Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un.

Geometric Studies of Some Properties of Two Surfaces Whose Points Correspond One-to-One

Hieronymus Georg Zeuthen · 1871 · Mathematische Annalen, vol. 4, pp. 21–49 · AI draft — Machine output, not yet human-checked. Treat it as a working draft and check anything that matters against the scan. How review levels work →

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Significance

Twenty-nine pages in the fourth volume of the Mathematische Annalen (1871) in which Hieronymus Georg Zeuthen lays the geometric foundations of the birational theory of algebraic surfaces. Where ClebschA. Clebsch, "Sur les surfaces algébriques", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences 67 (1868), pp. 1238–1239, where the geometric genus $p_g$ is first announced. had defined the genus through an unproved count of coefficients in adjoint surfaces and NoetherM. Noether, "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechen algebraischer Gebilde von beliebig vielen Dimensionen", Mathematische Annalen 2 (1870), pp. 293–316. had established it through integrals of algebraic differential forms, Zeuthen attacks birational equivalence from a purely synthetic and projective direction. Taking two surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$ whose points correspond one-to-one, he studies the curves $(S_1)$ on $[F_1]$ that correspond to the plane sections of $[F_2]$, tracing the exceptional fundamental points where the correspondence ceases to be single-valued. To compare the two surfaces without embedding the transformation into a Cremona transformation of ambient space, Zeuthen invents auxiliary surfaces $[F_3]$ and $[F_4]$ generated by bundles of rays and pencils of planes. By computing the Plücker characteristics of cones circumscribed about these auxiliary surfaces in two different ways—once from the geometry of $[F_1]$ and once from $[F_2]$—and equating the results, Zeuthen extracts fundamental invariant relations between the order, class, and singularities of the two surfaces. In his Equation (III), he discovers a numerical combination of characters that is preserved under any one-to-one correspondence, minus the contribution of the fundamental points. This is the birth of what Corrado Segre in 1896 named the Zeuthen invariantC. Segre, "Intorno ad un carattere geometrico dei sistemi di curve e di superficie", Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino 31 (1896), pp. 485–501. (today the Zeuthen–Segre invariant $I$).In modern algebraic geometry, the Zeuthen–Segre invariant $I$ is related to the topological Euler characteristic $e(S) = c_2(S)$ of the smooth algebraic surface $S$ by $I = e(S) - 4$. In terms of the arithmetic genus $p_a$ and the self-intersection of the canonical divisor $K^2$, Noether's formula gives $12(p_a + 1) = K^2 + e(S)$, so that $I = 12(p_a + 1) - K^2 - 4$. Zeuthen demonstrates that subtracting 24 from this invariant yields 24 times Cayley's deficiency (the arithmetic genus)A. Cayley, "On the deficiency of certain surfaces", Mathematische Annalen 3 (1871), pp. 549–552; in this corpus as cayley-1871-deficiency-surfaces., providing the first geometric proof of Clebsch's theorem that birationally equivalent surfaces have the same genus. In a closing section, Zeuthen extends his methods to branched multiple planes, introducing the branch curve (courbe de liaison) and proving the formula connecting its order to the genus of the covering, the direct precursor to the Zeuthen–Hurwitz formula.

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Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un.

Par H. G. Zeuthen à Copenhague.

I. Remarques préliminaires${}^{*)}$.

1. Nous appellerons les deux surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$, et nous donnerons aux nombres de leurs singularités les notations indiquées au commencement du précédent article, en y ajoutant seulement, pour distinguer celles des deux surfaces, les suffixes 1 et 2. Nous désignerons encore par $p_1$ et $p_2$ les genres des sections planes de $[F_1]$ et de $[F_2]$, de façon que pour chacune des surfaces \[ 2(p - 1) = n(n - 3) - 2b - 2c = a + c - 2n. \tag{1} \]

2. Aux deux points de l'une des surfaces qui coïncident dans un même point de sa courbe double, correspondent en général, sur l'autre surface, deux points différents, et le lieu de ces points est une courbe qui correspond à la courbe double. Nous désignerons la courbe double de $[F_1]$ par $(B_1)$, la courbe qui y correspond sur $[F_2]$ par $(B_{1, 2})$ et l'ordre de cette dernière courbe par $b_{1, 2}$, et nous appliquerons les notations analogues $(B_{2, 1})$ et $b_{2, 1}$ à la courbe de $[F_1]$ qui correspond à la courbe double $(B_2)$ de $[F_2]$. — S'il y a sur les deux surfaces des courbes doubles qui se correspondent, deux branches de la courbe $(B_{1, 2})$ coïncideront dans l'une et deux branches de $(B_{2, 1})$ coïncideront dans l'autre de ces deux courbes doubles correspondantes.

3. Courbes cuspidales (3—5). A une courbe cuspidale de l'une des surfaces peut correspondre sur l'autre ou une courbe simple ou une courbe cuspidale, mais nous supposerons que seulement le premier de ces deux cas a lieu pour nos surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$, et nous désignerons

*) Nous renvoyons pour une partie de ces remarques préliminaires aux démonstrations analytiques dans un mémoire de Mr. Nöther, Mathematische Annalen, 2. Bd. 294—298.

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par $(C_{1, 2})$ la courbe simple de $[F_2]$ qui correspond à la courbe cuspidale $(C_1)$ de $[F_1]$, et par $(C_{2, 1})$ la courbe simple de $[F_1]$ qui correspond à la courbe cuspidale $(C_2)$ de $[F_2]$. Les ordres de ces deux courbes seront nommés $c_{1, 2}$ et $c_{2, 1}$.

Pour nous rendre compte des propriétés de la surface $[F_2]$ à un point de $(C_{1, 2})$, nous regarderons la courbe cuspidale $(C_1)$ à laquelle elle correspond comme limite d'une courbe double $(B_1)$. Si nous désignons par $P_{1, 2}$ et $P'_{1, 2}$ les deux points de la courbe correspondante $(B_{1, 2})$ qui correspondent aux deux points de $[F_1]$ qui se trouvent dans un même point $P_1$ de la courbe double $(B_1)$, on voit qu'une courbe sur $[F_2]$ qui passe par tous les deux points $P_{1, 2}$ et $P'_{1, 2}$ correspond à une courbe sur $[F_1]$ qui a $P_1$ pour point double, mais que les courbes sur $[F_2]$ qui passent seulement par un des points $P_{1, 2}$ et $P'_{1, 2}$ correspondent à des courbes dont une seule branche passe par $P_1$. Si la courbe double $(B_1)$ tend à devenir cuspidale, les points $P_{1, 2}$ et $P'_{1, 2}$ tendront à coïncider. La courbe $(C_{1, 2})$ qui correspond à la courbe cuspidale $(C_1)$ sera donc la limite de deux branches coïncidentes de $(B_{1, 2})$, et comme la droite $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$ qui joignait les deux points de $(B_{1, 2})$ qui correspondaient à un même point de $(B_1)$ doit avoir une limite déterminée, il y aura par chaque point $P_{1, 2}$ de $(C_{1, 2})$ une direction qui joint les deux points infiniment voisins qui correspondent à un même point de la courbe cuspidale $(C_1)$. Les autres directions par $P_{1, 2}$ joignent seulement des points des deux branches de $(B_{1, 2})$, coïncidant dans $(C_{1, 2})$, qui correspondent à des points de $(C_1)$ infiniment voisins l'un de l'autre. A une courbe sur $[F_2]$ qui à $P_{1, 2}$ est tangente à la première direction $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$ correspond sur $[F_1]$ une courbe douée d'un point cuspidal au point $P_1$; mais aux autres courbes qui sur $[F_2]$ passent par $P_{1, 2}$ correspondent des courbes tangentes à $(C_1)$.

4. En regardant une courbe sur $[F_2]$ tangente à $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$ et la courbe correspondante sur $[F_1]$, on voit que les parties de $[F_2]$ qui se trouvent des deux côtés de $(C_{1, 2})$ correspondent respectivement aux deux nappes de $[F_1]$ qui sont réunies à la courbe cuspidale $(C_1)$, et que, par conséquent, aussi les courbes par $P_1$ et sur $[F_1]$ dont les correspondantes ne sont pas tangentes à $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$, passent en général de l'une des deux nappes à l'autre${}^{*)}$. Une courbe par $P_1$ et sur $[F_1]$ ne reste sur la même nappe que dans le cas où la correspondante sur

*) En général, une courbe qui se trouve sur une surface douée d'une courbe cuspidale $(C)$, passe de l'une des nappes à l'autre au cas où elle a un contact biponctuel avec $(C)$, et reste sur la même nappe au cas d'un contact quatreponctuel, ce qu'on peut prouver ou directement ou au moyen de la représentation dont nous nous occupons.

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$[F_2]$ est tangente à $(C_{1, 2})$ — ou a $P_{1, 2}$ pour point cuspidal, — et alors elle aura avec $(C_1)$ un contact quatreponctuel.

Ces considérations nous montrent que les courbes sur $[F_1]$ qui passent par $P_1$, ont, au moins, un contact triponctuel (osculation) avec une surface qui est tangente à $[F_1]$ le long de la courbe cuspidale $(C_1)$ ou qui seulement au point $P_1$ est osculatrice à $(C_1)$ et tangente à $[F_1]$. Désignons par $[G]$ une surface satisfaisant à ces conditions.

5. A l'exception des courbes tangentes à la direction particulière $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$, toute courbe par le point $P_{1, 2}$ et sur $[F_2]$ a donc pour correspondante sur $[F_1]$ une courbe tangente à $(C_1)$ à un même point $P_1$ et osculatrice à la surface $[G]$. Les deux courbes sur $[F_1]$ qui correspondent à deux courbes par $P_{1, 2}$ auront donc, en général, deux points communs coïncidant au point $P_1$. Elles en auront un troisième au cas où les deux courbes sur $[F_2]$ se touchent à $P_{1, 2}$. Par conséquent, à deux courbes sur $[F_2]$ qui ont un contact au point $P_{1, 2}$, correspondent sur $[F_1]$ deux courbes qui ont au point $P_1$ le même plan osculateur. — La proposition réciproque ne serait pas vraie; car bien que deux courbes sur $[F_1]$ qui ont au point $P_1$ le même plan osculateur aient aussi la même courbure (celle de la section faite par le plan osculateur à la surface $[G]$), et qu'elles aient par conséquent trois points communs coïncidents au lieu de deux, le troisième peut sur les deux courbes appartenir à des nappes différentes. On voit donc que les courbes par $P_1$ et sur $[F_1]$ qui ont le même plan osculateur, n'ont pour correspondantes des courbes tangentes à une même direction par $P_{1, 2}$ que dans le cas où leurs arcs situés du même côté de $P_1$ se trouvent sur la même nappe. Par conséquent, les courbes sur $[F_2]$ dont les correspondantes ont le même plan osculateur au point $P_1$, sont tangentes à l'une ou à l'autre de deux directions par $P_{1, 2}$. Le faisceau formé par ces couples de directions est en involution.

Les directions d'une même couple ne coïncident que dans les cas où le plan osculateur, qui passe toujours par la tangente de la courbe cuspidale $(C_1)$ au point $P_1$, y est ou osculateur à la courbe $(C_1)$ ou tangent à la surface $[F_1]$. Elles coïncident au premier cas avec la tangente à la courbe $(C_{1, 2})$ et, au second, avec la direction particulière $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$${}^{*)}$.

En appliquant ces considérations à une section plane faite à la surface $[F_1]$ par un plan passant par la tangente de la courbe $(C_1)$ au

*) Ces propriétés subiront des altérations lorsque le plan tangent de $[F_1]$ au point $P_1$ est aussi osculateur à la courbe $(C_1)$. Alors les différentes directions par $P_{1, 2}$ correspondront aux différentes courbures des courbes sur $[F_1]$, qui auront le même plan osculateur. — Un autre cas exceptionnel se présentera lorsque le point $P_{1, 2}$ est un des points, dits fondamentaux, dont nous allons parler dans le nᵒ 6. Alors toutes les courbes par $P_1$ et sur $[F_1]$ auront pour correspondantes des courbes ayant une tangente commune au point $P_{1, 2}$.

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point $P_1$, on voit que la courbe correspondante sur $[F_2]$ a, en général, un point double au point $P_{1, 2}$, que ce point double devient cuspidal au cas où le plan est osculateur à $(C_1)$ ou tangent à $[F_1]$, et que dans ces cas la tangente au point cuspidal est tangente, respectivement, à la courbe $(C_{1, 2})$ ou à la direction $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$.

Il va sans dire que la surface $[F_1]$ a, à un point de $(C_{2, 1})$, des propriétés analogues à celles de $[F_2]$ à un point de $(C_{1, 2})$.

6. Points fondamentaux (6—7). Il y aura en général sur les deux surfaces des points dont les homologues restent indéterminés, de façon que tous les points d'une courbe correspondent à un de ces points. On les appelle les points fondamentaux ou principaux. Tout point dont on trouve plus d'un point correspondant doit être un point fondamental. A un point infiniment voisin d'un point fondamental correspond un point infiniment voisin de la courbe correspondante. Comme le point infiniment voisin détermine une direction par le point fondamental, les directions par ce point correspondent aux points de la courbe correspondante. A une courbe $(T_1)$ qui sur une des surfaces $[F_1]$ passe $\lambda$ fois par un de ses points fondamentaux $D_1$, correspond sur l'autre surface $[F_2]$ une courbe composée de la courbe $(D_{1, 2})$ qui correspond au point fondamental et d'une autre courbe $(T_{1, 2})$ qui rencontre $(D_{1, 2})$ aux $\lambda$ points correspondant aux directions des tangentes de $(T_1)$ au point $D_1$. Tout autre point de rencontre de $(D_{1, 2})$ et de $(T_{1, 2})$ sera — à moins que l'intersection ne soit due seulement à une multiplicité de $[F_2]$ à ce point — un point fondamental de $[F_2]$; car il correspond à la fois à $D_1$ et à un autre point de $[F_1]$.

Les tangentes d'une surface à un point fondamental forment un plan tangent si le point est simple, et un cône s'il est conique. Il faut dans le premier cas que la courbe correspondante de l'autre surface, dont les points correspondent aux directions des tangentes au point fondamental, soit du genre zéro, et dans le second, qu'elle soit du même genre que le cône tangent.

7. Afin de ne pas étendre trop nos recherches nous supposerons qu'il n'y ait sur aucune des deux surfaces aucun point fondamental doué d'une direction fondamentale, c'est-à-dire un point où toutes les courbes dont les correspondantes rencontrent une courbe fixe sur l'autre surface, sont tangentes à une même direction. Cette restriction nous défendra d'attribuer aux cônes tangents aux points fondamentaux coniques d'autres génératrices doubles ou cuspidales que $1^0$ celles qui y sont tangentes à la courbe double ou cuspidale, et $2^0$ celles qui correspondent à des points doubles ou cuspidaux de la courbe correspondant au point fondamental${}^{*)}$.

*) En effet, dans la direction d'une génératrice double du cône tangent à un point multiple qui n'est pas tangente à la courbe double, il n'y a qu'un seul point

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Nous commencerons par supposer que tous les points coniques des surfaces soient fondamentaux, et nous montrerons après que les résultats obtenus s'appliquent aussi à des cas où il y a sur les deux surfaces des points coniques qui se correspondent. De l'autre côté, nous appliquerons les notations $\mu$, $v$, $y$, $\eta$, $z$, $\xi$ non seulement aux points coniques, mais aussi aux points fondamentaux simples ($\mu = 1$, $v = \text{etc.} = 0$). Nous supposerons qu'il n'y ait aucun point fondamental qui se trouve à un point-pince ou à un point non-conique d'une courbe cuspidale${}^{*)}$. Pour le moment nous supposerons encore que les surfaces ne soient pas douées de points-clos ($\chi = 0$).

Nous désignerons par $\mu_{1, 2}$ l'ordre et par $\nu_{1, 2}$ la classe de la courbe $(D_{1, 2})$ qui sur $[F_2]$ correspond à un point fondamental $D_1$ de $[F_1]$; la courbe $(D_{1, 2})$ a, suivant les suppositions déjà faites, $\eta_1$ points doubles et $\xi_1$ points cuspidaux correspondant aux génératrices doubles et cuspidales du cône tangent au point $D_1$ qui ne sont pas tangentes à la courbe double et à la courbe cuspidale, et nous lui attribuerons encore $y_{1, 2}$ points doubles, apparents et propres, et $z_{1, 2}$ points cuspidaux${}^{**)}$. Alors on a, en désignant encore par $\pi_1$ le genre commun au cône tangent à $D_1$ et à la courbe $(D_{1, 2})$, les équations suivantes (où l'équation (V) de l'introduction du précédent article est renfermée) \[ \left\{ \begin{aligned} 2(\pi_1 - 1) &= \nu_1 + z_1 + \xi_1 - 2\mu_1 = \mu_1(\mu_1 - 3) - 2(y_1 + \eta_1 + z_1 + \xi_1) \\ &= \nu_{1, 2} + z_{1, 2} + \xi_1 - 2\mu_{1, 2} = \mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 3) - 2(y_{1, 2} + \eta_1 + z_{1, 2} + \xi_1). \end{aligned} \right. \tag{2} \]

Les caractéristiques Plückeriennes de la courbe $(D_{2, 1})$ qui sur $[F_1]$ correspond à un point fondamental $D_2$ de $[F_2]$ seront désignées de la manière analogue; elles satisfont aux équations analogues aux équations (2).

(* de p. 24) consécutif. Par conséquent, si dans le cas où le point conique est fondamental, deux points distincts de sa courbe correspondante correspondaient aux génératrices du cône tangent qui coïncident dans la génératrice double, l'unique point consécutif dans cette direction aurait deux points correspondants et serait donc un nouveau point fondamental coïncidant avec le premier, et la direction deviendrait fondamentale. Le cas d'une génératrice cuspidale peut être regardée comme une limite de celui d'une génératrice double.

On pourrait, du reste, obtenir les mêmes résultats par une continuation des procédés analytiques de M. Nöther. (Voir la première note du présent article.)

*) On peut regarder séparément les deux nappes qui passent par les points de la courbe double, tant que les points de la surface qui y coïncident ne sont pas consécutifs. (Aux points-pinces et aux points d'intersection avec la courbe cuspidale les points coïncidents sont consécutifs.) Un de deux points coïncidents, mais non pas consécutifs, peut être fondamental; s'ils le sont tous deux, on a seulement deux points fondamentaux simples.

**) Les points doubles propres de $(D_{1, 2})$ qui ne sont pas au nombre des $\eta_1$ que nous venons de nommer et les $z_{1, 2}$ points cuspidaux, se trouvent ou aux points fondamentaux de $[F_2]$ ou sur sa courbe double et sa courbe cuspidale.

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8. A une courbe sur l'une des deux surfaces (dont aucune partie continue ne correspond à un point fondamental de l'autre surface et qui ne passe pas elle-même par un point fondamental), correspond une courbe qui est du même genre, parce que les points des deux courbes se correspondent un-à-un.

A chaque intersection de deux courbes sur l'une des surfaces qui n'est pas due à une multiplicité de cette surface au point d'intersection et qui n'a pas lieu à un point fondamental, correspond sur l'autre surface une intersection des deux courbes correspondantes. Lorsque deux des points d'intersection situés sur l'une des surfaces coïncident, la même chose doit avoir lieu pour deux points d'intersection des deux courbes correspondantes. On en conclut que les points de contacts et les points doubles et cuspidaux des courbes de l'une des surfaces qui se trouvent à des points simples et non-fondamentaux, ont pour correspondants des points de contact et des points doubles et cuspidaux des courbes correspondantes sur l'autre surface.

II. Propriétés des courbes qui sur l'une des deux surfaces correspondent à des sections planes de l'autre.

9. L'ordre $s$ d'une courbe $(S_1)$ qui sur la surface $[F_1]$ correspond à une section plane de $[F_2]$, est égal au nombre des points où elle rencontre une section plane de $[F_1]$. $s$ est donc le nombre des points d'une section plane de l'une des surfaces dont les correspondants se trouvent sur une section plane de l'autre. On voit ainsi que l'ordre $s$ d'une courbe $(S_1)$ est égal à celui d'une courbe $(S_2)$ qui sur $[F_2]$ correspond à une section plane de $[F_1]$.

10. Nous désignons par $r_{s, 1}$ la classe de la courbe $(S_1)$, par $n_{s, 1}$ le nombre des plans osculateurs à elle qui sortent d'un point quelconque, et par $h_{s, 1}$ le nombre des génératrices doubles d'un cône qui la projette d'un sommet quelconque. Les remarques préliminaires nous montrent qu'elle n'est pas, en général, douée de points cuspidaux, et qu'elle passe $\mu_{1, 2}$ fois par un point fondamental, $\mu_{1, 2}$ ayant la signification indiquée au nᵒ 7. Les points fondamentaux comptent donc dans le nombre $h_{s, 1}$ pour $\Sigma \frac{\mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 1)}{2}$, où la somme $\Sigma$ est étendue à tous les points fondamentaux de $[F_1]$.

Comme le genre de $(S_1)$ est égal à celui d'une section plane de $[F_2]$, que nous avons appelé $p_2$, on trouve, en appliquant les formules de Plücker et de Clebsch à un cône qui projette $(S_1)$, les expressions suivantes:

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\[ \begin{cases} \begin{aligned} r_{s, 1} &= 2(p_2 - 1) + 2s, \\ 2h_{s, 1} &= s(s - 3) - 2(p_2 - 1), \\ n_{s, 1} &= 6(p_2 - 1) + 3s. \end{aligned} \end{cases} \tag{$3_a$} \] On trouve de même en appliquant les notations analogues à une courbe $(S_2)$ qui sur $[F_2]$ correspond à une section plane de $[F_1]$, \[ \begin{cases} \begin{aligned} r_{s, 2} &= 2(p_1 - 1) + 2s, \\ 2h_{s, 2} &= s(s - 3) - 2(p_1 - 1), \\ n_{s, 2} &= 6(p_1 - 1) + 3s. \end{aligned} \end{cases} \tag{$3_b$} \]

11. Comme toute courbe $(S_1)$ passe $\mu_{1, 2}$ fois par un point fondamental de $[F_1]$, deux courbes $(S_1)$ se rencontrent $\Sigma(\mu_{1, 2}^2)$ fois aux points fondamentaux. Elles se rencontrent encore aux points correspondant aux $n_2$ intersections des deux sections planes de $[F_2]$ qui correspondent aux deux courbes $(S_1)$. Deux courbes $(S_1)$ se rencontrent donc, en général, en \[ \Sigma(\mu_{1, 2}^2) + n_2 \] points, et à ce nombre s'ajoute seulement en des cas particuliers des intersections „impropres“ à des points de la courbe double ou cuspidale de $[F_1]$${}^{*)}$.

On trouve de même que deux courbes $(S_2)$ ont, en général, \[ \Sigma(\mu_{2, 1}^2) + n_1 \] intersections.

12. Les deux cônes qui d'un même sommet $O$ projettent deux courbes $(S_1)$, étant de l'ordre $s$, auront $s^2$ génératrices communes. A ce nombre appartiennent les droites qui joignent $O$ aux $\Sigma(\mu_{1, 2}^2) + n_2$ points d'intersection des deux courbes $(S_1)$, et, dans le cas où les deux courbes sont infiniment voisines, on peut aussi trouver une expression du nombre de leurs intersections apparentes, qu'il faut y ajouter pour avoir celui de toutes les génératrices communes. En égalant celui-ci à $s^2$, on trouve une équation à laquelle doivent satisfaire les nombres qui caractérisent les deux surfaces et les rapports de l'une à l'autre.

Le nombre des intersections apparentes de deux courbes $(S_1)$ infiniment voisines l'une de l'autre, sera composé $1^0$ de celui des \[ \left[ h_{s, 1} - \Sigma\left( \frac{\mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 1)}{2} \right) \right] \] points doubles apparents${}^{**)}$ de l'une de ces courbes pris deux fois, et

*) On voit que les mots „intersections impropres“ et „intersections apparentes“ ont des significations différentes. Le nombre des intersections apparentes de deux courbes est celui des droites qui d'un même sommet projettent à la fois des points des deux courbes qui ne coïncident pas dans un point d'intersection.

**) Y compris les points doubles impropres s'il y a des courbes doubles qui se correspondent.

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$2^0$ de celui des génératrices de contact d'un cône $[O\,(S_1)]$, projetant une courbe $(S_1)$, avec le cône enveloppe de la serie des cônes qui projettent toutes les courbes $(S_1)$ qui correspondent à un faisceau de sections planes de $[F_2]$. Ce cône enveloppe se compose $1^0$ du cône circonscrit à la surface $[F_1]$, et $2^0$ du cône projetant la courbe cuspidale $(C_1)$ de cette surface.

Pour trouver le nombre de contacts d'un cône $[O\,(S_1)]$ avec le cône circonscrit à $[F_1]$ mené du même sommet $O$, on fait usage de la première polaire de $O$ par rapport à $[F_1]$, qui est une surface de l'ordre $n_1 - 1$, passant par la courbe de contact $(A_1)$ du cône circonscrit, par la courbe double $(B_1)$ et par la courbe cuspidale $(C_1)$ de la surface $[F_1]$, tangente à elle le long de cette dernière courbe, et ayant pour $(\mu_1 - 1)$-tuple tout point $\mu_1$-tuple de la surface donnée $[F_1]$. Cette polaire rencontre la courbe $(S_1)$ à $s(n_1 - 1)$ points dont les $\Sigma[\mu_{1, 2}(\mu_1 - 1)]$ sont aux points fondamentaux. Les autres sont les points (non-fondamentaux) où $(S_1)$ rencontre les courbes $(A_1)$, $(B_1)$ et $(C_1)$. Les points d'intersection avec la courbe de contact $(A_1)$ déterminent les génératrices cherchées le long desquelles le cône $[O\,(S_1)]$ est tangent au cône circonscrit $[O\,(A_1)]$. Les points d'intersection avec la courbe $(B_1)$ correspondent aux points d'intersection d'une section plane de la surface $[F_2]$ avec la courbe $(B_{1, 2})$${}^{*)}$ correspondante à $(B_1)$, et leur nombre est donc égal à l'ordre $b_{1, 2}$ de $(B_{1, 2})$. De même $(S_1)$ rencontre${}^{**)}$ la courbe cuspidale $(C_1)$ à $c_{1, 2}$ points, $c_{1, 2}$ étant l'ordre de la courbe $(C_{1, 2})$ correspondant à $C_1$; mais à chacun de ces $c_{1, 2}$ points coïncident (suivant le nᵒ 4) trois points d'intersection de $(S_1)$ avec la polaire. On trouve ainsi que le cône $[O\,(S_1)]$ qui projette $(S_1)$ a \[ s(n_1 - 1) - \Sigma [\mu_{1, 2}(\mu_1 - 1)] - b_{1, 2} - 3c_{1, 2} \] contacts avec le cône circonscrit $[O\,(A_1)]$.

Les génératrices de contact du cône $[O\,(S_1)]$ avec le cône $[O\,(C_1)]$ se déterminent au moyen des $c_{1, 2}$ points de contact de la courbe $(S_1)$ avec la courbe $(C_1)$, et leur nombre est donc $c_{1, 2}$.

On obtient ainsi l'équation suivante \[ \begin{aligned} s^2 &= \Sigma(\mu_{1, 2}^2) + n_2 + 2\left[ h_{s, 1} - \Sigma\left( \frac{\mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 1)}{2} \right) \right] \\ &\quad + \{s(n_1 - 1) - \Sigma[\mu_{1, 2}(\mu_1 - 1)] - b_{1, 2} - 3c_{1, 2}\} + c_{1, 2}. \end{aligned} \] En y substituant l'expression (3) de $h_{s, 1}$ on trouve l'équation suivante

*) Si $(B_1)$ ou $(C_1)$ passe par des points fondamentaux, nous ne regardons pas comme faisant partie de $(B_{1, 2})$ ou de $(C_{1, 2})$ les courbes qui correspondent à ces points fondamentaux.

**) Elle y est tangente; voir le nᵒ 3.

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\[ n_2 - 2(p_2 - 1) + s(n_1 - 4) - \Sigma [\mu_{1, 2}(\mu_1 - 2)] - b_{1, 2} - 2c_{1, 2} = 0. \tag{$\mathrm{I}_a^{*)}$} \] On trouve, en remplaçant les deux surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$ l'une par l'autre \[ n_1 - 2(p_1 - 1) + s(n_2 - 4) - \Sigma [\mu_{2, 1}(\mu_2 - 2)] - b_{2, 1} - 2c_{2, 1} = 0. \tag{$\mathrm{I}_b$} \]

III. Construction et propriétés de surfaces auxiliaires.

13. Construction des surfaces auxiliaires. Dans nos recherches ultérieures nous ferons usage d'une surface auxiliaire $[F_3]$ définie de la manière suivante: les droites qui joignent les points de $[F_1]$ à un point fixe $O_3$ rencontrent les plans qui joignent les points correspondants de $[F_2]$ à une droite fixe $(M_3)$, aux points de la surface $[F_3]$. La surface $[F_3]$ sera donc engendrée par le faisceau de plans passant par $(M_3)$, et par la série de cônes $[O_3\,(S_1)]$ qui joignent $O_3$ aux courbes $(S_1)$ qui sur $[F_1]$ correspondent aux sections faites à $[F_2]$ par les plans du faisceau: chacun des cônes correspond à un plan du faisceau qu'il rencontre dans une courbe située sur $[F_3]$.

Nous ferons de même usage d'une surface $[F_4]$ qu'on construit de la même manière que $[F_3]$ en substituant seulement les deux surfaces l'une à l'autre. Nous désignerons par $O_4$ et $(M_4)$ le point et le plan fixes dont on fait usage dans la construction de $[F_4]$. Là, où nous n'indiquerons pas directement les résultats qui ont égard à $[F_4]$, on les déduit sans difficulté de ceux qui ont égard à $[F_3]$.

Suivant la construction des surfaces $[F_3]$ et $[F_4]$, les points de toutes les quatre surfaces $[F_1]$, $[F_2]$, $[F_3]$ et $[F_4]$ se correspondent un-à-un.

14. Ordre de la surface $[F_3]$. Désignons par $P$ et $Q$ les points où une droite fixe $(L)$ rencontre une droite par $O_3$ et un plan par $(M_3)$ qui sont déterminés par des points correspondants de $[F_1]$ et de $[F_2]$. Alors, comme une droite $(A\,P)$ rencontre $[F_1]$ à $n_1$ points, à un point $P$ correspondent $n_1$ points $Q$, et, comme un plan $[(M_3)\,Q]$ contient $s$ points de $[F_2]$ dont les correspondants se trouvent dans le plan $[O_3\,(L)]$, à un point $Q$ correspondent $s$ points $P$. Il y aura donc, suivant le principe de correspondance, sur $(L)$ $n_1 + s$ coïncidences de points correspondants $P$ et $Q$, et le nombre des intersections de $(L)$ avec $[F_3]$, ou bien l'ordre de cette surface, sera par conséquent \[ n_3 = n_1 + s. \]

On aurait pu se contenter de chercher le nombre des intersections d'une droite passant par $O_3$ avec la surface $[F_3]$. Une droite par $O_3$ rencontre $[F_3]$ $1^0$ aux $n_1$ points qui sur cette nouvelle surface corres-

*) Si la courbe $(B_1)$ avait été $k$-tuple, on aurait dû donner au terme $- b_{1, 2}$ le coefficient $(k - 1)$.

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pondent aux intersections de la même droite avec la surface $[F_1]$, et $2^0$ aux $s$ points coïncidant avec $O_3$ où elle rencontre le cône $[O_3\,(S_1)]$ déterminé par la courbe $(S_1)$ qui correspond à la section faite à $[F_2]$ par le plan $[(M_3)\,O_3]$. On voit ainsi en même temps que la surface $[F_3]$ a, au point $O_3$, un point $s$-tuple.

On aurait pu de même se contenter de chercher l'ordre de la section faite à $[F_3]$ par un plan passant par la droite $(M_3)$. Cette section est composée $1^0$ de la courbe d'ordre $s$ où son plan rencontre le cône qui y correspond dans la série de cônes $[O_3\,(S_1)]$, et $2^0$ d'une droite multiple coïncidant avec $(M_3)$. Celle-ci est $n_1$-tuple; car à un de ses points $R$ la surface $[F_3]$ a pour plans tangents ceux qui joignent $(M_3)$ aux $n_1$ points de $[F_2]$ qui correspondent aux $n_1$ points de rencontre de la droite $(O_3\,R)$ avec $[F_1]$.

La surface $[F_4]$ est de l'ordre $n_4 = n_2 + s$; le point $O_4$ y est $s$-tuple et la droite $(M_4)$ $n_2$-tuple.

15. Le point singulier $O_3$ de la surface $[F_3]$. (15—17). Nous avons vu que le point $O_3$ est $s$-tuple sur la surface $[F_3]$, et la démonstration elle-même nous montre que le cône tangent à ce point est le cône $[O_3\,(S_1)]$ qui joint $O_3$ à la courbe $(S_1)$ qui sur $[F_1]$ correspond à la section faite à $[F_2]$ par le plan $[(M_3)\,O_3]$. Nous avons déjà (dans le nᵒ 10) parlé des caractéristiques Plückeriennes de ce cône tangent. Nous avons encore à faire remarquer que les génératrices doubles de ce cône sont tangentes aux branches de la courbe double de $[F_3]$ qui passent par le point $O_3$, ce qu'on voit sans difficulté, et que les génératrices suivantes se trouvent en entier sur la surface $[F_3]$: $1^0$ celles qui passent par les points fondamentaux de $[F_1]$, chacune prise $\mu_{1, 2}$ fois, $2^0$ celles qui passent par les $n_2$ points de $[F_1]$ qui correspondent aux points où $[F_2]$ est rencontrée par la droite $(M_3)$, et $3^0$ celles qui passent par les $s$ points de la section que fait le plan $[O_3\,(M_3)]$ à la surface $[F_1]$ dont les correspondants sur $[F_2]$ se trouvent dans le même plan.

En effet, les points de la surface $[F_1]$ qui déterminent les deux premières classes de droites, se trouvent, comme nous l'avons prouvé aux nᵒˢ 10 et 11 — $\mu_{1, 2}$ ou une fois — sur toutes les courbes $(S_1)$ qui correspondent aux sections faites à $[F_2]$ par les plans passant par $(M_3)$, et les droites qui y joignent le point $O_3$ se trouvent par conséquent — le même nombre de fois — sur tous les cônes $[O_3\,(S_1)]$ de la série. Quant à la dernière classe de droites elles se trouvent à la fois dans le plan $[(M_3)\,O_3]$ et sur le cône qui y correspond.

16. Chacun des points de $[F_1]$ qui déterminent ces droites devient un point fondamental dans la correspondance de $[F_1]$ avec la surface $[F_3]$, et les directions par les points sur $[F_1]$ correspondent aux points des droites sur $[F_3]$. Le plan par une des droites sur $[F_3]$ déterminé

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par une direction par le point correspondant de $[F_1]$, est tangent à $[F_3]$ au point qui correspond à la direction. On a ainsi le moyen de déterminer les nombres caractéristiques${}^{*)}$ de ces droites situés sur la surface $[F_3]$.

Regardons premièrement la droite $(D_{1, 3})$ qui joint $O_3$ à un point $(D_1)$ qui est fondamental sur $[F_1]$ déjà dans sa correspondance avec l'autre surface donnée $[F_2]$. Nous avons déjà indiqué que $(D_{1, 3})$ est une droite $\mu_{1, 2}$-tuple de $[F_3]$, et l'on trouve les $\mu_{1, 2}$ plans tangents de $[F_3]$ à un point quelconque $P$ de $(D_{1, 3})$ au moyen du plan $[(M_3)\,P]$ qui joint le point $P$ à la droite fixe $(M_3)$: ce plan rencontre la courbe $(D_{1, 2})$ qui sur $[F_2]$ correspond à $D_1$ à $\mu_{1, 2}$ points dont les directions correspondantes par le point $D_1$ déterminent les plans tangents cherchés. Réciproquement, un plan passant par la droite $(D_{1, 3})$ contient $\mu_1$ directions par le point fondamental: il sera donc tangent à la surface $[F_3]$ aux $\mu_1$ points que déterminent les plans joignant $(M_3)$ aux points de la courbe $(D_{1, 2})$ qui correspondent à ces directions. Deux des plans tangents à $[F_3]$ à un même point $P$ de $(D_{1, 3})$ sont consécutifs dans le cas où le plan joignant $P$ à $(M_1)$ est tangent à la courbe $(D_{1, 2})$, ou passe par un point cuspidal de cette courbe, ou par un des $\eta_1$ points doubles${}^{**)}$ dont les génératrices correspondantes du cône tangent à $D_1$ sont doubles sans être tangentes à la courbe double de $[F_1]$; et deux points de contact d'un même plan par $(D_{1, 3})$ sont consécutifs dans le cas où le plan est tangent au cône tangent au point $D_1$, ou passe par une des génératrices cuspidales de ce cône, ou par une des $\eta_1$ génératrices doubles qui ne sont pas tangentes à la courbe double de $[F_1]$. On trouve ainsi — en observant que, la surface $[F_3]$ étant construite comme lieu de points, les coïncidences auront lieu des manières qui sont les plus générales pour des surfaces regardées comme lieux de points${}^{***)}$ — les valeurs suivantes des caractéristiques de $(D_{1, 3})$:

*) Nous renvoyons, sur la signification de ces caractéristiques et sur les notations que nous y appliquerons aussi ici, à notre précédent article, notamment au résumé qui se trouve à son nᵒ 10.

**) Les notations qui ont égard aux points fondamentaux de $[F_1]$ sont indiquées au nᵒ 7 du présent article.

***) Voir dans le précédent article les nᵒˢ 3, 4 et 5. On pourrait croire que les points de $(D_{1, 3})$, déterminés par les $\eta_1$ points doubles et les $\xi_1$ points cuspidaux de $(D_{1, 2})$ dont les génératrices correspondantes du cône tangent au point $D_1$ sont doubles et cuspidales sans être tangentes à la courbe double et à la courbe cuspidale de $[F_1]$, appartenaient aux nombres $\bar{f}$ et $\bar{i}$ des points d'intersection de $(D_{1, 3})$ avec la courbe double et avec la courbe cuspidale de $[F_3]$ (voir le nᵒ 6 du précédent article). On voit que cela n'a pas lieu, en regardant la section de $[F_3]$ que fait le plan joignant $(M_3)$ à un de ces $(\eta_1 + \xi_1)$ points. Celle-ci aura à ce point un point cuspidal, et non pas un point de contact de deux

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\[ \bar{n} = \mu_{1, 2}, \quad \bar{n}' = \mu_1, \quad 1\bar{\jmath} = \nu_{1, 2} + z_{1, 2}, \quad 2\bar{\jmath} = \eta_1, \quad 3\bar{\jmath} = \xi_1. \] \[ 1\bar{\beta}' = \nu_1 + z_1, \quad \bar{\jmath}' = \bar{\beta} = \bar{i}' = 0. \] En cherchant aussi les points de $(D_{1, 3})$ et les plans par $(D_{1, 3})$ dont deux plans tangents ou deux points de contact coïncident sans être consécutifs, on trouverait le nombre $\bar{f}$ de contacts de deux des nappes de $[F_3]$ qui passent par $(D_{1, 3})$. Ce nombre se trouve aussi au moyen de l'une des équations (5) du précédent article; l'autre de ces équations donnera \[ 2\mu_{1, 2} + \nu_1 + z_1 = 2\mu_1 + \nu_{1, 2} + z_{1, 2}, \] qui est une des équations (2) du présent article. Les équations (7) et (8) du précédent article, qui subiront des altérations à cause du point singulier $O_3$ qui se trouve sur la droite $(D_{1, 3})$, ne nous donneront à présent aucun résultat nouveau.

Des procédés analogues nous montrent que les autres $n_2 + s$ droites par $O_3$ qui se trouvent en entier sur $[F_3]$ sont simples, et qu'un plan passant par une de ces droites n'a, en général, qu'un seul contact avec $[F_3]$. On a donc pour chacune de ces droites $\bar{n} = \bar{n}' = 1$, $\bar{\jmath} = \bar{\jmath}' = \bar{\beta} = \bar{\beta}' = \bar{i} = \bar{f} = 0$.

17. Le cône tangent d'une surface à un point $s$-tuple est le lieu des droites par le point qui contiennent $s + 1$ points coïncidents de la surface. Il y a $s(s + 1)$ génératrices du cône qui contiennent $s + 2$ points coïncidents. Pour le point $O_3$, $s$-tuple sur la surface $[F_3]$, ces $s(s + 1)$ génératrices seront: $1^0$ les $s^2$, dont nous avons déjà rendu compte au nᵒ 12, où le cône correspondant à la section faite à $[F_2]$ par le plan $[(M_3)\,O_3]$ rencontre le cône consécutif de la série de cônes $[O_3\,(S_1)]$ qui correspondent aux plans par $(M_3)$, et $2^0$ les $s$ droites d'intersection du même cône avec le plan correspondant $[(M_3)\,O_3]$.

18. La droite multiple $(M_3)$ de la surface $[F_3]$. Nous avons vu que la droite $(M_3)$ est, sur la surface $[F_3]$, multiple de l'ordre $n_1$. Les plans tangents de la surface à un point quelconque $R$ de $(M_3)$ sont ceux qui passent par les points de la surface $[F_2]$ qui correspondent aux $n_1$ points de rencontre de la droite $(O_3\,R)$ avec la surface $[F_1]$. Les points de contact d'un plan quelconque $[Q]$ par $(M_3)$, sont les points de rencontre de $(M_3)$ avec les droites qui joignent $O_3$ aux $s$ points de la courbe d'intersection du plan $[O_3\,(M_3)]$ avec $[F_1]$ dont les correspondants sur $[F_2]$ se trouvent dans le plan $[Q]$. Ces derniers points sont les points d'intersection du plan $[Q]$ avec la courbe $(S_2)$

(* de p. 31) branches ou un point de rebroussement de seconde espèce. — Nous verrons, du reste, que $[F_3]$ n'a aucune courbe cuspidale, de façon que $\bar{i}$ (ainsi que $\bar{\beta}$) doive être égal à zéro.

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qui sur $[F_2]$ correspond à la section faite à $[F_1]$ par le plan $[O_3\,(M_3)]$. En cherchant encore les points de $(M_3)$ où deux plans tangents sont consécutifs, et les plans par $(M_3)$ dont deux points de contact sont consécutifs — ce qui ne causera aucune difficulté — on trouve pour la droite multiple $(M_3)$ les nombres caractéristiques suivants: \[ \bar{n} = n_1, \quad \bar{n}' = s, \quad \bar{\jmath} = a_1 + c_1, \quad \bar{\beta}' = r_{s, 2}, \] \[ 2\bar{\jmath} = 3\bar{\jmath} = \bar{\jmath}' = \bar{\beta} = \bar{i} = 0.{}^{*)} \]

Le nombre $\bar{f}$ indiquera l'ordre d'un cône, lieu de droites joignant deux points de $[F_1]$ dont les correspondants sur $[F_2]$ se trouvent sur des droites qui rencontrent une droite fixe. Le sommet du cône est ici à $O_3$, et la droite fixe est à $(M_3)$.

Les formules (5) du précédent article nous donneront ici, $1^0$ qu'une courbe $(S_2)$ est du même genre qu'une section plane de $[F_1]$, ce que nous avons déjà fait remarquer, et $2^0$ l'expression suivante de $\bar{f}$: \[ 2\bar{f} = 2\,n_1 s - 2\,s - a_1 - c_1, \] ou bien (voir les formules (1) du présent article) \[ \bar{f} = (n_1 - 1)(s - 1) - p_1. \]

Le même résultat se trouve sans difficulté au moyen du principe de correspondance. — L'équation (7) du précédent article ne nous donnera que le résultat évident que le nombre $\bar{t}$ des intersections de la droite $(M_1)$ avec d'autres nappes de la surface que les $n_1$ qui passent par elle, est égal à zéro. L'équation (8) du précédent article nous sera utile dans ce qui suit.

19. Section plane de la surface $[F_3]$. On trouve les caractéristiques Plückeriennes d'une section plane de la surface $[F_3]$ au moyen du précédent article${}^{**)}$, où nous avons exprimé les caractéristiques Plückeriennes de la section résidue d'un plan passant par la droite multiple — c'est-à-dire de ce qui reste de la courbe d'intersection lorsqu'on fait abstraction de la droite multiple — au moyen de celles d'une section quelconque. Nous ferons ici, des mêmes expressions, l'usage inverse, en sachant que la section résidue faite à la surface $[F_3]$ par un plan passant par la droite multiple $(M_3)$ est la courbe d'intersection de ce plan avec un cône $[O_3\,(S_1)]$, et qu'elle est par conséquent de l'ordre $s$, de la classe $r_{s, 1}$ et dénuée de points cuspidaux. Ce procédé est iden-

*) Dans le cas, que nous avons negligé, où il y a sur les deux surfaces des courbes cuspidales correspondant l'une à l'autre, $\bar{i}$ sera l'ordre de celle de la surface $[F_1]$.

**) Voir le résumé à son nᵒ 10.

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tique au troisième de ceux qui nous ont donné l'ordre $n_3 = n_1 + s$ de la surface $[F_3]$. On trouve de même, en désignant par $a_3$ la classe d'une section plane de $[F_3]$, \[ a_3 = r_{s, 1} + 2\,s + a_1 + c_1 \] ou bien, en réduisant cette expression au moyen des formules (1) et (3) du présent article \[ \begin{aligned} a_3 &= 4\,s + 2\,n_1 + 2(p_1 - 1) + 2(p_2 - 1) \\ &= a_1 + c_1 + a_2 + c_2 - 2\,n_2 + 4\,s. \end{aligned} \tag{4} \] On trouve enfin \[ c_3 = 0, \tag{5} \] de façon que $[F_3]$ soit dénuée de courbe cuspidale. Les autres caractéristiques Plückeriennes de la section dépendent de $n_3$, de $a_3$ et de $c_3$.

On aurait trouvé les mêmes résultats en regardant la section faite à $[F_3]$ par un plan passant par son point multiple $O_3$.

20. On voit sans difficulté que le point $O_3$ est le seul point fondamental de $[F_3]$ dans sa correspondance avec $[F_1]$ ou $[F_2]$, et qu'il a pour courbes correspondantes, sur $[F_2]$ la section faite par le plan $[O_3\,(M_3)]$, et sur $[F_1]$ la courbe $(S_1)$ qui correspond à cette section et qui détermine le cône tangent de $[F_3]$ au point $O_3$. Nous avons indiqué au nᵒ 16., que, dans la correspondance de $[F_3]$ avec $[F_1]$, les points fondamentaux de $[F_1]$ sont ceux qui déterminent les droites par $O_3$ qui se trouvent en entier sur $[F_3]$, et que les courbes correspondantes sont ces droites. On en déduit que les points fondamentaux de $[F_2]$ dans sa correspondance avec $[F_3]$ sont, $1^0$ ceux qui le sont dans sa correspondance avec $[F_1]$, $2^0$ les $n_2$ points où elle est rencontrée par la droite $(M_3)$, et $3^0$ les $s$ points de la section faite par le plan $[O_3\,(M_3)]$, dont les correspondants sur $[F_1]$ se trouvent dans le même plan.

L'application de la formule (I) (au nᵒ 12) à la correspondance de la surface $[F_3]$ avec $[F_1]$ ou $[F_2]$ ne donne aucun résultat nouveau et important, mais elle peut servir de vérification des résultats déjà trouvés.

IV. Cônes circonscrits à $[F_3]$ ou à $[F_4]$; usage des surfaces auxiliaires.

21. Nous avons déjà trouvé au nᵒ 19. l'ordre $a_3$ d'un cône circonscrit à $[F_3]$, qui est égal à la classe d'une section plane. Deux autres caractéristiques Plückeriennes du cône circonscrit seront déterminées, chacune par deux voies différentes, qui donneront deux expressions différentes. En égalant les deux expressions d'un même nombre on trouve les équations relatives aux deux surfaces données qui sont le but de la construction des surfaces auxiliaires.

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22. Classe de la surface $[F_3]$ (22—24). On trouve la classe $n'_3$ de la surface $[F_3]$ en appliquant la formule (8) du précédent article \[ n' = \bar{n}' + \bar{n} + \bar{t}' + 2\cdot \bar{\beta}' \] à la droite multiple $(M_3)$ de la surface $[F_3]$. Alors $n'$ sera la classe cherchée $n'_3$; $\bar{n}'$, $\bar{n}$ et $\bar{\beta}'$ auront, comme nous l'avons indiqué au nᵒ 18., les valeurs $s$, $n_1$ et $r_{s, 2}$. Il reste donc à chercher le nombre $\bar{t}'$ des plans $[Q]$ par la droite $(M_3)$ qui ont un $(s + 1)$-ième contact avec la surface $[F_3]$, ou des plans dont les sections résidues ont des points doubles qui ne sont ni au point multiple $O_3$ ni sur la courbe double de $[F_3]$. Or, la section résidue d'un plan $[Q]$ est la section que fait le cône de la série $[O_3\,(S_1)]$ qui correspond au plan $[Q]$, et ce plan sera donc un des $\bar{t}'$ plans cherchés si le cône correspondant a une génératrice double qui n'est pas au nombre des $h_{s, 1}$ dont tous les cônes $[O_3\,(S_1)]$ sont doués (voir le nᵒ 10.), et qui déterminent seulement des points de la courbe double de $[F_3]$. Cela n'arrivera que lorsque la courbe $(S_1)$ obtient un point double propre autre que ceux qui sont aux points fondamentaux de $[F_1]$, ce qui a lieu dans les cas suivants: $1^0$ lorsque le plan $[Q]$ est tangent à $[F_2]$, $2^0$ lorsqu'il est tangent à la courbe cuspidale de $[F_2]$, et $3^0$ lorsqu'il passe par un point fondamental $D_2$ de $[F_2]$. En effet, dans les deux premiers cas, le point de $[F_1]$ qui correspond au point de contact sera un point double de $(S_1)$, suivant les nᵒˢ 8. et 5. Dans le troisième, la courbe $(S_1)$ se divisera, suivant le nᵒ 6., en deux courbes qui se rencontrent aux $\mu_2$ points de $[F_1]$ correspondant aux $\mu_2$ directions du point fondamental (et $\mu_2$-tuple) $D_2$ qui se trouvent dans le plan $[Q]$, et la courbe $(D_{2, 1})$ qui correspond au point $D_2$ aura encore $\eta_2$ points doubles et $\xi_2$ points cuspidaux, correspondant aux génératrices doubles et cuspidales du cône tangent à $D_2$ qui ne sont pas tangentes à la courbe double et à la courbe cuspidale de $[F_2]$. On voit ainsi que dans le plan $[(M_3)\,D_2]$ coïncident $\mu_2 + \eta_2$ plans tangents simples et $\xi_2$ plans tangents stationnaires de $[F_3]$, de façon qu'il compte pour $\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2$ plans tangents simples. On aura donc${}^{*)}$: \[ \bar{t}' = n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2), \] et la formule du précédent article que nous venons de citer, nous donne ainsi \[ n'_3 = s + n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 2\,r_{s, 2} \tag{$6_a$} \] ou, suivant la première formule $(3_b)$ au nᵒ 10., \[ n'_3 = n_1 + 4(p_1 - 1) + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 5\,s \tag{$6_b$} \]

*) On aurait trouvé le même résultat en regardant immédiatement la correspondance des surfaces $[F_2]$ et $[F_3]$ et des sections qu'y fait un même plan $[Q]$, au lieu de celle de $[F_2]$ avec $[F_1]$ et de la section plane de $[F_2]$ avec une courbe $(S_1)$.

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ou bien, suivant la dernière formule (1) au nᵒ 1., \[ n'_3 = 2\,a_1 + 2\,c_1 - 3\,n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 5\,s. \tag{$6_c$} \]

23. On obtient par une voie différente une autre expression de $n'_3$, qui est la classe, non seulement de la surface $[F_3]$, mais aussi d'un cône circonscrit mené à elle d'un sommet quelconque $E$. Ce cône aura la droite $(E\,O_3)$ pour génératrice multiple, le degré de multiplicité étant égal au nombre $r_{s, 1}$ des plans tangents au cône tangent au point $O_3$ qui passent par $(E\,O_3)$. On trouve donc la classe $n'_3$ du cône circonscrit en ajoutant le nombre $2\,r_{s, 1}$ à celui des plans qui passent par $(E\,O_3)$ et qui sont tangents à $[F_3]$ à des points différents de $O_3$. Nous allons chercher ce dernier nombre.

Comme les points correspondants des surfaces $[F_1]$ et $[F_3]$ se trouvent sur les mêmes droites par $O_3$, ils sont aussi sur les mêmes plans par $(E\,O_3)$, et les sections que fait un même plan $[R]$ par $(E\,O_3)$ sont, par conséquent, des courbes correspondantes. On voit donc, en y appliquant les mêmes raisonnements qu'au nᵒ 22., que les plans par $(E\,O_3)$ tangents à $[F_3]$ à des points différents de $O_3$ sont: $1^0$ les $n'_1$ qui sont tangents à $[F_1]$, $2^0$ les $r_1$ qui sont tangents à la courbe cuspidale $(C_1)$ de cette surface, et $3^0$ ceux qui passent par les points de $[F_1]$ qui sont fondamentaux dans sa correspondance avec $[F_3]$. Ces derniers plans tangents à $[F_3]$ sont (voir le nᵒ 20.) les plans passant par les droites de $[F_3]$ qui sortent de $O_3$. Si l'on emploie, pour déterminer leurs degrés de multiplicité, les mêmes règles${}^{*)}$ que dans le nᵒ 22., on trouve qu'ils comptent pour $\Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + n_2 + s$ plans tangents simples. Le nombre cherché des plans tangents à $[F_3]$ à des points différents de $O_3$, est donc \[ n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + n_2 + s. \] On trouve ainsi \[ n'_3 = s + n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 2\,r_{s, 1}. \tag{7} \]

Autrement. On pourrait trouver le même résultat d'une manière un peu différente. Les plans tangents à $[F_3]$ menés par $(E\,O_3)$ dont les points de contact ne sont pas à $O_3$, sont $1^0$ ceux qui sont tangents au cône lieu des droites tangentes à $(F_3)$ à des points différents de $O_3$, et $2^0$ ceux qui passent par les droites par $O_3$ qui se trouvent en entier sur $[F_3]$. Comme $[F_3]$ n'a aucune courbe cuspidale (voir au nᵒ 19.), toute droite qui rencontre cette surface en deux points consécutifs y sera tangente, et dans cette condition seront les droites par $O_3$ qui ren-

*) La légitimité de l'application de ces règles au cas actuel où la courbe $(D_{1, 3})$ qui sur $[F_3]$ correspond à un point fondamental $D_1$ de $[F_1]$ dégénère en $\mu_{1, 2}$ droites coïncidentes, pourrait sembler douteuse; mais le résultat sera assuré par notre seconde démonstration.

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contrent $[F_1]$ en deux points consécutifs. Le cône lieu de ces tangentes sera donc composé du cône $[O_3\,(A_1)]$ circonscrit à $[F_1]$ et du cône $[O_3\,(C_1)]$ qui projette sa courbe cuspidale. Il sera par conséquent de la classe $n'_1 + r_1$. Les plans passant par les droites de $[F_3]$ auront suivant le précédent article $\bar{n}' + 2\bar{\jmath} + 2\cdot 3\bar{\jmath}$ contacts avec cette surface, $\bar{n}'$, $2\bar{\jmath}$ et $3\bar{\jmath}$ prenant pour les droites respectives les valeurs indiquées au nᵒ 16. Les plans joignant $(E\,O_3)$ aux droites de $[F_3]$ comptent donc pour $\Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + n_2 + s$ plans tangents. —

L'expression (7) se transformera par les mêmes substitutions que nous avons appliquées à l'expression (6) dans la suivante \[ n'_3 = 2\,a_2 + 2\,c_2 - 3\,n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 5\,s. \tag{$7_c$} \]

24. En égalant les deux expressions ($6_c$) et ($7_c$) trouvées dans les nᵒˢ précédents on obtient l'équation suivante: \[ \begin{aligned} n'_1 - 2\,a_1 + r_1 - 2\,c_1 + 3\,n_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) \\ = n'_2 - 2\,a_2 + r_2 - 2\,c_2 + 3\,n_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2). \end{aligned} \tag{II} \] Cette relation est la même que j'ai exposée dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences${}^{*)}$ (T. LXX, p. 745).

25. Identité des caractéristiques Plückeriennes de certains cônes circonscrits aux deux surfaces auxiliaires $[F_3]$ et $[F_4]$. On voit, au moyen du précédent article${}^{**)}$ et des formules (4), ($6_c$) et ($7_c$) du présent article, que, pour un sommet $P$ situé sur la droite $(M_3)$, le cône résidu circonscrit à $[F_3]$ est de l'ordre \[ a_3 - 2\,n_1 = 4\,s + 2(p_1 - 1) + 2(p_2 - 1), \] et de la classe \[ \begin{aligned} n'_3 - s &= 2\,a_1 + 2\,c_1 - 3\,n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 4\,s \\ &= 2\,a_2 + 2\,c_2 - 3\,n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 4\,s. \end{aligned} \] L'expression de l'ordre du cône est symétrique par rapport aux nombres caractéristiques des deux surfaces données $[F_1]$ et $[F_2]$, et les deux expressions de la classe se transforment l'une en l'autre par la substitution de l'une des surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$ à l'autre. Les autres

*) Nous n'avons ici démontré la formule que dans les suppositions que nous avons déjà indiquées, au nombre desquelles se trouve celle qu'il n'y ait pas sur les surfaces données des courbes cuspidales correspondant l'une à l'autre. S'il y en a je crois avoir trouvé qu'on doit ajouter aux deux membres de l'équation les nombres respectifs des points cuspidaux des courbes cuspidales qui se correspondent sur les deux surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$. J'aurais donc dû, dans les Comptes Rendus où je n'ai pas fait cette même restriction, trouver ce résultat un peu modifié. — Dans les Comptes Rendus je n'attribuais aux surfaces que des points fondamentaux simples.

**) Voir le tableau à son nᵒ 10.

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caractéristiques Plückeriennes du même cône offriront la même symétrie, ce qu'il suffira — à cause des relations Plückeriennes — de prouver pour une seule de celles qui restent. Nous le ferons pour le nombre de ses arêtes cuspidales, c'est-à-dire pour le nombre des droites par le sommet $P$ qui ont un contact triponctuel avec $[F_3]$.

Soit $(L)$ une de ces droites. Alors il faut que le plan $[O_3\,(L)]$ contienne trois génératrices consécutives du cône $[O_3\,(S_1)]$ mené de $O_3$ à la courbe $(S_1)$ qui sur $[F_1]$ correspond à la section que fait le plan $[(M_3)\,(L)]$ à la surface $[F_2]$, ou bien, qu'il ait un contact triponctuel avec cette courbe $(S_1)$. Le nombre cherché est donc celui des plans d'un faisceau qui ont un contact triponctuel avec une courbe $(S_1)$ qui sur $[F_1]$ correspond à une section faite à $[F_2]$ par un plan d'un autre faisceau. Or le contact triponctuel d'un plan avec une courbe $(S_1)$ ou, ce qui est la même chose, celui de la section que fait le plan à $[F_1]$ avec $(S_1)$, amène aussi celui de la courbe $(S_2)$ qui sur $[F_2]$ correspond à la section plane de $[F_1]$ avec la courbe plane qui sur $[F_2]$ correspond à $(S_1)$. Le nombre des arêtes cuspidales du cône dont nous parlons dépend donc d'une manière symétrique de $[F_1]$ et de $[F_2]$.

On voit ainsi, en se rappelant la symétrie des constructions des deux surfaces auxiliaires $[F_3]$ et $[F_4]$, que les cônes résidus circonscrits à $[F_3]$ et à $[F_4]$ dont les sommets se trouvent, respectivement, sur les droites multiples $(M_3)$ et $(M_4)$ de ces surfaces, ont les mêmes caractéristiques Plückeriennes.

A l'endroit déjà cité des Comptes Rendus j'ai démontré cette proposition d'une manière plus immédiate, en prenant, dans la construction de $[F_4]$, pour droite $(M_4)$ une droite qui joint $O_3$ à un point de $(M_3)$ et pour point $O_4$ (point multiple de $[F_4]$) un autre point de $(M_3)$. Alors on voit sans difficulté que le point de rencontre $P$ de $(M_3)$ et de $(M_4)$ est le sommet d'un cône circonscrit à la fois aux deux surfaces auxiliaires $[F_3]$ et $[F_4]$. La proposition démontrée de cette manière permettrait de prouver la formule (II) au moyen d'une seule des deux formules (6) et (7). La formule ($6_c$), par exemple, nous montrerait alors que la classe du cône circonscrit à la fois à toutes les deux surfaces $[F_3]$ et $[F_4]$, est égale à \[ n'_3 - s = 2\,a_1 + 2\,c_1 - 3\,n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 4\,s \] et à \[ n'_4 - s = 2\,a_2 + 2\,c_2 - 3\,n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 4\,s. \]

26. Nombre $c'_3$ des plans tangents stationnaires d'un cône circonscrit à la surface $[F_3]$. Les plans tangents stationnaires d'un cône circonscrit à une surface sont les plans tangents stationnaires de la surface qui passent par son sommet. Cette série de plans a pour enveloppe une surface développable dont il faut compter les plans tangents

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passant par un point donné. Prenons le point $O_3$. Les plans cherchés se trouvent alors au nombre des plans tangents à $[F_3]$ qui sortent de $O_3$. Ceux-ci sont (voir le nᵒ 23.): $1^0$ les plans tangents au cône tangent $[O_3\,(S_1)]$ de $[F_3]$ au point $O_3$, $2^0$ les plans qui passent par les droites de $[F_3]$ qui sortent de $O_3$, et $3^0$ les plans tangents au cône $[O_3\,(A_1)]$ circonscrit à $[F_1]$ et au cône $[O_3\,(C_1)]$ projetant son arête cuspidale.

On voit sans difficulté que les plans tangents du cône tangent à un point $s$-tuple d'une surface qui ont un contact stationnaire avec cette surface, seront $1^0$ les plans tangents stationnaires du cône, et $2^0$ ceux dont les génératrices de contact rencontrent la surface à $(s + 2)$ points coïncidant avec le point multiple, à moins que ces génératrices ne soient seulement tangentes à des branches de la courbe double et de la courbe cuspidale. Comme toutes les droites le long desquelles ces plans sont tangentes à l'enveloppe des plans tangents stationnaires de la surface, passent par le point multiple, les plans comptent, au moins, pour deux au nombre cherché des plans tangents stationnaires qui sortent du point multiple. En regardant un exemple${}^{*)}$ qui n'offre aucune circonstance particulière qui pourrait altérer la règle générale, on voit que les plans de la première classe comptent pour deux, et ceux de la seconde classe pour trois plans tangents stationnaires de la surface. On trouve ainsi les deux termes suivants${}^{**)}$ du nombre cherché $c'_3$ \[ 2\cdot n_{s, 1} + 3\cdot [s(s + 1) - 2\,h_{s, 1}]. \]

Comme les droites de $[F_3]$ qui sortent du point $O_3$ sont au nombre des $[s(s + 1) - 2\,h_{s, 1}]$ droites qui rencontrent $[F_3]$ en $s + 2$ points coïncidant avec $O_3$, les plans qui ont ces droites pour génératrices de contact avec le cône tangent à $O_3$, se trouvent au nombre des plans que nous venons de nommer. Les autres plans par ces droites qui ont des contacts stationnaires avec $[F_3]$ sont, suivant l'article précédent${}^{***)}$, leurs $\bar{\beta}' (= 1\bar{\beta}' + 2\cdot 2\bar{\jmath} + 3\cdot 3\bar{\jmath})$ plans stationnaires pris trois fois, et encore deux fois les $2\bar{\jmath}$ plans tangents à leurs points-pinces doubles et quatre fois les $3\bar{\jmath}$ plans tangents à leurs points-pinces triples, le nombre $\bar{i}$ étant égal à zéro pour toutes les droites.

*) On peut regarder une surface du quatrième ordre douée d'un point triple. — Les applications de la formule que nous cherchons (voir dans ce qui suit les applications 2 et 3) le montreraient aussi, si nous avions attribué des coefficients indéterminés aux termes dus à ces deux classes de plans.

**) Pour le nombre des plans de la seconde classe voir les nᵒˢ 17. et 12.

***) Voir dans le tableau du nᵒ 10. le nombre des plans tangents stationnaires du cône circonscrit résidu.

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Pour les droites $(D_{1, 3})$ qui joignent $O_3$ aux points fondamentaux $D_1$ de $[F_1]$ on a (voir le nᵒ 16. du présent article) \[ 1\bar{\beta}' = \nu_1 + z_1, \quad 2\bar{\jmath} = \eta_1, \quad 3\bar{\jmath} = \xi_1, \quad \bar{\beta}' = x_1 + z_1{}^{*)}, \] et pour les autres $n_2 + s$ droites ces nombres caractéristiques sont égaux à zéro. On trouve ainsi le terme suivant du nombre cherché $c'_3$ \[ \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1). \]

Un plan tangent à un des cônes $[O_3\,(A_1)]$ et $[O_3\,(C_1)]$ sera plan tangent stationnaire de $[F_3]$ si sa courbe d'intersection avec $[F_3]$ a un point cuspidal. Comme les sections que les plans par $O_3$ font à la surface $[F_3]$ correspondent à celles qu'ils font à la surface $[F_1]$ (voir le nᵒ 23.), les plans cherchés seront $1^0$ les $c'_1$ plans tangents stationnaires de la surface $[F_1]$ (voir le nᵒ 8.), $2^0$ les plans osculateurs à la courbe cuspidale $(C_1)$ de $[F_1]$, dont nous désignerons le nombre par $n_{c, 1}$ (voir le nᵒ 5.), et $3^0$ les $\sigma_1$ plans qui sont tangents à la surface $[F_1]$ à des points de la courbe $(C_1)$ (voir le nᵒ 5.). La tangente de rebroussement de la section que fait un de ces derniers plans, sera la droite qui joint son point cuspidal à $O_3$; car cette droite, qui rencontre $[F_1]$ en trois points consécutifs, doit aussi rencontrer $[F_3]$ en trois points consécutifs${}^{**)}$. Or la tangente de rebroussement de la section faite par un plan tangent stationnaire est génératrice de l'enveloppe des plans tangents stationnaires. Donc chacun des $\sigma_1$ plans dont nous parlons compte pour deux plans tangents stationnaires de $[F_3]$ sortant de $O_3$. On trouve ainsi les termes suivants de $c'_3$ \[ c'_1 + n_{c, 1} + 2\,\sigma_1. \]

L'expression totale de $c'_3$ devient \[ \begin{aligned} c'_3 &= 2\cdot n_{s, 1} + 3\cdot [s(s + 1) - 2\,h_{s, 1}] \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) + c'_1 + n_{c, 1} + 2\,\sigma_1. \end{aligned} \tag{$8_a$} \] En remplaçant $n_{c, 1}$ par l'expression qu'en donnent les relations Plückeriennes \[ n_{c, 1} = \beta_1 + 3\,r_1 - 3\,c_1, \] et $n_{s, 1}$ et $h_{s, 1}$ par les expressions (3), on trouve \[ \begin{aligned} c'_3 &= c'_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 3\,c_1 + 2\,\sigma_1 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) + 18(p_2 - 1) + 18\,s. \end{aligned} \tag{$8_b$} \]

27. On trouve, au moyen du précédent article et du nᵒ 18. du présent article, qu'un cône circonscrit résidu, mené à la surface $[F_3]$

*) Dans la formule (VI) de l'introduction du précédent article nous avons posé $v + 2\,\eta + 3\,\xi = x$.

**) On voit aussi sans difficulté que cette droite qui joint $O_3$ au point cuspidal de la section, que nous appelons $P_{1, 3}$, est tangente à la direction $(P_{1, 3} P'_{1, 3})$ qui est tangente aux courbes par $P_{1, 3}$ et sur $[F_3]$ dont les courbes correspondantes sur $[F_1]$ ont des points cuspidaux (voir les nᵒˢ 4. et 5.).

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d'un point de sa droite singulière $(M_3)$ est doué de $c'_3 - 3\,r_{s, 2}$ plans tangents stationnaires. Comme $c'_3$ a la valeur que nous venons d'indiquer, et $3\,r_{s, 2}$, celle qui est exprimée dans la première formule $(3_b)$, le cône circonscrit résidu aura \[ \begin{aligned} & c'_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 3\,c_1 + 2\,\sigma_1 - 6\,(p_1 - 1) \\ & + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) + 18\,(p_2 - 1) + 12\,s \end{aligned} \] plans tangents stationnaires.

Ce nombre doit, selon le nᵒ 25., être égal à celui des plans tangents stationnaires d'un cône circonscrit résidu mené d'un point de la droite $(M_4)$ à l'autre surface auxiliaire $[F_4]$, ou à \[ \begin{aligned} & c'_2 + \beta_2 + 3\,r_2 - 3\,c_2 + 2\,\sigma_2 - 6\,(p_2 - 1) \\ & + \Sigma(3\,x_2 + 3\,z_2 + 2\,\eta_2 + 4\,\xi_2) + 18\,(p_1 - 1) + 12\,s. \end{aligned} \] On trouve ainsi l'équation suivante, où nous avons substitué à $2\,(p - 1)$ son expression $a + c - 2\,n$ [voir les formules (1)], \[ \tag{III} \left\{ \begin{aligned} & c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 15\,c_1 + 2\,\sigma_1 + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) = \\ & c'_2 - 12\,a_2 + 24\,n_2 + \beta_2 + 3\,r_2 - 15\,c_2 + 2\,\sigma_2 + \Sigma(3\,x_2 + 3\,z_2 + 2\,\eta_2 + 4\,\xi_2). \end{aligned} \right. \] Les deux membres de cette équation feront, si l'on en soustrait $24$, respectivement pour les deux surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$, le $24$-tuple de l'expression que M. Cayley${}^{*)}$ a donné du genre d'une surface. L'équation (III) exprime donc le théorème de M. Clebsch${}^{**)}$: que deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un sont du même genre.

V. Extensions des résultats exprimés par les équations (I), (II) et (III).

28. Nous avons supposé dans la déduction des équations (I), (II) et (III) (voir les nᵒˢ 12, 24 et 28) qu'aucune des surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$ ne soit douée de points-clos, c'est à dire de points non-coniques où la courbe cuspidale est rencontrée par les courbes de contact de tous les cônes circonscrits à la surface. S'il y en a sur nos surfaces et si tous ces points sont fondamentaux on verra, en y appliquant les mêmes procédés qu'aux autres points fondamentaux, qu'on peut, dans les formules (II) et (III), regarder ces points comme des points coniques doués des caractéristiques suivantes: $\mu = 2$, $v = z = 1$, $y = \eta = \xi = 0$, ($x = 1$). Il n'en

*) Philosophical Transactions 1869, p. 227. Il faut qu'on se rappelle que nous avons supposé que $\chi = \vartheta = 0$ (voir le nᵒ 7. du présent article et l'introduction du précédent article. $\vartheta$ est le nombre des ,,off-points“). Quant à $\chi$, nous y aurons égard dans le nᵒ suivant, et son coefficient sera d'accord avec l'expression de M. Cayley. Dans ce qui suit nous aurons aussi égard à des points coniques non-fondamentaux.

**) Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 1868, Tome LXVII, p. 1238.

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sera pas de même des formules (I); mais en appliquant les mêmes procédés qui ont donné ces formules à des surfaces douées de points-clos fondamentaux, et en observant qu'une courbe passant par un point-clos y est tangente à toute «première polaire par rapport à la surface», on trouve sans difficulté les modifications que ces formules subiront. $\chi_1$ et $\chi_2$ sont les nombres des points-clos, et nous désignons par $\chi_{1, 2}$ et $\chi_{2, 1}$ les ordres des courbes composées des courbes correspondant à ces nouveaux points fondamentaux. On aura donc, en séparant dans les équations nommées ces points des autres points fondamentaux (et en remplaçant en même temps dans les équations (I) $2\,(p - 1)$ par son expression $a + c - 2\,n$) les équations suivantes: \[ 3\,n_2 - a_2 - c_2 + s\,(n_1 - 4) - \chi_{1, 2} - \Sigma[\mu_{1, 2}\,(\mu_1 - 2)] - b_{1, 2} - 2\,c_{1, 2} = 0, \tag*{[$\mathrm{I}_a$]} \] \[ 3\,n_1 - a_1 - c_1 + s\,(n_2 - 4) - \chi_{2, 1} - \Sigma[\mu_{2, 1}\,(\mu_2 - 2)] - b_{2, 1} - 2\,c_{2, 1} = 0, \tag*{[$\mathrm{I}_b$]} \] \[ \begin{aligned} n'_1 - 2\,a_1 + 3\,n_1 + r_1 - 2\,c_1 + 2\,\chi_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + \xi_1) \\ = n'_2 - 2\,a_2 + 3\,n_2 + r_2 - 2\,c_2 + 2\,\chi_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + \xi_2), \end{aligned} \tag*{[II]} \] \[ \left\{ \begin{aligned} & c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 15\,c_1 + 2\,\sigma_1 + 6\,\chi_1 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) \\ &= c'_2 - 12\,a_2 + 24\,n_2 + \beta_2 + 3\,r_2 - 15\,c_2 + 2\,\sigma_2 + 6\,\chi_2 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_2 + 3\,z_2 + 2\,\eta_2 + 4\,\xi_2), \end{aligned} \right. \tag*{[III]} \] où les sommes $\Sigma$ sont étendues aux points fondamentaux qui se trouvent aux points coniques et à des points simples. $b_{1, 2}$, $c_{1, 2}$ et $\mu_{1, 2}$ désignent les ordres des courbes de $[F_2]$ qui correspondent à la courbe double, à la courbe cuspidale et à un point fondamental de $[F_1]$; $b_{2, 1}$, $c_{2, 1}$ et $\mu_{2, 1}$ ont les significations analogues.

29. Nous avons supposé dans le nᵒ précédent que tous les points coniques et tous les points-clos soient fondamentaux; mais les formules trouvées resteront justes, s'il y a sur les deux surfaces:

$1^0$ des points coniques qui se correspondent et qui sont du même ordre $\mu$, du même genre $\pi$ (car $2\,(\pi - 1) = v + z + \xi - 2\,\mu$), et doués des mêmes nombres $\eta$ et $\xi$ de génératrices doubles et stationnaires non-tangentes à la courbe double et à la courbe cuspidale,

$2^0$ des points-clos qui se correspondent,

et $3^0$ des points coniques doués des caractéristiques $\mu = 2$, $v = 2$, $y = \eta = \text{etc.} = 0$, et des points-clos qui y correspondent,

et si la somme $\Sigma$ est étendue à tous les points coniques des surfaces et aux points fondamentaux simples${}^{*)}$. Comme les points fondamentaux simples n'entrent pas dans l'équation [III], celle-ci exprime

*) Les équations de l'introduction du précédent article ne seront pas altérées si l'on étend la somme $\Sigma$ aussi à des points simples. — Pour un point conique non-fondamental est $\mu_{1, 2} = 0$ (ou $\mu_{2, 1} = 0$).

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une condition nécessaire, mais non pas suffisante, à laquelle les nombres caractéristiques des deux surfaces doivent satisfaire.

On peut prouver que si deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un ont des points coniques qui se correspondent sans satisfaire aux conditions nommées, l'une ou l'autre de ces surfaces aura, au point conique qui s'y trouve, un point fondamental doué d'une direction fondamentale (voir le nᵒ 7.). Les formules [I], [II] et [III] seront donc applicables à deux surfaces, douées des singularités nommées dans l'introduction du précédent article, dont les points se correspondent un-à-un, si elles n'ont pas

$1^0$ des courbes cuspidales correspondant l'une à l'autre (voir le nᵒ 3.),

$2^0$ des points fondamentaux doués de directions fondamentales (voir le nᵒ 7.),

$3^0$ des points fondamentaux qui se trouvent à des points-pinces ou à des points de la courbe cuspidale qui ne sont ni points coniques ni points-clos (voir le nᵒ 7.).

VI. Applications.

1. Les surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$ sont des plans${}^{*)}$. Dans ce cas les formules [I] nous donnent \[ \Sigma(\mu_{1, 2}) = \Sigma(\mu_{2, 1}) = 3\,(s - 1). \] $\Sigma(\mu_{1, 2})$ et $\Sigma(\mu_{2, 1})$ sont les ordres des courbes qui, dans chacun des plans, sont composées de toutes les courbes correspondant à des points fondamentaux.

L'équation [II] nous dit que les deux figures planes ont le même nombre de points fondamentaux.

L'équation [III] devient identique.

2. $[F_2]$ est un plan, $[F_1]$ n'a aucune courbe cuspidale. L'équation [III] nous donne la condition nécessaire (mais non pas suffisante): \[ c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \Sigma(3\,x_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) - 24 = 0, \tag{9} \] qui exprime que le genre de la surface $[F_1]$ doit être égal à zéro.

L'équation $[\mathrm{I}_a]$ nous donne l'expression suivante de l'ordre de la courbe qui correspond à la courbe double de $[F_1]$ \[ b_{1, 2} = s\,(n_1 - 4) + 3 - \Sigma[\mu_{1, 2}\,(\mu_1 - 2)]. \tag{10} \] L'équation $[\mathrm{I}_b]$ nous donne \[ \Sigma(\mu_{2, 1}) = 3\,s - 3\,n_1 + a_1. \tag{11} \] L'équation [II] nous donne l'expression suivante du nombre $m_2$ des points fondamentaux du plan $[F_2]$:

*) Les résultats indiqués ici sont trouvés par M. Cremona (Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane, Nota $\mathrm{II}^a$; tomo V (serie $2^a$) delle Memorie dell' Academia di Bologna 1865 et Giornale di matematiche tomo III.

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\[ m_2 = n'_1 - 2\,a_1 + 3\,n_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) - 3. \tag{12} \] Dans le cas où la surface $[F_1]$ n'a aucun point fondamental les formules (10) et (11) sont démontrées par M. Clebsch${}^{*)}$, et la formule (12) est d'accord avec les résultats trouvés par ce savant pour des surfaces particulières.

On peut appliquer les formules (9)—(12) au cas d'une surface $[F_1]$ douée d'un point conique $D$, dont nous désignerons les nombres caractéristiques comme ordinairement par $\mu$, $v$ etc.${}^{**)}$, et qui est elle-même de l'ordre $\mu + 1$.

La courbe double de cette surface est composée de $y$ droites doubles, la courbe cuspidale de $z$ droites cuspidales, et il y a encore $\mu\,(\mu + 1) - 4\,y - 6\,z$ droites simples qui se trouvent sur la surface. Toutes ces droites passent par $D$. Il y a sur chacune des $z$ droites cuspidales encore un point conique \[ (\mu = 3, \quad v = 3, \quad z = 1, \quad y = \eta = \xi = 0). \] On peut trouver la classe $n'$ de cette surface et le nombre $c'$ de ses plans tangents stationnaires qui sortent d'un point quelconque, par le même procédé qui nous a donné les mêmes nombres pour la surface $[F_3]$, en cherchant les plans tangents qui passent par le point conique $D$. On trouve les coefficients difficiles à déterminer directement qu'on rencontre dans cette recherche, et les autres nombres caractéristiques de la surface, en faisant usage des formules données dans l'introduction du précédent article. Puis on peut vérifier les résultats trouvés en appliquant les formules (9)—(12) à la surface et à un plan qui y correspond. Les valeurs qu'on trouve sont les suivantes: \[ \begin{aligned} n &= \mu + 1 \\ a &= 2\,\mu + x \qquad (x = v + 2\,\eta + 3\,\xi) \\ n' &= 2\,\mu + 3\,x - y - 3\,z - \eta - 2\,\xi \\ c' &= 9\,x - 6\,z - 2\,\eta - 4\,\xi \\ \varkappa &= 3\,x + 3\,y + 3\,z + \eta + 2\,\xi \\ 2\,\delta &= x\,(4\,\mu + x - 9) + 6\,z - 2\,\eta - 4\,\xi \\ b &= y, \quad \varrho = y, \quad j = 2\,y, \quad f = 0 \\ c &= z, \quad r = 0, \quad \sigma = 0, \quad \chi = z, \quad \beta = 0, \quad i = 0 \\ &\phantom{{}=} \qquad\qquad\qquad \text{etc.} \end{aligned} \] Nous projetterons cette surface du centre $D$ sur un plan. Alors les points de la surface et du plan se correspondent un-à-un. Afin de

*) Intorno alla représentazione di superficie algebriche sopra un piano, Istituto Lombardo 1868; Mathematische Annalen Bd. I, p. 280 etc.

**) Quoique $z$ doive être égal à zéro dans l'application actuelle, je suppose qu'il ne sera pas dénué d'intérêt de connaître les nombres caractéristiques de la surface dans les cas où $z$ n'est pas zéro.

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pouvoir faire usage des résultats trouvés dans cet article-ci, nous devons supposer que $z = 0$; car à une droite cuspidale correspondrait un point fondamental doué d'une direction fondamentale. Alors on a $c = 0$ [ce qu'on a aussi supposé dans les formules (9)—(12)]. La surface donnée n'a qu'un seul point fondamental, qui est placé au point conique d'ordre $\mu$. La courbe qui y correspond est de l'ordre $\mu_{1, 2} = \mu$. Les points fondamentaux du plan sont ceux où il est rencontré par les droites de la surface, et les courbes correspondantes sont ces droites, dont les $y$ sont doubles ($\mu_{2, 1} = 2$) pendant que les autres $\mu\,(\mu + 1) - 4\,y$ ($= 2\,\mu + x - 2\,y$) sont simples ($\mu_{2, 1} = 1$). On a donc \[ \begin{aligned} m_2 &= 2\,\mu + x - y, \\ \Sigma(\mu_{2, 1}) &= 2\,\mu + x. \end{aligned} \] Comme les droites doubles correspondent à des points, on a $b_{1, 2} = 0$. Ces valeurs sont les mêmes qu'on trouverait au moyen des équations (10), (11) et (12), $s$ étant égal à $\mu + 1$.

Les nombres caractéristiques de la surface satisfont aussi à l'équation (9). Les coefficients de $\eta$ et de $\xi$ dans cette équation, qui est un cas particulier de [III], sont déterminés au moyen de cet exemple-ci, et c'est ainsi que nous avons trouvé les coefficients de $2\,\bar{\jmath}$ et de $3\,\bar{\jmath}$ dans l'expression, indiquée dans le nᵒ 10. du précédent article, du nombre des plans tangents stationnaires du ,,cône circonscrit résidu“.

3. Les surfaces $[F_1]$ et $[F_2]$ sont deux surfaces réciproques ($[F]$ et $[F']$). Dans ce cas on a \[ \begin{aligned} n_1 &= n = n'_2, \\ n'_1 &= n' = n_2, \\ a_1 &= a = a' = a_2, \\ &\quad\ \text{etc.} \end{aligned} \] Un point où il y a une infinité de plans tangents sera un point fondamental, et s'il y a, au nombre de ces plans tangents à un même point, une infinité qui passent par une même droite, celle-ci sera une direction fondamentale. Les points fondamentaux se trouveront donc aux points coniques, aux points-pinces et aux points-clos. Ces dernières deux classes de points auront toujours des directions fondamentales, et les points coniques en auront, si les cônes tangents sont doués de génératrices doubles et cuspidales non-tangentes à la courbe double et à la courbe cuspidale. Comme nous n'avons pas eu égard, dans la déduction de nos formules, à des directions fondamentales, nous devons supposer qu'il n'y en ait sur aucune des deux surfaces, ou que \[ j = j' = \chi = \chi' = 0, \]

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et que, pour tout point conique et pour tout plan tangent le long d'une courbe de $[F]$, \[ \eta = \xi = 0 \quad\text{et}\quad \eta' = \xi' = 0, \] d'où \[ x = v \quad\text{et}\quad x' = v'. \] La courbe correspondant à un point conique est celle le long de laquelle le plan correspondant est tangent à la surface réciproque, de façon que pour tous ces points et plans \[ \mu_{1, 2} = v = x \quad\text{et}\quad \mu_{2, 1} = v' = x'. \] On aura encore \[ s = a, \] \[ b_{1, 2} = \varrho, \quad b_{2, 1} = \varrho', \] \[ c_{1, 2} = \sigma, \quad c_{2, 1} = \sigma'. \] L'équation $[\mathrm{I}_a]$ nous donnera alors, si l'on y remplace $3\,n' - c'$ par la quantité $3\,a - \varkappa$, qui y est égale (équation réciproque à la $3^{\text{me}}$ équation (II) de l'introduction du précédent article): \[ a\,(n - 2) = \varkappa + \varrho + 2\,\sigma + \Sigma[x\,(\mu - 2)], \] qui est la $1^{\text{re}}$ équation (VIII) du précédent article.

L'équation $[\mathrm{I}_b]$ donne l'équation réciproque.

Nos deux autres équations, [II] et [III], nous donnent (comme $a = a'$) les résultats suivants \[ 2\,n + r - 2\,c + \Sigma(\mu) = 2\,n' + r' - 2\,c' + \Sigma'(\mu'), \tag{13} \] \[ \begin{aligned} 24\,n + \beta + 3\,r - 16\,c + 2\,\sigma + \Sigma(3\,x + 3\,z) \\ = 24\,n' + \beta' + 3\,r' - 16\,c' + 2\,\sigma' + \Sigma'(3\,x' + 3\,z'). \end{aligned} \tag{14} \] On ne peut déduire ces résultats-ci des équations qui sont indiquées dans l'introduction du précédent article et des équations réciproques, mais bien l'équation suivante qu'on trouve en soustrayant les deux membres de (14) de ceux de l'équation (13) après avoir multiplié ces derniers par $6$: \[ \left\{ \begin{aligned} & - 12\,n + 3\,r + 4\,c - \beta - 2\,\sigma + \Sigma(6\,\mu - 3\,x - 3\,z) = \\ & - 12\,n' + 3\,r' + 4\,c' - \beta' - 2\,\sigma' + \Sigma'(6\,\mu' - 3\,x' - 3\,z'). \end{aligned} \right. \tag{15} \] L'une des deux équations (13) et (14) peut remplacer l'une des deux équations que nous avons negligées dans l'introduction du précédent article.

Au lieu de déduire l'équation (15) des équations du précédent article, au nombre desquelles se trouve l'équation $i' = i$, on peut faire usage de l'équation (15), trouvée ici par une autre voie, pour démontrer${}^{*)}$ que $i' = i$.

*) Voir le nᵒ 11. du précédent article.

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En effet, on trouve au moyen de la première équation (II)${}^{*)}$ et de l'équation (IV) \[ c \cdot n\,(n - 1) = a\,c + 2\,b\,c + 3\,c + 3\,r + 6\,h + 9\,\beta. \] En en soustrayant la dernière équation (IX) et la dernière équation (VIII) après avoir multiplié celle-ci par quatre, on trouve (comme $\chi = \eta = \xi = 0$) \[ c + 3\,r - \beta - 5\,\sigma + 2\,i - \Sigma(z) + \Sigma'(2\,v') = 0. \tag{16} \] On déduit, de la même manière, de la première équation (II), de l'équation réciproque à la deuxième équation (II) et des premières équations (VIII) et (IX): \[ - a + n' - \varkappa + \sigma + \Sigma(x) = 0, \] ou bien, comme \[ \varkappa = c' + 3\,a - 3\,n' \quad\text{[équation réciproque à la } 3^{\text{me}} \text{ (II)]}, \] \[ 4\,n' - 4\,a - c' + \sigma + \Sigma(x) = 0. \tag{17} \] On voit, au moyen des équations (16) et (17) et des équations réciproques (et de l'équation $a' = a$), que les quantités \[ c + 3\,r - \beta - 5\,\sigma + 2\,i - \Sigma(z + 2\,v) \] et \[ - 4\,n + c + \sigma + \Sigma(x) \] sont égales aux quantités réciproques qu'on forme en substituant les lettres accentuées aux lettres non-accentuées. La quantité \[ - 12\,n + 4\,c + 3\,r - \beta - 2\,\sigma + 2\,i + \Sigma(3\,x - z - 2\,v), \] qui en est composée, satisfait donc à la même condition.

La même chose a lieu, selon l'équation (15), par rapport à la quantité \[ - 12\,n + 4\,c + 3\,r - \beta - 2\,\sigma + \Sigma(6\,\mu - 3\,x - 3\,z), \] et, par conséquent, aussi par rapport à \[ 2\,i + \Sigma(6\,x - 6\,\mu + 2\,z - 2\,v). \] Or on a pour chaque point conique de $[F]$ et pour chaque plan tangent à $[F]$ le long d'une courbe [$2^{\text{me}}$ équation (VII)] \[ \begin{aligned} v &= z + 3\,x - 3\,\mu, \\ v' &= z' + 3\,x' - 3\,\mu'; \end{aligned} \] (car, dans le cas actuel, où $\eta = 0$ et où l'on doit regarder séparément une nappe passant par un point conique formé par d'autres nappes, le cône tangent à un point conique ne peut être composé de parties au nombre desquelles il y a des plans). Donc \[ i = i'. \]

*) Les formules de l'introduction du précédent article sont, dans cette démonstration, les seules qui sont marquées de chiffres romains. —

Nous suivons, dans la déduction des équations (16) et (17), des calculs faits par M. Cayley. Phil. Trans. 1869, pp. 203 et 227.

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VII. Addition sur la représentation d'une surface sur un plan multiple.

On peut appliquer les mêmes procédés dont nous avons fait usage dans ce mémoire, à la recherche des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent d'une manière multiple. Nous nous contenterons ici de nous occuper de la représentation d'une surface sur un plan multiple, disons $N$-tuple. Dans ce cas, à chaque point de la surface correspond un seul point d'un plan, mais à un point du plan correspondent $N$ points de la surface. Pour les points d'une certaine courbe du plan, la courbe de liaison (Uebergangscurve), deux de ces $N$ points coïncident. On voit que cette courbe jouera le même rôle que, dans ce qui précède, la courbe de contact d'un cône circonscrit ou la courbe cuspidale, et nous désignerons son ordre par $A$, sa classe par $N'$ et le nombre de ses tangentes stationnaires par $C'$. Le plan multiple peut contenir des points fondamentaux: l'ordre $\mu$ d'un de ces points fondamentaux indique le nombre de nappes du plan multiple qui contribuent à le former [les points des ($N - \mu$) autres nappes qui coïncident avec le point fondamental ont pour correspondants ($N - \mu$) points isolés de la surface], et la classe $v$ indique le nombre des branches de la courbe de liaison qui passent par le point.

Si nous supposons que c'est la surface $[F_2]$ qui se réduit à un plan multiple, nous aurons, en faisant l'usage ordinaire des indices 1 et 2 et de la notation $s$, les équations \[ 3\,N - A + s\,(n_1 - 4) - \chi_{1, 2} - \Sigma[\mu_{1, 2}\,(\mu_1 - 2)] - b_{1, 2} - 2\,c_{1, 2} = 0 \tag*{[1]} \] \[ \begin{aligned} n'_1 - 2\,a_1 + 3\,n_1 + r_1 - 2\,c_1 + 2\,\chi_1 + \Sigma[\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1] \\ = N' - 2\,A + 3\,N + \Sigma(\mu_2) \end{aligned} \tag*{[2]} \] \[ \left\{ \begin{aligned} & c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 15\,c_1 + 2\,\sigma_1 + 6\,\chi_1 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) = C' - 12\,A + 24\,N + \Sigma(3\,v_2), \end{aligned} \right. \tag*{[3]} \] qu'on prouve comme les équations analogues $[\mathrm{I}_a]$, [II] et [III]. Dans la démonstration de [1] on fait usage de l'équation suivante, que j'ai prouvée dans les ,,Mathematische Annalen“ 3. Bd. p. 324, \[ 2\,(P - 1) = A - 2\,N, \tag*{[4]} \] où $P$ est le genre de la courbe de $[F_1]$ qui correspond à une section plane du plan multiple. (On pourrait appeler $P$ le genre de cette section qui est une droite multiple. L'analogie de l'équation [4] avec l'équation (1) dans le nᵒ 1 est alors évidente.)

En appliquant au cas actuel les mêmes procédés qui donnent l'équation $[\mathrm{I}_b]$, on voit qu'il faut remplacer, dans cette équation, \[ (s\,(n_2 - 1) - \Sigma[\mu_{2, 1}\,(\mu_2 - 1)] - b_{2, 1} - 3\,c_{2, 1}) + c_{2, 1} \]

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par l'ordre $A_{2, 1}$ de la courbe qui sur $[F_1]$ correspond à la courbe de liaison. On trouve ainsi \[ A_{2, 1} = a_1 + c_1 - 3\,n_1 + 3\,s - \Sigma(\mu_{2, 1}). \tag*{[5]} \] Pour compléter ces résultats nous placerons ici l'équation générale dont l'équation [4] est un cas particulier: \[ A = 2\,(P_{2, 1} - 1) - 2\,N\,(P_2 - 1), \] où $P_2$ est le genre d'une courbe dans le plan d'image pénétrant toutes ses $N$ nappes, et $P_{2, 1}$ celui de la courbe correspondante. Cette équation est prouvée à l'endroit cité.

M. Clebsch a appliqué la représentation sur un plan double à la recherche des propriétés d'une surface du cinquième ordre douée d'une courbe double du quatrième ordre de la première espèce${}^{*)}$. Cette surface a les nombres caractéristiques: \[ \begin{gathered} n = 5, \quad a = 12, \quad c = r = \sigma = \chi = \beta = 0 \\ n' = 20, \quad c' = 48. \end{gathered} \] Dans la représentation de cette surface sur un plan double dont M. Clebsch fait usage on a \[ \begin{gathered} N = 2, \quad s = 5, \quad A = 6, \quad N' = 16, \quad C' = 30, \\ b_{1, 2} = 8, \quad A_{2, 1} = 7, \quad P = 2. \end{gathered} \] Il y a sur la surface trois points fondamentaux simples, auxquels correspondent des droites ($\mu_1 = 1$, $\mu_{1, 2} = 1$). Dans le plan il y a deux points fondamentaux: on a \[ \begin{aligned} \text{pour l'un} \quad &\mu_2 = 2, \quad v_2 = 4, \quad \mu_{2, 1} = 3, \\ \text{pour l'autre} \quad &\mu_2 = 2, \quad v_2 = 2, \quad \mu_{2, 1} = 2. \end{aligned} \] Ces quantités satisfont aux équations [1]—[5], qui pourraient aider à les trouver. —

Nous proposons comme exercice l'application de nos formules à la question suivante:

Qu'on représente une surface du sixième ordre, douée de deux droites doubles qui ne se rencontrent pas, sur un plan double en projetant tous ses points sur le plan par des droites qui rencontrent les droites doubles; quelles seront alors les propriétés de l'image, et quelles propriétés de la surface peut-on trouver au moyen de cette représentation?

Quant à la solution de ces questions je me suis borné, moi-même, à la détermination des nombres qui entrent dans mes formules.

*) Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 15. Bd.

Copenhague, Février 1871.

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Geometric Studies of Some Properties of Two Surfaces Whose Points Correspond One-to-One.

By H. G. Zeuthen in Copenhagen.

I. Preliminary Remarks${}^{*)}$.

1. We shall call the two surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$, and we shall assign to the numbers of their singularities the notations indicated at the beginning of the preceding article, adding only, in order to distinguish those of the two surfaces, the suffixes 1 and 2. We shall further designate by $p_1$ and $p_2$ the deficiencies of the plane sections of $[F_1]$ and of $[F_2]$, so that for each of the surfaces \[ 2(p - 1) = n(n - 3) - 2b - 2c = a + c - 2n. \tag{1} \]

2. To the two points of one of the surfaces which coincide in a single point of its double curve, there correspond in general, on the other surface, two distinct points, and the locus of these points is a curve which corresponds to the double curve. We shall designate the double curve of $[F_1]$ by $(B_1)$, the curve which corresponds to it on $[F_2]$ by $(B_{1, 2})$ and the order of this latter curve by $b_{1, 2}$, and we shall apply the analogous notations $(B_{2, 1})$ and $b_{2, 1}$ to the curve of $[F_1]$ which corresponds to the double curve $(B_2)$ of $[F_2]$. — If there are on the two surfaces double curves which correspond to one another, two branches of the curve $(B_{1, 2})$ will coincide in one and two branches of $(B_{2, 1})$ will coincide in the other of these two corresponding double curves.

3. Cuspidal Curves (3—5). To a cuspidal curve of one of the surfaces there may correspond on the other either a simple curve or a cuspidal curve, but we shall suppose that only the first of these two cases occurs for our surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$, and we shall designate

*) For a part of these preliminary remarks we refer to the analytical demonstrations in a memoir of Mr. Nöther, Mathematische Annalen, 2. Bd. 294—298.

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by $(C_{1, 2})$ the simple curve of $[F_2]$ which corresponds to the cuspidal curve $(C_1)$ of $[F_1]$, and by $(C_{2, 1})$ the simple curve of $[F_1]$ which corresponds to the cuspidal curve $(C_2)$ of $[F_2]$. The orders of these two curves will be named $c_{1, 2}$ and $c_{2, 1}$.

In order to account for the properties of the surface $[F_2]$ at a point of $(C_{1, 2})$, we shall regard the cuspidal curve $(C_1)$ to which it corresponds as the limit of a double curve $(B_1)$. If we designate by $P_{1, 2}$ and $P'_{1, 2}$ the two points of the corresponding curve $(B_{1, 2})$ which correspond to the two points of $[F_1]$ that lie in a single point $P_1$ of the double curve $(B_1)$, one sees that a curve on $[F_2]$ which passes through both points $P_{1, 2}$ and $P'_{1, 2}$ corresponds to a curve on $[F_1]$ which has $P_1$ for double point, but that the curves on $[F_2]$ which pass through only one of the points $P_{1, 2}$ and $P'_{1, 2}$ correspond to curves of which a single branch passes through $P_1$. If the double curve $(B_1)$ tends to become cuspidal, the points $P_{1, 2}$ and $P'_{1, 2}$ will tend to coincide. The curve $(C_{1, 2})$ which corresponds to the cuspidal curve $(C_1)$ will therefore be the limit of two coincident branches of $(B_{1, 2})$, and as the right line $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$ which joined the two points of $(B_{1, 2})$ corresponding to a single point of $(B_1)$ must have a determinate limit, there will be through each point $P_{1, 2}$ of $(C_{1, 2})$ a direction which joins the two infinitely near points corresponding to a single point of the cuspidal curve $(C_1)$. The other directions through $P_{1, 2}$ join only points of the two branches of $(B_{1, 2})$, coinciding in $(C_{1, 2})$, which correspond to points of $(C_1)$ infinitely near to one another. To a curve on $[F_2]$ which at $P_{1, 2}$ is tangent to the first direction $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$ corresponds on $[F_1]$ a curve endowed with a cuspidal point at the point $P_1$; but to the other curves which on $[F_2]$ pass through $P_{1, 2}$ correspond curves tangent to $(C_1)$.

4. In looking at a curve on $[F_2]$ tangent to $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$ and the corresponding curve on $[F_1]$, one sees that the parts of $[F_2]$ which lie on the two sides of $(C_{1, 2})$ correspond respectively to the two sheets of $[F_1]$ which are united at the cuspidal curve $(C_1)$, and that, consequently, also the curves through $P_1$ and on $[F_1]$ whose correspondents are not tangent to $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$, pass in general from one of the two sheets to the other${}^{*)}$. A curve through $P_1$ and on $[F_1]$ remains on the same sheet only in the case where the correspondent on

*) In general, a curve which lies on a surface endowed with a cuspidal curve $(C)$, passes from one of the sheets to the other in the case where it has a two-point contact with $(C)$, and remains on the same sheet in the case of a four-point contact, which one can prove either directly or by means of the representation with which we are concerned.

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$[F_2]$ is tangent to $(C_{1, 2})$ — or has $P_{1, 2}$ as a cuspidal point, — and then it will have with $(C_1)$ a four-point contact.

These considerations show us that the curves on $[F_1]$ that pass through $P_1$ have, at least, a three-point contact (osculation) with a surface which is tangent to $[F_1]$ along the cuspidal curve $(C_1)$ or which only at the point $P_1$ is osculating $(C_1)$ and tangent to $[F_1]$. Let us designate by $[G]$ a surface satisfying these conditions.

5. With the exception of curves tangent to the particular direction $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$, every curve through the point $P_{1, 2}$ and on $[F_2]$ has therefore for its correspondent on $[F_1]$ a curve tangent to $(C_1)$ at a single point $P_1$ and osculating the surface $[G]$. The two curves on $[F_1]$ that correspond to two curves through $P_{1, 2}$ will therefore, in general, have two common points coinciding at the point $P_1$. They will have a third in the case where the two curves on $[F_2]$ touch each other at $P_{1, 2}$. Consequently, to two curves on $[F_2]$ that have contact at the point $P_{1, 2}$, there correspond on $[F_1]$ two curves that have at the point $P_1$ the same osculating plane. — The converse proposition would not be true; for although two curves on $[F_1]$ that have at the point $P_1$ the same osculating plane also have the same curvature (that of the section made by the osculating plane of the surface $[G]$), and consequently have three common points coinciding instead of two, the third may on the two curves belong to different sheets. One sees therefore that curves through $P_1$ and on $[F_1]$ that have the same osculating plane, have as correspondents curves tangent to a single direction through $P_{1, 2}$ only in the case where their arcs situated on the same side of $P_1$ lie on the same sheet. Consequently, the curves on $[F_2]$ whose correspondents have the same osculating plane at the point $P_1$, are tangent to one or the other of two directions through $P_{1, 2}$. The pencil formed by these pairs of directions is in involution.

The directions of a single pair coincide only in the cases where the osculating plane, which always passes through the tangent of the cuspidal curve $(C_1)$ at the point $P_1$, is there either osculating the curve $(C_1)$ or tangent to the surface $[F_1]$. They coincide in the first case with the tangent to the curve $(C_{1, 2})$ and, in the second, with the particular direction $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$${}^{*)}$.

Applying these considerations to a plane section made of the surface $[F_1]$ by a plane passing through the tangent of the curve $(C_1)$ at the

*) These properties will undergo alterations when the tangent plane to $[F_1]$ at the point $P_1$ is also osculating the curve $(C_1)$. Then the different directions through $P_{1, 2}$ will correspond to the different curvatures of the curves on $[F_1]$, which will have the same osculating plane. — Another exceptional case will present itself when the point $P_{1, 2}$ is one of the points, called fundamental, of which we shall speak in No. 6. Then all curves through $P_1$ and on $[F_1]$ will have for correspondents curves having a common tangent at the point $P_{1, 2}$.

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point $P_1$, one sees that the corresponding curve on $[F_2]$ has, in general, a double point at the point $P_{1, 2}$, that this double point becomes cuspidal in the case where the plane is osculating $(C_1)$ or tangent to $[F_1]$, and that in these cases the tangent at the cuspidal point is tangent, respectively, to the curve $(C_{1, 2})$ or to the direction $(P_{1, 2} P'_{1, 2})$.

It goes without saying that the surface $[F_1]$ has, at a point of $(C_{2, 1})$, properties analogous to those of $[F_2]$ at a point of $(C_{1, 2})$.

6. Fundamental Points (6—7). There will in general be on the two surfaces points whose correspondents remain indeterminate, so that all points of a curve correspond to one of these points. They are called fundamental or principal points. Every point of which more than one corresponding point is found must be a fundamental point. To a point infinitely near to a fundamental point corresponds a point infinitely near to the corresponding curve. As the infinitely near point determines a direction through the fundamental point, the directions through this point correspond to the points of the corresponding curve. To a curve $(T_1)$ that on one of the surfaces $[F_1]$ passes $\lambda$ times through one of its fundamental points $D_1$, there corresponds on the other surface $[F_2]$ a curve composed of the curve $(D_{1, 2})$ that corresponds to the fundamental point and of another curve $(T_{1, 2})$ that meets $(D_{1, 2})$ at the $\lambda$ points corresponding to the directions of the tangents to $(T_1)$ at the point $D_1$. Every other point of intersection of $(D_{1, 2})$ and of $(T_{1, 2})$ will be — unless the intersection is due solely to a multiplicity of $[F_2]$ at this point — a fundamental point of $[F_2]$; for it corresponds both to $D_1$ and to another point of $[F_1]$.

The tangents of a surface at a fundamental point form a tangent plane if the point is simple, and a cone if it is conical. In the first case, the corresponding curve on the other surface, whose points correspond to the directions of the tangents at the fundamental point, must be of deficiency zero, and in the second, it must be of the same deficiency as the tangent cone.

7. In order not to extend our researches too far, we shall suppose that there is on neither of the two surfaces any fundamental point endowed with a fundamental direction, that is to say, a point where all curves whose correspondents meet a fixed curve on the other surface are tangent to a single direction. This restriction will forbid us from attributing to the tangent cones at conical fundamental points other double or cuspidal generators than $1^0$ those that are tangent there to the double or cuspidal curve, and $2^0$ those that correspond to double or cuspidal points of the curve corresponding to the fundamental point${}^{*)}$.

*) Indeed, in the direction of a double generator of the tangent cone at a multiple point that is not tangent to the double curve, there is only a single point

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We shall begin by supposing that all conical points of the surfaces are fundamental, and we shall show afterwards that the results obtained also apply to cases where there are on the two surfaces conical points that correspond to one another. On the other hand, we shall apply the notations $\mu$, $v$, $y$, $\eta$, $z$, $\xi$ not only to conical points, but also to simple fundamental points ($\mu = 1$, $v = \text{etc.} = 0$). We shall suppose that there is no fundamental point that lies at a pinch-point or at a non-conical point of a cuspidal curve${}^{*)}$. For the moment we shall further suppose that the surfaces are not endowed with close-points ($\chi = 0$).

We shall designate by $\mu_{1, 2}$ the order and by $\nu_{1, 2}$ the class of the curve $(D_{1, 2})$ which on $[F_2]$ corresponds to a fundamental point $D_1$ of $[F_1]$; the curve $(D_{1, 2})$ has, according to the suppositions already made, $\eta_1$ double points and $\xi_1$ cuspidal points corresponding to the double and cuspidal generators of the tangent cone at the point $D_1$ that are not tangent to the double curve and to the cuspidal curve, and we shall further attribute to it $y_{1, 2}$ double points, apparent and proper, and $z_{1, 2}$ cuspidal points${}^{**)}$. Then one has, designating further by $\pi_1$ the common deficiency of the tangent cone at $D_1$ and of the curve $(D_{1, 2})$, the following equations (in which equation (V) of the introduction to the preceding article is contained) \[ \left\{ \begin{aligned} 2(\pi_1 - 1) &= \nu_1 + z_1 + \xi_1 - 2\mu_1 = \mu_1(\mu_1 - 3) - 2(y_1 + \eta_1 + z_1 + \xi_1) \\ &= \nu_{1, 2} + z_{1, 2} + \xi_1 - 2\mu_{1, 2} = \mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 3) - 2(y_{1, 2} + \eta_1 + z_{1, 2} + \xi_1). \end{aligned} \right. \tag{2} \]

The Plücker characteristics of the curve $(D_{2, 1})$ which on $[F_1]$ corresponds to a fundamental point $D_2$ of $[F_2]$ will be designated in the analogous manner; they satisfy the equations analogous to equations (2).

(* from p. 24) consecutive point. Consequently, if in the case where the conical point is fundamental, two distinct points of its corresponding curve corresponded to generators of the tangent cone that coincide in the double generator, the unique consecutive point in this direction would have two corresponding points and would therefore be a new fundamental point coinciding with the first, and the direction would become fundamental. The case of a cuspidal generator can be regarded as a limit of that of a double generator.

One could, moreover, obtain the same results by a continuation of the analytical procedures of M. Nöther. (See the first note of the present article.)

*) One can regard separately the two sheets that pass through points of the double curve, so long as the points of the surface which coincide there are not consecutive. (At pinch-points and at points of intersection with the cuspidal curve the coincident points are consecutive.) One of two coincident, but not consecutive, points may be fundamental; if both are, one has only two simple fundamental points.

**) The proper double points of $(D_{1, 2})$ that are not among the $\eta_1$ that we have just named and the $z_{1, 2}$ cuspidal points, lie either at fundamental points of $[F_2]$ or on its double curve and its cuspidal curve.

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8. To a curve on one of the two surfaces (of which no continuous part corresponds to a fundamental point of the other surface and which does not itself pass through a fundamental point), corresponds a curve which is of the same deficiency, because the points of the two curves correspond one-to-one.

To each intersection of two curves on one of the surfaces which is not due to a multiplicity of this surface at the point of intersection and which does not take place at a fundamental point, corresponds on the other surface an intersection of the two corresponding curves. When two of the points of intersection situated on one of the surfaces coincide, the same thing must occur for two points of intersection of the two corresponding curves. One concludes from this that the points of contact and the double and cuspidal points of curves on one of the surfaces which lie at simple and non-fundamental points, have as correspondents points of contact and double and cuspidal points of the corresponding curves on the other surface.

II. Properties of Curves Which on One of the Two Surfaces Correspond to Plane Sections of the Other.

9. The order $s$ of a curve $(S_1)$ which on the surface $[F_1]$ corresponds to a plane section of $[F_2]$, is equal to the number of points where it meets a plane section of $[F_1]$. $s$ is therefore the number of points of a plane section of one of the surfaces whose correspondents lie on a plane section of the other. One sees thus that the order $s$ of a curve $(S_1)$ is equal to that of a curve $(S_2)$ which on $[F_2]$ corresponds to a plane section of $[F_1]$.

10. We designate by $r_{s, 1}$ the class of the curve $(S_1)$, by $n_{s, 1}$ the number of osculating planes to it that pass through an arbitrary point, and by $h_{s, 1}$ the number of double generators of a cone that projects it from an arbitrary vertex. The preliminary remarks show us that it is not, in general, endowed with cuspidal points, and that it passes $\mu_{1, 2}$ times through a fundamental point, $\mu_{1, 2}$ having the signification indicated in No. 7. The fundamental points therefore count in the number $h_{s, 1}$ for $\Sigma \frac{\mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 1)}{2}$, where the sum $\Sigma$ is extended to all fundamental points of $[F_1]$.

As the deficiency of $(S_1)$ is equal to that of a plane section of $[F_2]$, which we have called $p_2$, one finds, applying the formulas of Plücker and Clebsch to a cone that projects $(S_1)$, the following expressions:

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\[ \begin{cases} \begin{aligned} r_{s, 1} &= 2(p_2 - 1) + 2s, \\ 2h_{s, 1} &= s(s - 3) - 2(p_2 - 1), \\ n_{s, 1} &= 6(p_2 - 1) + 3s. \end{aligned} \end{cases} \tag{$3_a$} \] One finds similarly, applying the analogous notations to a curve $(S_2)$ which on $[F_2]$ corresponds to a plane section of $[F_1]$, \[ \begin{cases} \begin{aligned} r_{s, 2} &= 2(p_1 - 1) + 2s, \\ 2h_{s, 2} &= s(s - 3) - 2(p_1 - 1), \\ n_{s, 2} &= 6(p_1 - 1) + 3s. \end{aligned} \end{cases} \tag{$3_b$} \]

11. As every curve $(S_1)$ passes $\mu_{1, 2}$ times through a fundamental point of $[F_1]$, two curves $(S_1)$ meet $\Sigma(\mu_{1, 2}^2)$ times at the fundamental points. They meet further at the points corresponding to the $n_2$ intersections of the two plane sections of $[F_2]$ that correspond to the two curves $(S_1)$. Two curves $(S_1)$ meet therefore, in general, in \[ \Sigma(\mu_{1, 2}^2) + n_2 \] points, and to this number are added only in particular cases “improper” intersections at points of the double or cuspidal curve of $[F_1]$${}^{*)}$.

One finds similarly that two curves $(S_2)$ have, in general, \[ \Sigma(\mu_{2, 1}^2) + n_1 \] intersections.

12. The two cones which from the same vertex $O$ project two curves $(S_1)$, being of order $s$, will have $s^2$ common generators. To this number belong the right lines which join $O$ to the $\Sigma(\mu_{1, 2}^2) + n_2$ points of intersection of the two curves $(S_1)$, and, in the case where the two curves are infinitely near, one can also find an expression for the number of their apparent intersections, which must be added to it to obtain that of all the common generators. Equating this to $s^2$, one finds an equation to which the numbers that characterize the two surfaces and the relations of the one to the other must satisfy.

The number of apparent intersections of two curves $(S_1)$ infinitely near to one another will be composed $1^0$ of that of the \[ \left[ h_{s, 1} - \Sigma\left( \frac{\mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 1)}{2} \right) \right] \] apparent double points${}^{**)}$ of one of these curves taken twice, and

*) One sees that the words «improper intersections» and «apparent intersections» have different meanings. The number of apparent intersections of two curves is that of the right lines which from the same vertex project at once points of the two curves that do not coincide in an intersection point.

**) Including the improper double points if there are double curves that correspond to one another.

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$2^0$ of that of the contact generators of a cone $[O\,(S_1)]$, projecting a curve $(S_1)$, with the envelope cone of the series of cones that project all the curves $(S_1)$ which correspond to a pencil of plane sections of $[F_2]$. This envelope cone is composed $1^0$ of the cone circumscribed to the surface $[F_1]$, and $2^0$ of the cone projecting the cuspidal curve $(C_1)$ of this surface.

To find the number of contacts of a cone $[O\,(S_1)]$ with the cone circumscribed to $[F_1]$ drawn from the same vertex $O$, one makes use of the first polar of $O$ with respect to $[F_1]$, which is a surface of order $n_1 - 1$, passing through the curve of contact $(A_1)$ of the circumscribed cone, through the double curve $(B_1)$ and through the cuspidal curve $(C_1)$ of the surface $[F_1]$, tangent to it along this latter curve, and having as $(\mu_1 - 1)$-tuple point every $\mu_1$-tuple point of the given surface $[F_1]$. This polar meets the curve $(S_1)$ in $s(n_1 - 1)$ points of which $\Sigma[\mu_{1, 2}(\mu_1 - 1)]$ are at the fundamental points. The others are the points (non-fundamental) where $(S_1)$ meets the curves $(A_1)$, $(B_1)$ and $(C_1)$. The points of intersection with the curve of contact $(A_1)$ determine the desired generators along which the cone $[O\,(S_1)]$ is tangent to the circumscribed cone $[O\,(A_1)]$. The points of intersection with the curve $(B_1)$ correspond to the points of intersection of a plane section of the surface $[F_2]$ with the curve $(B_{1, 2})$${}^{*)}$ corresponding to $(B_1)$, and their number is therefore equal to the order $b_{1, 2}$ of $(B_{1, 2})$. Similarly $(S_1)$ meets${}^{**)}$ the cuspidal curve $(C_1)$ in $c_{1, 2}$ points, $c_{1, 2}$ being the order of the curve $(C_{1, 2})$ corresponding to $C_1$; but at each of these $c_{1, 2}$ points there coincide (according to No. 4) three points of intersection of $(S_1)$ with the polar. One finds thus that the cone $[O\,(S_1)]$ which projects $(S_1)$ has \[ s(n_1 - 1) - \Sigma [\mu_{1, 2}(\mu_1 - 1)] - b_{1, 2} - 3c_{1, 2} \] contacts with the circumscribed cone $[O\,(A_1)]$.

The contact generators of the cone $[O\,(S_1)]$ with the cone $[O\,(C_1)]$ are determined by means of the $c_{1, 2}$ points of contact of the curve $(S_1)$ with the curve $(C_1)$, and their number is therefore $c_{1, 2}$.

One thus obtains the following equation \[ \begin{aligned} s^2 &= \Sigma(\mu_{1, 2}^2) + n_2 + 2\left[ h_{s, 1} - \Sigma\left( \frac{\mu_{1, 2}(\mu_{1, 2} - 1)}{2} \right) \right] \\ &\quad + \{s(n_1 - 1) - \Sigma[\mu_{1, 2}(\mu_1 - 1)] - b_{1, 2} - 3c_{1, 2}\} + c_{1, 2}. \end{aligned} \] Substituting into it the expression (3) for $h_{s, 1}$, one finds the following equation

*) If $(B_1)$ or $(C_1)$ passes through fundamental points, we do not regard as forming part of $(B_{1, 2})$ or of $(C_{1, 2})$ the curves which correspond to these fundamental points.

**) It is tangent to it there; see No. 3.

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\[ n_2 - 2(p_2 - 1) + s(n_1 - 4) - \Sigma [\mu_{1, 2}(\mu_1 - 2)] - b_{1, 2} - 2c_{1, 2} = 0. \tag{$\mathrm{I}_a^{*)}$} \] One finds, replacing the two surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$ by one another \[ n_1 - 2(p_1 - 1) + s(n_2 - 4) - \Sigma [\mu_{2, 1}(\mu_2 - 2)] - b_{2, 1} - 2c_{2, 1} = 0. \tag{$\mathrm{I}_b$} \]

III. Construction and Properties of Auxiliary Surfaces.

13. Construction of Auxiliary Surfaces. In our subsequent researches we shall make use of an auxiliary surface $[F_3]$ defined in the following manner: the right lines which join the points of $[F_1]$ to a fixed point $O_3$ meet the planes which join the corresponding points of $[F_2]$ to a fixed right line $(M_3)$, at the points of the surface $[F_3]$. The surface $[F_3]$ will therefore be generated by the pencil of planes passing through $(M_3)$, and by the series of cones $[O_3\,(S_1)]$ which join $O_3$ to the curves $(S_1)$ which on $[F_1]$ correspond to the sections made of $[F_2]$ by the planes of the pencil: each of the cones corresponds to a plane of the pencil which it meets in a curve situated on $[F_3]$.

We shall similarly make use of a surface $[F_4]$ which is constructed in the same manner as $[F_3]$, merely substituting the two surfaces for one another. We shall designate by $O_4$ and $(M_4)$ the fixed point and fixed right line of which use is made in the construction of $[F_4]$. Where we do not directly indicate the results that relate to $[F_4]$, they are deduced without difficulty from those that relate to $[F_3]$.

According to the construction of the surfaces $[F_3]$ and $[F_4]$, the points of all four surfaces $[F_1]$, $[F_2]$, $[F_3]$ and $[F_4]$ correspond one-to-one.

14. Order of the Surface $[F_3]$. Designate by $P$ and $Q$ the points where a fixed right line $(L)$ meets a right line through $O_3$ and a plane through $(M_3)$ which are determined by corresponding points of $[F_1]$ and of $[F_2]$. Then, as a right line $(A\,P)$ meets $[F_1]$ in $n_1$ points, to a point $P$ correspond $n_1$ points $Q$, and, as a plane $[(M_3)\,Q]$ contains $s$ points of $[F_2]$ whose correspondents lie in the plane $[O_3\,(L)]$, to a point $Q$ correspond $s$ points $P$. There will therefore be, according to the principle of correspondence, on $(L)$ $n_1 + s$ coincidences of corresponding points $P$ and $Q$, and the number of intersections of $(L)$ with $[F_3]$, or the order of this surface, will consequently be \[ n_3 = n_1 + s. \]

One could have been content to seek the number of intersections of a right line passing through $O_3$ with the surface $[F_3]$. A right line through $O_3$ meets $[F_3]$ $1^0$ at the $n_1$ points which on this new surface corres-

*) If the curve $(B_1)$ had been $k$-tuple, one would have had to give to the term $- b_{1, 2}$ the coefficient $(k - 1)$.

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pond to the intersections of the same right line with the surface $[F_1]$, and $2^0$ at the $s$ points coinciding with $O_3$ where it meets the cone $[O_3\,(S_1)]$ determined by the curve $(S_1)$ which corresponds to the section made of $[F_2]$ by the plane $[(M_3)\,O_3]$. One sees thus at the same time that the surface $[F_3]$ has, at the point $O_3$, an $s$-tuple point.

One could similarly have been content to seek the order of the section made of $[F_3]$ by a plane passing through the right line $(M_3)$. This section is composed $1^0$ of the curve of order $s$ where its plane meets the cone that corresponds to it in the series of cones $[O_3\,(S_1)]$, and $2^0$ of a multiple right line coinciding with $(M_3)$. This latter is $n_1$-tuple; for at one of its points $R$ the surface $[F_3]$ has for tangent planes those which join $(M_3)$ to the $n_1$ points of $[F_2]$ that correspond to the $n_1$ points of meeting of the right line $(O_3\,R)$ with $[F_1]$.

The surface $[F_4]$ is of order $n_4 = n_2 + s$; the point $O_4$ is $s$-tuple on it and the right line $(M_4)$ is $n_2$-tuple.

15. The Singular Point $O_3$ of the Surface $[F_3]$ (15—17). We have seen that the point $O_3$ is $s$-tuple on the surface $[F_3]$, and the demonstration itself shows us that the tangent cone at this point is the cone $[O_3\,(S_1)]$ which joins $O_3$ to the curve $(S_1)$ which on $[F_1]$ corresponds to the section made of $[F_2]$ by the plane $[(M_3)\,O_3]$. We have already (in No. 10) spoken of the Plücker characteristics of this tangent cone. We have further to remark that the double generators of this cone are tangent to the branches of the double curve of $[F_3]$ which pass through the point $O_3$, which one sees without difficulty, and that the following generators lie entirely on the surface $[F_3]$: $1^0$ those which pass through the fundamental points of $[F_1]$, each taken $\mu_{1, 2}$ times, $2^0$ those which pass through the $n_2$ points of $[F_1]$ which correspond to the points where $[F_2]$ is met by the right line $(M_3)$, and $3^0$ those which pass through the $s$ points of the section made of the surface $[F_1]$ by the plane $[O_3\,(M_3)]$ whose correspondents on $[F_2]$ lie in the same plane.

Indeed, the points of the surface $[F_1]$ which determine the first two classes of right lines lie, as we have proved in Nos. 10 and 11 — $\mu_{1, 2}$ or once — on all the curves $(S_1)$ which correspond to the sections made of $[F_2]$ by planes passing through $(M_3)$, and the right lines which join to them the point $O_3$ lie consequently — the same number of times — on all the cones $[O_3\,(S_1)]$ of the series. As for the last class of right lines, they lie simultaneously in the plane $[(M_3)\,O_3]$ and on the cone which corresponds to it.

16. Each of the points of $[F_1]$ which determine these right lines becomes a fundamental point in the correspondence of $[F_1]$ with the surface $[F_3]$, and the directions through the points on $[F_1]$ correspond to the points of the right lines on $[F_3]$. The plane through one of the right lines on $[F_3]$ determined

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by a direction through the corresponding point of $[F_1]$, is tangent to $[F_3]$ at the point which corresponds to the direction. One thus has the means of determining the characteristic numbers${}^{*)}$ of these right lines situated on the surface $[F_3]$.

Let us consider first the right line $(D_{1, 3})$ which joins $O_3$ to a point $(D_1)$ which is fundamental on $[F_1]$ already in its correspondence with the other given surface $[F_2]$. We have already indicated that $(D_{1, 3})$ is a $\mu_{1, 2}$-tuple right line of $[F_3]$, and one finds the $\mu_{1, 2}$ tangent planes to $[F_3]$ at an arbitrary point $P$ of $(D_{1, 3})$ by means of the plane $[(M_3)\,P]$ which joins the point $P$ to the fixed right line $(M_3)$: this plane meets the curve $(D_{1, 2})$ which on $[F_2]$ corresponds to $D_1$ in $\mu_{1, 2}$ points whose corresponding directions through the point $D_1$ determine the desired tangent planes. Conversely, a plane passing through the right line $(D_{1, 3})$ contains $\mu_1$ directions through the fundamental point: it will therefore be tangent to the surface $[F_3]$ at the $\mu_1$ points that are determined by the planes joining $(M_3)$ to the points of the curve $(D_{1, 2})$ which correspond to these directions. Two of the tangent planes to $[F_3]$ at the same point $P$ of $(D_{1, 3})$ are consecutive in the case where the plane joining $P$ to $(M_1)$ is tangent to the curve $(D_{1, 2})$, or passes through a cuspidal point of this curve, or through one of the $\eta_1$ double points${}^{**)}$ whose corresponding generators of the tangent cone at $D_1$ are double without being tangent to the double curve of $[F_1]$; and two points of contact of the same plane through $(D_{1, 3})$ are consecutive in the case where the plane is tangent to the tangent cone at the point $D_1$, or passes through one of the cuspidal generators of this cone, or through one of the $\eta_1$ double generators which are not tangent to the double curve of $[F_1]$. One finds thus — observing that, the surface $[F_3]$ being constructed as a locus of points, the coincidences will occur in the ways that are the most general for surfaces regarded as loci of points${}^{***)}$ — the following values of the characteristics of $(D_{1, 3})$:

*) We refer, concerning the signification of these characteristics and the notations that we shall also apply to them here, to our preceding article, notably to the summary that is found in its No. 10.

**) The notations that relate to the fundamental points of $[F_1]$ are indicated in No. 7 of the present article.

***) See in the preceding article Nos. 3, 4 and 5. One might believe that the points of $(D_{1, 3})$, determined by the $\eta_1$ double points and the $\xi_1$ cuspidal points of $(D_{1, 2})$ whose corresponding generators of the tangent cone at the point $D_1$ are double and cuspidal without being tangent to the double curve and to the cuspidal curve of $[F_1]$, belonged to the numbers $\bar{f}$ and $\bar{i}$ of points of intersection of $(D_{1, 3})$ with the double curve and with the cuspidal curve of $[F_3]$ (see No. 6 of the preceding article). One sees that this does not occur, by considering the section of $[F_3]$ made by the plane joining $(M_3)$ to one of these $(\eta_1 + \xi_1)$ points. This section will have at this point a cuspidal point, and not a point of contact of two

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\[ \bar{n} = \mu_{1, 2}, \quad \bar{n}' = \mu_1, \quad 1\bar{\jmath} = \nu_{1, 2} + z_{1, 2}, \quad 2\bar{\jmath} = \eta_1, \quad 3\bar{\jmath} = \xi_1. \] \[ 1\bar{\beta}' = \nu_1 + z_1, \quad \bar{\jmath}' = \bar{\beta} = \bar{i}' = 0. \] In seeking also the points of $(D_{1, 3})$ and the planes through $(D_{1, 3})$ of which two tangent planes or two points of contact coincide without being consecutive, one would find the number $\bar{f}$ of contacts of two of the sheets of $[F_3]$ which pass through $(D_{1, 3})$. This number is also found by means of one of equations (5) of the preceding article; the other of these equations will give \[ 2\mu_{1, 2} + \nu_1 + z_1 = 2\mu_1 + \nu_{1, 2} + z_{1, 2}, \] which is one of equations (2) of the present article. Equations (7) and (8) of the preceding article, which will undergo alterations because of the singular point $O_3$ which lies on the right line $(D_{1, 3})$, will not give us at present any new result.

Analogous procedures show us that the other $n_2 + s$ right lines through $O_3$ that lie entirely on $[F_3]$ are simple, and that a plane passing through one of these right lines has, in general, only a single contact with $[F_3]$. One has therefore for each of these right lines $\bar{n} = \bar{n}' = 1$, $\bar{\jmath} = \bar{\jmath}' = \bar{\beta} = \bar{\beta}' = \bar{i} = \bar{f} = 0$.

17. The tangent cone of a surface at an $s$-tuple point is the locus of right lines through the point which contain $s + 1$ coincident points of the surface. There are $s(s + 1)$ generators of the cone which contain $s + 2$ coincident points. For the point $O_3$, $s$-tuple on the surface $[F_3]$, these $s(s + 1)$ generators will be: $1^0$ the $s^2$, of which we have already given account in No. 12, where the cone corresponding to the section made of $[F_2]$ by the plane $[(M_3)\,O_3]$ meets the consecutive cone of the series of cones $[O_3\,(S_1)]$ that correspond to planes through $(M_3)$, and $2^0$ the $s$ right lines of intersection of the same cone with the corresponding plane $[(M_3)\,O_3]$.

18. The multiple line $(M_3)$ of the surface $[F_3]$. We have seen that the right line $(M_3)$ is, on the surface $[F_3]$, multiple of order $n_1$. The tangent planes of the surface at an arbitrary point $R$ of $(M_3)$ are those which pass through the points of the surface $[F_2]$ that correspond to the $n_1$ points of meeting of the right line $(O_3\,R)$ with the surface $[F_1]$. The points of contact of an arbitrary plane $[Q]$ through $(M_3)$ are the points of meeting of $(M_3)$ with the right lines which join $O_3$ to the $s$ points of the curve of intersection of the plane $[O_3\,(M_3)]$ with $[F_1]$ whose correspondents on $[F_2]$ lie in the plane $[Q]$. These latter points are the points of intersection of the plane $[Q]$ with the curve $(S_2)$

(* from p. 31) branches or a point of second-species regression [point de rebroussement de seconde espèce]. — We shall see, moreover, that $[F_3]$ has no cuspidal curve, so that $\bar{i}$ (as well as $\bar{\beta}$) must be equal to zero.

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which on $[F_2]$ corresponds to the section made of $[F_1]$ by the plane $[O_3\,(M_3)]$. Seeking further the points of $(M_3)$ where two tangent planes are consecutive, and the planes through $(M_3)$ whose two points of contact are consecutive — which will cause no difficulty — one finds for the multiple right line $(M_3)$ the following characteristic numbers: \[ \bar{n} = n_1, \quad \bar{n}' = s, \quad \bar{\jmath} = a_1 + c_1, \quad \bar{\beta}' = r_{s, 2}, \] \[ 2\bar{\jmath} = 3\bar{\jmath} = \bar{\jmath}' = \bar{\beta} = \bar{i} = 0.{}^{*)} \]

The number $\bar{f}$ will indicate the order of a cone, the locus of right lines joining two points of $[F_1]$ whose correspondents on $[F_2]$ lie on right lines that meet a fixed right line. The vertex of the cone is here at $O_3$, and the fixed right line is at $(M_3)$.

Formulas (5) of the preceding article will give us here, $1^0$ that a curve $(S_2)$ is of the same deficiency as a plane section of $[F_1]$, which we have already remarked, and $2^0$ the following expression for $\bar{f}$: \[ 2\bar{f} = 2\,n_1 s - 2\,s - a_1 - c_1, \] or rather (see formulas (1) of the present article) \[ \bar{f} = (n_1 - 1)(s - 1) - p_1. \]

The same result is found without difficulty by means of the principle of correspondence. — Equation (7) of the preceding article will give us only the obvious result that the number $\bar{t}$ of intersections of the right line $(M_1)$ with other sheets of the surface than the $n_1$ which pass through it, is equal to zero. Equation (8) of the preceding article will be useful to us in what follows.

19. Plane Section of the Surface $[F_3]$. One finds the Plückerian characteristics of a plane section of the surface $[F_3]$ by means of the preceding article${}^{**)}$, where we expressed the Plückerian characteristics of the residual section of a plane passing through the multiple right line — that is to say, of what remains of the curve of intersection when one abstracts the multiple right line — by means of those of an arbitrary section. We shall here make, of the same expressions, the inverse use, knowing that the residual section made of the surface $[F_3]$ by a plane passing through the multiple right line $(M_3)$ is the curve of intersection of this plane with a cone $[O_3\,(S_1)]$, and that it is consequently of order $s$, of class $r_{s, 1}$ and devoid of cuspidal points. This procedure is iden-

*) In the case, which we have neglected, where there are on the two surfaces cuspidal curves corresponding to one another, $\bar{i}$ will be the order of that of the surface $[F_1]$.

**) See the summary in its No. 10.

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tical to the third of those which gave us the order $n_3 = n_1 + s$ of the surface $[F_3]$. One finds similarly, denoting by $a_3$ the class of a plane section of $[F_3]$, \[ a_3 = r_{s, 1} + 2\,s + a_1 + c_1 \] or rather, reducing this expression by means of formulas (1) and (3) of the present article \[ \begin{aligned} a_3 &= 4\,s + 2\,n_1 + 2(p_1 - 1) + 2(p_2 - 1) \\ &= a_1 + c_1 + a_2 + c_2 - 2\,n_2 + 4\,s. \end{aligned} \tag{4} \] One finds finally \[ c_3 = 0, \tag{5} \] so that $[F_3]$ is devoid of a cuspidal curve. The other Plückerian characteristics of the section depend on $n_3$, on $a_3$ and on $c_3$.

One would have found the same results by considering the section made of $[F_3]$ by a plane passing through its multiple point $O_3$.

20. One sees without difficulty that the point $O_3$ is the only fundamental point of $[F_3]$ in its correspondence with $[F_1]$ or $[F_2]$, and that it has for corresponding curves, on $[F_2]$ the section made by the plane $[O_3\,(M_3)]$, and on $[F_1]$ the curve $(S_1)$ which corresponds to this section and which determines the tangent cone of $[F_3]$ at the point $O_3$. We indicated in No. 16, that, in the correspondence of $[F_3]$ with $[F_1]$, the fundamental points of $[F_1]$ are those which determine the right lines through $O_3$ which lie entirely on $[F_3]$, and that the corresponding curves are these right lines. One deduces from this that the fundamental points of $[F_2]$ in its correspondence with $[F_3]$ are, $1^0$ those which are so in its correspondence with $[F_1]$, $2^0$ the $n_2$ points where it is met by the right line $(M_3)$, and $3^0$ the $s$ points of the section made by the plane $[O_3\,(M_3)]$, whose correspondents on $[F_1]$ lie in the same plane.

The application of formula (I) (in No. 12) to the correspondence of the surface $[F_3]$ with $[F_1]$ or $[F_2]$ gives no new and important result, but it can serve as verification of the results already found.

IV. Cones Circumscribed to $[F_3]$ or to $[F_4]$; Use of Auxiliary Surfaces.

21. We have already found in No. 19 the order $a_3$ of a cone circumscribed to $[F_3]$, which is equal to the class of a plane section. Two other Plückerian characteristics of the circumscribed cone will be determined, each in two different ways, which will give two different expressions. By equating the two expressions of the same number one finds the equations relating to the two given surfaces which are the object of the construction of the auxiliary surfaces.

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22. Class of the Surface $[F_3]$ (22—24). One finds the class $n'_3$ of the surface $[F_3]$ by applying formula (8) of the preceding article \[ n' = \bar{n}' + \bar{n} + \bar{t}' + 2\cdot \bar{\beta}' \] to the multiple right line $(M_3)$ of the surface $[F_3]$. Then $n'$ will be the sought class $n'_3$; $\bar{n}'$, $\bar{n}$ and $\bar{\beta}'$ will have, as we indicated in No. 18, the values $s$, $n_1$ and $r_{s, 2}$. It remains therefore to seek the number $\bar{t}'$ of planes $[Q]$ through the right line $(M_3)$ which have an $(s + 1)$-th contact with the surface $[F_3]$, or of planes whose residual sections have double points that are neither at the multiple point $O_3$ nor on the double curve of $[F_3]$. Now, the residual section of a plane $[Q]$ is the section made by the cone of the series $[O_3\,(S_1)]$ that corresponds to the plane $[Q]$, and this plane will therefore be one of the $\bar{t}'$ sought planes if the corresponding cone has a double generator that is not among the number of the $h_{s, 1}$ with which all cones $[O_3\,(S_1)]$ are endowed (see No. 10), and which determine only points of the double curve of $[F_3]$. This will happen only when the curve $(S_1)$ acquires a proper double point other than those which are at the fundamental points of $[F_1]$, which takes place in the following cases: $1^0$ when the plane $[Q]$ is tangent to $[F_2]$, $2^0$ when it is tangent to the cuspidal curve of $[F_2]$, and $3^0$ when it passes through a fundamental point $D_2$ of $[F_2]$. Indeed, in the first two cases, the point of $[F_1]$ that corresponds to the point of contact will be a double point of $(S_1)$, according to Nos. 8 and 5. In the third, the curve $(S_1)$ will divide, according to No. 6, into two curves that meet at the $\mu_2$ points of $[F_1]$ corresponding to the $\mu_2$ directions of the fundamental (and $\mu_2$-tuple) point $D_2$ that lie in the plane $[Q]$, and the curve $(D_{2, 1})$ that corresponds to the point $D_2$ will have further $\eta_2$ double points and $\xi_2$ cuspidal points, corresponding to the double and cuspidal generators of the tangent cone at $D_2$ that are not tangent to the double curve and to the cuspidal curve of $[F_2]$. One sees thus that in the plane $[(M_3)\,D_2]$ coincide $\mu_2 + \eta_2$ simple tangent planes and $\xi_2$ stationary tangent planes of $[F_3]$, so that it counts for $\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2$ simple tangent planes. One will therefore have${}^{*)}$: \[ \bar{t}' = n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2), \] and the formula of the preceding article that we have just cited, thus gives us \[ n'_3 = s + n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 2\,r_{s, 2} \tag{$6_a$} \] or, according to the first formula $(3_b)$ in No. 10, \[ n'_3 = n_1 + 4(p_1 - 1) + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 5\,s \tag{$6_b$} \]

*) One would have found the same result by considering immediately the correspondence of the surfaces $[F_2]$ and $[F_3]$ and of the sections that a same plane $[Q]$ makes on them, instead of that of $[F_2]$ with $[F_1]$ and of the plane section of $[F_2]$ with a curve $(S_1)$.

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or rather, according to the last formula (1) in No. 1, \[ n'_3 = 2\,a_1 + 2\,c_1 - 3\,n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 5\,s. \tag{$6_c$} \]

23. One obtains by a different way another expression for $n'_3$, which is the class, not only of the surface $[F_3]$, but also of a circumscribed cone drawn to it from an arbitrary vertex $E$. This cone will have the right line $(E\,O_3)$ as multiple generator, the degree of multiplicity being equal to the number $r_{s, 1}$ of tangent planes to the tangent cone at the point $O_3$ which pass through $(E\,O_3)$. One therefore finds the class $n'_3$ of the circumscribed cone by adding the number $2\,r_{s, 1}$ to that of the planes which pass through $(E\,O_3)$ and which are tangent to $[F_3]$ at points different from $O_3$. We are going to seek this latter number.

As corresponding points of the surfaces $[F_1]$ and $[F_3]$ lie on the same right lines through $O_3$, they are also on the same planes through $(E\,O_3)$, and the sections that a same plane $[R]$ through $(E\,O_3)$ makes are, consequently, corresponding curves. One sees therefore, applying to it the same reasonings as in No. 22, that the planes through $(E\,O_3)$ tangent to $[F_3]$ at points different from $O_3$ are: $1^0$ the $n'_1$ which are tangent to $[F_1]$, $2^0$ the $r_1$ which are tangent to the cuspidal curve $(C_1)$ of this surface, and $3^0$ those which pass through the points of $[F_1]$ which are fundamental in its correspondence with $[F_3]$. These latter tangent planes to $[F_3]$ are (see No. 20) the planes passing through the right lines of $[F_3]$ that emanate from $O_3$. If one employs, to determine their degrees of multiplicity, the same rules${}^{*)}$ as in No. 22, one finds that they count for $\Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + n_2 + s$ simple tangent planes. The sought number of tangent planes to $[F_3]$ at points different from $O_3$ is therefore \[ n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + n_2 + s. \] One finds thus \[ n'_3 = s + n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 2\,r_{s, 1}. \tag{7} \]

Otherwise. One could find the same result in a slightly different manner. The tangent planes to $[F_3]$ drawn through $(E\,O_3)$ whose points of contact are not at $O_3$, are $1^0$ those which are tangent to the cone locus of the right lines tangent to $(F_3)$ at points different from $O_3$, and $2^0$ those which pass through the right lines through $O_3$ that lie entirely on $[F_3]$. As $[F_3]$ has no cuspidal curve (see in No. 19), every right line which meets this surface in two consecutive points will be tangent to it, and in this condition will be the right lines through $O_3$ which meet

*) The legitimacy of applying these rules to the present case where the curve $(D_{1, 3})$ which on $[F_3]$ corresponds to a fundamental point $D_1$ of $[F_1]$ degenerates into $\mu_{1, 2}$ coincident right lines, might seem doubtful; but the result will be secured by our second demonstration.

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meet $[F_1]$ in two consecutive points. The cone locus of these tangents will therefore be composed of the cone $[O_3\,(A_1)]$ circumscribed to $[F_1]$ and of the cone $[O_3\,(C_1)]$ which projects its cuspidal curve. It will consequently be of class $n'_1 + r_1$. The planes passing through the right lines of $[F_3]$ will have according to the preceding article $\bar{n}' + 2\bar{\jmath} + 2\cdot 3\bar{\jmath}$ contacts with this surface, $\bar{n}'$, $2\bar{\jmath}$ and $3\bar{\jmath}$ taking for the respective right lines the values indicated in No. 16. The planes joining $(E\,O_3)$ to the right lines of $[F_3]$ count therefore for $\Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + n_2 + s$ tangent planes. —

Expression (7) will be transformed by the same substitutions that we applied to expression (6) into the following \[ n'_3 = 2\,a_2 + 2\,c_2 - 3\,n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 5\,s. \tag{$7_c$} \]

24. By equating the two expressions ($6_c$) and ($7_c$) found in the preceding numbers one obtains the following equation: \[ \begin{aligned} n'_1 - 2\,a_1 + r_1 - 2\,c_1 + 3\,n_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) \\ = n'_2 - 2\,a_2 + r_2 - 2\,c_2 + 3\,n_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2). \end{aligned} \tag{II} \] This relation is the same as I set forth in the Comptes Rendus de l'Académie des Sciences${}^{*)}$ (T. LXX, p. 745).

25. Identity of the Plückerian Characteristics of Certain Cones Circumscribed to the Two Auxiliary Surfaces $[F_3]$ and $[F_4]$. One sees, by means of the preceding article${}^{**)}$ and formulas (4), ($6_c$) and ($7_c$) of the present article, that, for a vertex $P$ situated on the right line $(M_3)$, the residual cone circumscribed to $[F_3]$ is of order \[ a_3 - 2\,n_1 = 4\,s + 2(p_1 - 1) + 2(p_2 - 1), \] and of class \[ \begin{aligned} n'_3 - s &= 2\,a_1 + 2\,c_1 - 3\,n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 4\,s \\ &= 2\,a_2 + 2\,c_2 - 3\,n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 4\,s. \end{aligned} \] The expression of the order of the cone is symmetric with respect to the characteristic numbers of the two given surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$, and the two expressions of the class transform into one another by the substitution of one of the surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$ for the other. The other

*) We have here demonstrated the formula only under the hypotheses that we have already indicated, among the number of which is that there are on the given surfaces no cuspidal curves corresponding to one another. If there are, I believe I have found that one must add to the two members of the equation the respective numbers of cuspidal points of the cuspidal curves which correspond to one another on the two surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$. I ought therefore, in the Comptes Rendus where I did not make this same restriction, to have found this result slightly modified. — In the Comptes Rendus I attributed to the surfaces only simple fundamental points.

**) See the table in its No. 10.

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Plückerian characteristics of the same cone will offer the same symmetry, which it will suffice — on account of the Plückerian relations — to prove for a single one of those that remain. We shall do so for the number of its cuspidal edges, that is to say, for the number of right lines through the vertex $P$ which have three-point contact with $[F_3]$.

Let $(L)$ be one of these right lines. Then the plane $[O_3\,(L)]$ must contain three consecutive generators of the cone $[O_3\,(S_1)]$ drawn from $O_3$ to the curve $(S_1)$ which on $[F_1]$ corresponds to the section that the plane $[(M_3)\,(L)]$ makes of the surface $[F_2]$, or rather, that it have three-point contact with this curve $(S_1)$. The sought number is therefore that of the planes of a pencil which have three-point contact with a curve $(S_1)$ which on $[F_1]$ corresponds to a section made of $[F_2]$ by a plane of another pencil. Now the three-point contact of a plane with a curve $(S_1)$ or, which is the same thing, that of the section that the plane makes of $[F_1]$ with $(S_1)$, brings about also that of the curve $(S_2)$ which on $[F_2]$ corresponds to the plane section of $[F_1]$ with the plane curve which on $[F_2]$ corresponds to $(S_1)$. The number of cuspidal edges of the cone of which we speak depends therefore in a symmetric manner on $[F_1]$ and on $[F_2]$.

One sees thus, recalling the symmetry of the constructions of the two auxiliary surfaces $[F_3]$ and $[F_4]$, that the residual cones circumscribed to $[F_3]$ and to $[F_4]$ whose vertices lie, respectively, on the multiple right lines $(M_3)$ and $(M_4)$ of these surfaces, have the same Plückerian characteristics.

At the place already cited in the Comptes Rendus I demonstrated this proposition in a more direct manner, taking, in the construction of $[F_4]$, for right line $(M_4)$ a right line which joins $O_3$ to a point of $(M_3)$ and for point $O_4$ (multiple point of $[F_4]$) another point of $(M_3)$. Then one sees without difficulty that the point of meeting $P$ of $(M_3)$ and $(M_4)$ is the vertex of a cone circumscribed at the same time to both auxiliary surfaces $[F_3]$ and $[F_4]$. The proposition demonstrated in this manner would allow proving formula (II) by means of a single one of the two formulas (6) and (7). Formula ($6_c$), for example, would then show us that the class of the cone circumscribed at the same time to both surfaces $[F_3]$ and $[F_4]$, is equal to \[ n'_3 - s = 2\,a_1 + 2\,c_1 - 3\,n_1 + n'_2 + r_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + 2\,\xi_2) + 4\,s \] and to \[ n'_4 - s = 2\,a_2 + 2\,c_2 - 3\,n_2 + n'_1 + r_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) + 4\,s. \]

26. Number $c'_3$ of Stationary Tangent Planes of a Cone Circumscribed to the Surface $[F_3]$. The stationary tangent planes of a cone circumscribed to a surface are the stationary tangent planes of the surface which pass through its vertex. This series of planes has for envelope a developable surface whose tangent planes passing through a given point must be counted.

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Let us take the point $O_3$. The sought planes are then among the number of tangent planes to $[F_3]$ that emanate from $O_3$. These are (see No. 23): $1^0$ the tangent planes to the tangent cone $[O_3\,(S_1)]$ of $[F_3]$ at the point $O_3$, $2^0$ the planes which pass through the right lines of $[F_3]$ that emanate from $O_3$, and $3^0$ the tangent planes to the cone $[O_3\,(A_1)]$ circumscribed to $[F_1]$ and to the cone $[O_3\,(C_1)]$ projecting its cuspidal edge.

One sees without difficulty that the tangent planes of the tangent cone at an $s$-tuple point of a surface which have stationary contact with this surface, will be $1^0$ the stationary tangent planes of the cone, and $2^0$ those whose generators of contact meet the surface in $(s + 2)$ points coinciding with the multiple point, unless these generators are only tangent to branches of the double curve and of the cuspidal curve. As all the right lines along which these planes are tangent to the envelope of stationary tangent planes of the surface pass through the multiple point, the planes count, at least, for two in the sought number of stationary tangent planes that emanate from the multiple point. Looking at an example${}^{*)}$ which offers no particular circumstance that could alter the general rule, one sees that the planes of the first class count for two, and those of the second class for three stationary tangent planes of the surface. One finds thus the two following terms${}^{**)}$ of the sought number $c'_3$ \[ 2\cdot n_{s, 1} + 3\cdot [s(s + 1) - 2\,h_{s, 1}]. \]

As the right lines of $[F_3]$ that emanate from the point $O_3$ are among the number of the $[s(s + 1) - 2\,h_{s, 1}]$ right lines which meet $[F_3]$ in $s + 2$ points coinciding with $O_3$, the planes which have these right lines as generators of contact with the tangent cone at $O_3$ are among the number of planes that we have just named. The other planes through these right lines which have stationary contacts with $[F_3]$ are, according to the preceding article${}^{***)}$, their $\bar{\beta}' (= 1\bar{\beta}' + 2\cdot 2\bar{\jmath} + 3\cdot 3\bar{\jmath})$ stationary planes taken three times, and two times more the $2\bar{\jmath}$ tangent planes at their double pinch-points and four times the $3\bar{\jmath}$ tangent planes at their triple pinch-points, the number $\bar{i}$ being equal to zero for all the right lines.

*) One can look at a surface of the fourth order endowed with a triple point. — The applications of the formula that we seek (see in what follows applications 2 and 3) would show it also, if we had attributed indeterminate coefficients to the terms due to these two classes of planes.

**) For the number of planes of the second class see Nos. 17 and 12.

***) See in the table of No. 10 the number of stationary tangent planes of the residual circumscribed cone.

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For the right lines $(D_{1, 3})$ which join $O_3$ to the fundamental points $D_1$ of $[F_1]$ one has (see No. 16 of the present article) \[ 1\bar{\beta}' = \nu_1 + z_1, \quad 2\bar{\jmath} = \eta_1, \quad 3\bar{\jmath} = \xi_1, \quad \bar{\beta}' = x_1 + z_1{}^{*)}, \] and for the other $n_2 + s$ right lines these characteristic numbers are equal to zero. One finds thus the following term of the sought number $c'_3$ \[ \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1). \]

A tangent plane to one of the cones $[O_3\,(A_1)]$ and $[O_3\,(C_1)]$ will be a stationary tangent plane of $[F_3]$ if its curve of intersection with $[F_3]$ has a cuspidal point. As the sections that planes through $O_3$ make of the surface $[F_3]$ correspond to those which they make of the surface $[F_1]$ (see No. 23), the sought planes will be $1^0$ the $c'_1$ stationary tangent planes of the surface $[F_1]$ (see No. 8), $2^0$ the osculating planes to the cuspidal curve $(C_1)$ of $[F_1]$, whose number we shall denote by $n_{c, 1}$ (see No. 5), and $3^0$ the $\sigma_1$ planes which are tangent to the surface $[F_1]$ at points of the curve $(C_1)$ (see No. 5). The cuspidal tangent of the section that one of these latter planes makes will be the right line which joins its cuspidal point to $O_3$; for this right line, which meets $[F_1]$ in three consecutive points, must also meet $[F_3]$ in three consecutive points${}^{**)}$. Now the cuspidal tangent of the section made by a stationary tangent plane is a generator of the envelope of stationary tangent planes. Therefore each of the $\sigma_1$ planes of which we speak counts for two stationary tangent planes of $[F_3]$ emanating from $O_3$. One finds thus the following terms of $c'_3$ \[ c'_1 + n_{c, 1} + 2\,\sigma_1. \]

The total expression for $c'_3$ becomes \[ \begin{aligned} c'_3 &= 2\cdot n_{s, 1} + 3\cdot [s(s + 1) - 2\,h_{s, 1}] \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) + c'_1 + n_{c, 1} + 2\,\sigma_1. \end{aligned} \tag{$8_a$} \] Replacing $n_{c, 1}$ by the expression which the Plückerian relations give for it \[ n_{c, 1} = \beta_1 + 3\,r_1 - 3\,c_1, \] and $n_{s, 1}$ and $h_{s, 1}$ by expressions (3), one finds \[ \begin{aligned} c'_3 &= c'_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 3\,c_1 + 2\,\sigma_1 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) + 18(p_2 - 1) + 18\,s. \end{aligned} \tag{$8_b$} \]

27. One finds, by means of the preceding article and No. 18 of the present article, that a residual circumscribed cone, drawn to the surface $[F_3]$

*) In formula (VI) of the introduction of the preceding article we set $v + 2\,\eta + 3\,\xi = x$.

**) One sees also without difficulty that this right line which joins $O_3$ to the cuspidal point of the section, which we call $P_{1, 3}$, is tangent to the direction $(P_{1, 3} P'_{1, 3})$ which is tangent to curves through $P_{1, 3}$ and on $[F_3]$ whose corresponding curves on $[F_1]$ have cuspidal points (see Nos. 4 and 5).

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from a point of its singular right line $(M_3)$ is endowed with $c'_3 - 3\,r_{s, 2}$ stationary tangent planes. As $c'_3$ has the value that we have just indicated, and $3\,r_{s, 2}$, that which is expressed in the first formula $(3_b)$, the residual circumscribed cone will have \[ \begin{aligned} & c'_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 3\,c_1 + 2\,\sigma_1 - 6\,(p_1 - 1) \\ & + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) + 18\,(p_2 - 1) + 12\,s \end{aligned} \] stationary tangent planes.

This number must, according to No. 25, be equal to that of the stationary tangent planes of a residual circumscribed cone drawn from a point of the right line $(M_4)$ to the other auxiliary surface $[F_4]$, or to \[ \begin{aligned} & c'_2 + \beta_2 + 3\,r_2 - 3\,c_2 + 2\,\sigma_2 - 6\,(p_2 - 1) \\ & + \Sigma(3\,x_2 + 3\,z_2 + 2\,\eta_2 + 4\,\xi_2) + 18\,(p_1 - 1) + 12\,s. \end{aligned} \] One finds thus the following equation, where we have substituted for $2\,(p - 1)$ its expression $a + c - 2\,n$ [see formulas (1)], \[ \tag{III} \left\{ \begin{aligned} & c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 15\,c_1 + 2\,\sigma_1 + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) = \\ & c'_2 - 12\,a_2 + 24\,n_2 + \beta_2 + 3\,r_2 - 15\,c_2 + 2\,\sigma_2 + \Sigma(3\,x_2 + 3\,z_2 + 2\,\eta_2 + 4\,\xi_2). \end{aligned} \right. \] The two members of this equation will make, if one subtracts $24$ from them, respectively for the two surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$, $24$ times the expression that M. Cayley${}^{*)}$ has given for the deficiency of a surface. Equation (III) therefore expresses the theorem of M. Clebsch${}^{**)}$: that two surfaces whose points correspond one-to-one are of the same deficiency.

V. Extensions of the Results Expressed by Equations (I), (II) and (III).

28. We supposed in the deduction of equations (I), (II) and (III) (see Nos. 12, 24 and 28) that neither of the surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$ is endowed with close-points [points-clos], that is to say, non-conical points where the cuspidal curve is met by the curves of contact of all cones circumscribed to the surface. If there are any on our surfaces and if all these points are fundamental, one will see, applying to them the same procedures as to the other fundamental points, that one can, in formulas (II) and (III), regard these points as conical points endowed with the following characteristics: $\mu = 2$, $v = z = 1$, $y = \eta = \xi = 0$, ($x = 1$). It will not

*) Philosophical Transactions 1869, p. 227. It must be remembered that we supposed that $\chi = \vartheta = 0$ (see No. 7 of the present article and the introduction of the preceding article. $\vartheta$ is the number of "off-points"). As for $\chi$, we shall have regard to it in the following number, and its coefficient will agree with the expression of M. Cayley. In what follows we shall also have regard to non-fundamental conical points.

**) Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 1868, Tome LXVII, p. 1238.

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be the same for formulas (I); but applying the same procedures that gave these formulas to surfaces endowed with fundamental close-points, and observing that a curve passing through a close-point is tangent there to every "first polar with respect to the surface", one finds without difficulty the modifications that these formulas will undergo. $\chi_1$ and $\chi_2$ are the numbers of close-points, and we denote by $\chi_{1, 2}$ and $\chi_{2, 1}$ the orders of the curves composed of the curves corresponding to these new fundamental points. One will therefore have, separating in the named equations these points from the other fundamental points (and replacing at the same time in equations (I) $2\,(p - 1)$ by its expression $a + c - 2\,n$) the following equations: \[ 3\,n_2 - a_2 - c_2 + s\,(n_1 - 4) - \chi_{1, 2} - \Sigma[\mu_{1, 2}\,(\mu_1 - 2)] - b_{1, 2} - 2\,c_{1, 2} = 0, \tag*{[$\mathrm{I}_a$]} \] \[ 3\,n_1 - a_1 - c_1 + s\,(n_2 - 4) - \chi_{2, 1} - \Sigma[\mu_{2, 1}\,(\mu_2 - 2)] - b_{2, 1} - 2\,c_{2, 1} = 0, \tag*{[$\mathrm{I}_b$]} \] \[ \begin{aligned} n'_1 - 2\,a_1 + 3\,n_1 + r_1 - 2\,c_1 + 2\,\chi_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + \xi_1) \\ = n'_2 - 2\,a_2 + 3\,n_2 + r_2 - 2\,c_2 + 2\,\chi_2 + \Sigma(\mu_2 + \eta_2 + \xi_2), \end{aligned} \tag*{[II]} \] \[ \left\{ \begin{aligned} & c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 15\,c_1 + 2\,\sigma_1 + 6\,\chi_1 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) \\ &= c'_2 - 12\,a_2 + 24\,n_2 + \beta_2 + 3\,r_2 - 15\,c_2 + 2\,\sigma_2 + 6\,\chi_2 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_2 + 3\,z_2 + 2\,\eta_2 + 4\,\xi_2), \end{aligned} \right. \tag*{[III]} \] where the sums $\Sigma$ are extended to fundamental points which lie at conical points and at simple points. $b_{1, 2}$, $c_{1, 2}$ and $\mu_{1, 2}$ denote the orders of the curves of $[F_2]$ which correspond to the double curve, to the cuspidal curve and to a fundamental point of $[F_1]$; $b_{2, 1}$, $c_{2, 1}$ and $\mu_{2, 1}$ have analogous significations.

29. We supposed in the preceding number that all the conical points and all the close-points are fundamental; but the formulas found will remain correct, if there are on the two surfaces:

$1^0$ conical points which correspond to one another and which are of the same order $\mu$, of the same deficiency $\pi$ (for $2\,(\pi - 1) = v + z + \xi - 2\,\mu$), and endowed with the same numbers $\eta$ and $\xi$ of double and stationary generators not tangent to the double curve and to the cuspidal curve,

$2^0$ close-points which correspond to one another,

and $3^0$ conical points endowed with the characteristics $\mu = 2$, $v = 2$, $y = \eta = \text{etc.} = 0$, and close-points which correspond to them,

and if the sum $\Sigma$ is extended to all conical points of the surfaces and to simple fundamental points${}^{*)}$. As simple fundamental points do not enter into equation [III], the latter expresses

*) The equations of the introduction of the preceding article will not be altered if one extends the sum $\Sigma$ also to simple points. — For a non-fundamental conical point, $\mu_{1, 2} = 0$ (or $\mu_{2, 1} = 0$).

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a necessary, but not sufficient, condition, which the characteristic numbers of the two surfaces must satisfy.

One can prove that if two surfaces whose points correspond one-to-one have conical points which correspond to one another without satisfying the named conditions, one or the other of these surfaces will have, at the conical point that lies on it, a fundamental point endowed with a fundamental direction (see No. 7). Formulas [I], [II] and [III] will therefore be applicable to two surfaces, endowed with the singularities named in the introduction of the preceding article, whose points correspond one-to-one, if they do not have

$1^0$ cuspidal curves corresponding to one another (see No. 3),

$2^0$ fundamental points endowed with fundamental directions (see No. 7),

$3^0$ fundamental points which lie at pinch-points or at points of the cuspidal curve that are neither conical points nor close-points (see No. 7).

VI. Applications.

1. The surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$ are planes${}^{*)}$. In this case formulas [I] give us \[ \Sigma(\mu_{1, 2}) = \Sigma(\mu_{2, 1}) = 3\,(s - 1). \] $\Sigma(\mu_{1, 2})$ and $\Sigma(\mu_{2, 1})$ are the orders of the curves which, in each of the planes, are composed of all the curves corresponding to fundamental points.

Equation [II] tells us that the two plane figures have the same number of fundamental points.

Equation [III] becomes an identity.

2. $[F_2]$ is a plane, $[F_1]$ has no cuspidal curve. Equation [III] gives us the necessary (but not sufficient) condition: \[ c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \Sigma(3\,x_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) - 24 = 0, \tag{9} \] which expresses that the deficiency of the surface $[F_1]$ must be equal to zero.

Equation $[\mathrm{I}_a]$ gives us the following expression for the order of the curve which corresponds to the double curve of $[F_1]$ \[ b_{1, 2} = s\,(n_1 - 4) + 3 - \Sigma[\mu_{1, 2}\,(\mu_1 - 2)]. \tag{10} \] Equation $[\mathrm{I}_b]$ gives us \[ \Sigma(\mu_{2, 1}) = 3\,s - 3\,n_1 + a_1. \tag{11} \] Equation [II] gives us the following expression for the number $m_2$ of fundamental points of the plane $[F_2]$:

*) The results indicated here were found by M. Cremona (Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane, Nota $\mathrm{II}^a$; tomo V (serie $2^a$) delle Memorie dell' Academia di Bologna 1865 and Giornale di matematiche tomo III).

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\[ m_2 = n'_1 - 2\,a_1 + 3\,n_1 + \Sigma(\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1) - 3. \tag{12} \] In the case where the surface $[F_1]$ has no fundamental points formulas (10) and (11) were demonstrated by M. Clebsch${}^{*)}$, and formula (12) agrees with the results found by this scholar for particular surfaces.

One can apply formulas (9)—(12) to the case of a surface $[F_1]$ endowed with a conical point $D$, whose characteristic numbers we shall denote as usual by $\mu$, $v$ etc.${}^{**)}$, and which is itself of order $\mu + 1$.

The double curve of this surface is composed of $y$ double right lines, the cuspidal curve of $z$ cuspidal right lines, and there are further $\mu\,(\mu + 1) - 4\,y - 6\,z$ simple right lines which lie on the surface. All these right lines pass through $D$. There is on each of the $z$ cuspidal right lines another conical point \[ (\mu = 3, \quad v = 3, \quad z = 1, \quad y = \eta = \xi = 0). \] One can find the class $n'$ of this surface and the number $c'$ of its stationary tangent planes which emanate from an arbitrary point, by the same procedure that gave us the same numbers for the surface $[F_3]$, seeking the tangent planes which pass through the conical point $D$. One finds the coefficients difficult to determine directly that one encounters in this research, and the other characteristic numbers of the surface, making use of the formulas given in the introduction of the preceding article. Then one can verify the results found by applying formulas (9)—(12) to the surface and to a plane that corresponds to it. The values that one finds are the following: \[ \begin{aligned} n &= \mu + 1 \\ a &= 2\,\mu + x \qquad (x = v + 2\,\eta + 3\,\xi) \\ n' &= 2\,\mu + 3\,x - y - 3\,z - \eta - 2\,\xi \\ c' &= 9\,x - 6\,z - 2\,\eta - 4\,\xi \\ \varkappa &= 3\,x + 3\,y + 3\,z + \eta + 2\,\xi \\ 2\,\delta &= x\,(4\,\mu + x - 9) + 6\,z - 2\,\eta - 4\,\xi \\ b &= y, \quad \varrho = y, \quad j = 2\,y, \quad f = 0 \\ c &= z, \quad r = 0, \quad \sigma = 0, \quad \chi = z, \quad \beta = 0, \quad i = 0 \\ &\phantom{{}=} \qquad\qquad\qquad \text{etc.} \end{aligned} \] We shall project this surface from the center $D$ onto a plane. Then the points of the surface and of the plane correspond one-to-one. In order to

*) Intorno alla rappresentazione di superficie algebriche sopra un piano, Istituto Lombardo 1868; Mathematische Annalen Bd. I, p. 280 etc.

**) Although $z$ must be equal to zero in the present application, I suppose that it will not be devoid of interest to know the characteristic numbers of the surface in cases where $z$ is not zero.

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to be able to make use of the results found in this article, we must suppose that $z = 0$; for to a cuspidal right line would correspond a fundamental point endowed with a fundamental direction. Then one has $c = 0$ [which was also supposed in formulas (9)—(12)]. The given surface has only a single fundamental point, which is situated at the conical point of order $\mu$. The curve which corresponds to it is of order $\mu_{1, 2} = \mu$. The fundamental points of the plane are those where it is met by the right lines of the surface, and the corresponding curves are these right lines, of which $y$ are double ($\mu_{2, 1} = 2$) while the other $\mu\,(\mu + 1) - 4\,y$ ($= 2\,\mu + x - 2\,y$) are simple ($\mu_{2, 1} = 1$). One has therefore \[ \begin{aligned} m_2 &= 2\,\mu + x - y, \\ \Sigma(\mu_{2, 1}) &= 2\,\mu + x. \end{aligned} \] As the double right lines correspond to points, one has $b_{1, 2} = 0$. These values are the same as one would find by means of equations (10), (11) and (12), $s$ being equal to $\mu + 1$.

The characteristic numbers of the surface satisfy also equation (9). The coefficients of $\eta$ and of $\xi$ in this equation, which is a particular case of [III], are determined by means of this example, and it is thus that we found the coefficients of $2\,\bar{\jmath}$ and of $3\,\bar{\jmath}$ in the expression, indicated in No. 10 of the preceding article, of the number of stationary tangent planes of the "residual circumscribed cone".

3. The surfaces $[F_1]$ and $[F_2]$ are two reciprocal surfaces ($[F]$ and $[F']$). In this case one has \[ \begin{aligned} n_1 &= n = n'_2, \\ n'_1 &= n' = n_2, \\ a_1 &= a = a' = a_2, \\ &\quad\ \text{etc.} \end{aligned} \] A point where there is an infinity of tangent planes will be a fundamental point, and if there is, among the number of these tangent planes at a same point, an infinity which pass through a same right line, the latter will be a fundamental direction. The fundamental points will therefore be found at the conical points, at the pinch-points and at the close-points. These latter two classes of points will always have fundamental directions, and the conical points will have them, if the tangent cones are endowed with double and cuspidal generators not tangent to the double curve and to the cuspidal curve. As we have not taken regard, in the deduction of our formulas, of fundamental directions, we must suppose that there are none on either of the two surfaces, or that \[ j = j' = \chi = \chi' = 0, \]

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and that, for every conical point and for every tangent plane along a curve of $[F]$, \[ \eta = \xi = 0 \quad\text{and}\quad \eta' = \xi' = 0, \] whence \[ x = v \quad\text{and}\quad x' = v'. \] The curve corresponding to a conical point is that along which the corresponding plane is tangent to the reciprocal surface, so that for all these points and planes \[ \mu_{1, 2} = v = x \quad\text{and}\quad \mu_{2, 1} = v' = x'. \] One will have further \[ s = a, \] \[ b_{1, 2} = \varrho, \quad b_{2, 1} = \varrho', \] \[ c_{1, 2} = \sigma, \quad c_{2, 1} = \sigma'. \] Equation $[\mathrm{I}_a]$ will then give us, if one replaces in it $3\,n' - c'$ by the quantity $3\,a - \varkappa$, which is equal to it (equation reciprocal to the $3^{\text{rd}}$ equation (II) of the introduction of the preceding article): \[ a\,(n - 2) = \varkappa + \varrho + 2\,\sigma + \Sigma[x\,(\mu - 2)], \] which is the $1^{\text{st}}$ equation (VIII) of the preceding article.

Equation $[\mathrm{I}_b]$ gives the reciprocal equation.

Our two other equations, [II] and [III], give us (as $a = a'$) the following results \[ 2\,n + r - 2\,c + \Sigma(\mu) = 2\,n' + r' - 2\,c' + \Sigma'(\mu'), \tag{13} \] \[ \begin{aligned} 24\,n + \beta + 3\,r - 16\,c + 2\,\sigma + \Sigma(3\,x + 3\,z) \\ = 24\,n' + \beta' + 3\,r' - 16\,c' + 2\,\sigma' + \Sigma'(3\,x' + 3\,z'). \end{aligned} \tag{14} \] One cannot deduce these results from the equations which are indicated in the introduction of the preceding article and from the reciprocal equations, but rather the following equation which one finds by subtracting the two members of (14) from those of equation (13) after having multiplied the latter by $6$: \[ \left\{ \begin{aligned} & - 12\,n + 3\,r + 4\,c - \beta - 2\,\sigma + \Sigma(6\,\mu - 3\,x - 3\,z) = \\ & - 12\,n' + 3\,r' + 4\,c' - \beta' - 2\,\sigma' + \Sigma'(6\,\mu' - 3\,x' - 3\,z'). \end{aligned} \right. \tag{15} \] One of the two equations (13) and (14) can replace one of the two equations that we neglected in the introduction of the preceding article.

Instead of deducing equation (15) from the equations of the preceding article, among the number of which is the equation $i' = i$, one can make use of equation (15), found here by another path, to demonstrate${}^{*)}$ that $i' = i$.

*) See No. 11 of the preceding article.

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Indeed, one finds by means of the first equation (II)${}^{*)}$ and equation (IV) \[ c \cdot n\,(n - 1) = a\,c + 2\,b\,c + 3\,c + 3\,r + 6\,h + 9\,\beta. \] Subtracting from it the last equation (IX) and the last equation (VIII) after having multiplied the latter by four, one finds (as $\chi = \eta = \xi = 0$) \[ c + 3\,r - \beta - 5\,\sigma + 2\,i - \Sigma(z) + \Sigma'(2\,v') = 0. \tag{16} \] One deduces, in the same manner, from the first equation (II), from the equation reciprocal to the second equation (II) and from the first equations (VIII) and (IX): \[ - a + n' - \varkappa + \sigma + \Sigma(x) = 0, \] or rather, as \[ \varkappa = c' + 3\,a - 3\,n' \quad\text{[equation reciprocal to the } 3^{\text{rd}} \text{ (II)]}, \] \[ 4\,n' - 4\,a - c' + \sigma + \Sigma(x) = 0. \tag{17} \] One sees, by means of equations (16) and (17) and the reciprocal equations (and the equation $a' = a$), that the quantities \[ c + 3\,r - \beta - 5\,\sigma + 2\,i - \Sigma(z + 2\,v) \] and \[ - 4\,n + c + \sigma + \Sigma(x) \] are equal to the reciprocal quantities which one forms by substituting accented letters for unaccented letters. The quantity \[ - 12\,n + 4\,c + 3\,r - \beta - 2\,\sigma + 2\,i + \Sigma(3\,x - z - 2\,v), \] which is composed of them, satisfies therefore the same condition.

The same thing takes place, according to equation (15), with respect to the quantity \[ - 12\,n + 4\,c + 3\,r - \beta - 2\,\sigma + \Sigma(6\,\mu - 3\,x - 3\,z), \] and, consequently, also with respect to \[ 2\,i + \Sigma(6\,x - 6\,\mu + 2\,z - 2\,v). \] Now one has for each conical point of $[F]$ and for each tangent plane to $[F]$ along a curve [$2^{\text{nd}}$ equation (VII)] \[ \begin{aligned} v &= z + 3\,x - 3\,\mu, \\ v' &= z' + 3\,x' - 3\,\mu'; \end{aligned} \] (for, in the present case, where $\eta = 0$ and where one must consider separately a sheet passing through a conical point formed by other sheets, the tangent cone at a conical point cannot be composed of parts among the number of which there are planes). Therefore \[ i = i'. \]

*) The formulas of the introduction of the preceding article are, in this demonstration, the only ones which are marked with Roman numerals. —

We follow, in the deduction of equations (16) and (17), calculations made by M. Cayley. Phil. Trans. 1869, pp. 203 and 227.

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VII. Addition on the Representation of a Surface on a Multiple Plane.

One can apply the same procedures that we used in this memoir, to the research of the properties of two surfaces whose points correspond in a multiple manner. We shall content ourselves here with occupying ourselves with the representation of a surface on a multiple plane, say $N$-tuple. In this case, to each point of the surface corresponds a single point of a plane, but to a point of the plane correspond $N$ points of the surface. For the points of a certain curve of the plane, the transition curve (Uebergangscurve), two of these $N$ points coincide. One sees that this curve will play the same role as, in what precedes, the curve of contact of a circumscribed cone or the cuspidal curve, and we shall denote its order by $A$, its class by $N'$ and the number of its stationary tangents by $C'$. The multiple plane can contain fundamental points: the order $\mu$ of one of these fundamental points indicates the number of sheets of the multiple plane that contribute to forming it [the points of the ($N - \mu$) other sheets that coincide with the fundamental point have as correspondents ($N - \mu$) isolated points of the surface], and the class $v$ indicates the number of branches of the transition curve that pass through the point.

If we suppose that it is the surface $[F_2]$ that reduces to a multiple plane, we shall have, making the ordinary use of indices 1 and 2 and of the notation $s$, the equations \[ 3\,N - A + s\,(n_1 - 4) - \chi_{1, 2} - \Sigma[\mu_{1, 2}\,(\mu_1 - 2)] - b_{1, 2} - 2\,c_{1, 2} = 0 \tag*{[1]} \] \[ \begin{aligned} n'_1 - 2\,a_1 + 3\,n_1 + r_1 - 2\,c_1 + 2\,\chi_1 + \Sigma[\mu_1 + \eta_1 + 2\,\xi_1] \\ = N' - 2\,A + 3\,N + \Sigma(\mu_2) \end{aligned} \tag*{[2]} \] \[ \left\{ \begin{aligned} & c'_1 - 12\,a_1 + 24\,n_1 + \beta_1 + 3\,r_1 - 15\,c_1 + 2\,\sigma_1 + 6\,\chi_1 \\ &\quad + \Sigma(3\,x_1 + 3\,z_1 + 2\,\eta_1 + 4\,\xi_1) = C' - 12\,A + 24\,N + \Sigma(3\,v_2), \end{aligned} \right. \tag*{[3]} \] which one proves like the analogous equations $[\mathrm{I}_a]$, [II] and [III]. In the demonstration of [1] one makes use of the following equation, which I proved in the Mathematische Annalen, 3. Bd. p. 324, \[ 2\,(P - 1) = A - 2\,N, \tag*{[4]} \] where $P$ is the deficiency of the curve of $[F_1]$ that corresponds to a plane section of the multiple plane. (One could call $P$ the deficiency of this section which is a multiple right line. The analogy of equation [4] with equation (1) in No. 1 is then evident.)

Applying to the present case the same procedures that give equation $[\mathrm{I}_b]$, one sees that one must replace, in this equation, \[ (s\,(n_2 - 1) - \Sigma[\mu_{2, 1}\,(\mu_2 - 1)] - b_{2, 1} - 3\,c_{2, 1}) + c_{2, 1} \]

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by the order $A_{2, 1}$ of the curve which on $[F_1]$ corresponds to the transition curve. One finds thus \[ A_{2, 1} = a_1 + c_1 - 3\,n_1 + 3\,s - \Sigma(\mu_{2, 1}). \tag*{[5]} \] To complete these results we shall place here the general equation of which equation [4] is a particular case: \[ A = 2\,(P_{2, 1} - 1) - 2\,N\,(P_2 - 1), \] where $P_2$ is the deficiency of a curve in the image plane penetrating all its $N$ sheets, and $P_{2, 1}$ that of the corresponding curve. This equation is proved at the cited place.

M. Clebsch applied the representation on a double plane to the research of the properties of a surface of the fifth order endowed with a double curve of the fourth order of the first species${}^{*)}$. This surface has the characteristic numbers: \[ \begin{gathered} n = 5, \quad a = 12, \quad c = r = \sigma = \chi = \beta = 0 \\ n' = 20, \quad c' = 48. \end{gathered} \] In the representation of this surface on a double plane of which M. Clebsch makes use, one has \[ \begin{gathered} N = 2, \quad s = 5, \quad A = 6, \quad N' = 16, \quad C' = 30, \\ b_{1, 2} = 8, \quad A_{2, 1} = 7, \quad P = 2. \end{gathered} \] There are on the surface three simple fundamental points, to which correspond right lines ($\mu_1 = 1$, $\mu_{1, 2} = 1$). In the plane there are two fundamental points: one has \[ \begin{aligned} \text{for the one} \quad &\mu_2 = 2, \quad v_2 = 4, \quad \mu_{2, 1} = 3, \\ \text{for the other} \quad &\mu_2 = 2, \quad v_2 = 2, \quad \mu_{2, 1} = 2. \end{aligned} \] These quantities satisfy equations [1]—[5], which could help in finding them. —

We propose as an exercise the application of our formulas to the following question:

Let a surface of the sixth order, endowed with two double right lines which do not meet, be represented on a double plane by projecting all its points on the plane by right lines which meet the double lines; what will then be the properties of the image, and what properties of the surface can one find by means of this representation?

As for the solution of these questions, I have myself confined myself to the determination of the numbers that enter into my formulas.

*) Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 15. Bd.

Copenhagen, February 1871.

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Revision history (2)

2026-09-22 — Translation (en) added (AI draft); glossary.yaml added.
2026-09-20 — Transcription added (AI draft).

@article{Zeuthen1871Etudes,
  author = {Zeuthen, Hieronymus Georg},
  title = {Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un.},
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Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un.

Original (French)

Études géométriques de quelques-unes des propriétés de deux surfaces dont les points se correspondent un-à-un.

Par H. G. Zeuthen à Copenhague.

I. Remarques préliminaires${}^{*)}$.

II. Propriétés des courbes qui sur l'une des deux surfaces correspondent à des sections planes de l'autre.

III. Construction et propriétés de surfaces auxiliaires.

IV. Cônes circonscrits à $[F_3]$ ou à $[F_4]$; usage des surfaces auxiliaires.

V. Extensions des résultats exprimés par les équations (I), (II) et (III).

VI. Applications.

VII. Addition sur la représentation d'une surface sur un plan multiple.

English translation

Geometric Studies of Some Properties of Two Surfaces Whose Points Correspond One-to-One.

By H. G. Zeuthen in Copenhagen.

I. Preliminary Remarks${}^{*)}$.

II. Properties of Curves Which on One of the Two Surfaces Correspond to Plane Sections of the Other.

III. Construction and Properties of Auxiliary Surfaces.

IV. Cones Circumscribed to $[F_3]$ or to $[F_4]$; Use of Auxiliary Surfaces.

V. Extensions of the Results Expressed by Equations (I), (II) and (III).

VI. Applications.

VII. Addition on the Representation of a Surface on a Multiple Plane.