Zur Integration der partiellen Differentialgleichung $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$.

page 218

Zur Integration der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. \]

(Von Herrn H. A. Schwarz in Zürich.)

Im vierten Hefte des 73. Bandes dieses Journals hat Herr Prym in einer Abhandlung „Zur Integration der Differentialgleichung $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$“ p. 340 bis 364 auf einen im XV. Jahrgange der Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich (p. 113 bis 128) veröffentlichten Aufsatz Bezug genommen, durch dessen Abdruck an dieser Stelle einigen Lesern des Journals vielleicht ein Dienst geleistet wird. Bei dieser Gelegenheit sind zu dem erwähnten Aufsatze einige Anmerkungen hinzugefügt worden, welche hauptsächlich die Beziehungen zu anderen Bearbeitungen desselben Gegenstandes oder nahe verwandter Gebiete betreffen. Eine Fortsetzung und theilweise Erweiterung der in jenem Aufsatze enthaltenen Untersuchungen bildet den übrigen Inhalt der vorliegenden Mittheilung.

Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \] für die Fläche eines Kreises.

In seiner Inauguraldissertation (Art. 18, 19, 21) und in seiner Abhandlung über die Theorie der Abelschen Functionen (d. Journ. Bd. 54, p. 112, 114) hat Riemann einige die Integration der partiellen Differentialgleichung \[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \] für ein gegebenes Gebiet $T$ unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen betreffende allgemeine Lehrsätze ausgesprochen, für welche meines Wissens ein strenger Beweis gegenwärtig noch nicht bekannt ist.

page 219

Auch für den einfachen und wichtigen Specialfall, in welchem das gegebene Gebiet eine schlichte Kreisfläche ist, können die bisherigen Untersuchungen, soweit meine Kenntniss derselben reicht, nicht als vollständig angesehen werden.

Wenn der Werth der gesuchten Function $u$ in jedem Punkte der Begrenzung des Gebietes vorgeschrieben ist, und diese längs der Begrenzung vorgeschriebene Werthenreihe ausser der Bedingung, stetig zu sein, keiner anderen Beschränkung unterworfen wird, so ist die Annahme nicht zulässig, dass die gesuchte Function $u$ längs der Begrenzung endliche partielle Ableitungen $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$, beziehungsweise $\frac{\partial u}{\partial p}$ besitze, da unter den gemachten Voraussetzungen partielle Ableitungen der Function $u$ längs des Randes im Allgemeinen überhaupt nicht existiren. Auf diesen Umstand, auf den vor mehreren Jahren Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen aufmerksam gemacht hat, ist, soviel ich weiss, bisher nicht Rücksicht genommen worden.

Im Nachfolgenden beschränke ich mich auf die Betrachtung des Falles, in welchem das Gebiet der unabhängigen Variablen $x$ und $y$ eine die Ebene einfach bedeckende Kreisfläche $S$ ist; jedoch mit Ausschliessung von Stetigkeitsunterbrechungen und unendlich grossen Werthen in der für die Function $u$ längs der Begrenzung der Fläche $S$ vorgeschriebenen Werthenreihe.

§. 1.

In der Ebene $A$, deren Punkte die complexe Grösse \[ z = x + yi = r \cdot e^{i\varphi} \] geometrisch darstellen, sei gegeben ein ganz im Endlichen liegender, die Ebene allenthalben nur einfach bedeckender Bereich $T$, dessen Begrenzung von einer endlichen Anzahl von Stücken analytischer Linien gebildet wird.

Für den Bereich $T$ sei definirt eine (reelle) Function $u$ der beiden reellen unabhängigen Variablen $x$, $y$ und zwar als eine endliche, stetige und eindeutige Function derselben für alle Punkte im Innern und auf der Begrenzung von $T$.

Es wird vorausgesetzt, dass die partiellen Ableitungen \[ \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \]

page 220

existiren, endliche, stetige und eindeutige Functionen von $x$ und $y$ sind und die Gleichung \[ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \] erfüllen.

Jedoch werden diese, die Ableitungen betreffenden Voraussetzungen entweder

I. nur für alle inneren Punkte des Gebietes $T$

oder

II. auch für alle Punkte der Begrenzung von $T$ einschliesslich gestellt. Hiernach sollen die für $u$ und für die Ableitungen von $u$ gestellten Voraussetzungen im Folgenden als „Bedingungen I“ und „Bedingungen II“ von einander unterschieden werden.${}^{*)}$

*) Herr Carl Neumann fordert in zwei Abhandlungen: „Revision einiger allgemeinen Lehrsätze aus der Theorie des Logarithmischen Potentials“, Mathematische Annalen von Clebsch und Neumann, Bd. 3, p. 325—349 und „Zur Theorie des Logarithmischen und des Newtonschen Potentiales. Zweite Mittheilung“, Berichte der K. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, math.-phys. Classe, October 1870, p. 264—321, ausser den in §. 1 angegebenen Bedingungen: a. „gleichmässige“ Stetigkeit und b. die Existenz der Ableitung $\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}$ für das Innere des betrachteten Gebietes. Hierzu ist Folgendes zu bemerken:

a. Mit Recht hat Herr Heine darauf aufmerksam gemacht (dieses Journal, Bd. 71, p. 361), dass bei der Erklärung der Stetigkeit einer Function zweier oder mehrerer Argumente sorgfältig zu Werke gegangen werden muss, wenn diese Erklärung analytisch brauchbar sein soll. Insbesondere erweist sich folgende Definition: „Eine Function zweier Argumente ist eine stetige Function derselben, wenn diese Function innerhalb des in Betracht kommenden Gebietes für jeden Werth des ersten Arguments eine stetige Function des zweiten und gleichzeitig für jeden Werth des zweiten Arguments eine stetige Function des ersten ist“, in den meisten Fällen als unzureichend, wenn es sich darum handelt, aus derselben Schlüsse zu ziehen. Diese Erklärung ist daher als unbrauchbar zu verwerfen, ganz abgesehen davon, dass dieselbe, wie Herr Thomae bemerkt hat, auch solche Functionen umfasst, welche gewöhnlich unstetig genannt werden, wie z. B. die Function $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ in einem den Punkt $x=0$, $y=0$ in seinem Innern enthaltenden Gebiete. Vergl. die Schrift des Herrn Thomae: „Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunctionen einer Veränderlichen“, Halle 1870, Nebert, p. 13—16. — Bei Beginn meiner mathematischen Studien habe ich folgende Erklärung der Stetigkeit einer Function zweier Argumente kennen gelernt, die ich auch jetzt noch für die richtige halte: „Eine Function $f(x, y)$ ist in der Umgebung des Werthepaares $x_0$, $y_0$ eine stetige Function ihrer beiden (stetig veränderlichen) reellen Argumente, wenn es nach Annahme einer von Null verschiedenen, sonst hinsichtlich ihrer Kleinheit keiner Beschränkung unterworfenen positiven Grösse $\varepsilon$ stets möglich ist, in der Umgebung des Werthepaares $x_0$, $y_0$ einen nach zwei Dimensionen ausgedehnten Bereich abzugrenzen, so dass für alle, zugleich dem ursprünglichen Bereiche der Variablen, für den die Function erklärt ist, und dem abgegrenzten Bereiche zugehörenden Werthepaare $x_0 + h$, $y_0 + k$ die Differenz $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ dem absoluten Betrage nach kleiner ist als $\varepsilon$. Hierbei ist die Gestalt jenes abgegrenzten Bereiches im Allgemeinen keinen Beschränkungen unterworfen. Genügt eine Function dieser Bedingung für alle dem Innern und für alle der Begrenzung eines gegebenen Bereiches der unabhängigen Variablen angehörenden Werthepaare $x_0$, $y_0$, so ist die betrachtete Function für diesen Bereich eine stetige Function ihrer Argumente“. Es scheint mir kein Bedürfniss vorzuliegen, von dieser Erklärung abzugehen, da mit Hülfe einer von Bolzano ersonnenen und von Herrn Weierstrass weiter entwickelten Schlussweise ohne Schwierigkeit der Nachweis geführt werden kann, dass jede Function, welche im obigen Sinne für einen gegebenen Bereich eine stetige Function ihrer Argumente ist, für denselben Bereich auch in dem Sinne des Herrn Heine gleichmässig stetig ist. Da auch das Umgekehrte stattfindet, so decken sich die beiden Begriffe vollkommen. Auf der anderen Seite erwächst aber aus der Bemerkung des Herrn Heine die unabweisbare Forderung, welche insbesondere bei einem Existenzbeweise nicht unerfüllt bleiben darf, dass, wenn die Stetigkeit einer analytisch dargestellten Function bewiesen werden soll, durch den Beweis die Stetigkeit der Function in genau demselben Umfange dargethan werde, in welchem die Definition der Stetigkeit bei allgemeinen Untersuchungen vorausgesetzt werden muss, um analytisch brauchbar zu sein. Dieser Forderung habe ich in §. 5, in §. 8 und §. 11 zu entsprechen gesucht.

b. Die Forderung der Existenz der partiellen Ableitung $\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}$ scheint mir unnöthig zu sein, da die Endlichkeit, Stetigkeit und Eindeutigkeit dieser Ableitung für das Innere des betrachteten Gebietes — man sehe §. 2 bis §. 5 des Textes — bereits eine nothwendige Folge der übrigen Voraussetzungen ist. Es mag bemerkt werden, dass im Gegentheil die in §. 1 hinsichtlich der zweiten Ableitungen $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ und $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ gemachten Voraussetzungen noch auf ein geringeres Mass zurückgeführt werden können, da die in §. 2 angeführten Sätze auch dann noch unverändert gelten, wenn in einzelnen Punkten oder längs einzelner Linien von der Forderung der Existenz zweiter Ableitungen abgesehen oder die Erfüllung der Gleichung $\Delta u = 0$ ungewiss gelassen wird. Vergl. die Formulirung der Bedingungen für den im Art. 10 der Dissertation Riemanns bewiesenen Lehrsatz.

page 221

§. 2.

a. Sind $u$ und $u'$ zwei für denselben Bereich $T$ den Bedingungen II (s. den vorhergehenden Paragraphen) genügende Functionen, so haben die beiden Integrale \[ \int (u\,\Delta u' - u'\,\Delta u)\,dT \quad \text{und} \quad -\int \Bigl(u\,\frac{\partial u'}{\partial p} - u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\Bigr)\,ds, \] von denen das erste über den Bereich $T$ selbst, das zweite über alle Begrenzungslinien desselben zu erstrecken ist, den Werth Null; das erste, weil $\Delta u$ und $\Delta u'$ beständig gleich Null sind, das zweite, weil es durch theilweise Integration aus dem ersten erhalten werden kann (s. Green: „An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Elec-

page 222

tricity and Magnetism.“ Dieses Journal, Bd. 44, p. 360; Riemanns Inaug.-Diss., Art. 7 bis 10).${}^{*)}$

b. Setzt man $u' = 1$, also $\frac{\partial u'}{\partial p} = 0$, so ergiebt sich der Satz: Das über alle Begrenzungslinien eines Bereiches $T$, für welchen die Function $u$ den Bedingungen II genügt, zu erstreckende Integral $\displaystyle\int \frac{\partial u}{\partial p}\,ds$ hat den Werth Null.

§. 3.

Eine Function $u$ genüge für die Fläche $S$ des mit dem Radius $1$ um den Punkt $z = 0$ beschriebenen Kreises den Bedingungen I.

Man setze $u' = \log r$ (s. Riemanns Dissertat. Art. 10). Die Curven constanter Werthe von $u'$ sind concentrische Kreise, deren Mittelpunkt der Punkt $z = 0$ ist. Sind $R_1$ und $R_2$ zwei specielle zwischen $1$ und $0$ liegende Werthe von $r$ mit der Bedingung $1 > R_1 > R_2 > 0$, so genügen die Functionen $u$ und $u'$ für das von den beiden Kreisen mit dem Mittelpunkte $z = 0$ und den Radien $R_1$ und $R_2$ begrenzte Ringgebiet $T$ den Bedingungen II, und es sind daher die Voraussetzungen des Satzes §. 2, a erfüllt.

*) Am angeführten Orte stellt Green dieselben Bedingungen, welche in §. 1 als Bedingungen II bezeichnet worden sind. Eine analoge Voraussetzung findet statt bei dem Beweise, den Gauss für den Satz \[ \int V \frac{\partial V}{\partial p}\,ds = -\int \Bigl[\Bigl(\frac{\partial V}{\partial x}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial V}{\partial y}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial V}{\partial z}\Bigr)^2\Bigr]\,dT \] giebt. (Werke, Bd. V., p. 226.) Derselben Einschränkung sind aber auch die Beweise zu unterwerfen, welche Herr Durège in der Schrift: „Elemente der Theorie der Functionen einer complexen veränderlichen Grösse“, Leipzig, Teubner, 1864, p. 203 und Herr C. Neumann in der Schrift: „Das Dirichletsche Princip“, Leipzig, Teubner, 1865 p. 9. gegeben haben, da dieselben nur Uebertragungen des Gaussischen Beweises auf den Fall zweier unabhängigen Variablen sind.

Auf der anderen Seite findet man in dem Aufsatze des Herrn Betti: „Sopra le funzioni sferiche“, Annali di Matematica, II. Serie, Tomo I., p. 81—87 und in demjenigen des Herrn Dini: „Sopra le funzioni di una variable complessa“, ebendaselbst, Tomo IV., p. 159—174, die Untersuchung auf den Fall beschränkt, in welchem die Erfüllung der Bedingungen II gefordert wird. Hierbei zeigt sich jedoch eine andere Unzuträglichkeit, da die in den Endformeln auftretende, die gegebenen Randwerthe darstellende, sogenannte willkürliche Function keineswegs willkürlich gewählt werden darf, wenn die Bedingung endlicher Differentialcoefficienten einschliesslich des Randes gestellt wird. Welchen beschränkenden Voraussetzungen aber diese Function ausser der Bedingung stetig zu sein in diesem Falle zu unterwerfen ist, geht, wie mir scheint, aus jenen Untersuchungen nicht hervor.

page 223

Das über die ganze Begrenzung von $T$ erstreckte Integral \[ \int \Bigl(u\,\frac{\partial u'}{\partial p} - u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\Bigr)\,ds \] hat demnach den Werth Null. Es ist zu zeigen, dass jedes der über die ganze Begrenzung von $T$ erstreckten Integrale \[ \int u\,\frac{\partial u'}{\partial p}\,ds \quad \text{und} \quad \int u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\,ds \] für sich den Werth Null hat.

Längs des Kreises mit dem Radius $R_1$ hat $u'$ den constanten Werth $\log R_1$ und längs des Kreises mit dem Radius $R_2$ den constanten Werth $\log R_2$. Es ist also \[ \int u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\,ds = \log R_1 \cdot \int_{(r = R_1)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds + \log R_2 \cdot \int_{(r = R_2)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds. \] Wendet man den Satz §. 2, b auf die Fläche des Kreises mit dem Radius $R_1$ und auf das Ringgebiet $T$ an, so erhält man \[ \int_{(r = R_1)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds = 0, \quad \int_{(r = R_1)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds + \int_{(r = R_2)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds = 0, \] folglich ist auch \[ \int_{(r = R_2)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds = 0. \] Daher hat das Integral $\displaystyle\int u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\,ds$ und also auch das Integral $\displaystyle\int u\,\frac{\partial u'}{\partial p}\,ds$ den Werth Null, wenn beide Integrale über die ganze Begrenzung von $T$ erstreckt werden.

Es ergiebt sich für $r = R_1$, $\frac{\partial u'}{\partial p} = -\frac{1}{R_1}$ und für $r = R_2$, $\frac{\partial u'}{\partial p} = \frac{1}{R_2}$. Setzt man daher für $ds$ seinen Werth $R_1 \cdot d\varphi$, beziehlich $R_2 \cdot d\varphi$ und bezeichnet den Werth der Function $u$ in dem Punkte $z = r \cdot e^{i\varphi}$ mit $u(r, \varphi)$, so erhält man aus der Gleichung $\displaystyle\int u\,\frac{\partial u'}{\partial p}\,ds = 0$ die folgende \[ \int_0^{2\pi} u(R_2, \varphi)\,d\varphi = \int_0^{2\pi} u(R_1, \varphi)\,d\varphi. \]

In dieser Gleichung sind $R_2$ und $R_1$ zwei von einander unabhängige veränderliche Grössen, welche alle Werthe zwischen $0$ und $1$ annehmen können, wobei jedoch die Werthe $0$ und $1$ zunächst noch ausgeschlossen sind. Nun folgt aber aus der Voraussetzung, dass die Function $u$ eine

page 224

stetige Function der Variablen $x$ und $y$, also auch der Variablen $r$ und $\varphi$ ist, dass der Werth des Integrals $\displaystyle\int_0^{2\pi} u(r, \varphi)\,d\varphi$ für alle Werthe von $r$ zwischen $0$ und $1$, einschliesslich der Werthe $0$ und $1$, sich mit dem Werthe von $r$ nicht anders als stetig ändern kann. Aus diesem Grunde bleibt die obige Gleichung, obgleich bei deren Herleitung zunächst vorausgesetzt wurde, dass $R_2$ und $R_1$ von $0$ und $1$ verschieden seien, auch dann noch bestehen, wenn $R_2 = 0$ und $R_1 = 1$ gesetzt wird. Für den Werth $R_2 = 0$ geht das Integral auf der linken Seite in $2\pi \cdot u(0)$ über, wenn mit $u(0)$ der Werth von $u$ im Punkte $z = 0$ bezeichnet wird. Es besteht daher die Gleichung \[ u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(1, \varphi)\,d\varphi. \]

§. 4.

Bei zweckmässig geänderter Bestimmung der Function $u'$ führt die im vorhergehenden Paragraphen entwickelte Schlussweise, welche dem Art. 10 der Dissertation Riemanns entnommen ist, auch zu einem Ausdruck für den Werth $u(r, \varphi)$ der Function $u$ in einem beliebigen, dem Innern der Kreisfläche angehörenden Punkte $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$, unter der alleinigen Voraussetzung, dass die Function $u$ für die Fläche $S$ den Bedingungen I genüge.

Dem Punkte $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ innerhalb der Fläche $S$ werde zugeordnet der Punkt $z_0' = \frac{1}{r} e^{i\varphi}$ ausserhalb derselben; $0 < r < 1$. Alle Punkte $z$, deren Abstände von den Punkten $z_0$ und $z_0'$, $[z - z_0]$ und $[z - z_0']$, ein constantes Verhältniss haben, $\frac{[z - z_0]}{[z - z_0']} = r \cdot t$, mit der Einschränkung $0 \le t \le 1$, liegen auf einem der Fläche $S$ angehörenden Kreise, dessen Mittelpunkt $c$ und dessen Radius $R$ durch die Gleichungen \[ c = z_0 \cdot \frac{1 - t^2}{1 - r^2 t^2}, \quad R = \frac{t(1 - r^2)}{1 - r^2 t^2}, \quad z_0 - c = z_0 \cdot R \cdot t \] gegeben werden. Für $t = 1$ fällt dieser Kreis mit der Begrenzung von $S$ zusammen, für $t = 0$ geht derselbe in einen Punkt, nämlich in den Punkt $z_0$ über.

page 225

Zu jedem Punkte $z$ von $S$ gehört nach dem Vorhergehenden, sobald der Punkt $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ fixirt ist, ein Werth von $t$, $0 \le t \le 1$, also auch je ein Werth von $c$ und $R$. Setzt man nun $z - c = R \cdot e^{i\psi}$, so entspricht jedem Punkte $z$ von $S$ mit Ausnahme des Punktes $z_0$ ein Werth von $\psi$, welcher der Bedingung $0 \le \psi < 2\pi$ genügt, und für den die Gleichung $z - c = R \cdot e^{i\psi}$ erfüllt ist. Da auch umgekehrt zu jedem Werthepaare $t$, $\psi$ nur ein Werth von $z$ gehört, so können $t$ und $\psi$ als unabhängige Variable gewählt werden. Es geht dann die Function $u$ von $x$ und $y$ in eine Function von $t$ und $\psi$ über. Der dem Werthepaare $t$, $\psi$ eindeutig entsprechende Werth von $u$ möge mit $u[t; \psi]$ bezeichnet werden. Für die Werthe $t = 1$ und $t = 0$ ergeben sich die Identitäten $u[1; \psi] = u(1, \psi)$, $u[0; \psi] = u(r, \varphi)$. Auch in Beziehung auf die Variablen $t$ und $\psi$ ändert sich die Function $u$ für alle in Betracht kommenden Werthepaare mit beiden Argumenten stetig.

Man setze $u'$ gleich dem reellen Theile der analytischen Function $\log \frac{z - z_0}{z - z_0'}$, \[ u' = \log \frac{[z - z_0]}{[z - z_0']} = \log(r \cdot t). \] Es seien $t_1$ und $t_2$ zwei specielle Werthe von $t$, welche beide zwischen $1$ und $0$ liegen, mit der Bedingung $1 > t_1 > t_2 > 0$. $R_1$ und $R_2$ seien die Radien der diesen Werthen von $t$ entsprechenden zwei Kreise, $T$ bezeichne das von diesen beiden Kreisen begrenzte Ringgebiet.

Nun genügen die Functionen $u$ und $u'$ für die Fläche $T$, die Function $u$ für die Fläche des Kreises mit dem Radius $R_1$ den Bedingungen II; längs beider Begrenzungslinien von $T$ hat die Function $u'$ je einen constanten Werth. Mittelst derselben Schlüsse wie in §. 3 wird daher gefolgert, dass das über die ganze Begrenzung von $T$ erstreckte Integral $\displaystyle\int u \frac{\partial u'}{\partial p}\,ds$ auch in dem vorliegenden Falle den Werth Null hat.

Man erhält für $\frac{\partial u'}{\partial p}$ längs der beiden den Werthen $t = t_1$, $t = t_2$ entsprechenden Begrenzungslinien von $T$ beziehlich die Werthe \[ -\frac{1}{R_1} \cdot \frac{1 - r^2 t_1^2}{1 - 2r t_1 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_1^2} \] und \[ \frac{1}{R_2} \cdot \frac{1 - r^2 t_2^2}{1 - 2r t_2 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_2^2}. \]

page 226

Wenn daher für $ds$ sein Werth $R_1 \cdot d\psi$, beziehlich $R_2 \cdot d\psi$ gesetzt wird, so ergiebt sich aus der Gleichung $\displaystyle\int u \frac{\partial u'}{\partial p}\,ds = 0$ die folgende \[ \begin{gathered} \int_0^{2\pi} u[t_2; \psi] \frac{1 - r^2 t_2^2}{1 - 2r t_2 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_2^2} \cdot d\psi = \\ = \int_0^{2\pi} u[t_1; \psi] \frac{1 - r^2 t_1^2}{1 - 2r t_1 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_1^2} \cdot d\psi. \end{gathered} \]

Die Grössen $t_1$ und $t_2$ sind von einander unabhängig und können alle Werthe zwischen $1$ und $0$ annehmen, ausgenommen die Werthe $1$ und $0$ selbst. Aus den über die Function $u$ gemachten Voraussetzungen folgt aber, dass für alle Werthe von $t$ zwischen $1$ und $0$, einschliesslich der Werthe $1$ und $0$, der Werth des Integrals \[ \int_0^{2\pi} u[t; \psi] \frac{1 - r^2 t^2}{1 - 2rt \cos(\psi - \varphi) + r^2 t^2}\,d\psi \] sich mit dem Werthe von $t$ nicht anders als stetig ändern kann; daher bleibt die obige Gleichung auch dann noch bestehen, wenn $t_2 = 0$, $t_1 = 1$ gesetzt wird. Für den Werth $t_2 = 0$ geht die linke Seite der Gleichung in $2\pi \cdot u(r, \varphi)$ über, während die rechte Seite für $t_1 = 1$ in \[ \int_0^{2\pi} u(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \] übergeht.

Es besteht daher, wenn die Function $u$ für die Kreisfläche $S$ den Bedingungen I genügt, für alle Werthe von $r$, welche kleiner sind als $1$, und für alle Werthe von $\varphi$ die Gleichung \[ u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi. \]

(Vergl. C. Neumann: „Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung $\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial y^2} = 0$.“ Dieses Journal, Bd. 59, S. 364.)${}^{*)}$

*) Das bestimmte Integral, auf welches die Untersuchung des §. 4 geführt hat, und die entsprechende Formel, durch welche die partielle Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0 \] für das Innere einer Kugel integrirt wird, wenn der Werth der Function $V$ an der Oberfläche der Kugel vorgeschrieben ist und die Bedingungen, denen diese Function unterworfen wird, den in §. 1 angegebenen Bedingungen I analog sind, findet sich in verschiedenen Abhandlungen Poissons angegeben: Journal de l'École polytechnique, cah. 18, pag. 422 (1815); cah. 19, pag. 150, 155, 433 (1823). Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1823, pag. 575. Additions à la Connaissance des Tems pour l'année 1829, pag. 329; pour l'année 1831, pag. 49. Philosophical Magazine, July 1827. Théorie mathématique de la chaleur, Paris 1835, chap. VII et VIII.

Man wird auch in dem Beweise, der in §. 5 unter b. enthalten ist, die Grundgedanken des Poissonschen Beweises leicht wiedererkennen.

Der in §. 3 und in §. 4 enthaltene Beweis beruht im Wesentlichen darauf, dass zunächst eine Formel, welche partielle Ableitungen der Function $u$ nicht mehr enthält, unter Voraussetzung der Bedingungen II hergeleitet und hierauf ein Grenzübergang ausgeführt wird, welcher gestattet, an die Stelle der Bedingungen II die Bedingungen I treten zu lassen. Zu demselben Ziele führt auch folgende Anordnung des Beweises, welche dem entsprechenden Greenschen Beweise und der von Riemann und anderen Mathematikern in Vorlesungen und Abhandlungen gegebenen Darstellung dieses Beweises vielleicht noch etwas näher steht.

Durch Anwendung der Schlüsse des §. 3 auf die Fläche eines Kreises mit dem Radius $R$, für welche eine Function $u$ den Bedingungen I genügt, ergiebt sich: \[ \tag{I.} 2\pi \cdot u(0) = \int u \frac{\partial\log r}{\partial r}\,ds = \int_0^{2\pi} u(R, \varphi)\,d\varphi. \]

Es werde nun um den Punkt $z = 0$ als Mittelpunkt mit dem Radius $R_1$ ($R_1 < R$) ein Kreis beschrieben und ebenso um den Punkt $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ ($0 < r < R_1$) als Mittelpunkt ein Kreis mit dem Radius $R_2$ ($R_2 < R_1 - r$). Man setze $\frac{R_1^2}{r} e^{i\varphi} = z_0'$ und bezeichne die Abstände irgend eines Punktes $z$ von den Punkten $z_0$ und $z_0'$ beziehlich mit $\varrho$ und $\varrho'$; man setze ferner $u' = \log \varrho - \log \varrho'$ und wende auf das von den Kreisen $r = R_1$ und $\varrho = R_2$ begrenzte Ringgebiet den Satz §. 2, a an, so ergiebt sich durch Schlüsse, welche den im Text angegebenen ganz analog sind \[ \int u \frac{\partial\log \varrho}{\partial \varrho}\,ds = \int_0^{2\pi} u(R_1, \psi) \frac{R_1^2 - r^2}{R_1^2 - 2R_1 r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi. \] Hieraus folgt mit Benutzung der Gleichung (I.) beim Uebergange von $R_1$ in $R$ \[ \tag{II.} u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi. \]

page 227

Also ist der Werth der Function $u$ in einem beliebigen Punkte $z = r \cdot e^{i\varphi}$ im Innern der Kreisfläche unter den angegebenen Voraussetzungen nur abhängig von denjenigen Werthen, welche die Function $u$ auf der Peripherie des Kreises annimmt, und ausserdem von den Polarcoordinaten jenes Punktes, bezogen auf den Mittelpunkt des Kreises als Pol; überdiess ist $u(r, \varphi)$ durch die genannten Grössen eindeutig ausgedrückt.

Wenn es daher eine Function $u$ giebt, welche für die Fläche eines Kreises den Bedingungen I Genüge leistet und auf der Peripherie desselben mit einer gegebenen Function $f(\varphi)$ dem Werthe nach übereinstimmt, so ist die Function durch diese Bedingungen bestimmt, und es giebt nur eine solche Function.

page 228

§. 5.

Im Vorhergehenden ist gezeigt worden, dass jede Function $u$, welche für eine Kreisfläche $S$ den Bedingungen I genügt, durch diejenigen Werthe eindeutig bestimmt ist, welche dieselbe auf dem Rande von $S$ annimmt. Es entsteht nun die Frage, ob für eine solche Function $u$ die Reihe der Randwerthe $u(1, \varphi) = f(\varphi)$ willkürlich vorgeschrieben werden kann?

Diese Frage beantwortet folgender Lehrsatz:

Wenn längs des Randes der Kreisfläche $S$ eine für alle Werthe des reellen Argumentes $\varphi$ endliche, stetige und eindeutige reelle Function $f(\varphi)$, welche bei Vermehrung des Argumentes um $2\pi$ periodisch in sich zurückkehrt, sonst aber keiner weiteren Beschränkung unterliegt, willkürlich vorgeschrieben ist, so giebt es jedesmal eine (und nach dem Vorhergehenden nur eine einzige) Function $u$, welche für die Fläche $S$ den Bedingungen I genügt und längs des Randes von $S$ mit der gegebenen Function $f(\varphi)$ übereinstimmt.

Diese Function wird für alle Punkte $z = r \cdot e^{i\varphi}$ im Innern von $S$, $r < 1$, dargestellt durch das Integral \[ u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi. \]

Der Beweis dieses Satzes zerfällt in zwei Theile; in dem ersten Theile (a.) ist zu zeigen, dass die durch die vorstehende Gleichung definirte Function $u(r, \varphi)$ für alle dem Innern von $S$ angehörenden Punkte $z = r \cdot e^{i\varphi} = x + yi$ in Beziehung auf die Variablen $x$ und $y$ partielle Ableitungen aller Ordnungen besitzt und der partiellen Differentialgleichung $\Delta u = 0$ genügt; in dem zweiten Theile (b.) hingegen ist der Nachweis zu führen, dass die Function $u(r, \varphi)$ auch in der Nähe des Werthes $r = 1$ eine stetige Function ihrer Argumente ist und für $r = 1$ in die Function $f(\varphi)$ stetig übergeht.

a. Die durch das Integral \[ u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi \] definirte Function $u$ stimmt überein mit dem reellen Theile der durch die Gleichung

page 229

\[ F(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{e^{i\psi} + z}{e^{i\psi} - z} \cdot d\psi \] für alle Werthe von $z$, deren absoluter Betrag $r$ kleiner ist als $1$, mit dem Charakter einer ganzen Function eindeutig definirten analytischen Function $F(z)$ des complexen Argumentes $z = r \cdot e^{i\varphi} = x + yi$.

Daher besitzt die Function $u$ für alle im Innern der Kreisfläche liegenden Punkte $z$ in Beziehung auf die unabhängigen Variablen $x$ und $y$ partielle Ableitungen aller Ordnungen und genügt in demselben Umfange der Differentialgleichung $\Delta u = 0$.

b. Wegen der vorausgesetzten Periodicität der Function $f(\psi)$ kann man statt des Integrals \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi \] das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\varphi + \psi) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2} \cdot d\psi \] setzen, und da für alle Werthe von $r$, welche kleiner sind als $1$, den Werth $r = 1$ ausgeschlossen, das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2} \cdot d\psi \] den Werth $1$ hat, so gilt in demselben Umfange die Gleichung \[ u(r, \varphi) = f(\varphi) + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} [f(\varphi + \psi) - f(\varphi)] \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi. \]

Es ist nun zu zeigen, dass es möglich ist, für die Differenz $1 - r$ eine Grenze festzusetzen, so dass für alle Werthe von $r$, für welche die Differenz $1 - r$ von Null verschieden ist und jene Grenze nicht überschreitet, und für alle Werthe von $\varphi$ der Werth des Integrals in der vorstehenden Gleichung dem absoluten Betrage nach kleiner ist als eine beliebig kleine vorgeschriebene Grösse.

Wegen der Periodicität der Function $f(\varphi)$ kann das Intervall von $-\pi$ bis $+\pi$, über welches sich die Integration erstreckt, wenn mit $\delta$ eine kleine positive Grösse bezeichnet wird, durch die beiden Intervalle von $\delta$ bis $2\pi - \delta$ und von $-\delta$ bis $+\delta$ ersetzt werden.

Während $\psi$ sich in dem Intervalle von $\delta$ bis $2\pi - \delta$ befindet, ist

page 230

der unter dem Integralzeichen vorkommende Nenner stets grösser als $2r(1 - \cos\delta)$. Die Differenz $f(\varphi + \psi) - f(\varphi)$ bleibt stets kleiner als $2g$, wenn $g$ den grössten Werth des absoluten Betrages von $f(\varphi)$ bezeichnet. Folglich ist der Beitrag, den dieses Intervall zu dem Werthe des Integrals liefert, numerisch kleiner als $\frac{g(1 - r^2)}{r(1 - \cos\delta)}$. Wie klein man aber auch die Grösse $\delta$, die immer von Null verschieden bleibt, in der Folge zu wählen für gut finden wird, durch entsprechende Verkleinerung von $1 - r$ kann man über die Kleinheit von $\frac{g(1 - r^2)}{r(1 - \cos\delta)}$ gebieten.${}^{*)}$

Es bleibt noch das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\delta}^{+\delta} [f(\varphi + \psi) - f(\varphi)] \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi \] zu betrachten.

Bezeichnet man mit $\varepsilon$ eine Grösse, welche der absolute Betrag der Differenz $f(\varphi + \psi) - f(\varphi)$ in dem Intervalle $-\delta \le \psi \le +\delta$ nicht überschreitet, so ist der Werth dieses Integrals numerisch kleiner als \[ \frac{\varepsilon}{2\pi} \int_{-\delta}^{+\delta} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi, \] also auch kleiner als \[ \frac{\varepsilon}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi, \] d. h. kleiner als $\varepsilon$.

Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der Function $f(\varphi)$ lässt sich nun, wie klein auch die von Null verschiedene Grösse $\varepsilon$ angenommen werden möge, stets eine von Null verschiedene Grösse $\delta$ angeben, so dass für

*) Noch engere Grenzen ergiebt folgende Schätzung. Das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int_{\delta}^{2\pi - \delta} [f(\varphi + \psi) - f(\varphi)] \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi \] ist dem absoluten Betrage nach kleiner als \[ \frac{g}{\pi} \int_{\delta}^{2\pi - \delta} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi = \frac{2g}{\pi} \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1 - r}{1 + r} \cdot \operatorname{cotg}\frac{1}{2}\delta\right), \] also auch kleiner als \[ \frac{4g}{\pi(1 + r)} \cdot \frac{1 - r}{\delta}. \]

page 231

alle dem absoluten Betrage nach die Grösse $\delta$ nicht überschreitenden Werthe von $\psi$ und zugleich für alle Werthe von $\varphi$ der absolute Betrag der Differenz $f(\varphi + \psi) - f(\varphi)$ kleiner ist als $\varepsilon$; es verschwindet daher das angegebene Integral für alle Werthe von $\varphi$ gleichzeitig mit $\delta$.

Hiermit ist der oben ausgesprochene Satz in allen seinen Theilen bewiesen.

Für die Formulirung des hier mitgetheilten Beweises ist eine Forderung massgebend gewesen, welche im Januar d. J. von Herrn Heine brieflich mir gestellt wurde, im Wesentlichen des Inhalts: Wie klein auch eine von Null verschiedene Grösse $\varepsilon'$ angenommen werden mag, es muss möglich sein, eine von Null verschiedene Grösse $\varepsilon$ anzugeben, so dass — für alle Werthe von $r$, für welche die Differenz $1 - r$ von Null verschieden und kleiner als $\varepsilon$ ist, und zugleich für alle Werthe von $\varphi$ — der absolute Betrag der Differenz $u(r, \varphi) - f(\varphi)$ kleiner ist als die Grösse $\varepsilon'$.

Näheres über die Bedeutung dieser Forderung enthält eine Abhandlung des Herrn Heine: „Ueber trigonometrische Reihen“${}^{*)}$, eine Abhandlung, welche alle Mathematiker mit lebhafter Freude begrüssen werden.

Ein analoges Verfahren führt zu einem strengen Beweise der entsprechenden Formel, durch welche die partielle Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0 \] für das Innere eines kugelförmigen Raumes integrirt wird, an dessen Oberfläche die Function $V$ vorgeschriebene Werthe annehmen soll.

Hinsichtlich dieser Aufgabe möge auf zwei Schriften des Herrn C. Neumann verwiesen werden, deren Titel folgen:

„Lösung des allgemeinen Problemes über den stationären Temperaturzustand einer homogenen Kugel.“ Halle, bei H. W. Schmidt, 1861.

„Allgemeine Lösung des Problemes über den stationären Temperaturzustand eines homogenen Körpers, welcher von irgend zwei nichtconcentrischen Kugelflächen begrenzt wird.“ Halle, bei H. W. Schmidt, 1862.

*) Dieses Journal, Bd. 71, S. 353.

page 232

§. 6.

Die analytische Function $F(z)$ ist im Vorhergehenden durch ein bestimmtes Integral dargestellt worden. Aus demselben ergiebt sich eine zweite Darstellung der Function $F(z)$ durch eine für alle Werthe von $z$, deren absoluter Betrag kleiner ist als $1$, unbedingt convergirende, nach Potenzen von $z$ mit ganzen positiven Exponenten fortschreitende Reihe \[ F(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi)\,d\psi + \sum_{(m=1, \, 2, \, \dots \, \infty)} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) e^{-mi\psi}\,d\psi \cdot z^m. \]

Die Function $u(r, \varphi)$ ist der reelle Theil der Function $F(z)$; man erhält daher aus der vorstehenden Gleichung die Entwickelung \[ \begin{gathered} u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi)\,d\psi \\ + \sum_{(m=1, \, 2, \, \dots \, \infty)} \left( \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \cos m\psi\,d\psi \cdot \cos m\varphi + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \sin m\psi\,d\psi \cdot \sin m\varphi \right) \cdot r^m. \end{gathered} \] Wird $r$ gleich $1$ gesetzt, so geht die rechte Seite der vorstehenden Gleichung in die Fouriersche Reihe für die Function $f$ über.${}^{*)}$

Mitunter ist es nützlich, einen Werth zu kennen, welchen der absolute Betrag der Differenz $u(r, \varphi) - u(0)$ als Function von $r$ nicht überschreiten kann, sobald die Werthe $u(1, \varphi) = f(\varphi)$ eine endliche Grösse $g$ dem absoluten Betrage nach nicht überschreiten.

Man erhält \[ [u(r, \varphi) - u(0)] < [F(z) - F(0)] < 2g \cdot \frac{r}{1 - r}; \] oder

*) In seiner Schrift: „Das Dirichletsche Princip“ ist Herr C. Neumann von der Darstellung einer der Differentialgleichung $\Delta u = 0$ für die Fläche eines Kreises genügenden Function durch das über den Rand der Kreisfläche zu erstreckende Poissonsche Integral (s. §. 4 und die Anmerkung p. 226) wieder abgegangen und hat die Fouriersche Reihe zum Ausgange gewählt. Einen ähnlichen Gedankengang deutet Herr Schläfli im 72. Bande dieses Journals pag. 283 an. Dass diese Methode nur eine heuristische ist und einer vollständigen Deduction bedarf, ist der Kern der von Herrn Heine (d. Journ., Bd. 71, p. 361) und Herrn Prym (d. Journ., Bd. 73, p. 340) gegen dieselbe geltend gemachten Einwendungen. In welchem Sinne aber, muss man fragen, ist die Behauptung Riemanns zu verstehen, welche derselbe am Schlusse des §. 2 seiner Habilitationsschrift („Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe“) ausspricht?

page 233

\[ u(r, \varphi) - u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\varphi + \psi) \left( \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2} - 1 \right) d\psi, \] \[ [u(r, \varphi) - u(0)] < \frac{4g}{\pi} \arcsin r. \]${}^{*)}$

Mai 1870.

Fortsetzung und Erweiterung der in den vorhergehenden Paragraphen enthaltenen Untersuchungen.

§. 7.

Die für die Fläche eines Kreises mit dem Radius $1$ erhaltenen Untersuchungsergebnisse sind nach verschiedenen Richtungen einer Erweiterung fähig.

Es ist zunächst klar, dass die aufgestellten Formeln für die Fläche eines Kreises mit dem Radius $R$ Gültigkeit erhalten, wenn in denselben $\frac{r}{R}$ an die Stelle von $r$ gesetzt wird. (Hierbei besitzt $R$ natürlich nicht mehr dieselbe Bedeutung wie in §. 4.)

Hierdurch geht die in §. 4 und §. 5 angegebene Formel in die folgende über \[ \begin{aligned} u(r, \varphi) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \end{aligned} \] mit der Bedingung $0 \le r < R$, und dem Zusatze $u(R, \varphi) = f(\varphi)$.

Die Function $f(\varphi)$ des reellen Argumentes $\varphi$ ist bisher den Bedingungen endlich, stetig, eindeutig und mit der Periode $2\pi$ periodisch zu sein unterworfen gewesen. Die angegebene Formel kann aber für das Innere der Kreisfläche eine bestimmte Bedeutung haben, auch ohne dass

*) Wenn insbesondere $u(0)$ den Werth Null hat, so kann der absolute Betrag von $u(r, \varphi)$ als Function von $r$ betrachtet den Werth $\frac{4g}{\pi} \operatorname{arc\,tg} r$ nicht überschreiten. Diese Bestimmung ergiebt zugleich die engste Grenze, welche unter den angegebenen Voraussetzungen zulässig ist.

page 234

die Function $f(\varphi)$ für alle dem Intervall von $0$ bis $2\pi$ angehörenden Werthe von $\varphi$ endlich, stetig und eindeutig erklärt ist, und zwar wird dieses stets und nur dann der Fall sein, wenn diese Function im Riemannschen Sinne (§. 5 der Habilitationsschrift) durchgehends eine Integration gestattet.

Die Untersuchung soll jedoch hier nicht in dieser Allgemeinheit geführt, sondern (ebenso wie in der Abhandlung des Herrn Prym) auf folgenden Fall beschränkt werden.

Die Function $f(\varphi)$ sei — mit Ausnahme derjenigen Werthe von $\varphi$, welche modulo $2\pi$ einem der $m$ Werthe $\varphi_1, \, \varphi_2, \, \dots \, \varphi_\nu, \, \dots \, \varphi_m$ — die sämmtlich kleiner als $2\pi$ und von einander verschieden angenommen werden können — congruent sind — für alle reellen Werthe von $\varphi$ als eine endliche, stetige und eindeutige, bei Vermehrung des Argumentes um $2\pi$ periodisch sich wiederholende Function des reellen Argumentes $\varphi$ erklärt; bei der Annäherung der Variablen $\varphi$ an einen der ausgeschlossenen Werthe, z. B. an den Werth $\varphi_\nu$, nähere sich, sowohl wenn $\varphi$ stetig wachsend, als auch, wenn $\varphi$ stetig abnehmend dem Werthe $\varphi_\nu$ sich nähert, der Werth der Function $f(\varphi)$ je einer bestimmten endlichen Grenze, welche nach dem Vorgange Dirichlets im ersten Falle mit $f(\varphi_\nu - 0)$, im zweiten mit $f(\varphi_\nu + 0)$ bezeichnet werden soll.

Ist die Differenz $f(\varphi_\nu + 0) - f(\varphi_\nu - 0)$, welche mit $A_\nu$ bezeichnet werden möge, eine von Null verschiedene Grösse, so besitzt die Function $f(\varphi)$ für alle Werthe von $\varphi$, für welche $\varphi \equiv \varphi_\nu \pmod{2\pi}$ ist, zwei Werthe und erfährt in denselben eine Stetigkeitsunterbrechung. Des Folgenden wegen soll jedoch der Fall nicht ausgeschlossen werden, dass $A_\nu$ auch gleich Null sein kann, in welchem Falle der Werth $\varphi_\nu$ und die ihm congruenten mit Rücksicht auf die Stetigkeit der Function $f(\varphi)$ nicht zu den singulären gehören.

Solche Unstetigkeiten, welche durch Abänderung des Werthes der Function in einem Punkte aufgehoben werden können, sogenannte hebbare Unstetigkeiten, sollen der Kürze wegen hier und im Folgenden von der Betrachtung ausgeschlossen werden.

Dieselbe Unstetigkeit, welche die Function $f(\varphi)$ in den Punkten besitzt, für welche $\varphi \equiv \varphi_\nu \pmod{2\pi}$, zeigt die Function \[ \frac{A_\nu}{\pi} \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\varphi - \varphi_\nu)}\right) = \frac{A_\nu}{2\pi} (\pi - (\varphi' - \varphi_\nu)), \]

page 235

vorausgesetzt dass $A_\nu$ von Null verschieden ist, und dass der Variablen $\varphi'$ auf der rechten Seite der vorstehenden Gleichung stets der dem Intervalle $\varphi_\nu \dots \varphi_\nu + 2\pi$ angehörende Werth beigelegt werde, welcher modulo $2\pi$ dem Werthe der Variablen $\varphi$ congruent ist.

Hier und im Folgenden, mit Ausnahme einer Stelle in §. 9, bedeutet die Function arcus tangens den zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $+\frac{\pi}{2}$ liegenden eindeutig bestimmten Bogen, dessen Tangente den vorgeschriebenen Werth hat.

Wird nun die Differenz \[ f(\varphi) - \frac{1}{\pi} \sum A_\nu \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\varphi - \varphi_\nu)}\right) \quad (\nu = 1, \, 2, \, \dots \, m) \] gebildet und mit $f_0(\varphi)$ bezeichnet, so ist durch diese Festsetzung die Function $f_0(\varphi)$ für alle Werthe von $\varphi$ mit Ausnahme der den Werthen $\varphi_\nu$ congruenten als eine endliche, stetige und eindeutige Function ihres Argumentes erklärt und zwar besteht für alle Werthe von $\nu$ die Gleichung \[ f_0(\varphi_\nu - 0) = f_0(\varphi_\nu + 0). \]

Wird daher für diejenigen Werthe von $\varphi$, auf welche die Erklärung der Function $f_0(\varphi)$ sich nicht erstreckt, die ergänzende Bestimmung getroffen, es solle, wenn $\varphi \equiv \varphi_\nu \pmod{2\pi}$ ist, der Werth der Function durch die Gleichung $f_0(\varphi_\nu) = f_0(\varphi_\nu - 0) = f_0(\varphi_\nu + 0)$ bestimmt werden, so genügt die durch diese erweiterte Definition für alle reellen Werthe von $\varphi$ eindeutig erklärte Function $f_0(\varphi)$ in voller Strenge den in §. 5 angegebenen Bedingungen.

Es werde nun angenommen, für alle Punkte der Fläche $S$ des mit dem Radius $1$ um den Nullpunkt beschriebenen Kreises, mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten des Randes, nämlich der Punkte $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$, sei eine reelle Function $u$ der beiden reellen Argumente $x$ und $y$ so erklärt, dass dieselbe für diese Fläche $S$ mit Ausnahme der angegebenen Punkte des Randes den in §. 1 angegebenen Bedingungen I genüge und längs des Randes mit Ausnahme der Punkte $z_\nu$ mit der Function $f(\varphi)$ übereinstimme.

Dies ist aber so zu verstehen: man denke sich für jeden der singulären Punkte ein Gebiet construirt, welches denselben ganz in seinem Innern enthält, und dessen Begrenzung eine beliebige Gestalt haben darf; am einfachsten ist es, jeden der singulären Punkte als Mittelpunkt einer Kreisfläche mit dem Radius $\varrho$ zu betrachten, wo $\varrho$ eine veränderliche

page 236

Grösse bezeichnet, welche keiner anderen Bedingung unterworfen ist, als positiv und von Null verschieden zu sein. Werden nun alle diejenigen Theile des Gebietes $S$ ausgeschieden, welche im Innern eines dieser Kreise liegen, so soll die Function $u$, wie klein auch $\varrho$ gewählt werden möge, für den übrigen Bereich den Bedingungen I in aller Strenge genügen und auf dem frei gebliebenen Rande von $S$ mit $f(\varphi)$ übereinstimmen.

Es wird nun von dem Verhalten der Function $u$ in der Nähe der singulären Punkte abhängen, ob die Function $u$ durch ihre Randwerthe $u(1, \varphi) = f(\varphi)$ und die übrigen Bedingungen bestimmt ist, und in wiefern eine der in §. 4 angegebenen analoge Schlussweise auch in diesem Falle gestattet ist.

Es bezeichne $R$ eine von $r$, $\varphi$, $\psi$ unabhängige veränderliche Grösse, deren Veränderlichkeit zunächst auf solche Werthe beschränkt wird, die kleiner als $1$ sind. Dann ist nach der am Anfange dieses Paragraphen angeführten Formel für alle Werthe von $r$, welche kleiner als $R$ sind, \[ u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi. \]

Wenn nun die Function $u$ in der Nähe der singulären Punkte sich so verhält, dass geschlossen werden kann, es gehe das Integral auf der rechten Seite der vorstehenden Gleichung für $\lim R = 1$ stetig in das Integral \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \] über, so wird, und nur in diesem Falle, die Schlussweise des §. 4 mit ihren Folgerungen sich unverändert auf den vorliegenden Fall übertragen lassen.

Ein zur Vorsicht mahnendes, sehr einfaches Beispiel zeigt, dass dieser Schluss nicht ohne eine specielle Voraussetzung zulässig ist.

Man setze \[ u = \Re\left(\frac{1 - z}{1 + z}\right) = \frac{1 - r^2}{1 + 2r \cos\varphi + r^2}, \] wo der vorgesetzte Buchstabe $\Re$ nach der Bezeichnungsweise des Herrn Weierstrass bedeutet, dass der reelle Theil des nachfolgenden Ausdruckes genommen werden soll.

Die Curven constanter Werthe von $u$ bilden eine Schaar von Kreisen, welche einander und die Begrenzung von $S$ im Punkte $z = -1$ berühren. Mit Ausnahme dieses Punktes, für welchen die Function nicht

page 237

erklärt ist, genügt dieselbe für die Fläche $S$ den Bedingungen I und hat auf dem Rande von $S$ überall, wo sie erklärt ist, den Werth Null. Es steht daher frei, den Werth von $u$ für den Punkt $z = -1$ durch eine besondere Definition zu fixiren, und zwar möge $u(1, \pi) = 0$ gesetzt werden. Dann ist \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \] für jeden Werth von $r$ und $\varphi$ gleich Null und stimmt also mit der vorher erklärten Function nicht überein. Unter den angegebenen Festsetzungen ist demnach ein Grenzübergang aus dem über die Peripherie des Kreises mit dem Radius $R$ zu erstreckenden Integrale in das über den Rand von $S$ zu erstreckende Integral nicht gestattet. Der Grund hiervon liegt in dem Umstande, dass in diesem Falle der Werth von $u(r, \varphi)$ bei der Annäherung des Punktes $z = r \cdot e^{i\varphi}$ an den Punkt $z = -1$ unendlich gross oder näher bestimmt, unendlich gross erster Ordnung werden kann.

Bei Anwendung des von Herrn Prym gewählten Systems von Polarcoordinaten $\varrho$, $\tau$ mit dem Pole $z = -1$ ergiebt sich: \[ z = -1 + i\varrho \cdot e^{-\tau i} \] und \[ \frac{1 - r^2}{1 + 2r \cos\varphi + r^2} = \Re\left(\frac{1 - z}{1 + z}\right) = \Re\left(\frac{2}{1 + z}\right) - 1 = \frac{2\sin\tau}{\varrho} - 1. \]

Anders verhält es sich in dem folgenden Falle. Es werde gesetzt \[ u^*(r, \varphi) = \operatorname{arc\,tg}\frac{y}{1 + x} = \operatorname{arc\,tg}\frac{r\sin\varphi}{1 + r\cos\varphi} = \Re\frac{\log(1 + z)}{i} = \frac{\pi}{2} - \tau. \]

Das System der Linien, längs welcher $u^*$ constante Werthe hat, ist ein geradliniges Strahlbüschel, dessen Mittelpunkt im Punkte $z = -1$ liegt. Auch in diesem Falle ist die Function $u^*$ für den Punkt $z = -1$ nicht erklärt. Von dem vorhergehenden unterscheidet sich aber der gegenwärtige Fall wesentlich dadurch, dass die Function $u^*$ bei der Annäherung an den singulären Punkt endlich bleibt; denn, ein wie kleines den Punkt $z = -1$ enthaltendes Gebiet man auch aus der Fläche $S$ ausscheiden mag, für das übrig bleibende Gebiet genügt die Function $u^*$ den Bedingungen I (sogar den engeren Bedingungen II), und der absolute Betrag von $u^*$ überschreitet nirgends den Werth $\frac{\pi}{2}$.

Im Folgenden soll nun gezeigt werden, dass für die Function $u^*$ der erwähnte Grenzübergang mit voller Strenge gestattet ist. Um jedoch

page 238

dem Beweise gleich eine etwas allgemeinere Fassung zu geben, möge die Grösse, welche der absolute Betrag von $u^*$ nirgends überschreitet, mit $g$ bezeichnet werden.

Es gilt, wenn $R$ dieselbe Bedeutung hat, wie vorher, für alle Werthe von $r$, welche kleiner als $R$ sind, und für alle Werthe von $\varphi$ die Gleichung \[ u^*(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u^*(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi. \]

Bei dem Uebergange von $R$ in den Werth $1$ hört die Stetigkeit der Function $u^*(R, \psi)$ bei dem Werthe $\psi = \pi$ auf. Man ersetze daher, diese Unstetigkeitsstelle durch das Intervall $\pi - \delta \dots \pi + \delta$ ausschliessend, wo $\delta$ eine positive Grösse bezeichnet, das Intervall von $0$ bis $2\pi$ durch zwei andere Intervalle, nämlich durch das Intervall von $-\pi + \delta$ bis $\pi - \delta$ und das Intervall von $\pi - \delta$ bis $\pi + \delta$, welche Ersetzung wegen der Periodicität der Function $u^*(R, \psi)$ als Function von $\psi$ gestattet ist.

Das dem ersten Intervalle entsprechende Integral ist zufolge der Voraussetzung sicher eine stetige Function von $R$ und zwar einschliesslich für den Werth $R = 1$.

Man kann daher das dem ersten Intervalle entsprechende Integral der Summe \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi+\delta}^{\pi-\delta} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi + \varepsilon_1 \] gleichsetzen, und zwar bedeutet in dieser Gleichung $\varepsilon_1$ eine Grösse von der Eigenschaft, dass nach vorausgegangener Annahme von $\delta$ durch die Festsetzung, die Differenz $1 - R$ dürfe eine gewisse Grenze $\varrho$ nicht überschreiten, über die Kleinheit des absoluten Betrages von $\varepsilon_1$ verfügt werden kann.

Da nun die Function $u^*$ zufolge der Voraussetzung an keiner Stelle die Grösse $g$ dem absoluten Betrage nach überschreitet, so kann man setzen \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi+\delta}^{\pi-\delta} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi + \varepsilon_2, \] wobei für $u^*(1, \pi)$ und $u^*(1, -\pi)$ die Werthe $u^*(1, \pi - 0)$ und $u^*(1, -\pi + 0)$ einzusetzen sind (die Bezeichnung erläutert die Art des

page 239

Grenzüberganges), und wobei $\varepsilon_2$ dem absoluten Betrage nach kleiner als $\frac{2g}{1 - r} \cdot \delta$ ist.

Der Werth des dem zweiten Intervalle entsprechenden Integrales ist dem absoluten Betrage nach kleiner als $g \cdot \frac{R + r}{R - r} \cdot \delta$ und möge bezeichnet werden mit $\varepsilon_3$.

Hieraus ergiebt sich die Gleichung \[ u^*(r, \varphi) - \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3. \]

Da nun über die Kleinheit des absoluten Betrages von $\varepsilon_2$ und von $\varepsilon_3$, also auch von $\varepsilon_2 + \varepsilon_3$ durch gehörig kleine Wahl von $\delta$, und nach getroffener Wahl von $\delta$ durch gehörig kleine Wahl von $\varrho$, beziehungsweise $1 - R$, über die Kleinheit des absoluten Betrages von $\varepsilon_1$ verfügt werden kann, und da überdies der Werth der Differenz auf der linken Seite der vorstehenden Gleichung von der Wahl der Grössen $\delta$ und $R$ überhaupt unabhängig ist, so folgt, dass jene Differenz den Werth Null hat. Dieses sollte bewiesen werden.

Dem vorstehenden Beweise ist gleich eine solche Fassung gegeben worden, dass derselbe ohne Schwierigkeit auf den Fall ausgedehnt werden kann, in welchem eine Function $u^*$ für die Fläche $S$ eines Kreises mit dem Radius $R$ mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten des Randes ($z_\nu = R \cdot e^{i\varphi_\nu}$, $\nu = 1, \, 2, \, \dots \, m$) so erklärt ist, dass dieselbe für alle übrigen Punkte den Bedingungen I genügt, wenn ausserdem bekannt ist, dass der Werth von $u^*$ bei der Annäherung des Punktes $z$ an einen der singulären Punkte des Randes stets endlich bleibt, d. h. eine bestimmte endliche von dem Grade jener Annäherung unabhängige Grösse $g$ dem absoluten Betrage nach niemals überschreitet.

Die hieraus sich ergebenden Schlüsse sind den in den beiden letzten Absätzen des §. 4 gezogenen völlig analog. Die Function $u^*$ ist also durch die angegebenen Bedingungen eindeutig bestimmt.

Dieser Beweis unterscheidet sich in mehrfacher Beziehung von dem Beweise, den Herr Prym in dem §. 5 seiner oben erwähnten Abhandlung gegeben hat, insbesondere dadurch, dass über die Art der Unstetigkeit der Function $u^*$, beziehungsweise deren Vieldeutigkeit bei der Annäherung des Punktes $z$ an einen singulären Punkt des Randes keinerlei andere Voraus-

page 240

setzung gemacht wird als die, dass die Function $u^*$ im erklärten Sinne bei der Annäherung an die singulären Punkte endlich bleibe.

Auch Herr C. Neumann macht (Berichte d. K. Sächs. Ges. d. W. 1870, p. 278 und 279) eine solche specielle Voraussetzung.

Jede solche im Voraus gemachte specielle Annahme über die Art des Verhaltens einer Function $u$ bei der Annäherung an einen singulären Punkt unterliegt jedoch, wenn dieselbe mehr enthält als die unerlässliche Forderung, dass die Function bei der Annäherung endlich bleibe, wie mir scheint, nicht unerheblichen Bedenken. Sobald nämlich nur die Endlichkeit der Function $u$ in der Nähe des singulären Punktes gewiss ist, zeigt sich, dass die gesuchte Function $u$ durch diese und die übrigen Bedingungen bereits bestimmt ist, so dass sich also eine vorhergehende speciellere Annahme als unnöthig erweist. Ueberhaupt scheint mir das Verhalten einer Function $u$ in der Nähe eines solchen Punktes, wenn deren Endlichkeit in der Umgebung desselben vorausgesetzt wird, Gegenstand der Untersuchung, nicht aber Gegenstand der vorhergehenden freien Verfügung zu sein, da jede andere specielle Annahme, als diejenige, die die Herren C. Neumann und Prym gemacht haben, zur Folge haben würde, dass keine Function existirt, welche den gestellten Bedingungen genügt.

Dass aber andererseits die Annahme, welche Herr C. Neumann gemacht hat, nicht allgemein genug ist, zeigt sich, sobald die Begrenzung des Bereiches $T$ Spitzen enthält, denn für diese reicht die Annahme des Herrn C. Neumann nicht mehr aus, es müsste vielmehr an die Stelle derselben eine Annahme treten, welche mit dem von mir in dem Monatsberichte der Berliner Akademie vom October 1870, p. 777 ausgesprochenen Lehrsatze sich in Einklang befindet. —

Durch den vorhergehenden Beweis ist speciell auch die Richtigkeit der Gleichung \[ \operatorname{arc\,tg}\frac{r\sin\varphi}{1 + r\cos\varphi} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1}{2}\psi \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \] für alle Werthe von $r$, welche kleiner als $1$ sind, bewiesen, eine Gleichung, welche übrigens leicht auch auf anderem Wege vermittelst Reihenentwickelungen erhalten werden kann.

Wird nun in dieser Gleichung die Variable $\varphi$ mit $\pi - (\varphi - \varphi_\nu)$ vertauscht und die Function, in welche der Ausdruck auf der linken Seite hierdurch übergeht, mit*Editorial note: Druckfehler: im Original steht mir statt mit. $u_\nu^*$ bezeichnet, so ergiebt sich

page 241

\[ \begin{aligned} u_\nu^* = \operatorname{arc\,tg}\frac{r\sin(\varphi - \varphi_\nu)}{1 - r\cos(\varphi - \varphi_\nu)} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1}{2}\psi \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\psi - \pi + \varphi - \varphi_\nu) + r^2}\,d\psi \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\psi - \varphi_\nu)}\right) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi, \end{aligned} \] eine Gleichung, von welcher im folgenden Paragraphen Gebrauch gemacht werden wird.

§. 8.

Es handelt sich nun darum, analog der in §. 5 durchgeführten Untersuchung den Existenzbeweis zu führen, und das Verhalten des die gesuchte Function darstellenden Integrals in der Nähe der singulären Punkte $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ zu untersuchen, in welchen entweder die Reihe der vorgeschriebenen Randwerthe eine Stetigkeitsunterbrechung erfährt, oder die Stetigkeit der Function $u^*$ ungewiss ist.

Die Untersuchung lässt sich leicht auf den in §. 5 betrachteten Fall zurückführen. Unter Beibehaltung der übrigen in §. 7 erklärten Bezeichnungen möge die Function $u^*(r, \varphi)$ für alle Werthe von $r$, welche kleiner als $1$ sind, durch die Gleichung \[ u^*(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \] und für $r = 1$ durch die Gleichung $u^*(1, \varphi) = f(\varphi)$, soweit diese nämlich einen bestimmten Sinn hat, erklärt sein.

Für jeden ganz im Innern von $S$ liegenden Bereich genügt diese Function (vergl. den Beweis in §. 5 unter a.) den Bedingungen II, es handelt sich also nur darum, das Verhalten der Function für $\lim r = 1$ zu untersuchen.

Zu diesem Zwecke werde an die Stelle von $f(\psi)$ die Summe \[ f(\psi) = f_0(\psi) + \frac{1}{\pi} \sum A_\nu \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\psi - \varphi_\nu)}\right) \quad (\nu = 1, \, 2, \, \dots \, m) \] (s. den vorhergehenden Paragraphen) gesetzt; hierdurch geht der Ausdruck für $u^*(r, \varphi)$ in eine Summe von $m + 1$ ebenso gebildeten Integralen über. Bezeichnet man nun das dem ersten Gliede $f_0(\psi)$ entsprechende Integral, welches sich ganz im Falle des in §. 5 betrachteten befindet, mit $u_0(r, \varphi)$

page 242

oder mit $u_0$, die übrigen dagegen zufolge der letzten Gleichung in §. 7, so ergiebt sich \[ u^* = u_0 + \frac{1}{\pi} \sum A_\nu \cdot u_\nu^* \quad (\nu = 1, \, 2, \, \dots \, m). \] Durch diese Darstellung ist die Stetigkeit der analytisch dargestellten Function $u^*$ längs des Randes mit Ausnahme der Umgebung der singulären Punkte $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ bewiesen und gleichzeitig die Art des Verhaltens dieser Function in der Umgebung dieser Punkte charakterisirt. In der Umgebung eines singulären Punktes $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ unterscheidet sich nämlich die Function $u^*$ von der Function $\frac{1}{\pi} A_\nu \cdot u_\nu^*$ nur durch eine in diesem Punkte vollkommen stetige Function.

Hiermit ist also die Existenz einer den angegebenen Bedingungen genügenden Function dargethan, und zwar hat sich hierbei ergeben, dass die besondere Art ihres Verhaltens in der Nähe der singulären Punkte in dem betrachteten Falle eine Folge der übrigen Eigenschaften ist.

Die dargestellte Function genügt also für das Gebiet, für welches sie erklärt ist, mit Ausnahme derjenigen singulären Punkte $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ des Randes, für welche das entsprechende $A_\nu$ von Null verschieden ist, im angegebenen Sinne den Bedingungen I, stimmt für alle Punkte des Randes mit Ausnahme der erwähnten singulären mit der gegebenen Function $f(\varphi)$ überein und bleibt zugleich bei der Annäherung an jene singulären Punkte endlich.

Der hier mitgetheilte Beweis, der übrigens ebensowenig wie der im vorhergehenden Paragraphen vorgetragene darauf Anspruch macht, neue Gedanken zu enthalten, scheint mir etwas einfacher zu sein als derjenige, dessen Herr Prym in seiner mehrfach erwähnten Abhandlung sich bedient hat.

Wird nun die Voraussetzung gemacht, dass $A_\nu$ für einen speciellen Werth von $\nu$ gleich Null sei, so liegt in dem Vorhergehenden bereits zugleich der Beweis dafür, dass die einzige, den übrigen Bedingungen genügende Function in der Umgebung des Punktes $z_\nu$ ebenfalls stetig ist, während bei der Herleitung (s. §. 7) die Stetigkeit in diesem Punkte ungewiss gelassen und nur festgesetzt war, dass die Function in der Umgebung dieses Punktes endlich bleiben solle.${}^{*)}$

*) Es kann erwähnt werden, dass dieser Satz sich folgendermassen verallgemeinern lässt: Wenn für irgend einen von einer endlichen Anzahl analytischer Linien begrenzten Bereich $T$ mit Ausnahme einer endlichen Anzahl von Punkten im Innern oder auf dem Rande eine Function $u$ so erklärt ist, dass dieselbe

1. für den Bereich $T$ mit Ausnahme jener Punkte, für welche es ungewiss oder noch unentschieden ist, im angegebenen Sinne den Bedingungen I genügt,

2. bei der Annäherung an jene Punkte endlich bleibt, während

3. hebbare Unstetigkeiten ausgeschlossen bleiben,

so ist diese Function eo ipso auch für alle inneren Punkte und für diejenigen Punkte des Randes stetig, in welchen die Reihe der Randwerthe eine Stetigkeitsunterbrechung nicht erfährt.

Auf den strengen Beweis dieses Satzes kann ich jedoch, soweit sich derselbe auf solche singulären Punkte bezieht, die am Rande liegen, in dieser Mittheilung nicht eingehen, da derselbe mich hier zu weit vom nächsten Zwecke entfernen würde, und ich muss mich daher damit begnügen, hinsichtlich dieses Beweises einstweilen auf die in dem Monatsberichte der Berliner Akademie vom October 1870, pag. 775--777 gegebenen Andeutungen zu verweisen.

page 243

Es gilt auch hier die Bemerkung, dass, wenn an die Stelle der Kreisfläche mit dem Radius $1$ eine solche tritt, deren Radius $R$ ist, dann in der aufgestellten Formel $\frac{r}{R}$ an die Stelle von $r$ zu setzen ist.

Bezeichnet nun $g$ die obere, $k$ die untere Grenze aller derjenigen Werthe, welche die Function $f(\varphi)$ annehmen kann, von der vorausgesetzt werden möge, dass sie nicht constant sei, so ist von den Differenzen $f(\varphi) - g$ und $f(\varphi) - k$ die erste nie positiv, die zweite nie negativ. Hieraus folgt, dass von den beiden Differenzen $u(r, \varphi) - g$ und $u(r, \varphi) - k$, wenn $r < 1$ ist, die erste nur negative, die zweite nur positive Werthe annehmen kann, da diese Differenzen beziehlich mit den Integralen \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (f(\psi) - g) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi \] und \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (f(\psi) - k) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi \] übereinstimmen.

Es liegt daher der Werth von $u$ für einen inneren Punkt von $S$ stets zwischen $g$ und $k$, d. h. dem Werthe der oberen und unteren Grenze aller derjenigen Werthe, welche diese Function längs des Randes von $S$ annehmen kann.

§. 9.

Den Inhalt dieses und des folgenden Paragraphen entnehme ich

page 244

einer Abhandlung über die Integration der partiellen Differentialgleichung $\Delta u = 0$, welche ich im November 1869 Herrn Kronecker und Herrn Weierstrass mitgetheilt habe. Der zunächst befolgte Gedankengang ist demjenigen, welchen Riemann im 54. Bande dieses Journals auf p. 101 und 102 (p. 1 und 2 des Separatabdruckes) entwickelt hat, und der, wie bekannt, in der Theorie der analytischen Functionen häufig zur Anwendung gelangt, vollkommen entsprechend. Es freut mich, constatiren zu können, dass ich mich in diesem Theile der Untersuchung hinsichtlich der Methode der Beweisführung mit Herrn C. Neumann ganz in Uebereinstimmung befinde. Man vergl. Mathematische Annalen von Clebsch und Neumann, Bd. 3, p. 338--339 (October 1870) und Monatsbericht der Berliner Akademie vom October 1870, p. 770--771. —

Unter den Bedingungen I sei für den Bereich $T$ eine Function $u$ definirt; im Innern von $T$ denke man sich einen Kreis, dessen Mittelpunkt die Coordinaten $x_0$ und $y_0$ haben möge, dessen Radius gleich $R$ ist und dessen ganze Fläche dem Innern von $T$ angehört.

Für die Fläche dieses Kreises ist die Function $u$ mit den Bedingungen II erklärt, es ist also nach dem Vorhergehenden die Existenz höherer Ableitungen von $u$ für alle inneren Punkte $x_0$, $y_0$ des Gebietes $T$, sowie die Entwickelbarkeit des Werthes von $u$ für die dem Punkte $x_0$, $y_0$ benachbarten Punkte $x$, $y$ nach Potenzen von $x - x_0$ und $y - y_0$ beziehungsweise nach Producten aus Potenzen von $r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ und den Sinus und Cosinus der gleichnamigen Vielfachen von $\varphi = \operatorname{arc\,tg}\frac{y - y_0}{x - x_0}$ eine nothwendige Folge der Voraussetzungen I.

Die Zahlencoefficienten der einzelnen Glieder des Functionenelementes $u(r, \varphi)$, welches die Werthe von $u$ für alle in der Umgebung des Punktes $x_0$, $y_0$ liegenden Punkte darstellt, sind unabhängig von der Grösse des Radius $R$ desjenigen Kreises, welcher zur Bestimmung dieses Functionenelementes gewählt wird; denn zwei Functionenelemente, hergeleitet mittelst zweier Kreise, welche die Radien $R$ und $R'$ haben, wo $R' > R$, müssen für alle Werthe von $r < R$ mit einander übereinstimmen und hieraus folgt die Gleichheit aller entsprechenden Glieder beider Elemente. Es haben daher auch beide Elemente denselben Bereich der Convergenz.

Daher convergirt die nach Potenzen von $r$ fortschreitende Reihe, durch welche ein solches Functionenelement dargestellt wird, sicher, wenn

page 245

$r$ kleiner ist als der kürzeste Abstand des Punktes $x_0$, $y_0$ von der Begrenzung des Bereiches $T$, beziehlich vom nächsten Punkte, für welchen die gestellten Bedingungen zu gelten aufhören.

Hieraus wird gefolgert: Wenn zwei Functionen $u_1$ und $u_2$, welche für zwei Bereiche $T_1$ und $T_2$, die ein einfach zusammenhängendes Gebiet $T^*$ von zwei Dimensionen gemeinsam haben, den Bedingungen I genügen, in einem noch so kleinen Theile dieses gemeinsamen Gebietes mit einander übereinstimmen, so stimmen sie für alle Punkte desselben mit einander überein, lassen sich unter Beibehaltung der Bedingungen I beide simultan gleich weit analytisch fortsetzen und stimmen längs jeder solchen Fortsetzung mit einander überein.

Um diesen Schluss machen zu können, ist nach dem Vorhergehenden nur nöthig zu wissen, die beiden Functionen stimmen auf der Peripherie eines Kreises mit einander überein, für dessen Fläche beide mit den Bedingungen I erklärt sind.

Wenn daher eine Function $u$ im Innern von $T$ in einem noch so kleinen Bereiche von zwei Dimensionen oder auf der Peripherie eines Kreises mit beliebig kleinem Radius, dessen Inneres ganz im Innern von $T$ liegt, für welches Gebiet die Function $u$ den Bedingungen I genügt, constant ist, so ist diese Function, soweit sie unter Aufrechterhaltung der Bedingungen I fortgesetzt wird, constant.

§. 10.

Der Werth $u(0)$ von $u$ für den Mittelpunkt eines Kreises, für dessen Fläche $u$ mit den Bedingungen I erklärt ist, ist gleich dem über die Peripherie des Kreises zu erstreckenden Integrale \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u \cdot d\varphi, \] also gleich dem arithmetischen Mittel aus allen den Werthen, welche $u$ auf der Peripherie des Kreises annimmt. Wenn nun $u$ nicht überhaupt constant ist, so muss es unter den Werthen von $u$ auf der Peripherie des Kreises sowohl solche geben, welche grösser sind als der Werth $u(0)$, als auch solche, die kleiner sind, und zwar gilt dieser Schluss, wie klein auch der Radius des Kreises sein möge.

Hieraus folgt, wenn $u$ nicht constant ist, so giebt es für jeden inne-

page 246

ren Punkt von $T$ solche benachbarten Punkte, für welche $u$ einen grösseren, und solche, für welche $u$ einen kleineren Werth besitzt als für den erstbetrachteten Punkt.

Es kann also $u$ für keinen inneren Punkt des Gebietes ein Maximum oder Minimum sein. (Vergl. Riemanns Inauguraldissertation, Art. 11. III.)

Nun ist nach den Voraussetzungen I der Werth von $u$ endlich, stetig und eindeutig erklärt für alle Punkte von $T$, einschliesslich der Begrenzung. Folglich giebt es für diese Werthe eine obere Grenze $g$.

Nach einer Beweismethode, welche Herr Weierstrass in seinen Vorlesungen über die Theorie der analytischen Functionen mitzutheilen pflegt, lässt sich zeigen, dass es in der Ebene des Gebietes $T$ mindestens einen Punkt $z'$ von der Beschaffenheit giebt, dass, wenn ein beliebig kleines Gebiet, ein Theil von $T$, in der Umgebung desselben abgegrenzt wird, die obere Grenze aller derjenigen Werthe von $u$, die zu Punkten dieses Gebietes gehören, ebenfalls noch $g$ ist.

Keiner dieser Punkte kann im Innern von $T$ liegen, denn erstens würde in einem solchen Punkte wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von $u$ die obere Grenze $g$ wirklich erreicht, zweitens müsste es dann — wenn $u$ nicht überhaupt constant ist — in der Umgebung jenes Punktes noch grössere Werthe von $u$ geben, gegen die Voraussetzung, dass $g$ die obere Grenze ist.

Es liegen also alle jene Punkte $z'$ ausserhalb des Innern von $T$.

Da die Begrenzung von $T$ nach der Voraussetzung aus Stücken analytischer Linien besteht, welche in jedem Punkte den Charakter einer algebraischen Curve haben, und eine solche Linie jeden Punkt der Ebene, dem sie unendlich nahe kommt, wirklich erreicht, so liegt jeder der Punkte $z'$ in der Begrenzung von $T$ und wegen der Stetigkeit von $u$ wird die obere Grenze $g$ in jedem dieser Punkte $z'$ wirklich erreicht.

In analoger Weise wird gezeigt, dass die untere Grenze $k$ aller Werthe von $u$ mindestens in einem Punkte der Begrenzung, aber in keinem inneren Punkte von $T$ wirklich erreicht wird.

Also liegen, wenn $u$ nicht constant ist, alle Werthe, welche $u$ für die inneren Punkte des Bereiches $T$ unter den angegebenen Voraussetzungen I annehmen kann, zwischen dem grössten Werthe $g$ und dem kleinsten Werthe $k$ unter denjenigen Werthen, welche $u$ auf der Begrenzung von $T$ annimmt.

page 247

Hieraus folgt, dass eine Function $u$, welche unter den Bedingungen I für einen Bereich $T$ erklärt ist und für alle Punkte der Begrenzung den Werth Null hat, auch für alle inneren Punkte von $T$ den Werth Null hat.

Und:

Wenn zwei Functionen $u$ und $u_1$ für dasselbe Gebiet $T$ den Bedingungen I genügen und für alle Punkte der Begrenzung des Gebietes mit einander übereinstimmen, so stimmen sie in ihren Werthen ganz mit einander überein.

Wenn es daher eine Function $u$ giebt, welche für einen gegebenen Bereich $T$ den Bedingungen I genügt, und in jedem Punkte der Begrenzung einen vorgeschriebenen und längs derselben stetig sich ändernden Werth besitzt, so giebt es nur eine solche Function.${}^{*)}$

§. 11.

Wenn die Integration der partiellen Differentialgleichung $\Delta u = 0$ für die Fläche eines Kreises durchgeführt ist, hat es keine Schwierigkeit, die analogen Untersuchungen für den Fall eines von zwei concentrischen Kreisen begrenzten Ringgebietes denselben Anforderungen der Strenge entsprechend auszuführen.

Es seien $r = 1$ und $r = R$, wo $R > 1$ sein möge, die Radien der das Ringgebiet begrenzenden concentrischen Kreise, und es seien die Grenzbedingungen der Einfachheit wegen $u(R, \varphi) = f(\varphi)$, $u(1, \varphi) = 0$, auf welchen Fall bekanntlich der allgemeinere leicht zurückgeführt werden kann. Die Function $f(\varphi)$ habe dieselben Eigenschaften wie in §. 7.

Für diesen Fall ergiebt sich nach den bekannten Methoden (vergl. die schon in §. 4 citirte Abhandlung des Herrn C. Neumann, dieses Journal, Bd. 59.):

*) Die in diesem Paragraphen enthaltenen Sätze lassen eine solche Verallgemeinerung zu, dass sie auch noch den Fall umfassen, in welchem die Stetigkeit der Function $u$ für eine endliche Anzahl von Punkten des Bereiches $T$ entweder aufhört oder ungewiss ist, vorausgesetzt, dass die Function $u$ bei der Annäherung an diese Punkte endlich bleibt, und ohne dass es nöthig ist, über das Verhalten der Function $u$ in der Nähe der singulären Punkte eine specielle Voraussetzung zu machen. Man vergl. §. 8.

page 248

\[ u(r, \varphi) = \frac{1}{2} b_0 \cdot \frac{\log r}{\log R} + \sum \frac{r^m - r^{-m}}{R^m - R^{-m}} \cdot (a_m \sin m\varphi + b_m \cos m\varphi) \quad (m = 1, \, \dots \, \infty), \] wo $a_m$ und $b_m$ durch die Gleichungen \[ a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \sin m\psi \cdot d\psi, \quad b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \cos m\psi \cdot d\psi \] definirt sind.

Diese Reihe ist für $\frac{1}{R} < r < R$ unbedingt und in gleichem Grade convergent, und die durch diese Reihe dargestellte Function genügt, als Function von $x$ und $y$ betrachtet, für das Innere des Bereiches, für welchen sie erklärt ist, der Differentialgleichung $\Delta u = 0$. Da die Kreislinie $r = 1$ im Innern des Convergenzgebietes liegt, so folgt die Stetigkeit der Function in der Nähe des Werthes $r = 1$ aus den bekannten Sätzen über die Stetigkeit von Potenzreihen im Innern ihres Convergenzbereiches. Für $r = 1$ ist in der That $u(r, \varphi) = 0$.

Es bleibt also nur noch übrig zu beweisen, dass diese Function für $\lim r = R$ mit Ausnahme derjenigen Punkte, in denen die vorgeschriebenen Randwerthe eine Stetigkeitsunterbrechung erfahren, stetig in die Function $f(\varphi)$ übergeht.

Zu diesem Zwecke subtrahire man von der Function $u(r, \varphi)$ die Function \[ u_1(r, \varphi) = \frac{1}{2} b_0 + \sum \frac{r^m}{R^m} (a_m \sin m\varphi + b_m \cos m\varphi) \quad (m = 1, \, 2, \, \dots \, \infty), \] welche (vergl. §. 6) für $r < R$ mit \[ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi \] übereinstimmt, und deren Stetigkeit aus dem Beweise in §. 8 in dem dort angegebenen Umfange folgt, so zeigt sich, dass der Convergenzbereich der Potenzreihe, welche mit Hinzunahme eines Gliedes, das dem Logarithmus von $r$ proportional ist, die Differenz $u - u_1$ darstellt, weiter ist als derjenige Bereich, für welchen die in den Ausdrücken für $u$ und für $u_1$ vorkommenden Potenzreihen gleichzeitig convergiren, da dieser Convergenzbereich sich von $r = \frac{1}{R}$ bis zu $r = R^3$ erstreckt (excl. der Grenzen). Da hiernach die Kreislinie $r = R$ nicht mehr an der Grenze, sondern innerhalb des Convergenzgebietes der Reihe für den Ausdruck

page 249

\[ u - u_1 - \frac{1}{2} b_0 \frac{\log r}{\log R} \] liegt, so folgt hieraus die Stetigkeit dieser Function in der Umgebung von $r = R$; überdies ergiebt sich, dass die Function $u - u_1$ für $r = R$ den Werth Null hat.

Es genügt daher die dargestellte Function den gestellten Bedingungen. Dieselbe ist zugleich die einzige, welche diese Eigenschaft besitzt. Die Richtigkeit dieser Behauptung ergiebt sich für den Fall, in welchem die Function $u$ für alle Punkte des betrachteten Gebietes den Bedingungen I genügt, aus §. 10.

§. 12.

An die in den Paragraphen 9 und 11 enthaltenen Entwickelungen können nun leicht Betrachtungen angeschlossen werden, welche denjenigen, die in der Theorie der Functionen complexen Arguments mit dem Cauchyschen und dem Laurentschen Satze über die Entwickelbarkeit einer Function in eine nach Potenzen der unabhängigen Variablen fortschreitende Reihe verbunden werden und für diese Theorie fundamentale Bedeutung haben, in vieler Beziehung analog sind.

Wenn eine Function $u$ für das Innere eines beliebig grossen um den Nullpunkt mit dem Radius $R$ beschriebenen Kreises den Bedingungen I gemäss erklärt werden kann, so ist dieselbe für jeden beliebig grossen Bereich durch eine für alle endlichen Werthe von $x$ und $y$ convergirende Reihe darstellbar.

Wenn nun überdies bekannt ist, dass dabei der Werth von $u$, wie gross auch $R$ sein möge, dem absoluten Betrage nach kleiner bleibt als eine endliche (von $R$ unabhängige) Grösse $g$, so ist $u$ eine Constante.

Wird nämlich der Grösse $r$ ein bestimmter endlicher Werth beigelegt und ist $R$ grösser als $r$, so ergiebt sich: \[ u(r, \varphi) - u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \left(\frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr\cos(\psi - \varphi) + r^2} - 1\right) d\psi. \] Da nun sämmtliche Elemente dieses Integrals dem absoluten Betrage nach kleiner sind als $g \cdot \frac{2r}{R - r} \cdot d\psi$, so ist der absolute Betrag von $u(r, \varphi) - u(0)$

page 250

für alle Werthe von $\varphi$ kleiner als $2g \cdot \frac{r}{R - r}$. Hieraus ergiebt sich, dass diese Differenz für unendlich grosse Werthe von $R$ unendlich klein wird; da dieselbe jedoch von dem Werthe von $R$ ganz unabhängig ist, so folgt, dass sie den Werth Null hat. Aus §. 9 folgt daher, dass die Function $u$ unter den angegebenen Voraussetzungen überhaupt für alle Punkte der Ebene denselben constanten Werth $u(0)$ besitzt. Dieser Satz ist als ein Fundamentalsatz zu betrachten und ist dem entsprechenden Satze in der Theorie der Functionen complexen Arguments analog, den bekanntlich Herr Liouville zuerst für doppelt periodische Functionen ausgesprochen hat. (Comptes rendus 1844, 2^me Semestre, pag. 1262.)

Wenn hingegen unter übrigens unveränderten Voraussetzungen nur bekannt ist, dass das Product $R^{-\mu} \cdot u(R, \varphi)$ für unendlich grosse Werthe von $R$ endlich bleibt, wo $\mu$ eine positive Zahl und $n$ die nächst grössere ganze Zahl bezeichnet, so ist in analoger Weise zu schliessen, dass die Reihe für die Function $u(r, \varphi)$ nur $n$ Glieder hat: \[ u(r, \varphi) = \frac{1}{2} b_0 + \sum r^m (a_m \sin m\varphi + b_m \cos m\varphi) \quad (m = 1, \, 2, \, \dots \, n - 1), \] dass also in diesem Falle die Function $u$ als Function von $x$ und $y$ betrachtet eine ganze Function $(n - 1)$^ten Grades ist.

Aus §. 11 folgt: Wenn eine Function $u(r, \varphi)$ für ein von zwei concentrischen Kreisen mit den Radien $r = R_1$ und $r = R_2$, $R_2 < R_1$ begrenztes Ringgebiet $T$ den Bedingungen I in §. 1 genügt und für die Punkte der Begrenzung $z = R_1 \cdot e^{i\varphi}$ und $z = R_2 \cdot e^{i\varphi}$ für jeden Werth von $\varphi$ beziehlich mit den Functionen $f_1(\varphi)$ und $f_2(\varphi)$ übereinstimmt, so ist diese Function durch diese Bedingungen bestimmt, und es giebt, wenn die Functionen $f_1(\varphi)$ und $f_2(\varphi)$ den in §. 5 für die Function $f(\varphi)$ angegebenen Bedingungen genügen, stets eine solche Function.

Diese Function wird für alle Werthe von $r$, für welche $R_2 < r < R_1$ ist, analytisch dargestellt durch die Gleichung \[ \begin{aligned} u(r, \varphi) &= \frac{1}{2} B_0 + B_0' \cdot \log r \\ &\quad + \sum \{(A_m r^m + A_{-m} r^{-m}) \sin m\varphi + (B_m r^m + B_{-m} r^{-m}) \cos m\varphi\} \quad (m = 1, \, 2, \, \dots \, \infty), \end{aligned} \]

page 251

und zwar haben die in derselben vorkommenden Coefficienten $A$ und $B$ die Werthe \[ \begin{aligned} B_0 &= \frac{b_{2\,0} \log R_1 - b_{1\,0} \log R_2}{\log R_1 - \log R_2}, & B_0' &= \frac{b_{1\,0} - b_{2\,0}}{\log R_1 - \log R_2}, \\ A_m &= \frac{a_{1\,m} R_1^m - a_{2\,m} R_2^m}{R_1^{2m} - R_2^{2m}}, & B_m &= \frac{b_{1\,m} R_1^m - b_{2\,m} R_2^m}{R_1^{2m} - R_2^{2m}}, \\ A_{-m} &= \frac{a_{1\,m} R_1^{-m} - a_{2\,m} R_2^{-m}}{R_1^{-2m} - R_2^{-2m}}, & B_{-m} &= \frac{b_{1\,m} R_1^{-m} - b_{2\,m} R_2^{-m}}{R_1^{-2m} - R_2^{-2m}}, \end{aligned} \] wenn in diesen Ausdrücken \[ \left. \begin{array}{c} a_{\lambda\,m} \\ b_{\lambda\,m} \end{array} \right\} = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} u(R_\lambda, \psi) \left\{ \begin{array}{c} \sin m\psi \\ \cos m\psi \end{array} \right\} d\psi, \quad u(R_\lambda, \psi) = f_\lambda(\psi), \quad \begin{array}{c} (m = 0, \, 1, \, \dots \, \infty) \\ (\lambda = 1, \, 2) \end{array} \] gesetzt wird.

Die angegebene Reihe convergirt unbedingt, wenn $R_2 < r < R_1$ ist. Es ist wichtig zu bemerken, dass eine Function $u(r, \varphi)$ für denselben Bereich nur auf eine einzige Weise durch einen Ausdruck von der angegebenen Form dargestellt werden kann. Für jeden Werth von $r$, für den $R_2 < r < R_1$ ist, ergeben sich nämlich, wenn der obige Ausdruck für $u(r, \varphi)$ zu Grunde gelegt wird, die Gleichungen \[ \int_0^{2\pi} u(r, \varphi) \, d\varphi = (B_0 + B_0' \log r) \pi \] und \[ \int_0^{2\pi} u(r, \varphi) \left\{ \begin{array}{c} \sin m\varphi \\ \cos m\varphi \end{array} \right\} d\varphi = \left\{ \begin{array}{c} A_m r^m + A_{-m} r^{-m} \\ B_m r^m + B_{-m} r^{-m} \end{array} \right\} \cdot \pi, \] da unter den angegebenen Voraussetzungen die Integration an den einzelnen Gliedern ausgeführt werden darf. Werden nun in diesen Gleichungen der Grösse $r$ zwei von einander verschiedene Werthe $R_1'$ und $R_2'$ beigelegt, für welche $R_2 < R_2' < R_1' < R_1$ ist, und werden die Ausdrücke, in welche $a_{\lambda\,m}$ und $b_{\lambda\,m}$ übergehen, wenn $R_\lambda'$ an die Stelle von $R_\lambda$ gesetzt wird, beziehlich mit $a_{\lambda\,m}'$ und $b_{\lambda\,m}'$ bezeichnet, wobei dem Index $\lambda$ wie vorhin der Werth $1$ und der Werth $2$ beizulegen ist, so ergeben sich hieraus die Werthe der Coefficienten $A$ und $B$ eindeutig ausgedrückt durch die Grössen

page 252

$a'$, $b'$, $R_1'$ und $R_2'$. Die so erhaltenen Ausdrücke haben dieselbe Form wie die oben angegebenen, in welche dieselben bei dem Grenzübergange \[ \lim R_1' = R_1, \quad \lim R_2' = R_2 \] übergehen.

Hieraus wird analog wie in §. 9 geschlossen: Wenn die Function $u$, beziehungsweise deren analytische Fortsetzung nicht bloss für den Bereich \[ R_2 \leqq r \leqq R_1, \] sondern für einen noch weiteren Bereich \[ R_2'' \leqq r \leqq R_1', \] der jenen ersten als Theil enthält, den Bedingungen I genügt, so convergirt die gefundene Reihe, welche zur analytischen Darstellung der Function $u$ innerhalb des engeren Bereiches dient, auch noch für das Innere des weiteren Bereiches und die Summe derselben stimmt mit der Function $u$ oder der analytischen Fortsetzung derselben auch in dem weiteren Bereiche überein.

Wenn daher eine Function $u$ für das Innere einer Kreisfläche $S$ mit dem Radius $R_1$ mit einziger Ausnahme von deren Mittelpunkt $z = 0$, für den es noch ungewiss ist, den Bedingungen I genügt, so ist diese Function darstellbar durch einen Ausdruck von der soeben angegebenen Form, und zwar convergirt die in demselben vorkommende Reihe für alle Werthe von $r$, welche kleiner als $R_1$ und von Null verschieden sind.

Wenn nun von dem Verhalten der Function $u$ in der Nähe des singulären Punktes $z = 0$ weiter nichts bekannt ist, als dass dieselbe bei der Annäherung an denselben in dem in §. 7 angegebenen Sinne endlich bleibt, so kann geschlossen werden, dass die Coefficienten $B_0'$, $A_{-m}$, $B_{-m}$ einzeln den Werth Null haben, und zwar folgt dies aus dem Bildungsgesetze für diese Grössen, da bei dem Grenzübergange $\lim R_2 = 0$ die Grössen $a_{2\,m}$ und $b_{2\,m}$ unter der angegebenen Voraussetzung endlich bleiben.

Es ist daher, wenn der Werth der Function $u$ auch für den Punkt $z = 0$ durch den Werth der Reihe erklärt wird, die Function $u$ unter den angegebenen Bedingungen auch in der Umgebung des Punktes $z = 0$ stetig und genügt mit Einschluss dieses Punktes für die Fläche $S$ den Bedingungen I.

Man vergl. hiermit Riemanns Dissertation, Art. 12.

page 253

Tritt an die Stelle der Bedingung \[ [u(r, \varphi)] < g \] die Bedingung \[ r^\mu \cdot [u(r, \varphi)] < g, \] wo $\mu$ eine positive Zahl bedeutet, so folgt durch analoge Schlüsse, dass der Ausdruck für die Function $u$ ausser anderen Gliedern jedenfalls nur eine endliche Anzahl solcher Glieder enthält, in denen $r$ zu einer Potenz mit negativem Exponenten erhoben ist.

Zürich, im September 1871.${}^{*)}$

*) Nach der Einsendung des Textes der obigen Mittheilung und der denselben begleitenden Anmerkungen an den Herrn Herausgeber dieses Journals ist eine Mittheilung des Herrn Christoffel: „Ueber die Integration von partiellen Differentialgleichungen“ veröffentlicht worden, welche in Nr. 18 der Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen vom 13. September 1871, pag. 435--453 abgedruckt ist.

In dem Inhalte dieser Mittheilung erblicke ich eine Bestätigung für die Auffassung dass der früher übliche Nachweis der Stetigkeit der durch das Poissonsche Integral oder eine gleichgeltende Formel dargestellten Function in der Nähe des Randes den Anforderungen der Strenge nicht vollkommen entspreche, welche in Folge der in Bd. 71 d. Journ. veröffentlichten Bemerkung des Herrn Heine, wie mir scheint, gestellt werden müssen.

Ferner dürfte bezüglich einer auf pag. 445 derselben Mittheilung enthaltenen Bemerkung: „Endlich gehört hierhin die Voraussetzung, dass $v$ zweite Derivirten habe, was, wenn $u + iv$ als Function von $x + iy$ definirt wird, nicht gefordert ist und eine Folge aus weniger weit gehenden Bedingungen ist“ geltend zu machen sein, dass Riemann im Art. 12 seiner Inauguraldissertation die Ergebnisse der im Art. 10 derselben angestellten Untersuchung zunächst nicht auf die Bestandtheile $u$ und $iv$ der als Function des complexen Arguments $x + iy$ definirten Function $u + iv$, sondern auf den reellen Theil $U = \displaystyle\int(u\,dx - v\,dy)$ der aus jener durch Integration hervorgehenden Function $\displaystyle\int(u + iv)(dx + i\,dy)$ anwendet, und dass für diesen die oben als Bedingungen I bezeichneten Voraussetzungen erfüllt sind. Als eine Folge des im Art. 10 der Inaugural-Dissertation bewiesenen Lehrsatzes ergiebt sich dann, dass auch die Functionen $\frac{\partial U}{\partial x} = u$, $\frac{\partial U}{\partial y} = -v$ für das Innere des betrachteten Gebietes partielle Ableitungen aller Ordnungen besitzen und der partiellen Differentialgleichung $\Delta u = 0$ genügen. Hieraus scheint mir aber hervorzugehen, dass die beiden Voraussetzungen „es ist $\Delta u = 0$“ und „es ist $\frac{\partial u}{\partial y} \cdot dx - \frac{\partial u}{\partial x} \cdot dy$ ein vollständiges Differential einer Function von $x$ und $y$“ mit Rücksicht auf den vorliegenden Zweck vollkommen äquivalent sind.

März 1872.

page 218

\section*{On the Integration of the Partial Differential Equation

\[

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0.

\]}

(By Mr. H. A. Schwarz in Zurich.)

In the fourth issue of Volume 73 of this Journal, Mr. Prym, in a memoir “Zur Integration der Differentialgleichung $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$” pp. 340 to 364, referred to an article published in Volume XV of the Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich (pp. 113 to 128), by the reprint of which in this place a service may perhaps be rendered to some readers of the Journal. On this occasion, several notes have been added to the mentioned article, mainly concerning the relations to other treatments of the same subject or closely related areas. A continuation and partial extension of the investigations contained in that article forms the remaining content of the present communication.

\subsection*{On the Integration of the Partial Differential Equation

\[

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

\]

for the Area of a Circle.}

In his inaugural dissertation (Arts. 18, 19, 21) and in his memoir on the theory of Abelian functions (this Journal, Vol. 54, pp. 112, 114), Riemann stated several general theorems concerning the integration of the partial differential equation

\[

\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

\]

for a given region $T$ under prescribed boundary and discontinuity conditions, for which to my knowledge a rigorous proof is at present not yet known.

page 219

Even for the simple and important special case in which the given region is a simple circular disk, the investigations hitherto, so far as my knowledge of them extends, cannot be regarded as complete.

If the value of the sought function $u$ is prescribed at each point of the boundary of the region, and this series of values prescribed along the boundary is subjected to no other restriction than the condition of being continuous, then the assumption is not admissible that the sought function $u$ possesses along the boundary finite partial derivatives $\frac{\partial u}{\partial x}$, $\frac{\partial u}{\partial y}$, respectively $\frac{\partial u}{\partial p}$, since under the hypotheses made, partial derivatives of the function $u$ along the boundary in general do not exist at all. To this circumstance, to which several years ago Mr. Weierstrass drew attention in his lectures, no regard has hitherto been paid, so far as I know.

In what follows, I restrict myself to the consideration of the case in which the region of the independent variables $x$ and $y$ is a circular disk $S$ simply covering the plane; however, with the exclusion of interruptions of continuity and infinitely large values in the series of values prescribed for the function $u$ along the boundary of the disk $S$.

§. 1.

In the plane $A$, whose points geometrically represent the complex quantity

\[

z = x + yi = r \cdot e^{i\varphi}

\]

let there be given a region $T$ lying entirely in the finite, everywhere simply covering the plane, whose boundary is formed by a finite number of segments of analytic curves.

For the region $T$, let there be defined a (real) function $u$ of the two real independent variables $x$, $y$, namely as a finite, continuous, and single-valued function thereof for all points in the interior and on the boundary of $T$.

It is assumed that the partial derivatives

\[

\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

\]

page 220

exist, are finite, continuous, and single-valued functions of $x$ and $y$, and satisfy the equation

\[

\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

\]

However, these hypotheses concerning the derivatives are posited either

I. only for all interior points of the region $T$

or

II. also for all points of the boundary of $T$ inclusively.

Accordingly, the hypotheses made for $u$ and for the derivatives of $u$ shall in the following be distinguished from one another as “Conditions I” and “Conditions II.”${}^{*)}$

*) Mr. Carl Neumann requires in two memoirs: “Revision einiger allgemeinen Lehrsätze aus der Theorie des Logarithmischen Potentials,” Mathematische Annalen of Clebsch and Neumann, Vol. 3, pp. 325—349 and “Zur Theorie des Logarithmischen und des Newtonschen Potentiales. Zweite Mittheilung,” Berichte der K. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, math.-phys. Classe, October 1870, pp. 264—321, in addition to the conditions stated in §. 1: a. “uniform” continuity and b. the existence of the derivative $\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}$ for the interior of the region considered. On this, the following is to be noted:

a. With good reason, Mr. Heine has drawn attention to the fact (this Journal, Vol. 71, p. 361) that in defining the continuity of a function of two or more arguments one must proceed carefully if this definition is to be analytically useful. In particular, the following definition: “A function of two arguments is a continuous function thereof if, within the region under consideration, for each value of the first argument this function is a continuous function of the second, and simultaneously for each value of the second argument a continuous function of the first,” proves in most cases to be inadequate when it comes to drawing conclusions from it. This definition is therefore to be rejected as unusable, quite apart from the fact that, as Mr. Thomae has noted, it also encompasses functions that are usually called discontinuous, such as for example the function $\frac{2xy}{x^2+y^2}$ in a region containing the point $x=0$, $y=0$ in its interior. Cf. the work of Mr. Thomae: “Abriss einer Theorie der complexen Functionen und der Thetafunctionen einer Veränderlichen,” Halle 1870, Nebert, pp. 13—16. — At the beginning of my mathematical studies I became acquainted with the following definition of the continuity of a function of two arguments, which I still consider the correct one: “A function $f(x, y)$ is in the neighborhood of the pair of values $x_0$, $y_0$ a continuous function of its two (continuously variable) real arguments if, after assuming a positive quantity $\varepsilon$ different from zero and otherwise subject to no restriction as to its smallness, it is always possible to delimit in the neighborhood of the pair of values $x_0$, $y_0$ a region extended in two dimensions such that for all pairs of values $x_0 + h$, $y_0 + k$ belonging simultaneously to the original region of the variables for which the function is defined and to the delimited region, the difference $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ is in absolute value smaller than $\varepsilon$. Here the shape of that delimited region is in general subject to no restrictions. If a function satisfies this condition for all pairs of values $x_0$, $y_0$ belonging to the interior and to the boundary of a given region of the independent variables, then the function under consideration is for this region a continuous function of its arguments.” There seems to me to be no need to depart from this definition, since by means of a mode of inference devised by Bolzano and further developed by Mr. Weierstrass, it can be demonstrated without difficulty that every function which in the above sense is a continuous function of its arguments for a given region is also uniformly continuous for the same region in the sense of Mr. Heine. Since the converse also holds, the two concepts coincide completely. On the other hand, from Mr. Heine's remark arises the inescapable requirement, which in particular in an existence proof must not remain unfulfilled, that if the continuity of an analytically represented function is to be proved, the proof must establish the continuity of the function to precisely the same extent to which the definition of continuity must be presupposed in general investigations in order to be analytically useful. I have sought to satisfy this requirement in §. 5, in §. 8 and §. 11.

b. The requirement of the existence of the partial derivative $\frac{\partial^2 u}{\partial x\,\partial y}$ seems to me to be unnecessary, since the finiteness, continuity, and single-valuedness of this derivative for the interior of the region considered — see §. 2 to §. 5 of the text — is already a necessary consequence of the remaining hypotheses. It may be remarked that, on the contrary, the hypotheses made in §. 1 regarding the second derivatives $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ and $\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$ can even be reduced to a lesser degree, since the theorems cited in §. 2 still hold unchanged if at individual points or along individual lines one dispenses with the requirement of the existence of second derivatives or leaves the fulfillment of the equation $\Delta u = 0$ undetermined. Cf. the formulation of the conditions for the theorem proved in Art. 10 of Riemann's dissertation.

page 221

§. 2.

a. If $u$ and $u'$ are two functions satisfying Conditions II for the same region $T$ (see the preceding section), then the two integrals

\[

\int (u\,\Delta u' - u'\,\Delta u)\,dT \quad \text{and} \quad -\int \Bigl(u\,\frac{\partial u'}{\partial p} - u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\Bigr)\,ds,

\]

the first of which is to be extended over the region $T$ itself, the second over all boundary curves thereof, have the value zero; the first because $\Delta u$ and $\Delta u'$ are constantly equal to zero, the second because it can be obtained by integration by parts from the first (see Green: “An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Elec-

page 222

tricity and Magnetism.” This Journal, Vol. 44, p. 360; Riemann's Inaug.-Diss., Arts. 7 to 10).${}^{*)}$

b. If one sets $u' = 1$, hence $\frac{\partial u'}{\partial p} = 0$, there results the theorem: The integral $\displaystyle\int \frac{\partial u}{\partial p}\,ds$ to be extended over all boundary curves of a region $T$ for which the function $u$ satisfies Conditions II has the value zero.

§. 3.

Let a function $u$ satisfy Conditions I for the area $S$ of the circle described with radius $1$ about the point $z = 0$.

Let $u' = \log r$ (see Riemann's Dissertat. Art. 10). The curves of constant values of $u'$ are concentric circles whose center is the point $z = 0$. If $R_1$ and $R_2$ are two special values of $r$ lying between $1$ and $0$ with the condition $1 > R_1 > R_2 > 0$, then the functions $u$ and $u'$ satisfy Conditions II for the annular region $T$ bounded by the two circles with center $z = 0$ and radii $R_1$ and $R_2$, and the hypotheses of theorem §. 2, a are therefore satisfied.

*) At the cited place Green posits the same conditions that in §. 1 have been designated as Conditions II. An analogous hypothesis occurs in the proof that Gauss gives for the theorem

\[

\int V \frac{\partial V}{\partial p}\,ds = -\int \Bigl[\Bigl(\frac{\partial V}{\partial x}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial V}{\partial y}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial V}{\partial z}\Bigr)^2\Bigr]\,dT

\]

(Werke, Vol. V, p. 226). To the same restriction, however, the proofs are also subject that Mr. Durège has given in the work: “Elemente der Theorie der Functionen einer complexen veränderlichen Grösse,” Leipzig, Teubner, 1864, p. 203, and Mr. C. Neumann in the work: “Das Dirichletsche Princip,” Leipzig, Teubner, 1865, p. 9, since these are only transfers of Gauss's proof to the case of two independent variables.

On the other hand, in the paper of Mr. Betti: “Sopra le funzioni sferiche,” Annali di Matematica, 2nd Series, Vol. I, pp. 81—87, and in that of Mr. Dini: “Sopra le funzioni di una variable complessa,” ibid., Vol. IV, pp. 159—174, one finds the investigation restricted to the case in which the fulfillment of Conditions II is required. Here, however, another drawback appears, since the so-called arbitrary function appearing in the final formulas and representing the given boundary values may by no means be chosen arbitrarily if the condition of finite differential coefficients including the boundary is posited. What restrictive hypotheses, however, this function must be subjected to in this case, besides the condition of being continuous, does not, as it seems to me, emerge from those investigations.

page 223

The integral

\[

\int \Bigl(u\,\frac{\partial u'}{\partial p} - u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\Bigr)\,ds

\]

extended over the entire boundary of $T$ accordingly has the value zero. It is to be shown that each of the integrals

\[

\int u\,\frac{\partial u'}{\partial p}\,ds \quad \text{and} \quad \int u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\,ds

\]

extended over the entire boundary of $T$ has the value zero by itself.

Along the circle with radius $R_1$, $u'$ has the constant value $\log R_1$, and along the circle with radius $R_2$, the constant value $\log R_2$. It is therefore

\[

\int u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\,ds = \log R_1 \cdot \int_{(r = R_1)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds + \log R_2 \cdot \int_{(r = R_2)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds.

\]

Applying theorem §. 2, b to the area of the circle with radius $R_1$ and to the annular region $T$, one obtains

\[

\int_{(r = R_1)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds = 0, \quad \int_{(r = R_1)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds + \int_{(r = R_2)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds = 0,

\]

consequently also

\[

\int_{(r = R_2)} \frac{\partial u}{\partial p}\,ds = 0.

\]

Therefore the integral $\displaystyle\int u'\,\frac{\partial u}{\partial p}\,ds$ and hence also the integral $\displaystyle\int u\,\frac{\partial u'}{\partial p}\,ds$ has the value zero when both integrals are extended over the entire boundary of $T$.

For $r = R_1$ one obtains $\frac{\partial u'}{\partial p} = -\frac{1}{R_1}$, and for $r = R_2$, $\frac{\partial u'}{\partial p} = \frac{1}{R_2}$. If one therefore sets for $ds$ its value $R_1 \cdot d\varphi$, respectively $R_2 \cdot d\varphi$, and designates the value of the function $u$ at the point $z = r \cdot e^{i\varphi}$ by $u(r, \varphi)$, one obtains from the equation $\displaystyle\int u\,\frac{\partial u'}{\partial p}\,ds = 0$ the following

\[

\int_0^{2\pi} u(R_2, \varphi)\,d\varphi = \int_0^{2\pi} u(R_1, \varphi)\,d\varphi.

\]

In this equation $R_2$ and $R_1$ are two mutually independent variable quantities which can assume all values between $0$ and $1$, where however the values $0$ and $1$ are for the present still excluded. But now it follows from the hypothesis that the function $u$ is a

page 224

continuous function of the variables $x$ and $y$, and hence also of the variables $r$ and $\varphi$, that the value of the integral $\displaystyle\int_0^{2\pi} u(r, \varphi)\,d\varphi$ for all values of $r$ between $0$ and $1$, including the values $0$ and $1$, can vary only continuously with the value of $r$. For this reason, the above equation, although in its derivation it was initially assumed that $R_2$ and $R_1$ were different from $0$ and $1$, continues to hold even when $R_2 = 0$ and $R_1 = 1$ are set. For the value $R_2 = 0$, the integral on the left-hand side passes into $2\pi \cdot u(0)$, if by $u(0)$ the value of $u$ at the point $z = 0$ is denoted. There exists therefore the equation

\[

u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(1, \varphi)\,d\varphi.

\]

§. 4.

With an appropriately altered determination of the function $u'$, the mode of inference developed in the preceding section, which is taken from Art. 10 of Riemann's dissertation, also leads to an expression for the value $u(r, \varphi)$ of the function $u$ at an arbitrary point $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ belonging to the interior of the circular disk, under the sole hypothesis that the function $u$ satisfies Conditions I for the disk $S$.

To the point $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ inside the disk $S$ let there be assigned the point $z_0' = \frac{1}{r} e^{i\varphi}$ outside it; $0 < r < 1$. All points $z$ whose distances from the points $z_0$ and $z_0'$, $[z - z_0]$ and $[z - z_0']$, have a constant ratio, $\frac{[z - z_0]}{[z - z_0']} = r \cdot t$, with the restriction $0 \le t \le 1$, lie on a circle belonging to the disk $S$, whose center $c$ and whose radius $R$ are given by the equations

\[

c = z_0 \cdot \frac{1 - t^2}{1 - r^2 t^2}, \quad R = \frac{t(1 - r^2)}{1 - r^2 t^2}, \quad z_0 - c = z_0 \cdot R \cdot t

\]

For $t = 1$ this circle coincides with the boundary of $S$; for $t = 0$ it reduces to a point, namely the point $z_0$.

page 225

To each point $z$ of $S$ there belongs, according to the foregoing, as soon as the point $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ is fixed, one value of $t$, $0 \le t \le 1$, and therefore also one value each of $c$ and $R$. Setting now $z - c = R \cdot e^{i\psi}$, there corresponds to each point $z$ of $S$, with the exception of the point $z_0$, one value of $\psi$ which satisfies the condition $0 \le \psi < 2\pi$, and for which the equation $z - c = R \cdot e^{i\psi}$ is satisfied. Since conversely also to each pair of values $t$, $\psi$ only one value of $z$ belongs, $t$ and $\psi$ may be chosen as independent variables. The function $u$ of $x$ and $y$ then transforms into a function of $t$ and $\psi$. Let the value of $u$ uniquely corresponding to the pair of values $t$, $\psi$ be denoted by $u[t; \psi]$. For the values $t = 1$ and $t = 0$ there result the identities $u[1; \psi] = u(1, \psi)$, $u[0; \psi] = u(r, \varphi)$. With respect to the variables $t$ and $\psi$ as well, the function $u$ varies continuously with both arguments for all pairs of values under consideration.

Let $u'$ be set equal to the real part of the analytic function $\log \frac{z - z_0}{z - z_0'}$,

\[

u' = \log \frac{[z - z_0]}{[z - z_0']} = \log(r \cdot t).

\]

Let $t_1$ and $t_2$ be two special values of $t$, both lying between $1$ and $0$, with the condition $1 > t_1 > t_2 > 0$. Let $R_1$ and $R_2$ be the radii of the two circles corresponding to these values of $t$, and let $T$ denote the annular region bounded by these two circles.

Now the functions $u$ and $u'$ for the region $T$, and the function $u$ for the area of the circle with radius $R_1$, satisfy Conditions II; along both boundary curves of $T$ the function $u'$ has a constant value. By means of the same conclusions as in §. 3 it is therefore inferred that the integral $\displaystyle\int u \frac{\partial u'}{\partial p}\,ds$ extended over the entire boundary of $T$ has the value zero in the present case as well.

Along the two boundary curves of $T$ corresponding to the values $t = t_1$, $t = t_2$, one obtains for $\frac{\partial u'}{\partial p}$ respectively the values

\[

-\frac{1}{R_1} \cdot \frac{1 - r^2 t_1^2}{1 - 2r t_1 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_1^2}

\]

and

\[

\frac{1}{R_2} \cdot \frac{1 - r^2 t_2^2}{1 - 2r t_2 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_2^2}.

\]

page 226

If therefore for $ds$ its value $R_1 \cdot d\psi$, respectively $R_2 \cdot d\psi$ is set, there results from the equation $\displaystyle\int u \frac{\partial u'}{\partial p}\,ds = 0$ the following

\[

\begin{gathered}

\int_0^{2\pi} u[t_2; \psi] \frac{1 - r^2 t_2^2}{1 - 2r t_2 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_2^2} \cdot d\psi = \\

= \int_0^{2\pi} u[t_1; \psi] \frac{1 - r^2 t_1^2}{1 - 2r t_1 \cos(\psi - \varphi) + r^2 t_1^2} \cdot d\psi.

\end{gathered}

\]

The quantities $t_1$ and $t_2$ are independent of each other and can assume all values between $1$ and $0$, except the values $1$ and $0$ themselves. From the hypotheses made concerning the function $u$, however, it follows that for all values of $t$ between $1$ and $0$, including the values $1$ and $0$, the value of the integral

\[

\int_0^{2\pi} u[t; \psi] \frac{1 - r^2 t^2}{1 - 2rt \cos(\psi - \varphi) + r^2 t^2}\,d\psi

\]

can vary only continuously with the value of $t$; therefore the above equation continues to hold even when $t_2 = 0$, $t_1 = 1$ are set. For the value $t_2 = 0$ the left-hand side of the equation passes into $2\pi \cdot u(r, \varphi)$, while the right-hand side for $t_1 = 1$ passes into

\[

\int_0^{2\pi} u(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi

\]

There exists therefore, whenever the function $u$ satisfies Conditions I for the circular disk $S$, for all values of $r$ that are less than $1$, and for all values of $\varphi$, the equation

\[

u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi.

\]

(Cf. C. Neumann: “Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung $\frac{\partial^2 \varPhi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varPhi}{\partial y^2} = 0$.” This Journal, Vol. 59, p. 364.)${}^{*)}$

*) The definite integral to which the investigation of §. 4 has led, and the corresponding formula by which the partial differential equation

\[

\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0

\]

is integrated for the interior of a sphere when the value of the function $V$ on the surface of the sphere is prescribed and the conditions to which this function is subjected are analogous to Conditions I given in §. 1, is found given in various memoirs of Poisson: Journal de l'École polytechnique, cah. 18, pag. 422 (1815); cah. 19, pag. 150, 155, 433 (1823). Mémoires de l'Académie des Sciences, année 1823, pag. 575. Additions à la Connaissance des Tems pour l'année 1829, pag. 329; pour l'année 1831, pag. 49. Philosophical Magazine, July 1827. Théorie mathématique de la chaleur, Paris 1835, chap. VII et VIII.

One will also easily recognize in the proof contained in §. 5 under b. the basic ideas of Poisson's proof.

The proof contained in §. 3 and in §. 4 rests essentially on the fact that first a formula which no longer contains partial derivatives of the function $u$ is derived under the hypothesis of Conditions II, and thereupon a limiting process is carried out which allows Conditions I to take the place of Conditions II. The following arrangement of the proof, which stands perhaps even somewhat closer to the corresponding Green's proof and to the presentation of this proof given by Riemann and other mathematicians in lectures and memoirs, also leads to the same goal.

By applying the inferences of §. 3 to the area of a circle with radius $R$ for which a function $u$ satisfies Conditions I, one obtains:

\[

\tag{I.} 2\pi \cdot u(0) = \int u \frac{\partial\log r}{\partial r}\,ds = \int_0^{2\pi} u(R, \varphi)\,d\varphi.

\]

Let there now be described about the point $z = 0$ as center a circle with radius $R_1$ ($R_1 < R$), and likewise about the point $z_0 = r \cdot e^{i\varphi}$ ($0 < r < R_1$) as center a circle with radius $R_2$ ($R_2 < R_1 - r$). Set $\frac{R_1^2}{r} e^{i\varphi} = z_0'$ and denote the distances of any point $z$ from the points $z_0$ and $z_0'$ respectively by $\varrho$ and $\varrho'$; set further $u' = \log \varrho - \log \varrho'$ and apply to the annular region bounded by the circles $r = R_1$ and $\varrho = R_2$ the theorem §. 2, a; there results by inferences entirely analogous to those given in the text:

\[

\int u \frac{\partial\log \varrho}{\partial \varrho}\,ds = \int_0^{2\pi} u(R_1, \psi) \frac{R_1^2 - r^2}{R_1^2 - 2R_1 r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi.

\]

From this it follows, using equation (I.), upon passing from $R_1$ to $R$:

\[

\tag{II.} u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi.

\]

page 227

Thus the value of the function $u$ at an arbitrary point $z = r \cdot e^{i\varphi}$ in the interior of the circular disk depends, under the stated hypotheses, only on those values which the function $u$ assumes on the circumference of the circle, and in addition on the polar coordinates of that point referred to the center of the circle as pole; moreover, $u(r, \varphi)$ is uniquely expressed by the named quantities.

If therefore there exists a function $u$ which satisfies Conditions I for the area of a circle and agrees in value on the circumference thereof with a given function $f(\varphi)$, then the function is determined by these conditions, and there exists only one such function.

page 228

§. 5.

In the foregoing it has been shown that every function $u$ which satisfies Conditions I for a circular disk $S$ is uniquely determined by those values which it assumes on the boundary of $S$. The question now arises whether for such a function $u$ the series of boundary values $u(1, \varphi) = f(\varphi)$ can be arbitrarily prescribed?

This question is answered by the following theorem:

If along the boundary of the circular disk $S$ an arbitrary real function $f(\varphi)$, finite, continuous, and single-valued for all values of the real argument $\varphi$, returning periodically into itself upon increasing the argument by $2\pi$, but otherwise subject to no further restriction, is arbitrarily prescribed, then there exists in each case one (and according to the foregoing only a single) function $u$ which satisfies Conditions I for the disk $S$ and agrees along the boundary of $S$ with the given function $f(\varphi)$.

This function is represented for all points $z = r \cdot e^{i\varphi}$ in the interior of $S$, $r < 1$, by the integral

\[

u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi.

\]

The proof of this theorem divides into two parts; in the first part (a.) it is to be shown that the function $u(r, \varphi)$ defined by the preceding equation possesses for all points $z = r \cdot e^{i\varphi} = x + yi$ belonging to the interior of $S$ partial derivatives of all orders with respect to the variables $x$ and $y$ and satisfies the partial differential equation $\Delta u = 0$; in the second part (b.), on the other hand, the proof is to be given that the function $u(r, \varphi)$ is also in the vicinity of the value $r = 1$ a continuous function of its arguments and passes continuously for $r = 1$ into the function $f(\varphi)$.

a. The function $u$ defined by the integral

\[

u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi

\]

coincides with the real part of the analytic function $F(z)$ of the complex argument $z = r \cdot e^{i\varphi} = x + yi$ uniquely defined for all values of $z$ whose absolute value $r$ is less than $1$ with the character of an entire function by the equation

page 229

\[

F(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{e^{i\psi} + z}{e^{i\psi} - z} \cdot d\psi

\]

Therefore the function $u$ possesses for all points $z$ lying in the interior of the circular disk partial derivatives of all orders with respect to the independent variables $x$ and $y$ and satisfies in the same extent the differential equation $\Delta u = 0$.

b. On account of the assumed periodicity of the function $f(\psi)$, one may substitute for the integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi

\]

the integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\varphi + \psi) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2} \cdot d\psi

\]

and since for all values of $r$ that are less than $1$, the value $r = 1$ excluded, the integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2} \cdot d\psi

\]

has the value $1$, the equation

\[

u(r, \varphi) = f(\varphi) + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} [f(\varphi + \psi) - f(\varphi)] \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi.

\]

holds in the same extent.

It is now to be shown that it is possible to fix a bound for the difference $1 - r$ such that for all values of $r$ for which the difference $1 - r$ is different from zero and does not exceed that bound, and for all values of $\varphi$, the value of the integral in the preceding equation is in absolute value smaller than an arbitrarily small prescribed quantity.

On account of the periodicity of the function $f(\varphi)$, the interval from $-\pi$ to $+\pi$ over which the integration extends can, if $\delta$ denotes a small positive quantity, be replaced by the two intervals from $\delta$ to $2\pi - \delta$ and from $-\delta$ to $+\delta$.

While $\psi$ is in the interval from $\delta$ to $2\pi - \delta$,

page 230

the denominator occurring under the integral sign is always greater than $2r(1 - \cos\delta)$. The difference $f(\varphi + \psi) - f(\varphi)$ always remains smaller than $2g$, if $g$ denotes the greatest value of the absolute value of $f(\varphi)$. Consequently, the contribution that this interval delivers to the value of the integral is numerically smaller than $\frac{g(1 - r^2)}{r(1 - \cos\delta)}$. However small one may find it good in the sequel to choose the quantity $\delta$, which always remains different from zero, one can by corresponding reduction of $1 - r$ command the smallness of $\frac{g(1 - r^2)}{r(1 - \cos\delta)}$.${}^{*)}$

There still remains to consider the integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_{-\delta}^{+\delta} [f(\varphi + \psi) - f(\varphi)] \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi

\]

If one denotes by $\varepsilon$ a quantity which the absolute value of the difference $f(\varphi + \psi) - f(\varphi)$ does not exceed in the interval $-\delta \le \psi \le +\delta$, then the value of this integral is numerically smaller than

\[

\frac{\varepsilon}{2\pi} \int_{-\delta}^{+\delta} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi,

\]

hence also smaller than

\[

\frac{\varepsilon}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi,

\]

i.e., smaller than $\varepsilon$.

On account of the assumed continuity of the function $f(\varphi)$, however small the quantity $\varepsilon$ different from zero may be assumed, one can always specify a quantity $\delta$ different from zero such that for

*) Even narrower bounds are given by the following estimate. The integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_{\delta}^{2\pi - \delta} [f(\varphi + \psi) - f(\varphi)] \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi

\]

is in absolute value smaller than

\[

\frac{g}{\pi} \int_{\delta}^{2\pi - \delta} \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2}\,d\psi = \frac{2g}{\pi} \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1 - r}{1 + r} \cdot \operatorname{cotg}\frac{1}{2}\delta\right),

\]

hence also smaller than

\[

\frac{4g}{\pi(1 + r)} \cdot \frac{1 - r}{\delta}.

\]

page 231

all values of $\psi$ not exceeding in absolute value the quantity $\delta$, and simultaneously for all values of $\varphi$, the absolute value of the difference $f(\varphi + \psi) - f(\varphi)$ is smaller than $\varepsilon$; therefore the specified integral vanishes for all values of $\varphi$ simultaneously with $\delta$.

Hereby the theorem stated above is proved in all its parts.

For the formulation of the proof communicated here, a requirement was decisive which was put to me in January of this year in a letter from Mr. Heine, essentially to the effect: However small a quantity $\varepsilon'$ different from zero may be assumed, it must be possible to specify a quantity $\varepsilon$ different from zero such that — for all values of $r$ for which the difference $1 - r$ is different from zero and smaller than $\varepsilon$, and simultaneously for all values of $\varphi$ — the absolute value of the difference $u(r, \varphi) - f(\varphi)$ is smaller than the quantity $\varepsilon'$.

Further details on the significance of this requirement are contained in a memoir of Mr. Heine: “Ueber trigonometrische Reihen”${}^{*)}$, a memoir which all mathematicians will greet with lively pleasure.

An analogous procedure leads to a rigorous proof of the corresponding formula by which the partial differential equation

\[

\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0

\]

is integrated for the interior of a spherical region, on whose surface the function $V$ is to assume prescribed values.

With regard to this problem, reference may be made to two writings of Mr. C. Neumann, whose titles follow:

“Lösung des allgemeinen Problemes über den stationären Temperaturzustand einer homogenen Kugel.” Halle, H. W. Schmidt, 1861.

“Allgemeine Lösung des Problemes über den stationären Temperaturzustand eines homogenen Körpers, welcher von irgend zwei nichtconcentrischen Kugelflächen begrenzt wird.” Halle, H. W. Schmidt, 1862.

*) This Journal, Vol. 71, p. 353.

page 232

§. 6.

The analytic function $F(z)$ has been represented in the foregoing by a definite integral. From this results a second representation of the function $F(z)$ by a series proceeding in powers of $z$ with positive integer exponents, absolutely convergent for all values of $z$ whose absolute value is less than $1$:

\[

F(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi)\,d\psi + \sum_{(m=1, \, 2, \, … \, \infty)} \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) e^{-mi\psi}\,d\psi \cdot z^m.

\]

The function $u(r, \varphi)$ is the real part of the function $F(z)$; from the preceding equation one therefore obtains the expansion

\[

\begin{gathered}

u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi)\,d\psi \\

+ \sum_{(m=1, \, 2, \, … \, \infty)} \left( \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \cos m\psi\,d\psi \cdot \cos m\varphi + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \sin m\psi\,d\psi \cdot \sin m\varphi \right) \cdot r^m.

\end{gathered}

\]

If $r$ is set equal to $1$, the right-hand side of the preceding equation passes into the Fourier series for the function $f$.${}^{*)}$

It is sometimes useful to know a value which the absolute value of the difference $u(r, \varphi) - u(0)$ as a function of $r$ cannot exceed, as soon as the values $u(1, \varphi) = f(\varphi)$ do not exceed in absolute value a finite quantity $g$.

One obtains

\[

[u(r, \varphi) - u(0)] < [F(z) - F(0)] < 2g \cdot \frac{r}{1 - r};

\]

or

*) In his work: “Das Dirichletsche Princip,” Mr. C. Neumann departed again from the representation of a function satisfying the differential equation $\Delta u = 0$ for the area of a circle by the Poisson integral to be extended over the boundary of the circular disk (see §. 4 and the note p. 226) and chose the Fourier series as the starting point. A similar line of thought is indicated by Mr. Schläfli in Volume 72 of this Journal, page 283. That this method is only a heuristic one and requires a complete deduction is the core of the objections raised against it by Mr. Heine (this Journal, Vol. 71, p. 361) and Mr. Prym (this Journal, Vol. 73, p. 340). In what sense, however, one must ask, is the assertion of Riemann to be understood which he expresses at the end of §. 2 of his habilitation address (“Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe”)?

page 233

\[

u(r, \varphi) - u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\varphi + \psi) \left( \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos\psi + r^2} - 1 \right) d\psi,

\]

\[

[u(r, \varphi) - u(0)] < \frac{4g}{\pi} \arcsin r.

\]${}^{*)}$

May 1870.

Continuation and Extension of the Investigations Contained in the Preceding Sections.

§. 7.

The results of investigation obtained for the area of a circle with radius $1$ are capable of extension in various directions.

It is clear first of all that the established formulas remain valid for the area of a circle with radius $R$ if in them $\frac{r}{R}$ is substituted for $r$. (Here $R$ naturally no longer possesses the same meaning as in §. 4.)

Thereby the formula given in §. 4 and §. 5 passes into the following

\[

\begin{aligned}

u(r, \varphi) &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi \\

&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi

\end{aligned}

\]

with the condition $0 \le r < R$, and the addition $u(R, \varphi) = f(\varphi)$.

The function $f(\varphi)$ of the real argument $\varphi$ has hitherto been subjected to the conditions of being finite, continuous, single-valued, and periodic with period $2\pi$. The given formula can, however, have a definite meaning for the interior of the circular disk even without

*) If in particular $u(0)$ has the value zero, the absolute value of $u(r, \varphi)$ regarded as a function of $r$ cannot exceed the value $\frac{4g}{\pi} \operatorname{arc\,tg} r$. This determination yields at the same time the narrowest bound admissible under the stated hypotheses.

page 234

the function $f(\varphi)$ being defined as finite, continuous, and single-valued for all values of $\varphi$ belonging to the interval from $0$ to $2\pi$, and indeed this will always and only then be the case when this function everywhere admits an integration in the Riemannian sense (§. 5 of the habilitation address).

The investigation shall, however, not be conducted here in this generality, but (just as in the memoir of Mr. Prym) shall be restricted to the following case.

Let the function $f(\varphi)$ — with the exception of those values of $\varphi$ which modulo $2\pi$ are congruent to one of the $m$ values $\varphi_1, \, \varphi_2, \, \dots \, \varphi_\nu, \, \dots \, \varphi_m$, all of which can be assumed to be less than $2\pi$ and distinct from one another — be defined for all real values of $\varphi$ as a finite, continuous, and single-valued function of the real argument $\varphi$, repeating itself periodically upon increasing the argument by $2\pi$; upon the approach of the variable $\varphi$ to one of the excluded values, for example to the value $\varphi_\nu$, whether $\varphi$ approaches the value $\varphi_\nu$ continuously increasing, or $\varphi$ continuously decreasing, let the value of the function $f(\varphi)$ approach in each case a definite finite limit, which following the example of Dirichlet shall be denoted in the first case by $f(\varphi_\nu - 0)$, and in the second by $f(\varphi_\nu + 0)$.

If the difference $f(\varphi_\nu + 0) - f(\varphi_\nu - 0)$, which may be denoted by $A_\nu$, is a quantity different from zero, then the function $f(\varphi)$ possesses for all values of $\varphi$ for which $\varphi \equiv \varphi_\nu \pmod{2\pi}$ two values, and undergoes an interruption of continuity in them. For the sake of what follows, however, the case shall not be excluded that $A_\nu$ can also be equal to zero, in which case the value $\varphi_\nu$ and those congruent to it do not belong to the singular values with regard to the continuity of the function $f(\varphi)$.

Such discontinuities as can be removed by altering the value of the function at a point, so-called removable discontinuities, shall for the sake of brevity be excluded from consideration here and in the following.

The same discontinuity which the function $f(\varphi)$ possesses at the points for which $\varphi \equiv \varphi_\nu \pmod{2\pi}$ is exhibited by the function

\[

\frac{A_\nu}{\pi} \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\varphi - \varphi_\nu)}\right) = \frac{A_\nu}{2\pi} (\pi - (\varphi' - \varphi_\nu)),

\]

page 235

provided that $A_\nu$ is different from zero, and that to the variable $\varphi'$ on the right-hand side of the preceding equation there is always assigned that value belonging to the interval $\varphi_\nu \dots \varphi_\nu + 2\pi$ which is congruent modulo $2\pi$ to the value of the variable $\varphi$.

Here and in the following, with the exception of one place in §. 9, the inverse tangent function means the uniquely determined arc lying between $-\frac{\pi}{2}$ and $+\frac{\pi}{2}$ whose tangent has the prescribed value.

If now the difference

\[

f(\varphi) - \frac{1}{\pi} \sum A_\nu \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\varphi - \varphi_\nu)}\right) \quad (\nu = 1, \, 2, \, … \, m)

\]

is formed and denoted by $f_0(\varphi)$, then by this stipulation the function $f_0(\varphi)$ is defined for all values of $\varphi$ with the exception of those congruent to the values $\varphi_\nu$ as a finite, continuous, and single-valued function of its argument, and indeed for all values of $\nu$ there exists the equation

\[

f_0(\varphi_\nu - 0) = f_0(\varphi_\nu + 0).

\]

If therefore for those values of $\varphi$ to which the definition of the function $f_0(\varphi)$ does not extend, the supplementary determination is made that, whenever $\varphi \equiv \varphi_\nu \pmod{2\pi}$, the value of the function shall be determined by the equation $f_0(\varphi_\nu) = f_0(\varphi_\nu - 0) = f_0(\varphi_\nu + 0)$, then the function $f_0(\varphi)$ uniquely defined for all real values of $\varphi$ by this extended definition satisfies in full rigor the conditions stated in §. 5.

Let it now be assumed that for all points of the disk $S$ of the circle described with radius $1$ about the origin, with the exception of a finite number of points of the boundary, namely the points $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$, a real function $u$ of the two real arguments $x$ and $y$ is defined in such a way that it satisfies Conditions I stated in §. 1 for this disk $S$ with the exception of the specified points of the boundary, and agrees along the boundary with the function $f(\varphi)$ with the exception of the points $z_\nu$.

This is, however, to be understood as follows: one conceives constructed for each of the singular points a region containing it entirely in its interior, whose boundary may have an arbitrary shape; most simply, each of the singular points is regarded as the center of a circular disk with radius $\varrho$, where $\varrho$ denotes a variable

page 236

quantity subjected to no other condition than that of being positive and different from zero. If now all those parts of the region $S$ are excised which lie in the interior of one of these circles, then the function $u$, however small $\varrho$ may be chosen, shall satisfy Conditions I in all rigor for the remaining region, and shall agree with $f(\varphi)$ on the remaining boundary of $S$.

It will now depend on the behavior of the function $u$ in the vicinity of the singular points whether the function $u$ is determined by its boundary values $u(1, \varphi) = f(\varphi)$ and the remaining conditions, and to what extent a mode of inference analogous to that given in §. 4 is permitted in this case as well.

Let $R$ denote a variable quantity independent of $r$, $\varphi$, $\psi$, whose variability is initially restricted to such values as are less than $1$. Then, according to the formula cited at the beginning of this section, for all values of $r$ that are less than $R$,

\[

u(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi.

\]

If now the function $u$ behaves in the vicinity of the singular points in such a manner that it can be concluded that the integral on the right-hand side of the preceding equation passes continuously for $\lim R = 1$ into the integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi

\]

then, and only in this case, can the mode of inference of §. 4 with its consequences be transferred unchanged to the present case.

A very simple example counseling caution shows that this conclusion is not admissible without a special hypothesis.

Let

\[

u = \Re\left(\frac{1 - z}{1 + z}\right) = \frac{1 - r^2}{1 + 2r \cos\varphi + r^2},

\]

where the prefixed letter $\Re$ signifies, according to the notation of Mr. Weierstrass, that the real part of the subsequent expression is to be taken.

The curves of constant values of $u$ form a family of circles which touch one another and the boundary of $S$ at the point $z = -1$. With the exception of this point, for which the function is not

page 237

defined, it satisfies Conditions I for the disk $S$ and has the value zero on the boundary of $S$ everywhere where it is defined. It is therefore permissible to fix the value of $u$ for the point $z = -1$ by a special definition, and let $u(1, \pi) = 0$ be set. Then

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi

\]

is equal to zero for every value of $r$ and $\varphi$, and therefore does not agree with the function previously defined. Under the stated stipulations, therefore, a passage to the limit from the integral to be extended over the circumference of the circle with radius $R$ to the integral to be extended over the boundary of $S$ is not permitted. The reason for this lies in the circumstance that in this case the value of $u(r, \varphi)$ upon the approach of the point $z = r \cdot e^{i\varphi}$ to the point $z = -1$ can become infinitely large, or more specifically, infinitely large of the first order.

Applying the system of polar coordinates $\varrho$, $\tau$ with pole $z = -1$ chosen by Mr. Prym, there results:

\[

z = -1 + i\varrho \cdot e^{-\tau i}

\]

and

\[

\frac{1 - r^2}{1 + 2r \cos\varphi + r^2} = \Re\left(\frac{1 - z}{1 + z}\right) = \Re\left(\frac{2}{1 + z}\right) - 1 = \frac{2\sin\tau}{\varrho} - 1.

\]

The situation is different in the following case. Let there be set

\[

u^*(r, \varphi) = \operatorname{arc\,tg}\frac{y}{1 + x} = \operatorname{arc\,tg}\frac{r\sin\varphi}{1 + r\cos\varphi} = \Re\frac{\log(1 + z)}{i} = \frac{\pi}{2} - \tau.

\]

The system of lines along which $u^*$ has constant values is a rectilinear pencil of rays whose center lies at the point $z = -1$. In this case too, the function $u^*$ is not defined for the point $z = -1$. The present case differs essentially from the preceding one, however, in that the function $u^*$ remains finite upon approaching the singular point; for however small a region containing the point $z = -1$ one may excise from the disk $S$, the function $u^*$ satisfies Conditions I (even the narrower Conditions II) for the remaining region, and the absolute value of $u^*$ nowhere exceeds the value $\frac{\pi}{2}$.

In what follows it shall now be shown that for the function $u^*$ the mentioned passage to the limit is permitted with full rigor. However, in order

page 238

to give the proof at once a somewhat more general formulation, let the quantity which the absolute value of $u^*$ nowhere exceeds be denoted by $g$.

If $R$ has the same meaning as before, the equation

\[

u^*(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u^*(R, \psi) \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi.

\]

holds for all values of $r$ that are less than $R$, and for all values of $\varphi$.

In passing from $R$ to the value $1$, the continuity of the function $u^*(R, \psi)$ ceases at the value $\psi = \pi$. Excluding this point of discontinuity by the interval $\pi - \delta \dots \pi + \delta$, where $\delta$ denotes a positive quantity, one therefore replaces the interval from $0$ to $2\pi$ by two other intervals, namely by the interval from $-\pi + \delta$ to $\pi - \delta$ and the interval from $\pi - \delta$ to $\pi + \delta$, which replacement is permitted on account of the periodicity of the function $u^*(R, \psi)$ as a function of $\psi$.

The integral corresponding to the first interval is, according to the hypothesis, certainly a continuous function of $R$, namely inclusively for the value $R = 1$.

One can therefore equate the integral corresponding to the first interval to the sum

\[

\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi+\delta}^{\pi-\delta} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi + \varepsilon_1

\]

and in this equation $\varepsilon_1$ denotes a quantity of such property that, after a preliminary choice of $\delta$, the smallness of the absolute value of $\varepsilon_1$ can be commanded by the stipulation that the difference $1 - R$ must not exceed a certain bound $\varrho$.

Since now the function $u^*$, according to the hypothesis, nowhere exceeds in absolute value the quantity $g$, one can set

\[

\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi+\delta}^{\pi-\delta} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi + \varepsilon_2,

\]

where for $u^*(1, \pi)$ and $u^*(1, -\pi)$ the values $u^*(1, \pi - 0)$ and $u^*(1, -\pi + 0)$ are to be substituted (the notation explains the kind of

page 239

passage to the limit), and where $\varepsilon_2$ is in absolute value smaller than $\frac{2g}{1 - r} \cdot \delta$.

The value of the integral corresponding to the second interval is in absolute value smaller than $g \cdot \frac{R + r}{R - r} \cdot \delta$ and may be denoted by $\varepsilon_3$.

From this results the equation

\[

u^*(r, \varphi) - \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} u^*(1, \psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3.

\]

Since now the smallness of the absolute value of $\varepsilon_2$ and of $\varepsilon_3$, and hence also of $\varepsilon_2 + \varepsilon_3$, can be commanded by a suitably small choice of $\delta$, and after the choice of $\delta$ has been made, the smallness of the absolute value of $\varepsilon_1$ can be commanded by a suitably small choice of $\varrho$, respectively $1 - R$, and since moreover the value of the difference on the left-hand side of the preceding equation is completely independent of the choice of the quantities $\delta$ and $R$, it follows that that difference has the value zero. This was to be proved.

The preceding proof has at once been given such a formulation that it can be extended without difficulty to the case in which a function $u^*$ is defined for the area $S$ of a circle with radius $R$ with the exception of a finite number of points of the boundary ($z_\nu = R \cdot e^{i\varphi_\nu}$, $\nu = 1, \, 2, \, \dots \, m$) in such a way that it satisfies Conditions I for all other points, when it is known in addition that the value of $u^*$ upon the approach of the point $z$ to one of the singular points of the boundary always remains finite, i.e., never exceeds in absolute value a definite finite quantity $g$ independent of the degree of that approach.

The conclusions resulting from this are completely analogous to those drawn in the last two paragraphs of §. 4. The function $u^*$ is therefore uniquely determined by the stated conditions.

This proof differs in several respects from the proof which Mr. Prym has given in §. 5 of his above-mentioned memoir, in particular in that regarding the manner of the discontinuity of the function $u^*$, respectively its multiformity upon the approach of the point $z$ to a singular point of the boundary, no other hypothesis is made

page 240

than that the function $u^*$ in the explained sense remains finite upon approaching the singular points.

Mr. C. Neumann also makes (Berichte d. K. Sächs. Ges. d. W. 1870, pp. 278 and 279) such a special hypothesis.

Every such special assumption made in advance regarding the nature of the behavior of a function $u$ upon approaching a singular point is, however, subject, if it contains more than the indispensable requirement that the function remain finite upon approach, to no inconsiderable objections, as it seems to me. Namely, as soon as only the finiteness of the function $u$ in the vicinity of the singular point is certain, it turns out that the sought function $u$ is already determined by this and the remaining conditions, so that a prior more special assumption proves to be unnecessary. In general, the behavior of a function $u$ in the vicinity of such a point, when its finiteness in the neighborhood thereof is assumed, seems to me to be an object of investigation, not an object of prior free disposal, since any other special assumption than that which Messrs. C. Neumann and Prym made would have the consequence that no function exists satisfying the posited conditions.

That, on the other hand, the assumption which Mr. C. Neumann made is not general enough becomes apparent as soon as the boundary of the region $T$ contains cusps, for in that case the assumption of Mr. C. Neumann no longer suffices; rather, in place thereof an assumption would have to step which is in agreement with the theorem stated by me in the Monthly Report of the Berlin Academy of October 1870, p. 777. —

By the preceding proof, the correctness of the equation

\[

\operatorname{arc\,tg}\frac{r\sin\varphi}{1 + r\cos\varphi} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1}{2}\psi \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi

\]

is in particular also proved for all values of $r$ that are less than $1$, an equation which, moreover, can easily be obtained in another way by means of series expansions.

If now in this equation the variable $\varphi$ is exchanged with $\pi - (\varphi - \varphi_\nu)$ and the function into which the expression on the left-hand side thereby passes is denoted by*Editorial note: Misprint: the original has mir instead of mit. $u_\nu^*$, there results

page 241

\[

\begin{aligned}

u_\nu^* = \operatorname{arc\,tg}\frac{r\sin(\varphi - \varphi_\nu)}{1 - r\cos(\varphi - \varphi_\nu)} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \frac{1}{2}\psi \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\psi - \pi + \varphi - \varphi_\nu) + r^2}\,d\psi \\

&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\psi - \varphi_\nu)}\right) \cdot \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi,

\end{aligned}

\]

an equation of which use will be made in the following section.

§. 8.

It is now a matter, analogously to the investigation carried out in §. 5, of giving the existence proof, and of investigating the behavior of the integral representing the sought function in the vicinity of the singular points $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ in which either the series of prescribed boundary values undergoes an interruption of continuity, or the continuity of the function $u^*$ is undetermined.

The investigation can easily be reduced to the case considered in §. 5. Retaining the remaining notations defined in §. 7, let the function $u^*(r, \varphi)$ be defined for all values of $r$ that are less than $1$ by the equation

\[

u^*(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2}\,d\psi

\]

and for $r = 1$ by the equation $u^*(1, \varphi) = f(\varphi)$, so far as the latter has a definite meaning.

For each region lying entirely in the interior of $S$, this function satisfies Conditions II (cf. the proof in §. 5 under a.); it is therefore only a matter of investigating the behavior of the function for $\lim r = 1$.

For this purpose, let there be substituted in place of $f(\psi)$ the sum

\[

f(\psi) = f_0(\psi) + \frac{1}{\pi} \sum A_\nu \operatorname{arc\,tg}\left(\frac{1}{\operatorname{tg}\frac{1}{2}(\psi - \varphi_\nu)}\right) \quad (\nu = 1, \, 2, \, … \, m)

\]

(see the preceding section); thereby the expression for $u^*(r, \varphi)$ passes into a sum of $m + 1$ similarly formed integrals. If one now denotes the integral corresponding to the first term $f_0(\psi)$, which is entirely in the case of that considered in §. 5, by $u_0(r, \varphi)$

page 242

or by $u_0$, and the remaining ones, on the other hand, in accordance with the last equation in §. 7, there results

\[

u^* = u_0 + \frac{1}{\pi} \sum A_\nu \cdot u_\nu^* \quad (\nu = 1, \, 2, \, … \, m).

\]

By this representation the continuity of the analytically represented function $u^*$ along the boundary with the exception of the neighborhood of the singular points $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ is proved, and simultaneously the nature of the behavior of this function in the neighborhood of these points is characterized. In the neighborhood of a singular point $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$, namely, the function $u^*$ differs from the function $\frac{1}{\pi} A_\nu \cdot u_\nu^*$ only by a function completely continuous at this point.

Hereby the existence of a function satisfying the stated conditions is established, and indeed it has turned out here that the particular nature of its behavior in the vicinity of the singular points in the case considered is a consequence of the remaining properties.

The represented function therefore satisfies Conditions I in the specified sense for the region for which it is defined, with the exception of those singular points $z_\nu = e^{i\varphi_\nu}$ of the boundary for which the corresponding $A_\nu$ is different from zero, agrees with the given function $f(\varphi)$ for all points of the boundary with the exception of the mentioned singular points, and simultaneously remains finite upon approaching those singular points.

The proof communicated here, which moreover makes as little claim to contain new ideas as that presented in the preceding section, seems to me to be somewhat simpler than that which Mr. Prym employed in his frequently mentioned memoir.

If the hypothesis is now made that $A_\nu$ is equal to zero for a particular value of $\nu$, there already lies in the foregoing at the same time the proof that the unique function satisfying the remaining conditions is likewise continuous in the neighborhood of the point $z_\nu$, whereas in the derivation (see §. 7) the continuity at this point was left undetermined and it was only stipulated that the function should remain finite in the neighborhood of this point.${}^{*)}$

*) It may be mentioned that this theorem can be generalized as follows: If for any region $T$ bounded by a finite number of analytic curves, with the exception of a finite number of points in the interior or on the boundary, a function $u$ is defined in such a way that it

1. satisfies Conditions I in the specified sense for the region $T$ with the exception of those points for which it is uncertain or not yet decided,

2. remains finite upon approaching those points, while

3. removable discontinuities remain excluded,

then this function is eo ipso continuous also for all interior points and for those points of the boundary at which the series of boundary values does not undergo an interruption of continuity.

Upon the rigorous proof of this theorem, so far as it relates to such singular points as lie on the boundary, I cannot, however, enter in this communication, since it would remove me too far from the immediate purpose here, and I must therefore content myself with referring for the time being to the indications given in the Monthly Report of the Berlin Academy of October 1870, pages 775--777, regarding this proof.

page 243

The remark also holds here that if in place of the circular disk with radius $1$ there occurs one whose radius is $R$, then in the established formula $\frac{r}{R}$ is to be substituted for $r$.

If now $g$ denotes the upper limit, $k$ the lower limit of all those values which the function $f(\varphi)$ can assume, which may be assumed not to be constant, then of the differences $f(\varphi) - g$ and $f(\varphi) - k$ the first is never positive, the second never negative. From this it follows that of the two differences $u(r, \varphi) - g$ and $u(r, \varphi) - k$, when $r < 1$, the first can assume only negative values, the second only positive values, since these differences coincide respectively with the integrals

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (f(\psi) - g) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi

\]

and

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (f(\psi) - k) \frac{1 - r^2}{1 - 2r \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi

\]

The value of $u$ for an interior point of $S$ therefore lies always between $g$ and $k$, i.e., the values of the upper and lower limits of all those values which this function can assume along the boundary of $S$.

§. 9.

The content of this and the following section I take

page 244

from a memoir on the integration of the partial differential equation $\Delta u = 0$ which I communicated in November 1869 to Mr. Kronecker and Mr. Weierstrass. The line of thought pursued first is completely corresponding to that which Riemann developed in Volume 54 of this Journal on pp. 101 and 102 (pp. 1 and 2 of the separate reprint), and which, as is known, frequently finds application in the theory of analytic functions. I am glad to be able to state that in this part of the investigation I find myself in complete agreement with Mr. C. Neumann regarding the method of proof. Cf. Mathematische Annalen of Clebsch and Neumann, Vol. 3, pp. 338--339 (October 1870) and Monthly Report of the Berlin Academy of October 1870, pp. 770--771. —

Under Conditions I let a function $u$ be defined for the region $T$; in the interior of $T$ imagine a circle whose center may have the coordinates $x_0$ and $y_0$, whose radius is equal to $R$, and whose entire area belongs to the interior of $T$.

For the area of this circle the function $u$ is defined with Conditions II; according to the foregoing, therefore, the existence of higher derivatives of $u$ for all interior points $x_0$, $y_0$ of the region $T$, as well as the expandability of the value of $u$ for the points $x$, $y$ neighboring the point $x_0$, $y_0$ in powers of $x - x_0$ and $y - y_0$, respectively in products of powers of $r = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ and the sines and cosines of the like-named multiples of $\varphi = \operatorname{arc\,tg}\frac{y - y_0}{x - x_0}$, is a necessary consequence of hypotheses I.

The numerical coefficients of the individual terms of the function-element $u(r, \varphi)$ which represents the values of $u$ for all points lying in the neighborhood of the point $x_0$, $y_0$ are independent of the magnitude of the radius $R$ of that circle which is chosen for the determination of this function-element; for two function-elements derived by means of two circles having radii $R$ and $R'$, where $R' > R$, must agree with each other for all values of $r < R$, and from this follows the equality of all corresponding terms of both elements. Both elements therefore also have the same domain of convergence.

Therefore the series proceeding in powers of $r$ by which such a function-element is represented converges certainly whenever

page 245

$r$ is smaller than the shortest distance of the point $x_0$, $y_0$ from the boundary of the region $T$, respectively from the nearest point for which the posited conditions cease to hold.

From this it is inferred: If two functions $u_1$ and $u_2$ which satisfy Conditions I for two regions $T_1$ and $T_2$ that have in common a simply connected region $T^*$ of two dimensions agree with each other in an ever so small part of this common region, then they agree with each other for all points thereof, can both be simultaneously analytically continued equally far while maintaining Conditions I, and agree with each other along every such continuation.

In order to be able to make this inference, it is only necessary according to the foregoing to know that the two functions agree with each other on the circumference of a circle for whose area both are defined with Conditions I.

If therefore a function $u$ is constant in the interior of $T$ in an ever so small region of two dimensions or on the circumference of a circle of arbitrarily small radius whose interior lies entirely in the interior of $T$, for which region the function $u$ satisfies Conditions I, then this function is constant so far as it is continued while maintaining Conditions I.

§. 10.

The value $u(0)$ of $u$ for the center of a circle for whose area $u$ is defined with Conditions I is equal to the integral

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u \cdot d\varphi,

\]

to be extended over the circumference of the circle, hence equal to the arithmetic mean of all the values which $u$ assumes on the circumference of the circle. If now $u$ is not constant altogether, there must be among the values of $u$ on the circumference of the circle both such as are greater than the value $u(0)$, and such as are smaller, and indeed this conclusion holds however small the radius of the circle may be.

From this it follows, if $u$ is not constant, that for every inte-

page 246

rior point of $T$ there exist neighboring points for which $u$ possesses a greater, and such for which $u$ possesses a smaller value than for the point first considered.

Thus $u$ can be a maximum or minimum for no interior point of the region. (Cf. Riemann's inaugural dissertation, Art. 11. III.)

Now, according to hypotheses I, the value of $u$ is defined finite, continuous, and single-valued for all points of $T$, including the boundary. Consequently there exists for these values an upper limit $g$.

According to a method of proof which Mr. Weierstrass is accustomed to communicate in his lectures on the theory of analytic functions, it can be shown that in the plane of the region $T$ there exists at least one point $z'$ of such nature that, if an arbitrarily small region, a part of $T$, is delimited in the neighborhood thereof, the upper limit of all those values of $u$ that belong to points of this region is likewise still $g$.

None of these points can lie in the interior of $T$; for firstly, at such a point, on account of the assumed continuity of $u$, the upper limit $g$ would actually be attained; secondly, there would then have to be — if $u$ is not constant altogether — in the neighborhood of that point still greater values of $u$, contrary to the hypothesis that $g$ is the upper limit.

All those points $z'$ therefore lie outside the interior of $T$.

Since the boundary of $T$, according to the hypothesis, consists of segments of analytic curves which at each point have the character of an algebraic curve, and such a curve actually reaches every point of the plane to which it comes infinitely close, each of the points $z'$ lies on the boundary of $T$, and on account of the continuity of $u$ the upper limit $g$ is actually attained at each of these points $z'$.

In an analogous manner it is shown that the lower limit $k$ of all values of $u$ is actually attained in at least one point of the boundary, but in no interior point of $T$.

Thus, if $u$ is not constant, all values which $u$ can assume for the interior points of the region $T$ under the stated hypotheses I lie between the greatest value $g$ and the smallest value $k$ among those values which $u$ assumes on the boundary of $T$.

page 247

From this it follows that a function $u$ which is defined under Conditions I for a region $T$ and has the value zero for all points of the boundary also has the value zero for all interior points of $T$.

And:

If two functions $u$ and $u_1$ satisfy Conditions I for the same region $T$ and agree with each other for all points of the boundary of the region, then they agree completely with each other in their values.

If therefore there exists a function $u$ which satisfies Conditions I for a given region $T$ and possesses at each point of the boundary a prescribed value varying continuously along it, then there exists only one such function.${}^{*)}$

§. 11.

When the integration of the partial differential equation $\Delta u = 0$ for the area of a circle has been carried out, it presents no difficulty to carry out the analogous investigations for the case of an annular region bounded by two concentric circles, corresponding to the same requirements of rigor.

Let $r = 1$ and $r = R$, where $R > 1$, be the radii of the concentric circles bounding the annular region, and let the boundary conditions for simplicity be $u(R, \varphi) = f(\varphi)$, $u(1, \varphi) = 0$, to which case, as is well known, the more general one can easily be reduced. Let the function $f(\varphi)$ have the same properties as in §. 7.

For this case there results according to known methods (cf. the memoir of Mr. C. Neumann already cited in §. 4, this Journal, Vol. 59):

*) The theorems contained in this section admit of such a generalization that they also encompass the case in which the continuity of the function $u$ for a finite number of points of the region $T$ either ceases or is undetermined, provided that the function $u$ remains finite upon approaching these points, and without it being necessary to make a special hypothesis concerning the behavior of the function $u$ in the vicinity of the singular points. Cf. §. 8.

page 248

\[

u(r, \varphi) = \frac{1}{2} b_0 \cdot \frac{\log r}{\log R} + \sum \frac{r^m - r^{-m}}{R^m - R^{-m}} \cdot (a_m \sin m\varphi + b_m \cos m\varphi) \quad (m = 1, \, … \, \infty),

\]

where $a_m$ and $b_m$ are defined by the equations

\[

a_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \sin m\psi \cdot d\psi, \quad b_m = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(\psi) \cos m\psi \cdot d\psi

\]

This series is absolutely and uniformly convergent for $\frac{1}{R} < r < R$, and the function represented by this series, regarded as a function of $x$ and $y$, satisfies the differential equation $\Delta u = 0$ for the interior of the region for which it is defined. Since the circle $r = 1$ lies in the interior of the domain of convergence, the continuity of the function in the vicinity of the value $r = 1$ follows from the known theorems on the continuity of power series in the interior of their domain of convergence. For $r = 1$ one indeed has $u(r, \varphi) = 0$.

It therefore remains only to prove that this function passes continuously into the function $f(\varphi)$ for $\lim r = R$, with the exception of those points in which the prescribed boundary values undergo an interruption of continuity.

For this purpose, subtract from the function $u(r, \varphi)$ the function

\[

u_1(r, \varphi) = \frac{1}{2} b_0 + \sum \frac{r^m}{R^m} (a_m \sin m\varphi + b_m \cos m\varphi) \quad (m = 1, \, 2, \, … \, \infty),

\]

which (cf. §. 6) agrees for $r < R$ with

\[

\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(\psi) \cdot \frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr \cos(\psi - \varphi) + r^2} \cdot d\psi

\]

and whose continuity follows from the proof in §. 8 to the extent specified there; it then appears that the domain of convergence of the power series which, with the addition of a term proportional to the logarithm of $r$, represents the difference $u - u_1$, is wider than that domain for which the power series occurring in the expressions for $u$ and for $u_1$ simultaneously converge, since this domain of convergence extends from $r = \frac{1}{R}$ up to $r = R^3$ (excl. the boundaries). Since according to this the circle $r = R$ lies no longer at the boundary, but within the domain of convergence of the series for the expression

page 249

\[

u - u_1 - \frac{1}{2} b_0 \frac{\log r}{\log R}

\]

the continuity of this function in the neighborhood of $r = R$ follows from this; moreover, it results that the function $u - u_1$ has the value zero for $r = R$.

The represented function therefore satisfies the posited conditions. It is at the same time the only one that possesses this property. The correctness of this assertion results for the case in which the function $u$ satisfies Conditions I for all points of the region considered from §. 10.

§. 12.

To the developments contained in Sections 9 and 11, considerations can now easily be connected which are in many respects analogous to those that in the theory of functions of a complex argument are associated with Cauchy's and Laurent's theorems on the expandability of a function in a series proceeding in powers of the independent variable, and have fundamental significance for this theory.

If a function $u$ can be defined in accordance with Conditions I for the interior of an arbitrarily large circle described about the origin with radius $R$, then for each arbitrarily large region it is representable by a series convergent for all finite values of $x$ and $y$.

If now it is known moreover that the value of $u$, however large $R$ may be, remains smaller in absolute value than a finite quantity $g$ (independent of $R$), then $u$ is a constant.

Namely, if a definite finite value is assigned to the quantity $r$ and $R$ is greater than $r$, there results:

\[

u(r, \varphi) - u(0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} u(R, \psi) \left(\frac{R^2 - r^2}{R^2 - 2Rr\cos(\psi - \varphi) + r^2} - 1\right) d\psi.

\]

Since now all elements of this integral are smaller in absolute value than $g \cdot \frac{2r}{R - r} \cdot d\psi$, the absolute value of $u(r, \varphi) - u(0)$ is

page 250

for all values of $\varphi$ smaller than $2g \cdot \frac{r}{R - r}$. From this it results that this difference becomes infinitely small for infinitely large values of $R$; since it is, however, entirely independent of the value of $R$, it follows that it has the value zero. From §. 9 it therefore follows that under the stated hypotheses the function $u$ possesses altogether the same constant value $u(0)$ for all points of the plane. This theorem is to be regarded as a fundamental theorem, and is analogous to the corresponding theorem in the theory of functions of a complex argument which, as is known, Mr. Liouville first stated for doubly periodic functions. (Comptes rendus 1844, 2^me Semestre, pag. 1262.)

If on the other hand, under otherwise unchanged hypotheses, it is known only that the product $R^{-\mu} \cdot u(R, \varphi)$ remains finite for infinitely large values of $R$, where $\mu$ denotes a positive number and $n$ the next greater integer, it is to be concluded in an analogous manner that the series for the function $u(r, \varphi)$ has only $n$ terms:

\[

u(r, \varphi) = \frac{1}{2} b_0 + \sum r^m (a_m \sin m\varphi + b_m \cos m\varphi) \quad (m = 1, \, 2, \, … \, n - 1),

\]

so that in this case the function $u$, regarded as a function of $x$ and $y$, is an entire function of degree $(n - 1)$.

From §. 11 it follows: If a function $u(r, \varphi)$ satisfies Conditions I in §. 1 for an annular region $T$ bounded by two concentric circles with radii $r = R_1$ and $r = R_2$, $R_2 < R_1$, and agrees for the points of the boundary $z = R_1 \cdot e^{i\varphi}$ and $z = R_2 \cdot e^{i\varphi}$ for each value of $\varphi$ respectively with the functions $f_1(\varphi)$ and $f_2(\varphi)$, then this function is determined by these conditions, and there exists, whenever the functions $f_1(\varphi)$ and $f_2(\varphi)$ satisfy the conditions stated in §. 5 for the function $f(\varphi)$, always such a function.

This function is analytically represented for all values of $r$ for which $R_2 < r < R_1$ by the equation

\[

\begin{aligned}

u(r, \varphi) &= \frac{1}{2} B_0 + B_0' \cdot \log r \\

&\quad + \sum \{(A_m r^m + A_{-m} r^{-m}) \sin m\varphi + (B_m r^m + B_{-m} r^{-m}) \cos m\varphi\} \quad (m = 1, \, 2, \, … \, \infty),

\end{aligned}

\]

page 251

and indeed the coefficients $A$ and $B$ occurring in it have the values

\[

\begin{aligned}

B_0 &= \frac{b_{2\,0} \log R_1 - b_{1\,0} \log R_2}{\log R_1 - \log R_2}, & B_0' &= \frac{b_{1\,0} - b_{2\,0}}{\log R_1 - \log R_2}, \\

A_m &= \frac{a_{1\,m} R_1^m - a_{2\,m} R_2^m}{R_1^{2m} - R_2^{2m}}, & B_m &= \frac{b_{1\,m} R_1^m - b_{2\,m} R_2^m}{R_1^{2m} - R_2^{2m}}, \\

A_{-m} &= \frac{a_{1\,m} R_1^{-m} - a_{2\,m} R_2^{-m}}{R_1^{-2m} - R_2^{-2m}}, & B_{-m} &= \frac{b_{1\,m} R_1^{-m} - b_{2\,m} R_2^{-m}}{R_1^{-2m} - R_2^{-2m}},

\end{aligned}

\]

if in these expressions one sets

\[

\left. \begin{array}{c} a_{\lambda\,m} \ b_{\lambda\,m} \end{array} \right\} = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} u(R_\lambda, \psi) \left\{ \begin{array}{c} \sin m\psi \ \cos m\psi \end{array} \right\} d\psi, \quad u(R_\lambda, \psi) = f_\lambda(\psi), \quad \begin{array}{c} (m = 0, \, 1, \, … \, \infty) \ (\lambda = 1, \, 2) \end{array}

\]

The stated series converges absolutely whenever $R_2 < r < R_1$. It is important to note that a function $u(r, \varphi)$ can be represented for the same region in only a single way by an expression of the given form. For each value of $r$ for which $R_2 < r < R_1$, namely, if the above expression for $u(r, \varphi)$ is taken as a basis, there result the equations

\[

\int_0^{2\pi} u(r, \varphi) \, d\varphi = (B_0 + B_0' \log r) \pi

\]

and

\[

\int_0^{2\pi} u(r, \varphi) \left\{ \begin{array}{c} \sin m\varphi \ \cos m\varphi \end{array} \right\} d\varphi = \left\{ \begin{array}{c} A_m r^m + A_{-m} r^{-m} \ B_m r^m + B_{-m} r^{-m} \end{array} \right\} \cdot \pi,

\]

since under the stated hypotheses the integration may be performed term by term. If now in these equations there are assigned to the quantity $r$ two distinct values $R_1'$ and $R_2'$ for which $R_2 < R_2' < R_1' < R_1$, and if the expressions into which $a_{\lambda\,m}$ and $b_{\lambda\,m}$ pass when $R_\lambda'$ is substituted for $R_\lambda$ are denoted respectively by $a_{\lambda\,m}'$ and $b_{\lambda\,m}'$, where to the index $\lambda$ as before the value $1$ and the value $2$ are to be assigned, there result from this the values of the coefficients $A$ and $B$ uniquely expressed by the quantities

page 252

$a'$, $b'$, $R_1'$ and $R_2'$. The expressions thus obtained have the same form as those given above, into which they pass in the limiting process

\[

\lim R_1' = R_1, \quad \lim R_2' = R_2

\]

From this it is concluded, analogously as in §. 9: If the function $u$, respectively its analytic continuation, satisfies Conditions I not merely for the region

\[

R_2 \leqq r \leqq R_1,

\]

but for a still wider region

\[

R_2” \leqq r \leqq R_1',

\]

which contains that first one as a part, then the series found, which serves for the analytic representation of the function $u$ within the narrower region, converges also for the interior of the wider region, and its sum agrees with the function $u$ or the analytic continuation thereof in the wider region as well.

If therefore a function $u$ satisfies Conditions I for the interior of a circular disk $S$ with radius $R_1$ with the sole exception of its center $z = 0$, for which it is still undetermined, then this function is representable by an expression of the form just given, and the series occurring in it converges for all values of $r$ which are less than $R_1$ and different from zero.

If now nothing further is known of the behavior of the function $u$ in the vicinity of the singular point $z = 0$ than that it remains finite upon approaching it in the sense specified in §. 7, then it can be concluded that the coefficients $B_0'$, $A_{-m}$, $B_{-m}$ individually have the value zero, and this follows from the law of formation for these quantities, since in the passage to the limit $\lim R_2 = 0$ the quantities $a_{2\,m}$ and $b_{2\,m}$ remain finite under the stated hypothesis.

If therefore the value of the function $u$ is defined also for the point $z = 0$ by the value of the series, the function $u$ under the stated conditions is continuous also in the neighborhood of the point $z = 0$, and satisfies Conditions I for the disk $S$ with inclusion of this point.

Cf. with this Riemann's dissertation, Art. 12.

page 253

If in place of the condition

\[

[u(r, \varphi)] < g

\]

there steps the condition

\[

r^\mu \cdot [u(r, \varphi)] < g,

\]

where $\mu$ denotes a positive number, then it follows by analogous inferences that the expression for the function $u$, besides other terms, in any case contains only a finite number of such terms in which $r$ is raised to a power with a negative exponent.

Zurich, September 1871.${}^{*)}$

*) After the submission of the text of the above communication and the notes accompanying it to the editor of this Journal, a communication of Mr. Christoffel: “Ueber die Integration von partiellen Differentialgleichungen” was published, which is printed in No. 18 of the Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen of September 13, 1871, pages 435--453.

In the content of this communication I see a confirmation of the view that the previously customary proof of the continuity of the function represented by the Poisson integral or an equivalent formula in the vicinity of the boundary does not fully satisfy the requirements of rigor which, as it seems to me, must be made in consequence of the remark of Mr. Heine published in Vol. 71 of this Journal.

Furthermore, with regard to a remark contained on page 445 of the same communication: “Finally, hereto belongs the assumption that $v$ has second derivatives, which, if $u + iv$ is defined as a function of $x + iy$, is not required and is a consequence of less far-reaching conditions,” it may be asserted that in Art. 12 of his inaugural dissertation Riemann applies the results of the investigation instituted in Art. 10 thereof initially not to the components $u$ and $iv$ of the function $u + iv$ defined as a function of the complex argument $x + iy$, but to the real part $U = \displaystyle\int(u\,dx - v\,dy)$ of the function $\displaystyle\int(u + iv)(dx + i\,dy)$ arising from it by integration, and that for this real part the hypotheses designated above as Conditions I are satisfied. As a consequence of the theorem proved in Art. 10 of the inaugural dissertation it then results that the functions $\frac{\partial U}{\partial x} = u$, $\frac{\partial U}{\partial y} = -v$ also possess partial derivatives of all orders for the interior of the region considered and satisfy the partial differential equation $\Delta u = 0$. From this, however, it seems to me to emerge that the two hypotheses “it is $\Delta u = 0$” and “$\frac{\partial u}{\partial y} \cdot dx - \frac{\partial u}{\partial x} \cdot dy$ is an exact differential of a function of $x$ and $y$” are completely equivalent with regard to the present purpose.

March 1872.