Sur les courbes tracées sur une surface algébrique.

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Sur les courbes tracées sur une surface algébrique.

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft (Séance du 12 octobre 1910);\ t. 10, 1911, 28--55 (publiés en supplément des Archiv der Mathematik, t. 18, 1911).

J'ai publié dans les Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, un Mémoire portant le même titre; je voudrais revenir ici sur quelques points qui dans ce Mémoire n'ont pu être traités avec assez de détails.

1. — Valeurs critiques.

Soit $F(x, y, z, t) = 0$ une surface algébrique d'ordre $n$ dont l'équation est exprimée en coordonnées homogènes; c'est la surface $S$; nous couperons par le plan variable $\frac{y}{t} = \text{const.}$ qui la coupera suivant la courbe $K_{y}$. La droite $y = t = 0$ coupera la surface $S$ en $n$ points $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, qui appartiendront à toutes les courbes $K_{y}$. Soit $p$ le genre de la courbe $K_{y}$; nous pourrons former $p$ intégrales abéliennes de première espèce relatives à cette courbe \[ u_{i} = \int \frac{P_{i}\,dx}{Q F'_{z}} \quad (i = 1, 2, \ldots, p), \] où $F'_{z}$ est la dérivée partielle de $F$ par rapport à $z$, où $Q$ est un polynome homogène de degré $\nu$ en $y$ et $t$ (le même pour toutes les intégrales $u_{i}$) et enfin où les $P_{i}$ sont des polynomes entiers, homogènes de degré $n + \nu - 2$ en $x, y,$

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$z, t$, non homogènes et de degré $n - 3$ en $x$ et $z$. Le polynome $P_{i}$ doit s'annuler en tous les points doubles de la courbe $K_{y}$, sauf aux points doubles supplémentaires que cette courbe pourrait acquérir pour certaines valeurs de $y$ pour lesquelles son genre s'abaisserait. En d'autres termes, la surface $P_{i} = 0$ doit passer par la courbe double de la surface $S$.

L'intégrale doit être prise en faisant varier $x$ et $z$ de telle façon que $F = 0$ et que $y$ et $t$ soient des constantes; la limite inférieure est le point $A_{1}$; la limite supérieure est un point variable $M$ de la courbe $K_{y}$. L'intégrale $u_{i}$ est alors une fonction des coordonnées $x, y, z, t$ d'un point variable $M$ de la surface $S$ et cette fonction est déterminée à une période près. Nous nous réserverons, quand cela pourra se faire sans inconvénient, de renoncer aux coordonnées homogènes en faisant $t = 1$.

Nous appellerons valeurs critiques de la seconde sorte les valeurs de $y$ $\left(\text{ou de } \frac{y}{t}\right)$ qui annulent le dénominateur $Q$. Les valeurs critiques de la première sorte sont celles pour lesquelles on peut trouver $p$ coefficients $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p}$ tels que \[ \alpha_{1} P_{1} + \alpha_{2} P_{2} + \ldots + \alpha_{p} P_{p} \] s'annule identiquement quels que soient $x$ et $z$.

J'appellerai valeurs singulières de $y$, celles pour lesquelles le genre de la courbe $K_{y}$ s'abaisse; elles correspondent aux plans $\frac{y}{t} = \text{const.}$ qui sont tangents à $S$ ou qui vont passer par un point conique de cette surface.

Pour une valeur de $y$ $\left(\text{ou de } \frac{y}{t}\right)$ qui n'est ni singulière, ni critique de la seconde sorte, la fonction $u_{i}$ (de même que les périodes de l'intégrale $u_{i}$) est toujours finie. Si la valeur est singulière, mais non critique, l'intégrale $u_{i}$ ne deviendra infinie que si le chemin d'intégration va passer par le nouveau point double. Si la valeur est critique de la seconde sorte, elle est infinie en général pour tous les points $M$ de la courbe $K_{y}$.

Supposons qu'une valeur de $y$ soit critique de la première sorte, sans être singulière ni critique de la deuxième sorte; la combinaison \[ \alpha_{1} u_{1} + \alpha_{2} u_{2} + \ldots + \alpha_{p} u_{p} \] s'annulera alors pour cette valeur de $y$, et cela pour tous les points $M$ de la courbe $K_{y}$.

Il est aisé de voir ce qui se passe si une valeur est à la fois critique de la première

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et de la seconde sorte. Soit $y_{0}$ une pareille valeur; alors, pour $y = y_{0} t$ le dénominateur $Q$, de même que $\displaystyle\sum \alpha_{i} P_{i}$, s'annule identiquement; il en résulte évidemment que les intégrales $u_{i}$ deviennent en général infinies, mais que la combinaison $\displaystyle\sum \alpha_{i} u_{i}$ reste finie.

Examinons maintenant le cas d'une valeur singulière qui n'est pas critique. Il se subdivise; nous ne parlerons que des cas particuliers suivants :

$1^{\circ}$ Le plan $\frac{y}{t} = \text{const.}$ qui correspond à la valeur singulière est un plan tangent ordinaire. Soient alors $\omega_{1i}, \omega_{2i}, \omega_{3i}, \ldots$ les périodes de l'intégrale $u_{i}$; on pourra supposer que ces périodes ont été choisies de telle sorte que toutes, à l'exception de $\omega_{1i}$, soient des fonctions holomorphes de $y$ dans le voisinage de la valeur singulière $y_{0}$ envisagée, ne s'annulant pas d'ailleurs pour $y = y_{0}$ (je fais $t = 1$ pour abréger l'écriture). Quant à $\omega_{1i}$, il peut se mettre sous la forme \[ \omega_{1i} = \varphi(y) - \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}) \] $\varphi(y)$ étant holomorphe pour $y = y_{0}$. Une des déterminations de $u_{i}$ que j'appellerai $u_{i}^{*}$ reste holomorphe pour $y = y_{0}$ et la détermination la plus générale s'écrit \[ u_{i} = u_{i}^{*} + \displaystyle\sum m_{k} \omega_{ki} = \psi(y) - \frac{m_{1}\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] les $m$ sont des entiers; $\psi(y)$ est holomorphe pour $y = y_{0}$. Ainsi cette détermination la plus générale devient logarithmiquement infinie au point $y = y_{0}$. Elle se change en $u_{i} + m_{1} \omega_{2i}$ quand $y$ tourne autour de la valeur singulière $y_{0}$.

$2^{\circ}$ Le plan $\frac{y}{t} = \text{const.}$ va passer par un point conique de $S$ et ce point conique admet un cône tangent du second ordre, sans autre singularité.

Le résultat est encore le même; on a seulement \[ \begin{aligned} \omega_{1i} &= \varphi(y) - \frac{2\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \\ u_{i} &= \psi(y) - \frac{2m_{1}\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \end{aligned} \] de sorte que $\omega_{1i}$ et $u_{i}$ se changent en $\omega_{1i} + 2\omega_{2i}$ et $u_{i} + 2m_{1} \omega_{2i}$, et non plus en $\omega_{1i} + \omega_{2i}$ et $u_{i} + m_{1} \omega_{2i}$ quand $y$ tourne autour de $y_{0}$.

Considérons les points de contact de la courbe $K_{y}$ avec des tangentes parallèles à une direction donnée; dans les deux cas que nous venons d'examiner, deux de ces points, $A$ et $B$, se confondent en un seul pour $y = y_{0}$; mais, dans le

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premier cas, $A$ et $B$ s'échangent entre eux quand $y$ tourne autour de $y_{0}$; dans le second cas, $A$ et $B$ reviennent à leurs positions initiales, mais après avoir tourné l'un autour de l'autre.

$3^{\circ}$ Le plan $\frac{y}{t} = \text{const.}$ passe par un point conique de $S$, et ce point conique admet un cône tangent du troisième ordre sans autre singularité.

Alors six des points de contact dont nous venons de parler se confondent en un seul pour $y = y_{0}$; quatre des périodes $\omega_{ki}$ (à savoir celles que l'on obtient en intégrant le long de contours s'écartant très peu de ces six points de contact) restent des fonctions uniformes de $y$ dans le voisinage de $y = y_{0}$; mais elles peuvent devenir infinies du premier ordre pour $y = y_{0}$; les autres périodes peuvent cesser d'être des fonctions uniformes.

Nous distinguerons trois sortes de périodes; celles dont nous venons de parler et dont les contours s'écartent très peu de nos six points de contact; celles dont les contours restent toujours très éloignés de ces six points, celles dont les contours vont passer très près de ces six points et entre ces points et s'en écartent ensuite beaucoup.

De même, nous distinguerons trois sortes d'intégrales; celles où $P_{i}$ s'annule au point conique; celles où $P_{i}$ est indépendant de $x$ et de $z$; celles qui ne satisfont à aucune de ces deux conditions. Si la surface $S$ ne présente d'autre singularité que le point conique, les intégrales de la troisième sorte ne sont que des combinaisons de celles des deux premières.

Cela posé, les périodes de la seconde sorte se comportent régulièrement;

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nous venons de voir que celles de la première sorte se comportent comme $\frac{1}{y - y_{0}}$; c'est ce qui arrive pour les intégrales de la seconde ou de la troisième sorte; pour les intégrales de la première sorte, ces périodes restent des fonctions holomorphes de $y$.

En ce qui concerne les périodes de la troisième sorte, on voit qu'elles se comportent comme $\frac{1}{y - y_{0}}$ pour les intégrales de la seconde sorte; qu'elles deviennent logarithmiquement infinies pour celles de la première sorte; pour celles de la troisième, leurs deux singularités se trouvent réunies, c'est-à-dire que le développement comporte des termes $\frac{1}{y - y_{0}}$, $(y - y_{0})^{m}$, $L(y - y_{0})$, $(y - y_{0})^{m} L(y - y_{0})$.

Comment se comportent maintenant les intégrales $u_{i}$ elles-mêmes? Cela dépend si le point $M$ coïncide ou non avec le point conique; dans le second cas, une des déterminations que j'appelle $u_{i}^{*}$ se comporte régulièrement; la détermination la plus générale \[ u_{i} = u_{i}^{*} + \sum m_{k} \omega_{ki} \] se comporte comme les périodes; quand $y$ tourne autour de $y_{0}$, $u_{i}$ augmente d'une période.

Qu'arrive-t-il maintenant si, quand $y$ tend vers $y_{0}$, le point $M$ se rapproche indéfiniment du point conique? Les intégrales de la première sorte, deviendront logarithmiquement infinies; celles de la seconde sorte se comporteront comme $\frac{1}{y - y_{0}}$; celles de la troisième sorte présenteront la combinaison des deux singularités.

Revenons encore sur les deux premiers cas, pour expliquer comment se comporte $u_{i}$ quand le point $M$ tend vers le nouveau point double.

Soit, par exemple, $x = y = z = 0$ le nouveau point double que la courbe $K_{y}$ acquiert quand $y$ s'annule. Dans le premier cas (plan tangent ordinaire), nous supposerons que le point $M$ se rapproche du nouveau point double de telle façon que $\frac{x}{\sqrt{y}}, \frac{z}{\sqrt{y}}$ tendent vers des limites finies. Alors $u_{i}$ sera de la forme \[ \psi(y) + \mu \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}) \quad (\text{ici } y_{0} = 0), \] $\psi$ étant holomorphe et $\mu$ étant la moitié d'un entier impair. Dans le second cas (point conique du second ordre) nous supposerons que $\frac{x}{y}$ et $\frac{z}{y}$ tendent vers

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des limites finies et $u_{i}$ sera encore de même forme, $\mu$ désignant cette fois un entier impair.

Ce que nous venons de dire au sujet des valeurs singulières va nous aider à comprendre ce qui concerne les valeurs critiques apparentes.

Soit \[ u_{i} = \int \frac{P_{i}\,dx}{Q F'_{z}}. \]

Je suppose que $P_{i}$ soit divisible par $y$, de telle façon que $y$ soit une valeur critique de la première sorte; je suppose que le point $x = y = z = 0$ soit un point conique du troisième ordre de la surface $S$ de telle sorte que $y = 0$ soit en même temps une valeur singulière correspondant au troisième cas envisagé plus haut. De plus, $P_{i}$ est indépendant de $x$ et de $z$ de façon que notre intégrale sera de la seconde sorte. Enfin, $Q$ ne s'annule pas pour $y = 0$. Dans ces conditions, l'intégrale $\frac{t u_{i}}{y}$ reste finie pour $y = 0$, si le point $M$ ne coïncide pas avec le point conique, et elle devient infinie comme $\frac{1}{y}$ dans le cas contraire. Donc l'intégrale $u_{i}$ s'annulera pour $y = 0$ si le point $M$ ne vient pas au point conique, mais elle restera finie dans le cas contraire. La valeur $y = 0$ n'est donc qu'une valeur critique apparente, puisque l'intégrale $u_{i}$ n'est pas assujettie à s'annuler pour $y = 0$.

Cette difficulté n'est pas à redouter dans les deux autres cas examinés plus haut, qui sont ceux du plan tangent ordinaire et du point conique du second ordre. En effet, $\frac{t u_{i}}{y}$ ne devient infinie que logarithmiquement, d'où il suit que $u_{i}$ est nul.

M. Picard a démontré que, par une transformation birationnelle, on peut changer une surface quelconque en une surface $S$ n'ayant d'autre singularité qu'une courbe double et certains points triples à plans tangents séparés qui sont des points triples de cette courbe double. Nous pourrons donc toujours supposer que la surface $S$ n'a pas de point conique; d'autre part, le choix des axes étant arbitraire, nous pourrons toujours supposer que la droite $y = t = 0$ ne touche pas la surface et ne se trouve sur aucun plan tangent singulier à cette surface, non plus que sur les plans qui touchent cette surface en deux ou plusieurs points. Les seules valeurs singulières que nous aurons à envisager correspondront donc à des plans tangents ordinaires.

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Cela posé, nous pouvons encore choisir d'une manière assez arbitraire les intégrales $u_{i}$. Si, en effet, nous posons \[ X_{k} = \sum_{i=1}^{i=p} \rho_{ik} \frac{P_{i}}{Q} \quad (k = 1, 2, \ldots, p), \tag{2} \] les $\rho_{ik}$ étant $p^{2}$ fonctions rationnelles homogènes de degré zéro en $y$ et $t$, nous aurons $X_{k} = \frac{P'_{k}}{Q'}$, $Q'$ étant un polynome homogène de degré $\nu'$ en $y$ et $t$, $P'_{k}$ un polynome homogène de degré $n + \nu' - 2$ en $x, y, z, t$, contenant $x$ et $z$ au plus au degré $n - 3$. En d'autres termes, les intégrales \[ u'_{k} = \int \frac{P'_{k}\,dx}{Q' F'_{z}} = \sum \rho_{ik} u_{i} \] pourront jouer le même rôle que les intégrales $u_{i}$.

Quelles simplifications pourrons-nous obtenir par l'emploi de la transformation (2)? En premier lieu, nous pouvons prendre $\rho_{ik} = \frac{Q}{Q'}$, $Q'$ étant un polynome de même forme et de même degré que $Q$; alors les $\nu$ valeurs critiques de la seconde sorte qui étaient données par $Q = 0$, seront données par $Q' = 0$; le polynome $Q'$ étant arbitraire, les $\nu$ valeurs critiques de la seconde sorte peuvent être choisies arbitrairement; nous pouvons donc toujours supposer qu'elles ne coïncident, ni avec les valeurs critiques de la troisième sorte, ni avec les valeurs singulières, et qu'elles sont d'ailleurs toutes distinctes et correspondent à des infinis simples.

En second lieu, nous pouvons supposer que les valeurs critiques de la première sorte ne coïncident pas non plus avec les valeurs singulières. Soit, en effet, $y = y_{0} t$ une valeur singulière et supposons qu'elle soit également une valeur critique de la première sorte. Ce pourra être une valeur critique d'ordre supérieur. Si, par exemple, parmi les combinaisons $\displaystyle\sum \alpha_{i} P_{i}$, il y en a $\mu_{3}$ qui sont divisibles par $(y - y_{0} t)^{3}$, $\mu_{2}$ divisibles par $(y - y_{0} t)^{2}$, et enfin $\mu_{1}$ divisibles par $y - y_{0} t$, ce sera une valeur critique d'ordre $3\mu_{3} + 2\mu_{2} + \mu_{1}$. Il suffira de prendre un cas particulier; supposons donc, pour fixer les idées, que la seule combinaison qui soit divisible par $(y - y_{0} t)^{2}$ soit $\displaystyle\sum \beta_{i} P_{i}$, que $\displaystyle\sum \gamma_{i} P_{i}$ soit divisible par $y - y_{0} t$ et que toute combinaison divisible par $y - y_{0} t$ soit de la forme $B\displaystyle\sum \beta_{i} P_{i} - C\displaystyle\sum \gamma_{i} P_{i}$. Nous poserons alors, par une première transformation \[ P'_{1} = \sum \beta_{i} P_{i}, \quad P'_{2} = \sum \gamma_{i} P_{i}, \quad P'_{3} = \sum \delta_{i} P_{i}, \quad \ldots, \quad P'_{p} = \sum \theta_{i} P_{i} \] de telle façon que le déterminant des coefficients constants $\beta, \gamma, \delta, \ldots, \theta$, ne

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soit pas nul. Alors $P'_{1}$ sera divisible par $(y - y_{0} t)^{2}$ et $P'_{2}$ par $y - y_{0} t$. Nous ferons ensuite une seconde transformation en posant \[ P''_{1} = \frac{(y - y_{1} t)(y - y_{2} t)}{(y - y_{0} t)^{2}} P'_{1}, \quad P''_{2} = \frac{y - y_{3} t}{y - y_{0} t} P'_{2}, \quad P''_{k} = P'_{k} \quad (k > 2). \] Pour les polynomes $P''$, la valeur critique triple $y_{0}$ a disparu pour être remplacée par les trois valeurs critiques simples $y_{1}, y_{2}, y_{3}$, choisies arbitrairement. Nous pourrons donc toujours supposer que toutes les valeurs critiques sont simples, distinctes entre elles et distinctes des valeurs singulières.

Nous pouvons aussi profiter de la transformation (2) pour faire disparaître toutes les valeurs critiques de la seconde sorte; mais c'est un point que nous ne pourrons démontrer complètement que plus loin et qui exige quelques explications.

Soient \[ y = y_{1} t, \quad y = y_{2} t, \quad \ldots, \quad y = y_{h} t \] les diverses valeurs critiques de la première sorte. Soient \[ \sum \alpha_{i}^{1} P_{i}, \quad \sum \alpha_{i}^{2} P_{i}, \quad \ldots, \quad \sum \alpha_{i}^{h} P_{i} \tag{3} \] les combinaisons linéaires des $P_{i}$ qui s'annulent en ces diverses valeurs critiques. Les combinaisons (3) peuvent s'exprimer linéairement à l'aide de $h$ d'entre elles, $h$ étant au plus égal à $p$. Si $h = p$, notre théorème est aisé à démontrer; soit, en effet, $y = y_{0} t$ l'une des valeurs critiques de la seconde sorte; nous poserons d'abord, en supposant que les $p$ premières combinaisons (3) sont linéairement indépendantes \[ P'_{1} = \sum \alpha_{i}^{1} P_{i}, \quad P'_{2} = \sum \alpha_{i}^{2} P_{i}, \quad \ldots, \quad P'_{p} = \sum \alpha_{i}^{p} P_{i}. \] Alors $P'_{k}$ étant divisible par $y - y_{k} t$, nous poserons \[ P''_{k} = \frac{y - y_{0} t}{y - y_{k} t} P'_{k} \] la valeur critique $y = y_{0} t$ aura disparu et nous pourrons ainsi les faire disparaître toutes, les unes après les autres.

Si $h < p$, parmi nos polynomes $P_{k}$ il y en aura qui ne seront pas des combinaisons linéaires des combinaisons (3). Quand il en sera ainsi, nous dirons quelquefois pour abréger que les intégrales $u_{k}$ correspondantes n'ont pas de valeur critique de la première sorte. Nous montrerons plus loin que cette circonstance ne peut pas se présenter tant qu'il existe des valeurs critiques de

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la seconde sorte; nous aurons ainsi achevé d'établir la possibilité de faire disparaître toutes les valeurs critiques de la seconde sorte.

2. — Les fonctions $v_{i}$.

Soit $C$ une courbe algébrique tracée sur la surface $S$; le plan $\frac{y}{t} = \text{const.}$ coupera cette courbe en $m$ points mobiles, $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{m}$; soient $u_{i}^{1}, u_{i}^{2}, \ldots, u_{i}^{m}$ les valeurs correspondantes de l'intégrale $u_{i}$; je poserai \[ v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{m}; \tag{1} \] on remarquera que cette notation n'est pas tout à fait la même que celle que j'avais employée dans le Mémoire cité des Annales de l'École Normale; j'avais posé \[ m v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{m}; \] la nouvelle notation est plus commode. Nous verrons alors :

$1^{\circ}$ Que pour une valeur ordinaire de $y$, $v_{i}$ est fonction holomorphe de $y$; elle est fonction holomorphe de $\frac{1}{y}$ pour $y = \infty$;

$2^{\circ}$ Que les fonctions $v_{i}$ peuvent devenir infinies du premier ordre pour les valeurs critiques de la seconde sorte (supposées toutes simples);

$3^{\circ}$ Que pour une valeur critique de la première sorte, pour laquelle $\displaystyle\sum \alpha_{i} P_{i}$ s'annule, on devra $\displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i} = 0$;

$4^{\circ}$ Que pour une valeur singulière, les $v_{i}$ peuvent devenir logarithmiquement infinies; quand $y$ tourne autour d'une valeur singulière, $v_{i}$ augmente d'une période. Je précise; supposons que $u_{i}^{*}$ soit la détermination de $u_{i}$ qui reste fonction holomorphe de $y$ et que l'on envisage la détermination \[ u_{i} = u_{i}^{*} + \sum m_{k} \omega_{ki} \] on aura (cf. paragraphe précédent) \[ u_{i} = \psi(y) + \frac{m_{1}\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}) \tag{2} \] et $u_{i}$ se changera en $u_{i} + m_{1}\omega_{2i}$, et, en général, $v_{i}$ en $v_{i} + \displaystyle\sum m_{1}\omega_{2i}$, $\displaystyle\sum m_{1}$ étant la somme des valeurs de $m_{1}$ relatives aux diverses intégrales $u_{i}^{1}, u_{i}^{2}, \ldots, u_{i}^{m}$. On voit donc que $v_{1}$, par exemple, augmente d'une période, pendant que $v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{p}$ augmentent de la période correspondante.

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Il est intéressant de distinguer plusieurs cas. Supposons d'abord que la courbe $C$ ne passe pas par le point de contact; alors toutes les fonctions $u_{i}^{k}$ seront de la forme (2) et l'on aura \[ v_{i} = \psi(y) - \sum m_{1} \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $\psi(y)$ étant holomorphe et $\displaystyle\sum m_{1}$ étant un entier.

Supposons maintenant que la courbe $C$ passe par le point de contact; elle y touchera alors le plan $\frac{y}{t} = \text{const.}$, de sorte que deux des points $M_{k}$, (par exemple $M_{1}$ et $M_{2}$) se confondront avec le point de contact. Alors toutes les intégrales $u_{i}^{k}$ seront de la forme (2), à l'exception des intégrales $u_{i}^{1}$ et $u_{i}^{2}$, pour lesquelles on aura \[ u_{i}^{1} \text{ ou } u_{i}^{2} = \psi(y) + \mu \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $\mu$ étant la moitié d'un entier impair. On aura encore \[ v_{i} = \psi(y) + K \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $K$ étant un entier.

Il peut arriver aussi que la courbe $K_{y}$ se décompose pour la valeur singulière de $y$; les résultats précédents subsisteront.

On observera qu'à chaque valeur singulière est attachée une période qui joue un rôle particulier; toutes les périodes sont des fonctions de $y$ qui augmentent d'un multiple de cette période particulière quand $y$ tourne autour de cette valeur singulière. C'est cette période particulière que nous avons désignée plus haut par $\omega_{2i}$. On peut alors préciser la condition $4^{\circ}$ en disant que quand $y$ tourne autour d'une valeur singulière, toutes les fonctions $v_{i}$ augmentent d'un multiple de la période particulière qui y est attachée.

Tout système de fonctions $v_{i}$ satisfaisant aux conditions $1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}, 4^{\circ}$ s'appellera un système de fonctions normales. A toute courbe $C$ correspond un système de fonctions normales; mais on peut trouver d'autres systèmes de fonctions normales :

$1^{\circ}$ Les périodes forment un système de fonctions normales;

$2^{\circ}$ Soient $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ les points d'intersection de $S$ avec la droite $y = t = 0$; ces points appartiennent à toutes les courbes $K_{y}$; si $a_{i}^{k}$ est la valeur de l'intégrale $u_{i}$ au point $A_{k}$, les $a_{i}^{k}$ forment un système de fonctions normales. En particulier, les $a_{i}^{1}$ sont nuls, puisque $A_{1}$ sert de limite inférieure d'intégration.

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3. — Formation des fonctions normales.

Les périodes $\omega_{ki}$ satisfont à des équations différentielles linéaires à coefficients rationnels.

Nous aurons \[ \Delta_{i}(\omega) = 0, \tag{1} \] $\Delta$ est une expression différentielle qui est la même pour \[ \omega_{1i}, \quad \omega_{2i}, \quad \ldots, \quad \omega_{2p,i}, \] mais qui dépend de l'indice $i$. Cette expression est d'ordre $2p$, c'est-à-dire qu'elle contient des dérivées de $\omega$ jusqu'à l'ordre $2p$ inclusivement. Les coefficients sont des polynomes entiers en $y$; le coefficient du terme d'ordre le plus élevé ne peut s'annuler que pour les valeurs singulières; de plus, une seule des périodes cessant d'être holomorphe en chaque valeur singulière (à savoir celle que nous avons désignée par $\omega_{1}$, § 1), chacune de ces valeurs est une racine simple, de sorte que le coefficient de $\frac{d^{2p}\omega}{dy^{2p}}$ s'écrira : \[ (y - a_{1})(y - a_{2})\ldots(y - a_{h}), \] $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{h}$ étant les différentes valeurs singulières. C'est donc un polynome de degré $h$, $h$ étant le nombre des valeurs singulières. De plus, les intégrales de l'équation (1) devant se comporter régulièrement pour $y = \infty$, les degrés des coefficients de cette équation devront aller en décroissant, de telle façon que le coefficient de $\frac{d^{k}\omega}{dy^{k}}$ soit de degré $h - 2p + k$ et le coefficient de $\omega$ de degré $h - 2p - 1$ (et non pas $h - 2p$).

Nous avons $p$ équations (1) puisque l'indice $i$ peut prendre $p$ valeurs différentes; mais ces équations sont étroitement apparentées; on passera par exemple de l'équation $\Delta_{1}(\omega) = 0$ à l'équation $\Delta_{i}(\omega) = 0$ par une transformation simple; si l'on pose \[ \omega^{*} = R_{0}\omega + R_{1}\frac{d\omega}{dy} + R_{2}\frac{d^{2}\omega}{dy^{2}} + \ldots + R_{2p-1}\frac{d^{2p-1}\omega}{dy^{2p-1}}, \] les $R$ étant des fonctions rationnelles de $y$ convenablement choisies et que $\omega$

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satisfasse à $\Delta_{1}(\omega) = 0$, $\omega^{*}$ satisfera à $\Delta_{i}(\omega^{*}) = 0$. L'équation (1) est ce qu'on appelle l'équation de Picard.

Cela posé, considérons dans le plan des $y$ les diverses valeurs singulières $a_{k}$; joignons-les à l'infini par des coupures $Q_{k}$ ne se recoupant pas mutuellement. A chacune de ces valeurs sera attachée une période jouant un rôle particulier (celle qui avait été désignée par $\omega_{2i}$, § 1). Cette période sera respectivement désignée pour les intégrales $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}$ par $\varpi_{k1}, \varpi_{k2}, \ldots, \varpi_{kp}$.

Il s'agit de construire un système de fonctions normales $v_{i}$; je dois donc supposer que les fonctions $v_{i}$ restent uniformes tant qu'on ne franchit pas les coupures et que quand on franchit la coupure $Q_{k}$ dans le sens direct, $v_{i}$ se change en \[ v_{i} + \lambda_{k} \varpi_{ki} \] $\lambda_{k}$ étant un entier qui dépend de $k$, mais non de $i$. Soient alors $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{\nu}$, les valeurs critiques de la seconde sorte. Nous satisferons aux conditions en posant \[ v_{i} = \sum \frac{\lambda_{k}}{2\pi\sqrt{-1}} \int_{Q_{k}} \frac{\varpi'_{ki}\,dY}{Y - y} + \sum \frac{A_{ji}}{y - b_{j}} + C_{i}. \tag{2} \] $Y$ est la variable par rapport à laquelle on intègre; $\varpi'_{ki}$ est ce que devient $\varpi_{ki}$ quand on y remplace $y$ par $Y$; les $A$ et $C$ sont des coefficients arbitraires. On voit que l'expression (2) satisfait aux conditions énoncées; comme $\varpi'_{ki}$ est une fonction holomorphe de $Y$ pour $Y = a_{k}$, c'est-à-dire à l'extrémité de la coupure $Q_{k}$ (rappelons, en effet, ce que nous avons dit de $\omega_{2i}$, § 1), $v_{i}$ deviendra logarithmiquement infinie pour $y = a_{k}$; elle sera infinie du premier ordre aux valeurs critiques de seconde sorte et se comportera régulièrement pour toutes les autres valeurs.

Il reste à voir ce qui se passe pour $y = \infty$. Remarquons que les entiers $\lambda$ ne peuvent pas être choisis arbitrairement; il faut que, quand on décrit un cercle de rayon très grand en franchissant toutes les coupures, $v_{i}$ revienne à sa valeur primitive. Si les périodes de $u_{i}$ sont $\omega_{1i}, \omega_{2i}, \ldots, \omega_{2p,i}$, on aura \[ \varpi_{ki} = \sum \mu_{kj} \omega_{ji}, \] les $\mu_{kj}$ étant des entiers. De plus, $\omega_{ji}$ se changera en $\omega_{ji} + \nu_{kj} \varpi_{kj}$ quand on franchira la coupure $Q_{k}$ dans le sens direct, les $\nu_{kj}$ étant des entiers. Quand on franchira successivement dans le sens direct les coupures $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{h}$, ces

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coupures se succédant dans l'ordre où les rencontre un cercle de rayon très grand, $v_{i}$ se changera en \[ v_{i} + \sum \rho_{hj} \omega_{ji} \] les $\rho$ étant des entiers qu'il s'agit d'étudier; en premier lieu, on aura \[ \rho_{1j} = \lambda_{1} \mu_{1j}. \] On aura ensuite \[ \rho_{kj} - \rho_{k-1, j} = \mu_{kj} \biggl( \lambda_{k} + \sum \rho_{k-1, l} \nu_{kl} \biggr); \] par ces équations, les $\rho$ dépendent des entiers indéterminés $\lambda$ et des entiers déterminés $\mu$ et $\nu$; ce sont des fonctions linéaires et homogènes des entiers $\lambda$. Mais comme $v_{i}$ doit revenir à sa valeur primitive quand on a franchi les $h$ coupures, on devra avoir \[ \rho_{h1} = \rho_{h2} = \ldots = \rho_{h, 2p} = 0. \tag{3} \] Ce sont $2p$ équations linéaires auxquelles les $\lambda$ doivent satisfaire.

Si cette condition est remplie, $v_{i}$ est fonction uniforme de $y$ dans le voisinage de $y = \infty$; de plus, cette fonction reste finie; en effet, chacun des termes de (2) reste fini sauf les intégrales, et ces intégrales ne peuvent devenir que logarithmiquement infinies, puisque $\varpi'_{ki}$ reste fini pour $Y = \infty$. Les termes logarithmiques, qui seuls pourraient devenir infinis, doivent se détruire, puisque $v_{i}$ est uniforme; donc $v_{i}$ est fini.

Les conditions (3) ne sont pas les seules que nous devions nous imposer. Soient $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{\mu}$ les valeurs critiques de la première sorte et supposons que pour $y = c_{k}$ on ait $\displaystyle\sum \alpha_{ik} P_{i} = 0$, les $\alpha_{ik}$ étant des coefficients constants; on devra avoir pour $y = c_{k}$ \[ \sum \alpha_{ik} v_{i} = 0. \tag{4} \] Supposons que les $\lambda$ soient des entiers satisfaisant aux conditions (3); les relations (4) seront des relations entre les $A$ et $C$.

Si le nombre des valeurs critiques de la première sorte est plus petit que $p(\nu + 1)$, le nombre des relations (4) distinctes sera a fortiori plus petit que $p(\nu + 1)$; [je dis a fortiori parce que les relations (4) peuvent ne pas être toutes distinctes]. On peut alors satisfaire à ces conditions d'une infinité de manières, puisque les indéterminées $A$ et $C$ sont au nombre de $p(\nu + 1)$. On obtiendra alors une infinité continue de systèmes de fonctions normales, correspondant, comme nous le verrons bientôt, à une infinité continue de courbes algébriques ne constituant pas un système linéaire.

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Si, en particulier, nous égalons tous les $\lambda$ à zéro, les $v_{i}$ seront des fonctions uniformes de $y$, ne pouvant devenir infinies que du premier ordre aux valeurs critiques de la seconde sorte; elles seront donc rationnelles; nous avons donc une infinité de systèmes de fonctions normales rationnelles.

Si le nombre de valeurs critiques de la première sorte est égal à $p(\nu + 1)$, les relations (4) seront, en général, distinctes; le nombre des indéterminées est alors égal à celui des conditions; et nous aurons pour chaque système de valeurs des $\lambda$ satisfaisant aux conditions (3) un seul système de fonctions normales. Comme nous pouvons faire varier les $\lambda$, nous aurons une infinité de systèmes de fonctions normales, mais cette infinité sera discontinue. En particulier, si tous les $\lambda$ sont nuls, tous les $v_{i}$ seront nuls.

Il peut se faire ensuite que le nombre des relations (4) étant égal à $p(\nu + 1)$, ces relations ne soient pas toutes distinctes. Examinons, en particulier, le cas où il n'y a pas de valeur critique de la seconde sorte, cas auquel nous verrons plus loin que tous les autres se ramènent. Si les relations (4) ne sont pas toutes distinctes, il existe pour tout système de valeurs des $\lambda$ une infinité de systèmes de fonctions normales; en faisant la différence de deux quelconques de ces systèmes, on obtiendra des systèmes de fonctions normales pour lesquels tous les $\lambda$ seront nuls; on aura alors \[ v_{i} = \sum \frac{A_{ji}}{y - b_{j}} + C_{i}; \] comme il n'y a pas de valeur critique de la seconde sorte, on aura simplement $v_{i} = C_{i}$, c'est-à-dire que nos fonctions normales se réduiront à des constantes. Les relations (4) s'écriront alors $\displaystyle\sum \alpha_{ik} C_{i} = 0$ et elles seront, par hypothèse, au nombre de $p$, puisque $\nu = 0$. Si elles étaient toutes distinctes, tous les $C_{i}$ seraient nuls; si elles ne sont pas toutes distinctes, quelques-uns des $C_{i}$ peuvent être choisis arbitrairement; parmi les $C_{i}$, il en existe alors qui ne sont pas des combinaisons linéaires des premiers membres des relations (4); les intégrales $u_{i}$ correspondantes, pour employer la terminologie de la fin du paragraphe 1 n'ont pas de valeurs critiques de la première sorte. Il existe également des intégrales qui n'ont pas de valeurs critiques de la première sorte, si le nombre des relations (4) est plus petit que $p(\nu + 1)$. L'existence d'un système de fonctions normales rationnelles se trouve ainsi rattachée à l'existence d'intégrales

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dépourvues de valeurs critiques de la première sorte, au sens de la fin du paragraphe 1.

Si enfin le nombre des valeurs critiques de la première sorte est plus grand que $p(\nu + 1)$, il sera en général, impossible de satisfaire aux relations (4). Les fonctions normales correspondant à des valeurs données des entiers $\lambda$, n'existeront pas en général et l'on ne pourra les former que pour certaines surfaces particulières satisfaisant, pour ainsi dire, à des conditions arithmétiques.

Considérons maintenant les expressions $\Delta_{i}(v_{i})$; je dis que ce sont des fonctions uniformes de $y$. En effet, quand $y$ décrit un contour fermé quelconque, $v_{i}$ se change en $v_{i} + \Omega_{i}$, $\Omega_{i}$ étant une période de $u_{i}$; $\Delta_{i}(v_{i})$ se change en $\Delta_{i}(v_{i}) + \Delta_{i}(\Omega_{i})$. Or, en vertu de l'équation (1), $\Delta_{i}(\Omega_{i}) = 0$; donc $\Delta_{i}(v_{i})$ ne change pas. \hfillc. q. f. d.

$\Delta_{i}(v_{i})$ reste fini pour les valeurs ordinaires de $y$ ainsi que pour les valeurs critiques de la première sorte. Dans le voisinage d'une valeur singulière, nous avons \[ v_{i} = v_{i}^{*} + \sum m_{k} \omega_{ki}, \] $v_{i}^{*}$ étant holomorphe et les $m_{k}$ étant des entiers. Alors $\Delta_{i}(v_{i}^{*})$ est holomorphe; $\Delta_{i}(\omega_{ki})$ est nul en vertu des équations (1); donc $\Delta_{i}(v_{i})$ est holomorphe.

En une valeur critique de la seconde sorte, $v_{i}$ devient infini d'ordre 1; sa dérivée d'ordre $q$ devient infinie d'ordre $q+1$ et $\Delta_{i}(v_{i})$ devient infini d'ordre $2p+1$.

Pour $y = \infty$, $v_{i}$ reste fini, sa dérivée d'ordre $q$ devient nulle d'ordre $q+1$; d'autre part, dans $\Delta_{i}(v_{i})$ le coefficient de $v_{i}$ devient infini d'ordre $h - 2p - 1$, celui de sa dérivée $q^{\text{ième}}$ devient infini d'ordre $h - 2p + q$; nous concluons que $\Delta_{i}(v_{i})$ devient infini d'ordre $h - 2p - 1$.

En résumé, $\Delta_{i}(v_{i})$ est une fonction rationnelle de $y$ et l'on peut écrire \[ \Delta_{i}(v_{i}) = \frac{N_{i}}{Q^{2p+1}}, \tag{5} \] où \[ Q = (y - b_{1})(y - b_{2})\ldots (y - b_{\nu}) \] et où $N_{i}$ est un polynome entier en $y$ d'ordre $h + (2p+1)(\nu - 1)$.

Telle est l'équation différentielle à laquelle satisfont les fonctions normales $v_{i}$.

4. — Introduction des fonctions abéliennes.

Pour bien faire comprendre la nature du problème que je veux maintenant aborder, je me restreindrai d'abord à un cas particulier, celui où $p = 1$ et où,

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par conséquent, les fonctions abéliennes que nous aurons à envisager se réduisent aux fonctions elliptiques. Nous n'avons alors qu'une intégrale $u$, et un << système >> de fonctions normales se réduit à une seule fonction que j'appellerai $v$ en supprimant l'indice devenu inutile. Nous n'aurons plus que deux périodes $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ qui seront des fonctions de $y$ définies par l'équation de Picard \[ \Delta(\omega) = 0 \tag{1} \] [équation (1) du paragraphe précédent], tandis que la fonction normale $v$ satisfera à \[ \Delta(v) = \frac{N}{Q^{2p+1}} \tag{2} \] [équation (5) du paragraphe précédent].

Cela posé, considérons la fonction $p(u)$ de Weierstrass; elle dépend, non seulement de l'argument $u$, mais des deux périodes $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$; si nous y remplaçons l'argument par la fonction normale $v$ définie par l'équation (2) et les périodes $2\omega_{1}$ et $2\omega_{2}$ définies en fonction de $y$ par l'équation (1), la fonction de Weierstrass deviendra une fonction de $y$ \[ p(v,\, \omega_{1}, \omega_{2}) = G(y) \] et c'est cette fonction qu'il s'agit d'étudier.

Quand $y$ tourne autour d'une valeur singulière, les périodes se changent en d'autres périodes et $v$ augmente d'une période. Dans ces conditions, la fonction de Weierstrass ne change pas. Donc $G$ est une fonction uniforme de $y$.

Pour un point ordinaire et si $v$ n'est pas égal à une période, $G$ est évidemment holomorphe, et, de même, c'est une fonction holomorphe de $\frac{1}{y}$ dans le voisinage de $y = \infty$.

Si $y = b$ est une valeur critique de la seconde sorte, nous voyons que $v$, $\omega_{1}$ et $\omega_{2}$ deviennent infinis, mais $v(y - b)$, $\omega_{1}(y - b)$, $\omega_{2}(y - b)$ restent holomorphes; donc \[ p(v,\, \omega_{1}, \omega_{2}) = (y - b)^{2} p\bigl[ v(y - b),\, \omega_{1}(y - b),\, \omega_{2}(y - b) \bigr] \] est holomorphe pour $y = b$ et même s'annule; rappelons, en effet, que la fonction de Weierstrass est homogène de degré $-2$ en $v, \omega_{1}, \omega_{2}$.

Si $y = c$ est une valeur critique de la première sorte, il arrive que $v, \omega_{1}$ et $\omega_{2}$

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s'annulent pour $y = c$, mais $\frac{v}{y - c}$, $\frac{\omega_{1}}{y - c}$, $\frac{\omega_{2}}{y - c}$ restent finis et, comme on a \[ p(v,\, \omega_{1}, \omega_{2}) = \frac{1}{(y - c)^{2}} p\biggl( \frac{v}{y - c},\, \frac{\omega_{1}}{y - c},\, \frac{\omega_{2}}{y - c} \biggr), \] $G$ reste une fonction méromorphe de $y$.

Si $v$ était égal à une période, la fonction de Weierstrass ne serait plus une fonction holomorphe de $v, \omega_{1}$ et $\omega_{2}$, mais une fonction méromorphe, devenant infinie d'ordre 2.

Donc $G$ restera encore fonction méromorphe de $y$, que la valeur envisagée soit d'ailleurs ordinaire ou critique.

Il nous reste à rechercher ce qui se passe aux valeurs singulières. La fonction de Weierstrass ne dépendant pas du choix des périodes, nous pouvons supposer que $2\omega_{1}$ et $2\omega_{2}$ sont précisément les périodes qui dans le voisinage de la valeur singulière considérée $y - y_{0}$ sont de la forme \[ \theta_{1}(y) + \frac{\theta(y)}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \quad \theta(y), \] $\theta_{1}(y)$ et $\theta(y)$ restant holomorphes [sans que $\theta(y)$ s'annule]; d'autre part, $v$ sera de la forme \[ v^{*} - \lambda \frac{\theta(y)}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $v^{*}$ restant holomorphe et $\lambda$ étant un entier. Si nous posons avec Weierstrass (cf. Formules et propositions pour l'emploi des fonctions elliptiques) : \[ h = e^{\pi\sqrt{-1} \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}}, \quad z = e^{\frac{\pi\sqrt{-1} v}{2\omega_{2}}}, \] nous voyons que $h(y - y_{0})^{-\frac{1}{2}}$, $z(y - y_{0})^{-\frac{\lambda}{2}}$ demeurent holomorphes et ne s'annulent pas pour $y = y_{0}$. Nous voyons, d'autre part (loc. cit., édition française, p. 41), que \[ \sigma(v) = e^{2\eta_{2} \omega_{2} w^{2}} \mathrm{K} \mathfrak{S}(v), \quad \mathfrak{S}(v) = \frac{1}{\sqrt{-1}} \sum (-1)^{m} h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1}, \]

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$\mathrm{K}$ étant un facteur constant, d'où \[ p(v) = \frac{\sigma'^{2} - \sigma\sigma''}{\sigma^{2}} = - \frac{\eta_{2}}{\omega_{2}} + \frac{\mathfrak{S}'^{2} - \mathfrak{S}\mathfrak{S}''}{\mathfrak{S}^{2}} \] (j'écris $v$ au lieu de $u$, pour conserver la notation adoptée jusqu'ici, et je désigne par $w$ le $v$ de Weierstrass, c'est-à-dire $\frac{v}{2\omega_{2}}$). D'ailleurs, on a \[ \begin{gathered} \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \mathfrak{S}'(v) = \frac{1}{\pi\sqrt{-1}} \sum (-1)^{m} (2m+1) h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1}, \\ \biggl( \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \biggr)^{2} \mathfrak{S}''(v) = \frac{1}{\sqrt{-1}} \sum (-1)^{m} (2m+1)^{2} h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1}. \end{gathered} \] Je dis que \[ \mathfrak{S}(v) = (y - y_{0})^{\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2}} \mathrm{H}(y), \] $\mathrm{H}$ étant holomorphe, ou au moins méromorphe. En effet, on a \[ h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1} = (y - y_{0})^{\frac{(2m+1)^{2}}{8} - \frac{\lambda}{2}(2m+1)} \mathrm{M}(y), \] $\mathrm{M}$ étant holomorphe; l'exposant de $y - y_{0}$ est égal à $\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2} + \bigl[ \frac{m^{2} + m}{2} - \lambda m \bigr]$; l'expression entre crochets est un entier; et, quels que soient le signe et la valeur de $\lambda$, cet entier est positif, pourvu que $m$ soit suffisamment grand en valeur absolue.

Si donc nous mettons de côté le facteur $(y - y_{0})^{\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2}}$, nous voyons que tous les termes de la série $\mathfrak{S}(v)$ sont holomorphes, sauf un nombre fini qui sont méromorphes. Donc $\mathrm{H}(y)$ est méromorphe. On démontrerait de même que \[ \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \mathfrak{S}'(v), \quad \biggl( \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \biggr)^{2} \mathfrak{S}''(v) \] sont de la forme \[ (y - y_{0})^{\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2}} \mathrm{H}(y), \] $\mathrm{H}$ étant méromorphe; comme $2\omega_{2} = \theta(y)$ est holomorphe et ne s'annule pas, l'expression $\frac{\mathfrak{S}'^{2} - \mathfrak{S}\mathfrak{S}''}{\mathfrak{S}^{2}}$ est méromorphe. D'autre part, $\eta_{2}\omega_{2}$ d'après Weierstrass [loc. cit., § 6, p. 8, form. (10)] est une fonction holomorphe de $h^{2}$ (pour $h = 0$) et, par conséquent, de $y$ pour $y = y_{0}$. Nous devons donc conclure que pour cette valeur, $p(v)$ est une fonction méromorphe de $y$.

Ainsi $G$ reste une fonction méromorphe de $y$, même pour les valeurs singulières. Elle est donc méromorphe dans tout le plan et même à l'infini; c'est donc une fonction rationnelle de $y$.

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La dérivée partielle $\frac{dp}{dv}$ est aussi une fonction doublement périodique de $v$ qui ne change pas quand on remplace le système des périodes par un système équivalent. On démontrerait de la même manière que c'est une fonction rationnelle de $y$.

Envisageons maintenant les trois dérivées partielles \[ \frac{dp}{dv}, \quad \frac{dp}{d\omega_{1}}, \quad \frac{dp}{d\omega_{2}}. \] Quand $v$ augmente d'une période, ou que l'on remplace le système des périodes par un système équivalent, ces trois dérivées subiront une transformation linéaire et cela de telle façon que \[ \begin{gathered} v \frac{dp}{dv} + \omega_{1} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \omega_{2} \frac{dp}{d\omega_{2}}, \\ \frac{dv}{dy} \frac{dp}{dv} + \frac{d\omega_{1}}{dy} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \frac{d\omega_{2}}{dy} \frac{dp}{d\omega_{2}}, \\ \frac{d^{2}v}{dy^{2}} \frac{dp}{dv} + \frac{d^{2}\omega_{1}}{dy^{2}} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \frac{d^{2}\omega_{2}}{dy^{2}} \frac{dp}{d\omega_{2}}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \end{gathered} \tag{3} \] demeurent invariants ${}^{(1)}$. On en conclut (par un raisonnement tout semblable au précédent) que toutes ces expressions sont des fonctions rationnelles de $y$. Pour la seconde d'entre elles, cela est d'ailleurs évident puisque c'est la dérivée totale de $p$ par rapport à $y$ et que $p$ est une fonction rationnelle de $y$.

En combinant ces expressions, on trouve que \[ \Delta v \frac{dp}{dv} + \Delta\omega_{1} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \Delta\omega_{2} \frac{dp}{d\omega_{2}} \] est une fonction rationnelle de $y$. Or $\Delta\omega_{1}$ et $\Delta\omega_{2}$ sont nuls; en vertu de l'équation (1), cette expression se réduit donc à $\Delta v \frac{dp}{dv}$.

Nous savions déjà que les deux facteurs $\Delta v$ [en vertu de l'équation (2)] et $\frac{dp}{dv}$ sont des fonctions rationnelles de $y$.

Passons maintenant au cas général où le genre $p$ des courbes $K_{y}$ est plus grand que 1.

(1) Pour l'établir, on utilisera le développement en série double de $p(v)$, développement qui converge uniformément dans toute région bornée du plan $v$ et pour $\mathfrak{R}\bigl(\frac{\omega_{2}}{i\omega_{1}}\bigr) > 0$, ainsi que les développements de ses dérivées partielles, calculées terme à terme, par rapport à $v$, à $\omega_{1}$ et à $\omega_{2}$; on se servira, en outre, de la convergence absolue des développements. La première des trois relations d'invariance résulte d'ailleurs de la formule d'homogénéité.

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Nous nous servirons des propriétés des fonctions intermédiaires (fonctions de Frobenius) et nous en utiliserons, en particulier, quelques-unes que j'ai démontrées dans l'American Journal of Mathematics (t. 8, 1886, p. 289). Soit $\omega_{ki}$ la $k^{\text{ième}}$ période de la $i^{\text{ème}}$ intégrale. Il existera entre les périodes de deux intégrales quelconques une relation bilinéaire \[ \Phi(\omega_{ki},\, \omega_{kj}) = 0 \tag{4} \] telle que le premier membre $\Phi$, linéaire et homogène, tant par rapport à \[ \omega_{1i}, \quad \omega_{2i}, \quad \ldots, \quad \omega_{2p, i} \] que par rapport à \[ \omega_{1j}, \quad \omega_{2j}, \quad \ldots, \quad \omega_{2p, j}, \] change de signe quand on permute $\omega_{ki}$ avec $\omega_{kj}$. Si l'on prend, en particulier, les périodes normales, cette fonction $\Phi$ prend une forme particulièrement simple. Nous aurons \[ \Phi = \sum_{k=1}^{k=p} (\omega_{ki} \omega_{k+p, j} - \omega_{kj} \omega_{k+p, i}) = 0. \tag{4~bis} \] Considérons alors une fonction intermédiaire; c'est une fonction entière $\mathrm{H}$ de $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{p}$, qui est multipliée par une exponentielle quand les variables augmentent d'une période, de sorte que \[ \mathrm{H}(v_{i} + \omega_{ki}) = e^{P_{k}} \mathrm{H}(v_{i}); \qquad P_{k} = \sum \alpha_{ki} v_{i} + \gamma_{k}. \] Nous poserons, d'autre part, \[ \delta_{k} = \gamma_{k} - \frac{1}{2} \sum \alpha_{ki} \omega_{ki}. \] Les quantités $\gamma_{k}$ et $\delta_{k}$ ne sont évidemment déterminées qu'à un multiple près de $2\pi\sqrt{-1}$. Nous envisagerons ensuite les combinaisons \[ \Phi(\alpha_{ki},\, \omega_{kj}) = \Phi_{ij}. \] Nous supposerons \[ \Phi_{ii} = 2m\pi\sqrt{-1}, \qquad \Phi_{ij} = 0 \quad (i \gtrless j); \tag{5} \] la fonction intermédiaire sera alors dite d'ordre $m$; une fonction intermédiaire du premier ordre est déterminée à un facteur constant près quand on connaît

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ses multiplicateurs $e^{P_{k}}$. Une fonction intermédiaire du premier ordre est paire ou impaire quand tous les $\delta_{k}$ sont égaux à 0 ou à $\pi\sqrt{-1}$. Pour des valeurs données des coefficients $\alpha_{ki}$, il y a donc $2^{2p}$ fonctions intermédiaires du premier ordre paires ou impaires.

Si nous multiplions la fonction intermédiaire $\mathrm{H}$ par une exponentielle $e^{Q}$, où $Q$ est un polynome homogène du second degré par rapport aux $v_{i}$, nous aurons une nouvelle fonction intermédiaire $\mathrm{H}'$ pour laquelle les $\Phi_{ij}$ et les $\delta_{k}$ seront les mêmes. On pourra disposer du polynome $Q$ de telle façon que les $\alpha_{ki}$ s'annulent pour toutes les périodes de la première série, c'est-à-dire pour $k \le p$. La fonction $\mathrm{H}'$ est alors une fonction $\Theta$, mais nous nous bornerons aux fonctions paires ou impaires qui sont au nombre de $2^{2p}$. Parmi ces fonctions $\Theta$, il y en a une qui est la fonction $\Theta$ proprement dite et que nous désignerons par $\Theta_{0}$ pour la distinguer des autres; c'est celle pour laquelle tous les $\delta_{k}$ sont nuls.

Nous envisagerons maintenant les fonctions $\Pi$ qui sont les dérivées partielles du troisième ordre (par rapport aux $v$) du logarithme de l'une des fonctions $\Theta$ du premier ordre paires ou impaires. Ces fonctions $\Pi$ sont donc au nombre de $\frac{p(p+1)(p+2)}{6} 2^{2p}$ puisqu'il y a $2^{2p}$ fonctions $\mathrm{L}\,\Theta$ et que chacune d'elles a $\frac{p(p+1)(p+2)}{6}$ dérivées du troisième ordre.

$1^{\circ}$ Une dérivée partielle du troisième ordre du logarithme d'une fonction intermédiaire du premier ordre $\mathrm{H}$ paire ou impaire est égale à l'une des fonctions $\Pi$. On a, en effet, \[ \log\Theta = \log\mathrm{H} - Q, \] $Q$ étant un polynome du second degré et toute dérivée troisième de $Q$ est nulle.

$2^{\circ}$ Quand on augmente les $v$ d'une période, les $\Pi$ ne changent pas; car $\log\Theta$ augmente de $P_{k}$ dont les dérivées troisièmes sont nulles.

$3^{\circ}$ Qu'arrive-t-il maintenant quand on remplace les périodes par un système de périodes normales équivalent? D'abord les $\Phi_{ij}$ ne changent pas (loc. cit., p. 323); de plus, si la fonction intermédiaire était paire ou impaire, elle conservera ce caractère; si les anciens $\delta_{k}$ étaient tous égaux à zéro ou à $\pi\sqrt{-1}$, il en sera de même des nouveaux $\delta_{k}$; mais il n'y a aucune nécessité à

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ce que chaque nouveau $\delta_{k}$ soit égal à l'ancien $\delta_{k}$ correspondant. Nous en concluons que les différentes fonctions $\Pi$ s'échangent simplement entre elles, une dérivée du troisième ordre du logarithme de $\Theta$ se changeant dans la dérivée partielle correspondante du logarithme d'un autre $\Theta$.

$4^{\circ}$ Si nous faisons subir aux $v_{i}$ une substitution linéaire, et en même temps aux périodes $\omega_{ki}$ la substitution linéaire correspondante, et aux $\alpha_{ki}$ la substitution contragrédiente, de telle sorte que $\displaystyle\sum \alpha_{ki} v_{i}$ ne change pas, la fonction intermédiaire $\mathrm{H}$ définie par les $v$, les $\omega$, les $\alpha$ et les $\delta$ ne changera pas; il en sera de même de son logarithme; les dérivées partielles de ce logarithme (et, en particulier, les $\Pi$ correspondants) subiront une transformation linéaire (contragrédiente de celle que subissent les produits de trois facteurs égaux à des $v_{i}$, distincts ou non).

Si, par exemple, $v_{i}$ est multiplié par $c$, les $\omega_{ki}$ multipliés par $c$, les $\alpha_{ki}$ divisés par $c$, les fonctions $\Pi$ représentées par \[ \frac{d^{3}}{dv_{1}^{3}} \log\Theta, \quad \frac{d^{3}}{dv_{1}^{2}\,dv_{2}} \log\Theta, \quad \frac{d^{3}}{dv_{1}\,dv_{2}^{2}} \log\Theta, \quad \frac{d^{3}}{dv_{2}^{3}} \log\Theta, \quad \ldots \] seront respectivement multipliées par \[ \frac{1}{c^{3}}, \quad \frac{1}{c^{3}}, \quad \frac{1}{c^{3}}, \quad \frac{1}{c^{3}}, \quad \ldots \]

Cela posé, je suppose que l'on remplace les $\omega_{ki}$ par leurs valeurs en fonction de $y$ et les $v_{i}$ par un système de fonctions normales de $y$; une fonction $\Pi$ va devenir une fonction $G(y)$ qu'il s'agit d'étudier.

$1^{\circ}$ Lorsque $y$ décrit un contour fermé, les $v$ augmentent d'une période; le système de périodes est remplacé par un système équivalent. Dans ces conditions, les fonctions $G$ peuvent seulement s'échanger entre elles. Je précise; convenons pour abréger le langage, de dire que deux fonctions $G = \Pi$ appartiennent au même système quand elles dérivent de plusieurs $\log\Theta$ différents par le même mode de différentiation; et qu'elles appartiennent au même groupe quand elles sont les diverses dérivées partielles d'un même $\log\Theta$. Alors les fonctions $G$ d'un même système s'échangeront entre elles. Donc toute fonction symétrique des diverses fonctions $G$ d'un même système est une fonction uniforme de $y$.

Pour une valeur ordinaire de $y$, les $G$ sont des fonctions méromorphes de $y$.

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Pour une valeur critique de la seconde sorte $y = b$, les produits $v_{i}(y - b)$, $\omega_{ki}(y - b)$ restent holomorphes; donc \[ \Pi(v_{i},\, \omega_{ki}) = (y - b)^{3} \Pi\bigl[ v_{i}(y - b),\, \omega_{ki}(y - b) \bigr] \] reste méromorphe.

Pour une valeur critique de la première sorte $y = c$, telle que $\displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i} = 0$, on fera un changement linéaire de variables, de telle sorte que $v'_{1} = \displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i}$ et que les autres $v'_{i}$ soient des fonctions linéaires quelconques des $v$. Nous ferons, bien entendu, le même changement de variables sur les $\omega_{ki}$; de telle sorte que, par exemple, $\omega'_{k1} = \displaystyle\sum \alpha_{i} \omega_{ki}$.

Alors les $\Pi(v'_{i},\, \omega'_{ki})$ seront des fonctions linéaires des $\Pi(v_{i},\, \omega_{ki})$ et inversement. Je mettrai en évidence $v'_{1}$ et $\omega'_{k}$ en écrivant \[ \Pi(v'_{1},\, v'_{i};\, \omega'_{k1},\, \omega'_{ki}), \] l'indice $i$ prenant les valeurs $2, 3, \ldots, p$; dans ce cas, $v'_{1}$ et $\omega'_{k}$ s'annulent pour $y = c$, mais $\frac{v'_{1}}{y - c}$ et $\frac{\omega'_{k1}}{y - c}$ restent finis. Alors : \[ \Pi(v'_{1},\, v'_{i};\, \omega'_{k1},\, \omega'_{ki}) = \frac{1}{(y - c)^{\lambda}} \Pi\biggl( \frac{v'_{1}}{y - c},\, v'_{i};\, \frac{\omega'_{k1}}{y - c},\, \omega'_{ki} \biggr) \] (où $\lambda = 0, 1, 2, 3$, selon le système de fonctions $\Pi$ que l'on considère) reste encore méromorphe. Il en est donc de même des $\Pi$.

Il nous reste à examiner le cas des valeurs singulières. Soit $y = y_{0}$ une de ces valeurs; dans le voisinage de cette valeur, on a \[ v_{i} = \psi_{i}(y) + \frac{\lambda \varpi_{i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \qquad \omega_{ki} = \psi_{ki}(y) + \frac{\lambda_{k} \varpi_{i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] les $\psi$ étant holomorphes, $\varpi_{i}$ étant la période qui est attachée à la valeur singulière au sens du paragraphe 2 et qui est une fonction holomorphe de $y$, les $\lambda$ et les $\lambda_{k}$ étant des entiers. Comme nous avons vu que nos fonctions $G$ d'un même système se permutent simplement entre elles quand on remplace les périodes par un système équivalent de périodes normales, nous pourrons adopter un quelconque de ces systèmes équivalents et il sera toujours possible de le choisir

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de telle façon que $\varpi_{i} = \omega_{1i}$; dans ces conditions, tous les $\lambda_{k}$ sont nuls, à l'exception de $\lambda_{p+1}$ qui est égal à 1. En effet, la forme \[ \sum_{k} (\omega_{ki} \omega_{k+p, j} - \omega_{k+p, i} \omega_{kj}) \] ne doit pas être altérée quand $\omega_{ki}$ se change en $\omega_{ki} + \lambda_{k} \omega_{1i}$ et $\omega_{kj}$ en $\omega_{kj} + \lambda_{k} \omega_{1j}$, ce qui arrive quand $y$ tourne autour de $y_{0}$; et cela exige que tous les $\lambda_{k}$ soient nuls à l'exception de $\lambda_{p+1}$. Nous voyons ensuite que, quand la valeur singulière $y_{0}$ correspond à un plan tangent ordinaire, ce que nous supposons, il existe toujours une période (combinaison linéaire des $\omega_{ki}$) qui augmente de $\varpi_{i}$, ce qui exige $\lambda_{p+1} = \pm 1$. Enfin, nous supposerons $\lambda_{p+1} = 1$, car, si $\lambda_{p+1}$ était négatif, il suffirait de changer $\varpi_{i}$ en $-\varpi_{i}$.

Nous allons maintenant effectuer un changement linéaire de variables en posant \[ v'_{i} = \sum \alpha_{ij} v_{j}, \qquad \omega'_{ki} = \sum \alpha_{ij} \omega_{kj}. \tag{6} \] Dans ces conditions, les $\Pi' = \Pi(v'_{i},\, \omega'_{ki})$ seront des fonctions linéaires des $\Pi(v_{i},\, \omega_{ki})$ et les coefficients de ces fonctions linéaires seront des fonctions méromorphes de $y$, si les coefficients $\alpha_{ij}$ sont eux-mêmes des fonctions méromorphes de $y$.

Cela posé, nous pouvons choisir le changement de variables (6) de telle sorte que \[ \omega'_{k1} = 0 \quad (k \le p,\, k \gtrless 1), \qquad \omega'_{11} = 2\pi\sqrt{-1} \quad (k \le p); \] les coefficients $\alpha_{ij}$ seront des fonctions méromorphes de $y$, puisque tous les $\omega_{k1}$ où $k \le p$, et même généralement tous les $\omega_{ki}$, sauf $\omega_{p+1, i}$, sont des fonctions holomorphes de $y$. Nous écrirons alors : \[ \Theta = \sum e^{P_{1} + P_{2} + P_{3}}, \] où \[ P_{1} = \sum m_{i} v'_{i}, \qquad P_{2} = \sum m_{i} z_{i}, \qquad P_{3} = \frac{1}{2} \sum m_{i} m_{k} a_{ik} \] et où :

$1^{\circ}$ $2m_{1}, 2m_{2}, \ldots, 2m_{p}$ sont des entiers : $2m_{k}$ étant soit toujours pair, soit toujours impair, suivant la valeur des $\delta_{k}$, c'est-à-dire suivant celle des $2^{2p}$ fonctions $\Theta$ que l'on envisage;

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$2^{\circ}$ Les $\varepsilon_{i}$ sont égaux à $0$ ou à $\pi\sqrt{-1}$ suivant celle des $2^{2p}$ fonctions $\Theta$ que l'on envisage.

$3^{\circ}$ On a \[ a_{ik} = a_{ki} = \omega'_{k, p+i} = \omega'_{i+p, k}. \] Tous les $\omega'_{ki}$ sont des fonctions holomorphes de $y$ sauf peut-être les $\omega'_{p+1, i}$; de plus, $\omega'_{p+1, i}$ est égal à une fonction holomorphe de $y$, plus \[ \frac{\omega'_{1i}}{2\pi\sqrt{-1}}\mathrm{L}(y - y_{0}). \] Mais $\omega'_{1i} = 0$ pour $i \gtrless 1$; donc tous les $a_{ik}$ sont fonctions holomorphes de $y$, sauf $a_{11}$; mais $e^{a_{11}}$ est une fonction holomorphe de $y$ qui s'annule pour $y = y_{0}$.

De même, \[ v'_{i} - \psi'_{i}(y) + \frac{\lambda \omega'_{1i}}{2\pi\sqrt{-1}}\mathrm{L}(y - y_{0}) \] est holomorphe en $y$ si $i \gtrless 1$; et l'exponentielle $e^{v'_{1}}$ est holomorphe ou méromorphe en $y$, divisible par $(y - y_{0})^{\lambda}$. Chacun des termes de $\Theta$ est donc égal au produit d'une fonction holomorphe de $y$, ne s'annulant pas pour $y = y_{0}$, par le facteur \[ (y - y_{0})^{m_{1}\lambda + \frac{1}{2}m_{1}^{2}}. \] L'exposant $m_{1}\lambda + \frac{1}{2}m_{1}^{2}$ ne peut être négatif que pour un nombre fini de valeurs de $m_{1}$; de plus, si l'on change $m_{1}$ en $m_{1} + 1$, il augmente de $\lambda + m_{1} + \frac{1}{2}$.

Si donc $2m_{1}$ est pair, il augmente d'un entier plus $\frac{1}{2}$; si $2m_{1}$ est impair, il augmente d'un entier. Si $2m_{1}$ est impair, tous les termes sont donc égaux à une fonction holomorphe ou méromorphe multipliée par $(y - y_{0})^{\frac{\lambda}{2} + \frac{1}{8}}$. Si $2m_{1}$ est pair, ils sont égaux à une fonction holomorphe ou méromorphe multipliée par $(y - y_{0})^{\frac{1}{2}}$ ou $(y - y_{0})^{0}$. Donc, quand $y$ tourne autour de $y_{0}$, dans le premier cas la fonction $\Theta$ est simplement multipliée par un facteur constant; dans le second cas, deux des fonctions $\Theta$ s'échangent entre elles, à savoir celles qui diffèrent l'une de l'autre par le changement de valeur de $\varepsilon_{1}$. Ce sont en tout cas des fonctions algébroïdes.

Les mêmes raisonnements s'appliqueraient aux dérivées partielles des différents ordres des fonctions $\Theta$ prises par rapport aux $v'_{i}$; chaque terme se déduit, en effet, du terme correspondant de la fonction $\Theta$ en le multipliant par un

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facteur constant ne dépendant que des entiers $m$. Il résulte de là que les $\Pi'$ sont des fonctions algébroïdes de $y$ pour $y = y_{0}$ et que, quand $y$ tourne autour de $y_{0}$, les fonctions d'un même système s'échangent simplement entre elles. Cela est donc encore vrai pour les $\Pi$, qui sont des fonctions linéaires des $\Pi'$ à coefficients méromorphes. En résumé, nous voyons que, pour toute valeur de $y$, les $\Pi$ sont des fonctions algébroïdes de $y$, susceptibles seulement de s'échanger entre fonctions d'un même système. Toute fonction symétrique des fonctions $\Pi = \mathrm{G}$ d'un même système est donc une fonction méromorphe pour toutes les valeurs finies ou infinies de $y$. C'est donc une fonction rationnelle de $y$. Une quelconque des fonctions $\mathrm{G}$ est donc une fonction algébrique de $y$.

Nous pouvons étendre ce résultat au cas où l'on remplace $v_{i}$, non plus par une fonction normale de $y$, mais par la moitié d'une fonction normale. Il n'y aura, en effet, rien de changé dans l'analyse précédente, sauf que $\lambda$ au lieu d'être un entier, pourra être la moitié d'un entier. Si alors $m_{1}$ se change en $m_{1} + 1$, l'exposant $m_{1}\lambda + \frac{1}{2}m_{1}^{2}$ augmente de $\lambda + m_{1} + \frac{1}{2}$; si alors $\lambda$ est la moitié d'un nombre impair, c'est quand $2m_{1}$ est pair que notre exposant augmente d'un entier et que la fonction $\Theta$ se reproduit à un facteur constant près; et c'est quand $2m_{1}$ est impair que cet exposant augmente d'un entier plus $\frac{1}{2}$ et que la fonction $\Theta$ s'échange avec une autre.

Il peut se faire qu'une fonction $\mathrm{G}$ soit non seulement algébrique, mais rationnelle en $y$; c'est ce qui arrive, par exemple, si $v_{i}$ est la moitié d'une fonction normale pour laquelle tous les $\lambda$ soient impairs et si $\mathrm{G}$ dérive d'une fonction $\Theta$ pour laquelle tous les $2m_{i}$ soient pairs.

On remarquera que le fait que le système de fonctions normales $v_{i}$ satisfait à la condition $\displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i} = 0$ pour une valeur critique de la première sorte joue un rôle essentiel. Le théorème ne serait plus vrai si l'on remplaçait dans les $\Pi$, les $v_{i}$ par un système de fonctions satisfaisant aux mêmes conditions qu'un système de fonctions normales, celle-là exceptée.

5. — Classification des courbes.

Considérons un système de fonctions normales $v_{i}$, formées par les procédés du paragraphe 3. A ce système correspondra-t-il toujours des courbes algébriques? Il existera toujours sur chaque courbe $\mathrm{K}_{y}$ un groupe de $p$ points et un seul : $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$, tels que l'on ait \[ v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p}, \]

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$v_{i}$ étant la fonction normale considérée et $u_{i}^{k}$ la valeur de l'intégrale $u_{i}$ au point $\mathrm{M}_{k}$. Quand on fera varier $y$, l'ensemble de ces points engendrera une courbe $\mathrm{C}$; reprenons les points $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \ldots, \mathrm{A}_{n}$ d'intersection de $\mathrm{S}$ avec la droite $y = t = 0$ et soit $a_{i}^{k}$ la valeur de $u_{i}$ au point $\mathrm{A}_{k}$. Rappelons que, d'après nos conventions, $a_{i}^{1}$ est nul.

Je me propose de rechercher combien de fois la courbe $\mathrm{C}$ passe en $\mathrm{A}_{k}$, c'est-à-dire pour combien de valeurs de $y$, l'un des points $\mathrm{M}_{k}$ vient en $\mathrm{A}_{k}$. A cet effet, je rappelle le théorème de Riemann; d'après ce théorème, on a \[ \Theta_{0}(u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p-1} - h_{i}) = 0, \tag{1} \] $\Theta_{0}$ étant la fonction $\Theta$ dont tous les $\delta$ sont nuls, les $u_{i}^{k}$ étant les valeurs de $u_{i}$ en $p - 1$ points quelconques de $\mathrm{K}_{y}$ et les $h_{i}$ des constantes (ne pouvant dépendre que de $y$). De plus, on a \[ u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{2p-2} = 2h_{i}, \tag{2} \] les $u_{i}^{k}$ représentant cette fois les valeurs de $u_{i}$ aux $2p - 2$ points d'intersection de $\mathrm{K}_{y}$ avec une adjointe quelconque d'ordre $n - 3$, les points doubles étant laissés de côté.

En chacun des points doubles, on a deux valeurs de $u_{i}$, correspondant aux deux branches de $\mathrm{K}_{y}$ qui se coupent au point double. Je désignerai par $d_{i}$ la somme de toutes ces valeurs de $u_{i}$, dont le nombre est double de celui des points doubles. Nous remarquerons que les $d_{i}$ forment un système de fonctions normales. En effet, nous avons vu au paragraphe 2 qu'à toute courbe algébrique tracée sur la surface correspond un système de fonctions normales; il suffit d'appliquer ce résultat à la courbe double de la surface $\mathrm{S}$.

En vertu du théorème d'Abel, la somme des $u_{i}^{k}$ est une constante pour les points d'intersection de $\mathrm{K}_{y}$ avec une courbe d'ordre $m$ quelconque. Appliquons à deux courbes d'ordre $n - 3$, à savoir une adjointe d'une part, et d'autre part $n - 3$ fois la droite $y = t = 0$. Cela va nous donner \[ u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{2p-2} + d_{i} = (n - 3)(a_{i}^{1} + a_{i}^{2} + \ldots + a_{i}^{n}), \] les $u_{i}^{k}$ étant ceux qui figurent dans le premier membre de (2); on aura donc \[ 2h_{i} = (n - 3)\sum a_{i}^{k} - d_{i}. \] Comme les $a_{i}^{k}$ et les $d_{i}$ sont des fonctions normales, il en sera de même des $2h_{i}$.

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Pour que le point $\mathrm{M}_{p}$, par exemple, vienne en $\mathrm{A}_{k}$, il faut que \[ v_{i} - a_{i}^{k} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p-1}, \] d'où \[ \Theta_{0}(v_{i} - a_{i}^{k} - h_{i}) = 0. \] Or $v_{i} - a_{i}^{k} - h_{i}$ est la moitié d'une fonction normale. Or la fonction $\Theta_{0}$ ne peut s'annuler, sans que son logarithme devienne infini, ni, par conséquent, sans que l'une au moins des dérivées partielles du troisième ordre de ce logarithme devienne infinie. Il faut donc que l'une des fonctions $\mathrm{G}$ devienne infinie; or les $\mathrm{G}$ sont des fonctions algébriques de $y$; elles ne pourront donc devenir infinies qu'un nombre fini de fois. La courbe $\mathrm{C}$ ne pourra donc passer par $\mathrm{A}_{k}$ qu'un nombre fini de fois, soit $q_{k}$ fois. Elle sera alors une courbe algébrique de degré \[ p + q_{1} + q_{2} + \ldots + q_{n}. \] La courbe algébrique $\mathrm{C}$ existe toujours; elle peut dans certains cas se réduire à un certain nombre de fois les points $\mathrm{A}_{k}$, ou encore à des périodes. Je renvoie au Mémoire cité des Annales de l'École Normale pour l'étude du cas exceptionnel où la courbe $\mathrm{C}$ ne rencontre le plan $\frac{y}{t} = \mathrm{const.}$ qu'en $p - 1$ points mobiles (loc. cit., p. 83).

La courbe $\mathrm{C}$ telle que nous venons de la définir est entièrement déterminée; mais à un même système de fonctions normales correspondent une infinité de courbes algébriques rencontrant le plan $\frac{y}{t} = \mathrm{const.}$ en plus de $p$ points mobiles (tandis que $\mathrm{C}$ rencontrait ce plan en $p$ points mobiles seulement).

Nous dirons que toutes ces courbes appartiennent à une même famille.

Mais cette classification en familles n'est pas une classification naturelle. Supposons, en effet, que l'on change d'axes de coordonnées de telle façon que la droite $y = t = 0$ soit remplacée par une autre droite $\mathrm{D}$. La fonction $v_{i}$ est la somme des $u_{i}$ pour tous les points d'intersection mobiles de la courbe $\mathrm{C}$ avec un plan passant par $y = t = 0$. Les points d'intersection immobiles, c'est-à-dire les points $\mathrm{A}_{k}$ n'entrent pas en ligne de compte. Mais si l'on remplace la droite $y = t = 0$, qui rencontrait la courbe $\mathrm{C}$ un certain nombre de fois $q_{k}$ en $\mathrm{A}_{k}$, par une droite quelconque $\mathrm{D}$, cette droite ne rencontrera pas $\mathrm{C}$ en général. Soient alors $v_{i}$ les fonctions normales correspondant à $\mathrm{C}$ et à la droite $y = t = 0$;

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soient $v'_{i}$ les fonctions normales correspondant à $\mathrm{C}$ et à la droite $\mathrm{D}$. Lorsque $\mathrm{D}$ sera infiniment voisin de $y = t = 0$, $v'_{i}$ ne sera pas infiniment voisin de $v_{i}$, mais bien de $\displaystyle v_{i} + \sum q_{j} a_{i}^{j}$.

D'un autre côté $v_{i}$ n'est déterminé qu'à une période près, de sorte que les deux systèmes de fonctions normales $v_{i}$ et $v_{i} + \omega_{ji}$ correspondent à la même courbe $\mathrm{C}$. Cela nous amène à substituer à la classification en famille une classification en classes qui sera cette fois une classification naturelle.

Un système de fonctions normales est caractérisé par l'ensemble des entiers $\lambda_{k}$ qui correspondent, d'après le paragraphe 3, aux différentes valeurs singulières $y = y_{k}$; parmi les fonctions normales, nous distinguerons les périodes $\omega_{ji}$ et les fonctions $a_{i}^{j}$ qui correspondent aux points $\mathrm{A}_{j}$; soient alors $\mu_{jk}$ et $\mu'_{jk}$ les entiers $\lambda_{k}$ relatifs respectivement à $\omega_{ji}$ et à $a_{i}^{j}$. Soient deux systèmes de fonctions normales caractérisés respectivement par les entiers $\lambda_{k}$ et par les entiers $\lambda'_{k}$. Les deux systèmes et les deux courbes $\mathrm{C}$ correspondantes appartiendront à la même famille si l'on a \[ \lambda_{k} = \lambda'_{k}; \] ils appartiendront à la même classe si \[ \lambda_{k} = \lambda'_{k} + \sum m_{j} \mu_{jk} + \sum m'_{j} \mu'_{jk}, \] les $m$ et les $m'$ étant des entiers. Pour les autres détails sur la classification des courbes algébriques, le nombre des courbes primitives et la manière de déduire toutes les courbes des courbes primitives, je renverrai au Mémoire cité.

On peut se demander ce qui se passe quand on fait varier la droite $\mathrm{D}$ d'une manière continue. Les valeurs singulières correspondent aux plans tangents menés par $\mathrm{D}$ à $\mathrm{S}$. Deux de ces valeurs s'échangent quand $\mathrm{D}$ tourne autour d'une position où elle est tangente à la surface $\mathrm{S}$. En même temps, deux des points $\mathrm{A}_{j}$ et, par conséquent, deux des fonctions $a_{i}^{j}$ s'échangent également.

Qu'arrive-t-il alors? L'entier $\lambda_{k}$ qui d'après le paragraphe 3 est attaché à chacune des valeurs singulières $y_{k}$ dépend de deux choses : $1^{\circ}$ de celle des déterminations de $v_{i}$ que l'on envisage; $2^{\circ}$ de la forme ou plutôt de la disposition relative des coupures $\mathrm{Q}_{k}$ que dans le paragraphe 3 nous avons menées de $y_{k}$ à l'infini dans le plan des $y$. Quand la droite $\mathrm{D}$ se déplacera d'une manière continue, le nombre $\lambda_{k}$ demeurera constant; mais en même temps nos coupures se déformeront et leur disposition relative pourra changer. Supposons,

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par exemple, que dans la situation initiale les coupures $\mathrm{Q}_{k}$ soient rectilignes, et dirigées suivant le prolongement du rayon vecteur qui va de l'origine à $y_{k}$; dans une position ultérieure, les coupures $\mathrm{Q}_{k}$ auront cessé d'être rectilignes, et si on les remplace par de nouvelles coupures rectilignes $\mathrm{Q}'_{k}$ allant des nouvelles valeurs singulières à l'infini suivant le prolongement du rayon vecteur qui vient de l'origine, il pourra se faire que les nouvelles coupures $\mathrm{Q}'_{k}$ ne soient pas équivalentes aux anciennes coupures $\mathrm{Q}_{k}$ et que les entiers $\lambda'_{k}$ relatifs aux $\mathrm{Q}'_{k}$ ne soient pas égaux aux $\lambda_{k}$.

Soit $\mathrm{D}_{0}$ une position singulière de la droite $\mathrm{D}$, c'est-à-dire une position telle que $\mathrm{D}_{0}$ touche $\mathrm{S}$; nous supposerons que $\mathrm{D}$ tourne autour de $\mathrm{D}_{0}$ en s'en écartant très peu; alors deux valeurs singulières $y_{1}$ et $y_{2}$ resteront très peu différentes l'une de l'autre et vont s'échanger entre elles. Les coupures $\mathrm{Q}_{1}$ et $\mathrm{Q}_{2}$ primitivement rectilignes vont se déformer d'une manière continue et seront remplacées par des coupures curvilignes aboutissant, la première à $y_{2}$, la seconde à $y_{1}$ puisque ces deux valeurs singulières se sont échangées. L'examen de cette déformation montrerait que les entiers $\lambda_{1}$ et $\lambda_{2}$ se sont échangés et comme la courbe $\mathrm{C}$ n'a pas dû changer, on doit conclure que $\lambda_{1} = \lambda_{2}$. Comme, en général, en faisant varier $\mathrm{D}$ d'une manière continue de façon à ramener cette droite à sa position initiale, on peut passer d'une valeur singulière à une autre valeur singulière quelconque, on pourrait être tenté de conclure que tous les $\lambda_{k}$ sont égaux entre eux. Ce serait une erreur; les entiers $\lambda$ relatifs à deux coupures rectilignes aboutissant à deux valeurs singulières sur le point de s'échanger, sont égaux; mais en faisant varier $\mathrm{D}$, il arrive que l'une de ces valeurs, $y_{2}$ par exemple, soit sur le point de s'échanger avec une troisième valeur singulière $y_{3}$; les coupures $\mathrm{Q}_{k}$ ne seront pas restées rectilignes et si nous les remplaçons par de nouvelles coupures rectilignes $\mathrm{Q}'_{k}$, les valeurs des entiers $\lambda$ se trouveront modifiées. Si alors $\lambda_{2}$ et $\lambda_{3}$ sont les entiers relatifs à $\mathrm{Q}_{2}$ et à $\mathrm{Q}_{3}$, $\lambda'_{2}$ et $\lambda'_{3}$ les entiers relatifs à $\mathrm{Q}'_{2}$ et $\mathrm{Q}'_{3}$, on aura, non pas $\lambda_{2} = \lambda_{3}$, mais $\lambda'_{2} = \lambda'_{3}$. Une étude plus détaillée des variations de ces entiers pourrait présenter quelque intérêt.

6. — Équations des courbes $\mathrm{C}$.

Pour former l'équation de la courbe $\mathrm{C}$ qui correspond à un système donné $v_{i}$ de fonctions normales et qui coupe $\mathrm{K}_{y}$ en $p$ points variables, on peut employer le procédé suivant.

Soient $\mathrm{P} = 0$, $\mathrm{Q} = 0$ les équations de deux plans quelconques; soient $\mathrm{M}_{1}$,

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$\mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$ les $p$ points d'intersection mobiles de $\mathrm{C}$ et de $\mathrm{K}_{y}$; soient $\mathrm{P}_{i}$ et $\mathrm{Q}_{i}$ les résultats de la substitution des coordonnées de $\mathrm{M}_{i}$ dans $\mathrm{P}$ et dans $\mathrm{Q}$; nous envisagerons le produit suivant : \[ \frac{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}\ldots\mathrm{P}_{p}}{\mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{2}\ldots\mathrm{Q}_{p}} = \mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}). \] C'est une fonction symétrique des coordonnées de $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$, et comme les coefficients des deux polynomes $\mathrm{P}$ et $\mathrm{Q}$ sont arbitraires, toutes les autres fonctions symétriques peuvent s'en déduire. Ce produit $\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C})$ est évidemment une fonction de $y$, et il dépend aussi de la courbe $\mathrm{C}$.

Soient $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{B}_{2}, \ldots, \mathrm{B}_{n}$ les points d'intersection de $\mathrm{P} = 0$ avec $\mathrm{K}_{y}$; soient $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \ldots, \mathrm{C}_{n}$ ceux de $\mathrm{Q} = 0$ avec $\mathrm{K}_{y}$. Soient $b_{i}^{k}$ et $c_{i}^{k}$ les valeurs de l'intégrale $u_{i}$ au point $\mathrm{B}_{k}$ et au point $\mathrm{C}_{k}$; on aura en vertu du théorème d'Abel \[ \sum b_{i}^{k} = \sum c_{i}^{k} = \sum a_{i}^{k}. \tag{3} \]

Considérons l'expression \[ \frac{\prod \Theta_{0}(v_{i} - b_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta_{0}(v_{i} - c_{i}^{k} - h_{i})} = \mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}). \] On a, bien entendu, $v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p}$ et le produit indiqué par le signe $\Pi$ doit être étendu à tous les $b_{i}^{k}$ pour le numérateur, à tous les $c_{i}^{k}$ pour le dénominateur. Si l'on considère pour un instant $y$ comme donné, et qu'on fasse varier la courbe $\mathrm{C}$, c'est-à-dire les points $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$ sur la courbe $\mathrm{K}_{y}$, on voit quelle est la condition pour que $\mathrm{G}$ s'annule ou devienne infini; il s'annulera quand : \[ v_{i} - b_{i}^{k} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p-1}, \] c'est-à-dire quand le point $\mathrm{M}_{p}$ viendra en $\mathrm{B}_{k}$, c'est-à-dire quand l'un des points $\mathrm{M}$ coïncidera avec l'un des points $\mathrm{B}$, c'est-à-dire quand l'un des $\mathrm{P}_{i}$ s'annulera. De même, $\mathrm{G}$ deviendra infini quand l'un des $\mathrm{Q}_{i}$ s'annulera. Donc $\mathrm{G}$

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et $\mathrm{H}$ deviennent nuls ou infinis en même temps; donc ils ne diffèrent que par un facteur constant. On a donc \[ \frac{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C})}{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C})} = \frac{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}_{0})}{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}_{0})}, \] $\mathrm{C}_{0}$ étant une autre courbe; nous prendrons une courbe se réduisant à $p$ fois le point $\mathrm{A}_{1}$, de sorte qu'on aura pour $\mathrm{C}_{0}$ \[ v_{i} = p a_{i}^{1} = 0, \] \[ \mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}_{0}) = \frac{\prod \Theta_{0}(- b_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta_{0}(- c_{i}^{k} - h_{i})}, \qquad \mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}_{0}) = \left(\frac{\mathrm{P}_{0}}{\mathrm{Q}_{0}}\right)^{p}, \] $\mathrm{P}_{0}$ et $\mathrm{Q}_{0}$ étant les résultats de la substitution des coordonnées de $\mathrm{A}_{1}$ dans $\mathrm{P}$ et $\mathrm{Q}$. Je me propose de montrer que si les $v_{i}$ sont des fonctions normales, le rapport \[ \frac{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C})}{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}_{0})} = \frac{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C})}{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}_{0})} \] est une fonction rationnelle de $y$; je dis d'abord que c'est une fonction uniforme de $y$; c'est ce que l'on voit immédiatement, en se rappelant qu'il est égal à \[ \frac{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}\ldots\mathrm{P}_{p}}{\mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{2}\ldots\mathrm{Q}_{p}}\left(\frac{\mathrm{Q}_{0}}{\mathrm{P}_{0}}\right)^{p}. \] C'est d'ailleurs une fonction algébroïde de $y$ : en effet, il est égal à \[ \frac{\prod \Theta_{0}(v_{i} - b_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta_{0}(- c_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta_{0}(v_{i} - c_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta_{0}(- b_{i}^{k} - h_{i})}. \] Pour les valeurs ordinaires de $y$, ainsi que pour les valeurs critiques des deux sortes, on verrait comme au paragraphe 3 que c'est une fonction méromorphe; il faut aussi considérer à part les valeurs pour lesquelles deux des $b_{i}^{k}$ (ou des $c_{i}^{k}$) s'échangent entre elles; pour ces valeurs, les $b_{i}^{k}$ sont des fonctions algébroïdes de $y$, et comme notre expression est symétrique par rapport aux $b_{i}^{k}$, elle reste méromorphe en $y$.

Restent les valeurs singulières; on a vu que les $\omega_{ki}$, les $v_{i}$, les $b_{i}^{k}$, les $h_{i}$ deviennent logarithmiquement infinis pour une valeur singulière, et l'on en a conclu au paragraphe 3 que les $\Theta_{0}$ restent algébroïdes. Lorsque $y$ tourne autour d'une valeur singulière, les arguments des $\Theta_{0}$ peuvent augmenter d'une demi-période et en même temps les périodes peuvent être remplacées par un système équivalent.

Chacun des $\Theta_{0}$ se change en $e^{\mathrm{P}}\Theta$, $\mathrm{P}$ étant un polynome du premier degré, et

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$\Theta$ une des $2^{2p}$ fonctions $\Theta$; les exponentielles se détruisent et notre produit devient \[ \frac{\prod \Theta(v_{i} - b_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta(- c_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta(v_{i} - c_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta(- b_{i}^{k} - h_{i})}. \] Comme il doit être une fonction uniforme de $y$, la fonction $\Theta$ ne doit pas différer de $\Theta_{0}$. Nous avons vu à la fin du paragraphe 4 la condition pour qu'il en soit ainsi. Cela prouve donc que $2h_{i}$ est une fonction normale pour laquelle tous les entiers $\lambda$ sont impairs.

En résumé, notre rapport est une fonction de $y$ qui est uniforme et algébroïde. Elle est donc méromorphe pour toutes les valeurs finies de $y$. Elle est donc rationnelle.

Ces procédés peuvent bien montrer que la courbe $\mathrm{C}$ est algébrique, mais non pas en faire connaître le degré; je crois donc devoir indiquer aussi une autre analyse, semblable à celle du paragraphe II du Mémoire cité. Soit \[ u_{i} = \int \frac{\mathrm{P}_{i} dx}{\mathrm{Q}\mathrm{F}'_{z}} \] qui est une intégrale de première espèce; nous poserons \[ \mathrm{U}_{i} = \frac{\partial u_{i}}{\partial y} = \int \left[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\mathrm{P}_{i}}{\mathrm{Q}\mathrm{F}'_{z}}\right)\mathrm{F}'_{z} - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\mathrm{P}_{i}}{\mathrm{Q}\mathrm{F}'_{z}}\right)\mathrm{F}'_{y} \right] \frac{dx}{\mathrm{F}'_{z}}. \] J'écris $\frac{\partial u_{i}}{\partial y}$ avec des $\partial$ ronds pour exprimer que j'ai différentié par rapport

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à $y$, $x$ étant supposé constant et $z$ lié à $y$ et à $x$ par l'équation de la surface (on suppose d'ailleurs $t = 1$). On voit que $\mathrm{U}_{i}$ est une intégrale abélienne de seconde espèce. De même, la dérivée partielle $\frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial y}$ est une intégrale abélienne de seconde espèce; or toute intégrale abélienne de seconde ou de première espèce peut s'exprimer par une fonction linéaire de $2p$ d'entre elles, plus une fonction rationnelle; nous aurons donc \[ \frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial y} = \sum \rho_{ik} u_{k} + \sum \rho'_{ik} \mathrm{U}_{k} + \mathrm{H}, \] $\mathrm{H}$ étant une fonction rationnelle de $x, y, z$ et les $\rho$ et les $\rho'$ des fonctions rationnelles de $y$. Supposons maintenant que le point $(x, y, z)$, limite supérieure de notre intégrale, au lieu de se déplacer de façon que $x = \mathrm{const.}$, se déplace sur la courbe $\mathrm{C}$; nous aurons \[ \frac{du_{i}}{dy} = \frac{\partial u_{i}}{\partial y} + \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\frac{dx}{dy}, \qquad \frac{d\mathrm{U}_{i}}{dy} = \frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial y} + \frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial x}\frac{dx}{dy}. \] On remarquera que $\frac{\partial u_{i}}{\partial x}$ et $\frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial x}$ sont des fonctions rationnelles de $x, y, z$; ce sont les quantités sous le signe $\displaystyle\int$ des intégrales abéliennes $u_{i}$ et $\mathrm{U}_{i}$. Nous trouvons, de même, \[ \frac{d^{2}u_{i}}{dy^{2}} = \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial y^{2}} + 2 \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x \partial y}\frac{dx}{dy} + \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} + \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\frac{d^{2}x}{dy^{2}}. \] Les dérivées partielles $\frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x \partial y}$ sont également des fonctions rationnelles de $x, y, z$. On en déduit \[ \frac{d^{2}u_{i}}{dy^{2}} - \sum \rho_{ik} u_{k} - \sum \rho'_{ik}\frac{du_{k}}{dy} = \frac{dx}{dy}\left[ 2 \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x \partial y} - \sum \rho'_{ik}\frac{\partial u_{k}}{\partial x} \right] + \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} + \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\frac{d^{2}x}{dy^{2}} + \mathrm{H}. \tag{4} \] Le premier membre de (4) pourra s'appeler $\Delta_{i}(u_{i})$, le symbole $\Delta_{i}$ ayant ainsi un sens différent de celui que nous lui avons attribué jusqu'ici. Quant au second membre, que nous écrirons $\Phi_{i}\left(x,\, y,\, z,\, \frac{dx}{dy},\, \frac{d^{2}x}{dy^{2}}\right)$, c'est une fonction rationnelle des arguments dont elle dépend; $z$ est d'ailleurs lié à $x$ et $y$ par l'équation de la surface.

On aura alors pour notre courbe $\mathrm{C}$ \[ \Delta_{i}(v_{i}) = \Phi_{i}^{1} + \Phi_{i}^{2} + \ldots + \Phi_{i}^{p}, \] où $\Phi_{i}^{k}$ est le résultat de la substitution dans $\Phi$ des coordonnées du point $\mathrm{M}_{k}$

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à la place de $x, y, z$, ainsi que des valeurs correspondantes des dérivées $\frac{dx}{dy}$ et $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}$.

On a, d'ailleurs, \[ \Delta_{i}(\omega_{ki}) = 0 \] et c'est là une forme des équations différentielles qui définissent les périodes. Quand $y$ décrit un contour fermé, $v_{i}$ augmente d'une période, soit $\omega_{ki}$; alors $\Delta_{i}(v_{i})$ se change en $\Delta_{i}(v_{i}) + \Delta_{i}(\omega_{ki})$, c'est-à-dire qu'il ne change pas. Donc $\Delta_{i}(v_{i})$ est une fonction uniforme de $y$; nous verrions comme au paragraphe 3 que c'est une fonction rationnelle de $y$ de degré limité; soit $\mathrm{R}_{i}(y)$ cette fonction rationnelle; nous aurons alors \[ \sum \Phi_{i}^{k} = \mathrm{R}_{i}(y). \tag{5} \] Ce sont des équations différentielles qui définissent les $x$ en fonction de $y$, c'est-à-dire qui définissent l'équation de la courbe $\mathrm{C}$. Ces équations sont au nombre de $p$ puisque l'indice $i$ peut prendre $p$ valeurs; et il en est de même des inconnues $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}$.

Sachant que ces équations différentielles ont une intégrale algébrique, il ne serait pas difficile d'en déterminer le degré.

7. — Élimination des valeurs critiques de la seconde sorte.

L'existence de fonctions normales rationnelles entraîne, d'une part, l'existence d'un système algébrique et non linéaire de courbes algébriques, d'autre part, celle d'intégrales abéliennes de différentielles totales de première espèce. C'est là le théorème de Castelnuovo, Enriques et Severi. Je n'ai pas à reproduire ici la démonstration que j'en ai donnée dans le Mémoire cité. Je me borne à rappeler le résultat. Dans ce cas, la courbe $\mathrm{K}_{y}$ possède $q$ intégrales abéliennes de première espèce réductibles, c'est-à-dire ne possédant que $2q$ périodes distinctes. Soient $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{q}$ ces intégrales; on sait que si une courbe de genre $p$ admet $q$ intégrales réductibles, elle en admettra $p - q$ autres, ne possédant que $2p - 2q$ périodes distinctes. J'appelle ces $p - q$ intégrales : $u_{q+1}, u_{q+2}, \ldots, u_{p}$. Cela correspond à un choix particulier des intégrales $u_{i}$; je suppose un autre choix de ces intégrales, sans m'assujettir à aucune condition, et j'appelle alors $u'_{1}, u'_{2}, \ldots, u'_{p}$ mes $p$ intégrales de première espèce; s'il existe un système $q$ fois infini de fonctions normales rationnelles, $v'_{i}$, nous aurons entre elles $p - q$ relations linéaires de la forme \[ \sum \alpha_{ki} v'_{i} = 0 \qquad (k = q + 1,\, q + 2,\, \ldots,\, p), \]

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les $\alpha_{ki}$ étant des fonctions rationnelles de $y$. Alors les intégrales \[ u_{k} = \sum \alpha_{ki} u'_{i} \qquad (k = q + 1,\, q + 2,\, \ldots,\, p), \] seront $p - q$ intégrales réductibles. Cela entraîne l'existence d'un système algébrique $q$ fois infini de courbes algébriques correspondant à notre système de fonctions normales rationnelles et, d'autre part, l'existence de $q$ autres intégrales réductibles $u_{k} = \displaystyle\sum \alpha_{ki} u'_{i}$ ($k = 1, 2, \ldots, q$), les $\alpha_{ki}$ étant encore des fonctions rationnelles de $y$. Nous pouvons choisir ces nouvelles fonctions $\alpha_{ki}$ de telle sorte que les fonctions normales $\displaystyle\sum \alpha_{ki} v'_{i}$ se réduisent à des constantes. Dans ce cas les intégrales $u_{k}$ sont des intégrales de différentielles de première espèce.

Il est un autre point sur lequel je voudrais revenir avec plus de détails. J'ai énoncé à la fin du paragraphe 1 et je voudrais maintenant démontrer un théorème d'après lequel il est impossible qu'il existe des intégrales dépourvues de valeurs critiques de la première sorte, au sens de la fin du paragraphe 1, tant qu'il existe des valeurs critiques de la seconde sorte. Soient, en effet, $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{\nu}$ les valeurs critiques de la seconde sorte et \[ \mathrm{Q} = (y - y_{1})(y - y_{2})\ldots(y - y_{\nu}). \] Soient $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{q}$, $q$ intégrales dépourvues de valeurs critiques de la première sorte, au sens de la fin du paragraphe 1, de telle sorte que pour une valeur critique quelconque de la première sorte on ait une relation linéaire \[ \alpha_{q+1} v_{q+1} + \alpha_{q+2} v_{q+2} + \ldots + \alpha_{p} v_{p} = 0, \] où ne figurent que les fonctions $v$ d'indice supérieur à $q$. Les fonctions $v$ d'indice inférieur à $q$ ne sont donc assujetties à aucune condition relative aux valeurs critiques de la première sorte. Nous obtiendrons donc un système de fonctions normales en écrivant \[ v_{q+1} = v_{q+2} = \ldots = v_{p} = 0, \qquad v_{i} = \frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}} \qquad (i = 1,\, 2,\, \ldots,\, q), \] $\mathrm{X}_{i}$ étant un polynome arbitraire de degré $\nu$ en $y$; j'appellerai $\gamma$ les coefficients de ces polynomes $\mathrm{X}$. Ces coefficients sont au nombre de $q(\nu + 1)$; notre système de fonctions normales est donc $q(\nu + 1)$ fois infini.

Soient maintenant $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\nu+1}$, $\nu + 1$ valeurs de $y$, ordinaires, mais d'ailleurs quelconques. Soit $\mathrm{C}$ la courbe correspondant à des valeurs déterminées

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des coefficients $\gamma$; soient $\mathrm{M}_{k1}$, $\mathrm{M}_{k2}$, …, $\mathrm{M}_{kp}$ les $p$ points d'intersection mobiles de $\mathrm{C}$ avec le plan $y = a_{k}$. Soient $\xi_{1ki}, \xi_{2ki}, \xi_{3ki}$ les trois coordonnées des points $\mathrm{M}_{ki}$. Les $\xi$ sont au nombre de $3p(\nu+1)$. Si nous les considérons comme les coordonnées d'un point $\mathrm{N}$ dans l'espace à $3p(\nu+1)$ dimensions et que nous fassions varier les $\gamma$, ce point restera sur une variété algébrique $\mathrm{V}$ à $q(\nu+1)$ dimensions.

Au lieu des $\xi$ nous pourrons considérer un système de fonctions symétriques de \[ \xi_{hk1}, \quad \xi_{hk2}, \quad \dots, \quad \xi_{hkp}. \]

Soient $\eta$ ces fonctions symétriques, que je prendrai au nombre de $3p(\nu+1)$; si nous considérons les $\eta$ comme les coordonnées d'un point $\mathrm{N}'$ dans l'espace à $3p(\nu+1)$ dimensions, quand les $\eta$ varieront, ce point décrira une variété algébrique $\mathrm{V}'$ à $q(\nu+1)$ dimensions. A tout point de $\mathrm{V}'$ correspondra un système de valeurs des $\eta$, et inversement. Quand le point $\mathrm{N}'$ décrira une courbe fermée sur $\mathrm{V}'$, les $\gamma$ se reproduiront à une période près; je précise :

Si l'on se donne le point $\mathrm{N}'$, les points $\mathrm{M}_{ki}$ sont déterminés : cela détermine à une période près les valeurs des $v_{i}$ pour \[ y = a_{1}, \qquad y = a_{2}, \qquad \dots, \qquad y = a_{\nu+1}; \] quand on connaît les $v_{i}$, on a des équations linéaires, dont le déterminant n'est pas nul et qui déterminent complètement les coefficients $\gamma$. Quand le point $\mathrm{N}'$ décrit un contour fermé, les valeurs des $v_{i}$ pour $y = a_{j}$, par exemple, augmentent d'une quantité $\Omega_{ji}$ qui est égale à une période de l'intégrale abélienne $u_{i}$ pour $y = a_{j}$. Les $\gamma$ augmentent de $\varepsilon$ et les fonctions normales $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}}$ se changent en $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}} + \frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$, où le polynôme $\mathrm{X}'_{i}$ diffère du polynôme $\mathrm{X}_{i}$ par la substitution des coefficients $\varepsilon$ aux coefficients $\gamma$; les coefficients $\varepsilon$ seront alors déterminés par les équations \[ \frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}} = \Omega_{ji} \qquad \text{pour } y = a_{j}. \]

Ces $\varepsilon$ sont les périodes des $\gamma$, puisque ce sont les quantités dont les $\gamma$ augmentent quand $\mathrm{N}'$ décrit un contour fermé.

Je dis maintenant que $\frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$ est, quel que soit $y$, une période de $u_{i}$. En effet, le système des courbes $\mathrm{C}$, défini par nos fonctions normales rationnelles, est un système algébrique. Donc, ou bien un point $\mathrm{N}'$ définit un nombre fini de

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courbes $\mathrm{C}$, ou bien une infinité continue de courbes $\mathrm{C}$; cette dernière hypothèse doit être rejetée; nous avons vu, en effet, que le point $\mathrm{N}'$ définit les $v$ à une période près; elle définit donc une infinité discrète de systèmes de valeurs des $\gamma$ et, par conséquent, une multiplicité discrète, finie ou infinie de courbes $\mathrm{C}$. Maintenant, on peut changer $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}}$ en $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}} - \lambda \frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$, $\lambda$ étant un entier quelconque; nous ne devons trouver ainsi qu'un nombre fini de courbes $\mathrm{C}$; cela n'est possible que si, quel que soit d'ailleurs $y$, l'expression $\frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$ est égale à un sous-multiple d'une période, soit à $\frac{h}{h'}\varpi_{ki}$, $h$ et $h'$ étant entiers. Quand on fera varier $y$ d'une manière continue, les entiers $h$ et $h'$, qui ne pourraient varier que par sauts brusques, demeureront constants. Or pour $y = a_{j}$, $\frac{h}{h'}$ est un entier; donc cela est vrai pour toute valeur de $y$; donc $\frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$ est une période, quelle que soit la valeur de $y$. \hfill c. q. f. d.

Pour $i = q+1, q+2, \dots, p$, on peut encore poser $v_{i} = \frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}}$, mais cette fois tous les coefficients de $\mathrm{X}_{i}$ seront assujettis à être nuls. Donc les $\varepsilon$ correspondants seront nuls également. Donc à chaque période des $\gamma$ correspond une période des $u_{i}$, qui est une fonction rationnelle de $y$, pour $i \le q$, et qui est nulle pour $i > q$.

Si maintenant nous nous donnons les $\gamma$, les $\eta$ seront manifestement déterminés; ce sont donc des fonctions uniformes des $\gamma$. D'autre part, les $v_{i}$ et, par conséquent, les $\gamma$ sont toujours finis.

Si nous représentons les parties réelles et imaginaires des $q(\nu+1)$ coefficients $\gamma$ dans l'espace à $2q(\nu+1)$ dimensions, nous pourrons construire le prismatoïde des périodes. Ce prismatoïde doit être limité, puisque les $\gamma$ ne peuvent devenir infinis; donc il y a $2q(\nu+1)$ périodes distinctes.

Il y aurait donc $2q(\nu+1)$ périodes des $p$ intégrales abéliennes $u_{i}$ qui seraient nulles pour $p-q$ de ces intégrales (celles où $i > q$).

Formons le déterminant des parties réelles et imaginaires des $2p$ périodes de nos $p$ intégrales. Dans les $2p - 2q$ dernières lignes de ce déterminant, les éléments des $2q(\nu+1)$ dernières colonnes seront nuls. Le déterminant sera donc nul si \[ (2p - 2q) + 2q(\nu+1) > 2p \]

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c'est-à-dire si $\nu$ n'est pas nul. Or nous savons qu'un semblable déterminant ne peut s'annuler pour une courbe de genre $p$ non dégénérescente; il faut donc que $\nu = 0$, c'est-à-dire qu'il n'y ait pas de valeur critique de la seconde sorte. C'est ce que nous voulions établir.

En appliquant le raisonnement du paragraphe 1, on voit donc qu'il sera toujours possible de faire disparaître les valeurs critiques de la seconde sorte.

C'est ce que nous pouvons exprimer en disant qu'on peut toujours par la courbe double faire passer $p$ surfaces distinctes d'ordre $n-2$, en ne considérant pas comme distinctes les surfaces $f_{1}=0$, $f_{2}=0$, …, $f_{p}=0$, s'il y a entre les premiers membres une relation linéaire identique dont les coefficients sont des polynômes entiers homogènes en $y$ et $t$.

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On Curves Traced on an Algebraic Surface.

Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft (Meeting of October 12, 1910);\ Vol. 10, 1911, 28--55 (published as a supplement to the Archiv der Mathematik, Vol. 18, 1911).

I published in the Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure a Memoir bearing the same title; I should like to return here to several points which in that Memoir could not be treated with sufficient detail.

1. — Critical Values.

Let $F(x, y, z, t) = 0$ be an algebraic surface of order $n$ whose equation is expressed in homogeneous coordinates; this is the surface $S$; we shall cut it by the variable plane $\frac{y}{t} = \text{const.}$, which will cut it along the curve $K_{y}$. The straight line $y = t = 0$ will cut the surface $S$ in $n$ points $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$, which will belong to all the curves $K_{y}$. Let $p$ be the genus of the curve $K_{y}$; we can form $p$ abelian integrals of the first kind relative to this curve \[ u_{i} = \int \frac{P_{i}\,dx}{Q F'_{z}} \quad (i = 1, 2, \ldots, p), \] where $F'_{z}$ is the partial derivative of $F$ with respect to $z$, where $Q$ is a homogeneous polynomial of degree $\nu$ in $y$ and $t$ (the same for all the integrals $u_{i}$), and finally where the $P_{i}$ are entire polynomials, homogeneous of degree $n + \nu - 2$ in $x, y,$

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$z, t$, non-homogeneous and of degree $n - 3$ in $x$ and $z$. The polynomial $P_{i}$ must vanish at all the double points of the curve $K_{y}$, except at the supplementary double points that this curve might acquire for certain values of $y$ for which its genus would decrease. In other words, the surface $P_{i} = 0$ must pass through the double curve of the surface $S$.

The integral is to be taken by varying $x$ and $z$ in such a way that $F = 0$ and that $y$ and $t$ are constants; the lower limit is the point $A_{1}$; the upper limit is a variable point $M$ of the curve $K_{y}$. The integral $u_{i}$ is then a function of the coordinates $x, y, z, t$ of a variable point $M$ of the surface $S$, and this function is determined up to a period. We shall reserve the right, whenever this can be done without inconvenience, to abandon homogeneous coordinates by setting $t = 1$.

We shall call critical values of the second kind the values of $y$ $\left(\text{or of } \frac{y}{t}\right)$ that vanish the denominator $Q$. Critical values of the first kind are those for which one can find $p$ coefficients $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{p}$ such that \[ \alpha_{1} P_{1} + \alpha_{2} P_{2} + \ldots + \alpha_{p} P_{p} \] vanishes identically whatever $x$ and $z$ may be.

I shall call singular values of $y$ those for which the genus of the curve $K_{y}$ decreases; they correspond to the planes $\frac{y}{t} = \text{const.}$ that are tangent to $S$ or that pass through a conical point of this surface.

For a value of $y$ $\left(\text{or of } \frac{y}{t}\right)$ that is neither singular nor critical of the second kind, the function $u_{i}$ (as well as the periods of the integral $u_{i}$) is always finite. If the value is singular, but not critical, the integral $u_{i}$ will become infinite only if the path of integration passes through the new double point. If the value is critical of the second kind, it is in general infinite for all points $M$ of the curve $K_{y}$.

Suppose that a value of $y$ is critical of the first kind, without being singular or critical of the second kind; the combination \[ \alpha_{1} u_{1} + \alpha_{2} u_{2} + \ldots + \alpha_{p} u_{p} \] will then vanish for this value of $y$, and that for all points $M$ of the curve $K_{y}$.

It is easy to see what happens if a value is at once critical of the first

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and of the second kind. Let $y_{0}$ be such a value; then, for $y = y_{0} t$, the denominator $Q$, as well as $\displaystyle\sum \alpha_{i} P_{i}$, vanishes identically; it evidently follows that the integrals $u_{i}$ become in general infinite, but that the combination $\displaystyle\sum \alpha_{i} u_{i}$ remains finite.

Let us now examine the case of a singular value that is not critical. It subdivides; we shall speak only of the following special cases :

$1^{\circ}$ The plane $\frac{y}{t} = \text{const.}$ corresponding to the singular value is an ordinary tangent plane. Let then $\omega_{1i}, \omega_{2i}, \omega_{3i}, \ldots$ be the periods of the integral $u_{i}$; we may suppose that these periods have been chosen in such a way that all of them, with the exception of $\omega_{1i}$, are holomorphic functions of $y$ in the neighborhood of the singular value $y_{0}$ under consideration, not vanishing moreover for $y = y_{0}$ (I set $t = 1$ to abbreviate the notation). As for $\omega_{1i}$, it can be put in the form \[ \omega_{1i} = \varphi(y) - \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}) \] $\varphi(y)$ being holomorphic for $y = y_{0}$. One of the determinations of $u_{i}$, which I shall call $u_{i}^{*}$, remains holomorphic for $y = y_{0}$, and the most general determination is written \[ u_{i} = u_{i}^{*} + \displaystyle\sum m_{k} \omega_{ki} = \psi(y) - \frac{m_{1}\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] the $m$ are integers; $\psi(y)$ is holomorphic for $y = y_{0}$. Thus this most general determination becomes logarithmically infinite at the point $y = y_{0}$. It changes into $u_{i} + m_{1} \omega_{2i}$ when $y$ turns around the singular value $y_{0}$.

$2^{\circ}$ The plane $\frac{y}{t} = \text{const.}$ passes through a conical point of $S$, and this conical point admits a tangent cone of the second order, without any other singularity.

The result is still the same; one only has \[ \begin{aligned} \omega_{1i} &= \varphi(y) - \frac{2\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \\ u_{i} &= \psi(y) - \frac{2m_{1}\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \end{aligned} \] so that $\omega_{1i}$ and $u_{i}$ change into $\omega_{1i} + 2\omega_{2i}$ and $u_{i} + 2m_{1} \omega_{2i}$, and no longer into $\omega_{1i} + \omega_{2i}$ and $u_{i} + m_{1} \omega_{2i}$ when $y$ turns around $y_{0}$.

Consider the points of contact of the curve $K_{y}$ with tangents parallel to a given direction; in the two cases we have just examined, two of these points, $A$ and $B$, coincide in a single point for $y = y_{0}$; but, in the

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first case, $A$ and $B$ interchange with each other when $y$ turns around $y_{0}$; in the second case, $A$ and $B$ return to their initial positions, but after having turned around each other.

$3^{\circ}$ The plane $\frac{y}{t} = \text{const.}$ passes through a conical point of $S$, and this conical point admits a tangent cone of the third order without any other singularity.

Then six of the points of contact of which we have just spoken coincide in a single point for $y = y_{0}$; four of the periods $\omega_{ki}$ (namely those obtained by integrating along paths deviating very little from these six points of contact) remain single-valued functions of $y$ in the neighborhood of $y = y_{0}$; but they can become infinite of the first order for $y = y_{0}$; the other periods may cease to be single-valued functions.

We shall distinguish three kinds of periods; those of which we have just spoken and whose paths deviate very little from our six points of contact; those whose paths always remain very far from these six points; those whose paths pass very close to these six points and between these points and then deviate greatly from them.

Similarly, we shall distinguish three kinds of integrals; those where $P_{i}$ vanishes at the conical point; those where $P_{i}$ is independent of $x$ and of $z$; those which satisfy neither of these two conditions. If the surface $S$ presents no other singularity than the conical point, the integrals of the third kind are merely combinations of those of the first two.

This being established, the periods of the second kind behave regularly;

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we have just seen that those of the first kind behave like $\frac{1}{y - y_{0}}$; this is what occurs for the integrals of the second or of the third kind; for the integrals of the first kind, these periods remain holomorphic functions of $y$.

As regards the periods of the third kind, we see that they behave like $\frac{1}{y - y_{0}}$ for the integrals of the second kind; that they become logarithmically infinite for those of the first kind; for those of the third kind, their two singularities are combined, that is to say the expansion contains terms $\frac{1}{y - y_{0}}$, $(y - y_{0})^{m}$, $L(y - y_{0})$, $(y - y_{0})^{m} L(y - y_{0})$.

How do the integrals $u_{i}$ themselves now behave? That depends on whether the point $M$ coincides with the conical point or not; in the second case, one of the determinations, which I call $u_{i}^{*}$, behaves regularly; the most general determination \[ u_{i} = u_{i}^{*} + \sum m_{k} \omega_{ki} \] behaves like the periods; when $y$ turns around $y_{0}$, $u_{i}$ increases by a period.

What happens now if, as $y$ tends to $y_{0}$, the point $M$ approaches indefinitely close to the conical point? The integrals of the first kind will become logarithmically infinite; those of the second kind will behave like $\frac{1}{y - y_{0}}$; those of the third kind will present the combination of the two singularities.

Let us return again to the first two cases, in order to explain how $u_{i}$ behaves when the point $M$ tends toward the new double point.

Let, for example, $x = y = z = 0$ be the new double point that the curve $K_{y}$ acquires when $y$ vanishes. In the first case (ordinary tangent plane), we shall suppose that the point $M$ approaches the new double point in such a way that $\frac{x}{\sqrt{y}}, \frac{z}{\sqrt{y}}$ tend toward finite limits. Then $u_{i}$ will be of the form \[ \psi(y) + \mu \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}) \quad (\text{here } y_{0} = 0), \] $\psi$ being holomorphic and $\mu$ being half of an odd integer. In the second case (conical point of the second order), we shall suppose that $\frac{x}{y}$ and $\frac{z}{y}$ tend toward

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finite limits, and $u_{i}$ will still have the same form, $\mu$ designating this time an odd integer.

What we have just said concerning singular values will help us understand what concerns apparent critical values.

Let \[ u_{i} = \int \frac{P_{i}\,dx}{Q F'_{z}}. \]

I suppose that $P_{i}$ is divisible by $y$, in such a way that $y$ is a critical value of the first kind; I suppose that the point $x = y = z = 0$ is a conical point of the third order of the surface $S$, so that $y = 0$ is at the same time a singular value corresponding to the third case considered above. Furthermore, $P_{i}$ is independent of $x$ and of $z$, so that our integral will be of the second kind. Finally, $Q$ does not vanish for $y = 0$. Under these conditions, the integral $\frac{t u_{i}}{y}$ remains finite for $y = 0$ if the point $M$ does not coincide with the conical point, and it becomes infinite like $\frac{1}{y}$ in the contrary case. Therefore the integral $u_{i}$ will vanish for $y = 0$ if the point $M$ does not come to the conical point, but it will remain finite in the contrary case. The value $y = 0$ is therefore only an apparent critical value, since the integral $u_{i}$ is not constrained to vanish for $y = 0$.

This difficulty is not to be feared in the two other cases examined above, which are those of the ordinary tangent plane and of the conical point of the second order. Indeed, $\frac{t u_{i}}{y}$ becomes infinite only logarithmically, from which it follows that $u_{i}$ is zero.

Mr. Picard has proved that, by a birational transformation, one can change any surface into a surface $S$ having no other singularity than a double curve and certain triple points with separate tangent planes that are triple points of this double curve. We can therefore always suppose that the surface $S$ has no conical point; on the other hand, the choice of axes being arbitrary, we can always suppose that the straight line $y = t = 0$ does not touch the surface and lies on no singular tangent plane to this surface, nor on the planes that touch this surface in two or more points. The only singular values that we shall have to consider will therefore correspond to ordinary tangent planes.

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This being established, we may still choose the integrals $u_{i}$ in a rather arbitrary manner. If, indeed, we set \[ X_{k} = \sum_{i=1}^{i=p} \rho_{ik} \frac{P_{i}}{Q} \quad (k = 1, 2, \ldots, p), \tag{2} \] the $\rho_{ik}$ being $p^{2}$ homogeneous rational functions of degree zero in $y$ and $t$, we shall have $X_{k} = \frac{P'_{k}}{Q'}$, $Q'$ being a homogeneous polynomial of degree $\nu'$ in $y$ and $t$, $P'_{k}$ a homogeneous polynomial of degree $n + \nu' - 2$ in $x, y, z, t$, containing $x$ and $z$ at most to degree $n - 3$. In other words, the integrals \[ u'_{k} = \int \frac{P'_{k}\,dx}{Q' F'_{z}} = \sum \rho_{ik} u_{i} \] will be able to play the same role as the integrals $u_{i}$.

What simplifications can we obtain by the use of transformation (2)? In the first place, we can take $\rho_{ik} = \frac{Q}{Q'}$, $Q'$ being a polynomial of the same form and the same degree as $Q$; then the $\nu$ critical values of the second kind that were given by $Q = 0$ will be given by $Q' = 0$; the polynomial $Q'$ being arbitrary, the $\nu$ critical values of the second kind may be chosen arbitrarily; we may therefore always suppose that they coincide neither with the critical values of the third kind, nor with the singular values, and that they are moreover all distinct and correspond to simple poles.

In the second place, we may suppose that the critical values of the first kind also do not coincide with the singular values. Let indeed $y = y_{0} t$ be a singular value and suppose that it is also a critical value of the first kind. This may be a critical value of higher order. If, for example, among the combinations $\displaystyle\sum \alpha_{i} P_{i}$, there are $\mu_{3}$ that are divisible by $(y - y_{0} t)^{3}$, $\mu_{2}$ divisible by $(y - y_{0} t)^{2}$, and finally $\mu_{1}$ divisible by $y - y_{0} t$, it will be a critical value of order $3\mu_{3} + 2\mu_{2} + \mu_{1}$. It will suffice to take a particular case; let us suppose then, to fix ideas, that the only combination divisible by $(y - y_{0} t)^{2}$ is $\displaystyle\sum \beta_{i} P_{i}$, that $\displaystyle\sum \gamma_{i} P_{i}$ is divisible by $y - y_{0} t$, and that every combination divisible by $y - y_{0} t$ is of the form $B\displaystyle\sum \beta_{i} P_{i} - C\displaystyle\sum \gamma_{i} P_{i}$. We shall then set, by a first transformation, \[ P'_{1} = \sum \beta_{i} P_{i}, \quad P'_{2} = \sum \gamma_{i} P_{i}, \quad P'_{3} = \sum \delta_{i} P_{i}, \quad \ldots, \quad P'_{p} = \sum \theta_{i} P_{i} \] in such a way that the determinant of the constant coefficients $\beta, \gamma, \delta, \ldots, \theta$ is not

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zero. Then $P'_{1}$ will be divisible by $(y - y_{0} t)^{2}$ and $P'_{2}$ by $y - y_{0} t$. We shall next make a second transformation by setting \[ P''_{1} = \frac{(y - y_{1} t)(y - y_{2} t)}{(y - y_{0} t)^{2}} P'_{1}, \quad P''_{2} = \frac{y - y_{3} t}{y - y_{0} t} P'_{2}, \quad P''_{k} = P'_{k} \quad (k > 2). \] For the polynomials $P''$, the triple critical value $y_{0}$ has disappeared to be replaced by the three simple critical values $y_{1}, y_{2}, y_{3}$, chosen arbitrarily. We may therefore always suppose that all the critical values are simple, distinct from one another, and distinct from the singular values.

We can also take advantage of transformation (2) to eliminate all the critical values of the second kind; but this is a point that we shall only be able to prove completely later on, and which requires some explanations.

Let \[ y = y_{1} t, \quad y = y_{2} t, \quad \ldots, \quad y = y_{h} t \] be the various critical values of the first kind. Let \[ \sum \alpha_{i}^{1} P_{i}, \quad \sum \alpha_{i}^{2} P_{i}, \quad \ldots, \quad \sum \alpha_{i}^{h} P_{i} \tag{3} \] be the linear combinations of the $P_{i}$ that vanish at these various critical values. The combinations (3) can be expressed linearly by means of $h$ among them, $h$ being at most equal to $p$. If $h = p$, our theorem is easy to prove; let indeed $y = y_{0} t$ be one of the critical values of the second kind; we shall set first, assuming that the first $p$ combinations (3) are linearly independent, \[ P'_{1} = \sum \alpha_{i}^{1} P_{i}, \quad P'_{2} = \sum \alpha_{i}^{2} P_{i}, \quad \ldots, \quad P'_{p} = \sum \alpha_{i}^{p} P_{i}. \] Then $P'_{k}$ being divisible by $y - y_{k} t$, we shall set \[ P''_{k} = \frac{y - y_{0} t}{y - y_{k} t} P'_{k} \] the critical value $y = y_{0} t$ will have disappeared, and we shall thus be able to eliminate them all, one after the other.

If $h < p$, among our polynomials $P_{k}$ there will be some that are not linear combinations of the combinations (3). When this is so, we shall sometimes say to abbreviate that the corresponding integrals $u_{k}$ have no critical value of the first kind. We shall show later that this circumstance cannot present itself so long as there exist critical values of

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the second kind; we shall thus have finished establishing the possibility of eliminating all critical values of the second kind.

2. — The Functions $v_{i}$.

Let $C$ be an algebraic curve traced on the surface $S$; the plane $\frac{y}{t} = \text{const.}$ will cut this curve in $m$ moving points, $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{m}$; let $u_{i}^{1}, u_{i}^{2}, \ldots, u_{i}^{m}$ be the corresponding values of the integral $u_{i}$; I shall set \[ v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{m}; \tag{1} \] it will be remarked that this notation is not quite the same as the one I had employed in the cited Memoir of the Annales de l'École Normale; I had set \[ m v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{m}; \] the new notation is more convenient. We shall then see :

$1^{\circ}$ That for an ordinary value of $y$, $v_{i}$ is a holomorphic function of $y$; it is a holomorphic function of $\frac{1}{y}$ for $y = \infty$;

$2^{\circ}$ That the functions $v_{i}$ can become infinite of the first order for the critical values of the second kind (assumed to be all simple);

$3^{\circ}$ That for a critical value of the first kind, for which $\displaystyle\sum \alpha_{i} P_{i}$ vanishes, one must have $\displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i} = 0$;

$4^{\circ}$ That for a singular value, the $v_{i}$ can become logarithmically infinite; when $y$ turns around a singular value, $v_{i}$ increases by a period. I make this precise; suppose that $u_{i}^{*}$ is the determination of $u_{i}$ that remains a holomorphic function of $y$ and that one considers the determination \[ u_{i} = u_{i}^{*} + \sum m_{k} \omega_{ki} \] one will have (cf. the preceding section) \[ u_{i} = \psi(y) + \frac{m_{1}\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}) \tag{2} \] and $u_{i}$ will change into $u_{i} + m_{1}\omega_{2i}$, and, in general, $v_{i}$ into $v_{i} + \displaystyle\sum m_{1}\omega_{2i}$, $\displaystyle\sum m_{1}$ being the sum of the values of $m_{1}$ relative to the various integrals $u_{i}^{1}, u_{i}^{2}, \ldots, u_{i}^{m}$. One sees then that $v_{1}$, for example, increases by a period, while $v_{2}, v_{3}, \ldots, v_{p}$ increase by the corresponding period.

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It is interesting to distinguish several cases. Suppose first that the curve $C$ does not pass through the point of contact; then all the functions $u_{i}^{k}$ will be of the form (2) and one will have \[ v_{i} = \psi(y) - \sum m_{1} \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $\psi(y)$ being holomorphic and $\displaystyle\sum m_{1}$ being an integer.

Suppose now that the curve $C$ passes through the point of contact; it will then touch the plane $\frac{y}{t} = \text{const.}$ there, so that two of the points $M_{k}$ (for example $M_{1}$ and $M_{2}$) will coincide with the point of contact. Then all the integrals $u_{i}^{k}$ will be of the form (2), with the exception of the integrals $u_{i}^{1}$ and $u_{i}^{2}$, for which one will have \[ u_{i}^{1} \text{ or } u_{i}^{2} = \psi(y) + \mu \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $\mu$ being half of an odd integer. One will still have \[ v_{i} = \psi(y) + K \frac{\omega_{2i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $K$ being an integer.

It may happen also that the curve $K_{y}$ decomposes for the singular value of $y$; the preceding results will still hold.

It will be observed that to each singular value is attached a period that plays a particular role; all the periods are functions of $y$ that increase by a multiple of this particular period when $y$ turns around this singular value. It is this particular period that we designated above by $\omega_{2i}$. One can then make condition $4^{\circ}$ precise by saying that when $y$ turns around a singular value, all the functions $v_{i}$ increase by a multiple of the particular period attached to it.

Every system of functions $v_{i}$ satisfying conditions $1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}, 4^{\circ}$ will be called a system of normal functions. To every curve $C$ corresponds a system of normal functions; but one can find other systems of normal functions :

$1^{\circ}$ The periods form a system of normal functions;

$2^{\circ}$ Let $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ be the points of intersection of $S$ with the straight line $y = t = 0$; these points belong to all the curves $K_{y}$; if $a_{i}^{k}$ is the value of the integral $u_{i}$ at the point $A_{k}$, the $a_{i}^{k}$ form a system of normal functions. In particular, the $a_{i}^{1}$ are zero, since $A_{1}$ serves as the lower limit of integration.

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3. — Formation of Normal Functions.

The periods $\omega_{ki}$ satisfy linear differential equations with rational coefficients.

We shall have \[ \Delta_{i}(\omega) = 0, \tag{1} \] $\Delta$ is a differential expression that is the same for \[ \omega_{1i}, \quad \omega_{2i}, \quad \ldots, \quad \omega_{2p,i}, \] but which depends on the index $i$. This expression is of order $2p$, that is to say it contains derivatives of $\omega$ up to order $2p$ inclusively. The coefficients are entire polynomials in $y$; the coefficient of the highest-order term can vanish only for singular values; moreover, since only one of the periods ceases to be holomorphic at each singular value (namely that which we designated by $\omega_{1}$, § 1), each of these values is a simple root, so that the coefficient of $\frac{d^{2p}\omega}{dy^{2p}}$ will be written : \[ (y - a_{1})(y - a_{2})\ldots(y - a_{h}), \] $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{h}$ being the different singular values. It is therefore a polynomial of degree $h$, $h$ being the number of singular values. Furthermore, since the integrals of equation (1) must behave regularly for $y = \infty$, the degrees of the coefficients of this equation must decrease, in such a way that the coefficient of $\frac{d^{k}\omega}{dy^{k}}$ is of degree $h - 2p + k$ and the coefficient of $\omega$ of degree $h - 2p - 1$ (and not $h - 2p$).

We have $p$ equations (1) since the index $i$ can take $p$ different values; but these equations are closely related; one will pass for example from the equation $\Delta_{1}(\omega) = 0$ to the equation $\Delta_{i}(\omega) = 0$ by a simple transformation; if one sets \[ \omega^{*} = R_{0}\omega + R_{1}\frac{d\omega}{dy} + R_{2}\frac{d^{2}\omega}{dy^{2}} + \ldots + R_{2p-1}\frac{d^{2p-1}\omega}{dy^{2p-1}}, \] the $R$ being suitably chosen rational functions of $y$, and if $\omega$

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satisfies $\Delta_{1}(\omega) = 0$, $\omega^{*}$ will satisfy $\Delta_{i}(\omega^{*}) = 0$. Equation (1) is what is called Picard's equation.

This being established, let us consider in the $y$-plane the various singular values $a_{k}$; let us join them to infinity by cuts $Q_{k}$ that do not cross one another. To each of these values will be attached a period playing a particular role (the one that had been designated by $\omega_{2i}$, § 1). This period will be respectively designated for the integrals $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{p}$ by $\varpi_{k1}, \varpi_{k2}, \ldots, \varpi_{kp}$.

It is a matter of constructing a system of normal functions $v_{i}$; I must therefore suppose that the functions $v_{i}$ remain single-valued as long as one does not cross the cuts, and that when one crosses the cut $Q_{k}$ in the direct sense, $v_{i}$ changes into \[ v_{i} + \lambda_{k} \varpi_{ki} \] $\lambda_{k}$ being an integer that depends on $k$, but not on $i$. Let then $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{\nu}$ be the critical values of the second kind. We shall satisfy the conditions by setting \[ v_{i} = \sum \frac{\lambda_{k}}{2\pi\sqrt{-1}} \int_{Q_{k}} \frac{\varpi'_{ki}\,dY}{Y - y} + \sum \frac{A_{ji}}{y - b_{j}} + C_{i}. \tag{2} \] $Y$ is the variable with respect to which one integrates; $\varpi'_{ki}$ is what $\varpi_{ki}$ becomes when $y$ is replaced in it by $Y$; the $A$ and $C$ are arbitrary coefficients. We see that the expression (2) satisfies the stated conditions; since $\varpi'_{ki}$ is a holomorphic function of $Y$ for $Y = a_{k}$, that is to say at the endpoint of the cut $Q_{k}$ (let us recall, indeed, what we said of $\omega_{2i}$, § 1), $v_{i}$ will become logarithmically infinite for $y = a_{k}$; it will be infinite of the first order at the critical values of the second kind and will behave regularly for all other values.

It remains to see what happens for $y = \infty$. Let us remark that the integers $\lambda$ cannot be chosen arbitrarily; it is necessary that, when one describes a circle of very large radius by crossing all the cuts, $v_{i}$ returns to its initial value. If the periods of $u_{i}$ are $\omega_{1i}, \omega_{2i}, \ldots, \omega_{2p,i}$, we shall have \[ \varpi_{ki} = \sum \mu_{kj} \omega_{ji}, \] the $\mu_{kj}$ being integers. Moreover, $\omega_{ji}$ will change into $\omega_{ji} + \nu_{kj} \varpi_{kj}$ when one crosses the cut $Q_{k}$ in the direct sense, the $\nu_{kj}$ being integers. When one crosses successively in the direct sense the cuts $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{h}$, these

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cuts succeeding one another in the order in which a circle of very large radius encounters them, $v_{i}$ will change into \[ v_{i} + \sum \rho_{hj} \omega_{ji} \] the $\rho$ being integers that are to be studied; in the first place, one will have \[ \rho_{1j} = \lambda_{1} \mu_{1j}. \] One will have next \[ \rho_{kj} - \rho_{k-1, j} = \mu_{kj} \biggl( \lambda_{k} + \sum \rho_{k-1, l} \nu_{kl} \biggr); \] by these equations, the $\rho$ depend on the indeterminate integers $\lambda$ and on the determinate integers $\mu$ and $\nu$; they are linear and homogeneous functions of the integers $\lambda$. But since $v_{i}$ must return to its initial value when the $h$ cuts have been crossed, one must have \[ \rho_{h1} = \rho_{h2} = \ldots = \rho_{h, 2p} = 0. \tag{3} \] These are $2p$ linear equations that the $\lambda$ must satisfy.

If this condition is fulfilled, $v_{i}$ is a single-valued function of $y$ in the neighborhood of $y = \infty$; moreover, this function remains finite; indeed, each of the terms of (2) remains finite except the integrals, and these integrals can become only logarithmically infinite, since $\varpi'_{ki}$ remains finite for $Y = \infty$. The logarithmic terms, which alone could become infinite, must cancel each other out, since $v_{i}$ is single-valued; therefore $v_{i}$ is finite.

The conditions (3) are not the only ones that we must impose upon ourselves. Let $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{\mu}$ be the critical values of the first kind and suppose that for $y = c_{k}$ one has $\displaystyle\sum \alpha_{ik} P_{i} = 0$, the $\alpha_{ik}$ being constant coefficients; one must have for $y = c_{k}$ \[ \sum \alpha_{ik} v_{i} = 0. \tag{4} \] Suppose that the $\lambda$ are integers satisfying conditions (3); the relations (4) will be relations between the $A$ and $C$.

If the number of critical values of the first kind is less than $p(\nu + 1)$, the number of distinct relations (4) will be a fortiori less than $p(\nu + 1)$ [I say a fortiori because the relations (4) may not all be distinct]. One can then satisfy these conditions in an infinity of ways, since the indeterminates $A$ and $C$ are $p(\nu + 1)$ in number. One will then obtain a continuous infinity of systems of normal functions, corresponding, as we shall soon see, to a continuous infinity of algebraic curves not constituting a linear system.

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If, in particular, we set all the $\lambda$ equal to zero, the $v_{i}$ will be single-valued functions of $y$, able to become infinite only of the first order at the critical values of the second kind; they will therefore be rational; we thus have an infinity of systems of rational normal functions.

If the number of critical values of the first kind is equal to $p(\nu + 1)$, the relations (4) will, in general, be distinct; the number of indeterminates is then equal to that of the conditions; and we shall have for each system of values of the $\lambda$ satisfying conditions (3) a single system of normal functions. As we can vary the $\lambda$, we shall have an infinity of systems of normal functions, but this infinity will be discrete. In particular, if all the $\lambda$ are zero, all the $v_{i}$ will be zero.

It may then happen that, the number of relations (4) being equal to $p(\nu + 1)$, these relations are not all distinct. Let us examine, in particular, the case where there is no critical value of the second kind, a case to which we shall see later that all the others reduce. If the relations (4) are not all distinct, there exists for every system of values of the $\lambda$ an infinity of systems of normal functions; taking the difference of any two of these systems, one will obtain systems of normal functions for which all the $\lambda$ will be zero; one will then have \[ v_{i} = \sum \frac{A_{ji}}{y - b_{j}} + C_{i}; \] since there is no critical value of the second kind, one will simply have $v_{i} = C_{i}$, that is to say that our normal functions will reduce to constants. The relations (4) will then be written $\displaystyle\sum \alpha_{ik} C_{i} = 0$, and they will, by hypothesis, be $p$ in number, since $\nu = 0$. If they were all distinct, all the $C_{i}$ would be zero; if they are not all distinct, some of the $C_{i}$ can be chosen arbitrarily; among the $C_{i}$, there then exist some that are not linear combinations of the left-hand sides of the relations (4); the corresponding integrals $u_{i}$, to use the terminology of the end of Section 1, have no critical values of the first kind. There also exist integrals that have no critical values of the first kind if the number of relations (4) is less than $p(\nu + 1)$. The existence of a system of rational normal functions is thus connected to the existence of integrals

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devoid of critical values of the first kind, in the sense of the end of Section 1.

If finally the number of critical values of the first kind is greater than $p(\nu + 1)$, it will in general be impossible to satisfy the relations (4). The normal functions corresponding to given values of the integers $\lambda$ will not exist in general, and one will be able to form them only for certain particular surfaces satisfying, so to speak, arithmetic conditions.

Let us now consider the expressions $\Delta_{i}(v_{i})$; I say that they are single-valued functions of $y$. Indeed, when $y$ describes any closed contour, $v_{i}$ changes into $v_{i} + \Omega_{i}$, $\Omega_{i}$ being a period of $u_{i}$; $\Delta_{i}(v_{i})$ changes into $\Delta_{i}(v_{i}) + \Delta_{i}(\Omega_{i})$. But, by virtue of equation (1), $\Delta_{i}(\Omega_{i}) = 0$; therefore $\Delta_{i}(v_{i})$ does not change. \hfillq. e. d.

$\Delta_{i}(v_{i})$ remains finite for ordinary values of $y$ as well as for critical values of the first kind. In the neighborhood of a singular value, we have \[ v_{i} = v_{i}^{*} + \sum m_{k} \omega_{ki}, \] $v_{i}^{*}$ being holomorphic and the $m_{k}$ being integers. Then $\Delta_{i}(v_{i}^{*})$ is holomorphic; $\Delta_{i}(\omega_{ki})$ is zero by virtue of equations (1); therefore $\Delta_{i}(v_{i})$ is holomorphic.

At a critical value of the second kind, $v_{i}$ becomes infinite of order 1; its derivative of order $q$ becomes infinite of order $q+1$ and $\Delta_{i}(v_{i})$ becomes infinite of order $2p+1$.

For $y = \infty$, $v_{i}$ remains finite, its derivative of order $q$ becomes zero of order $q+1$; on the other hand, in $\Delta_{i}(v_{i})$ the coefficient of $v_{i}$ becomes infinite of order $h - 2p - 1$, that of its $q^{\text{th}}$ derivative becomes infinite of order $h - 2p + q$; we conclude that $\Delta_{i}(v_{i})$ becomes infinite of order $h - 2p - 1$.

In summary, $\Delta_{i}(v_{i})$ is a rational function of $y$ and one can write \[ \Delta_{i}(v_{i}) = \frac{N_{i}}{Q^{2p+1}}, \tag{5} \] where \[ Q = (y - b_{1})(y - b_{2})\ldots (y - b_{\nu}) \] and where $N_{i}$ is an entire polynomial in $y$ of degree $h + (2p+1)(\nu - 1)$.

Such is the differential equation satisfied by the normal functions $v_{i}$.

4. — Introduction of Abelian Functions.

To make clearly understood the nature of the problem that I now wish to address, I shall first restrict myself to a particular case, that where $p = 1$ and where,

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consequently, the abelian functions we shall have to consider reduce to elliptic functions. We then have only a single integral $u$, and a “system” of normal functions reduces to a single function which I shall call $v$, omitting the index that has become unnecessary. We shall have only two periods $\omega_{1}$ and $\omega_{2}$, which will be functions of $y$ defined by Picard's equation \[ \Delta(\omega) = 0 \tag{1} \] [equation (1) of the preceding section], while the normal function $v$ will satisfy \[ \Delta(v) = \frac{N}{Q^{2p+1}} \tag{2} \] [equation (5) of the preceding section].

This being established, let us consider Weierstrass's function $p(u)$; it depends not only on the argument $u$, but on the two periods $\omega_{1}$ and $\omega_{2}$; if we replace in it the argument by the normal function $v$ defined by equation (2) and the periods $2\omega_{1}$ and $2\omega_{2}$ defined as functions of $y$ by equation (1), the Weierstrass function will become a function of $y$ \[ p(v,\, \omega_{1}, \omega_{2}) = G(y) \] and it is this function that is to be studied.

When $y$ turns around a singular value, the periods change into other periods and $v$ increases by a period. Under these conditions, the Weierstrass function does not change. Therefore $G$ is a single-valued function of $y$.

For an ordinary point and if $v$ is not equal to a period, $G$ is evidently holomorphic, and, similarly, it is a holomorphic function of $\frac{1}{y}$ in the neighborhood of $y = \infty$.

If $y = b$ is a critical value of the second kind, we see that $v$, $\omega_{1}$, and $\omega_{2}$ become infinite, but $v(y - b)$, $\omega_{1}(y - b)$, $\omega_{2}(y - b)$ remain holomorphic; therefore \[ p(v,\, \omega_{1}, \omega_{2}) = (y - b)^{2} p\bigl[ v(y - b),\, \omega_{1}(y - b),\, \omega_{2}(y - b) \bigr] \] is holomorphic for $y = b$ and even vanishes; let us recall, indeed, that the Weierstrass function is homogeneous of degree $-2$ in $v, \omega_{1}, \omega_{2}$.

If $y = c$ is a critical value of the first kind, it happens that $v, \omega_{1}$, and $\omega_{2}$

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vanish for $y = c$, but $\frac{v}{y - c}$, $\frac{\omega_{1}}{y - c}$, $\frac{\omega_{2}}{y - c}$ remain finite, and since one has \[ p(v,\, \omega_{1}, \omega_{2}) = \frac{1}{(y - c)^{2}} p\biggl( \frac{v}{y - c},\, \frac{\omega_{1}}{y - c},\, \frac{\omega_{2}}{y - c} \biggr), \] $G$ remains a meromorphic function of $y$.

If $v$ were equal to a period, the Weierstrass function would no longer be a holomorphic function of $v, \omega_{1}$, and $\omega_{2}$, but a meromorphic function, becoming infinite of order 2.

Therefore $G$ will still remain a meromorphic function of $y$, whether the value considered be moreover ordinary or critical.

It remains for us to investigate what happens at singular values. The Weierstrass function not depending on the choice of periods, we may suppose that $2\omega_{1}$ and $2\omega_{2}$ are precisely the periods which in the neighborhood of the considered singular value $y - y_{0}$ are of the form \[ \theta_{1}(y) + \frac{\theta(y)}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \quad \theta(y), \] $\theta_{1}(y)$ and $\theta(y)$ remaining holomorphic [without $\theta(y)$ vanishing]; on the other hand, $v$ will be of the form \[ v^{*} - \lambda \frac{\theta(y)}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] $v^{*}$ remaining holomorphic and $\lambda$ being an integer. If we set, with Weierstrass (cf. Formules et propositions pour l'emploi des fonctions elliptiques) : \[ h = e^{\pi\sqrt{-1} \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}}, \quad z = e^{\frac{\pi\sqrt{-1} v}{2\omega_{2}}}, \] we see that $h(y - y_{0})^{-\frac{1}{2}}$, $z(y - y_{0})^{-\frac{\lambda}{2}}$ remain holomorphic and do not vanish for $y = y_{0}$. We see, on the other hand (loc. cit., French edition, p. 41), that \[ \sigma(v) = e^{2\eta_{2} \omega_{2} w^{2}} \mathrm{K} \mathfrak{S}(v), \quad \mathfrak{S}(v) = \frac{1}{\sqrt{-1}} \sum (-1)^{m} h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1}, \]

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$\mathrm{K}$ being a constant factor, whence \[ p(v) = \frac{\sigma'^{2} - \sigma\sigma''}{\sigma^{2}} = - \frac{\eta_{2}}{\omega_{2}} + \frac{\mathfrak{S}'^{2} - \mathfrak{S}\mathfrak{S}''}{\mathfrak{S}^{2}} \] (I write $v$ instead of $u$, to preserve the notation adopted up to now, and I designate by $w$ the $v$ of Weierstrass, that is to say $\frac{v}{2\omega_{2}}$). Moreover, one has \[ \begin{gathered} \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \mathfrak{S}'(v) = \frac{1}{\pi\sqrt{-1}} \sum (-1)^{m} (2m+1) h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1}, \\ \biggl( \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \biggr)^{2} \mathfrak{S}''(v) = \frac{1}{\sqrt{-1}} \sum (-1)^{m} (2m+1)^{2} h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1}. \end{gathered} \] I say that \[ \mathfrak{S}(v) = (y - y_{0})^{\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2}} \mathrm{H}(y), \] $\mathrm{H}$ being holomorphic, or at least meromorphic. Indeed, one has \[ h^{\frac{(2m+1)^{2}}{4}} z^{2m+1} = (y - y_{0})^{\frac{(2m+1)^{2}}{8} - \frac{\lambda}{2}(2m+1)} \mathrm{M}(y), \] $\mathrm{M}$ being holomorphic; the exponent of $y - y_{0}$ is equal to $\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2} + \bigl[ \frac{m^{2} + m}{2} - \lambda m \bigr]$; the expression in brackets is an integer; and, whatever the sign and value of $\lambda$ may be, this integer is positive, provided $m$ is sufficiently large in absolute value.

If therefore we set aside the factor $(y - y_{0})^{\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2}}$, we see that all the terms of the series $\mathfrak{S}(v)$ are holomorphic, except a finite number that are meromorphic. Therefore $\mathrm{H}(y)$ is meromorphic. One would prove similarly that \[ \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \mathfrak{S}'(v), \quad \biggl( \frac{2\omega_{2}}{\pi\sqrt{-1}} \biggr)^{2} \mathfrak{S}''(v) \] are of the form \[ (y - y_{0})^{\frac{1}{8} - \frac{\lambda}{2}} \mathrm{H}(y), \] $\mathrm{H}$ being meromorphic; as $2\omega_{2} = \theta(y)$ is holomorphic and does not vanish, the expression $\frac{\mathfrak{S}'^{2} - \mathfrak{S}\mathfrak{S}''}{\mathfrak{S}^{2}}$ is meromorphic. On the other hand, $\eta_{2}\omega_{2}$ according to Weierstrass [loc. cit., § 6, p. 8, form. (10)] is a holomorphic function of $h^{2}$ (for $h = 0$) and, consequently, of $y$ for $y = y_{0}$. We must therefore conclude that for this value, $p(v)$ is a meromorphic function of $y$.

Thus $G$ remains a meromorphic function of $y$, even for singular values. It is therefore meromorphic in the entire plane and even at infinity; it is therefore a rational function of $y$.

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The partial derivative $\frac{dp}{dv}$ is also a doubly periodic function of $v$ which does not change when the system of periods is replaced by an equivalent system. One would prove in the same manner that it is a rational function of $y$.

Let us now consider the three partial derivatives \[ \frac{dp}{dv}, \quad \frac{dp}{d\omega_{1}}, \quad \frac{dp}{d\omega_{2}}. \] When $v$ increases by a period, or when one replaces the system of periods by an equivalent system, these three derivatives will undergo a linear transformation, and that in such a way that \[ \begin{gathered} v \frac{dp}{dv} + \omega_{1} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \omega_{2} \frac{dp}{d\omega_{2}}, \\ \frac{dv}{dy} \frac{dp}{dv} + \frac{d\omega_{1}}{dy} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \frac{d\omega_{2}}{dy} \frac{dp}{d\omega_{2}}, \\ \frac{d^{2}v}{dy^{2}} \frac{dp}{dv} + \frac{d^{2}\omega_{1}}{dy^{2}} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \frac{d^{2}\omega_{2}}{dy^{2}} \frac{dp}{d\omega_{2}}, \\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \end{gathered} \tag{3} \] remain invariant ${}^{(1)}$. One concludes (by reasoning entirely similar to the preceding) that all these expressions are rational functions of $y$. For the second of them, this is moreover evident, since it is the total derivative of $p$ with respect to $y$ and since $p$ is a rational function of $y$.

Combining these expressions, one finds that \[ \Delta v \frac{dp}{dv} + \Delta\omega_{1} \frac{dp}{d\omega_{1}} + \Delta\omega_{2} \frac{dp}{d\omega_{2}} \] is a rational function of $y$. But $\Delta\omega_{1}$ and $\Delta\omega_{2}$ are zero; by virtue of equation (1), this expression therefore reduces to $\Delta v \frac{dp}{dv}$.

We already knew that the two factors $\Delta v$ [by virtue of equation (2)] and $\frac{dp}{dv}$ are rational functions of $y$.

Let us pass now to the general case where the genus $p$ of the curves $K_{y}$ is greater than 1.

(1) To establish this, one will use the double series expansion of $p(v)$, an expansion that converges uniformly in any bounded region of the $v$-plane and for $\mathfrak{R}\bigl(\frac{\omega_{2}}{i\omega_{1}}\bigr) > 0$, as well as the expansions of its partial derivatives, calculated term by term, with respect to $v$, to $\omega_{1}$ and to $\omega_{2}$; one will use, in addition, the absolute convergence of the expansions. The first of the three invariance relations results moreover from the homogeneity formula.

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We shall make use of the properties of intermediate functions (Frobenius functions) and we shall use, in particular, some of those that I proved in the American Journal of Mathematics (Vol. 8, 1886, p. 289). Let $\omega_{ki}$ be the $k^{\text{th}}$ period of the $i^{\text{th}}$ integral. There will exist between the periods of any two integrals a bilinear relation \[ \Phi(\omega_{ki},\, \omega_{kj}) = 0 \tag{4} \] such that the first member $\Phi$, linear and homogeneous both with respect to \[ \omega_{1i}, \quad \omega_{2i}, \quad \ldots, \quad \omega_{2p, i} \] and with respect to \[ \omega_{1j}, \quad \omega_{2j}, \quad \ldots, \quad \omega_{2p, j}, \] changes sign when one interchanges $\omega_{ki}$ with $\omega_{kj}$. If one takes, in particular, the normal periods, this function $\Phi$ takes a particularly simple form. We shall have \[ \Phi = \sum_{k=1}^{k=p} (\omega_{ki} \omega_{k+p, j} - \omega_{kj} \omega_{k+p, i}) = 0. \tag{4~bis} \] Let us then consider an intermediate function; it is an entire function $\mathrm{H}$ of $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{p}$ which is multiplied by an exponential when the variables increase by a period, so that \[ \mathrm{H}(v_{i} + \omega_{ki}) = e^{P_{k}} \mathrm{H}(v_{i}); \qquad P_{k} = \sum \alpha_{ki} v_{i} + \gamma_{k}. \] We shall set, on the other hand, \[ \delta_{k} = \gamma_{k} - \frac{1}{2} \sum \alpha_{ki} \omega_{ki}. \] The quantities $\gamma_{k}$ and $\delta_{k}$ are evidently determined only up to a multiple of $2\pi\sqrt{-1}$. We shall next consider the combinations \[ \Phi(\alpha_{ki},\, \omega_{kj}) = \Phi_{ij}. \] We shall suppose \[ \Phi_{ii} = 2m\pi\sqrt{-1}, \qquad \Phi_{ij} = 0 \quad (i \gtrless j); \tag{5} \] the intermediate function will then be said to be of order $m$; an intermediate function of the first order is determined up to a constant factor when its

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multipliers $e^{P_{k}}$ are known. An intermediate function of the first order is even or odd when all the $\delta_{k}$ are equal to 0 or to $\pi\sqrt{-1}$. For given values of the coefficients $\alpha_{ki}$, there are therefore $2^{2p}$ even or odd intermediate functions of the first order.

If we multiply the intermediate function $\mathrm{H}$ by an exponential $e^{Q}$, where $Q$ is a homogeneous polynomial of the second degree with respect to the $v_{i}$, we shall have a new intermediate function $\mathrm{H}'$ for which the $\Phi_{ij}$ and the $\delta_{k}$ will be the same. One can dispose of the polynomial $Q$ in such a way that the $\alpha_{ki}$ vanish for all periods of the first series, that is to say for $k \le p$. The function $\mathrm{H}'$ is then a $\Theta$-function, but we shall restrict ourselves to even or odd functions, which are $2^{2p}$ in number. Among these $\Theta$-functions, there is one that is the $\Theta$-function properly so called, and which we shall designate by $\Theta_{0}$ to distinguish it from the others; it is the one for which all the $\delta_{k}$ are zero.

We shall now consider the functions $\Pi$ which are the third-order partial derivatives (with respect to the $v$) of the logarithm of one of the even or odd $\Theta$-functions of the first order. These functions $\Pi$ are therefore $\frac{p(p+1)(p+2)}{6} 2^{2p}$ in number, since there are $2^{2p}$ functions $\mathrm{L}\,\Theta$ and each of them has $\frac{p(p+1)(p+2)}{6}$ third-order derivatives.

$1^{\circ}$ A third-order partial derivative of the logarithm of an even or odd intermediate function of the first order $\mathrm{H}$ is equal to one of the functions $\Pi$. One has, indeed, \[ \log\Theta = \log\mathrm{H} - Q, \] $Q$ being a polynomial of the second degree and every third derivative of $Q$ being zero.

$2^{\circ}$ When one increases the $v$ by a period, the $\Pi$ do not change; for $\log\Theta$ increases by $P_{k}$, whose third derivatives are zero.

$3^{\circ}$ What happens now when one replaces the periods by an equivalent system of normal periods? First, the $\Phi_{ij}$ do not change (loc. cit., p. 323); moreover, if the intermediate function was even or odd, it will retain this character; if the old $\delta_{k}$ were all equal to zero or to $\pi\sqrt{-1}$, the same will hold for the new $\delta_{k}$; but there is no necessity

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that each new $\delta_{k}$ be equal to the corresponding old $\delta_{k}$. We conclude from this that the different functions $\Pi$ simply interchange among themselves, a third-order derivative of the logarithm of $\Theta$ changing into the corresponding partial derivative of the logarithm of another $\Theta$.

$4^{\circ}$ If we subject the $v_{i}$ to a linear substitution, and at the same time the periods $\omega_{ki}$ to the corresponding linear substitution, and the $\alpha_{ki}$ to the contragredient substitution, in such a way that $\displaystyle\sum \alpha_{ki} v_{i}$ does not change, the intermediate function $\mathrm{H}$ defined by the $v$, the $\omega$, the $\alpha$, and the $\delta$ will not change; the same will hold for its logarithm; the partial derivatives of this logarithm (and, in particular, the corresponding $\Pi$) will undergo a linear transformation (contragredient to that undergone by products of three factors equal to $v_{i}$, distinct or not).

If, for example, $v_{i}$ is multiplied by $c$, the $\omega_{ki}$ multiplied by $c$, the $\alpha_{ki}$ divided by $c$, the functions $\Pi$ represented by \[ \frac{d^{3}}{dv_{1}^{3}} \log\Theta, \quad \frac{d^{3}}{dv_{1}^{2}\,dv_{2}} \log\Theta, \quad \frac{d^{3}}{dv_{1}\,dv_{2}^{2}} \log\Theta, \quad \frac{d^{3}}{dv_{2}^{3}} \log\Theta, \quad \ldots \] will be respectively multiplied by \[ \frac{1}{c^{3}}, \quad \frac{1}{c^{3}}, \quad \frac{1}{c^{3}}, \quad \frac{1}{c^{3}}, \quad \ldots \]

This being established, I suppose that one replaces the $\omega_{ki}$ by their values as functions of $y$ and the $v_{i}$ by a system of normal functions of $y$; a function $\Pi$ will become a function $G(y)$ that is to be studied.

$1^{\circ}$ When $y$ describes a closed contour, the $v$ increase by a period; the system of periods is replaced by an equivalent system. Under these conditions, the functions $G$ can only interchange among themselves. I make this precise; let us agree, to abbreviate the language, to say that two functions $G = \Pi$ belong to the same system when they are derived from several different $\log\Theta$ by the same mode of differentiation; and that they belong to the same group when they are the various partial derivatives of the same $\log\Theta$. Then the functions $G$ of the same system will interchange among themselves. Therefore every symmetric function of the various functions $G$ of the same system is a single-valued function of $y$.

For an ordinary value of $y$, the $G$ are meromorphic functions of $y$.

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For a critical value of the second kind $y = b$, the products $v_{i}(y - b)$, $\omega_{ki}(y - b)$ remain holomorphic; therefore \[ \Pi(v_{i},\, \omega_{ki}) = (y - b)^{3} \Pi\bigl[ v_{i}(y - b),\, \omega_{ki}(y - b) \bigr] \] remains meromorphic.

For a critical value of the first kind $y = c$, such that $\displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i} = 0$, one will make a linear change of variables, in such a way that $v'_{1} = \displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i}$ and that the other $v'_{i}$ are arbitrary linear functions of the $v$. We shall make, of course, the same change of variables on the $\omega_{ki}$; in such a way that, for example, $\omega'_{k1} = \displaystyle\sum \alpha_{i} \omega_{ki}$.

Then the $\Pi(v'_{i},\, \omega'_{ki})$ will be linear functions of the $\Pi(v_{i},\, \omega_{ki})$ and conversely. I shall bring $v'_{1}$ and $\omega'_{k}$ into evidence by writing \[ \Pi(v'_{1},\, v'_{i};\, \omega'_{k1},\, \omega'_{ki}), \] the index $i$ taking the values $2, 3, \ldots, p$; in this case, $v'_{1}$ and $\omega'_{k}$ vanish for $y = c$, but $\frac{v'_{1}}{y - c}$ and $\frac{\omega'_{k1}}{y - c}$ remain finite. Then : \[ \Pi(v'_{1},\, v'_{i};\, \omega'_{k1},\, \omega'_{ki}) = \frac{1}{(y - c)^{\lambda}} \Pi\biggl( \frac{v'_{1}}{y - c},\, v'_{i};\, \frac{\omega'_{k1}}{y - c},\, \omega'_{ki} \biggr) \] ($\lambda = 0, 1, 2, 3$, according to the system of functions $\Pi$ under consideration) still remains meromorphic. The same therefore holds for the $\Pi$.

It remains for us to examine the case of singular values. Let $y = y_{0}$ be one of these values; in the neighborhood of this value, one has \[ v_{i} = \psi_{i}(y) + \frac{\lambda \varpi_{i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \qquad \omega_{ki} = \psi_{ki}(y) + \frac{\lambda_{k} \varpi_{i}}{2\pi\sqrt{-1}} L(y - y_{0}), \] the $\psi$ being holomorphic, $\varpi_{i}$ being the period attached to the singular value in the sense of Section 2 and being a holomorphic function of $y$, the $\lambda$ and the $\lambda_{k}$ being integers. As we have seen that our functions $G$ of the same system simply permute among themselves when the periods are replaced by an equivalent system of normal periods, we may adopt any one of these equivalent systems, and it will always be possible to choose it

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in such a way that $\varpi_{i} = \omega_{1i}$; under these conditions, all the $\lambda_{k}$ are zero, with the exception of $\lambda_{p+1}$ which is equal to 1. Indeed, the form \[ \sum_{k} (\omega_{ki} \omega_{k+p, j} - \omega_{k+p, i} \omega_{kj}) \] must not be altered when $\omega_{ki}$ changes into $\omega_{ki} + \lambda_{k} \omega_{1i}$ and $\omega_{kj}$ into $\omega_{kj} + \lambda_{k} \omega_{1j}$, which happens when $y$ turns around $y_{0}$; and that requires that all the $\lambda_{k}$ be zero with the exception of $\lambda_{p+1}$. We see next that, when the singular value $y_{0}$ corresponds to an ordinary tangent plane, which we assume, there always exists a period (linear combination of the $\omega_{ki}$) which increases by $\varpi_{i}$, which requires $\lambda_{p+1} = \pm 1$. Finally, we shall suppose $\lambda_{p+1} = 1$, for if $\lambda_{p+1}$ were negative, it would suffice to change $\varpi_{i}$ into $-\varpi_{i}$.

We shall now effect a linear change of variables by setting \[ v'_{i} = \sum \alpha_{ij} v_{j}, \qquad \omega'_{ki} = \sum \alpha_{ij} \omega_{kj}. \tag{6} \] Under these conditions, the $\Pi' = \Pi(v'_{i},\, \omega'_{ki})$ will be linear functions of the $\Pi(v_{i},\, \omega_{ki})$ and the coefficients of these linear functions will be meromorphic functions of $y$, if the coefficients $\alpha_{ij}$ are themselves meromorphic functions of $y$.

This being established, we can choose the change of variables (6) in such a way that \[ \omega'_{k1} = 0 \quad (k \le p,\, k \gtrless 1), \qquad \omega'_{11} = 2\pi\sqrt{-1} \quad (k \le p); \] the coefficients $\alpha_{ij}$ will be meromorphic functions of $y$, since all the $\omega_{k1}$ where $k \le p$, and indeed generally all the $\omega_{ki}$, except $\omega_{p+1, i}$, are holomorphic functions of $y$. We shall then write : \[ \Theta = \sum e^{P_{1} + P_{2} + P_{3}}, \] where \[ P_{1} = \sum m_{i} v'_{i}, \qquad P_{2} = \sum m_{i} z_{i}, \qquad P_{3} = \frac{1}{2} \sum m_{i} m_{k} a_{ik} \] and where :

$1^{\circ}$ $2m_{1}, 2m_{2}, \ldots, 2m_{p}$ are integers: $2m_{k}$ being either always even or always odd, according to the value of the $\delta_{k}$, that is to say according to which of the $2^{2p}$ functions $\Theta$ is considered;

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$2^{\circ}$ The $\varepsilon_{i}$ are equal to $0$ or to $\pi\sqrt{-1}$ according to which of the $2^{2p}$ functions $\Theta$ is considered.

$3^{\circ}$ One has \[ a_{ik} = a_{ki} = \omega'_{k, p+i} = \omega'_{i+p, k}. \] All the $\omega'_{ki}$ are holomorphic functions of $y$ except perhaps the $\omega'_{p+1, i}$; moreover, $\omega'_{p+1, i}$ is equal to a holomorphic function of $y$, plus \[ \frac{\omega'_{1i}}{2\pi\sqrt{-1}}\mathrm{L}(y - y_{0}). \] But $\omega'_{1i} = 0$ for $i \gtrless 1$; therefore all the $a_{ik}$ are holomorphic functions of $y$, except $a_{11}$; but $e^{a_{11}}$ is a holomorphic function of $y$ that vanishes for $y = y_{0}$.

Similarly, \[ v'_{i} - \psi'_{i}(y) + \frac{\lambda \omega'_{1i}}{2\pi\sqrt{-1}}\mathrm{L}(y - y_{0}) \] is holomorphic in $y$ if $i \gtrless 1$; and the exponential $e^{v'_{1}}$ is holomorphic or meromorphic in $y$, divisible by $(y - y_{0})^{\lambda}$. Each of the terms of $\Theta$ is therefore equal to the product of a holomorphic function of $y$, not vanishing for $y = y_{0}$, by the factor \[ (y - y_{0})^{m_{1}\lambda + \frac{1}{2}m_{1}^{2}}. \] The exponent $m_{1}\lambda + \frac{1}{2}m_{1}^{2}$ can be negative only for a finite number of values of $m_{1}$; moreover, if one changes $m_{1}$ into $m_{1} + 1$, it increases by $\lambda + m_{1} + \frac{1}{2}$.

If therefore $2m_{1}$ is even, it increases by an integer plus $\frac{1}{2}$; if $2m_{1}$ is odd, it increases by an integer. If $2m_{1}$ is odd, all the terms are therefore equal to a holomorphic or meromorphic function multiplied by $(y - y_{0})^{\frac{\lambda}{2} + \frac{1}{8}}$. If $2m_{1}$ is even, they are equal to a holomorphic or meromorphic function multiplied by $(y - y_{0})^{\frac{1}{2}}$ or $(y - y_{0})^{0}$. Therefore, when $y$ turns around $y_{0}$, in the first case the function $\Theta$ is simply multiplied by a constant factor; in the second case, two of the functions $\Theta$ interchange between themselves, namely those that differ from one another by the change of value of $\varepsilon_{1}$. They are in any case algebroid functions.

The same reasonings would apply to the partial derivatives of the different orders of the functions $\Theta$ taken with respect to the $v'_{i}$; each term is deduced, indeed, from the corresponding term of the function $\Theta$ by multiplying it by a

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constant factor depending only on the integers $m$. It results from this that the $\Pi'$ are algebroid functions of $y$ for $y = y_{0}$ and that, when $y$ turns around $y_{0}$, the functions of the same system simply interchange among themselves. This is therefore still true for the $\Pi$, which are linear functions of the $\Pi'$ with meromorphic coefficients. In summary, we see that, for any value of $y$, the $\Pi$ are algebroid functions of $y$, liable only to interchange among functions of the same system. Every symmetric function of the functions $\Pi = \mathrm{G}$ of the same system is therefore a meromorphic function for all finite or infinite values of $y$. It is therefore a rational function of $y$. Any one of the functions $\mathrm{G}$ is therefore an algebraic function of $y$.

We can extend this result to the case where one replaces $v_{i}$, no longer by a normal function of $y$, but by half of a normal function. There will, indeed, be nothing changed in the preceding analysis, except that $\lambda$, instead of being an integer, may be half of an integer. If then $m_{1}$ changes into $m_{1} + 1$, the exponent $m_{1}\lambda + \frac{1}{2}m_{1}^{2}$ increases by $\lambda + m_{1} + \frac{1}{2}$; if then $\lambda$ is half of an odd number, it is when $2m_{1}$ is even that our exponent increases by an integer and that the function $\Theta$ reproduces itself up to a constant factor; and it is when $2m_{1}$ is odd that this exponent increases by an integer plus $\frac{1}{2}$ and that the function $\Theta$ interchanges with another.

It may happen that a function $\mathrm{G}$ is not only algebraic, but rational in $y$; this is what occurs, for example, if $v_{i}$ is half of a normal function for which all the $\lambda$ are odd and if $\mathrm{G}$ is derived from a function $\Theta$ for which all the $2m_{i}$ are even.

It will be observed that the fact that the system of normal functions $v_{i}$ satisfies the condition $\displaystyle\sum \alpha_{i} v_{i} = 0$ for a critical value of the first kind plays an essential role. The theorem would no longer be true if one were to replace in the $\Pi$ the $v_{i}$ by a system of functions satisfying the same conditions as a system of normal functions, that one excepted.

5. — Classification of Curves.

Let us consider a system of normal functions $v_{i}$, formed by the procedures of Section 3. Will there always correspond to this system algebraic curves? There will always exist on each curve $\mathrm{K}_{y}$ a group of $p$ points and only one : $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$, such that one has \[ v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p}, \]

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$v_{i}$ being the normal function under consideration and $u_{i}^{k}$ the value of the integral $u_{i}$ at the point $\mathrm{M}_{k}$. When one varies $y$, the set of these points will generate a curve $\mathrm{C}$; let us take again the points $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{A}_{2}, \ldots, \mathrm{A}_{n}$ of intersection of $\mathrm{S}$ with the straight line $y = t = 0$, and let $a_{i}^{k}$ be the value of $u_{i}$ at the point $\mathrm{A}_{k}$. Let us recall that, according to our conventions, $a_{i}^{1}$ is zero.

I propose to investigate how many times the curve $\mathrm{C}$ passes through $\mathrm{A}_{k}$, that is to say for how many values of $y$ one of the points $\mathrm{M}_{k}$ arrives at $\mathrm{A}_{k}$. To this end, I recall Riemann's theorem; according to this theorem, one has \[ \Theta_{0}(u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p-1} - h_{i}) = 0, \tag{1} \] $\Theta_{0}$ being the function $\Theta$ all of whose $\delta$ are zero, the $u_{i}^{k}$ being the values of $u_{i}$ at $p - 1$ arbitrary points of $\mathrm{K}_{y}$ and the $h_{i}$ being constants (able to depend only on $y$). Moreover, one has \[ u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{2p-2} = 2h_{i}, \tag{2} \] the $u_{i}^{k}$ representing this time the values of $u_{i}$ at the $2p - 2$ points of intersection of $\mathrm{K}_{y}$ with an arbitrary adjoint of order $n - 3$, the double points being left aside.

At each of the double points, one has two values of $u_{i}$, corresponding to the two branches of $\mathrm{K}_{y}$ that intersect at the double point. I shall designate by $d_{i}$ the sum of all these values of $u_{i}$, whose number is double that of the double points. We shall observe that the $d_{i}$ form a system of normal functions. Indeed, we saw in Section 2 that to every algebraic curve traced on the surface there corresponds a system of normal functions; it suffices to apply this result to the double curve of the surface $\mathrm{S}$.

By virtue of Abel's theorem, the sum of the $u_{i}^{k}$ is a constant for the points of intersection of $\mathrm{K}_{y}$ with an arbitrary curve of order $m$. Let us apply this to two curves of order $n - 3$, namely an adjoint on the one hand, and on the other hand $n - 3$ times the straight line $y = t = 0$. This will give us \[ u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{2p-2} + d_{i} = (n - 3)(a_{i}^{1} + a_{i}^{2} + \ldots + a_{i}^{n}), \] the $u_{i}^{k}$ being those that appear in the first member of (2); one will therefore have \[ 2h_{i} = (n - 3)\sum a_{i}^{k} - d_{i}. \] Since the $a_{i}^{k}$ and the $d_{i}$ are normal functions, the same will hold for the $2h_{i}$.

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In order that the point $\mathrm{M}_{p}$, for example, arrive at $\mathrm{A}_{k}$, it is necessary that \[ v_{i} - a_{i}^{k} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p-1}, \] whence \[ \Theta_{0}(v_{i} - a_{i}^{k} - h_{i}) = 0. \] Now $v_{i} - a_{i}^{k} - h_{i}$ is half of a normal function. But the function $\Theta_{0}$ cannot vanish without its logarithm becoming infinite, nor, consequently, without at least one of the third-order partial derivatives of this logarithm becoming infinite. It is therefore necessary that one of the functions $\mathrm{G}$ become infinite; now the $\mathrm{G}$ are algebraic functions of $y$; they will therefore be able to become infinite only a finite number of times. The curve $\mathrm{C}$ will therefore be able to pass through $\mathrm{A}_{k}$ only a finite number of times, say $q_{k}$ times. It will then be an algebraic curve of degree \[ p + q_{1} + q_{2} + \ldots + q_{n}. \] The algebraic curve $\mathrm{C}$ always exists; it may in certain cases reduce to a certain number of times the points $\mathrm{A}_{k}$, or else to periods. I refer to the cited Memoir of the Annales de l'École Normale for the study of the exceptional case where the curve $\mathrm{C}$ meets the plane $\frac{y}{t} = \mathrm{const.}$ only in $p - 1$ moving points (loc. cit., p. 83).

The curve $\mathrm{C}$ as we have just defined it is entirely determined; but to the same system of normal functions there correspond an infinity of algebraic curves meeting the plane $\frac{y}{t} = \mathrm{const.}$ in more than $p$ moving points (whereas $\mathrm{C}$ met this plane in $p$ moving points only).

We shall say that all these curves belong to the same family.

But this classification into families is not a natural classification. Suppose, indeed, that one changes coordinate axes in such a way that the straight line $y = t = 0$ is replaced by another straight line $\mathrm{D}$. The function $v_{i}$ is the sum of the $u_{i}$ for all the moving points of intersection of the curve $\mathrm{C}$ with a plane passing through $y = t = 0$. The fixed points of intersection, that is to say the points $\mathrm{A}_{k}$, do not enter into account. But if one replaces the line $y = t = 0$, which met the curve $\mathrm{C}$ a certain number of times $q_{k}$ at $\mathrm{A}_{k}$, by an arbitrary line $\mathrm{D}$, this line will not meet $\mathrm{C}$ in general. Let then $v_{i}$ be the normal functions corresponding to $\mathrm{C}$ and to the line $y = t = 0$;

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let $v'_{i}$ be the normal functions corresponding to $\mathrm{C}$ and to the line $\mathrm{D}$. When $\mathrm{D}$ is infinitely close to $y = t = 0$, $v'_{i}$ will not be infinitely close to $v_{i}$, but indeed to $\displaystyle v_{i} + \sum q_{j} a_{i}^{j}$.

On the other hand $v_{i}$ is determined only up to a period, so that the two systems of normal functions $v_{i}$ and $v_{i} + \omega_{ji}$ correspond to the same curve $\mathrm{C}$. This leads us to substitute for the classification into families a classification into classes, which will this time be a natural classification.

A system of normal functions is characterized by the set of integers $\lambda_{k}$ which correspond, according to Section 3, to the different singular values $y = y_{k}$; among normal functions, we shall distinguish the periods $\omega_{ji}$ and the functions $a_{i}^{j}$ which correspond to the points $\mathrm{A}_{j}$; let then $\mu_{jk}$ and $\mu'_{jk}$ be the integers $\lambda_{k}$ relative respectively to $\omega_{ji}$ and to $a_{i}^{j}$. Let two systems of normal functions be characterized respectively by the integers $\lambda_{k}$ and by the integers $\lambda'_{k}$. The two systems and the two corresponding curves $\mathrm{C}$ will belong to the same family if one has \[ \lambda_{k} = \lambda'_{k}; \] they will belong to the same class if \[ \lambda_{k} = \lambda'_{k} + \sum m_{j} \mu_{jk} + \sum m'_{j} \mu'_{jk}, \] the $m$ and the $m'$ being integers. For other details on the classification of algebraic curves, the number of primitive curves, and the manner of deducing all curves from primitive curves, I shall refer to the cited Memoir.

One may ask what happens when one varies the line $\mathrm{D}$ in a continuous manner. Singular values correspond to tangent planes drawn from $\mathrm{D}$ to $\mathrm{S}$. Two of these values interchange when $\mathrm{D}$ turns around a position where it is tangent to the surface $\mathrm{S}$. At the same time, two of the points $\mathrm{A}_{j}$ and, consequently, two of the functions $a_{i}^{j}$ interchange as well.

What happens then? The integer $\lambda_{k}$ which according to Section 3 is attached to each of the singular values $y_{k}$ depends on two things : $1^{\circ}$ on that of the determinations of $v_{i}$ which is considered; $2^{\circ}$ on the shape or rather on the relative arrangement of the cuts $\mathrm{Q}_{k}$ which in Section 3 we drew from $y_{k}$ to infinity in the $y$-plane. When the line $\mathrm{D}$ moves in a continuous manner, the number $\lambda_{k}$ will remain constant; but at the same time our cuts will deform and their relative arrangement may change. Suppose,

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for example, that in the initial situation the cuts $\mathrm{Q}_{k}$ are rectilinear, and directed along the extension of the radius vector going from the origin to $y_{k}$; in a subsequent position, the cuts $\mathrm{Q}_{k}$ will have ceased to be rectilinear, and if one replaces them by new rectilinear cuts $\mathrm{Q}'_{k}$ going from the new singular values to infinity along the extension of the radius vector coming from the origin, it may happen that the new cuts $\mathrm{Q}'_{k}$ are not equivalent to the old cuts $\mathrm{Q}_{k}$ and that the integers $\lambda'_{k}$ relative to the $\mathrm{Q}'_{k}$ are not equal to the $\lambda_{k}$.

Let $\mathrm{D}_{0}$ be a singular position of the line $\mathrm{D}$, that is to say a position such that $\mathrm{D}_{0}$ touches $\mathrm{S}$; we shall suppose that $\mathrm{D}$ turns around $\mathrm{D}_{0}$ while deviating very little from it; then two singular values $y_{1}$ and $y_{2}$ will remain very little different from each other and will interchange between themselves. The cuts $\mathrm{Q}_{1}$ and $\mathrm{Q}_{2}$, initially rectilinear, will deform in a continuous manner and will be replaced by curvilinear cuts terminating, the first at $y_{2}$, the second at $y_{1}$, since these two singular values have interchanged. Examination of this deformation would show that the integers $\lambda_{1}$ and $\lambda_{2}$ have interchanged, and as the curve $\mathrm{C}$ must not have changed, one must conclude that $\lambda_{1} = \lambda_{2}$. As, in general, by varying $\mathrm{D}$ in a continuous manner so as to bring this line back to its initial position, one can pass from one singular value to any other singular value, one might be tempted to conclude that all the $\lambda_{k}$ are equal to one another. That would be an error; the integers $\lambda$ relative to two rectilinear cuts terminating at two singular values on the point of interchanging are equal; but in varying $\mathrm{D}$, it happens that one of these values, $y_{2}$ for example, is on the point of interchanging with a third singular value $y_{3}$; the cuts $\mathrm{Q}_{k}$ will not have remained rectilinear, and if we replace them by new rectilinear cuts $\mathrm{Q}'_{k}$, the values of the integers $\lambda$ will be modified. If then $\lambda_{2}$ and $\lambda_{3}$ are the integers relative to $\mathrm{Q}_{2}$ and to $\mathrm{Q}_{3}$, and $\lambda'_{2}$ and $\lambda'_{3}$ the integers relative to $\mathrm{Q}'_{2}$ and to $\mathrm{Q}'_{3}$, one will have, not $\lambda_{2} = \lambda_{3}$, but $\lambda'_{2} = \lambda'_{3}$. A more detailed study of the variations of these integers might present some interest.

6. — Equations of Curves $\mathrm{C}$.

To form the equation of the curve $\mathrm{C}$ which corresponds to a given system $v_{i}$ of normal functions and which cuts $\mathrm{K}_{y}$ in $p$ variable points, one can employ the following procedure.

Let $\mathrm{P} = 0$, $\mathrm{Q} = 0$ be the equations of two arbitrary planes; let $\mathrm{M}_{1}$,

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$\mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$ be the $p$ moving points of intersection of $\mathrm{C}$ and $\mathrm{K}_{y}$; let $\mathrm{P}_{i}$ and $\mathrm{Q}_{i}$ be the results of substituting the coordinates of $\mathrm{M}_{i}$ into $\mathrm{P}$ and into $\mathrm{Q}$; we shall consider the following product : \[ \frac{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}\ldots\mathrm{P}_{p}}{\mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{2}\ldots\mathrm{Q}_{p}} = \mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}). \] It is a symmetric function of the coordinates of $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$, and as the coefficients of the two polynomials $\mathrm{P}$ and $\mathrm{Q}$ are arbitrary, all the other symmetric functions can be deduced from it. This product $\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C})$ is evidently a function of $y$, and it depends also on the curve $\mathrm{C}$.

Let $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{B}_{2}, \ldots, \mathrm{B}_{n}$ be the points of intersection of $\mathrm{P} = 0$ with $\mathrm{K}_{y}$; let $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \ldots, \mathrm{C}_{n}$ be those of $\mathrm{Q} = 0$ with $\mathrm{K}_{y}$. Let $b_{i}^{k}$ and $c_{i}^{k}$ be the values of the integral $u_{i}$ at the point $\mathrm{B}_{k}$ and at the point $\mathrm{C}_{k}$; one will have by virtue of Abel's theorem \[ \sum b_{i}^{k} = \sum c_{i}^{k} = \sum a_{i}^{k}. \tag{3} \]

Let us consider the expression \[ \frac{\prod \Theta_{0}(v_{i} - b_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta_{0}(v_{i} - c_{i}^{k} - h_{i})} = \mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}). \] One has, of course, $v_{i} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p}$ and the product indicated by the sign $\Pi$ must be extended to all the $b_{i}^{k}$ for the numerator, and to all the $c_{i}^{k}$ for the denominator. If one considers for a moment $y$ as given, and varies the curve $\mathrm{C}$, that is to say the points $\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{p}$ on the curve $\mathrm{K}_{y}$, one sees what the condition is for $\mathrm{G}$ to vanish or become infinite; it will vanish when : \[ v_{i} - b_{i}^{k} = u_{i}^{1} + u_{i}^{2} + \ldots + u_{i}^{p-1}, \] that is to say when the point $\mathrm{M}_{p}$ comes to $\mathrm{B}_{k}$, that is to say when one of the points $\mathrm{M}$ coincides with one of the points $\mathrm{B}$, that is to say when one of the $\mathrm{P}_{i}$ vanishes. Similarly, $\mathrm{G}$ will become infinite when one of the $\mathrm{Q}_{i}$ vanishes. Therefore $\mathrm{G}$

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and $\mathrm{H}$ become zero or infinite at the same time; therefore they differ only by a constant factor. One has therefore \[ \frac{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C})}{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C})} = \frac{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}_{0})}{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}_{0})}, \] $\mathrm{C}_{0}$ being another curve; we shall take a curve reducing to $p$ times the point $\mathrm{A}_{1}$, so that one will have for $\mathrm{C}_{0}$ \[ v_{i} = p a_{i}^{1} = 0, \] \[ \mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}_{0}) = \frac{\prod \Theta_{0}(- b_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta_{0}(- c_{i}^{k} - h_{i})}, \qquad \mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}_{0}) = \left(\frac{\mathrm{P}_{0}}{\mathrm{Q}_{0}}\right)^{p}, \] $\mathrm{P}_{0}$ and $\mathrm{Q}_{0}$ being the results of substituting the coordinates of $\mathrm{A}_{1}$ into $\mathrm{P}$ and $\mathrm{Q}$. I propose to show that if the $v_{i}$ are normal functions, the ratio \[ \frac{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C})}{\mathrm{H}(y,\, \mathrm{C}_{0})} = \frac{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C})}{\mathrm{G}(y,\, \mathrm{C}_{0})} \] is a rational function of $y$; I say first that it is a single-valued function of $y$; this is what one sees immediately, on recalling that it is equal to \[ \frac{\mathrm{P}_{1}\mathrm{P}_{2}\ldots\mathrm{P}_{p}}{\mathrm{Q}_{1}\mathrm{Q}_{2}\ldots\mathrm{Q}_{p}}\left(\frac{\mathrm{Q}_{0}}{\mathrm{P}_{0}}\right)^{p}. \] It is moreover an algebroid function of $y$ : indeed, it is equal to \[ \frac{\prod \Theta_{0}(v_{i} - b_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta_{0}(- c_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta_{0}(v_{i} - c_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta_{0}(- b_{i}^{k} - h_{i})}. \] For ordinary values of $y$, as well as for critical values of both kinds, one would see as in Section 3 that it is a meromorphic function; one must also consider separately the values for which two of the $b_{i}^{k}$ (or of the $c_{i}^{k}$) interchange with each other; for these values, the $b_{i}^{k}$ are algebroid functions of $y$, and since our expression is symmetric with respect to the $b_{i}^{k}$, it remains meromorphic in $y$.

There remain singular values; we have seen that the $\omega_{ki}$, the $v_{i}$, the $b_{i}^{k}$, the $h_{i}$ become logarithmically infinite for a singular value, and it was concluded in Section 3 that the $\Theta_{0}$ remain algebroid. When $y$ turns around a singular value, the arguments of the $\Theta_{0}$ may increase by a half-period, and at the same time the periods may be replaced by an equivalent system.

Each of the $\Theta_{0}$ changes into $e^{\mathrm{P}}\Theta$, $\mathrm{P}$ being a polynomial of the first degree, and

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$\Theta$ one of the $2^{2p}$ functions $\Theta$; the exponentials cancel and our product becomes \[ \frac{\prod \Theta(v_{i} - b_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta(- c_{i}^{k} - h_{i})}{\prod \Theta(v_{i} - c_{i}^{k} - h_{i})\,\Theta(- b_{i}^{k} - h_{i})}. \] As it must be a single-valued function of $y$, the function $\Theta$ must not differ from $\Theta_{0}$. We saw at the end of Section 4 the condition for this to be so. This proves therefore that $2h_{i}$ is a normal function for which all the integers $\lambda$ are odd.

In summary, our ratio is a function of $y$ that is single-valued and algebroid. It is therefore meromorphic for all finite values of $y$. It is therefore rational.

These procedures may well show that the curve $\mathrm{C}$ is algebraic, but not make its degree known; I think it necessary therefore also to indicate another analysis, similar to that of Section II of the cited Memoir. Let \[ u_{i} = \int \frac{\mathrm{P}_{i} dx}{\mathrm{Q}\mathrm{F}'_{z}} \] which is an integral of the first kind; we shall set \[ \mathrm{U}_{i} = \frac{\partial u_{i}}{\partial y} = \int \left[ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\mathrm{P}_{i}}{\mathrm{Q}\mathrm{F}'_{z}}\right)\mathrm{F}'_{z} - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\mathrm{P}_{i}}{\mathrm{Q}\mathrm{F}'_{z}}\right)\mathrm{F}'_{y} \right] \frac{dx}{\mathrm{F}'_{z}}. \] I write $\frac{\partial u_{i}}{\partial y}$ with round $\partial$ to express that I have differentiated with respect

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to $y$, $x$ being assumed constant and $z$ connected to $y$ and $x$ by the equation of the surface (one assumes moreover $t = 1$). One sees that $\mathrm{U}_{i}$ is an abelian integral of the second kind. Similarly, the partial derivative $\frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial y}$ is an abelian integral of the second kind; now any abelian integral of the second or first kind can be expressed by a linear function of $2p$ among them, plus a rational function; we shall therefore have \[ \frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial y} = \sum \rho_{ik} u_{k} + \sum \rho'_{ik} \mathrm{U}_{k} + \mathrm{H}, \] $\mathrm{H}$ being a rational function of $x, y, z$ and the $\rho$ and $\rho'$ rational functions of $y$. Suppose now that the point $(x, y, z)$, the upper limit of our integral, instead of moving in such a way that $x = \mathrm{const.}$, moves on the curve $\mathrm{C}$; we shall have \[ \frac{du_{i}}{dy} = \frac{\partial u_{i}}{\partial y} + \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\frac{dx}{dy}, \qquad \frac{d\mathrm{U}_{i}}{dy} = \frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial y} + \frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial x}\frac{dx}{dy}. \] It will be remarked that $\frac{\partial u_{i}}{\partial x}$ and $\frac{\partial \mathrm{U}_{i}}{\partial x}$ are rational functions of $x, y, z$; they are the quantities under the sign $\displaystyle\int$ of the abelian integrals $u_{i}$ and $\mathrm{U}_{i}$. We find, similarly, \[ \frac{d^{2}u_{i}}{dy^{2}} = \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial y^{2}} + 2 \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x \partial y}\frac{dx}{dy} + \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} + \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\frac{d^{2}x}{dy^{2}}. \] The partial derivatives $\frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x \partial y}$ are likewise rational functions of $x, y, z$. From this one deduces \[ \frac{d^{2}u_{i}}{dy^{2}} - \sum \rho_{ik} u_{k} - \sum \rho'_{ik}\frac{du_{k}}{dy} = \frac{dx}{dy}\left[ 2 \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x \partial y} - \sum \rho'_{ik}\frac{\partial u_{k}}{\partial x} \right] + \frac{\partial^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}\left(\frac{dx}{dy}\right)^{2} + \frac{\partial u_{i}}{\partial x}\frac{d^{2}x}{dy^{2}} + \mathrm{H}. \tag{4} \] The first member of (4) may be called $\Delta_{i}(u_{i})$, the symbol $\Delta_{i}$ having thus a meaning different from that which we have attributed to it up to here. As for the second member, which we shall write $\Phi_{i}\left(x,\, y,\, z,\, \frac{dx}{dy},\, \frac{d^{2}x}{dy^{2}}\right)$, it is a rational function of the arguments on which it depends; $z$ is moreover connected to $x$ and $y$ by the equation of the surface.

One will then have for our curve $\mathrm{C}$ \[ \Delta_{i}(v_{i}) = \Phi_{i}^{1} + \Phi_{i}^{2} + \ldots + \Phi_{i}^{p}, \] where $\Phi_{i}^{k}$ is the result of substituting in $\Phi$ the coordinates of the point $\mathrm{M}_{k}$

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in place of $x, y, z$, as well as the corresponding values of the derivatives $\frac{dx}{dy}$ and $\frac{d^{2}x}{dy^{2}}$.

One has, moreover, \[ \Delta_{i}(\omega_{ki}) = 0 \] and this is one form of the differential equations that define the periods. When $y$ describes a closed contour, $v_{i}$ increases by a period, say $\omega_{ki}$; then $\Delta_{i}(v_{i})$ changes into $\Delta_{i}(v_{i}) + \Delta_{i}(\omega_{ki})$, that is to say it does not change. Therefore $\Delta_{i}(v_{i})$ is a single-valued function of $y$; we would see as in Section 3 that it is a rational function of $y$ of bounded degree; let $\mathrm{R}_{i}(y)$ be this rational function; we shall then have \[ \sum \Phi_{i}^{k} = \mathrm{R}_{i}(y). \tag{5} \] These are differential equations that define the $x$ as functions of $y$, that is to say which define the equation of the curve $\mathrm{C}$. These equations are $p$ in number, since the index $i$ can take $p$ values; and the same holds for the unknowns $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}$.

Knowing that these differential equations have an algebraic integral, it would not be difficult to determine its degree.

7. — Elimination of Critical Values of the Second Kind.

The existence of rational normal functions entails, on the one hand, the existence of an algebraic and non-linear system of algebraic curves, and on the other hand, that of abelian integrals of total differentials of the first kind. This is the theorem of Castelnuovo, Enriques, and Severi. I do not have to reproduce here the proof that I gave of it in the cited Memoir. I confine myself to recalling the result. In this case, the curve $\mathrm{K}_{y}$ possesses $q$ reducible abelian integrals of the first kind, that is to say possessing only $2q$ distinct periods. Let $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{q}$ be these integrals; it is known that if a curve of genus $p$ admits $q$ reducible integrals, it will admit $p - q$ others, possessing only $2p - 2q$ distinct periods. I call these $p - q$ integrals : $u_{q+1}, u_{q+2}, \ldots, u_{p}$. This corresponds to a particular choice of the integrals $u_{i}$; I assume another choice of these integrals, without subjecting myself to any condition, and I then call $u'_{1}, u'_{2}, \ldots, u'_{p}$ my $p$ integrals of the first kind; if there exists a $q$-fold infinite system of rational normal functions, $v'_{i}$, we shall have between them $p - q$ linear relations of the form \[ \sum \alpha_{ki} v'_{i} = 0 \qquad (k = q + 1,\, q + 2,\, \ldots,\, p), \]

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the $\alpha_{ki}$ being rational functions of $y$. Then the integrals \[ u_{k} = \sum \alpha_{ki} u'_{i} \qquad (k = q + 1,\, q + 2,\, \ldots,\, p), \] will be $p - q$ reducible integrals. This entails the existence of an algebraic $q$-fold infinite system of algebraic curves corresponding to our system of rational normal functions and, on the other hand, the existence of $q$ other reducible integrals $u_{k} = \displaystyle\sum \alpha_{ki} u'_{i}$ ($k = 1, 2, \ldots, q$), the $\alpha_{ki}$ being still rational functions of $y$. We can choose these new functions $\alpha_{ki}$ in such a way that the normal functions $\displaystyle\sum \alpha_{ki} v'_{i}$ reduce to constants. In this case the integrals $u_{k}$ are integrals of total differentials of the first kind.

There is another point to which I should like to return in greater detail. I stated at the end of Section 1, and I should now like to prove, a theorem according to which it is impossible that there exist integrals devoid of critical values of the first kind, in the sense of the end of Section 1, so long as there exist critical values of the second kind. Let indeed $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{\nu}$ be the critical values of the second kind and \[ \mathrm{Q} = (y - y_{1})(y - y_{2})\ldots(y - y_{\nu}). \] Let $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{q}$ be $q$ integrals devoid of critical values of the first kind, in the sense of the end of Section 1, so that for any critical value of the first kind one has a linear relation \[ \alpha_{q+1} v_{q+1} + \alpha_{q+2} v_{q+2} + \ldots + \alpha_{p} v_{p} = 0, \] where there appear only the functions $v$ of index greater than $q$. The functions $v$ of index less than or equal to $q$ are therefore subject to no condition relating to critical values of the first kind. We shall therefore obtain a system of normal functions by writing \[ v_{q+1} = v_{q+2} = \ldots = v_{p} = 0, \qquad v_{i} = \frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}} \qquad (i = 1,\, 2,\, \ldots,\, q), \] $\mathrm{X}_{i}$ being an arbitrary polynomial of degree $\nu$ in $y$; I shall call $\gamma$ the coefficients of these polynomials $\mathrm{X}$. These coefficients are $q(\nu + 1)$ in number; our system of normal functions is therefore $q(\nu + 1)$-fold infinite.

Let now $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{\nu+1}$ be $\nu + 1$ values of $y$, ordinary, but otherwise arbitrary. Let $\mathrm{C}$ be the curve corresponding to determinate values

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of the coefficients $\gamma$; let $\mathrm{M}_{k1}$, $\mathrm{M}_{k2}$, …, $\mathrm{M}_{kp}$ be the $p$ moving points of intersection of $\mathrm{C}$ with the plane $y = a_{k}$. Let $\xi_{1ki}, \xi_{2ki}, \xi_{3ki}$ be the three coordinates of the points $\mathrm{M}_{ki}$. The $\xi$ are $3p(\nu+1)$ in number. If we consider them as the coordinates of a point $\mathrm{N}$ in $3p(\nu+1)$-dimensional space and if we vary the $\gamma$, this point will remain on an algebraic variety $\mathrm{V}$ of $q(\nu+1)$ dimensions.

Instead of the $\xi$ we may consider a system of symmetric functions of \[ \xi_{hk1}, \quad \xi_{hk2}, \quad \dots, \quad \xi_{hkp}. \] Let $\eta$ be these symmetric functions, which I shall take to be $3p(\nu+1)$ in number; if we consider the $\eta$ as the coordinates of a point $\mathrm{N}'$ in $3p(\nu+1)$-dimensional space, when the $\eta$ vary, this point will describe an algebraic variety $\mathrm{V}'$ of $q(\nu+1)$ dimensions. To every point of $\mathrm{V}'$ there will correspond a system of values of the $\eta$, and conversely. When the point $\mathrm{N}'$ describes a closed curve on $\mathrm{V}'$, the $\gamma$ will reproduce themselves up to a period; I make this precise :

If the point $\mathrm{N}'$ is given, the points $\mathrm{M}_{ki}$ are determined : this determines up to a period the values of the $v_{i}$ for \[ y = a_{1}, \qquad y = a_{2}, \qquad \dots, \qquad y = a_{\nu+1}; \] when the $v_{i}$ are known, one has linear equations, whose determinant is not zero, and which completely determine the coefficients $\gamma$. When the point $\mathrm{N}'$ describes a closed contour, the values of the $v_{i}$ for $y = a_{j}$, for example, increase by a quantity $\Omega_{ji}$ which is equal to a period of the abelian integral $u_{i}$ for $y = a_{j}$. The $\gamma$ increase by $\varepsilon$ and the normal functions $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}}$ change into $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}} + \frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$, where the polynomial $\mathrm{X}'_{i}$ differs from the polynomial $\mathrm{X}_{i}$ by the substitution of the coefficients $\varepsilon$ for the coefficients $\gamma$; the coefficients $\varepsilon$ will then be determined by the equations \[ \frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}} = \Omega_{ji} \qquad \text{for } y = a_{j}. \]

These $\varepsilon$ are the periods of the $\gamma$, since they are the quantities by which the $\gamma$ increase when $\mathrm{N}'$ describes a closed contour.

I say now that $\frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$ is, whatever $y$ may be, a period of $u_{i}$. Indeed, the system of curves $\mathrm{C}$, defined by our rational normal functions, is an algebraic system. Therefore, either a point $\mathrm{N}'$ defines a finite number of

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curves $\mathrm{C}$, or else a continuous infinity of curves $\mathrm{C}$; this latter hypothesis must be rejected; we have seen, indeed, that the point $\mathrm{N}'$ defines the $v$ up to a period; it defines therefore a discrete infinity of systems of values of the $\gamma$ and, consequently, a discrete multiplicity, finite or infinite, of curves $\mathrm{C}$. Now, one can change $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}}$ into $\frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}} - \lambda \frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$, $\lambda$ being any integer; we must find in this way only a finite number of curves $\mathrm{C}$; that is possible only if, whatever $y$ may be moreover, the expression $\frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$ is equal to a submultiple of a period, say $\frac{h}{h'}\varpi_{ki}$, $h$ and $h'$ being integers. When one varies $y$ in a continuous manner, the integers $h$ and $h'$, which could vary only by abrupt jumps, will remain constant. But for $y = a_{j}$, $\frac{h}{h'}$ is an integer; therefore this is true for every value of $y$; therefore $\frac{\mathrm{X}'_{i}}{\mathrm{Q}}$ is a period, whatever the value of $y$ may be. \hfill q. e. d.

For $i = q+1, q+2, \dots, p$, one can still set $v_{i} = \frac{\mathrm{X}_{i}}{\mathrm{Q}}$, but this time all the coefficients of $\mathrm{X}_{i}$ will be constrained to be zero. Therefore the corresponding $\varepsilon$ will be zero as well. Therefore to each period of the $\gamma$ corresponds a period of the $u_{i}$, which is a rational function of $y$ for $i \le q$, and which is zero for $i > q$.

If now we are given the $\gamma$, the $\eta$ will be manifestly determined; they are therefore single-valued functions of the $\gamma$. On the other hand, the $v_{i}$ and, consequently, the $\gamma$ are always finite.

If we represent the real and imaginary parts of the $q(\nu+1)$ coefficients $\gamma$ in $2q(\nu+1)$-dimensional space, we can construct the prismatoid of periods. This prismatoid must be bounded, since the $\gamma$ cannot become infinite; therefore there are $2q(\nu+1)$ distinct periods.

There would therefore be $2q(\nu+1)$ periods of the $p$ abelian integrals $u_{i}$ that would be zero for $p-q$ of these integrals (those where $i > q$).

Let us form the determinant of the real and imaginary parts of the $2p$ periods of our $p$ integrals. In the last $2p - 2q$ rows of this determinant, the elements of the last $2q(\nu+1)$ columns will be zero. The determinant will therefore be zero if \[ (2p - 2q) + 2q(\nu+1) > 2p \]

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that is to say if $\nu$ is not zero. Now we know that such a determinant cannot vanish for a non-degenerate curve of genus $p$; it is therefore necessary that $\nu = 0$, that is to say that there be no critical value of the second kind. This is what we wished to establish.

Applying the reasoning of Section 1, we see therefore that it will always be possible to eliminate the critical values of the second kind.

This is what we can express by saying that one can always make pass through the double curve $p$ distinct surfaces of order $n-2$, not considering as distinct the surfaces $f_{1}=0$, $f_{2}=0$, …, $f_{p}=0$ if there is between the left-hand sides an identical linear relation whose coefficients are homogeneous entire polynomials in $y$ and $t$.