots$ are a finite set of arbitrary quantities, one says: $\varrho$ is an algebraic function of these quantities if it can be expressed through $x', x'', x''' $ etc. by means of the following operations. First through addition, secondly through multiplication, both of quantities that depend on $x', x'', x''' \ldots$ and of quantities that do not depend on them; thirdly through division; fourthly through the extraction of roots with exponents that are prime numbers. We do not name subtraction, raising to a power, and the extraction of roots with composite exponents separately, because they are evidently already contained in the four operations named above.

If the function $\varrho$ can be composed through the first three of the four operations above, it is algebraically rational or merely rational; and

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if only the first two operations are needed, it is called algebraically-rational and integral, or also simply an integral function.

Let $f(x', x'', x''' \ldots)$ be an arbitrary function that can be expressed through the sum of a finite number of terms of the form \[ A\,x'^{m_1} x''^{m_2} \ldots \] where $A$ is a quantity independent of $x', x''$ etc., and $m_1, m_2$ etc. denote whole positive numbers; then it is clear that the first two of the operations above are particular cases of the operation denoted by $f(x', x'' \ldots)$. One can therefore regard integral functions, according to their definition, as arising from a finite number of repetitions of these operations. If one now denotes by $\varrho', \varrho'', \varrho''' $ etc. several functions of the quantities $x', x'', x''' \ldots$ of the same form as $f(x', x'' \ldots)$, then $f(\varrho', \varrho'', \varrho''' \ldots)$ is likewise evidently a function of the very same form as $f(x', x'' \ldots)$. Now $f(\varrho', \varrho'' \ldots)$ is the general expression of the functions that arise through a twofold repetition of the operation $f(x', x'' \ldots)$. One therefore always finds the same result when one repeats the operation arbitrarily often. From this it follows that every integral function of several quantities $x', x'' \ldots$ can be expressed through the sum of several terms of the form $A x'^{m_1} x''^{m_2} \ldots$.

We will now consider the rational functions.

If $f(x', x'' \ldots)$ and $\varphi(x', x'' \ldots)$ are two integral functions, then it is clear that the quotient \[ \frac{f(x', x'' \ldots)}{\varphi(x', x'' \ldots)} \] is a particular case of the results of the first three operations, which give rational functions. One can therefore regard a rational function as the result of the repetition of this operation. If one denotes by $\varrho', \varrho'', \varrho''' $ etc. several functions of the form $\dfrac{f(x', x'' \ldots)}{\varphi(x', x'' \ldots)}$, then it is easy to see that $\dfrac{f(\varrho', \varrho'' \ldots)}{\varphi(\varrho', \varrho'' \ldots)}$ can again be brought into the same form. It follows therefore, as above with the integral functions, that every rational function of several quantities $x', x'' \ldots$ can always be brought into the form \[ \frac{f(x', x'' \ldots)}{\varphi(x', x'' \ldots)} \] where numerator and denominator are integral functions.

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We will further seek the general form of algebraic functions.

Let one denote by $f(x', x'' \ldots)$ an arbitrary rational function; then it is clear that every algebraic function can be composed by means of the operation denoted by $f(x', x'' \ldots)$, combined with the operation $\sqrt[m]{r}$, where $m$ is a prime number. If therefore $p', p'' \ldots$ are rational functions of $x', x'' \ldots$, then \[ p_1 = f(x', x'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots) \] will be the general form of algebraic functions of $x', x'' \ldots$, in which the operation expressed by $\sqrt[m]{r}$ now refers only to rational functions. We will call the functions of the form $p_1$ algebraic functions of the first order. If one denotes by $p_1', p_1'' $ etc. several quantities of the form $p_1$, then \[ p_2 = f(x', x'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots \sqrt[n_1']{p_1'}, \sqrt[n_1'']{p_1''} \ldots) \] will be the general form of algebraic functions of $x', x'' \ldots$, in which the operation $\sqrt[m]{r}$ refers only to rational and to algebraic functions of the first order. We will call the functions of the form $p_2$ algebraic functions of the second order. In the same way the expression \[ p_3 = f(x', x'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots \sqrt[n_1']{p_1'}, \sqrt[n_1'']{p_1''} \ldots \sqrt[n_2']{p_2'}, \sqrt[n_2'']{p_2''} \ldots), \] in which $p_2', p_2''$ are functions of the second order, will be the general form of algebraic functions of $x', x'' \ldots$, in which the operation $\sqrt[m]{r}$ refers only to rational and to algebraic functions of the first and second order.

If one continues in this way, one obtains algebraic functions of the third, fourth $\ldots \mu^{\text{th}}$ order, and it is clear that the expression of the functions of the $\mu^{\text{th}}$ order will be the general expression of algebraic functions.

If one therefore denotes by $\mu$ the ordinal number of an arbitrary algebraic function, and by $\varrho$ the function itself, then \[ \varrho = f(r', r'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots), \] where $p', p'' \ldots$ are functions of order $\mu - 1$; $r', r'' \ldots$ functions of order $\mu - 1$, or of lower orders, and $n', n'' \ldots$ are prime numbers. $f$ denotes, as always, a rational function of the quantities standing between the brackets.

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One can evidently assume that it is impossible to express one of the quantities $\sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots$ through a rational function of the others and of the quantities $r', r'' \ldots$; for were it possible, then $\varrho$ would have the simpler form \[ \varrho = f(r', r'' \ldots \sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots) \] in which the number of the quantities $\sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots$ would be at least one unit smaller than above. If one now reduces this expression of $\varrho$ still further in the same way, where feasible, then one would necessarily have to arrive at last either at an irreducible expression, or at an expression of the form \[ \varrho = f(r', r'', r''' \ldots) \] But this function would be merely of the $\mu - 1^{\text{th}}$ order, whereas $\varrho$ should be of the $\mu^{\text{th}}$ order; which is a contradiction.

If in the expression of $\varrho$ the number of the quantities $\sqrt[n']{p'}, \sqrt[n'']{p''} \ldots$ is equal to $m$, then we will call the function $\varrho$ of the $\mu^{\text{th}}$ order and of the $m^{\text{th}}$ degree. In this way a function of the $\mu^{\text{th}}$ order and of the $0^{\text{th}}$ degree is the same as a function of the $\mu - 1^{\text{th}}$ order, and a function of the $0^{\text{th}}$ order is the same as a rational function.

From this it follows that one can set \[ \varrho = f(r', r'' \ldots \sqrt[n]{p}) \] where $p$ is a function of the $\mu - 1^{\text{th}}$ order, but $r', r'' \ldots$ are functions of the $\mu^{\text{th}}$ order and at most of the $m - 1^{\text{th}}$ degree, and of such a kind that it is impossible to express $\sqrt[n]{p}$ through a rational function of these quantities.

Since a rational function of several quantities, as we saw earlier, can always be brought into the form \[ \frac{s}{t} \] where $s$ and $t$ are integral functions of the same variable quantities, $\varrho$ can therefore always be expressed through \[ \varrho = \frac{\varphi(r', r'' \ldots \sqrt[n]{p})}{\tau(r', r'' \ldots \sqrt[n]{p})} \] where $\varphi$ and $\tau$ denote two integral functions of the quantities $r', r'' \ldots$ and $\sqrt[n]{p}$. By virtue of what we found above, however, an integral function of several quantities $s, r', r'' \ldots$ can always be expressed through*Editorial note: The following display closes with a parenthesis that has no matching opening parenthesis in the print — an apparent typographical slip, reproduced here as printed. \[ t_0 + t_1 s^{1} + t_2 s^{2} \ldots t_m s^{m}) \]

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when $t_0, t_1 \ldots t_m$ denote integral functions of $r', r'', r''' \ldots$ without $s$. One can therefore set \[ \varrho = \frac{t_0 + t_1 p^{\frac{1}{n}} + t_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots t_m p^{\frac{m}{n}}}{\varrho_0 + \varrho_1 p^{\frac{1}{n}} + \varrho_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots \varrho_{m'} p^{\frac{m'}{n}}} = \frac{T}{V} \] where $t_0, t_1 \ldots t_m$ and $\varrho_0, \varrho_1 \ldots \varrho_{m'}$ are integral functions of $r', r'', r''' $ etc.

Now let $V_1, V_2 \ldots V_{n-1}$ be the $n - 1$ values of $V$ that one finds when one sets $\alpha \cdot p^{\frac{1}{n}}, \alpha^{2} p^{\frac{1}{n}}, \alpha^{3} p^{\frac{1}{n}} \ldots \alpha^{n-1} p^{\frac{1}{n}}$ in place of $p^{\frac{1}{n}}$: $\alpha$ denotes one of the roots of the equation $\alpha^{n} - 1 = 0$ that is not 1. Then one obtains, when one multiplies the fraction $\frac{T}{V}$ above and below by \[ V_1 V_2 \ldots V_{n-1} \text{ multiplied,} \] \[ \varrho = \frac{T \cdot V_1 \cdot V_2 \ldots V_{n-1}}{V \cdot V_1 \cdot V_2 \ldots V_{n-1}}. \] But the product $V \cdot V_1 \ldots V_{n-1}$ can, as is well known, be expressed through an integral function of $p$ and of the quantities $r', r'' \ldots$, and the product $T \cdot V_1 \cdot V_2 \ldots V_{n-1}$ is, as one sees, an integral function of $\sqrt[n]{p}$ and $r', r'' \ldots$ If one therefore sets this product equal to \[ s_0 + s_1 p^{\frac{1}{n}} + s_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots s_k p^{\frac{k}{n}}, \] then one finds \[ \varrho = \frac{s_0 + s_1 p^{\frac{1}{n}} + s_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots s_k p^{\frac{k}{n}}}{M}, \] or, when one writes $q_0, q_1, q_2 \ldots$ in place of $\dfrac{s_0}{m}, \dfrac{s_1}{m}, \dfrac{s_2}{m}$ etc., \[ \varrho = q_0 + q_1 p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_k p^{\frac{k}{n}}, \] where $q_0, q_1 \ldots q_k$ are rational functions of the quantities $p, r', r'' $ etc. Whatever the whole number $\mu$ may also be, one can set \[ \mu = an + \alpha, \] where $a$ and $\alpha$ are two whole numbers and $\alpha < n$. From this it follows that \[ p^{\frac{\mu}{n}} = p^{\frac{an + \alpha}{n}} = p^{a} \cdot p^{\frac{\alpha}{n}}. \] If one therefore sets this expression in place of $p^{\frac{\mu}{n}}$ in the expression of $\varrho$, one obtains \[ \varrho = q_0 + q_1 p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}}, \] where $q_0, q_1, q_2$ etc. are, as before, rational functions of $p, r', r'' \ldots$ and

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consequently functions of the $\mu^{\text{th}}$ order and at most of the $m - 1^{\text{th}}$ degree, and of such a kind that $p^{\frac{1}{n}}$ cannot be expressed through rational functions of these quantities.

In the above expression of $\varrho$ one can always set \[ q_1 = 1 \] For if $q_1$ is not zero, then one obtains, when one sets $p_1 = p \cdot q_1^{n}$, $p = \dfrac{p_1}{q_1^{n}}$, and $p^{\frac{1}{n}} = \dfrac{p_1^{\frac{1}{n}}}{q_1}$, and hence \[ \varrho = q_0 + p_1^{\frac{1}{n}} + \frac{q_2}{q_1^{2}} p_1^{\frac{2}{n}} \ldots + \frac{q_{n-1}}{q_1^{n-1}} p_1^{\frac{n-1}{n}}, \] which expression is of the same shape as the previous one, only that $q_1 = 1$. If $q_1 = 0$, then let $q_\mu$ be one of the quantities $q_1, q_2 \ldots q_{n-1}$ that is not zero, and $q_\mu^{n} p^{\mu} = p_1$. This gives $q_\mu^{\alpha} \cdot p^{\frac{\alpha\mu}{n}} = p_1^{\frac{\alpha}{n}}$. If one therefore takes two whole numbers $\alpha$ and $\beta$ that satisfy the equation $\alpha\mu - \beta n = \mu'$, where $\mu'$ is a whole number, then one obtains \[ q_\mu^{\alpha} p^{\frac{\beta n + \mu'}{n}} = p_1^{\frac{\alpha}{n}} \text{ and } p^{\frac{\mu'}{n}} = q_\mu^{-\alpha} \cdot p^{-\beta} \cdot p_1^{\frac{\alpha}{n}}. \] According to this, and because $q_\mu p^{\frac{\mu}{n}} = p_1^{\frac{1}{n}}$, $\varrho$ takes the form \[ \varrho = q_0 + p_1^{\frac{1}{n}} + q_2 p_1^{\frac{2}{n}} \ldots q_{n-1} p_1^{\frac{n-1}{n}} \]

From all of this the following results:

If $\varrho$ is an algebraic function of order $\mu$ and of degree $m$, then one can always set: \[ \varrho = q_0 + p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} + q_3 p^{\frac{3}{n}} \ldots q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}}; \] $n$ is a prime number, $q_0, q_2 \ldots q_{n-1}$ are algebraic functions of order $\mu$ and at most of degree $m - 1$, and $p$ is an algebraic function of order $\mu - 1$ and of such a kind that $p^{\frac{1}{n}}$ cannot be expressed through a rational function of $q_0, q_2 \ldots q_{n-1}$.

§. II. Properties of the algebraic functions that satisfy a given equation.

Let \[ c_0 + c_1 y + c_2 y^{2} \ldots + c_{r-1} y^{r-1} + y^{r} = 0 \tag{1} \]

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be an arbitrary equation of degree $r$, where $c_0, c_1 \ldots$ are rational functions of $x', x'' \ldots$. $x', x'' \ldots$ are arbitrary independent quantities. Assume that it can be satisfied when one sets in place of $y$ some algebraic function of $x', x'', \ldots$. Let this function be \[ y = q_0 + p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} \tag{2} \] If one substitutes this expression of $y$ into the given equation, then one obtains, according to the above, an expression of the form \[ r_0 + r_1 p^{\frac{1}{n}} + r_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + r_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} = 0 \tag{3} \] where $r_0, r_1, r_2 \ldots r_{n-1}$ are rational functions of the quantities $p, q_0, q_1 \ldots q_{n-1}$.

Now I assert that equation (3) cannot take place unless, individually, \[ r_0 = 0, \; r_1 = 0 \ldots r_{n-1} = 0 \] Were this not so, then, when one denotes $p^{\frac{1}{n}}$ by $z$ for example, the two equations \[ z^{n} - p = 0 \text{ and} \] \[ r_0 + r_1 z + r_2 z^{2} \ldots + r_{n-1} z^{n-1} = 0 \] would have to have one or several common roots. Let $k$ be the number of these roots; then one can, as is well known, find an equation that has these $k$ roots and whose coefficients are rational functions of the quantities $p, r_0, r_1 \ldots r_{n-1}$.

Let the equation be \[ s_0 + s_1 z + s_2 z^{2} \ldots + s_{k-1} z^{k-1} + z^{k} = 0 \] and let \[ t_0 + t_1 z + t_2 z^{2} \ldots + t_{\mu-1} z^{\mu-1} + z^{\mu} \] be a factor of its first term, where $t_0, t_1$ etc. are rational functions of $p, r_0, r_1 \ldots r_{n-1}$; then likewise†Editorial note: In the following display the third term is printed $t_2 z$ without an exponent; by the line just above it should read $t_2 z^{2}$. An apparent misprint, reproduced here as printed. \[ t_0 + t_1 z + t_2 z \ldots + t_{\mu-1} z^{\mu-1} + z^{\mu} = 0, \] and it is clear that one may assume it impossible to find an equation of lower degree of the same form. This equation now has its $\mu$ roots in common with the equation $z^{n} - p$. But now the roots of the equation $z^{n} - p$ are all of the form $\alpha z$, where $\alpha$ is some root of unity. If one therefore considers that $\mu$ cannot be smaller than 2, because it is supposed to be impossible to express $z$ through a rational function of the quantities $p, r_0, r_1 \ldots r_{n-1}$, then it follows that two equations of the form

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\[ t_0 + t_1 z + t_2 z^{2} \ldots + t_{\mu-1} z^{\mu-1} + z^{\mu} = 0 \text{ and} \] \[ t_0 + \alpha t_1 z + \alpha^{2} t_2 z^{2} \ldots + \alpha^{\mu-1} t_{\mu-1} z^{\mu-1} + \alpha^{\mu} z^{\mu} = 0 \] must take place. From these equations it follows, when one eliminates $z^{\mu}$, \[ t_0(1 - \alpha^{\mu}) + t_1(\alpha - \alpha^{\mu})z \ldots + t_{\mu-1}(\alpha^{\mu-1} - \alpha^{\mu})z^{\mu-1} = 0. \] But since the equation $z^{\mu} + t_{\mu-1} z^{\mu-1} \ldots = 0$ is irreducible, it must, because it is of the $\mu - 1^{\text{th}}$ degree, give, individually, \[ \alpha^{\mu} - 1 = 0, \; \alpha - \alpha^{\mu} = 0 \ldots \alpha^{\mu-1} - \alpha^{\mu} = 0 \] which cannot be.

It must therefore be that \[ r_0 = 0, \; r_1 = 0 \ldots r_{n-1} = 0 \]

If, however, these equations do take place, then it is clear that the given equation must be satisfied by all the values of $y$ that one finds when one assigns to the quantity $p^{\frac{1}{n}}$ all the values $\alpha p^{\frac{1}{n}}, \alpha^{2} p^{\frac{1}{n}}, \ldots \alpha^{n-1} p^{\frac{1}{n}}$.

One sees easily that all these values of $y$ must be different from one another; for otherwise one would obtain an equation of the same shape as (3), and such an equation would, as we saw, lead to contradictions.

If one therefore denotes by $y_1, y_2 \ldots y_n$ $n$ different roots of equation (1), then one finds \[ y_1 = q_0 + p^{\frac{1}{n}} + q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} \] \[ y_2 = q_0 + \alpha p^{\frac{1}{n}} + \alpha^{2} q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + \alpha^{n-1} q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} \] \[ \ldots \] \[ y_n = q_0 + \alpha^{n-1} p^{\frac{1}{n}} + \alpha^{n-2} q_2 p^{\frac{2}{n}} \ldots + \alpha q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}}. \] From these $n$ equations it easily follows that \[ q_0 = \frac{1}{n}(y_1 + y_2 \ldots + y_n) \] \[ p^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{n}(y_1 + \alpha^{n-1} y_2 + \alpha^{n-2} y_3 \ldots + \alpha y_n) \] \[ q_2 p^{\frac{2}{n}} = \frac{1}{n}(y_1 + \alpha^{n-2} y_2 + \alpha^{n-4} y_3 \ldots + \alpha^{2} y_n) \] \[ \ldots \] \[ q_{n-1} p^{\frac{n-1}{n}} = \frac{1}{n}(y_1 + \alpha y_2 + \alpha^{2} y_3 \ldots + \alpha^{n-1} y_n). \]

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One sees from this that all the quantities $p^{\frac{1}{n}}, q_0, q_2 \ldots q_{n-1}$ can be expressed through rational functions of the given equation.

In fact, \[ q_\mu = n^{\mu-1} \cdot \frac{y_1 + \alpha^{-\mu} y_2 + \alpha^{-2\mu} y_3 \ldots + \alpha^{-(n-1)\mu} y_n}{(y_1 + \alpha^{-1} y_2 + \alpha^{-2} y_3 \ldots + \alpha^{-(n-1)} y_n)^{\mu}} \] Now take a general equation of degree $m$, e. g. \[ 0 = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} \ldots + a_{m-1} x^{m-1} + x^{m} \] and suppose it to be algebraically solvable. Let \[ x = s_0 + \varrho^{\frac{1}{n}} + s_2 \varrho^{\frac{2}{n}} \ldots + s_{n-1} \varrho^{\frac{n-1}{n}}, \] then, according to the above, the quantities $\varrho, s_0, s_2$ etc. can be expressed through rational functions of $x_1, x_2 \ldots x_m$, when one denotes by $x_1, x_2 \ldots x_m$ the roots of the given equation.

Now let us examine some one of the quantities $\varrho, s_0, s_2$ etc., for example $\varrho$. Let one denote by $\varrho, \varrho_2, \ldots \varrho_n$ the different values of $\varrho$ that one finds when one interchanges the roots $x_1, x_2 \ldots x_m$ among one another in every possible way; then one can set up an equation of degree $n'$ whose coefficients are rational functions of $a_0, a_1, \ldots a_{n-1}$ and whose roots are the quantities $\varrho_1, \varrho_2 \ldots \varrho_{n'}$, which are rational functions of the quantities $x_1, x_2 \ldots x_m$. If one therefore sets \[ \varrho = t_0 + u^{\frac{1}{\nu}} + t_2 u^{\frac{2}{\nu}} \ldots + t_{\nu-1} u^{\frac{\nu-1}{\nu}} \] then all the quantities $u^{\frac{1}{\nu}}, t_0, t_2 \ldots t_{\nu-1}$ are rational functions of $\varrho_1, \varrho_2, \ldots \varrho_{n'}$, and hence also of $x_1, x_2 \ldots x_m$. If one proceeds in the same way with the quantities $u, t_0, t_2$ etc., then the following results:

If an equation is algebraically solvable, then one can always give the root such a form that all algebraic functions of which it is composed can be expressed through rational functions of the roots of the given equation.

§. III. On the number of the different values that a function of several quantities can have when the quantities on which it depends are interchanged among one another.

Let $v$ be a rational function of several mutually independent quantities $x_1, x_2 \ldots x_n$. The number of the different values of which this func-

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tion is capable through interchange of the quantities on which it depends cannot be greater than the product $1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n$. Let this product be equal to $\mu$. Now let \[ v\binom{\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta\,\ldots}{a\,b\,c\,d\,\ldots} \] be the value that an arbitrary function $v$ takes when one sets in it $x_a, x_b, x_c, x_d$ etc. in place of $x_\alpha, x_\beta, x_\gamma, x_\delta$ etc.; then it is clear that, if one denotes by $A_1, A_2 \ldots A_\mu$ the different forms of which $1, 2, 3, 4 \ldots n$ are capable through interchange of the indices $1, 2, 3 \ldots n$, the different values of $v$ can be expressed through \[ v\binom{A_1}{A_1}, \; v\binom{A_1}{A_2}, \; v\binom{A_1}{A_3} \ldots v\binom{A_1}{A_\mu} \] Suppose that the number of the different values that $v$ has is smaller than $\mu$; then several values of $v$ must be equal to one another. Let then \[ v\binom{A_1}{A_1} = v\binom{A_1}{A_2} \ldots = v\binom{A_1}{A_m}. \] If one subjects these quantities to the transformation denoted by $\binom{A_1}{A_{m+1}}$, then one obtains the new series of equal values: \[ v\binom{A_1}{A_{m+1}} = v\binom{A_1}{A_{m+2}} \ldots = v\binom{A_1}{A_{2m}}, \] which quantities are different from the previous ones, but equal to them in number. If one transforms these quantities anew, as is expressed by $\binom{A_1}{A_{2m+1}}$, then one obtains a new system of equal quantities, which are all different from the previous ones. If one continues in this way, until the possible transformations are exhausted, then the $\mu$ values of $v$ will be decomposed into a certain number of systems, each of $m$ equal values. It follows therefore that, if the number of the different values of $v$ is equal to $\varrho$, which number comes out equal to the number of the systems, then \[ \varrho m = 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n \] must hold, that is:

The number of the different values that a function of $n$ quantities can obtain through the possible interchanges of these quantities is necessarily a submultiple of the product $1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n$; as is well known.

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Let now $\binom{A_1}{A_m}$ be an arbitrary transformation. Let it be carried out with $v$ several times, so that a series of values arises \[ v, v_1, v_2 \ldots v_{p-1}, v_p, \] and it is clear that $v$ must necessarily recur. If $v$ returns after $p$ transformations, then one calls $\binom{A_1}{A_m}$ a recurring transformation of the $p^{\text{th}}$ order. One then has the periodic series \[ v, v_1, v_2 \ldots v_{p-1}, v, v_1, v_2 \ldots, \] or, if one denotes by $v\binom{A_1}{A_m}^{r}$ the value of $v$ that arises after the transformation denoted by $\binom{A_1}{A_m}$ has been repeated $r$ times, the series \[ v\binom{A_1}{A_m}^{0}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{1}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{2} \ldots v\binom{A_1}{A_m}^{p-1}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{0} \ldots \] From this it follows that \[ v\binom{A_1}{A_m}^{\alpha p + r} = v\binom{A_1}{A_m}^{r} \] \[ v\binom{A_1}{A_m}^{\alpha p} = v\binom{A_1}{A_m}^{0} = v. \] Now suppose that $p$ is the greatest prime number contained in $n$, and that the number of the different values of $v$ is smaller than $p$; then, among $p$ arbitrary values of $v$, two must necessarily be equal to one another.

Two therefore of the $p$ values \[ v\binom{A_1}{A_m}^{0}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{1}, \; v\binom{A_1}{A_m}^{2} \ldots v\binom{A_1}{A_m}^{p-1} \] must be equal. Let, for example, \[ v\binom{A_1}{A_m}^{r} = v\binom{A_1}{A_m}^{r'}, \] then it follows that \[ v\binom{A_1}{A_m}^{r + p - r} = v\binom{A_1}{A_m}^{r' + p - r} \] This gives, because $v\binom{A_1}{A_m}^{p} = v$, when one sets $r$ in place of $r' + p - r$, \[ v = v\binom{A_1}{A_m}^{r}; \]

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where $r$ is evidently not a multiple of $p$. The value of $v$ is therefore no longer transformed by the substitution $\binom{A_1}{A_m}^{r}$, and consequently also not by the repetition of it. It is therefore \[ v = v\binom{A_1}{A_m}^{r\alpha}, \] where $\alpha$ denotes a whole number.

Now if $p$ is a prime number, then one can evidently always find a whole number $\beta$ of such a kind that \[ r\alpha = p\beta + 1. \] Therefore \[ v = v\binom{A_1}{A_m}^{p\beta + 1}, \] or, because $v = v\binom{A_1}{A_m}^{p\beta}$, \[ v = v\binom{A_1}{A_m}. \] The value of $v$ is therefore not changed by the recurring transformation $\binom{A_1}{A_m}$ of degree $p$.

Now it is clear that \[ \binom{\alpha\,\beta\,\gamma\,\delta\,\ldots\,\zeta\,\eta}{\beta\,\gamma\,\delta\,\varepsilon\,\ldots\,\eta\,\alpha} \text{ and } \binom{\beta\,\gamma\,\delta\,\varepsilon\,\ldots\,\eta\,\alpha}{\gamma\,\alpha\,\beta\,\delta\,\ldots\,\zeta\,\eta} \] are two recurring transformations of degree $p$, when the number of the indices $\alpha, \beta, \gamma \ldots \eta$ is equal to $p$. The value of $v$ is therefore also not changed by the combination of these two transformations. But the two transformations are evidently equivalent to the single one \[ \binom{\alpha\,\beta\,\gamma}{\gamma\,\alpha\,\beta} \] and this single one to the two carried out one after the other \[ \binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha} \text{ and } \binom{\beta\,\gamma}{\gamma\,\beta}. \] The value of $v$ is therefore not changed by these two transformations combined with one another. It is therefore \[ v = v\binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha}\binom{\beta\,\gamma}{\gamma\,\beta} \] and likewise \[ v = v\binom{\beta\,\gamma}{\gamma\,\beta}\binom{\gamma\,\delta}{\delta\,\gamma}, \]

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from which \[ v = v\binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha}\binom{\gamma\,\delta}{\delta\,\gamma} \] follows.

One sees from this that the function $v$ is not changed by two successive transformations of the form $\binom{\alpha\,\beta}{\beta\,\alpha}$, when $\alpha$ and $\beta$ are two arbitrary indices. If one therefore calls such a transformation a transposition (transposition), then it follows that an arbitrary value of $v$ is not changed by an even number of transpositions, and that consequently all values of $v$ that give an odd number of transpositions are equal. But every arbitrary interchange of the elements of a function can be brought about by a certain number of transpositions: the function $v$ can therefore have no more than two different values. This gives the following theorem:

The number of the different values of a function of $n$ quantities can either not be diminished at all below the greatest prime number found among the factors of $n$, or only down to 2 or 1.

It is therefore impossible to find a function of five quantities that would have 3 or 4 different values.

The proof of this theorem is taken from a memoir by Cauchy that is found in the 17th cahier of the Journal de l'école polytechnique, page 1 etc.

Let now $v$ and $v'$ be two functions that each have two different values; then it is clear, according to the preceding, that if one denotes those double values by $v_1, v_2$ and $v_1', v_2'$, the two expressions \[ v_1 + v_2 \text{ and } v_1 v_1' + v_2 v_2' \] are symmetric functions. Let \[ v_1 + v_2 = t \text{ and } v_1 v_1' + v_2 v_2' = t_1, \] then one finds \[ v_1 = \frac{t \cdot v_2' - t_1}{v_2' - v_1'}. \] Now suppose that the number of the quantities $x_1, x_2 \ldots x_m$ is five; then the product \[ \varrho = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3)(x_1 - x_4)(x_1 - x_5)(x_2 - x_3)(x_2 - x_4)(x_2 - x_5)(x_3 - x_4)(x_3 - x_5)(x_4 - x_5) \] is evidently a function that has two different values; the second

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value is the same function with the opposite sign. If one therefore sets $v_1' = \varrho$, then $v_2' = -\varrho$. The expression of $v_1$ is therefore \[ v_1 = \frac{t_1 + \varrho t_2}{2\varrho}, \text{ or} \] \[ v_1 = \tfrac{1}{2} t_2 + \frac{t_1}{2\varrho^{2}} \varrho, \] where $\tfrac{1}{2} t_2$ is a symmetric function. $\varrho$ has two values that differ only in sign, so that $\dfrac{t_1}{2\varrho^{2}}$ is likewise a symmetric function. If one therefore sets $\tfrac{1}{2} t_2 = p$ and $\dfrac{t_1}{2\varrho^{2}} = q$, then it follows

that every function of five quantities which has two different values can be expressed through $p + q \cdot \varrho$, where $p$ and $q$ are two symmetric functions and \[ \varrho = (x_1 - x_2)(x_1 - x_3) \ldots (x_4 - x_5) \]

For our purpose we still need the general form of the functions of five quantities that have five different values. One can find them as follows.

Let $v$ be a rational function of the quantities $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ which has the property of being invariant when one interchanges any four of the five quantities, e. g. $x_2, x_3, x_4, x_5$, among one another. Under this condition $v$ is evidently symmetric in $x_2, x_3, x_4, x_5$. One can therefore express $v$ through a rational function of $x_1$ and symmetric functions of $x_2, x_3, x_4, x_5$. But every symmetric function of these quantities can be expressed through a rational function of the coefficients of an equation of the fourth degree whose roots are $x_2, x_3, x_4, x_5$. If one therefore sets \[ (x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)(x - x_5) = x^{4} - px^{3} + qx^{2} - rx + s, \] then the function $v$ can be expressed through a rational function of $x_1, p, q, r, s$. But if one sets \[ (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)(x - x_5) = x^{5} - ax^{4} + bx^{3} - cx^{2} + dx - e, \] then one obtains \[ (x - x_1)(x^{4} - px^{3} + qx^{2} - rx + s) = x^{5} - ax^{4} + bx^{3} - cx^{2} + dx - e \] \[ = x^{5} - (p + x_1)x^{4} + (q + px_1)x^{3} - (r + qx_1)x^{2} + (s + rx_1)x - sx_1, \] from which \[ p = a - x_1 \] \[ q = b - ax_1 + x_1^{2} \]

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\[ r = c - bx_1 + ax_1^{2} - x_1^{3} \] \[ s = d - cx_1 + bx_1^{2} - ax_1^{3} + x_1^{4} \] follows. It is therefore possible to express $v$ through a rational function of $x_1, a, b, c, d$ and $e$.

From this it follows that one can bring $v$ into the following form: \[ v = \frac{t}{\varphi(x_1)} \] where $t$ and $\varphi(x_1)$ are two integral functions of $x_1, a, b, c, d$ and $e$. If one multiplies this fraction above and below by $\varphi(x_2), \varphi(x_3), \varphi(x_4), \varphi(x_5)$, then one finds \[ v = \frac{t \cdot \varphi(x_2) \cdot \varphi(x_3) \cdot \varphi(x_4) \cdot \varphi(x_5)}{\varphi(x_1) \cdot \varphi(x_2) \cdot \varphi(x_3) \cdot \varphi(x_4) \cdot \varphi(x_5)}. \] Now $\varphi(x_2) \cdot \varphi(x_3) \cdot \varphi(x_4) \cdot \varphi(x_5)$ is, as one sees, an integral and symmetric function of $x_2, x_3, x_4, x_5$. One can therefore express this product through an integral function of $p, q, r, s$, and hence also through an integral function of $x_1, a, b, c, d$. The numerator of the above fraction is therefore an integral function of the same quantity; the denominator is a symmetric function of $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ and can therefore be expressed through a rational function of $a, b, c, d, e$. From this it follows that one can set \[ v = r_0 + r_1 x_1 + r_2 x_1^{2} \ldots + r_m x_1^{m} \] If one multiplies the equation \[ x_1^{5} = ax_1^{4} - bx_1^{3} + cx_1^{2} - dx_1 + e \] by $x_1, x_1^{2} \ldots x_1^{m-5}$, then it is clear that one obtains $m - 4$ equations from which $x_1^{5}, x_1^{6} \ldots x_1^{m}$ can be found in turn, and indeed through quantities of the form \[ \alpha + \beta x_1 + \gamma x_1^{2} + \delta x_1^{3} - \varepsilon x_1^{4}, \] in which $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ are rational functions of $a, b, c, d, e$.

One can therefore bring $v$ into the form \[ v = r_0 + r_1 x_1 + r_2 x_1^{2} + r_3 x_1^{3} + r_4 x_1^{4} \tag{a} \] where $r_0, r_1, r_2$ etc. are rational functions of $a, b, c, d, e$, that is, symmetric functions of $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$.

This is the general form of the functions that do not change when one interchanges the quantities $x_2, x_3, x_4, x_5$. They have either five different values, or they are symmetric.

Let now $v$ be some rational function of $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ which has the five values $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$. Take the function $x_1^{m} v$:

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If one interchanges in it the four quantities $x_2, x_3, x_4, x_5$ in every possible way, then $x_1^{m} v$ will each time take one of the values \[ x_1^{m} v_1, \; x_1^{m} v_2, \; x_1^{m} v_3, \; x_1^{m} v_4, \; x_1^{m} v_5 \]

Now I assert that the number of the values of $x_1^{m} v$ arising through this interchange is smaller than five. For if one assumes all five values, then through the interchange of $x_1$ with $x_2, x_3, x_4, x_5$ there arise from these values twenty others, which are necessarily different among themselves and from the previous ones. The function would thus have altogether 25 different values, which is not possible; for 25 is not a divisor of the product $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$. If one therefore denotes by $\mu$ the number of the values that $v$ takes when one interchanges the quantities $x_2, x_3, x_4, x_5$ among one another, then $\mu$ must have one of the four values $1, 2, 3, 4$.

1. Let $\mu = 1$; then $v$ is, by virtue of the above, of the form $(a)$.

2. Let $\mu = 4$; then $v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ is a function of the form $(a)$. But \[ v_5 = (v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5) - (v_1 + v_2 + v_3 + v_4) \] $=$ a symmetric function, less $(v_1 + v_2 + v_3 + v_4)$; hence $v_5$ is of the form $(a)$.

3. Let $\mu = 2$; then $v_1 + v_2$ is a function of the form $(a)$. Let then \[ v_1 + v_2 = r_0 + r_1 x_1 + r_2 x_1^{2} + r_3 x_1^{3} + r_4 x_1^{4} = \varphi(x_1) \] If one interchanges $x_1$ in turn with $x_2, x_3, x_4, x_5$, then one obtains \[ v_1 + v_2 = \varphi(x_1) \] \[ v_2 + v_3 = \varphi(x_2) \] \[ \ldots \] \[ v_{m-1} + v_m = \varphi(x_{m-1}) \] \[ v_m + v_1 = \varphi(x_m), \] where $m$ is one of the numbers $2, 3, 4, 5$. For $m = 2$, $\varphi(x_1) = \varphi(x_2)$, which is not possible, because the number of the values of $\varphi(x_1)$ is supposed to be five. For $m = 3$, \[ v_1 + v_2 = \varphi(x_1), \; v_2 + v_3 = \varphi(x_2), \; v_3 + v_1 = \varphi(x_3), \] which \[ 2 v_1 = \varphi(x_1) - \varphi(x_2) + \varphi(x_3) \]

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gives. But the second member of this equation has more than five values, namely 30. In the same way it can be shown that $m$ cannot be equal to 4 either. $\mu$ can therefore not be equal to two.

4. Let $\mu = 3$. Then $v_1 + v_2 + v_3$, and consequently also $v_4 + v_5 = (v_1 + v_2 + v_3 + v_4 + v_5) - (v_1 + v_2 + v_3)$, has five values. But we saw that this assumption does not take place. Therefore $\mu = 3$ cannot be the case either.

Taking all together, then, one finds the following theorem:

Every rational function of five quantities which has five different values is necessarily of the form \[ r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4}, \] where $r_0, r_1, r_2$ etc. are symmetric functions, and $x$ is one of the five quantities.

From \[ r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4} = v \] one easily finds, when one makes use of the given equation, the value of $x$ expressed as follows \[ x = s_0 + s_1 v + s_2 v^{2} + s_3 v^{3} + s_4 v^{4} \] where $s_0, s_1, s_2$ etc. are, just like $r_0, r_1, r_2$, etc., symmetric functions.

Let $v$ be some rational function which has $m$ different values $v_1, v_2, v_3 \ldots v_m$. If one sets \[ (v - v_1)(v - v_2)(v - v_3) \ldots (v - v_m) = q_0 + q_1 v + q_2 v^{2} \ldots + q_{m-1} v^{m-1} + v^{m} = 0, \] then, as is well known, $q_0, q_1, q_2 \ldots$ are symmetric functions, and the $m$ roots of the equation are $v_1, v_2 \ldots v_m$. Now I assert that it is impossible to express the value of $v$ as a root of an equation of the same form but of a lower degree. For let \[ t_0 + t_1 v + t_2 v^{2} \ldots + t_{\mu-1} v^{\mu-1} + v^{\mu} = 0 \] be such an equation, where $t_0, t_1$ etc. are symmetric functions, and let $v_1$ be a value of $v$ that satisfies the equation; then \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_1) \cdot P_1. \] If one now interchanges the elements of the function among one another, then one finds the following series of equations: \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_2) \cdot P_2, \] \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_3) \cdot P_3, \] \[ \ldots \] \[ v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots = (v - v_m) \cdot P_m. \] From this it follows that $v - v_1, v - v_2, v - v_3 \ldots v - v_m$ are all factors

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of $v^{\mu} + t_{\mu-1} v^{\mu-1} \ldots$, and that consequently $\mu$ must necessarily be equal to $m$. One therefore obtains the following theorem:

If a rational function of several quantities has $m$ different values, then one can always find an equation of degree $m$ whose coefficients are symmetric functions and which has those values for roots; but it is not possible to set up an equation of the same form of lower degree which has one or several of those values for roots.

§. IV. Proof of the impossibility of the general solution of equations of the fifth degree.

By virtue of the propositions found above taken together, one may assert:

that it is impossible to solve equations of the fifth degree in general.

For, according to (§. II.), all algebraic functions of which an algebraic expression of the roots may be composed can be expressed through rational functions of the roots of the equation.

Since it is now impossible to express the root of an equation in general through a rational function of the coefficients, it must be that \[ R^{\frac{1}{m}} = v \ldots \] where $m$ is a prime number and $R$ a rational function of the coefficients of the given equation, that is, a symmetric function of the roots; $v$ is a rational function of the roots. From this it follows: \[ v^{m} - R = 0 \] and since, according to (§. II.), it is impossible to lower the degree of this equation, the function $v$ will, by virtue of the last theorem in the preceding paragraph, have $m$ different values. Since $m$ must now be a divisor of $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$, $m$ can be equal to 2, 3, or 5. But now, according to (§. III.), there exists no function of five quantities that has 3 values: it must therefore be that $m = 5$ or $m = 2$. Let $m = 5$; then one obtains, by virtue of the preceding paragraph, \[ \sqrt[5]{R} = r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4} \] and from this \[ x = s_0 + s_1 R^{\frac{1}{5}} + s_2 R^{\frac{2}{5}} + s_3 R^{\frac{3}{5}} + s_4 R^{\frac{4}{5}}. \] According to (§. II.) it follows from this that \[ s_1 R^{\frac{1}{5}} = x_1 + \alpha^{4} x_2 + \alpha^{3} x_3 + \alpha^{2} x_4 + \alpha x_5, \]

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where $\alpha^{5} = 1$. This equation is impossible, because the second member has 120 values, and yet is the root of an equation of the fifth degree $z^{5} - s_1^{5} R = 0$.

It must therefore be that $m = 2$.

Then, according to (§. II.), \[ \sqrt{R} = p + qs, \] where $p$ and $q$ are symmetric functions, and \[ s = (x_1 - x_2) \ldots (x_4 - x_5) \] If one interchanges $x_1$ with $x_2$, then \[ -\sqrt{R} = p - qs, \] from which $p = 0$ and $\sqrt{R} = qs$ follow. One sees from this that all algebraic functions of the first degree found in the expression of the roots must be of the form $\alpha + \beta \cdot \sqrt{s^{2}} = \alpha + \beta s$, where $\alpha$ and $\beta$ are symmetric functions. Since it is now impossible to express the roots through a function of the form $\alpha + \beta \sqrt{R}$, an equation of the form \[ \sqrt[m]{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})} = v \] must take place, where $\alpha$ and $\beta$ are not equal to zero, $m$ is a prime number, $\alpha$ and $\beta$ are symmetric functions, and $v$ is a rational function of the roots. This gives \[ \sqrt[m]{(\alpha + \beta s)} = v_1 \text{ and } \sqrt[m]{(\alpha - \beta s)} = v_2, \] where $v_1$ and $v_2$ are rational functions. If one multiplies $v_2$ by $v_1$, then one obtains \[ v_2 v_1 = \sqrt[m]{(\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2})}. \] Now $\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2}$ is a symmetric function. If therefore $\sqrt[m]{(\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2})}$ were not a symmetric function, then, according to the above, it would have to be that $m = 2$. But then $v = \sqrt{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})}$, and $v$ consequently has four different values; which is not possible. It must therefore be that $\sqrt[m]{(\alpha^{2} - \beta^{2} s^{2})}$ is a symmetric function. Let such a function be $\gamma$; then \[ v_2 v_1 = \gamma \text{ and } v_2 = \frac{\gamma}{v_1}. \] Now take the expression \[ v_1 + v_2 = \sqrt[m]{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})} + \frac{\gamma}{\sqrt[m]{(\alpha + \beta \sqrt{s^{2}})}} = p \] \[ = \sqrt[m]{R} + \frac{\gamma}{\sqrt[m]{R}} = R^{\frac{1}{m}} + \frac{\gamma}{R} R^{\frac{m-1}{m}}. \]

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Let one denote the values that $p$ can take when one sets $\alpha R^{\frac{1}{m}}, \alpha^{2} R^{\frac{1}{m}}, \alpha^{3} R^{\frac{1}{m}} \ldots \alpha^{m-1} R^{\frac{1}{m}}$ in place of $R^{\frac{1}{m}}$, where \[ \alpha^{m-1} + \alpha^{m-2} \ldots + \alpha + 1 = 0 \] by $p_1, p_2 \ldots p_m$, and form the product \[ (p - p_1)(p - p_2) \ldots (p - p_m) = p^{m} - Ap^{m-1} + A_1 p^{m-2} \ldots = 0, \] then it is easy to see that $A, A_1$ etc. will be rational functions of the coefficients of the given equation, hence symmetric functions of the roots. But this equation is evidently irreducible. Therefore $p$ must, by virtue of the last theorem in the preceding paragraph, regarded as a function of the roots, have $m$ different values. Consequently $m = 5$. But then $p$ is of the form $(a)$ in the preceding paragraph. Thus \[ \sqrt[5]{R} + \frac{\gamma}{\sqrt[5]{R}} = r_0 + r_1 x + r_2 x^{2} + r_3 x^{3} + r_4 x^{4} = p, \] and consequently \[ x = s_0 + s_1 p + s_2 p^{2} + s_3 p^{3} + s_4 p^{4}, \] that is, when one sets $R^{\frac{1}{5}} + \dfrac{\gamma}{R} R^{\frac{4}{5}}$ in place of $p$, \[ x = t_0 + t_1 R^{\frac{1}{5}} + t_2 R^{\frac{2}{5}} + t_3 R^{\frac{3}{5}} + t_4 R^{\frac{4}{5}} \] where $t_0, t_1, t_2$ etc. are rational functions of $R$ and of the coefficients of the given equation. From this it follows, by virtue of (§. II.), that \[ t_1 R^{\frac{1}{5}} = x_1 + \alpha^{4} x_2 + \alpha^{3} x_3 + \alpha^{2} x_4 + \alpha x_5 = p, \] where \[ \alpha^{4} + \alpha^{3} + \alpha^{2} + \alpha + 1 = 0 \] Now from $p = t_1 R^{\frac{1}{5}}$ it follows that $p^{5} = t_1^{5} R$, and because $t_1^{5} R$ is of the form $u + u_1 \sqrt{s^{2}}$, $p^{5} = u + u_1 \sqrt{s^{2}}$, which \[ (p^{5} - u)^{2} = u_1^{2} s^{2} \] gives. This equation gives, as one sees, $p$ through an equation of the $10^{\text{th}}$ degree whose coefficients are all symmetric functions, which, however, by virtue of the last theorem in the preceding paragraph, is not possible; for since‡Editorial note: In this last occurrence the coefficient of $x_4$ is printed $\alpha^{4}$; the identical resolvent above and on p. 82 has $\alpha^{2} x_4$. An apparent misprint for $\alpha^{2} x_4$, reproduced here as printed. \[ p = x_1 + \alpha^{4} x_2 + \alpha^{3} x_3 + \alpha^{4} x_4 + \alpha x_5 \] $p$ would have 120 different values; which is a contradiction.

We conclude from all of this:

that it is impossible to solve equations of the fifth degree algebraically in general.

From this it follows immediately further that it is likewise impossible to solve equations of higher than the fifth degree in general. Hence the equations that can be solved algebraically in general are only those of the first four degrees.