Complément à l'Analysis situs.

Supplement to Analysis situs.

Henri Poincaré · 1899 · Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 13, pp. 285–343 · AI draft — Machine output, not yet human-checked. Treat it as a working draft and check anything that matters against the scan. How review levels work →

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Significance

The first of Poincaré's five complements to Analysis situsH. Poincaré, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique (2) 1 (1895), pp. 1–121, in this corpus., and the paper in which homology becomes combinatorial. Heegaard's dissertation of 1898P. Heegaard, "Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhæng", doctoral dissertation, Copenhagen (1898), in this corpus. had declared the duality theorem of 1895 false and its proofs worthless. Poincaré replies by separating two definitions of the Betti numbers, Betti's own and his by homologies, which may be divided by an integer, and by granting that his earlier proof does not hold as it stands (§ I). He answers by cutting the manifold into a polyhedron and recording only which cells bound which: the schéma of § II attaches to each incident pair of cells a number $\varepsilon$ equal to $+1$, $-1$ or $0$, and a congruence $\equiv$ lists a cell's boundary. From these tables he defines the reduced Betti numbers (§ III), shows that subdividing the polyhedron does not change them (§§ IV–VI), and builds the reciprocal (dual) polyhedron, whose cells correspond to those of the original in complementary dimension (§ VII), to prove the duality theorem afresh (§ VIII). § IX isolates the homologies that hold only after division by an integer, the phenomenon later called torsion, and reduces the question of when the two definitions agree to the greatest common divisors of determinants taken from the incidence tables. § X gives an arithmetic proof of one of the theorems of § VII, and § XI argues that every manifold can be subdivided into generalized tetrahedra, so that the method always applies.

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Complément à l'Analysis situs;

Par M. H. Poincaré, à Paris.

Adunanza del 26 marzo 1899.

§ I. Introduction.

Dans le Journal de l'École Polytechnique (volume du centenaire de la fondation de l'École, 1894) j'ai publié un mémoire intitulé Analysis situs, où j'étudie les variétés de l'espace à plus de trois dimensions et les propriétés des nombres de Betti. C'est à ce mémoire que se rapporteront les renvois que je serai amené à faire fréquemment dans la suite, en mentionnant seulement le titre Analysis situs.

Dans ce mémoire se trouve énoncé le théorème suivant : Pour toute variété fermée, les nombres de Betti également distants des extrêmes, sont égaux.

Le même théorème a été énoncé par M. Picard dans sa Théorie des fonctions algébriques de deux variables.

M. Heegaard vient de revenir sur ce même problème dans un travail très remarquable, publié en langue danoise, sous le titre « Forstudier til en topologisk teori för de algebraiske Sammenhäng » (Copenhague, det Nordiske Forlag Ernst Bojesen, 1898). D'après lui, le théorème en question est inexact et les démonstrations sont sans valeur.

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Avant d'examiner les objections de M. Heegaard, il convient de faire une distinction. Il y a deux manières de définir les nombres de Betti.

Considérons une variété $V$ que je supposerai, par exemple, fermée; soient $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$, $n$ variétés à $p$ dimensions, faisant partie de $V$. Je suppose qu'on ne puisse pas trouver de variété à $p+1$ dimensions, faisant partie de $V$ et dont $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ constituent la frontière complète; mais que, si on leur adjoint une $(n+1)^{\text{ème}}$ variété à $p$ dimensions, que j'appellerai $v_{n+1}$ et qui fera partie de $V$, on puisse trouver une variété à $p+1$ dimensions, faisant partie de $V$, dont $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, v_{n+1}$ constituent la frontière complète et cela de quelque manière que l'on ait choisi la $(n+1)^{\text{ème}}$ variété $v_{n+1}$. Dans ce cas, on dit que le nombre de Betti est égal à $n+1$ pour les variétés à $p$ dimensions.

C'est la définition adoptée par Betti.

Mais on peut donner une seconde définition.

Supposons que l'on puisse trouver dans $V$ une variété à $p+1$ dimensions, dont $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ constituent la frontière complète; j'exprimerai ce fait par la relation suivante : \[ v_{1} + v_{2} + \ldots + v_{n} \backsim 0, \] que j'appellerai une homologie.

Il pourra se faire que sur la frontière complète de notre variété à $p+1$ dimensions, une même variété $v_{1}$ se retrouve plusieurs fois; dans ce cas, elle figurera dans le premier membre de l'homologie avec un coefficient, qui devra être un nombre entier.

D'après cette définition, on peut additionner les homologies, les soustraire les unes des autres, les multiplier par un nombre entier.

Nous conviendrons également qu'il est permis de diviser une homologie par un nombre entier, quand tous les coefficients sont divisibles par cet entier. Par conséquent, s'il y a une variété à $p+1$ dimensions, dont la frontière complète sera constituée par 4 fois la variété $v_{1}$, nous conviendrons qu'on peut écrire non seulement l'homologie : \[ 4v_{1} \backsim 0, \]

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mais encore l'homologie : \[ v_{1} \backsim 0; \] de sorte que cette homologie signifie qu'il y a des variétés à $p+1$ dimensions, qui admettent pour frontière complète la variété $v_{1}$ ou un certain nombre de fois cette variété.

L'homologie \[ 2v_{1} + 3v_{2} \backsim 0 \] signifie qu'il y a des variétés à $p+1$ dimensions, qui ont pour frontière complète 2 fois $v_{1}$ et 3 fois $v_{2}$, ou 4 fois $v_{1}$ et 6 fois $v_{2}$, ou 6 fois $v_{1}$ et 9 fois $v_{2}$, etc.

Telles sont les conventions que j'ai adoptées dans l'Analysis situs, page 19.

Je dirai que plusieurs variétés sont indépendantes, si elles ne sont pas liées par aucune homologie à coefficients entiers.

Si alors il y a $n$ variétés indépendantes à $p$ dimensions, le nombre de Betti, d'après la seconde définition, est égal à $n+1$.

Cette seconde définition, qui est celle que j'ai adoptée dans l'Analysis situs, ne concorde pas avec la première.

Le théorème énoncé plus haut, et critiqué par M. Heegaard, est vrai pour les nombres de Betti, définis de la seconde manière, et faux pour les nombres de Betti, définis de la première manière.

C'est ce que prouve l'exemple cité par M. Heegaard, page 86.

Si l'on adopte la première définition, on a : \[ P_{1} = 2, \qquad P_{2} = 1 \] et par conséquent \[ P_{2} < P_{1}. \]

Si l'on adopte, au contraire, la seconde définition, on trouve : \[ P_{1} = 1, \qquad P_{2} = 1, \] et par conséquent \[ P_{2} = P_{1}, \] conformément au théorème énoncé.

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C'est ce que prouvait également un exemple que j'ai cité, moi-même, dans l'Analysis situs. C'est le 3^ème exemple, page 51. Mais en renvoyant à cet exemple et à cette page de l'Analysis situs, je dois signaler une faute d'impression, qui pourrait gêner le lecteur${}^{(*)}$.

Au lieu de \[ ABB'A' \equiv DD'C'C, \] il faut lire \[ ABB'A' \equiv C'CDD'; \] au lieu de \[ AB \equiv B'D' \equiv C'A', \] il faut lire \[ AB \equiv B'D' \equiv C'C. \]

Nous avons formé (page 66) les équivalences fondamentales, qui s'écrivent de la façon suivante : \[ 2C_{1} \equiv 2C_{2} \equiv 2C_{3} \equiv 0, \qquad 4C_{1} \equiv 0; \] nous pouvons en déduire les homologies : \[ 4C_{1} \backsim 4C_{2} \backsim 4C_{3} \backsim 0. \]

Comme, d'après notre convention, on peut diviser ces homologies par 4, nous arrivons au système suivant d'homologies fondamentales : \[ C_{1} \backsim C_{2} \backsim C_{3} \backsim 0. \]

Si alors $P_{1}$ et $P_{2}$ sont les nombres de Betti, définis de la seconde manière, on trouve \[ P_{1} = P_{2} = 1. \]

(*) Je profite de l'occasion pour signaler un autre erratum de l'Analysis situs. Au bas de la page 102, il faut lire : « ou plus précisément les deux $v_{q+1}$, auxquelles $v_{q}$ appartiendra, appartiendront aux mêmes $v_{q+1}$Editorial note: Printed $v_{q+1}$; the sequence $v_{q+1}$, $v_{q+3}$, …, $v_{p}$ requires $v_{q+2}$ here, an apparent misprint., aux mêmes $v_{q+3}$, …, aux mêmes $v_{p}$; de telle façon que la suppression de $v_{q}$ et l'annexion mutuelle des deux $v_{q+1}$, ne changera rien aux $v_{q+2}$, aux $v_{q+3}$, …, aux $v_{p}$ ».

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Mais l'égalité entre les nombres $P_{1}$ et $P_{2}$ ne subsisterait pas si on avait adopté la première définition, qui est celle de Betti; nous aurions toujours $P_{2} = 1$, mais nous n'aurions plus $P_{1} = 1$ :

En effet, il n'y a pas de variété à deux dimensions qui ait pour frontière complète la ligne fermée $C_{1}$, sans quoi nous aurions l'équivalence $C_{1} \equiv 0$.

Ce qui est vrai seulement, c'est qu'il y a une variété à deux dimensions, admettant pour frontière 4 fois la ligne $C_{1}$. Donc $P_{1}$ n'est pas égal à 1.

Revenons au théorème d'après lequel les nombres de Betti, également distants des extrêmes, sont égaux.

La démonstration que j'en ai donnée dans l'Analysis situs, semble s'appliquer également bien aux deux définitions des nombres de Betti; elle doit donc avoir un point faible, puisque les exemples qui précèdent, montrent suffisamment que le théorème n'est pas vrai pour la première définition.

M. Heegaard s'en est bien rendu compte; mais je ne crois pas que sa première objection soit fondée.

Après avoir cité la façon dont je définis les variétés $V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{p}$ (Analysis situs, page 43), par les équations $\Phi = 0$, $F''_{i} = 0$, il ajoute (page 70) « Enhver af Mangfoldighederne $V$ skulde altsaa kunne være den fulstaendige Skoering mellem $p$ Mangfoldigheder af $h - 1$ Dimensioner i $U$ ». Cela n'est pas exact, car, outre mes égalités, j'ai un certain nombre d'inégalités, que j'ai introduites au début du mémoire et que j'ai négligé d'écrire de nouveau dans la suite; mes variétés ne sont donc pas des intersections complètes.

La seconde objection est, au contraire, fondée. « Naar omvendt, dit M. Heegaard, Homologien $\displaystyle\sum V_{i} \backsim 0$ ikke finder Sted, saa i $U'$ kan legges en lukket Kurve $V'$, saa at \[ \sum N(V', V_{i}) \neq 0 \] men det er ikke sikkert, at denne Kurve kan udskæres af nogen Mangfoldighed $V$ ». C'est là, en effet, le véritable point faible de la démonstration.

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Il est donc nécessaire de revenir sur la question, et c'est l'objet du présent travail.

Souvent, pour simplifier les démonstrations, j'ai envisagé seulement le cas des variétés fermées à 3 dimensions, contenues dans l'espace à 4 dimensions. On pourrait facilement les étendre au cas général.

J'envisage, donc, dans la suite, une variété $V$ fermée, mais pour calculer ses nombres de Betti, je la suppose divisée en variétés plus petites, de façon à former un polyèdre, au sens donné à ce mot à la page 100 de l'Analysis situs.

§ II. Schéma d'un polyèdre.

Considérons, donc, comme à la page 100 de l'Analysis situs, un polyèdre à $p$ dimensions, c'est-à-dire une variété $V$ à $p$ dimensions, divisée en variétés $v_{p}$; les frontières des $v_{p}$ seront les $v_{p-1}$, celles des $v_{p-1}$ seront les $v_{p-2}$, …, celles des $v_{1}$ (arêtes) seront les $v_{0}$ (sommets).

J'appellerai $\alpha_{i}$ le nombre des $v_{i}$.

Soient $a^{q}_{1}, a^{q}_{2}, \ldots, a^{q}_{\alpha_{q}}$ les différentes $v_{q}$.

Soit $a^{q}_{1}$ une des variétés $v_{q}$ et $a^{q-1}_{1}$ une des variétés $v_{q-1}$, qui lui sert de frontière. Étudions les rapports de $a^{q}_{1}$ et de $a^{q-1}_{1}$.

Soient \[ F_{1} = F_{2} = \ldots = F_{n-q} = F_{n-q+1} = 0, \qquad \varphi_{\gamma} > 0 \tag{1} \] les égalités et les inégalités qui définissent $a^{q-1}_{1}$, d'après la première définition des variétés (Analysis situs, page 4).

Les relations qui définissent $a^{q}_{1}$ pourront se mettre sous la forme : \[ F_{1} = F_{2} = \ldots = F_{n-q} = 0, \qquad F_{n-q+1} > 0, \qquad \varphi_{\gamma} > 0. \tag{2} \]

Dans ce cas, nous dirons que la relation de $a^{q}_{1}$ et de $a^{q-1}_{1}$ est directe.

Cette relation deviendrait inverse, si l'une de ces deux variétés était remplacée par la variété opposée; elle redeviendrait directe, si chacune des deux variétés était remplacée par la variété opposée.

page 291

On sait qu'une variété est remplacée par la variété opposée (Analysis situs, page 15), quand on permute deux des fonctions $F$ (qui, égalées à zéro, donnent les équations qui définissent la variété), ou qu'on change le signe de l'une d'elles.

Ainsi les deux variétés \[ \begin{aligned} &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{2} = 0, \qquad F_{3} > 0;\\ &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{3} = 0, \qquad F_{2} < 0;\\ &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{2} = F_{3} = 0, \qquad F_{1} > 0; \end{aligned} \] sont en relation directe; tandis que les deux variétés \[ \begin{aligned} &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{2} = 0, \qquad F_{3} < 0;\\ &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{3} = 0, \qquad F_{2} > 0; \end{aligned} \] sont en relation inverse.

Cela posé, soit $\varepsilon^{q}_{i,j}$ un nombre qui sera égal à 0, si $a^{q-1}_{j}$ n'est pas frontière de $a^{q}_{i}$; à $+1$, si $a^{q-1}_{j}$ est frontière de $a^{q}_{i}$ et en relation directe avec $a^{q}_{i}$; et, enfin, à $-1$, si $a^{q-1}_{j}$ est frontière de $a^{q}_{i}$, mais en relation inverse avec $a^{q}_{i}$.

Nous conviendrons d'écrire la congruence \[ a^{q}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}, \tag{3} \] qui nous fait connaitre les frontières de $a^{q}_{i}$.

L'ensemble des congruences (3), relatives aux différentes $v_{p}, v_{p-1}, \ldots, v_{0}$ de $V$, constitue ce qu'on peut appeler le schéma d'un polyèdre.

On peut se poser deux questions :

1° Un schéma étant donné, existera-t-il toujours un polyèdre, qui y corresponde?

2° Deux polyèdres qui ont même schéma, sont-ils homéomorphes?

Sans aborder, pour le moment, ces deux questions, cherchons

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quelques-unes des conditions auxquelles doit satisfaire un schéma, pour qu'un polyèdre y puisse correspondre.

Considérons l'une des $v_{p-1}$, $a^{p-1}_{i}$ par exemple; cette variété devra séparer, l'une de l'autre, deux des $v_{p}$ et deux seulement; de sorte que, parmi les nombres \[ \varepsilon^{p}_{i,1}, \]Editorial note: The indices do not agree as printed: the text names the face $a^{p-1}_{i}$, while this display and the sum $\displaystyle\sum_{i} \varepsilon^{p}_{i,1}$ on p. 293 treat the face as $a^{p-1}_{1}$. Either the text's index or the display's is a misprint. il y en aura un qui sera égal à $+1$, un qui sera égal à $-1$ et tous les autres seront égaux à 0.

Ce n'est pas tout; envisageons l'une quelconque des $v_{q}$, $a^{q}_{i}$ par exemple, et une quelconque des $v_{q-2}$, $a^{q-2}_{k}$ par exemple.

De deux choses, l'une : ou bien $a^{q-2}_{k}$ n'appartiendra pas à $a^{q}_{i}$, et dans ce cas toutEditorial note: Printed “tout”; read “tous”. les produits \[ \varepsilon^{q}_{i,j} \varepsilon^{q-1}_{j,k} \tag{4} \] seront nuls, car si $a^{q-1}_{j}$ n'appartient pas à $a^{q}_{i}$, le premier facteur est nul; si, au contraire, $a^{q-1}_{j}$ appartient à $a^{q}_{i}$, la variété $a^{q-2}_{k}$ ne peut pas appartenir à $a^{q-1}_{j}$ (sans quoi, elle appartiendrait à $a^{q}_{i}$, contrairement à l'hypothèse), et le second facteur doit être nul.

Ou bien $a^{q-2}_{k}$ appartiendra à $a^{q}_{i}$; mais alors nous pourrons raisonner sur la variété $a^{q}_{i}$, comme nous raisonnions tout à l'heure sur la variété $V$, et nous conclurons que $a^{q-2}_{k}$ doit séparer, l'une de l'autre, deux des variétés $v_{q-1}$, qui appartiennent à $a^{q}_{i}$, et deux seulement : soient $a^{q-1}_{1}$ et $a^{q-1}_{2}$.

Parmi les produits (4) il n'y en aura que deux qui ne seront pas nuls, à savoir \[ \varepsilon^{q}_{i,1} \varepsilon^{q-1}_{1,k}, \qquad \varepsilon^{q}_{i,2} \varepsilon^{q-1}_{2,k}. \]

Pour tous les autres, en effet, ou bien $a^{q-1}_{j}$ n'appartiendra pas à $a^{q}_{i}$, ou bien $a^{q-2}_{k}$ n'appartiendra pas à $a^{q-1}_{j}$.

Ces deux produits sont d'ailleurs égaux : l'un à $+1$, l'autre à $-1$.

On aura donc dans tous les cas : \[ \sum_{j} \varepsilon^{q}_{i,j} \varepsilon^{q-1}_{j,k} = 0. \tag{5} \]

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Nous avons de même \[ \sum_{i} \varepsilon^{p}_{i,1} = 0, \] et, plus généralement, quel que soit $k$ : \[ \sum_{i} \varepsilon^{p}_{i,k} = 0. \tag{5 \textit{bis}} \]

La relation (5 bis) peut être regardée, à un certain point de vue, comme un cas particulier de la relation (5).

Soit $P$ la portion de l'espace à $p+1$ dimensions, limitée par le polyèdre $V$; alors la frontière complète de $P$ se composera des diverses variétés $v_{p}$, qui, par leur ensemble, forment $V$; nous pourrons donc écrire, au sens de la congruence (3), \[ P \equiv \sum_{i} a^{p}_{i}, \tag{3 \textit{bis}} \] ou encore \[ P \equiv \sum_{i} \varepsilon^{p+1}_{0,i} a^{p}_{i}, \] où les nombres $\varepsilon^{p+1}_{0,i}$ seront tous, par définition, égaux à 1.

A ce compte, la relation (5 bis), qui peut s'écrire \[ \sum_{i} \varepsilon^{p+1}_{0,i} \varepsilon^{p}_{i,k} = 0, \] n'est plus qu'un cas particulier de la relation (5).

Nous avons, ensuite, chaque $v_{1}$ qui a pour limites deux $v_{0}$, et deux seulement, ce qui nous donne des congruences (3) de la forme : \[ a^{1}_{i} \equiv a^{0}_{j} - a^{0}_{k}, \] et une relation analogue à (5) et (5 bis) : \[ \sum_{j} \varepsilon^{1}_{i,j} = 0, \] qui rentrerait encore dans la forme (5), en convenant de faire tous les $\varepsilon^{0}$ égaux à $+1$.

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D'autre part, envisageons l'une des $a^{q}_{i}$, toutes les $a^{q+1}_{j}$ auxquelles elle sert de frontière; toutes les $a^{q+2}_{k}$, auxquelles ces $a^{q+1}_{j}$ servent de frontières et ainsi de suite. L'ensemble de toutes ces variétés constituera ce que nous avons appelé un aster (Analysis situs, page 106).

Nous avons vu (loc. cit., page 107) que le polyèdre qui correspond à un aster, doit être simplement connexe. Ainsi une condition pour qu'un polyèdre puisse correspondre à un schéma donné, c'est que les polyèdres qui correspondent aux différents asters, d'après la convention de la page 107 de l'Analysis situs, soient tous simplement connexes.

Considérons maintenant une des $a^{q}_{i}$, toutes les $a^{q-1}_{j}$ qui lui servent de frontières, les $a^{q-2}_{k}$ qui servent de frontières à ces $a^{q-1}_{j}$ et ainsi de suite. Cet ensemble de variétés constituera un polyèdre à $q$ dimensions; nous supposerons que ce polyèdre soit simplement connexe.

Ce n'est plus là une condition nécessaire pour qu'un polyèdre puisse correspondre au schéma; c'est simplement une condition que, sauf avis contraire, nous supposerons remplie.

Pour éclairer ces définitions par quelques exemples, voyons d'abord quel est le schéma du tétraèdre généralisé, défini à la page 105 (Analysis situs).

Les faces de ce tétraèdre seront définies par les $n+1$ équations : \[ \begin{aligned} &x_{1} = 0, \qquad x_{2} = 0, \qquad \ldots, \qquad x_{n} = 0\\ &x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n} = 1. \end{aligned} \tag{6} \]

On obtiendra les $a^{q}_{i}$ en supprimant $q+1$ de ces équations; pour définir le sens de la variété $a^{q}_{i}$, nous supposerons qu'on supprime ces $q+1$ équations, mais sans changer l'ordre des $n-q$ équations restantes.

Cela posé, considérons la relation de $a^{q}_{i}$ et de $a^{q-1}_{j}$ et cherchons à déterminer le nombre $\varepsilon^{q}_{i,j}$.

D'abord, pour que $a^{q-1}_{j}$ appartienne à $a^{q}_{i}$, il faut que $a^{q-1}_{j}$ soit définie par les $n-q$ équations qui définissent $a^{q}_{i}$, auxquelles on devra adjoindre une $(n-q+1)^{\text{ème}}$ équation, prise parmi les équations (6). S'il n'est pas ainsi, le nombre $\varepsilon^{q}_{i,j}$ sera nul.

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Supposons, donc, que $a^{q-1}_{j}$ soit obtenu en supprimant les $q$ équations qui occupent les \[ \alpha_{1}, \qquad \alpha_{2}, \qquad \ldots, \qquad \alpha_{q} \] rangs.

Supposons que $a^{q}_{i}$ soit obtenue en supprimant, en outre, la $\beta^{\text{ème}}$ équation; alors le nombre $\varepsilon^{q}_{i,j}$, dont la valeur absolue sera toujours égale à 1, aura même signe que le produit : \[ (\beta - \alpha_{1})(\beta - \alpha_{2}) \ldots (\beta - \alpha_{q}). \]

Il est aisé de vérifier alors que la relation (5) a lieu.

Considérons, en effet, la variété $a^{q-2}_{k}$, obtenue en supprimant les équations de rang $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q-1}$ et la variété $a^{q}_{i}$, obtenue en supprimant, en outre, les équations de rang $\beta$ et $\gamma$. (Il est clair que si $a^{q}_{i}$ ne s'obtenait pas en supprimant les mêmes équations que pour $a^{q-2}_{k}$, plus deux autres, tous les produits $\varepsilon^{q}_{i,j} \varepsilon^{q-1}_{j,k}$ seraient nuls).

Dans ce cas, tous ces produits seront encore nuls, sauf deux : \[ \varepsilon^{q}_{i,1} \varepsilon^{q-1}_{1,k} \qquad \text{et} \qquad \varepsilon^{q}_{i,2} \varepsilon^{q-1}_{2,k}, \] qui correspondront aux deux variétés $a^{q-1}_{1}$ et $a^{q-2}_{2}$Editorial note: Printed $a^{q-2}_{2}$; the context requires $a^{q-1}_{2}$, an apparent misprint., obtenues respectivement en supprimant les équations de rang $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q-1}, \beta$ et celles de rang $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q-1}, \gamma$.

Alors les quatre nombres \[ \varepsilon^{q}_{i,1}, \qquad \varepsilon^{q-1}_{1,k}, \qquad \varepsilon^{q}_{i,2}, \qquad \varepsilon^{q-1}_{2,k} \] auront respectivement même signe que : \[ \begin{aligned} (\gamma - \beta)(\gamma - \alpha_{1})(\gamma - \alpha_{2}) \ldots (\gamma - \alpha_{q-1})&,\\ (\beta - \alpha_{1})(\beta - \alpha_{2}) \ldots (\beta - \alpha_{q-1})&,\\ (\beta - \gamma)(\beta - \alpha_{1})(\beta - \alpha_{2}) \ldots (\beta - \alpha_{q-1})&,\\ (\gamma - \alpha_{1})(\gamma - \alpha_{2}) \ldots (\gamma - \alpha_{q-1})&. \end{aligned} \]

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On vérifie ainsi que les deux produits, qui ne sont pas nuls, sont égaux et de signe contraire. C. Q. F. D.${}^{(*)}$

§ III. Nombres de Betti réduits.

Je m'en vais chercher, maintenant, les nombres de Betti, relatifs à un polyèdre, mais afin d'éviter l'équivoque, dont j'ai signalé plus haut la possibilité, je conviendrai de définir ces nombres de la seconde manière, c'est-à-dire que $P_{q} - 1$ sera le nombre de variétés fermées à $q$ dimensions, que l'on peut tracer sur notre polyèdre $V$ et qui sont linéairement indépendantes, je veux dire, qui ne sont liées par aucune homologie à coefficients entiers, au sens de l'Analysis situs, page 18.

Mais je me proposerai d'abord de déterminer le nombre $P'_{q} - 1$ des variétés à $q$ dimensions, fermées et linéairement indépendantes, que l'on peut tracer sur notre polyèdre $V$, mais en nous bornant à celles qui sont, des combinaisons des variétés $v_{q}$.

Le nombre $P'_{q}$ sera, alors, ce que j'appellerai le nombre de Betti réduit.

Les variétés à $q$ dimensions, qui sont des combinaisons des $v_{q}$, pourront évidemment être représentées par : \[ \sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}, \] les $\lambda_{i}$ étant des coefficients entiers et les lettres $a^{q}_{i}$ continuant à désigner les différentes variétés $v_{q}$.

Quelle est d'abord la condition pour que la variété $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ soit fermée?

Pour cela, cherchons quelles sont les variétés $v_{q-1}$, qui forment les frontières de cette variété. Pour les trouver, il suffit évidemment de remplacer $a^{q}_{i}$ par sa valeur donnée par la congruence (3).

(*) Le polyèdre ainsi défini, ainsi que tout polyèdre à $n$ dimensions, limité par $n+1$ variétés planes, s'appellera tétraèdre généralisé rectiligne. J'appellerai tétraèdre généralisé toute variété homéomorphe à un tétraèdre généralisé rectiligne.

page 297

Cet ensemble de variétés frontières sera donc donné par la formule : \[ \sum_{i} \sum_{j} \lambda_{i} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \]

Pour que la variété $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ soit fermée, il suffit, donc, que l'on ait identiquement : \[ \sum_{i} \sum_{j} \lambda_{i} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j} = 0, \] c'est-à-dire que, quel que soit $j$, on ait : \[ \sum_{i} \lambda_{i} \varepsilon^{q}_{i,j} = 0. \]

En d'autres termes, la variété $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ sera fermée, si l'on a : \[ \sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i} \equiv 0, \tag{7, $q$} \] en vertu des congruences (3, $q$); j'appelle ainsi celles des congruences (3), qui lient les $a^{q}_{i}$ aux $a^{q-1}_{j}$.

Cherchons maintenant les homologies qui peuvent exister entre les variétés $a^{q}_{i}$. On obtiendra toutes ces homologies, en combinant celles que l'on peut obtenir de la façon suivante.

Considérons la congruence : \[ a^{q+1}_{k} \equiv \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i}, \tag{8} \] qui, d'après la convention que nous venons de faire,.Editorial note: A stray point follows the comma in the print. est une congruence (3, $q + 1$); remplaçons le signe $\equiv$ par $\backsim$, et le premier membre par zéro; il viendra : \[ \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i} \backsim 0. \tag{9, $q$} \]

Cette homologie aura évidemment lieu, puisque, par définition, elle exprime, comme la congruence (8), que les $a^{q}_{i}$ forment la frontière complète de $a^{q+1}_{k}$.

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Nous démontrerons plus loin (§ 6), qu'il n'y en a pas d'autres.

Je désigne cette homologie par (9, $q$) pour marquer qu'elle a lieu entre les $a^{q}_{i}$.

Je dis que si l'homologie (9, $q$) a lieu, la congruence \[ \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i} \equiv 0 \tag{10, $q$} \] sera une conséquence des congruences (3, $q$).

Remplaçons, en effet, les $a^{q}_{i}$ par leurs valeurs, données par ces congruences (3, $q$); il viendra : \[ \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i} \equiv \sum_{i} \sum_{j} \varepsilon^{q+1}_{k,i} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \] Le second membre est identiquement nul en vertu des relations (5).

Cela posé, soit $\alpha_{q}$ le nombre des variétés $a^{q}_{i}$; soit $\alpha'_{q}$ le nombre de ces variétés qui restent distinctes, si l'on ne regarde pas comme distinctes des variétés liées par une homologie de la forme (9, $q$); soit $\alpha''_{q}$ le nombre de ces variétés qui restent distinctes, si l'on ne regarde pas comme distinctes des variétés liées par une congruence de la forme (7, $q$).

Il résulte de ces définitions :

1° qu'il y a $\alpha_{q} - \alpha'_{q}$ homologies distinctes de la forme (9, $q$);

2° qu'il y a $\alpha_{q} - \alpha''_{q}$ congruences distinctes de la forme (7, $q$);

3° que \[ \alpha'_{q} \geqq \alpha''_{q}; \] car si plusieurs $a^{q}_{i}$ sont liées par une homologie de la forme (9, $q$), elles seront liées également par la congruence (10, $q$) correspondante.

Enfin le nombre cherché $P'_{q} - 1$ est égal à \[ \alpha'_{q} - \alpha''_{q}, \] car les variétés fermées de la forme $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$, réellement distinctes, sont en nombre égal à celui des congruences (7, $q$), c'est-à-dire au nombre de $\alpha_{q} - \alpha''_{q}$.

Le nombre $P'_{q} - 1$ est le nombre de ces variétés qui restent

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distinctes, en ne regardant pas comme distinctes celles qui sont liées par une homologie (9, $q$). Or le nombre de ces homologies est $\alpha_{q} - \alpha'_{q}$; nous avons donc : \[ P'_{q} - 1 = (\alpha_{q} - \alpha''_{q}) - (\alpha_{q} - \alpha'_{q}) = \alpha'_{q} - \alpha''_{q} \qquad \text{C.~Q.~F.~D.} \] Soient $a^{q}_{1}, a^{q}_{2}, \ldots, a^{q}_{i}$ des variétés $v_{q}$, au nombre de $i$ et \[ \begin{aligned} a^{q}_{1} &\equiv \sum \varepsilon^{q}_{1,j} a^{q-1}_{j}, \\ a^{q}_{2} &\equiv \sum \varepsilon^{q}_{2,j} a^{q-1}_{j}, \\ &\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a^{q}_{i} &\equiv \sum \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j} \end{aligned} \] les congruences (3) correspondantes. Formons les homologies correspondantes : \[ \sum \varepsilon^{q}_{1,j} a^{q-1}_{j} \backsim 0, \qquad \sum \varepsilon^{q}_{2,j} a^{q-1}_{j} \backsim 0, \qquad \ldots, \qquad \sum \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j} \backsim 0. \] La condition nécessaire et suffisante pour que ces homologies soient distinctes, c'est que l'on n'ait entre les $i$ variétés $a^{q}_{1}, a^{q}_{2}, \ldots, a^{q}_{i}$ aucune congruence de la forme : \[ \lambda_{1} a^{q}_{1} + \lambda_{2} a^{q}_{2} + \ldots + \lambda_{i} a^{q}_{i} \equiv 0. \]

Le nombre des homologies distinctes est donc égal au nombre des $a^{q}_{i}$ distinctes, en tenant compte des congruences (7, $q$). Donc : \[ \alpha_{q-1} - \alpha'_{q-1} = \alpha''_{q}, \] ou \[ \alpha_{q-1} = \alpha'_{q-1} + \alpha''_{q}. \] Nous aurons d'autre part \[ \alpha'_{0} = 1. \] Si, en effet, on peut aller d'un sommet quelconque $a^{0}_{1}$ à un autre

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sommet quelconque $a^{0}_{i}$, en suivant des arêtes (c'est-à-dire si le polyèdre est d'un seul tenant), on aura l'homologie : \[ a^{0}_{1} \backsim a^{0}_{i}, \] c'est-à-dire qu'il n'y aura qu'un seul sommet distinct, en tenant compte des homologies.

Envisageons maintenant la congruence (3 bis) \[ P \equiv \sum a^{p}_{i}; \] l'homologie correspondante s'écrit : \[ \sum a^{p}_{i} \backsim 0, \] et il n'y a pas d'autre homologie (9, $p$). Donc \[ \alpha_{p} = \alpha'_{p} + 1. \] De plus, le polyèdre étant d'un seul tenant, une seule des combinaisons $\displaystyle\sum \lambda_{i} a^{p}_{i}$ pourra être fermée, c'est le polyèdre lui-même dans son entier, représenté par la formule $\displaystyle\sum a^{p}_{i}$.

Nous aurons donc une seule congruence de la forme (7, $p$) : \[ \sum a^{p}_{i} \equiv 0. \] Donc \[ \alpha_{p} = \alpha''_{p} + 1, \qquad \alpha'_{p} = \alpha''_{p}. \] Nous avons donc la série d'équations : \[ \begin{aligned} &\alpha'_{0} = 0, \\ &\alpha_{0} = \alpha'_{0} + \alpha''_{1}, &&\qquad \alpha'_{1} - \alpha''_{1} = P'_{1} - 1, \\ &\alpha_{1} = \alpha'_{1} + \alpha''_{2}, &&\qquad \alpha'_{2} - \alpha''_{2} = P'_{2} - 1, \\ &\ldots\ldots\ldots &&\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\alpha_{p-1} = \alpha'_{p-1} + \alpha''_{p}, &&\qquad \alpha'_{p-1} - \alpha''_{p-1} = P'_{p-1} - 1, \\ &\alpha_{p} = \alpha'_{p} + 1, &&\qquad \alpha'_{p} - \alpha''_{p} = 0, \end{aligned} \] Editorial note: The first row is printed $\alpha'_{0} = 0$; page 299 gives $\alpha'_{0} = 1$, which the final $\mp 1$ of the formula on page 301 requires; an apparent misprint.

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d'où l'on tire aisément : \[ \begin{aligned} &\alpha_{p} - \alpha_{p-1} + \alpha_{p-2} - \ldots \pm \alpha_{1} \mp \alpha_{0} = 1 - (P'_{p-1} - 1) + \ldots \\ &\qquad \ldots \mp (P'_{2} - 1) \pm (P'_{1} - 1) \mp 1, \end{aligned} \] tout à fait analogue à la formule : \[ \begin{aligned} &\alpha_{p} - \alpha_{p-1} + \alpha_{p-2} - \ldots \pm \alpha_{1} \mp \alpha_{0} = 1 - (P_{p-1} - 1) + \ldots \\ &\qquad \ldots \mp (P_{2} - 1) \pm (P_{1} - 1) \mp 1, \end{aligned} \] que nous avons trouvée dans l'Analysis situs, page 121.

§ IV. Subdivision des polyèdres.

Considérons un polyèdre $V$, à $p$ dimensions, avec ses diverses variétés : \[ a^{p}_{i}, \qquad a^{p-1}_{i}, \qquad \ldots, \qquad a^{1}_{i}, \qquad a^{0}_{i}. \]

Supposons que l'on subdivise chacune des variétés $a^{p}_{i}$ en plusieurs autres, que j'appellerai les $b^{p}_{i}$; soient ensuite $b^{p-1}_{i}$ les variétés à $p - 1$ dimensions, qui servent de frontière aux $b^{p}_{i}$; soient $b^{p-2}_{i}$ les variétés à $p - 2$ dimensions, qui servent de frontières aux $b^{p-1}_{i}$; … et, enfin, $b^{0}_{i}$ les variétés à 0 dimensions (sommets), qui servent de frontières aux $b^{1}_{i}$ (arêtes).

On aura ainsi un nouveau polyèdre $V'$, qui sera dérivé du polyèdre $V$, au sens que j'ai attaché à ce mot à la page 101 de l'Analysis situs.

On peut supposer, d'ailleurs, que si une variété $v_{q-1}$, simplement ou multiplement connexe, sert de frontière à deux variétés $b^{q}_{j}$ et $b^{q}_{k}$, elle ne forme pas forcément une seule des variétés $b^{q-1}_{i}$, mais peut être elle-même subdivisée en plusieurs variétés $b^{q-1}_{i}$. Dans ce cas, pour reprendre la terminologie des pages 102 et 103 de l'Analysis situs, ces variétés $b^{q-1}_{i}$ seront irrégulières et les variétés $b^{q-2}_{i}$, qui les séparent les unes des autres, seront singulières.

page 302

Cela posé, recherchons une classification des variétés $b^{q}_{i}$.

Si une variété $b^{q}_{i}$ ne fait pas partie d'une des variétés $a^{q}_{j}$, elle fera partie d'une des variétés $a^{q+1}_{j}$, ou d'une des variétés $a^{q+2}_{j}$, …, ou, tout au moins, d'une des variétés $a^{p}_{j}$.

Peut-elle faire partie à la fois de deux variétés $a^{m}_{j}$ et $a^{m}_{k}$?

D'après la façon dont la subdivision a été supposée faite, en ajoutant toujours de nouvelles frontières, sans en supprimer jamais, cela ne pourra arriver que si ces deux variétés $a^{m}_{j}$ et $a^{m}_{k}$ sont contigües et ont une frontière commune $a^{m-1}_{h}$, et si $b^{q}_{i}$ fait partie de cette frontière $a^{m-1}_{h}$.

Je suppose alors que $b^{q}_{i}$ fasse partie de $a^{h}_{j}$, et ne fasse partie d'aucune variété $a^{m}_{k}$, où $m < h$. La variété $a^{h}_{j}$ existe toujours et l'on a $h \geqq q$; de plus, la variété $a^{h}_{j}$ est unique, c'est-à-dire que $b^{q}_{i}$ ne peut faire partie à la fois de deux variétés différentes $a^{h}_{j}$ et $a^{h}_{k}$.

Si donc je conviens de ranger dans une même classe toutes les variétés $b^{q}_{i}$, qui font partie de la variété $a^{h}_{j}$, sans faire partie d'aucune des variétés $a^{m}_{k}$, où $m < h$, toute variété $b^{q}_{i}$ fera partie d'une classe et d'une seule.

Je pourrai alors représenter $b^{q}_{i}$ par une notation à quatre indices \[ b^{q}_{i} = B(q, h, j, k); \] l'indice $q$ indique le nombre des dimensions de $b^{q}_{i}$; les indices $h$ et $j$ indiquent que $b^{q}_{i}$ fait partie de la classe $a^{h}_{j}$; et l'indice $k$ sert à distinguer les unes des autres les différentes variétés d'une même classe. On a $h \geqq q$.

Nous aurons, alors, pour définir le polyèdre $V$ et sa subdivision :

1° Les congruences (3, $q$), relatives au polyèdre $V$, que j'écrirai : \[ a^{q}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \tag{3, $q$, $i$} \]

2° Les équations qui donnent la subdivision de la variété $a^{q}_{i}$ : \[ a^{q}_{i} = \sum_{k} B(q, q, i, k). \tag{1, $q$, $i$} \]

3° Les congruences analogues aux congruences (3), mais relatives

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au polyèdre $V'$; je les écrirai : \[ B(q, h, j, k) \equiv \sum \zeta B(q - 1, h', j', k'). \tag{2, $q$, $h$, $j$, $k$} \]

Les $\zeta$ sont des nombres égaux à $\pm 1$, ou à 0; ils dépendent des sept indices $q$, $h$, $j$, $k$, $h'$, $j'$, $k'$, de sorte que je les écrirai, quand cela sera nécessaire, sous la forme : \[ \zeta(q, h, j, k, h', j', k'). \]

Sous le signe $\displaystyle\sum$, les indices $h'$, $j'$, $k'$ peuvent prendre toutes les valeurs. Observons, cependant, que les $B(q - 1)$, qui servent de frontière à $B(q, h, j, k)$, doivent, comme $B(q, h, j, k)$, faire partie de $a^{h}_{j}$; mais pourront faire partie d'autres variétés $a^{h'}_{j'}$, d'un nombre moindre de dimensions, mais faisant partie de $a^{h}_{j}$. On aura donc \[ h' \leqq h, \qquad h' \geqq q - 1. \]

D'ailleurs si $h' = h$, on aura $j' = j$.

Pour que les relations (1), (2), (3) puissent définir une véritable subdivision, elles doivent satisfaire à certaines conditions.

Les relations (1, $q$, $i$), (3, $q$, $i$) donnent \[ \sum_{k} B(q, q, i, k) \equiv \sum \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \tag{$\alpha$} \]

Si dans le premier membre je remplace $B(q, q, i, k)$ par sa valeur, tirée de (2, $q$, $q$, $i$, $k$), et $a^{q-1}_{j}$ par sa valeur tirée de (1, $q - 1$, $j$), les deux membres devront devenir identiqueEditorial note: Printed identique; the agreement with membres requires identiques.; voilà une première condition, qui est évidente; elle n'est d'ailleurs pas suffisante.

§ V. Influence de la subdivision sur les nombres de Betti réduits.

Soit $\displaystyle\sum \alpha B(q, h, j, k)$ une combinaison des variétés $b^{q}_{i}$, qui représente une variété fermée à $q$ dimensions, de telle sorte que l'on

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ait, avec nos notations, \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \equiv 0, \qquad (h \geqq q) \tag{1} \]

Parmi les variétés $b^{q}_{i}$ qui figurent dans le premier membre de (1), réunissons celles qui appartiennent à une même classe. Soit \[ S \alpha B(q, h, j, k) \] l'ensemble de celles qui appartiennent à la classe $a^{h}_{j}$; le signe de sommation $S$ signifie, donc, qu'on ne prend que les variétés d'une même classe, tandis que le signe $\displaystyle\sum$ signifie qu'on les prend toutes.

On aura alors : \[ S \alpha B(q, h, j, k) \equiv \sum \beta B(q - 1, h', j', k'), \tag{2} \] c'est-à-dire que la variété à $q - 1$ dimensions $\displaystyle\sum \beta B(q - 1, h', j', k')$ forme la frontière complète de la variété à $q$ dimensions \[ S \alpha B(q, h, j, k). \]

Les variétés $a^{h'}_{j'}$ doivent appartenir à la frontière de $a^{h}_{j}$, ou se confondre avec $a^{h}_{j}$; en effet, $B(q - 1, h', j', k')$ appartient à $a^{h'}_{j'}$ et, d'autre part, à l'une des $B(q, h, j, k)$, qui fait lui-même partie de $a^{h}_{j}$, si donc $a^{h'}_{j'}$ ne faisait pas partie de $a^{h}_{j}$, $B(q - 1, h', j', k')$ ferait partie d'une variété $a^{m}_{k}$, partie commune à $a^{h}_{j}$ et $a^{h'}_{j'}$, et qui aurait moins de $h'$ dimensions. Cela est contraire à la définition que nous avons donnée des classes.

D'autre part $a^{h'}_{j'}$ ne peut pas se confondre avec $a^{h}_{j}$.

Soit, en effet, \[ S_{1} \alpha_{1} B(q, h_{1}, j_{1}, k_{1}) = \sum \alpha B(q, h, j, k) - S \alpha B(q, h, j, k) \] l'ensemble des variétés qui figurent dans le premier membre de (1), et qui n'appartiennent pas à la classe $a^{h}_{j}$; on aura évidemment : \[ S_{1} \alpha_{1} B(q, h_{1}, j_{1}, k_{1}) \equiv - \sum \beta B(q - 1, h', j', k'). \]

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Donc $B(q - 1, h', j', k')$ doit faire partie à la fois de $a^{h'}_{j'}$, et de l'une des $B(q, h_{1}, j_{1}, k_{1})$, et, par conséquent, de l'une des $a^{h_{1}}_{j_{1}}$, différentes de $a^{h}_{j}$. Si donc $a^{h'}_{j'}$ se confondait avec $a^{h}_{j}$, \[ B(q - 1, h', j', k') = B(q - 1, h, j, k) \] devrait appartenir à une variété $a^{m}_{k}$, partie commune à $a^{h}_{j}$ et $a^{h_{1}}_{j_{1}}$. De deux choses, l'une : ou bien $a^{h}_{j}$ ne ferait pas partie de $a^{h_{1}}_{j_{1}}$, et alors on aurait encore $m < h$, ce qui serait encore contraire à la définition des classes; ou bien $a^{h}_{j}$ ferait partie de $a^{h_{1}}_{j_{1}}$, et alors on aurait $h_{1} > h$. Supposons que j'ai choisi la classe $a^{h}_{j}$, qui correspond au plus grand nombre $h$. Alors on ne pourra pas avoir $h_{1} > h$, et $a^{h'}_{j'}$ devra appartenir à la frontière de $a^{h}_{j}$.

La congruence (2) entraine l'homologie \[ \sum \beta B(q - 1, h', j', k') \backsim 0; \tag{3} \] comme, d'autre part, $a^{h}_{j}$ est simplement connexe et que toutes les variétés $B(q - 1, h', j', k')$ sont situées sur la frontière de $a^{h}_{j}$, le premier membre de (3), représentant une variété fermée à $q - 1$ dimensions, située sur cette frontière, formera la frontière complète d'une variété à $q$ dimensions \[ \sum \gamma B(q, h'', j'', k''), \] également située sur la frontière de $a^{h}_{j}$. (Il y aurait exception si l'on avait $h = q$). De sorte qu'on aura la congruence \[ \sum \beta B(q - 1, h', j', k') \equiv \sum \gamma B(q, h'', j'', k''). \tag{4} \]

D'ailleurs, comme $B(q, h'', j'', k'')$ est sur la frontière de $a^{h}_{j}$, il en sera de même de $a^{h''}_{j''}$; car si $B(q, h'', j'', k'')$ fait partie à la fois de $a^{h''}_{j''}$ et d'une variété $a^{h'}_{j'}$, faisant partie de la frontière de $a^{h}_{j}$; ou bien $a^{h''}_{j''}$ ne fait pas partie de $a^{h'}_{j'}$, et alors $B$ devrait faire partie de $a^{m}_{k}$, où $m < h''$, et nous avons vu que cela était impossible.

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On a donc \[ h'' < h. \]

Les congruences (2) et (4) donnent \[ S \alpha B(q, h, j, k) \equiv \sum \gamma B(q, h'', j'', k''), \] et, comme toutes les variétés qui figurent dans cette congruence, font partie de $a^{h}_{j}$, ou de sa frontière, comme, d'autre part, $a^{h}_{j}$ est simplement connexe, on aura l'homologie \[ S \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \gamma B(q, h'', j'', k''). \]

On peut, donc, remplacer, dans le premier membre de (1), l'ensemble des termes $S \alpha B(q, h, j, k)$ par l'ensemble des termes \[ \sum \gamma B(q, h'', j'', k''). \]

Si on opère de même pour toutes les classes correspondantes à une même valeur de $h$, la plus grande de toutes, on aura remplacé le premier membre de (1) par \[ \sum \alpha_{2} B(q, h_{2}, j_{2}, k_{2}), \] où la plus grande valeur de $h_{2}$ sera plus petite que la plus grande valeur de $h$. On aura, d'ailleurs, l'homologie \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \alpha_{2} B(q, h_{2}, j_{2}, k_{2}). \]

En continuant de la sorte, on pourra diminuer encore la plus grande valeur de $h$. On ne sera arrêté que quand on aura partout $h = q$.

On peut donc, finalement, remplacer le premier membre de (1) par : \[ \sum \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}), \]

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et on aura d'ailleurs : \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \tag{5} \] \[ \sum \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \equiv 0. \tag{6} \]

Cela posé, dans le premier membre de (6) prenons les congruences qui appartiennent à une classe déterminée $a^{h}_{j_{0}}$; soit : \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}). \]

Nous aurons : \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \equiv \sum \beta_{0} B(q - 1, h'_{0}, j'_{0}, k'_{0}). \tag{7} \]

Nous verrions, comme plus haut, que $a^{h'_{0}}_{j'_{0}}$ doit faire partie de la frontière de $a^{q}_{j_{0}}$, d'où $h'_{0} < q$ (et, comme $h'_{0} \geqq q - 1$, on aura $h'_{0} = q - 1$).

Soit alors : \[ a^{q}_{j_{0}} = \sum B(q, q, j_{0}, k_{0}) \tag{8} \] l'équation (1, $q$, $j_{0}$), qui définit la subdivision de la variété $a^{q}_{j_{0}}$, et soient $B(q, q, j_{0}, 1)$ et $B(q, q, j_{0}, 2)$ deux variétés, figurant dans le second membre de (8); je dis qu'elles devront figurer dans le premier membre de (6) avec le même coefficient $\alpha_{0}$.

Supposons, d'abord, que ces deux variétés soient limitrophes; parmi les variétés à $q - 1$ dimensions qui leur serviront de frontière commune, il y en aura, au moins, une qui n'appartiendra pas à la frontière de $a^{q}_{j_{0}}$, qui fera, par conséquent, partie de la classe $a^{q}_{j_{0}}$.

Soit $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ cette variété : elle n'appartiendra pas à aucune autre des variétés $B(q, q, j_{0}, k)$.

Soit alors \[ \begin{aligned} B(q, q, j_{0}, 1) &\equiv \varepsilon b^{q-1}_{i} \\ B(q, q, j_{0}, 2) &\equiv \varepsilon b^{q-1}_{i} \\ B(q, q, j_{0}, k) &\equiv \varepsilon b^{q-1}_{i} \qquad (k > 2) \end{aligned} \tag{9} \]

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les congruences (2, $q$, $q$, $j_{0}$, 1), (2, $q$, $q$, $j_{0}$, 2), (2, $q$, $q$, $j_{0}$, $k$), qui nous font connaitre les frontières des variétés $B(q, q, j_{0})$. Voyons avec quel coefficient $\varepsilon$ la variété $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ figurera dans ces congruences.

D'après ce que nous venons de voir, ce sera avec le coefficient $+1$ dans la première, avec le coefficient $-1$ dans la seconde, avec le coefficient 0 dans les autres.

Soient donc $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ les valeurs des coefficients $\alpha_{0}$, correspondantes aux deux variétés $B(q, q, j_{0}, 1)$ et $B(q, q, j_{0}, 2)$.

La combinaison des congruences (9) nous fournira une congruence \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \equiv \varepsilon b^{q-1}_{i}, \tag{10} \] qui devra être identique à (7), et le coefficient $\varepsilon$, avec lequel figurera $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ dans le second membre de (10), sera évidemment $\alpha_{1} - \alpha_{2}$. Mais $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ ne peut pas figurer dans le second membre de (7), puisque nous avons vu que dans ce second membre on doit avoir $h'_{0} = q - 1$. Donc on doit avoir $\alpha_{1} - \alpha_{2} = 0$.

Ainsi les deux variétés $B(q, q, j_{0}, 1)$ et $B(q, q, j_{0}, 2)$ devront avoir même coefficient $\alpha_{0}$, si elles sont limitrophes. Cela sera encore vrai, si elles ne le sont pas, parce que $a^{q}_{j_{0}}$ étant d'un seul tenant, on pourra passer d'une de ces variétés à l'autre par une suite d'autres variétés analogues, chacune d'elles étant limitrophe de celle qui la précède.

Donc le coefficient $\alpha_{0}$ est le même pour toutes nos variétés. D'où : \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) = \alpha_{0} \sum B(q, q, j_{0}, k_{0}) = \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}}. \]

La congruence (6) et l'homologie (5) peuvent donc s'écrire : \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}} \tag{5 \textit{bis}} \] \[ \sum \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}} \equiv 0. \tag{6 \textit{bis}} \]

Si un nombre quelconque de congruences de la forme (1) sont distinctes, c'est-à-dire si aucune combinaison linéaire de leurs premiers

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membres n'est pas homologue à 0, je dis que les congruences (6 bis) seront également distinctes, et réciproquement.

En effet la comparaison des relations (1), (5 bis) et (6 bis) montre que si l'on a \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim 0, \] on aura également \[ \sum \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}} \backsim 0, \] et réciproquement.

Il résulte de là que si les $a^{q}_{i}$ et les $b^{q}_{i}$ sont simplement connexes, les nombres de Betti réduits sont les mêmes pour les deux polyèdres $V$ et $V'$.

Soit maintenant $W$ une variété quelconque, fermée, à $q$ dimensions, située sur $V$. On peut toujours construire un polyèdre $V'$, dérivé de $V$, au sens de la page 101 de l'Analysis situs, et tel que $W$ soit une combinaison des $b^{q}_{i}$.

Nous devons donc conclure que : si les $a^{q}_{i}$ sont simplement connexes, les nombres de Betti réduits, relatifs au polyèdre $V$, sont identiques aux nombres de Betti proprement dits, définis de la seconde manière.

§ VI. Retour sur les démonstrations du § III.

Nous avons à revenir ici sur un point essentiel du raisonnement qui précède. J'ai dit plus haut qu'il n'y avait d'autre homologie que les homologies (9, $q$), obtenues au § 3. Cela n'est pas évident, cela ne serait pas même toujours vrai, si nous ne supposions pas les $a^{q}_{i}$ simplement connexes.

Démontrons-le d'abord pour un polyèdre $P$, dans l'espace à 4 dimensions.

Considérons un certain nombre de variétés $v_{2}$ ou $a^{2}_{i}$, appartenant à ce polyèdre; je les appellerai ses faces, de même que les $a^{3}_{i}$, les $a^{1}_{i}$ et les $a^{0}_{i}$ de ce polyèdre $P$ pourront s'appeler ses cases, ses arêtes et ses sommets.

page 310

Supposons que l'on ait entre ces faces $a^{2}_{i}$ une homologie \[ \sum a^{2}_{i} \backsim 0. \]

Cette homologie signifie qu'il existe une variété à 3 dimensions, $V$, faisant partie de $P$, et admettant $\displaystyle\sum a^{2}_{i}$ comme frontière complète.

Je dis que $V$ se compose d'un certain nombre de cases de $P$.

Si, en effet, un point d'une case appartient à $V$, il en sera de même de tout autre point de cette case, car on peut aller du premier point au second, sans rencontrer aucune face et, par conséquent, sans rencontrer la frontière de $V$ et sans sortir de $V$.

Le théorème est donc évident en ce qui concerne les polyèdres de l'espace à 4 dimensions et les homologies entre les faces.

Soit maintenant une homologie entre les arêtes : \[ \sum b_{1} \backsim 0, \] les $b_{1}$ étant un cetainEditorial note: Printed “cetain” for “certain”; an apparent misprint. nombre d'arêtes $a^{1}_{i}$. Cela veut dire qu'il existe une variété à 2 dimensions, $V$, dont $\displaystyle\sum b_{1}$ est la frontière complète.

Je désignerai par $V(a^{k}_{i})$ l'ensemble des points communs à $V$ et à $a^{k}_{i}$.

Les $V(a^{3}_{i})$ seront des variétés à 2 dimensions, dont la frontière sera formée soit par quelques-unes des arêtes $b_{1}$, soit par les $V(a^{2}_{j})$, les $a^{2}_{j}$ étant les faces qui servent de frontière à la case $a^{3}_{i}$. On ne peut, en effet, sortir de $V(a^{3}_{i})$ qu'en sortant de $V$ par sa frontière, c'est-à-dire, en traversant une des $b_{1}$, ou qu'en sortant de $a^{3}_{i}$ par sa frontière, c'est-à-dire en traversant une face $a^{2}_{j}$, et, comme on reste sur $V$, en traversant une des lignes $V(a^{2}_{j})$.

La variété totale $V$ est formée de l'ensemble des $V(a^{3}_{i})$.

Considérons maintenant $V(a^{2}_{i})$; nous devons distinguer deux cas :

1° ou bien aucune des arêtes $b_{1}$ n'appartient à $a^{2}_{i}$. Nous ne pourrons alors sortir de $V(a^{2}_{i})$ qu'en sortant de $a^{2}_{i}$, c'est-à-dire en traversant une des arêtes $a^{1}_{j}$; la frontière de $V(a^{2}_{i})$ est donc formée par les $V(a^{1}_{j})$.

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2° ou bien une (ou plusieurs) arête $b_{1}$ fait partie de $a^{2}_{i}$; dans ce cas elle fera également partie de $V(a^{2}_{i})$; mais il pourra se faire que $V(a^{2}_{i})$ se compose, outre l'arête $b_{1}$, d'autres lignes; ces lignes auront pour frontières des points $V(a^{1}_{j})$, ou des points situés sur $b_{1}$. Ces points situés sur $b_{1}$, et où les autres lignes, dont se compose $V(a^{2}_{i})$, viennent se terminer sur l'arête $b_{1}$, seront ce que j'appellerai des points nodaux.

Dans tous les cas $V(a^{2}_{i})$ sera une ligne ou un ensemble de lignes; si, en effet, $V(a^{2}_{i})$ était une surface, c'est que $a^{2}_{i}$, ou une portion de cette face, ferait partie de $V$. Mais j'ai le droit de déformer $V$, pourvu que je ne change pas sa frontière $\displaystyle\sum b_{1}$; je puis toujours, par une déformation infiniment petite, éviter qu'une région de $a^{2}_{i}$ fasse partie de $V$.

Pour la même raison je puis toujours supposer que $V(a^{1}_{i})$ se réduit à un ou plusieurs points, sauf si $a^{1}_{i}$ est l'une des arêtes $b_{1}$, auquel cas $V(a^{1}_{i})$ sera cette arête elle-même.

Cela posé, je puis déformer $V$ :

1° de manière que tous les $V(a^{1}_{i})$ [autres que $V(b_{1})$] soient des sommets. Soit $a^{0}_{j}$ un sommet de $a^{1}_{i}$. Soit $M$ l'un des points dont se compose $V(a^{1}_{i})$; autour du point $M$ et sur $V$ décrivons une petite courbe fermée $C$. Soit $K$ l'aire infiniment petite découpée sur $V$ par cette courbe $C$. Construisons une sorte de manchon, infiniment délié, entourant l'arête $a^{1}_{i}$ et passant par $C$. Par le sommet $a^{0}_{j}$ je mène une surface quelconque $S$; elle viendra découper sur le manchon une courbe fermée très petite $C'$. Soit $K'$ la portion de la surface $S$ limitée par $C$Editorial note: Printed $C$; since $K'$ is the portion of $S$ cut out by the small curve $C'$, $C'$ appears to be intended.; soit $H$ la surface du manchon comprise entre $C$ et $C'$. On figurera ainsi une sorte de tambour, dont $H$ sera la surface latérale, $K$ et $K'$ les deux bases.

Considérons alors la variété \[ V' = V - K + H + K'. \]

Cette variété aura même frontière que $V$; mais elle ne coupera plus $a^{1}_{i}$ en $M$, puisqu'on a supprimé la portion $K$ de $V$, où se trouvait ce point $M$. En revanche, $H$ ne coupera pas l'arête $a^{1}_{i}$, et $K'$ coupera cette arête en $a^{0}_{j}$.

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En opérant de même sur tous les points d'intersection de $V$ et de $a^{1}_{i}$, on amènerait tous ces points à coincider avec $a^{0}_{j}$.

2° de manière que tous les points nodaux soient des sommets.

Soit, en effet, $a^{2}_{i}$ une face passant par l'arête $b_{1}$; l'intersection de $V$ et $a^{2}_{i}$ comprendra, outre $b_{1}$, d'autres lignes; soit $c$ l'une de ces lignes, venant se terminer sur $b_{1}$ en un point nodal $D$. Soient $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$ les deux sommets de $b_{1}$. Par $b_{1}$ je fais passer une surface $S$, faisant partie de $P$ et ne coupant pas $a^{2}_{i}$. Comme $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$ sont sur la frontière de $V$, je joins ces deux points par une ligne $L$, située sur $V$ et s'écartant peu de $b_{1}$. Cette ligne s'écartant peu de $b_{1}$, je puis mener par $L$ une autre surface $S'$, qui ne passera pas par $b_{1}$, mais qui coupera $S$ suivant une ligne $L'$, très peu différente de $b_{1}$. Ces trois lignes $L$, $b_{1}$ et $L'$ auront mêmes extrémités $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$.

Soit $V_{1}$ la portion de $V$, comprise entre $L$ et $b_{1}$; soit $S_{1}$ la portion de $S$, comprise entre $L'$ et $b_{1}$, et $S_{1}$Editorial note: Printed $S_{1}$ here and in the display below, the same letter as the portion of $S$; a distinct name such as $S'_{1}$ for the portion of $S'$ appears to be intended. la portion de $S'$, comprise entre $L$ et $L'$.

Je remplace $V$ par \[ V' = V - V_{1} + S_{1} + S_{1}. \] $V'$ a mêmes frontières que $V$, mais $V'(a^{2}_{i})$ ne présente plus de points nodaux, en dehors de $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$; car si une ligne analogue à $c$ venait aboutir à un point nodal, situé entre $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$, la portion de cette ligne $c$, voisine de ce point nodal, devrait se trouver sur $S_{1}$, ce qui est impossible, puisque $S$ ne coupe pas $a^{2}_{i}$.

En résumé : nous pouvons toujours supposer que les $V(a^{2}_{i})$ sont des lignes, dont les extrémités sont des sommets de $a^{2}_{i}$.

Soit alors $L$ une des lignes, dont se compose $V(a^{2}_{i})$, ayant pour extrémités deux sommets $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$ de $a^{2}_{i}$. On peut aller de $a^{0}_{j}$ à $a^{0}_{k}$, en suivant le périmètre de $a^{2}_{i}$; soit $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ l'ensemble des arêtes de $a^{2}_{i}$, comprises entre $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$. Comme la face $a^{2}_{i}$ est supposée simplement connexe, la ligne $L$ la divisera en deux parties. Soit $Q$ l'une de ces parties, comprise entre $L$ et $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$.

Soient $a^{3}_{p}$ et $a^{3}_{q}$ les deux cases séparées par $a^{2}_{i}$. Par les arêtes $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ je fais passer une surface $S$, peu différente de la face $a^{2}_{i}$ et située toute entière dans la case $a^{3}_{p}$; par les mêmes arêtes je fais passer une seconde

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surface $S'$, peu différente de $a^{2}_{i}$ et située dans la case $a^{3}_{q}$; ces deux surfaces $S$ et $S'$ couperont $V$, suivant deux lignes $L_{1}$ et $L'_{1}$, peu différentes de $L$, et ayant pour extrémités $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{k}$. Soit $S_{1}$ la portion de $S$ comprise entre $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ et $L_{1}$; soit $S_{1}$Editorial note: Printed $S_{1}$ here and in the display below, the same letter as the portion of $S$; $S'_{1}$, the portion of $S'$, appears to be intended. la portion de $S'$ comprise entre $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ et $L'_{1}$; soit $V_{1}$ la portion de $V$ comprise entre $L_{1}$ et $L'_{1}$; c'est sur $V_{1}$ que se trouvera $L$.

Soit maintenant \[ V' = V - V_{1} + S_{1} + S_{1}. \] $V'$ a mêmes frontières que $V$; $V'$ ne passe plus par $L$, mais en revanche passe par les arêtes $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$.

En opérant de la même manière pour toutes les lignes telles que $L$, on voit qu'on peut toujours supposer que tous les $V(a^{2}_{i})$ se réduisent à des combinaisons d'arêtes.

Comme les frontières de $V(a^{3}_{i})$ sont ou des $b_{1}$ ou des $V(a^{2}_{j})$, on voit que les frontières des $V(a^{3}_{i})$ sont des combinaisons d'arêtes de $P$, et, bien entendu, toutes ces arêtes doivent appartenir à $a^{3}_{i}$. Ainsi donc $V(a^{3}_{i})$ est une surface simplement ou multiplement connexe, limitée par une ou plusieurs lignes fermées, qui, elles-mêmes, sont des combinaisons d'arêtes de $a^{3}_{i}$.

Comme la case $a^{3}_{i}$ est simplement connexe, ces lignes fermées subdiviseront la surface de cette case en un certain nombre de régions, et comme ces lignes fermées sont des combinaisons d'arêtes de $a^{3}_{i}$, ces régions seront des combinaisons des faces de $a^{3}_{i}$.

On pourra toujours trouver une combinaison de ces régions, qui aura mêmes frontières que $V(a^{3}_{i})$. Supposons, par exemple, que la frontière de $V(a^{3}_{i})$ se compose de trois lignes fermées $L, L_{1}, L_{2}$; la ligne $L$ divisera la surface de $a^{3}_{i}$ en deux régions $R$ et $R'$; les lignes $L_{1}$ et $L_{2}$ diviseront de même cette surface en deux régions $R_{1}$ et $R'_{1}$, ou $R_{2}$ et $R'_{2}$. Je suppose qu'en parcourant $L$ dans un certain sens, on ait à sa gauche $V(a^{3}_{i})$, et $R$ et $R'$ à sa droite; je suppose de même qu'en parcourant $L_{1}$ et $L_{2}$ dans un sens convenable, on ait à sa gauche $V(a^{3}_{i})$ et $R_{1}$, ou $V(a^{3}_{i})$ et $R_{2}$.

Alors la variété $R + R_{1} + R_{2}$ aura même frontière que $V(a^{3}_{i})$; on pourra donc remplacer $V(a^{3}_{i})$ par $R + R_{1} + R_{2}$.

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En opérant de la même manière sur tous les $V(a^{3}_{i})$, on aura remplacé $V$ par une autre variété, qui aura même frontière $\displaystyle\sum b_{1}$, et qui sera une combinaison de faces de $P$.

Le théorème est donc démontré en ce qui concerne les polyèdres de l'espace à 4 dimensions et les homologies entre les arêtes.

On le démontrerait de même pour un polyèdre quelconque.

§ VII. Polyèdre réciproque.

Soit $P$ un polyèdre dans l'espace à 4 dimensions; ce polyèdre sera subdivisé en un certain nombre de variétés $v_{3}$, que j'appellerai ses cases, et que je désignerai par $a^{3}_{i}$. Ces cases seront separées les unes des autres par des variétés $v_{2}$ ou $a^{2}_{i}$, que j'appellerai les faces; ces faces auront pour frontières des variétés $v_{1}$, ou $a^{1}_{i}$, que j'appellerai les arêtes, et les extrémités des arêtes seront des points $v_{0}$ ou $a^{0}_{i}$, que j'appellerai les sommets.

Je supposerai, bien entendu, que les cases et les faces sont simplement connexes.

Marquons, à l'intérieur de chaque case $a^{3}_{i}$, un point $P(a^{3}_{i})$; à l'intérieur de chaque face $a^{2}_{i}$, un point $P(a^{2}_{i})$; sur chaque arête $a^{1}_{i}$, un point $P(a^{1}_{i})$; chaque arête se trouvera ainsi partagée en deux parties par le point $P(a^{1}_{i})$.

Joignons par des lignes le point $P(a^{2}_{i})$ à chacun des sommets de la face $a^{2}_{i}$ et à chacun des points $P(a^{1}_{j})$, correspondant aux diverses arêtes $a^{1}_{j}$ de la face $a^{2}_{i}$. Toutes ces lignes devront être tracées sur la face $a^{2}_{i}$. Cette face sera ainsi partagée en triangles, et le nombre de ces triangles sera double du nombre des arêtes de $a^{2}_{i}$. Nous ferons de même pour toutes les autres faces.

Considérons maintenant une case $a^{3}_{i}$; décomposons en triangles $T$ toutes les faces $a^{2}_{j}$ de cette case, ainsi que nous venons de le dire. Construisons des triangles curvilignes, ayant pour sommet commun le point $P(a^{3}_{i})$ et pour bases les différents côtés des différents triangles $T$. La case $a^{3}_{i}$ sera ainsi décomposée en tétraèdres, ayant $P(a^{3}_{i})$ pour sommet commun et pour bases les différents triangles $T$.

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Nous distinguerons six sortes de lignes (qui seront les arêtes de nos tétraèdres) :

celles de la 1^ère sorte joindront un sommet $a^{0}_{i}$ à un point $P(a^{1}_{j})$; chaque arête sera ainsi formée de deux lignes de la 1^ère sorte;

celles de la 2^de sorte joindront un point $P(a^{3}_{i})$ à un point $P(a^{2}_{j})$;

» » 3^e » » » $P(a^{2}_{i})$ » sommet $a^{0}_{j}$;

» » 4^e » » » $P(a^{1}_{i})$ » point $P(a^{2}_{j})$;

» » 5^e » » » $P(a^{3}_{i})$ » » $P(a^{1}_{j})$;

» » 6^e » » » » » sommet $a^{0}_{j}$.

Les lignes de la 2^de sorte peuvent s'accoupler deux à deux de deux manières :

1° Ce que j'appellerai la ligne $b^{1}_{i}$ sera formée de deux lignes de la 2^de sorte, joignant un même point $P(a^{2}_{i})$ à deux points $P(a^{3}_{j})$ et $P(a^{3}_{k})$, correspondant aux deux cases $a^{3}_{j}$ et $a^{3}_{k}$ séparées par la face $a^{2}_{i}$. Il y aura donc autant de lignes $b^{1}_{i}$ que de faces $a^{2}_{i}$.

2° Ce que j'appellerai une ligne $c$ sera formée de deux lignes de la 2^de sorte, joignant un même point $P(a^{3}_{i})$ à deux points $P(a^{2}_{j})$ et $P(a^{2}_{k})$, correspondant à deux faces $a^{2}_{j}$ et $a^{2}_{k}$ de la case $a^{3}_{i}$.

Il nous faut définir des surfaces que j'appellerai les surfaces $b^{2}_{i}$.

Soit une arête quelconque $a^{1}_{i}$ et le point $P(a^{1}_{i})$. Supposons que les faces qui passent par $a^{1}_{i}$, soient successivement : \[ a^{2}_{1}, \qquad a^{2}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{2}_{q}, \] et que les cases, auxquelles appartient $a^{1}_{i}$, soient successivement : \[ a^{3}_{1}, \qquad a^{3}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{3}_{q}, \] de telle façon que $a^{2}_{1}$ sépare $a^{3}_{1}$ de $a^{3}_{2}$, $a^{2}_{2}$ sépare $a^{3}_{2}$ de $a^{3}_{3}$, …, et, qu'enfin, $a^{2}_{q}$ sépare $a^{3}_{q}$ de $a^{3}_{1}$. Convenons, pour plus de symétrie, de désigner indifféremment la case $a^{3}_{1}$ par $a^{3}_{1}$ ou $a^{3}_{q+1}$.

Décomposons chaque case en tétraèdres, et envisageons en particulier les tétraèdres qui admettent pour sommet le point $P(a^{1}_{i})$. Considérons les $2q$ triangles curvilignes : \[ P(a^{1}_{i}) P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k}), \qquad P(a^{1}_{i}) P(a^{3}_{k+1}) P(a^{2}_{k}). \qquad (k = 1, 2, \ldots, q) \]

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L'ensemble de ces $2q$ triangles formera un certain polygone que j'appellerai $b^{2}_{i}$, et qui aura pour frontière l'ensemble des lignes \[ b^{1}_{1}, \qquad b^{1}_{2}, \qquad \ldots, \qquad b^{1}_{q}. \]

Définissons maintenant les volumes $b^{3}_{i}$; le volume $b^{3}_{i}$ sera l'ensemble des tétraèdres qui admettent pour sommet le point $a^{0}_{i}$; ce volume sera un polyèdre à 3 dimensions, simplement connexe, qui aura pour frontière l'ensemble des surfaces $b^{2}_{k}$, correspondant aux arêtes $a^{1}_{k}$, qui aboutissent au point $a^{0}_{i}$.

La juxtaposition des volumes $b^{3}_{i}$ constituera un nouveau polyèdre $P'$, que j'appellerai le polyèdre réciproque de $P$, et qui aura pour cases leEditorial note: Printed “le” for “les”; an apparent misprint. $b^{3}_{i}$, pour faces les $b^{2}_{i}$, pour arêtes les $b^{1}_{i}$, pour sommets les points $b^{0}_{i} = P(a^{3}_{i})$.

A chaque case $b^{3}_{i}$ de $P'$ correspondra un sommet $a^{0}_{i}$ de $P$,

» » face $b^{2}_{i}$ » » » une arête $a^{1}_{i}$ » »

» » arête $b^{1}_{i}$ » » » » face $a^{2}_{i}$ » »

» » sommet $b^{0}_{i}$ » » » » case $a^{3}_{i}$ » ».

De plus, au sens du § II, il y aura la même relation, par exemple, entre l'arête $b^{1}_{i}$ et la face $b^{2}_{j}$, qu'entre la face $a^{2}_{i}$ et l'arête $a^{1}_{j}$.

Si donc les congruences caractéristiques du polyèdre $P$ s'écrivent : \[ a^{3}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{3}_{i,j} a^{2}_{i}, \qquad a^{2}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{i}, \qquad a^{1}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{1}_{i,j} a^{0}_{j}, \] Editorial note: The first two sums are printed with $a^{2}_{i}$ and $a^{1}_{i}$ under the sum over $j$; $a^{2}_{j}$ and $a^{1}_{j}$, as in the third, appear to be intended. celles du polyèdre $P'$ s'écriront : \[ b^{3}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{1}_{i,j} b^{2}_{j}, \qquad b^{2}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{2}_{i,j} b^{1}_{j}, \qquad b^{1}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{3}_{i,j} b^{0}_{j}. \]

Considérons maintenant une ligne $c$, formée de deux lignes de la seconde sorte, joignant un même point $P(a^{3}_{i})$ à deux points $P(a^{2}_{j})$ et $P(a^{2}_{k})$.

Soient $a^{0}_{m}$ et $a^{0}_{p}$ deux sommets, appartenant respectivement tous deux à la case $a^{3}_{i}$. Soient $d$ et $d'$ les deux lignes de la 3^ème sorte qui joignent respectivement $P(a^{2}_{j})$ à $a^{0}_{m}$, et $P(a^{2}_{k})$ à $a^{0}_{p}$.

Comme $a^{0}_{m}$ et $a^{0}_{p}$ appartiennent à une même case $a^{3}_{i}$, on pourra aller de l'un de ces sommets à l'autre, en suivant une ligne brisée formée d'arêtes $a^{1}_{q}$ appartenant à $a^{3}_{i}$.

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Soit $\displaystyle\sum a^{1}_{q}$ cette ligne brisée, dont les extrémités sont $a^{0}_{m}$ et $a^{0}_{p}$; l'ensemble des lignes $c - d - \displaystyle\sum a^{1}_{q} + d'$ sera une ligne fermée, ce que j'exprimerai par la congruence : \[ c \equiv d + \sum a^{1}_{q} - d'. \]

Comme $a^{3}_{i}$ est simplement connexe, cette ligne fermée sera la frontière d'une variété à 2 dimensions, intérieure à $a^{3}_{i}$, ce que j'exprimerai par l'homologie : \[ c \backsim d + \sum a^{1}_{q} - d'. \]

Réciproquement : soit $\displaystyle\sum a^{1}_{q}$ une ligne brisée, formée d'arêtes appartenant toutes à $a^{3}_{i}$, et dont les extrémités sont les sommets $a^{0}_{m}$ et $a^{0}_{p}$; ces deux sommets appartiendront respectivement à deux faces $a^{2}_{j}$ et $a^{2}_{k}$, faisant toutes deux partie de $a^{3}_{i}$. Soient les trois lignes : \[ c = P(a^{2}_{j}) P(a^{3}_{i}) + P(a^{3}_{i}) P(a^{2}_{k}), \qquad d = P(a^{2}_{j}) a^{0}_{m}, \qquad d' = P(a^{2}_{k}) a^{0}_{p}. \]

On aura encore \[ c \backsim d + \sum a^{1}_{q} - d'. \]

Soit maintenant $a^{0}_{i}$ un sommet appartenant à deux faces $a^{2}_{j}$ et $a^{2}_{k}$. Soient les deux lignes de la 3^ème sorte : \[ d_{j} = P(a^{2}_{j}) a^{0}_{i}, \qquad d_{k} = P(a^{2}_{k}) a^{0}_{i}. \]

Nous pouvons tracer une ligne $L$, s'écartant infiniment peu du sommet $a^{0}_{i}$, et allant d'un point de $a^{2}_{j}$ à un point de $a^{2}_{k}$.

Supposons, pour fixer les idées, que cette ligne traverse trois cases et qu'elle rencontre successivement la face $a^{2}_{j}$, la case $a^{3}_{j}$, la face $a^{2}_{m}$, la case $a^{3}_{m}$, la face $a^{2}_{p}$, la case $a^{3}_{p}$, et enfin la face $a^{2}_{k}$.

Construisons les trois lignes $c$ : \[ \begin{aligned} c_{j} &= P(a^{2}_{j}) P(a^{3}_{j}) + P(a^{3}_{j}) P(a^{2}_{m}), \\ c_{m} &= P(a^{2}_{m}) P(a^{3}_{m}) + P(a^{3}_{m}) P(a^{2}_{p}), \\ c_{p} &= P(a^{2}_{p}) P(a^{3}_{p}) + P(a^{3}_{p}) P(a^{2}_{k}), \end{aligned} \]

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et les deux lignes de la 3^ème sorte : \[ d_{m} = P(a^{2}_{m}) a^{0}_{i}, \qquad d_{p} = P(a^{2}_{p}) a^{0}_{i}. \]

On aura : \[ c_{j} \equiv d_{j} - d_{m}, \qquad c_{m} \equiv d_{m} - d_{p}, \qquad c_{p} \equiv d_{p} - d_{k}; \] et comme les trois cases $a^{3}_{j}, a^{3}_{m}, a^{3}_{p}$ sont simplement connexes : \[ c_{j} \backsim d_{j} - d_{m}, \qquad c_{m} \backsim d_{m} - d_{p}, \qquad c_{p} \backsim d_{p} - d_{k}, \] et enfin : \[ c_{j} + c_{m} + c_{p} \backsim d_{j} - d_{k}. \]

On peut donc toujours trouver une ligne brisée, formée de lignes $c$ et homologue à $d_{j} - d_{k}$, $d_{j}$ et $d_{k}$ étant des lignes de la 3^ème sorte, aboutissant à un même sommet.

Cela posé, soit \[ \sum b^{1}_{i} \equiv 0 \tag{1} \] une congruence entre les arêtes $b^{1}_{i}$ du polyèdre $P'$.

La ligne brisée $\displaystyle\sum b^{1}_{i}$ est évidemment formée d'un nombre pair de lignes de la 2^ème sorte, et en parcourant cette ligne brisée, on rencontrera successivement $q$ faces \[ a^{2}_{1}, \qquad a^{2}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{2}_{q}, \] pour revenir à la face $a^{2}_{1}$, que je désignerai également par $a^{2}_{q+1}$; et on rencontrera $q$ cases \[ a^{3}_{1}, \qquad a^{3}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{3}_{p}, \] Editorial note: Printed $a^{3}_{p}$ as the last term; $a^{3}_{q}$ is intended, as the text speaks of $q$ cases and continues with $a^{3}_{q+1}$. pour revenir à la case $a^{3}_{1}$, que je désignerai également par $a^{3}_{q+1}$, de sorte que la face $a^{2}_{k}$ séparera la case $a^{3}_{k}$ de la case $a^{3}_{k+1}$.

Notre congruence s'écrit alors : \[ \sum [P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k}) + P(a^{2}_{k}) P(a^{3}_{k+1})] \equiv 0, \]

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ou, ce qui revient au même, \[ \sum [P(a^{2}_{k-1}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k})] = 0. \]

Soit alors $a^{0}_{k}$ un sommet de la face $a^{2}_{k}$, appartenant, par conséquent, à la fois aux cases $a^{3}_{k}$ et $a^{3}_{k+1}$.

Soit $d_{k}$ la ligne de la 3^ème sorte $P(a^{2}_{k}) a^{0}_{k}$; nous venons de voir qu'il existe une ligne brisée $A_{k}$, formée d'arêtes appartenant à la case $a^{3}_{k}$, et telle que l'on ait l'homologie : \[ P(a^{2}_{k-1}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k}) \backsim d_{k-1} + A_{k} - d_{k}. \]

En additionnant toutes ces homologies, le premier membre se réduit à : \[ \sum [P(a^{2}_{k-1}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k})] = \sum b^{1}_{i}; \] les lignes de la 3^ème sorte $d_{k}$ disparaissent, et il reste : \[ \sum b^{1}_{i} \backsim \sum A_{k}, \] et par conséquent \[ \sum b^{1}_{i} \equiv \sum A_{k} \equiv 0. \]

Donc, à toute congruence $\displaystyle\sum b^{1}_{i} \equiv 0$ entre les arêtes de $P'$, correspond une congruence $\displaystyle\sum A_{k} \equiv 0$ entre les arêtes de $P$, et telle que l'on ait : \[ \sum b^{1}_{i} \backsim \sum A_{k}. \] Si donc on a $\displaystyle\sum b'_{i} \backsim 0$Editorial note: Printed with a prime-like mark in place of the superscript 1, as $b'_{i}$; the context requires $b^{1}_{i}$., on aura $\displaystyle\sum A_{k} \backsim 0$, et réciproquement.

Soit maintenant \[ \sum A_{k} \equiv 0 \tag{2} \] une congruence entre les arêtes de $P$; supposons que $A_{k}$ soit une ligne brisée formée d'arêtes appartenant à la case $a^{3}_{k}$.

Le premier membre de la congruence (2) se composera de $q$

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semblables lignes brisées : \[ A_{1}, \qquad A_{2}, \qquad \ldots, \qquad A_{q}, \] et je désignerai indifféremment $A_{1}$ par $A_{1}$ ou $A_{q+1}$, et $A_{q}$ par $A_{0}$ ou $A_{q}$.

Soient $a^{0}_{k-1}$ et $a^{0}_{k}$ les deux extrémités de la ligne $A_{k}$; le sommet $a^{0}_{k}$ appartiendra à la fois aux cases $a^{3}_{k}$ et $a^{3}_{k+1}$; soit $a'^{2}_{k}$ la face de $a^{3}_{k}$, et $a^{2}_{k+1}$ la face de $a^{3}_{k+1}$, auxquelles appartient $a^{0}_{k}$.

Soient les lignes de la 3^ème sorte \[ d'_{k} = P(a'^{2}_{k}) a^{0}_{k}, \qquad d_{k+1} = P(a^{2}_{k+1}) a^{0}_{k}, \] et d'autre parteEditorial note: Printed “parte” for “part”; an apparent misprint. : \[ c_{k} = P(a^{2}_{k}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a'^{2}_{k}). \]

Nous avons vu que \[ A_{k} \backsim - d_{k} + c_{k} + d'_{k}. \]

D'autre part, les lignes $d_{k+1}$ et $d'_{k}$ aboutissent à un même sommet $a^{0}_{k}$; nous avons vu également que l'on peut trouver une combinaison $C_{k}$ de lignes $c$, telle que l'on ait \[ C_{k} \backsim d'_{k} - d_{k-1}. \] Editorial note: Printed $d_{k-1}$; the preceding sentence names $d_{k+1}$ and $d'_{k}$ as the lines ending at $a^{0}_{k}$, so $d_{k+1}$ may be intended.

En additionnant toutes ces homologies, je trouve : \[ \sum A_{k} \backsim \sum c_{k} + \sum C_{k}, \] et par conséquent : \[ \sum c_{k} + \sum C_{k} \equiv 0. \]

Le premier membre de cette dernière congruence est une combinaison de lignes $c$, ou, ce qui revient au même, une combinaison d'arêtes $b^{1}_{i}$ du polyèdre $P'$, de sorte que je puis poser : \[ \sum c_{k} + \sum C_{k} = \sum b^{1}_{i}, \]

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d'où \[ \sum A_{k} \backsim \sum b^{1}_{i}. \]

En résumé : à toute congruence entre les arêtes de $P$, correspond une congruence entre celles de $P'$, et réciproquement, et la condition nécessaire et suffisante pour que le premier membre de l'une des congruences soit homologue à zéro, c'est que l'autre le soit.

En d'autres termes, le nombre des congruences distinctes entre les arêtes est le même pour $P$ et $P'$, en ne considérant pas des congruences comme distinctes, quand une combinaison linéaire des premiers membres de ces congruences est homologue à zéro.

En d'autres termes encore, le nombre de Betti réduit, relatif aux arêtes de $P$, est égal au nombre de Betti réduit, relatif aux arêtes de $P'$.

On pourrait arriver au même résultat, en remarquant que l'on peut construire un polyèdre qui serait, à la fois, dérivé du polyèdre $P$ et dérivé du polyèdre réciproque $P'$, et en appliquant le théorème du § 5.

Nous verrons plus loin, au § 10, que cette proposition peut être présentée sous une autre forme.

D'autre part, cela peut permettre, plus simplement qu'au § 5, de démontrer que les nombres de Betti réduits sont égaux aux nombres de Betti proprement dits.

En effet la définition du polyèdre $P'$ comporte un certain arbitraire : ses sommets $b^{0}_{i}$ ne sont assujettis qu'à être intérieurs aux cases $a^{3}_{i}$ de $P$. Dans ces conditions, on peut évidemment choisir toujours le polyèdre $P'$ de façon qu'une ligne fermée quelconque soit une combinaison des $b^{1}_{i}$.

§ VIII. Démonstration du théorème fondamental.

Soit $N_{1}$ le nombre des arêtes de notre polyèdre $P$, $N_{2}$ le nombre des faces, $N_{3}$ celui des cases. Formons un tableau d'après les règles suivantes.

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Le tableau aura $N_{2} + N_{3}$ colonnes, $N_{2}$ dites de la 1^ère sorte et $N_{3}$ dites de la 2^de; il aura $N_{2} + N_{1}$ lignes, $N_{2}$ de la 1^ère et $N_{1}$ de la 2^de sorte. Voici quels seront les éléments du tableau :

1° Pour l'élément de la $i^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte et la $j^{\text{ème}}$ colonne de la 1^ère sorte, j'écrirai 1, si $i = j$, et 0, si $i \neq j$.

2° Les éléments appartenant à une ligne de la 2^de sorte et à une colonne de la 2^de sorte, seront tous nuls.

3° L'élément de la $i^{\text{ème}}$ colonne de la 1^ère sorte et de la $j^{\text{ème}}$ ligne de la 2^de sorte, sera $\varepsilon^{2}_{i,j}$, $\varepsilon^{2}_{i,j}$ étant le nombre qui nous fait connaître la relation entre la face $a^{2}_{i}$ et l'arête $a^{1}_{j}$.

4° L'élément de la $i^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte et de la $j^{\text{ème}}$ colonne de la 2^de sorte, sera $\varepsilon^{3}_{i,j}$, c'est-à-dire le nombre qui fait connaître la relation entre la case $a^{3}_{j}$ et la face $a^{2}_{i}$.

Notre tableau, s'il y a par exemple deux cases, quatre faces et trois arêtes, présentera un aspect tel que celui-ci : \[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] 0 & 1 & 0 & 0 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] 0 & 0 & 1 & 0 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] 0 & 0 & 0 & 1 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & 0 & 0 \\[1ex] \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & 0 & 0 \\[1ex] \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & 0 & 0 \end{matrix} \tag{1} \]

Je n'ai pas écrit les indices des nombres $\varepsilon$ pour simplifier.

Voici maintenant les opérations que je regarde comme permises sur ce tableau.

1° Ajouter une colonne à une autre de même sorte, ou l'en retrancher.

2° Ajouter une ligne à une autre de même sorte, ou l'en retrancher.

3° Permuter deux colonnes de même sorte, en changeant tous les signes de l'une d'elles.

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4° Permuter deux lignes de même sorte, en changeant tous les signes de l'une d'elles.

Toutes ces transformations, pour lesquelles les éléments du tableau restent entiers, s'appelleront les transformations arithmétiques du tableau.

On peut s'en servir pour simplifier la partie du tableau qui appartient aux colonnes de la 1^ère sorte et aux lignes de la 2^de sorte, et celle qui appartient aux colonnes de la 2^ème sorte et aux lignes de la 1^ère sorte.

Voici jusqu'où l'on peut pousser la simplification, d'après des théorèmes bien connus d'arithmétique; quand la réduction sera terminée :

L'élément de la $i^{\text{ème}}$ colonne de la 1^ère sorte et de la $j^{\text{ème}}$ ligne de la 2^de sorte :

1° Sera nul, si $i > j$.

2° Sera égal à un entier $H_{i}$, qui pourra être nul, si $i = j$.

3° Sera encore nul, si $i < j$ et si $H_{i}$ est premier avec $H_{j}$.

4° Enfin sera nul, si $j > N_{2}$.

Il en sera de même de l'élément de la $i^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte et de la $j^{\text{ème}}$ colonne de la 2^de sorte.

La réduction peut être poussée encore plus loin, si l'on autorise une cinquième opération : multiplier tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par un même nombre entier ou non, différent de zéro.

Les transformations correspondantes s'appelleront les transformations algébriques du tableau.

On peut alors supposer que l'élément de la $i^{\text{ème}}$ colonne de la 1^ère sorte et de la $j^{\text{ème}}$ ligne de la 2^de sorte (de même que l'élément de la $i^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte et de la $j^{\text{ème}}$ colonne de la 2^de sorte) est nul, si $i \neq j$. Si $i = j$, il peut être égal à 0 ou à 1. S'il en est ainsi, je dirai que le tableau est réduit.

Après la cinquième opération, les éléments qui appartiennent aux lignes et aux colonnes de la 1^ère sorte pourront ne pas rester entiers; de plus, le déterminant formé par ces lignes et ces colonnes pourra ne pas rester égal à 1, mais il restera différent de zéro.

Le tableau (1) est relatif aux faces du polyèdre $P$ et à leurs relations avec les cases et les arêtes. Nous pourrions en dresser un, tout pareil, relatif aux arêtes du polyèdre $P$ et à leurs relations avec les faces et les sommets.

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Nous pourrions également envisager le polyèdre $P'$, défini plus haut, et construire deux tableaux relatifs l'un aux faces de $P'$, l'autre à ses arêtes.

Comparons le tableau (1), relatif aux faces de $P$, avec le tableau (1 bis) relatif aux arêtes de $P'$.

Il résulte de ce qui précède, que ces deux tableaux peuvent se déduire l'un de l'autre en remplaçant les lignes par les colonnes et inversement.

Cela posé, envisageons le tableau (1), relatif aux faces de $P$, et examinons comment on peut déduire de ce tableau le nombre de Betti $P_{2}$ du polyèdre $P$.

Comment, d'abord, pourra-t-on en déduire les congruences entre les faces et les arêtes?

Considérons une colonne quelconque de la 1^ère sorte; par exemple la $i^{\text{ème}}$ colonne. Multiplions les éléments de cette colonne et de la $k^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte par $a^{2}_{k}$ et ajoutons; puis égalons à la somme obtenue, en multipliant les élements de cette même colonne et de la $j^{\text{ème}}$ ligne de la 2^de sorte par $a^{1}_{j}$; nous obtiendrons la congruence \[ a^{2}_{i} \equiv \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j}, \] ce qui est bien une des congruences (3) du § II. Toutes les autres congruences n'en sont que des combinaisons.

Comment pourra-t-on maintenant trouver les homologies entre les faces?

Pour cela, envisageons par exemple la $i^{\text{ème}}$ colonne de la 2^de sorte; multiplions les éléments de la $k^{\text{ème}}$ ligne et de cette colonne par $a^{2}_{k}$, ajoutons et égalons à zéro; nous trouverons : \[ \sum \varepsilon^{3}_{i,k} a^{2}_{k} \backsim 0, \] ce qui est bien une des homologies (5) du § II, dont toutes les autres ne sont que des combinaisons.

Qu'adviendra-t-il, maintenant, si l'on applique à notre tableau (1) une transformation algébrique quelconque?

Avant la transformation, chaque colonne de la 1^ère sorte correspond

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à une face, chaque colonne de la 2^de sorte à une case, chaque ligne de la 1^ère sorte à une face, chaque ligne de la 2^de sorte à une arête.

On obtient, comme nous l'avons vu, autant de congruences et d'homologies que de colonnes, en multipliant les éléments de chaque ligne de la 1^ère sorte par la face correspondante, ceux de chaque ligne de la 2^de sorte par l'arête correspondante, et ajoutant.

Supposons maintenant qu'on fasse la deuxième opération, c'est-à-dire qu'on transforme en ajoutant la ligne de la 1^ère sorte, qui correspond à $a^{2}_{i}$, à celle de la 1^ère sorte, qui correspond à $a^{2}_{k}$. Nous convenons de dire qu'à la nouvelle $k^{\text{ème}}$ ligne (celle à laquelle on a ajouté la $i^{\text{ème}}$ ligne) correspond toujours la variété $a^{2}_{k}$; mais qu'à la nouvelle $i^{\text{ème}}$ ligne (qui d'ailleurs n'a pas changé) correspond la variété $a^{2}_{i} - a^{2}_{k}$.

Si l'on fait la cinquième opération sur la $k^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte, en en multipliant les éléments par une constante $m$, nous conviendrons de dire qu'à la nouvelle $k^{\text{ème}}$ ligne correspond la variété $\dfrac{1}{m} a^{2}_{k}$ (notation qui n'a qu'une valeur symbolique, à moins que $\dfrac{1}{m}$ ne soit entier).

Quant à la quatrième opération, ce n'est qu'une combinaison de plusieurs opérations analogues à la deuxième.

Nous avons ainsi défini la variété qui correspond à chacune des lignes de la 1^ère sorte du tableau, après qu'on a appliqué à ces lignes une combinaison quelconque des 2^ème, 4^ème et 5^ème opérations.

Nous définirions de même les variétés qui correspondent aux différentes lignes de la 2^de sorte, après qu'on aurait appliqué à ces lignes une combinaison des 2^ème, 4^ème et 5^ème opérations.

Grâce à ces conventions, il suffira encore, pour obtenir les congruences et les homologies, d'ajouter et d'égaler à zéro, après avoir multiplié les éléments de chaque ligne par la variété correspondante, et avoir changé le signe des produits ainsi obtenus, en ce qui concerne les lignes de la 2^de sorte.

Maintenant, si l'on applique aux colonnes du tableau les 1^ème, 3^ème et 5^ème opérations, on ne fera que combiner les congruences entre elles, et les homologies entre elles; ou multiplier une congruence et une homologie par un facteur constant.

D'où le résultat suivant :

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Pour déduire les congruences du tableau transformé, voici ce qu'il faut faire : multiplier chaque ligne de la 1^ère sorte pour la variété qui lui correspond en vertu de la convention que nous venons de faire, et ajouter; faire de même pour les lignes de la 2^de sorte; égaler les deux résultats ainsi obtenus; on aura ainsi autant de congruences que de colonnes de la 1^ère sorte; toutes les autres congruences possibles ne seront que des combinaisons.

Pour déduire de même les homologies, il faut : multiplier chaque ligne de la 1^ère sorte pour la variété correspondante, ajouter et égaler à zéro; on aura ainsi autant d'homologies que de colonnes de la 2^de sorte; toutes les autres homologies possibles n'en seront que des combinaisons.

Il importe de remarquer que les congruences et homologies ainsi obtenues, pourront n'avoir qu'une valeur symbolique, parce que les coefficients pourront être fractionnaires.

Et, en effet, d'une part les éléments du tableau transformé peuvent ne plus être entiers; d'autre part, la variété qui correspond à une ligne peut, comme je l'ai dit plus haut, n'avoir elle-même qu'une valeur symbolique.

Mais comme les coefficients, entiers ou non, sont toujours commensurables, il suffira de multiplier notre congruence ou notre homologie par un entier convenable, pour en déduire une congruence ou une homologie à coefficients entiers, qui aura un sens pour elle-même.

Supposons, maintenant, qu'on ait réduit le tableau, comme je l'ai dit plus haut.

Combien y aura-t-il d'homologies distinctes?

Parmi nos $N_{3}$ colonnes de la 2^de sorte, il y en aura $N_{3} - N'_{2}$ dont tous les éléments seront nuls, et $N_{2}$Editorial note: Printed $N_{2}$; the context requires $N'_{2}$, an apparent misprint. dont un élément sera égal à 1 et tous les autres nuls. Les $N_{3} - N'_{2}$ premières ne nous donneront aucune homologie; chacune des $N'_{2}$ autres nous en donnera une et ces $N'_{2}$ homologies seront évidemment toutes distinctes.

Il y a donc $N'_{2}$ homologies distinctes.

Combien y a-t-il de congruences distinctes entre les faces et les arêtes?

Il y en a évidemment $N_{2}$, correspondant aux $N_{2}$ colonnes de la

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1^ère sorte, et ces congruences sont distinctes, parce que le déterminant formé avec les lignes et les colonnes de la 1^ère sorte, n'est pas nul.

Considérons maintenant dans notre tableau réduit les $N_{1}$ lignes de la 2^de sorte; parmi elles il y en aura $N_{1} - N''_{2}$ dont tous les éléments sont nuls, et $N''_{2}$, dont un élément est égal à 1 et tous les autres nuls. Parmi nos $N_{2}$ congruences il y en aura donc $N''_{2}$ qui contiendront une arête, et $N_{2} - N'_{2}$Editorial note: Printed $N'_{2}$ with a single accent; the congruences containing no edge number $N_{2} - N''_{2}$, as the next sentence states, so a misprint or a lost second accent. qui ne contiendront aucune arête. Il y a donc $N_{2} - N''_{2}$ congruences entre les faces seulement, et ces congruences sont toutes distinctes.

Il y aura donc entre les faces seulement $N_{2} - N'_{2} - N''_{2}$ congruences, qui resteront distinctes, si l'on ne regarde plus comme distinctes celles que l'on peut déduire les unes des autres par le moyen des homologies.

Le nombre de Betti relatif aux faces de $P$ est donc : \[ N_{2} - N'_{2} - N''_{2} + 1. \]

Cherchons maintenant le nombre de Betti relatif aux arêtes de $P$.

On le trouvera évidemment en opérant comme nous venons de faire sur le tableau (1 bis), relatif aux arêtes de $P'$.

Mais on passe d'un tableau à l'autre, en remplaçant les lignes par les colonnes, et réciproquement. Les nombres qui joueront, par rapport à (1 bis), le même rôle que \[ N_{2}, \qquad N'_{2}, \qquad N''_{2} \] jouent par rapport à (1), seront donc respectivement : \[ N_{2}, \qquad N''_{2}, \qquad N'_{2}. \]

Donc le nombre de Betti relatif aux arêtes de $P'$ est encore : \[ N_{2} - N'_{2} - N''_{2} + 1. \]

Ainsi les nombres de Betti relatifs, l'un aux faces de $P$, l'autre aux arêtes de $P'$, sont égaux.

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Or nous avons vu plus haut que les nombres de Betti relatifs aux arêtes de $P$ et à celles de $P'$ sont égaux, de même que les nombres de Betti relatifs aux faces de $P$ et à celles de $P'$.

Donc le nombre de Betti relatif aux faces de $P$ est égal au nombre de Betti relatif aux arêtes de $P$.

Notre théorème fondamental est donc démontré en ce qui concerne le polyèdre $P$, c'est-à-dire, en ce qui concerne les polyèdres de l'espace à quatre dimensions.

La démonstration pourrait, sans aucun doute, s'étendre à un polyèdre quelconque.

§ IX. Remarques diverses.

Le théorème fondamental est ainsi établi par une démonstration, qui diffère essentiellement de celle de la page 43 de l'Analysis situs.

Mais cela ne saurait pas nous suffire. Il faut nous efforcer de retrouver les propositions intermédiaires, et, en particulier, celle-ci :

La condition nécessaire et suffisante pour que l'on puisse trouver une variété $V$ telle que $\displaystyle\sum N(V, V_{i}) \neq 0$, c'est que l'on n'ait pas l'homologie $\displaystyle\sum V_{i} \backsim 0$.

Considérons deux variétés, la première $V_{1}$, à une dimension, composée d'arêtes de $P'$, la seconde $V_{2}$, à deux dimensions, composée de faces de $P$, de telle sorte qu'on aura : \[ V_{1} = \sum \alpha_{i} b^{1}_{i}, \qquad V_{2} = \sum \alpha'_{i} a^{2}_{i}, \] l'arête $b^{1}_{i}$ étant celle qui correspond à la face $a^{2}_{i}$, d'après les conventions du § 7.

L'arête $b^{1}_{i}$ coupe la face $a^{2}_{i}$, et n'en coupe aucune autre, de telle sorte que si nous reprenons la notation de l'Analysis situs, pag. 38, nous aurons : \[ N(V_{1}, V_{2}) = \sum \alpha_{i} \alpha'_{i}. \]

Nous supposerons dans ce qui va suivre, que les variétés $V_{1}$ et

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$V_{2}$ sont fermées, ce qui s'exprime par les congruences : \[ \sum \alpha_{i} b^{1}_{i} \equiv 0, \qquad \sum \alpha'_{i} a^{2}_{i} \equiv 0. \tag{1} \]

Vérifions d'abord que l'on aura \[ \sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0, \] pourvu que l'on ait l'une des deux homologies${}^{(*)}$ : \[ \sum \alpha_{i} b^{1}_{i} \backsim 0, \qquad \sum \alpha'_{i} a^{2}_{i} \backsim 0. \tag{2} \]

Si en effet nous avons, par exemple, la seconde homologie (2), c'est qu'on aura : \[ \alpha'_{i} = \sum_{j=1}^{j=N_{3}} \zeta_{j} \varepsilon^{3}_{i,j}, \]Editorial note: Printed $\varepsilon^{3}_{i,j}$; the argument that follows and (4) use $\varepsilon^{3}_{j,i}$, an apparent misprint. $\zeta_{j}$ étant un coefficient ne dépendant que de $j$.

D'un autre côté, la première des congruences (1) peut se déduire de l'une des suivantes : \[ b^{1}_{i} \equiv \sum b^{0}_{j} \varepsilon^{3}_{j,i}, \tag{3} \] d'où \[ \sum \alpha_{i} b^{1}_{i} \equiv \sum \sum \alpha_{i} b^{0}_{j} \varepsilon^{3}_{j,i}. \]

En égalant à zéro le coefficient de $b^{0}_{j}$, il vient successivement : \[ \sum \alpha_{i} \varepsilon^{3}_{j,i} = 0, \qquad \sum \sum \alpha_{i} \zeta_{j} \varepsilon^{3}_{j,i} = 0, \qquad \sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0, \qquad \text{C.~Q.~F.~D.} \]

On raisonnerait de même si on avait la première homologie (2).

Je dis maintenant que si la seconde homologie (2) n'a pas lieu, on peut choisir les $\alpha_{i}$ de telle façon que $V_{1}$ reste fermée et cependant que.Editorial note: Printed “que.” with a stray point. $\displaystyle\sum \alpha_{i} \alpha'_{i}$ ne soit pas nul.

(*) Cfr. Analysis situs, pag. 42.

En effet, dire que la seconde homologie (2) n'a pas lieu, c'est

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dire qu'on ne peut pas trouver des nombres $\zeta_{j}$ tels que l'on ait : \[ \alpha'_{i} = \sum \zeta_{j} \varepsilon^{3}_{j,i}. \tag{4} \]

Dire que $V_{1}$ reste fermée, c'est dire que les $\alpha_{i}$ sont assujettis aux conditions : \[ \sum \alpha_{i} \varepsilon^{3}_{j,i} = 0. \tag{5} \]

Or il est clair que si les $\alpha'_{i}$ ne satisfont pas à des égalités de la forme (4), l'équation linéaire $\displaystyle\sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0$ sera distincte des équations (5); on pourra donc toujours trouver des nombres $\alpha_{i}$, qui satisfassent aux équations (5) sans satisfaire à $\displaystyle\sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0$.

Remarquons d'ailleurs que nous n'avons pas restreint la généralité en supposant que nos variétés $V_{1}$ et $V_{2}$ étaient des combinaisons des $b^{1}_{i}$ et des $a^{2}_{i}$, quelle que soit la variété $V$, dont la subdivision forme les polyèdres $P$ et $P'$. Quelles que soient les variétés $V_{1}$ et $V_{2}$, nous pouvons toujours subdiviser $V$, de manière à former deux polyèdres réciproques $P$ et $P'$ tels que $V_{1}$ soit une combinaison des arêtes du second, et $V_{2}$ une combinaison des faces du premier.

Il faudrait voir comment le tableau (1) du § 8 et les tableaux analogues, peuvent nous permettre de déterminer les nombres de Betti, tels que Betti les définit lui-même, et non plus les nombres de Betti définis de la seconde manière, c'est-à-dire ceux que nous avons considérés jusqu'à présent.

Considérons, par exemple, un tableau analogue au tableau (1), mais relatif aux arêtes du polyèdre $P$ et à leurs relations avec les faces et les sommets. Considérons, en particulier, les colonnes de la 2^de sorte et les signesEditorial note: Printed “signes” for “lignes”; an apparent misprint. de la 1^ère sorte, où figurent les nombres $\varepsilon^{2}_{i,j}$. Soit $T$ le tableau partiel ainsi obtenu. A l'aide de ce tableau on pourra former les congruences \[ a^{2}_{i} \equiv \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j}, \] d'où l'on déduit les homologies \[ \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j} \backsim 0. \tag{6} \]

Alors pour reconnaître si plusieurs lignes fermées, formées de

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combinaisons des arêtes $a^{1}_{j}$ sont distinctes au sens de la 1^ère définition, c'est-à-dire, au sens de Betti, il faut savoir si elles sont liées par une homologie obtenue en combinant les homologies (6) par addition, soustraction ou multiplication, mais sans division.

Supposons qu'on ait appliqué à notre tableau une série de ces transformations, que j'ai appelées arithmétiques au § 8.

Soit $\zeta^{2}_{i,j}$ le nombre qui, dans le tableau transformé, figure dans la $j^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte et la $i^{\text{ème}}$ colonne de la 2^de sorte. Soit $c_{j}$ la variété qui correspond à la $j^{\text{ème}}$ ligne de la 1^ère sorte de notre tableau transformé en vertu des conventions du § 8. D'après ce que nous avons vu dans ce § 8, cette variété n'est qu'une combinaison des arêtes $a^{1}_{j}$. Nous aurons alors les homologies \[ \sum \zeta^{2}_{i,j} c_{j} \backsim 0. \tag{6 \textit{bis}} \]

Ces homologies ne sont que des combinaisons des homologies (6), que l'on peut obtenir sans division, et réciproquement on peut tirer des homologies (6) des homologies (6 bis) sans division, c'est là une conséquence du caractère arithmétique des transformations.

On peut donc, quand on veut s'assurer si deux lignes fermées sont distinctes au sens de Betti, se servir des homologies (6 bis) au lieu des homologies (6).

Nous pouvons supposer qu'on s'est servi des transformations arithmétiques pour réduire le tableau, comme je l'ai expliqué au § 8, et par conséquent que $\xi^{2}_{i,j}$Editorial note: Printed $\xi$; the number defined above is $\zeta^{2}_{i,j}$, an apparent misprint. est nul : 1° si $i > j$; 2° si $j > N_{2}$.

Le tableau réduit aux colonnes de la 2^de sorte et aux lignes de la 1^ère sorte prendra, par exemple, la forme suivante : \[ \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] e & b & 0 & 0 & 0 \\[1ex] f & g & c & 0 & 0 \\[1ex] h & k & l & d & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 0 & 0 & 0. \end{matrix} \]

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J'ai supposé 6 lignes et 5 colonnes; j'ai supposé que l'un des nombres $\zeta^{2}_{i,i}$ est égal à zéro, de façon qu'une des colonnes du tableau transformé soit entièrement composée de zéros. J'ajoute que si $d$ était égal à 1, les nombres $h$, $k$, $l$, qui figurent à la même ligne, seraient nuls.

Cela posé, si $d$ n'est pas égal à 1, les deux définitions des nombres de Betti ne coïncident pas, parce que l'on a l'homologie $dc_{4} \backsim 0$, d'où l'on ne pourrait déduire l'homologie $c_{4} \backsim 0$ que par division. Si $d = 1$, on a $h = k = l = 0$, et si $c$ n'est pas égal à 1, on aura l'homologie $cc_{3} \backsim 0$, et les deux définitions ne concorderont pas; et ainsi de suite.

En résumé, pour que les deux définitions concordent, il faut et il suffit que le produit $abcd$ soit égal à 1.

Pour interpréter ce résultat, revenons au tableau non transformé. Le produit $abcd$ sera le plus grand commun diviseur de tous les déterminants obtenus en supprimant $N_{2} - N_{3}$ lignes dans le tableau $T$, pourvu que ces déterminants ne soient pas tous nuls (auquel cas il n'y aurait pas dans le tableau transformé de colonne exclusivement composée de zéros). Si les déterminants sont tous nuls, on en formera d'autres en supprimant dans le tableau $T$ une colonne et $N_{2} - N_{3} + 1$ lignes; le produit $abcd$ sera le plus grand commun diviseur de tous ces déterminants, s'ils ne sont pas tous nuls; et ainsi de suite.

Nous arrivons ainsi à la règle suivante.

Soit $\Delta_{p}$ le plus grand commun diviseur des déterminants obtenus en partant du tableau $T$ et y supprimant $p$ lignes et $N_{2} - N_{3} + p$ colonnes.Editorial note: The rule deletes $p$ lignes and $N_{2} - N_{3} + p$ colonnes, while the preceding paragraph deletes $N_{2} - N_{3}$ lignes, then one colonne and $N_{2} - N_{3} + 1$ lignes; the two do not agree as printed. La condition nécessaire et suffisante pour que les deux définitions des nombres de Betti coïncident, c'est que le premier des $\Delta_{p}$ qui ne s'annule pas, soit égal à 1 (le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres égaux à zéro étant zéro par définition).

Supposons que la variété $V_{1} = \displaystyle\sum \alpha_{i} b^{1}_{i}$, considérée au début de ce paragraphe, ne peut pas être frontière d'une variété à deux dimensions, mais satisfait à l'homologie $V_{1} \backsim 0$. En d'autres termes, l'homologie $V_{1} \backsim 0$ peut se déduire des homologies (6) par division, mais non pas sans division. Dans ce cas, on aura néanmoins : \[ N(V_{1}, V_{2}) = \sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0. \]

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§ X. Démonstration arithmétique de l'un des théorèmes du § VII.

Voici une manière de former les homologies qui pourra être utile à connaître.

Soit $b^{0}_{i}$ un sommet du polyèdre $P'$, situé à l'intérieur d'une case $a^{3}_{i}$ du polyèdre $P$. Soit, d'autre part, $a^{0}_{k}$ un sommet de $P$, appartenant à la case $a^{3}_{i}$. Joignons $b^{0}_{i}$ à $a^{0}_{k}$ par une ligne que j'appellerai simplement $b^{0}_{i} a^{0}_{k}$.

Soit maintenant $b^{1}_{i}$ une arête de $P'$, dont les deux extrémités sont $b^{0}_{j}$ et $b^{0}_{h}$, de telle sorte que l'une des congruences (3) (cfr. § 2) relatives à $P'$ soit : \[ b^{1}_{i} \equiv b^{0}_{j} - b^{0}_{h}. \]

Soit, d'autre part, $a^{2}_{i}$ la face de $P$ qui correspond à l'arête $b^{1}_{i}$ de $P'$, et $a^{0}_{k}$ un des sommets de $a^{2}_{i}$; nous aurons l'homologie : \[ b^{1}_{i} \backsim a^{0}_{k} b^{0}_{j} - a^{0}_{k} b^{0}_{h}. \tag{1} \]

Soit $a^{1}_{i}$ une arête de $P$, dont les deux extrémités sont $a^{0}_{j}$ et $a^{0}_{h}$, de sorte que l'une des congruences (3) relatives à $P$ soit : \[ a^{1}_{i} \equiv a^{0}_{j} - a^{0}_{h}. \]

Soit $a^{3}_{k}$ l'une des cases de $P$ auxquelles appartient $a^{1}_{i}$, et $b^{0}_{k}$ le sommet correspondant de $P'$; on aura l'homologie : \[ a^{1}_{i} \backsim b^{0}_{k} a^{0}_{j} - b^{0}_{k} a^{0}_{h}. \tag{2} \]

Je dis maintenant que toutes les homologies entre les $a^{1}_{i}$ peuvent se déduire des homologies (2).

En effet, soit $a^{2}_{i}$ une face quelconque de $P$, et soit : \[ a^{2}_{i} \equiv \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j} \]

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la congruence de la forme (3) qui lui correspond; on en déduit l'homologie : \[ \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j} \backsim 0, \tag{3} \] et nous avons vu au § 6 que toutes les homologies entre les arêtes de $P$ sont des combinaisons de celles qu'on obtient de la sorte.

Soit alors $a^{1}_{j}$ l'une des arêtes de $P$ qui figurent dans l'homologie (3), et soit : \[ a^{1}_{i} \equiv a^{0}_{h} - a^{0}_{l}. \] Editorial note: Printed $a^{1}_{i}$ on the left; the edge just introduced, and the homology (2 bis) below, call it $a^{1}_{j}$, so $a^{1}_{j}$ appears to be meant.

Soit d'ailleurs $a^{3}_{k}$ l'une des cases dont fait partie $a^{2}_{i}$. Nous aurons l'homologie : \[ a^{1}_{j} \backsim b^{0}_{k} a^{0}_{h} - b^{0}_{k} a^{0}_{l}. \tag{2 \textit{bis}} \]

Si nous additionnons les homologies (2 bis) qui sont de la forme (2), après les avoir multipliées par $\varepsilon^{2}_{i,j}$, tous les termes du second membre disparaîtront en vertu des relations (5) du § 2; on retrouverait donc l'homologie (3). C. Q. F. D.

On démontrerait de même que toutes les homologies entre les $b^{1}_{i}$ peuvent se déduire des homologies (1).

Nous avons vu plus haut, au § 7, que si l'on a une congruence : \[ \sum a^{1}_{i} \equiv 0, \] on peut trouver une autre congruence entre les arêtes de $P'$ : \[ \sum b^{1}_{j} \equiv 0, \] et de telle façon qu'on ait l'homologie : \[ \sum a^{1}_{i} \backsim \sum b^{1}_{j}. \tag{4} \]

Je dis maintenant que cette homologie (4) peut être déduite des homologies (1) et (2).

Découpons, en effet, le premier membre de notre congruence $\displaystyle\sum a^{1}_{i} \equiv 0$ en un certain nombre de groupes, de telle façon que les

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arêtes d'un même groupe appartiennent à une même case $a^{3}_{k}$. Soit $\displaystyle\sum a^{1}_{j}$ l'un de ces groupes; nous aurons la congruence : \[ \sum a^{1}_{j} \equiv a^{0}_{m} - a^{0}_{p}, \tag{5} \] $a^{0}_{m}$ et $a^{0}_{p}$ étant les deux extrémités de la ligne formée par l'ensemble des arêtes de ce groupe. Je suppose que toutes ces arêtes appartiennent à la case $a^{3}_{k}$. Soit \[ a^{1}_{j} \equiv a^{0}_{h} - a^{0}_{l} \] l'une de ces arêtes; nous aurons l'homologie : \[ a^{1}_{j} \equiv b^{0}_{k} a^{0}_{h} - b^{0}_{k} a^{0}_{l}, \tag{2 \textit{ter}} \] Editorial note: The print sets the congruence sign $\equiv$ here, though the text calls this an homology and it is of the form (2); the homology sign $\backsim$ appears to be meant. et en ajoutant toutes ces homologies, on trouverait : \[ \sum a^{1}_{j} \backsim b^{0}_{k} a^{0}_{m} - b^{0}_{k} a^{0}_{p}. \tag{6} \]

Ajoutons d'une part toutes les homologies (6), d'autre part toutes les congruences (5), qui correspondent aux différents groupes. L'addition des congruences (5) doit nous donner la congruence $\displaystyle\sum a^{1}_{i} \equiv 0$; il s'en suit que si un sommet $a^{0}_{m}$ figure dans une des congruences (5) avec le signe $+$, il devra figurer dans une autre avec le signe $-$. L'addition des homologies (6) nous donnera donc : \[ \sum a^{1}_{j} \backsim \sum (b^{0}_{k} a^{0}_{m} - b^{0}_{q} a^{0}_{m}). \tag{7} \]

En écrivant cette relation je suppose que $a^{0}_{m}$ figure dans deux des congruences (5), une fois avec le signe $+$ dans la congruence qui correspond à la case $a^{3}_{k}$, et une fois avec le signe $-$ dans la congruence qui correspond à la case $a^{3}_{q}$.

Observons maintenant que $b^{0}_{k}$ et $b^{0}_{q}$ sont deux sommets de $P'$, et que ces deux sommets appartiennent l'un et l'autre à la case $b^{3}_{m}$. On peut alors trouver une ligne formée d'arêtes de $P'$, appartenant à cette case $b^{3}_{m}$, et allant de $b^{0}_{k}$ à $b^{0}_{q}$. Soit $\displaystyle\sum b^{1}_{s}$ cette ligne; on aura \[ \sum b^{1}_{s} \equiv b^{0}_{k} - b^{0}_{q}. \tag{5 \textit{bis}} \]

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De même que de la congruence (5) des homologies (2 ter), qui sont de la forme (2), nous avons déduit l'homologie (6); de même de la congruence (5 bis) et d'homologies de la forme (1), nous pourrons déduire l'homologie : \[ \sum b^{1}_{s} \backsim a^{0}_{m} b^{0}_{k} - a^{0}_{m} b^{0}_{q}. \tag{6 \textit{bis}} \]

A chaque terme du second membre de (7) correspond une homologie (6 bis). En les additionnant, on trouvera : \[ \sum \sum b^{1}_{s} \backsim \sum (a^{0}_{m} b^{0}_{k} - a^{0}_{m} b^{0}_{q}), \tag{7 \textit{bis}} \] d'où : \[ \sum a^{1}_{j} + \sum \sum b^{1}_{s} \backsim 0, \tag{8} \] homologie de la forme (4), qui se déduit, comme on le voit, des homologies (1) et (2). C. Q. F. D.

On peut se demander pourquoi j'ai jugé nécessaire de revenir sur un théorème déjà démontré au § 7. On le comprendra si on se rend compte de la nature géométrique, pour ainsi dire, de la démonstration du § 7. La présente démonstration a, au contraire, un caractère arithmétique; elle n'invoque que des propriétés des schémas définis au § 2, et des tableaux construits au § 8; et elle conserverait sa valeur alors même qu'à ces schémas et à ces tableaux ne correspondrait aucun polyèdre.

Qu'avons-nous supposé en effet? C'est que si $\alpha^{p}_{0}, \alpha^{p}_{1}, \alpha^{p}_{2}$ sont les nombres des sommets, des arêtes et des faces appartenant à une même case, et si $\beta^{p}_{0}, \beta^{p}_{1}, \beta^{p}_{2}$ sont les nombres des cases, des faces et des arêtes auxquelles appartient un même sommet, on a : \[ \alpha^{p}_{0} - \alpha^{p}_{1} + \alpha^{p}_{2} = \beta^{p}_{0} - \beta^{p}_{1} - \beta^{p}_{2} = 2; \] Editorial note: The print sets a minus before $\beta^{p}_{2}$; the Euler relation for the cells around a vertex, parallel to the left-hand member, requires $\beta^{p}_{0} - \beta^{p}_{1} + \beta^{p}_{2}$. The dash shows no trace of a lost vertical stroke, so this is reproduced as an apparent misprint. et en outre que deux sommets quelconques $a^{0}_{i}$ et $a^{0}_{k}$ sont liés par l'homologie : \[ a^{0}_{i} \backsim a^{0}_{k}. \tag{9} \]

Or on peut reconnaître si un sommet appartient à une face, par

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exemple, en appliquant au tableau du § 8 des règles purement arithmétiques, et on peut de la même manière reconnaître si une homologie telle que (9) a lieu.

§ XI. Possibilité de la subdivision.

Tout ce qui précède suppose qu'une variété quelconque peut être subdivisée en variétés simplement connexes, de manière à former un polyèdre $P$, à $p$ dimensions, pour lequel les variétés $a^{p}_{i}, a^{p-1}_{i}, \ldots, a^{2}_{i}, a^{1}_{i}, a^{0}_{i}$ sont toutes simplement connexes. Par exemple, toute variété à trois dimensions pourra être subdivisée en cases simplement connexes, séparées les unes des autres par des faces simplement connexes.

C'est cela qu'il nous reste à démontrer, et c'est cette démonstration que je vais donner. Je précise davantage : je vais montrer que toute variété à $p$ dimensions peut être subdivisée de façon à former un polyèdre $P$, dont toutes les variétés $a^{p}_{i}, a^{p-1}_{i}, \ldots, a^{2}_{i}, a^{1}_{i}, a^{0}_{i}$ sont des tétraèdres généralisés.

Je supposerai que le théorème a été démontré pour une variété à $p - 1$ dimensions, et je me propose de l'étendre à une variété à $p$ dimensions.

Nous présenterons la définition de notre variété sous la forme suivante, qui comprendra les deux définitions données dans l'Analysis situs.

Nous aurons les équations et les inégalités \[ \begin{aligned} &x_{i} = \theta_{i}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{q}), \qquad (i = 1, 2, \ldots, n)\\ &f_{k}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{q}) = 0, \qquad (k = 1, 2, \ldots, q - p)\\ &\varphi_{h}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{q}) > 0. \end{aligned} \tag{1} \]

Ces équations et ces inégalités définiront une variété $v$ qui sera limitée et, en général, non fermée; on aura différents systèmes analogues d'équations et d'inégalités, définissant autant de variétés partielles que j'appellerai $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}$.

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Deux de ces variétés seront dites contigües, si elles ont une partie commune, et je puis supposer que l'on peut passer d'un point quelconque de l'une de ces variétés à un point quelconque d'une autre quelconque d'entre elles, sans sortir de l'ensemble de ces variétés. Cet ensemble constituera la variété que j'appellerai $V$, et qu'il s'agissait de définir.

Je supposerai que cette variété $V$ est bilatère.

C'est évidemment là la façon la plus générale possible de définir une variété.

Considérons la variété partielle $v_{1}$, définie par les équations (1).

D'après le théorème des fonctions implicites, on pourra satisfaire aux équations \[ f_{k} = 0, \] en faisant \[ y_{j} = \psi_{j}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}), \] les $\psi$ étant des fonctions holomorphes des $z$; mais les séries $\psi$ pourront ne pas converger pour tous les points de la variété $v_{1}$.

Les conditions de convergence seront certaines inégalités : \[ \eta_{k}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}) > 0. \]

Quand on remplacera les $y$ en fonctions des $z$, les relations : \[ x_{i} = \theta_{i}, \qquad \varphi_{h} > 0 \] deviendront : \[ \begin{aligned} &x_{i} = \theta'_{i}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p})\\ &\varphi'_{h}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}) > 0. \end{aligned} \]

Alors l'ensemble des relations \[ x_{i} = \theta'_{i}, \qquad \varphi'_{h} > 0, \qquad \eta_{k} > 0 \tag{1 \textit{bis}} \] définira une certaine variété $v'_{1}$, de telle façon que l'ensemble des variétés analogues à $v'_{1}$ reproduira la variété $v_{1}$.

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Nous sommes ainsi ramenés à la seconde définition de l'Analysis situs.

Cela posé, soit $v''_{1}$ une autre variété $v'_{1}$ satisfaisant aux conditions suivantes : elle sera tout entière contenue dans $v'_{1}$; elle comprendra tous les points de $v'_{1}$ qui ne lui sont pas communs avec une des variétés contigües; par conséquent la frontière complète de $v''_{1}$ sera tout entière dans la partie commune à $v'_{1}$ et aux variétés contigües.

A chacune des variétés \[ v'_{1}, \qquad v'_{2}, \qquad \ldots, \] dont l'ensemble constitue $V$, correspondra ainsi une variété \[ v''_{1}, \qquad v''_{2}, \qquad \ldots, \] satisfaisant aux conditions que je viens d'énoncer; et il est clair qu'on peut s'arranger de telle façon que tout point de $V$ appartienne à l'une des variétés $v''$, et à une seule, à moins qu'il ne soit sur la frontière de l'une des variétés $v''$, auquel cas il devra appartenir, en outre, à la frontière au moins d'une autre variété $v''$.

La variété $V$, ainsi subdivisée en variétés $v''$, constitue un polyèdre $P$, au sens donné à ce mot au § 2. Mais ce polyèdre ne convient pas encore à la question, car nous ne pouvons savoir si les variétés $v''$ sont des tétraèdres généralisés, ou même sont simplement connexes.

Considérons la variété $v''_{1}$, et soit : \[ z_{1} = 0, \qquad z_{2} = 0, \qquad \ldots, \qquad z_{p} = 0 \] un point intérieur à cette variété; considérons la variété à une dimension : \[ z_{1} = \alpha_{1} t, \qquad z_{2} = \alpha_{2} t, \qquad \ldots, \qquad z_{p} = \alpha_{p} t, \] où les $\alpha$ sont des constantes, et où nous ferons varier $t$ depuis 0 jusqu'à $+\infty$. C'est ce que j'appellerai un rayon vecteur.

Chaque rayon vecteur rencontrera la frontière complète de $v''_{1}$ en un nombre impair de points; en effet, quand on suivra ce rayon, en

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faisant varier $t$ de 0 à $+\infty$, on sortira de la variété $v''_{1}$; on pourra y rentrer ensuite et en sortir plusieurs fois, mais on finira toujours par en sortir pour n'y plus rentrer.

Il pourra se faire qu'un rayon vecteur rencontre la frontière de $v''_{1}$ en deux points confondus. Les rayons vecteurs qui satisfont à cette condition s'appelleront les rayons remarquables.

L'ensemble des rayons remarquables formera une ou plusieurs variétés à $p - 1$ dimensions, que j'appellerai les cônes remarquables.

Les intersections des cônes remarquables avec la frontière de $v''_{1}$ formeront une ou plusieurs variétés à $p - 2$ dimensions, que j'appellerai $U$, et ces variétés $U$ partageront la frontière de $v''_{1}$ en régions que j'appellerai $R$.

Une région $R$ ne peut être rencontrée par un rayon vecteur en plus d'un point; mais d'après ce que nous venons de voir, il peut se présenter deux cas : quand on suit ce rayon vecteur, en faisant croître $t$ de 0 à $\infty$, on peut, au moment où on rencontre $R$, sortir de $v''_{1}$ ou y rentrer. Si le premier cas, par exemple, se présente pour un des vecteurs qui rencontrent $R$, il se présentera pour tous les vecteurs qui rencontrent $R$.

D'où la distinction des régions $R$ en régions de la 1^ère sorte, que les rayons vecteurs rencontrent en sortant de $v''_{1}$, et en régions de la 2^de sorte, que les rayons vecteurs rencontrent en rentrant dans $v''_{1}$.

Les régions $R$ étant des variétés à $p - 1$ dimensions pourront, d'après l'hypothèse faite au début, être subdivisées en tétraèdres généralisés.

Supposons, pour fixer les idées, qu'un rayon vecteur rencontre trois fois la frontière de $v''_{1}$, qu'il rencontre successivement les régions $R_{1}, R_{2}, R_{3}$; $R_{1}$ et $R_{3}$ seront de la 1^ère sorte, $R_{2}$ sera de la 2^de sorte.

Subdivisons $R_{1}$ et $R_{3}$ en tétraèdres généralisés à $p - 1$ dimensions.

Si $T_{1}$ est une des subdivisions de $R_{1}$, menons tous les rayons vecteurs qui passent par les différents points de $T_{1}$, et conservons la partie de ces rayons vecteurs qui est comprise entre le point $z_{i} = 0$ et le rayonEditorial note: Sic in the print. $R_{1}$ is a region of the frontier of $v''_{1}$, not a ray; “la région” is presumably meant. $R_{1}$ (partie qui est intérieure à $v''_{1}$); l'ensemble de ces vecteurs formera un tétraèdre généralisé à $p$ dimensions, ayant pour sommet le point $z_{i} = 0$, et pour base le tétraèdre généralisé à $p - 1$ dimensions $T_{1}$.

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Soit maintenant $T_{3}$ une des subdivisions de $R_{3}$; menons encore tous les rayons vecteurs qui passent par les différents points de $T_{3}$ et conservons la partie de ces rayons vecteurs qui est comprise entre $R_{2}$ eEditorial note: Printed “e”, apparently a misprint for “et”. $R_{3}$ (partie qui est intérieure à $v''_{1}$). Cet ensemble forme une variété à $p - 1$ dimensions que l'on pourrait appeler un tronc de tétraèdre généralisé, dont les deux bases sont $T_{3}$ et un tétraèdre généralisé à $p - 1$ dimensions, que j'appellerai $T_{2}$ et qui fera partie de $R_{2}$. C'est, en d'autres termes, la différence de deux tétraèdres généralisés, ayant pour sommet commun le point $z_{i} = 0$ et pour bases l'un $T_{3}$, l'autre $T_{2}$.

Ce tronc de tétraèdre généralisé pourra à son tour être partagé en $p$ tétraèdres généralisés, de même que dans le théorème classique, le tronc de pyramide triangulaire se partage en trois pyramides triangulaires.

Finalement $v''_{1}$ sera partagé en tétraèdres généralisés.

Une difficulté subsiste cependant; on peut subdiviser comme $v''_{1}$ les autres variétés analogues $v''_{2}, v''_{3}, \ldots$; considérons la subdivision de $v''_{1}$ en tétraèdres généralisés $T_{1}$ et celle de $v''_{2}$ en tétraèdres généralisés $T_{2}$. La frontière commune de $v''_{1}$ et $v''_{2}$ se trouvera subdivisée d'une part en tétraèdres généralisés à $p - 1$ dimensions $\tau_{1}$, qui seront les faces des $T_{1}$, et d'autres partEditorial note: Printed “d'autres part”, a misprint for “d'autre part”. en tétraèdres généralisés à $p - 1$ dimensions $\tau_{2}$, qui seront les faces des $T_{2}$; mais il n'est pas évident que ces deux subdivisions coïncident.

Considérons alors la partie commune à l'un des $\tau_{1}$ et à l'un des $\tau_{2}$; je pourrai, d'après l'hypothèse faite au début, la subdiviser en tétraèdres généralisés à $p - 1$ dimensions $\sigma$. Ainsi chacun des tétraèdres $\tau_{1}$ et chacun des tétraèdres $\tau_{2}$ sera subdivisé en tétraèdres $\sigma$.

Soit maintenant $\tau'_{1}$ une des variétés à $q$ dimensions appartenant à $\tau_{1}$ (j'emploie ici le mot appartenir dans le même sens que quand je dis que les faces, les arêtes et les sommets d'un tétraèdre ordinaire appartiennent à ce tétraèdre, ou quand je disais au § 2 que les variétés $a^{q}_{i}$ appartenaient au polyèdre $P$). Soit de même $\tau'_{2}$ une des variétés à $q$ dimensions appartenant à $\tau_{2}$. Ces deux variétés $\tau'_{1}$ et $\tau'_{2}$ seront des tétraèdres généralisés, puisque d'après la définition du tétraèdre généralisé, toute variété qui appartient à un tétraèdre généralisé, est elle-même un tétraèdre généralisé. Alors $\tau'_{1}$ et $\tau'_{2}$ se trouveront subdivisés en tétraèdres

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généralisés à $q$ dimensions $\sigma$Editorial note: Printed $\sigma$; the text below refers to these tetrahedra as “ceux que j'ai appelés $\sigma'$”, so $\sigma'$ appears to be meant., qui appartiendront aux tétraèdres à $p - 1$ dimensions $\sigma$.

Cela à la rigueur pourrait nous suffire; nos variétés $v''_{1}$, etc., seraient partagées en tétraèdres généralisés à $p$ dimensions $T^{p}$, leurs frontières en tétraèdres à $p - 1$ dimensions $T^{p-1}$, etc.; seulement ces tétraèdres $T^{p-1}$ ne seraient pas ceux qui appartiennent aux tétraèdres $T^{p}$, cela en seraient seulement des subdivisions.

Mais nous pouvons aller plus loin.

Considérons l'un des tétraèdres à $p$ dimensions $T^{p}$ dans lequel $v''_{1}$ est subdivisé. Je rappelle qu'on les a obtenus en subdivisant les troncs de tétraèdres généralisés, dont il a été question plus haut. Par conséquent $T^{p}$ a tous ses sommets sur la frontière de $v''_{1}$ (il y aurait exception pour les tétraèdres dont un sommet est au point $z_{i} = 0$, mais pour ceux-là il n'y a pas de difficulté).

Supposons, par exemple, que les points communs à $T^{p}$ et à la région que j'ai appelée plus haut $R_{3}$ forment un tétraèdre généralisé à $q$ dimensions $T^{q}$ appartenant à $T^{p}$, et que les points communs à $T^{p}$ et à la région $R_{2}$ forment un tétraèdre à $p - q - 1$ dimensions $T^{p-q-1}$, appartenant à $T^{p}$.

Les tétraèdres $T^{q}$ et $T^{p-q-1}$ sont analogues aux tétraèdres $\tau'_{1}$ traités plus haut; ils peuvent donc être subdivisés en tétraèdres analogues à ceux que j'ai appelés $\sigma'$; soient $S^{q}_{1}, S^{q}_{2} \ldots$, les tétraèdres analogues à $\sigma'$, qui sont des subdivisions de $T^{q}$; soient $S^{p-q-1}_{1}, S^{p-q-1}_{2}, \ldots$ les tétraèdres analogues à $\sigma'$ qui sont des subdivisions de $T^{p-q-1}$. Je dis qu'on peut subdiviser $T^{p}_{k}$ en tétraèdres à $p$ dimensions de telle façon que les variétés $S^{q}_{1}, S^{q}_{2}, \ldots, S^{p-q-1}_{1}, S^{p-q-1}_{2}, \ldots$ appartiennent à $T^{p}$.

Pour le démontrer je suppose d'abord que $T^{p}$ soit un tétraèdre rectiligne (cfr. § 2 in fine). On sait qu'un tétraèdre rectiligne est entièrement défini quand on connait ses $p + 1$ sommets. Alors $T^{p}$ est le tétraèdre rectiligne qui a pour sommets ceux de $T^{q}$ et de $T^{p-q-1}$.

Supposons que $T^{q}$ se décompose en $g$ tétraèdres partiels : \[ S^{q}_{1}, \qquad S^{q}_{2}, \qquad \ldots, \qquad S^{q}_{g}, \] et $T^{p-q-1}$ en $h$ tétraèdres partiels : \[ S^{p-q-1}_{1}, \qquad S^{p-q-1}_{2}, \qquad \ldots, \qquad S^{p-q-1}_{h}. \]

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On vérifiera alors que $T^{p}$ se décompose en $gh$ tétraèdres partiels qui sont ceux dont les sommets sont ceux de \[ S^{q}_{i} \text{ et } S^{p-q-1}_{k} \qquad (i = 1, 2, \ldots, g;\ k = 1, 2, \ldots, h). \]

Si le tétraèdre $T^{p}$ n'est pas rectiligne, le résultat subsiste puisque un tétraèdre quelconque est homéomorphe à un tétraèdre rectiligne.

Ainsi notre variété est décomposée en tétraèdres à $p$ dimensions de façon à former un polyèdre tel que toute variété appartenant à ce polyèdre, appartient à l'un de ces tétraèdres.

On est ainsi débarrassé des derniers doutes qui pouvaient subsister au sujet de la possibilité de subdiviser une variété $V$ de façon à former un polyèdre $P$, pour lequel tous les $a^{q}_{i}$ soient simplement connexes.

Paris, mars 1899.

H. Poincaré.

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Supplement to Analysis situs;

By Mr. H. Poincaré, in Paris.

Adunanza del 26 marzo 1899.

§ I. Introduction.

In the Journal de l'École Polytechnique (the volume for the centenary of the founding of the School, 1894) I published a memoir entitled Analysis situs, in which I study the manifolds of space of more than three dimensions and the properties of the numbers of Betti. It is to this memoir that the references I shall frequently be led to make in what follows will relate, mentioning only the title Analysis situs.

In that memoir the following theorem is stated: For every closed manifold, the Betti numbers equally distant from the extremes are equal.

The same theorem was stated by Mr. Picard in his Théorie des fonctions algébriques de deux variables.

Mr. Heegaard has just returned to this same problem in a very remarkable work, published in the Danish language, under the title « Forstudier til en topologisk teori för de algebraiske Sammenhäng » (Copenhagen, det Nordiske Forlag Ernst Bojesen, 1898). According to him, the theorem in question is inexact and the proofs are without value.

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Before examining Mr. Heegaard's objections, it is proper to make a distinction. There are two ways of defining the numbers of Betti.

Let us consider a manifold $V$, which I shall suppose, for example, closed; let $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ be $n$ manifolds of $p$ dimensions forming part of $V$. I suppose that one cannot find a manifold of $p+1$ dimensions forming part of $V$ of which $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ constitute the complete boundary; but that, if one adjoins to them an $(n+1)^{\text{th}}$ manifold of $p$ dimensions, which I shall call $v_{n+1}$ and which will form part of $V$, one can find a manifold of $p+1$ dimensions forming part of $V$ of which $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}, v_{n+1}$ constitute the complete boundary, and this in whatever way the $(n+1)^{\text{th}}$ manifold $v_{n+1}$ has been chosen. In this case, one says that the number of Betti is equal to $n+1$ for the manifolds of $p$ dimensions.

This is the definition adopted by Betti.

But one can give a second definition.

Let us suppose that one can find in $V$ a manifold of $p+1$ dimensions of which $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}$ constitute the complete boundary; I shall express this fact by the following relation: \[ v_{1} + v_{2} + \ldots + v_{n} \backsim 0, \] which I shall call a homology.

It may happen that on the complete boundary of our manifold of $p+1$ dimensions one and the same manifold $v_{1}$ occurs several times; in that case, it will figure in the first member of the homology with a coefficient, which must be an integer.

According to this definition, one can add homologies, subtract them from one another, and multiply them by an integer.

We shall agree likewise that it is permitted to divide a homology by an integer when all the coefficients are divisible by that integer. Consequently, if there is a manifold of $p+1$ dimensions whose complete boundary is constituted by 4 times the manifold $v_{1}$, we shall agree that one may write not only the homology: \[ 4v_{1} \backsim 0, \]

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but also the homology: \[ v_{1} \backsim 0; \] so that this homology signifies that there are manifolds of $p+1$ dimensions which admit as complete boundary the manifold $v_{1}$ or a certain number of times this manifold.

The homology \[ 2v_{1} + 3v_{2} \backsim 0 \] signifies that there are manifolds of $p+1$ dimensions which have as complete boundary 2 times $v_{1}$ and 3 times $v_{2}$, or 4 times $v_{1}$ and 6 times $v_{2}$, or 6 times $v_{1}$ and 9 times $v_{2}$, etc.

Such are the conventions that I adopted in the Analysis situs, page 19.

I shall say that several manifolds are independent if they are not connected by any homology with integer coefficients.

If then there are $n$ independent manifolds of $p$ dimensions, the number of Betti, according to the second definition, is equal to $n+1$.

This second definition, which is the one I adopted in the Analysis situs, does not agree with the first.

The theorem stated above, and criticized by Mr. Heegaard, is true for the numbers of Betti defined in the second way, and false for the numbers of Betti defined in the first way.

This is what the example cited by Mr. Heegaard, page 86, proves.

If one adopts the first definition, one has: \[ P_{1} = 2, \qquad P_{2} = 1 \] and consequently \[ P_{2} < P_{1}. \]

If one adopts, on the contrary, the second definition, one finds: \[ P_{1} = 1, \qquad P_{2} = 1, \] and consequently \[ P_{2} = P_{1}, \] in conformity with the theorem stated.

page 288

This is what an example that I myself cited in the Analysis situs proved as well. It is the 3^rd example, page 51. But in referring to this example and to this page of the Analysis situs, I must point out a misprint which could trouble the reader${}^{(*)}$.

Instead of \[ ABB'A' \equiv DD'C'C, \] one must read \[ ABB'A' \equiv C'CDD'; \] instead of \[ AB \equiv B'D' \equiv C'A', \] one must read \[ AB \equiv B'D' \equiv C'C. \]

We formed (page 66) the fundamental equivalences, which are written in the following way: \[ 2C_{1} \equiv 2C_{2} \equiv 2C_{3} \equiv 0, \qquad 4C_{1} \equiv 0; \] we can deduce from them the homologies: \[ 4C_{1} \backsim 4C_{2} \backsim 4C_{3} \backsim 0. \]

Since, according to our convention, one can divide these homologies by 4, we arrive at the following system of fundamental homologies: \[ C_{1} \backsim C_{2} \backsim C_{3} \backsim 0. \]

If then $P_{1}$ and $P_{2}$ are the numbers of Betti, defined in the second way, one finds \[ P_{1} = P_{2} = 1. \]

(*) I take the opportunity to point out another erratum of the Analysis situs. At the foot of page 102, one must read: « or more precisely the two $v_{q+1}$, to which $v_{q}$ will belong, will belong to the same $v_{q+1}$Editorial note: Printed $v_{q+1}$; the sequence $v_{q+1}$, $v_{q+3}$, …, $v_{p}$ requires $v_{q+2}$ here, an apparent misprint., to the same $v_{q+3}$, …, to the same $v_{p}$; in such a way that the suppression of $v_{q}$ and the mutual annexation of the two $v_{q+1}$ will change nothing in the $v_{q+2}$, the $v_{q+3}$, …, the $v_{p}$ ».

page 289

But the equality between the numbers $P_{1}$ and $P_{2}$ would not subsist if one had adopted the first definition, which is that of Betti; we should still have $P_{2} = 1$, but we should no longer have $P_{1} = 1$:

Indeed, there is no manifold of two dimensions which has as complete boundary the closed line $C_{1}$, otherwise we should have the equivalence $C_{1} \equiv 0$.

What alone is true is that there is a manifold of two dimensions admitting as boundary 4 times the line $C_{1}$. Hence $P_{1}$ is not equal to 1.

Let us return to the theorem according to which the numbers of Betti equally distant from the extremes are equal.

The proof that I gave of it in the Analysis situs seems to apply equally well to the two definitions of the numbers of Betti; it must therefore have a weak point, since the preceding examples show sufficiently that the theorem is not true for the first definition.

Mr. Heegaard was well aware of this; but I do not believe that his first objection is well founded.

After citing the way in which I define the manifolds $V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{p}$ (Analysis situs, page 43), by the equations $\Phi = 0$, $F''_{i} = 0$, he adds (page 70) « Enhver af Mangfoldighederne $V$ skulde altsaa kunne være den fulstaendige Skoering mellem $p$ Mangfoldigheder af $h - 1$ Dimensioner i $U$ ». This is not exact for, besides my equalities, I have a certain number of inequalities, which I introduced at the beginning of the memoir and which I neglected to write again in what follows; my manifolds are therefore not complete intersections.

The second objection is, on the contrary, well founded. « Naar omvendt, says Mr. Heegaard, Homologien $\displaystyle\sum V_{i} \backsim 0$ ikke finder Sted, saa i $U'$ kan legges en lukket Kurve $V'$, saa at \[ \sum N(V', V_{i}) \neq 0 \] men det er ikke sikkert, at denne Kurve kan udskæres af nogen Mangfoldighed $V$ ». That is, indeed, the true weak point of the proof.

page 290

It is therefore necessary to return to the question, and that is the object of the present work.

Often, to simplify the proofs, I considered only the case of closed manifolds of 3 dimensions, contained in space of 4 dimensions. One could easily extend them to the general case.

I consider, then, in what follows, a closed manifold $V$, but in order to calculate its numbers of Betti, I suppose it divided into smaller manifolds, so as to form a polyhedron, in the sense given to that word on page 100 of the Analysis situs.

§ II. Scheme of a polyhedron.

Let us consider, then, as on page 100 of the Analysis situs, a polyhedron of $p$ dimensions, that is to say a manifold $V$ of $p$ dimensions, divided into manifolds $v_{p}$; the boundaries of the $v_{p}$ will be the $v_{p-1}$, those of the $v_{p-1}$ will be the $v_{p-2}$, …, those of the $v_{1}$ (edges) will be the $v_{0}$ (vertices).

I shall call $\alpha_{i}$ the number of the $v_{i}$.

Let $a^{q}_{1}, a^{q}_{2}, \ldots, a^{q}_{\alpha_{q}}$ be the different $v_{q}$.

Let $a^{q}_{1}$ be one of the manifolds $v_{q}$ and $a^{q-1}_{1}$ one of the manifolds $v_{q-1}$ which serves it as boundary. Let us study the relations of $a^{q}_{1}$ and of $a^{q-1}_{1}$.

Let \[ F_{1} = F_{2} = \ldots = F_{n-q} = F_{n-q+1} = 0, \qquad \varphi_{\gamma} > 0 \tag{1} \] be the equalities and the inequalities which define $a^{q-1}_{1}$, according to the first definition of manifolds (Analysis situs, page 4).

The relations which define $a^{q}_{1}$ can be put in the form: \[ F_{1} = F_{2} = \ldots = F_{n-q} = 0, \qquad F_{n-q+1} > 0, \qquad \varphi_{\gamma} > 0. \tag{2} \]

In this case, we shall say that the relation of $a^{q}_{1}$ and of $a^{q-1}_{1}$ is direct.

This relation would become inverse if one of these two manifolds were replaced by the opposite manifold; it would become direct again if each of the two manifolds were replaced by the opposite manifold.

page 291

We know that a manifold is replaced by the opposite manifold (Analysis situs, page 15) when one permutes two of the functions $F$ (which, set equal to zero, give the equations that define the manifold), or when one changes the sign of one of them.

Thus the two manifolds \[ \begin{aligned} &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{2} = 0, \qquad F_{3} > 0;\\ &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{3} = 0, \qquad F_{2} < 0;\\ &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{2} = F_{3} = 0, \qquad F_{1} > 0; \end{aligned} \] are in direct relation; whereas the two manifolds \[ \begin{aligned} &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{2} = 0, \qquad F_{3} < 0;\\ &F_{1} = F_{2} = F_{3} = 0; \qquad F_{1} = F_{3} = 0, \qquad F_{2} > 0; \end{aligned} \] are in inverse relation.

This posed, let $\varepsilon^{q}_{i,j}$ be a number which will be equal to 0 if $a^{q-1}_{j}$ is not a boundary of $a^{q}_{i}$; to $+1$ if $a^{q-1}_{j}$ is a boundary of $a^{q}_{i}$ and in direct relation with $a^{q}_{i}$; and, finally, to $-1$ if $a^{q-1}_{j}$ is a boundary of $a^{q}_{i}$, but in inverse relation with $a^{q}_{i}$.

We shall agree to write the congruence \[ a^{q}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}, \tag{3} \] which makes known to us the boundaries of $a^{q}_{i}$.

The set of the congruences (3), relative to the different $v_{p}, v_{p-1}, \ldots, v_{0}$ of $V$, constitutes what may be called the scheme of a polyhedron.

One may ask two questions:

1° A scheme being given, will there always exist a polyhedron corresponding to it?

2° Are two polyhedra which have the same scheme homeomorphic?

Without taking up these two questions for the moment, let us look for

page 292

some of the conditions which a scheme must satisfy in order that a polyhedron may correspond to it.

Let us consider one of the $v_{p-1}$, $a^{p-1}_{i}$ for example; this manifold must separate two of the $v_{p}$ from each other, and two only; so that, among the numbers \[ \varepsilon^{p}_{i,1}, \]Editorial note: The indices do not agree as printed: the text names the face $a^{p-1}_{i}$, while this display and the sum $\displaystyle\sum_{i} \varepsilon^{p}_{i,1}$ on p. 293 treat the face as $a^{p-1}_{1}$. Either the text's index or the display's is a misprint. there will be one which will be equal to $+1$, one which will be equal to $-1$, and all the others will be equal to 0.

That is not all; let us consider any one of the $v_{q}$, $a^{q}_{i}$ for example, and any one of the $v_{q-2}$, $a^{q-2}_{k}$ for example.

One of two things: either $a^{q-2}_{k}$ will not belong to $a^{q}_{i}$, and in that case allEditorial note: Printed “tout”; read “tous”. the products \[ \varepsilon^{q}_{i,j} \varepsilon^{q-1}_{j,k} \tag{4} \] will be null, for if $a^{q-1}_{j}$ does not belong to $a^{q}_{i}$, the first factor is null; if, on the contrary, $a^{q-1}_{j}$ belongs to $a^{q}_{i}$, the manifold $a^{q-2}_{k}$ cannot belong to $a^{q-1}_{j}$ (otherwise it would belong to $a^{q}_{i}$, contrary to the hypothesis), and the second factor must be null.

Or else $a^{q-2}_{k}$ will belong to $a^{q}_{i}$; but then we can reason on the manifold $a^{q}_{i}$ as we reasoned just now on the manifold $V$, and we shall conclude that $a^{q-2}_{k}$ must separate from each other two of the manifolds $v_{q-1}$ which belong to $a^{q}_{i}$, and two only: let them be $a^{q-1}_{1}$ and $a^{q-1}_{2}$.

Among the products (4) there will be only two which are not null, namely \[ \varepsilon^{q}_{i,1} \varepsilon^{q-1}_{1,k}, \qquad \varepsilon^{q}_{i,2} \varepsilon^{q-1}_{2,k}. \]

For all the others, indeed, either $a^{q-1}_{j}$ will not belong to $a^{q}_{i}$, or $a^{q-2}_{k}$ will not belong to $a^{q-1}_{j}$.

These two products are moreover equal: the one to $+1$, the other to $-1$.

We shall therefore have in all cases: \[ \sum_{j} \varepsilon^{q}_{i,j} \varepsilon^{q-1}_{j,k} = 0. \tag{5} \]

page 293

We have likewise \[ \sum_{i} \varepsilon^{p}_{i,1} = 0, \] and, more generally, whatever $k$ may be: \[ \sum_{i} \varepsilon^{p}_{i,k} = 0. \tag{5 \textit{bis}} \]

The relation (5 bis) may be regarded, from a certain point of view, as a particular case of the relation (5).

Let $P$ be the portion of space of $p+1$ dimensions bounded by the polyhedron $V$; then the complete boundary of $P$ will be composed of the various manifolds $v_{p}$ which, taken together, form $V$; we may therefore write, in the sense of the congruence (3), \[ P \equiv \sum_{i} a^{p}_{i}, \tag{3 \textit{bis}} \] or again \[ P \equiv \sum_{i} \varepsilon^{p+1}_{0,i} a^{p}_{i}, \] where the numbers $\varepsilon^{p+1}_{0,i}$ will all be, by definition, equal to 1.

On this reckoning, the relation (5 bis), which may be written \[ \sum_{i} \varepsilon^{p+1}_{0,i} \varepsilon^{p}_{i,k} = 0, \] is no more than a particular case of the relation (5).

We have, next, each $v_{1}$ having as limits two $v_{0}$, and two only, which gives us congruences (3) of the form: \[ a^{1}_{i} \equiv a^{0}_{j} - a^{0}_{k}, \] and a relation analogous to (5) and (5 bis): \[ \sum_{j} \varepsilon^{1}_{i,j} = 0, \] which would again come under the form (5), on agreeing to make all the $\varepsilon^{0}$ equal to $+1$.

page 294

On the other hand, let us consider one of the $a^{q}_{i}$, all the $a^{q+1}_{j}$ to which it serves as boundary; all the $a^{q+2}_{k}$ to which these $a^{q+1}_{j}$ serve as boundaries, and so on. The set of all these manifolds will constitute what we have called an aster (Analysis situs, page 106).

We saw (loc. cit., page 107) that the polyhedron which corresponds to an aster must be simply connected. Thus one condition for a polyhedron to be able to correspond to a given scheme is that the polyhedra which correspond to the different asters, according to the convention of page 107 of the Analysis situs, be all simply connected.

Let us now consider one of the $a^{q}_{i}$, all the $a^{q-1}_{j}$ which serve it as boundaries, the $a^{q-2}_{k}$ which serve as boundaries to these $a^{q-1}_{j}$, and so on. This set of manifolds will constitute a polyhedron of $q$ dimensions; we shall suppose that this polyhedron is simply connected.

This is no longer a necessary condition for a polyhedron to be able to correspond to the scheme; it is simply a condition which, unless notice is given to the contrary, we shall suppose fulfilled.

To illustrate these definitions by some examples, let us see first what the scheme is of the generalized tetrahedron defined on page 105 (Analysis situs).

The faces of this tetrahedron will be defined by the $n+1$ equations: \[ \begin{aligned} &x_{1} = 0, \qquad x_{2} = 0, \qquad \ldots, \qquad x_{n} = 0\\ &x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n} = 1. \end{aligned} \tag{6} \]

One will obtain the $a^{q}_{i}$ by suppressing $q+1$ of these equations; to define the sense of the manifold $a^{q}_{i}$, we shall suppose that one suppresses these $q+1$ equations, but without changing the order of the $n-q$ remaining equations.

This posed, let us consider the relation of $a^{q}_{i}$ and of $a^{q-1}_{j}$ and seek to determine the number $\varepsilon^{q}_{i,j}$.

First, in order that $a^{q-1}_{j}$ belong to $a^{q}_{i}$, it is necessary that $a^{q-1}_{j}$ be defined by the $n-q$ equations which define $a^{q}_{i}$, to which one must adjoin an $(n-q+1)^{\text{th}}$ equation, taken from among the equations (6). If this is not so, the number $\varepsilon^{q}_{i,j}$ will be null.

page 295

Let us suppose, then, that $a^{q-1}_{j}$ is obtained by suppressing the $q$ equations which occupy the \[ \alpha_{1}, \qquad \alpha_{2}, \qquad \ldots, \qquad \alpha_{q} \] ranks.

Let us suppose that $a^{q}_{i}$ is obtained by suppressing, in addition, the $\beta^{\text{th}}$ equation; then the number $\varepsilon^{q}_{i,j}$, whose absolute value will always be equal to 1, will have the same sign as the product: \[ (\beta - \alpha_{1})(\beta - \alpha_{2}) \ldots (\beta - \alpha_{q}). \]

It is then easy to verify that the relation (5) holds.

Let us consider, indeed, the manifold $a^{q-2}_{k}$, obtained by suppressing the equations of rank $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q-1}$, and the manifold $a^{q}_{i}$, obtained by suppressing, in addition, the equations of rank $\beta$ and $\gamma$. (It is clear that if $a^{q}_{i}$ were not obtained by suppressing the same equations as for $a^{q-2}_{k}$, plus two others, all the products $\varepsilon^{q}_{i,j} \varepsilon^{q-1}_{j,k}$ would be null).

In this case, all these products will again be null, except two: \[ \varepsilon^{q}_{i,1} \varepsilon^{q-1}_{1,k} \qquad \text{and} \qquad \varepsilon^{q}_{i,2} \varepsilon^{q-1}_{2,k}, \] which will correspond to the two manifolds $a^{q-1}_{1}$ and $a^{q-2}_{2}$Editorial note: Printed $a^{q-2}_{2}$; the context requires $a^{q-1}_{2}$, an apparent misprint., obtained respectively by suppressing the equations of rank $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q-1}, \beta$ and those of rank $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{q-1}, \gamma$.

Then the four numbers \[ \varepsilon^{q}_{i,1}, \qquad \varepsilon^{q-1}_{1,k}, \qquad \varepsilon^{q}_{i,2}, \qquad \varepsilon^{q-1}_{2,k} \] will have respectively the same sign as: \[ \begin{aligned} (\gamma - \beta)(\gamma - \alpha_{1})(\gamma - \alpha_{2}) \ldots (\gamma - \alpha_{q-1})&,\\ (\beta - \alpha_{1})(\beta - \alpha_{2}) \ldots (\beta - \alpha_{q-1})&,\\ (\beta - \gamma)(\beta - \alpha_{1})(\beta - \alpha_{2}) \ldots (\beta - \alpha_{q-1})&,\\ (\gamma - \alpha_{1})(\gamma - \alpha_{2}) \ldots (\gamma - \alpha_{q-1})&. \end{aligned} \]

page 296

One thus verifies that the two products which are not null are equal and of contrary sign. Q. E. D.${}^{(*)}$

§ III. Reduced Betti numbers.

I am now going to look for the numbers of Betti relative to a polyhedron, but in order to avoid the ambiguity whose possibility I pointed out above, I shall agree to define these numbers in the second way, that is to say that $P_{q} - 1$ will be the number of closed manifolds of $q$ dimensions that can be traced on our polyhedron $V$ and that are linearly independent, I mean, that are connected by no homology with integer coefficients, in the sense of the Analysis situs, page 18.

But I shall first set myself to determine the number $P'_{q} - 1$ of manifolds of $q$ dimensions, closed and linearly independent, that can be traced on our polyhedron $V$, but restricting ourselves to those which are combinations of the manifolds $v_{q}$.

The number $P'_{q}$ will then be what I shall call the reduced Betti number.

The manifolds of $q$ dimensions which are combinations of the $v_{q}$ can evidently be represented by: \[ \sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}, \] the $\lambda_{i}$ being integer coefficients and the letters $a^{q}_{i}$ continuing to denote the different manifolds $v_{q}$.

What, first, is the condition for the manifold $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ to be closed?

For that, let us look for the manifolds $v_{q-1}$ which form the boundaries of this manifold. To find them, it evidently suffices to replace $a^{q}_{i}$ by its value given by the congruence (3).

(*) The polyhedron thus defined, as well as every polyhedron of $n$ dimensions bounded by $n+1$ plane manifolds, will be called a rectilinear generalized tetrahedron. I shall call a generalized tetrahedron every manifold homeomorphic to a rectilinear generalized tetrahedron.

page 297

This set of boundary manifolds will therefore be given by the formula: \[ \sum_{i} \sum_{j} \lambda_{i} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \]

For the manifold $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ to be closed, it suffices, then, that one have identically: \[ \sum_{i} \sum_{j} \lambda_{i} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j} = 0, \] that is to say that, whatever $j$ may be, one have: \[ \sum_{i} \lambda_{i} \varepsilon^{q}_{i,j} = 0. \]

In other words, the manifold $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ will be closed if one has: \[ \sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i} \equiv 0, \tag{7, $q$} \] by virtue of the congruences (3, $q$); I so call those of the congruences (3) which connect the $a^{q}_{i}$ to the $a^{q-1}_{j}$.

Let us now look for the homologies which can exist between the manifolds $a^{q}_{i}$. One will obtain all these homologies by combining those that can be obtained in the following way.

Let us consider the congruence: \[ a^{q+1}_{k} \equiv \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i}, \tag{8} \] which, according to the convention we have just made,.Editorial note: A stray point follows the comma in the print. is a congruence (3, $q + 1$); let us replace the sign $\equiv$ by $\backsim$, and the first member by zero; there will come: \[ \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i} \backsim 0. \tag{9, $q$} \]

This homology will evidently hold since, by definition, it expresses, like the congruence (8), that the $a^{q}_{i}$ form the complete boundary of $a^{q+1}_{k}$.

page 298

We shall prove further on (§ 6) that there are no others.

I denote this homology by (9, $q$) to mark that it holds between the $a^{q}_{i}$.

I say that if the homology (9, $q$) holds, the congruence \[ \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i} \equiv 0 \tag{10, $q$} \] will be a consequence of the congruences (3, $q$).

Let us replace, indeed, the $a^{q}_{i}$ by their values, given by these congruences (3, $q$); there will come: \[ \sum_{i} \varepsilon^{q+1}_{k,i} a^{q}_{i} \equiv \sum_{i} \sum_{j} \varepsilon^{q+1}_{k,i} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \] The second member is identically null by virtue of the relations (5).

This posed, let $\alpha_{q}$ be the number of the manifolds $a^{q}_{i}$; let $\alpha'_{q}$ be the number of these manifolds which remain distinct if one does not regard as distinct manifolds connected by a homology of the form (9, $q$); let $\alpha''_{q}$ be the number of these manifolds which remain distinct if one does not regard as distinct manifolds connected by a congruence of the form (7, $q$).

It results from these definitions:

1° that there are $\alpha_{q} - \alpha'_{q}$ distinct homologies of the form (9, $q$);

2° that there are $\alpha_{q} - \alpha''_{q}$ distinct congruences of the form (7, $q$);

3° that \[ \alpha'_{q} \geqq \alpha''_{q}; \] for if several $a^{q}_{i}$ are connected by a homology of the form (9, $q$), they will likewise be connected by the corresponding congruence (10, $q$).

Finally the number sought, $P'_{q} - 1$, is equal to \[ \alpha'_{q} - \alpha''_{q}, \] for the closed manifolds of the form $\displaystyle\sum_{i} \lambda_{i} a^{q}_{i}$ that are really distinct are equal in number to the congruences (7, $q$), that is to say to the number $\alpha_{q} - \alpha''_{q}$.

The number $P'_{q} - 1$ is the number of those manifolds which remain

page 299

distinct when one does not regard as distinct those which are connected by a homology (9, $q$). Now the number of these homologies is $\alpha_{q} - \alpha'_{q}$; we have therefore: \[ P'_{q} - 1 = (\alpha_{q} - \alpha''_{q}) - (\alpha_{q} - \alpha'_{q}) = \alpha'_{q} - \alpha''_{q} \qquad \text{Q.~E.~D.} \] Let $a^{q}_{1}, a^{q}_{2}, \ldots, a^{q}_{i}$ be manifolds $v_{q}$, $i$ in number, and \[ \begin{aligned} a^{q}_{1} &\equiv \sum \varepsilon^{q}_{1,j} a^{q-1}_{j}, \\ a^{q}_{2} &\equiv \sum \varepsilon^{q}_{2,j} a^{q-1}_{j}, \\ &\ldots\ldots\ldots\ldots \\ a^{q}_{i} &\equiv \sum \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j} \end{aligned} \] the corresponding congruences (3). Let us form the corresponding homologies: \[ \sum \varepsilon^{q}_{1,j} a^{q-1}_{j} \backsim 0, \qquad \sum \varepsilon^{q}_{2,j} a^{q-1}_{j} \backsim 0, \qquad \ldots, \qquad \sum \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j} \backsim 0. \] The necessary and sufficient condition for these homologies to be distinct is that there be between the $i$ manifolds $a^{q}_{1}, a^{q}_{2}, \ldots, a^{q}_{i}$ no congruence of the form: \[ \lambda_{1} a^{q}_{1} + \lambda_{2} a^{q}_{2} + \ldots + \lambda_{i} a^{q}_{i} \equiv 0. \]

The number of distinct homologies is therefore equal to the number of distinct $a^{q}_{i}$, taking account of the congruences (7, $q$). Hence: \[ \alpha_{q-1} - \alpha'_{q-1} = \alpha''_{q}, \] or \[ \alpha_{q-1} = \alpha'_{q-1} + \alpha''_{q}. \] We shall have on the other hand \[ \alpha'_{0} = 1. \] If, indeed, one can go from any vertex $a^{0}_{1}$ to any other

page 300

vertex $a^{0}_{i}$ by following edges (that is to say if the polyhedron is all of one piece), one will have the homology: \[ a^{0}_{1} \backsim a^{0}_{i}, \] that is to say that there will be only one distinct vertex, taking account of the homologies.

Let us now consider the congruence (3 bis) \[ P \equiv \sum a^{p}_{i}; \] the corresponding homology is written: \[ \sum a^{p}_{i} \backsim 0, \] and there is no other homology (9, $p$). Hence \[ \alpha_{p} = \alpha'_{p} + 1. \] Moreover, the polyhedron being all of one piece, only one of the combinations $\displaystyle\sum \lambda_{i} a^{p}_{i}$ can be closed; it is the polyhedron itself in its entirety, represented by the formula $\displaystyle\sum a^{p}_{i}$.

We shall therefore have a single congruence of the form (7, $p$): \[ \sum a^{p}_{i} \equiv 0. \] Hence \[ \alpha_{p} = \alpha''_{p} + 1, \qquad \alpha'_{p} = \alpha''_{p}. \] We have therefore the series of equations: \[ \begin{aligned} &\alpha'_{0} = 0, \\ &\alpha_{0} = \alpha'_{0} + \alpha''_{1}, &&\qquad \alpha'_{1} - \alpha''_{1} = P'_{1} - 1, \\ &\alpha_{1} = \alpha'_{1} + \alpha''_{2}, &&\qquad \alpha'_{2} - \alpha''_{2} = P'_{2} - 1, \\ &\ldots\ldots\ldots &&\qquad \ldots\ldots\ldots\ldots \\ &\alpha_{p-1} = \alpha'_{p-1} + \alpha''_{p}, &&\qquad \alpha'_{p-1} - \alpha''_{p-1} = P'_{p-1} - 1, \\ &\alpha_{p} = \alpha'_{p} + 1, &&\qquad \alpha'_{p} - \alpha''_{p} = 0, \end{aligned} \] Editorial note: The first row is printed $\alpha'_{0} = 0$; page 299 gives $\alpha'_{0} = 1$, which the final $\mp 1$ of the formula on page 301 requires; an apparent misprint.

page 301

from which one easily draws: \[ \begin{aligned} &\alpha_{p} - \alpha_{p-1} + \alpha_{p-2} - \ldots \pm \alpha_{1} \mp \alpha_{0} = 1 - (P'_{p-1} - 1) + \ldots \\ &\qquad \ldots \mp (P'_{2} - 1) \pm (P'_{1} - 1) \mp 1, \end{aligned} \] entirely analogous to the formula: \[ \begin{aligned} &\alpha_{p} - \alpha_{p-1} + \alpha_{p-2} - \ldots \pm \alpha_{1} \mp \alpha_{0} = 1 - (P_{p-1} - 1) + \ldots \\ &\qquad \ldots \mp (P_{2} - 1) \pm (P_{1} - 1) \mp 1, \end{aligned} \] which we found in the Analysis situs, page 121.

§ IV. Subdivision of polyhedra.

Let us consider a polyhedron $V$ of $p$ dimensions, with its various manifolds: \[ a^{p}_{i}, \qquad a^{p-1}_{i}, \qquad \ldots, \qquad a^{1}_{i}, \qquad a^{0}_{i}. \]

Let us suppose that one subdivides each of the manifolds $a^{p}_{i}$ into several others, which I shall call the $b^{p}_{i}$; let next $b^{p-1}_{i}$ be the manifolds of $p - 1$ dimensions which serve as boundary to the $b^{p}_{i}$; let $b^{p-2}_{i}$ be the manifolds of $p - 2$ dimensions which serve as boundaries to the $b^{p-1}_{i}$; … and, finally, $b^{0}_{i}$ the manifolds of 0 dimensions (vertices) which serve as boundaries to the $b^{1}_{i}$ (edges).

One will thus have a new polyhedron $V'$, which will be derived from the polyhedron $V$, in the sense that I attached to that word on page 101 of the Analysis situs.

One may suppose, moreover, that if a manifold $v_{q-1}$, simply or multiply connected, serves as boundary to two manifolds $b^{q}_{j}$ and $b^{q}_{k}$, it does not necessarily form a single one of the manifolds $b^{q-1}_{i}$, but may itself be subdivided into several manifolds $b^{q-1}_{i}$. In this case, to take up again the terminology of pages 102 and 103 of the Analysis situs, these manifolds $b^{q-1}_{i}$ will be irregular and the manifolds $b^{q-2}_{i}$ which separate them from one another will be singular.

page 302

This posed, let us seek a classification of the manifolds $b^{q}_{i}$.

If a manifold $b^{q}_{i}$ does not form part of one of the manifolds $a^{q}_{j}$, it will form part of one of the manifolds $a^{q+1}_{j}$, or of one of the manifolds $a^{q+2}_{j}$, …, or, at the least, of one of the manifolds $a^{p}_{j}$.

Can it form part at once of two manifolds $a^{m}_{j}$ and $a^{m}_{k}$?

Given the way in which the subdivision has been supposed made, always adding new boundaries without ever suppressing any, this can happen only if these two manifolds $a^{m}_{j}$ and $a^{m}_{k}$ are contiguous and have a common boundary $a^{m-1}_{h}$, and if $b^{q}_{i}$ forms part of this boundary $a^{m-1}_{h}$.

I suppose then that $b^{q}_{i}$ forms part of $a^{h}_{j}$, and forms part of no manifold $a^{m}_{k}$ where $m < h$. The manifold $a^{h}_{j}$ always exists and one has $h \geqq q$; moreover, the manifold $a^{h}_{j}$ is unique, that is to say that $b^{q}_{i}$ cannot form part at once of two different manifolds $a^{h}_{j}$ and $a^{h}_{k}$.

If therefore I agree to place in one and the same class all the manifolds $b^{q}_{i}$ which form part of the manifold $a^{h}_{j}$ without forming part of any of the manifolds $a^{m}_{k}$ where $m < h$, every manifold $b^{q}_{i}$ will form part of one class and of one only.

I can then represent $b^{q}_{i}$ by a notation with four indices \[ b^{q}_{i} = B(q, h, j, k); \] the index $q$ indicates the number of dimensions of $b^{q}_{i}$; the indices $h$ and $j$ indicate that $b^{q}_{i}$ forms part of the class $a^{h}_{j}$; and the index $k$ serves to distinguish from one another the different manifolds of one and the same class. One has $h \geqq q$.

We shall then have, to define the polyhedron $V$ and its subdivision:

1° The congruences (3, $q$), relative to the polyhedron $V$, which I shall write: \[ a^{q}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \tag{3, $q$, $i$} \]

2° The equations which give the subdivision of the manifold $a^{q}_{i}$: \[ a^{q}_{i} = \sum_{k} B(q, q, i, k). \tag{1, $q$, $i$} \]

3° The congruences analogous to the congruences (3), but relative

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to the polyhedron $V'$; I shall write them: \[ B(q, h, j, k) \equiv \sum \zeta B(q - 1, h', j', k'). \tag{2, $q$, $h$, $j$, $k$} \]

The $\zeta$ are numbers equal to $\pm 1$, or to 0; they depend on the seven indices $q$, $h$, $j$, $k$, $h'$, $j'$, $k'$, so that I shall write them, when that is necessary, in the form: \[ \zeta(q, h, j, k, h', j', k'). \]

Under the sign $\displaystyle\sum$, the indices $h'$, $j'$, $k'$ can take all values. Let us observe, however, that the $B(q - 1)$ which serve as boundary to $B(q, h, j, k)$ must, like $B(q, h, j, k)$, form part of $a^{h}_{j}$; but they may form part of other manifolds $a^{h'}_{j'}$, of a smaller number of dimensions, but forming part of $a^{h}_{j}$. One will therefore have \[ h' \leqq h, \qquad h' \geqq q - 1. \]

Moreover, if $h' = h$, one will have $j' = j$.

In order that the relations (1), (2), (3) may define a true subdivision, they must satisfy certain conditions.

The relations (1, $q$, $i$), (3, $q$, $i$) give \[ \sum_{k} B(q, q, i, k) \equiv \sum \varepsilon^{q}_{i,j} a^{q-1}_{j}. \tag{$\alpha$} \]

If in the first member I replace $B(q, q, i, k)$ by its value, drawn from (2, $q$, $q$, $i$, $k$), and $a^{q-1}_{j}$ by its value drawn from (1, $q - 1$, $j$), the two members must become identicalEditorial note: Printed identique; the agreement with membres requires identiques.; that is a first condition, which is evident; it is not, however, sufficient.

§ V. Influence of subdivision on the reduced Betti numbers.

Let $\displaystyle\sum \alpha B(q, h, j, k)$ be a combination of the manifolds $b^{q}_{i}$ which represents a closed manifold of $q$ dimensions, in such a way that one

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has, with our notations, \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \equiv 0, \qquad (h \geqq q) \tag{1} \]

Among the manifolds $b^{q}_{i}$ which figure in the first member of (1), let us gather together those which belong to one and the same class. Let \[ S \alpha B(q, h, j, k) \] be the set of those which belong to the class $a^{h}_{j}$; the summation sign $S$ signifies, then, that one takes only the manifolds of one and the same class, whereas the sign $\displaystyle\sum$ signifies that one takes them all.

One will then have: \[ S \alpha B(q, h, j, k) \equiv \sum \beta B(q - 1, h', j', k'), \tag{2} \] that is to say that the manifold of $q - 1$ dimensions $\displaystyle\sum \beta B(q - 1, h', j', k')$ forms the complete boundary of the manifold of $q$ dimensions \[ S \alpha B(q, h, j, k). \]

The manifolds $a^{h'}_{j'}$ must belong to the boundary of $a^{h}_{j}$, or coincide with $a^{h}_{j}$; indeed, $B(q - 1, h', j', k')$ belongs to $a^{h'}_{j'}$ and, on the other hand, to one of the $B(q, h, j, k)$, which itself forms part of $a^{h}_{j}$; if therefore $a^{h'}_{j'}$ did not form part of $a^{h}_{j}$, $B(q - 1, h', j', k')$ would form part of a manifold $a^{m}_{k}$, a part common to $a^{h}_{j}$ and $a^{h'}_{j'}$, and which would have fewer than $h'$ dimensions. This is contrary to the definition that we have given of the classes.

On the other hand $a^{h'}_{j'}$ cannot coincide with $a^{h}_{j}$.

Let, indeed, \[ S_{1} \alpha_{1} B(q, h_{1}, j_{1}, k_{1}) = \sum \alpha B(q, h, j, k) - S \alpha B(q, h, j, k) \] be the set of the manifolds which figure in the first member of (1) and which do not belong to the class $a^{h}_{j}$; one will evidently have: \[ S_{1} \alpha_{1} B(q, h_{1}, j_{1}, k_{1}) \equiv - \sum \beta B(q - 1, h', j', k'). \]

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Hence $B(q - 1, h', j', k')$ must form part at once of $a^{h'}_{j'}$ and of one of the $B(q, h_{1}, j_{1}, k_{1})$, and consequently of one of the $a^{h_{1}}_{j_{1}}$, different from $a^{h}_{j}$. If therefore $a^{h'}_{j'}$ coincided with $a^{h}_{j}$, \[ B(q - 1, h', j', k') = B(q - 1, h, j, k) \] would have to belong to a manifold $a^{m}_{k}$, a part common to $a^{h}_{j}$ and $a^{h_{1}}_{j_{1}}$. One of two things: either $a^{h}_{j}$ would not form part of $a^{h_{1}}_{j_{1}}$, and then one would again have $m < h$, which would again be contrary to the definition of the classes; or $a^{h}_{j}$ would form part of $a^{h_{1}}_{j_{1}}$, and then one would have $h_{1} > h$. Let us suppose that I have chosen the class $a^{h}_{j}$ which corresponds to the greatest number $h$. Then one cannot have $h_{1} > h$, and $a^{h'}_{j'}$ must belong to the boundary of $a^{h}_{j}$.

The congruence (2) entails the homology \[ \sum \beta B(q - 1, h', j', k') \backsim 0; \tag{3} \] since, on the other hand, $a^{h}_{j}$ is simply connected and all the manifolds $B(q - 1, h', j', k')$ are situated on the boundary of $a^{h}_{j}$, the first member of (3), representing a closed manifold of $q - 1$ dimensions situated on this boundary, will form the complete boundary of a manifold of $q$ dimensions \[ \sum \gamma B(q, h'', j'', k''), \] likewise situated on the boundary of $a^{h}_{j}$. (There would be an exception if one had $h = q$). So that one will have the congruence \[ \sum \beta B(q - 1, h', j', k') \equiv \sum \gamma B(q, h'', j'', k''). \tag{4} \]

Moreover, since $B(q, h'', j'', k'')$ is on the boundary of $a^{h}_{j}$, the same will hold for $a^{h''}_{j''}$; for if $B(q, h'', j'', k'')$ forms part at once of $a^{h''}_{j''}$ and of a manifold $a^{h'}_{j'}$ forming part of the boundary of $a^{h}_{j}$; either $a^{h''}_{j''}$ does not form part of $a^{h'}_{j'}$, and then $B$ would have to form part of $a^{m}_{k}$, where $m < h''$, and we have seen that this was impossible.

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One has therefore \[ h'' < h. \]

The congruences (2) and (4) give \[ S \alpha B(q, h, j, k) \equiv \sum \gamma B(q, h'', j'', k''), \] and, since all the manifolds which figure in this congruence form part of $a^{h}_{j}$ or of its boundary, and since, on the other hand, $a^{h}_{j}$ is simply connected, one will have the homology \[ S \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \gamma B(q, h'', j'', k''). \]

One can, then, replace, in the first member of (1), the set of the terms $S \alpha B(q, h, j, k)$ by the set of the terms \[ \sum \gamma B(q, h'', j'', k''). \]

If one operates in the same way for all the classes corresponding to one and the same value of $h$, the greatest of all, one will have replaced the first member of (1) by \[ \sum \alpha_{2} B(q, h_{2}, j_{2}, k_{2}), \] where the greatest value of $h_{2}$ will be smaller than the greatest value of $h$. One will have, moreover, the homology \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \alpha_{2} B(q, h_{2}, j_{2}, k_{2}). \]

Continuing in this way, one can diminish the greatest value of $h$ further still. One will be stopped only when one has $h = q$ everywhere.

One can therefore, finally, replace the first member of (1) by: \[ \sum \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}), \]

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and one will have moreover: \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \tag{5} \] \[ \sum \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \equiv 0. \tag{6} \]

This posed, in the first member of (6) let us take the congruences which belong to a determinate class $a^{h}_{j_{0}}$; let it be: \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}). \]

We shall have: \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \equiv \sum \beta_{0} B(q - 1, h'_{0}, j'_{0}, k'_{0}). \tag{7} \]

We should see, as above, that $a^{h'_{0}}_{j'_{0}}$ must form part of the boundary of $a^{q}_{j_{0}}$, whence $h'_{0} < q$ (and, since $h'_{0} \geqq q - 1$, one will have $h'_{0} = q - 1$).

Let then: \[ a^{q}_{j_{0}} = \sum B(q, q, j_{0}, k_{0}) \tag{8} \] be the equation (1, $q$, $j_{0}$) which defines the subdivision of the manifold $a^{q}_{j_{0}}$, and let $B(q, q, j_{0}, 1)$ and $B(q, q, j_{0}, 2)$ be two manifolds figuring in the second member of (8); I say that they must figure in the first member of (6) with the same coefficient $\alpha_{0}$.

Let us suppose, first, that these two manifolds are adjacent; among the manifolds of $q - 1$ dimensions which will serve them as common boundary, there will be at least one which will not belong to the boundary of $a^{q}_{j_{0}}$, and which will consequently form part of the class $a^{q}_{j_{0}}$.

Let $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ be this manifold: it will not belong to any other of the manifolds $B(q, q, j_{0}, k)$.

Let then \[ \begin{aligned} B(q, q, j_{0}, 1) &\equiv \varepsilon b^{q-1}_{i} \\ B(q, q, j_{0}, 2) &\equiv \varepsilon b^{q-1}_{i} \\ B(q, q, j_{0}, k) &\equiv \varepsilon b^{q-1}_{i} \qquad (k > 2) \end{aligned} \tag{9} \]

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be the congruences (2, $q$, $q$, $j_{0}$, 1), (2, $q$, $q$, $j_{0}$, 2), (2, $q$, $q$, $j_{0}$, $k$), which make known to us the boundaries of the manifolds $B(q, q, j_{0})$. Let us see with what coefficient $\varepsilon$ the manifold $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ will figure in these congruences.

From what we have just seen, it will be with the coefficient $+1$ in the first, with the coefficient $-1$ in the second, with the coefficient 0 in the others.

Let then $\alpha_{1}$ and $\alpha_{2}$ be the values of the coefficients $\alpha_{0}$ corresponding to the two manifolds $B(q, q, j_{0}, 1)$ and $B(q, q, j_{0}, 2)$.

The combination of the congruences (9) will furnish us a congruence \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) \equiv \varepsilon b^{q-1}_{i}, \tag{10} \] which must be identical with (7), and the coefficient $\varepsilon$ with which $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ will figure in the second member of (10) will evidently be $\alpha_{1} - \alpha_{2}$. But $B(q - 1, q, j_{0}, 1)$ cannot figure in the second member of (7), since we have seen that in this second member one must have $h'_{0} = q - 1$. Hence one must have $\alpha_{1} - \alpha_{2} = 0$.

Thus the two manifolds $B(q, q, j_{0}, 1)$ and $B(q, q, j_{0}, 2)$ must have the same coefficient $\alpha_{0}$ if they are adjacent. This will still be true if they are not, because, $a^{q}_{j_{0}}$ being all of one piece, one can pass from one of these manifolds to the other by a sequence of other analogous manifolds, each of them adjacent to the one which precedes it.

Hence the coefficient $\alpha_{0}$ is the same for all our manifolds. Whence: \[ S \alpha_{0} B(q, q, j_{0}, k_{0}) = \alpha_{0} \sum B(q, q, j_{0}, k_{0}) = \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}}. \]

The congruence (6) and the homology (5) can therefore be written: \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim \sum \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}} \tag{5 \textit{bis}} \] \[ \sum \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}} \equiv 0. \tag{6 \textit{bis}} \]

If any number of congruences of the form (1) are distinct, that is to say if no linear combination of their first

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members is homologous to 0, I say that the congruences (6 bis) will likewise be distinct, and conversely.

Indeed the comparison of the relations (1), (5 bis) and (6 bis) shows that if one has \[ \sum \alpha B(q, h, j, k) \backsim 0, \] one will likewise have \[ \sum \alpha_{0} a^{q}_{j_{0}} \backsim 0, \] and conversely.

It follows from this that if the $a^{q}_{i}$ and the $b^{q}_{i}$ are simply connected, the reduced numbers of Betti are the same for the two polyhedra $V$ and $V'$.

Let now $W$ be any closed manifold of $q$ dimensions situated on $V$. One can always construct a polyhedron $V'$, derived from $V$ in the sense of page 101 of the Analysis situs, and such that $W$ is a combination of the $b^{q}_{i}$.

We must therefore conclude that: if the $a^{q}_{i}$ are simply connected, the reduced numbers of Betti relative to the polyhedron $V$ are identical with the numbers of Betti properly so called, defined in the second way.

§ VI. Return to the proofs of § III.

We have to return here to an essential point of the preceding reasoning. I said above that there was no homology other than the homologies (9, $q$) obtained in § 3. That is not evident; it would not even always be true if we did not suppose the $a^{q}_{i}$ simply connected.

Let us prove it first for a polyhedron $P$ in space of 4 dimensions.

Let us consider a certain number of manifolds $v_{2}$ or $a^{2}_{i}$ belonging to this polyhedron; I shall call them its faces, just as the $a^{3}_{i}$, the $a^{1}_{i}$ and the $a^{0}_{i}$ of this polyhedron $P$ may be called its cells, its edges and its vertices.

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Let us suppose that one has between these faces $a^{2}_{i}$ a homology \[ \sum a^{2}_{i} \backsim 0. \]

This homology signifies that there exists a manifold of 3 dimensions, $V$, forming part of $P$ and admitting $\displaystyle\sum a^{2}_{i}$ as complete boundary.

I say that $V$ is composed of a certain number of cells of $P$.

If, indeed, a point of a cell belongs to $V$, the same will hold for every other point of this cell, for one can go from the first point to the second without meeting any face and, consequently, without meeting the boundary of $V$ and without leaving $V$.

The theorem is therefore evident as regards the polyhedra of space of 4 dimensions and the homologies between the faces.

Let there now be a homology between the edges: \[ \sum b_{1} \backsim 0, \] the $b_{1}$ being a certainEditorial note: Printed “cetain” for “certain”; an apparent misprint. number of edges $a^{1}_{i}$. That means that there exists a manifold of 2 dimensions, $V$, of which $\displaystyle\sum b_{1}$ is the complete boundary.

I shall denote by $V(a^{k}_{i})$ the set of points common to $V$ and to $a^{k}_{i}$.

The $V(a^{3}_{i})$ will be manifolds of 2 dimensions, whose boundary will be formed either by some of the edges $b_{1}$, or by the $V(a^{2}_{j})$, the $a^{2}_{j}$ being the faces which serve as boundary to the cell $a^{3}_{i}$. One can, indeed, leave $V(a^{3}_{i})$ only by leaving $V$ through its boundary, that is to say by crossing one of the $b_{1}$, or by leaving $a^{3}_{i}$ through its boundary, that is to say by crossing a face $a^{2}_{j}$, and, since one stays on $V$, by crossing one of the lines $V(a^{2}_{j})$.

The total manifold $V$ is formed of the set of the $V(a^{3}_{i})$.

Let us now consider $V(a^{2}_{i})$; we must distinguish two cases:

1° either none of the edges $b_{1}$ belongs to $a^{2}_{i}$. We can then leave $V(a^{2}_{i})$ only by leaving $a^{2}_{i}$, that is to say by crossing one of the edges $a^{1}_{j}$; the boundary of $V(a^{2}_{i})$ is therefore formed by the $V(a^{1}_{j})$.

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2° or one (or several) edge $b_{1}$ forms part of $a^{2}_{i}$; in this case it will likewise form part of $V(a^{2}_{i})$; but it may happen that $V(a^{2}_{i})$ is composed, besides the edge $b_{1}$, of other lines; these lines will have as boundaries points $V(a^{1}_{j})$, or points situated on $b_{1}$. These points situated on $b_{1}$, where the other lines of which $V(a^{2}_{i})$ is composed come to end on the edge $b_{1}$, will be what I shall call nodal points.

In all cases $V(a^{2}_{i})$ will be a line or a set of lines; if, indeed, $V(a^{2}_{i})$ were a surface, it would be because $a^{2}_{i}$, or a portion of this face, formed part of $V$. But I have the right to deform $V$, provided that I do not change its boundary $\displaystyle\sum b_{1}$; I can always, by an infinitely small deformation, prevent a region of $a^{2}_{i}$ from forming part of $V$.

For the same reason I can always suppose that $V(a^{1}_{i})$ reduces to one or several points, except if $a^{1}_{i}$ is one of the edges $b_{1}$, in which case $V(a^{1}_{i})$ will be that edge itself.

This posed, I can deform $V$:

1° in such a manner that all the $V(a^{1}_{i})$ [other than $V(b_{1})$] are vertices. Let $a^{0}_{j}$ be a vertex of $a^{1}_{i}$. Let $M$ be one of the points of which $V(a^{1}_{i})$ is composed; around the point $M$ and on $V$ let us describe a small closed curve $C$. Let $K$ be the infinitely small area cut out on $V$ by this curve $C$. Let us construct a sort of sleeve, infinitely slender, surrounding the edge $a^{1}_{i}$ and passing through $C$. Through the vertex $a^{0}_{j}$ I draw any surface $S$; it will cut out on the sleeve a very small closed curve $C'$. Let $K'$ be the portion of the surface $S$ bounded by $C$Editorial note: Printed $C$; since $K'$ is the portion of $S$ cut out by the small curve $C'$, $C'$ appears to be intended.; let $H$ be the surface of the sleeve comprised between $C$ and $C'$. One will thus figure a sort of drum, of which $H$ will be the lateral surface, $K$ and $K'$ the two bases.

Let us then consider the manifold \[ V' = V - K + H + K'. \]

This manifold will have the same boundary as $V$; but it will no longer cut $a^{1}_{i}$ at $M$, since the portion $K$ of $V$, where this point $M$ was found, has been suppressed. On the other hand, $H$ will not cut the edge $a^{1}_{i}$, and $K'$ will cut this edge at $a^{0}_{j}$.

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By operating in the same way on all the points of intersection of $V$ and of $a^{1}_{i}$, one would bring all these points to coincide with $a^{0}_{j}$.

2° in such a manner that all the nodal points are vertices.

Let, indeed, $a^{2}_{i}$ be a face passing through the edge $b_{1}$; the intersection of $V$ and $a^{2}_{i}$ will comprise, besides $b_{1}$, other lines; let $c$ be one of these lines, coming to end on $b_{1}$ at a nodal point $D$. Let $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$ be the two vertices of $b_{1}$. Through $b_{1}$ I pass a surface $S$, forming part of $P$ and not cutting $a^{2}_{i}$. Since $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$ are on the boundary of $V$, I join these two points by a line $L$, situated on $V$ and departing little from $b_{1}$. This line departing little from $b_{1}$, I can draw through $L$ another surface $S'$, which will not pass through $b_{1}$, but which will cut $S$ along a line $L'$, very little different from $b_{1}$. These three lines $L$, $b_{1}$ and $L'$ will have the same extremities $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$.

Let $V_{1}$ be the portion of $V$ comprised between $L$ and $b_{1}$; let $S_{1}$ be the portion of $S$ comprised between $L'$ and $b_{1}$, and $S_{1}$Editorial note: Printed $S_{1}$ here and in the display below, the same letter as the portion of $S$; a distinct name such as $S'_{1}$ for the portion of $S'$ appears to be intended. the portion of $S'$ comprised between $L$ and $L'$.

I replace $V$ by \[ V' = V - V_{1} + S_{1} + S_{1}. \] $V'$ has the same boundaries as $V$, but $V'(a^{2}_{i})$ no longer presents nodal points apart from $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$; for if a line analogous to $c$ came to end at a nodal point situated between $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$, the portion of this line $c$ neighbouring this nodal point would have to be found on $S_{1}$, which is impossible, since $S$ does not cut $a^{2}_{i}$.

In summary: we can always suppose that the $V(a^{2}_{i})$ are lines whose extremities are vertices of $a^{2}_{i}$.

Let then $L$ be one of the lines of which $V(a^{2}_{i})$ is composed, having as extremities two vertices $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$ of $a^{2}_{i}$. One can go from $a^{0}_{j}$ to $a^{0}_{k}$ by following the perimeter of $a^{2}_{i}$; let $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ be the set of the edges of $a^{2}_{i}$ comprised between $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$. Since the face $a^{2}_{i}$ is supposed simply connected, the line $L$ will divide it into two parts. Let $Q$ be one of these parts, comprised between $L$ and $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$.

Let $a^{3}_{p}$ and $a^{3}_{q}$ be the two cells separated by $a^{2}_{i}$. Through the edges $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ I pass a surface $S$, little different from the face $a^{2}_{i}$ and situated entirely in the cell $a^{3}_{p}$; through the same edges I pass a second

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surface $S'$, little different from $a^{2}_{i}$ and situated in the cell $a^{3}_{q}$; these two surfaces $S$ and $S'$ will cut $V$ along two lines $L_{1}$ and $L'_{1}$, little different from $L$, and having as extremities $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{k}$. Let $S_{1}$ be the portion of $S$ comprised between $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ and $L_{1}$; let $S_{1}$Editorial note: Printed $S_{1}$ here and in the display below, the same letter as the portion of $S$; $S'_{1}$, the portion of $S'$, appears to be intended. be the portion of $S'$ comprised between $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$ and $L'_{1}$; let $V_{1}$ be the portion of $V$ comprised between $L_{1}$ and $L'_{1}$; it is on $V_{1}$ that $L$ will be found.

Let now \[ V' = V - V_{1} + S_{1} + S_{1}. \] $V'$ has the same boundaries as $V$; $V'$ no longer passes through $L$, but on the other hand passes through the edges $\displaystyle\sum a^{1}_{m}$.

By operating in the same manner for all the lines such as $L$, one sees that one can always suppose that all the $V(a^{2}_{i})$ reduce to combinations of edges.

Since the boundaries of $V(a^{3}_{i})$ are either $b_{1}$ or $V(a^{2}_{j})$, one sees that the boundaries of the $V(a^{3}_{i})$ are combinations of edges of $P$, and, of course, all these edges must belong to $a^{3}_{i}$. Thus, then, $V(a^{3}_{i})$ is a simply or multiply connected surface, bounded by one or several closed lines which are themselves combinations of edges of $a^{3}_{i}$.

Since the cell $a^{3}_{i}$ is simply connected, these closed lines will subdivide the surface of this cell into a certain number of regions, and since these closed lines are combinations of edges of $a^{3}_{i}$, these regions will be combinations of the faces of $a^{3}_{i}$.

One can always find a combination of these regions which will have the same boundaries as $V(a^{3}_{i})$. Let us suppose, for example, that the boundary of $V(a^{3}_{i})$ is composed of three closed lines $L, L_{1}, L_{2}$; the line $L$ will divide the surface of $a^{3}_{i}$ into two regions $R$ and $R'$; the lines $L_{1}$ and $L_{2}$ will likewise divide this surface into two regions $R_{1}$ and $R'_{1}$, or $R_{2}$ and $R'_{2}$. I suppose that, in traversing $L$ in a certain sense, one has $V(a^{3}_{i})$ on one's left, and $R$ and $R'$ on one's right; I suppose likewise that, in traversing $L_{1}$ and $L_{2}$ in a suitable sense, one has on one's left $V(a^{3}_{i})$ and $R_{1}$, or $V(a^{3}_{i})$ and $R_{2}$.

Then the manifold $R + R_{1} + R_{2}$ will have the same boundary as $V(a^{3}_{i})$; one can therefore replace $V(a^{3}_{i})$ by $R + R_{1} + R_{2}$.

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By operating in the same manner on all the $V(a^{3}_{i})$, one will have replaced $V$ by another manifold, which will have the same boundary $\displaystyle\sum b_{1}$, and which will be a combination of faces of $P$.

The theorem is therefore proved as regards the polyhedra of space of 4 dimensions and the homologies between the edges.

One would prove it in the same way for any polyhedron.

§ VII. Reciprocal polyhedron.

Let $P$ be a polyhedron in space of 4 dimensions; this polyhedron will be subdivided into a certain number of manifolds $v_{3}$, which I shall call its cells, and which I shall denote by $a^{3}_{i}$. These cells will be separated from one another by manifolds $v_{2}$ or $a^{2}_{i}$, which I shall call the faces; these faces will have as boundaries manifolds $v_{1}$, or $a^{1}_{i}$, which I shall call the edges, and the extremities of the edges will be points $v_{0}$ or $a^{0}_{i}$, which I shall call the vertices.

I shall suppose, of course, that the cells and the faces are simply connected.

Let us mark, in the interior of each cell $a^{3}_{i}$, a point $P(a^{3}_{i})$; in the interior of each face $a^{2}_{i}$, a point $P(a^{2}_{i})$; on each edge $a^{1}_{i}$, a point $P(a^{1}_{i})$; each edge will thus be divided into two parts by the point $P(a^{1}_{i})$.

Let us join by lines the point $P(a^{2}_{i})$ to each of the vertices of the face $a^{2}_{i}$ and to each of the points $P(a^{1}_{j})$ corresponding to the various edges $a^{1}_{j}$ of the face $a^{2}_{i}$. All these lines must be traced on the face $a^{2}_{i}$. This face will thus be divided into triangles, and the number of these triangles will be double the number of the edges of $a^{2}_{i}$. We shall do the same for all the other faces.

Let us now consider a cell $a^{3}_{i}$; let us decompose into triangles $T$ all the faces $a^{2}_{j}$ of this cell, as we have just said. Let us construct curvilinear triangles having as common vertex the point $P(a^{3}_{i})$ and as bases the different sides of the different triangles $T$. The cell $a^{3}_{i}$ will thus be decomposed into tetrahedra having $P(a^{3}_{i})$ as common vertex and as bases the different triangles $T$.

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We shall distinguish six sorts of lines (which will be the edges of our tetrahedra):

those of the 1^st sort will join a vertex $a^{0}_{i}$ to a point $P(a^{1}_{j})$; each edge will thus be formed of two lines of the 1^st sort;

those of the 2^nd sort will join a point $P(a^{3}_{i})$ to a point $P(a^{2}_{j})$;

» » 3^rd » » » $P(a^{2}_{i})$ » vertex $a^{0}_{j}$;

» » 4^th » » » $P(a^{1}_{i})$ » point $P(a^{2}_{j})$;

» » 5^th » » » $P(a^{3}_{i})$ » » $P(a^{1}_{j})$;

» » 6^th » » » » » vertex $a^{0}_{j}$.

The lines of the 2^nd sort can be coupled two by two in two ways:

1° What I shall call the line $b^{1}_{i}$ will be formed of two lines of the 2^nd sort, joining one and the same point $P(a^{2}_{i})$ to two points $P(a^{3}_{j})$ and $P(a^{3}_{k})$, corresponding to the two cells $a^{3}_{j}$ and $a^{3}_{k}$ separated by the face $a^{2}_{i}$. There will therefore be as many lines $b^{1}_{i}$ as faces $a^{2}_{i}$.

2° What I shall call a line $c$ will be formed of two lines of the 2^nd sort, joining one and the same point $P(a^{3}_{i})$ to two points $P(a^{2}_{j})$ and $P(a^{2}_{k})$, corresponding to two faces $a^{2}_{j}$ and $a^{2}_{k}$ of the cell $a^{3}_{i}$.

We must define surfaces which I shall call the surfaces $b^{2}_{i}$.

Let there be any edge $a^{1}_{i}$ and the point $P(a^{1}_{i})$. Let us suppose that the faces which pass through $a^{1}_{i}$ are successively: \[ a^{2}_{1}, \qquad a^{2}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{2}_{q}, \] and that the cells to which $a^{1}_{i}$ belongs are successively: \[ a^{3}_{1}, \qquad a^{3}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{3}_{q}, \] in such a way that $a^{2}_{1}$ separates $a^{3}_{1}$ from $a^{3}_{2}$, $a^{2}_{2}$ separates $a^{3}_{2}$ from $a^{3}_{3}$, …, and that, finally, $a^{2}_{q}$ separates $a^{3}_{q}$ from $a^{3}_{1}$. Let us agree, for greater symmetry, to denote the cell $a^{3}_{1}$ indifferently by $a^{3}_{1}$ or $a^{3}_{q+1}$.

Let us decompose each cell into tetrahedra, and consider in particular the tetrahedra which admit as vertex the point $P(a^{1}_{i})$. Let us consider the $2q$ curvilinear triangles: \[ P(a^{1}_{i}) P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k}), \qquad P(a^{1}_{i}) P(a^{3}_{k+1}) P(a^{2}_{k}). \qquad (k = 1, 2, \ldots, q) \]

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The set of these $2q$ triangles will form a certain polygon which I shall call $b^{2}_{i}$, and which will have as boundary the set of the lines \[ b^{1}_{1}, \qquad b^{1}_{2}, \qquad \ldots, \qquad b^{1}_{q}. \]

Let us now define the volumes $b^{3}_{i}$; the volume $b^{3}_{i}$ will be the set of the tetrahedra which admit as vertex the point $a^{0}_{i}$; this volume will be a simply connected polyhedron of 3 dimensions, which will have as boundary the set of the surfaces $b^{2}_{k}$ corresponding to the edges $a^{1}_{k}$ which end at the point $a^{0}_{i}$.

The juxtaposition of the volumes $b^{3}_{i}$ will constitute a new polyhedron $P'$, which I shall call the reciprocal polyhedron of $P$, and which will have as cells theEditorial note: Printed “le” for “les”; an apparent misprint. $b^{3}_{i}$, as faces the $b^{2}_{i}$, as edges the $b^{1}_{i}$, as vertices the points $b^{0}_{i} = P(a^{3}_{i})$.

To each cell $b^{3}_{i}$ of $P'$ will correspond a vertex $a^{0}_{i}$ of $P$,

» » face $b^{2}_{i}$ » » » an edge $a^{1}_{i}$ » »

» » edge $b^{1}_{i}$ » » » a face $a^{2}_{i}$ » »

» » vertex $b^{0}_{i}$ » » » a cell $a^{3}_{i}$ » ».

Moreover, in the sense of § II, there will be the same relation, for example, between the edge $b^{1}_{i}$ and the face $b^{2}_{j}$ as between the face $a^{2}_{i}$ and the edge $a^{1}_{j}$.

If therefore the characteristic congruences of the polyhedron $P$ are written: \[ a^{3}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{3}_{i,j} a^{2}_{i}, \qquad a^{2}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{i}, \qquad a^{1}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{1}_{i,j} a^{0}_{j}, \] Editorial note: The first two sums are printed with $a^{2}_{i}$ and $a^{1}_{i}$ under the sum over $j$; $a^{2}_{j}$ and $a^{1}_{j}$, as in the third, appear to be intended. those of the polyhedron $P'$ will be written: \[ b^{3}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{1}_{i,j} b^{2}_{j}, \qquad b^{2}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{2}_{i,j} b^{1}_{j}, \qquad b^{1}_{i} \equiv \sum_{j} \varepsilon^{3}_{i,j} b^{0}_{j}. \]

Let us now consider a line $c$, formed of two lines of the second sort, joining one and the same point $P(a^{3}_{i})$ to two points $P(a^{2}_{j})$ and $P(a^{2}_{k})$.

Let $a^{0}_{m}$ and $a^{0}_{p}$ be two vertices, belonging respectively both to the cell $a^{3}_{i}$. Let $d$ and $d'$ be the two lines of the 3^rd sort which join respectively $P(a^{2}_{j})$ to $a^{0}_{m}$ and $P(a^{2}_{k})$ to $a^{0}_{p}$.

Since $a^{0}_{m}$ and $a^{0}_{p}$ belong to one and the same cell $a^{3}_{i}$, one can go from one of these vertices to the other by following a broken line formed of edges $a^{1}_{q}$ belonging to $a^{3}_{i}$.

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Let $\displaystyle\sum a^{1}_{q}$ be this broken line, whose extremities are $a^{0}_{m}$ and $a^{0}_{p}$; the set of the lines $c - d - \displaystyle\sum a^{1}_{q} + d'$ will be a closed line, which I shall express by the congruence: \[ c \equiv d + \sum a^{1}_{q} - d'. \]

Since $a^{3}_{i}$ is simply connected, this closed line will be the boundary of a manifold of 2 dimensions interior to $a^{3}_{i}$, which I shall express by the homology: \[ c \backsim d + \sum a^{1}_{q} - d'. \]

Conversely: let $\displaystyle\sum a^{1}_{q}$ be a broken line formed of edges all belonging to $a^{3}_{i}$, and whose extremities are the vertices $a^{0}_{m}$ and $a^{0}_{p}$; these two vertices will belong respectively to two faces $a^{2}_{j}$ and $a^{2}_{k}$, both forming part of $a^{3}_{i}$. Let there be the three lines: \[ c = P(a^{2}_{j}) P(a^{3}_{i}) + P(a^{3}_{i}) P(a^{2}_{k}), \qquad d = P(a^{2}_{j}) a^{0}_{m}, \qquad d' = P(a^{2}_{k}) a^{0}_{p}. \]

One will again have \[ c \backsim d + \sum a^{1}_{q} - d'. \]

Let now $a^{0}_{i}$ be a vertex belonging to two faces $a^{2}_{j}$ and $a^{2}_{k}$. Let there be the two lines of the 3^rd sort: \[ d_{j} = P(a^{2}_{j}) a^{0}_{i}, \qquad d_{k} = P(a^{2}_{k}) a^{0}_{i}. \]

We can trace a line $L$, departing infinitely little from the vertex $a^{0}_{i}$, and going from a point of $a^{2}_{j}$ to a point of $a^{2}_{k}$.

Let us suppose, to fix ideas, that this line crosses three cells and that it meets successively the face $a^{2}_{j}$, the cell $a^{3}_{j}$, the face $a^{2}_{m}$, the cell $a^{3}_{m}$, the face $a^{2}_{p}$, the cell $a^{3}_{p}$, and finally the face $a^{2}_{k}$.

Let us construct the three lines $c$: \[ \begin{aligned} c_{j} &= P(a^{2}_{j}) P(a^{3}_{j}) + P(a^{3}_{j}) P(a^{2}_{m}), \\ c_{m} &= P(a^{2}_{m}) P(a^{3}_{m}) + P(a^{3}_{m}) P(a^{2}_{p}), \\ c_{p} &= P(a^{2}_{p}) P(a^{3}_{p}) + P(a^{3}_{p}) P(a^{2}_{k}), \end{aligned} \]

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and the two lines of the 3^rd sort: \[ d_{m} = P(a^{2}_{m}) a^{0}_{i}, \qquad d_{p} = P(a^{2}_{p}) a^{0}_{i}. \]

One will have: \[ c_{j} \equiv d_{j} - d_{m}, \qquad c_{m} \equiv d_{m} - d_{p}, \qquad c_{p} \equiv d_{p} - d_{k}; \] and since the three cells $a^{3}_{j}, a^{3}_{m}, a^{3}_{p}$ are simply connected: \[ c_{j} \backsim d_{j} - d_{m}, \qquad c_{m} \backsim d_{m} - d_{p}, \qquad c_{p} \backsim d_{p} - d_{k}, \] and finally: \[ c_{j} + c_{m} + c_{p} \backsim d_{j} - d_{k}. \]

One can therefore always find a broken line, formed of lines $c$ and homologous to $d_{j} - d_{k}$, $d_{j}$ and $d_{k}$ being lines of the 3^rd sort ending at one and the same vertex.

This posed, let \[ \sum b^{1}_{i} \equiv 0 \tag{1} \] be a congruence between the edges $b^{1}_{i}$ of the polyhedron $P'$.

The broken line $\displaystyle\sum b^{1}_{i}$ is evidently formed of an even number of lines of the 2^nd sort, and in traversing this broken line one will meet successively $q$ faces \[ a^{2}_{1}, \qquad a^{2}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{2}_{q}, \] returning to the face $a^{2}_{1}$, which I shall denote also by $a^{2}_{q+1}$; and one will meet $q$ cells \[ a^{3}_{1}, \qquad a^{3}_{2}, \qquad \ldots, \qquad a^{3}_{p}, \] Editorial note: Printed $a^{3}_{p}$ as the last term; $a^{3}_{q}$ is intended, as the text speaks of $q$ cases and continues with $a^{3}_{q+1}$. returning to the cell $a^{3}_{1}$, which I shall denote also by $a^{3}_{q+1}$, so that the face $a^{2}_{k}$ will separate the cell $a^{3}_{k}$ from the cell $a^{3}_{k+1}$.

Our congruence is then written: \[ \sum [P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k}) + P(a^{2}_{k}) P(a^{3}_{k+1})] \equiv 0, \]

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or, what comes to the same thing, \[ \sum [P(a^{2}_{k-1}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k})] = 0. \]

Let then $a^{0}_{k}$ be a vertex of the face $a^{2}_{k}$, belonging, consequently, at once to the cells $a^{3}_{k}$ and $a^{3}_{k+1}$.

Let $d_{k}$ be the line of the 3^rd sort $P(a^{2}_{k}) a^{0}_{k}$; we have just seen that there exists a broken line $A_{k}$, formed of edges belonging to the cell $a^{3}_{k}$, and such that one has the homology: \[ P(a^{2}_{k-1}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k}) \backsim d_{k-1} + A_{k} - d_{k}. \]

On adding all these homologies, the first member reduces to: \[ \sum [P(a^{2}_{k-1}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a^{2}_{k})] = \sum b^{1}_{i}; \] the lines of the 3^rd sort $d_{k}$ disappear, and there remains: \[ \sum b^{1}_{i} \backsim \sum A_{k}, \] and consequently \[ \sum b^{1}_{i} \equiv \sum A_{k} \equiv 0. \]

Hence, to every congruence $\displaystyle\sum b^{1}_{i} \equiv 0$ between the edges of $P'$ there corresponds a congruence $\displaystyle\sum A_{k} \equiv 0$ between the edges of $P$, and such that one has: \[ \sum b^{1}_{i} \backsim \sum A_{k}. \] If therefore one has $\displaystyle\sum b'_{i} \backsim 0$Editorial note: Printed with a prime-like mark in place of the superscript 1, as $b'_{i}$; the context requires $b^{1}_{i}$., one will have $\displaystyle\sum A_{k} \backsim 0$, and conversely.

Let now \[ \sum A_{k} \equiv 0 \tag{2} \] be a congruence between the edges of $P$; let us suppose that $A_{k}$ is a broken line formed of edges belonging to the cell $a^{3}_{k}$.

The first member of the congruence (2) will be composed of $q$

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such broken lines: \[ A_{1}, \qquad A_{2}, \qquad \ldots, \qquad A_{q}, \] and I shall denote $A_{1}$ indifferently by $A_{1}$ or $A_{q+1}$, and $A_{q}$ by $A_{0}$ or $A_{q}$.

Let $a^{0}_{k-1}$ and $a^{0}_{k}$ be the two extremities of the line $A_{k}$; the vertex $a^{0}_{k}$ will belong at once to the cells $a^{3}_{k}$ and $a^{3}_{k+1}$; let $a'^{2}_{k}$ be the face of $a^{3}_{k}$, and $a^{2}_{k+1}$ the face of $a^{3}_{k+1}$, to which $a^{0}_{k}$ belongs.

Let there be the lines of the 3^rd sort \[ d'_{k} = P(a'^{2}_{k}) a^{0}_{k}, \qquad d_{k+1} = P(a^{2}_{k+1}) a^{0}_{k}, \] and on the other handEditorial note: Printed “parte” for “part”; an apparent misprint.: \[ c_{k} = P(a^{2}_{k}) P(a^{3}_{k}) + P(a^{3}_{k}) P(a'^{2}_{k}). \]

We have seen that \[ A_{k} \backsim - d_{k} + c_{k} + d'_{k}. \]

On the other hand, the lines $d_{k+1}$ and $d'_{k}$ end at one and the same vertex $a^{0}_{k}$; we have likewise seen that one can find a combination $C_{k}$ of lines $c$ such that one has \[ C_{k} \backsim d'_{k} - d_{k-1}. \] Editorial note: Printed $d_{k-1}$; the preceding sentence names $d_{k+1}$ and $d'_{k}$ as the lines ending at $a^{0}_{k}$, so $d_{k+1}$ may be intended.

On adding all these homologies, I find: \[ \sum A_{k} \backsim \sum c_{k} + \sum C_{k}, \] and consequently: \[ \sum c_{k} + \sum C_{k} \equiv 0. \]

The first member of this last congruence is a combination of lines $c$, or, what comes to the same thing, a combination of edges $b^{1}_{i}$ of the polyhedron $P'$, so that I can put: \[ \sum c_{k} + \sum C_{k} = \sum b^{1}_{i}, \]

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whence \[ \sum A_{k} \backsim \sum b^{1}_{i}. \]

In summary: to every congruence between the edges of $P$ there corresponds a congruence between those of $P'$, and conversely, and the necessary and sufficient condition for the first member of one of the congruences to be homologous to zero is that the other be so.

In other words, the number of distinct congruences between the edges is the same for $P$ and $P'$, not regarding congruences as distinct when a linear combination of the first members of these congruences is homologous to zero.

In other words again, the reduced number of Betti relative to the edges of $P$ is equal to the reduced number of Betti relative to the edges of $P'$.

One could arrive at the same result by remarking that one can construct a polyhedron which would be at once derived from the polyhedron $P$ and derived from the reciprocal polyhedron $P'$, and by applying the theorem of § 5.

We shall see further on, in § 10, that this proposition can be presented in another form.

On the other hand, this can make it possible to prove, more simply than in § 5, that the reduced numbers of Betti are equal to the numbers of Betti properly so called.

Indeed the definition of the polyhedron $P'$ involves a certain arbitrariness: its vertices $b^{0}_{i}$ are subject only to being interior to the cells $a^{3}_{i}$ of $P$. Under these conditions, one can evidently always choose the polyhedron $P'$ in such a way that any closed line is a combination of the $b^{1}_{i}$.

§ VIII. Proof of the fundamental theorem.

Let $N_{1}$ be the number of the edges of our polyhedron $P$, $N_{2}$ the number of the faces, $N_{3}$ that of the cells. Let us form a table according to the following rules.

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The table will have $N_{2} + N_{3}$ columns, $N_{2}$ said to be of the 1^st sort and $N_{3}$ of the 2^nd; it will have $N_{2} + N_{1}$ rows, $N_{2}$ of the 1^st and $N_{1}$ of the 2^nd sort. Here is what the elements of the table will be:

1° For the element of the $i^{\text{th}}$ row of the 1^st sort and the $j^{\text{th}}$ column of the 1^st sort, I shall write 1 if $i = j$, and 0 if $i \neq j$.

2° The elements belonging to a row of the 2^nd sort and to a column of the 2^nd sort will all be null.

3° The element of the $i^{\text{th}}$ column of the 1^st sort and of the $j^{\text{th}}$ row of the 2^nd sort will be $\varepsilon^{2}_{i,j}$, $\varepsilon^{2}_{i,j}$ being the number which makes known to us the relation between the face $a^{2}_{i}$ and the edge $a^{1}_{j}$.

4° The element of the $i^{\text{th}}$ row of the 1^st sort and of the $j^{\text{th}}$ column of the 2^nd sort will be $\varepsilon^{3}_{i,j}$, that is to say the number which makes known the relation between the cell $a^{3}_{j}$ and the face $a^{2}_{i}$.

Our table, if there are for example two cells, four faces and three edges, will present an aspect such as this: \[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] 0 & 1 & 0 & 0 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] 0 & 0 & 1 & 0 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] 0 & 0 & 0 & 1 & \varepsilon & \varepsilon \\[1ex] \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & 0 & 0 \\[1ex] \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & 0 & 0 \\[1ex] \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & \varepsilon & 0 & 0 \end{matrix} \tag{1} \]

I have not written the indices of the numbers $\varepsilon$, for simplicity.

Here now are the operations that I regard as permitted on this table.

1° To add a column to another of the same sort, or to subtract it from it.

2° To add a row to another of the same sort, or to subtract it from it.

3° To permute two columns of the same sort, changing all the signs of one of them.

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4° To permute two rows of the same sort, changing all the signs of one of them.

All these transformations, under which the elements of the table remain integers, will be called the arithmetic transformations of the table.

One can use them to simplify the part of the table which belongs to the columns of the 1^st sort and to the rows of the 2^nd sort, and that which belongs to the columns of the 2^nd sort and to the rows of the 1^st sort.

Here is how far the simplification can be pushed, according to well-known theorems of arithmetic; when the reduction is finished:

The element of the $i^{\text{th}}$ column of the 1^st sort and of the $j^{\text{th}}$ row of the 2^nd sort:

1° Will be null if $i > j$.

2° Will be equal to an integer $H_{i}$, which may be null, if $i = j$.

3° Will again be null if $i < j$ and if $H_{i}$ is prime to $H_{j}$.

4° Finally, will be null if $j > N_{2}$.

The same will hold for the element of the $i^{\text{th}}$ row of the 1^st sort and of the $j^{\text{th}}$ column of the 2^nd sort.

The reduction can be pushed still further if one authorizes a fifth operation: to multiply all the elements of a row or of a column by one and the same number, integer or not, different from zero.

The corresponding transformations will be called the algebraic transformations of the table.

One can then suppose that the element of the $i^{\text{th}}$ column of the 1^st sort and of the $j^{\text{th}}$ row of the 2^nd sort (as also the element of the $i^{\text{th}}$ row of the 1^st sort and of the $j^{\text{th}}$ column of the 2^nd sort) is null if $i \neq j$. If $i = j$, it may be equal to 0 or to 1. If this is so, I shall say that the table is reduced.

After the fifth operation, the elements which belong to the rows and to the columns of the 1^st sort may not remain integers; moreover, the determinant formed by these rows and these columns may not remain equal to 1, but it will remain different from zero.

The table (1) is relative to the faces of the polyhedron $P$ and to their relations with the cells and the edges. We could draw up one entirely similar, relative to the edges of the polyhedron $P$ and to their relations with the faces and the vertices.

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We could likewise consider the polyhedron $P'$ defined above, and construct two tables, relative the one to the faces of $P'$, the other to its edges.

Let us compare the table (1), relative to the faces of $P$, with the table (1 bis) relative to the edges of $P'$.

It results from what precedes that these two tables can be deduced from each other by replacing the rows by the columns and inversely.

This posed, let us consider the table (1), relative to the faces of $P$, and examine how one can deduce from this table the number of Betti $P_{2}$ of the polyhedron $P$.

How, first, can one deduce from it the congruences between the faces and the edges?

Let us consider any column of the 1^st sort; for example the $i^{\text{th}}$ column. Let us multiply the elements of this column and of the $k^{\text{th}}$ row of the 1^st sort by $a^{2}_{k}$ and add; then let us set this equal to the sum obtained by multiplying the elements of this same column and of the $j^{\text{th}}$ row of the 2^nd sort by $a^{1}_{j}$; we shall obtain the congruence \[ a^{2}_{i} \equiv \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j}, \] which is indeed one of the congruences (3) of § II. All the other congruences are only combinations of them.

How can one now find the homologies between the faces?

For that, let us consider for example the $i^{\text{th}}$ column of the 2^nd sort; let us multiply the elements of the $k^{\text{th}}$ row and of this column by $a^{2}_{k}$, add, and set equal to zero; we shall find: \[ \sum \varepsilon^{3}_{i,k} a^{2}_{k} \backsim 0, \] which is indeed one of the homologies (5) of § II, of which all the others are only combinations.

What will happen, now, if one applies to our table (1) any algebraic transformation?

Before the transformation, each column of the 1^st sort corresponds

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to a face, each column of the 2^nd sort to a cell, each row of the 1^st sort to a face, each row of the 2^nd sort to an edge.

One obtains, as we have seen, as many congruences and homologies as columns, by multiplying the elements of each row of the 1^st sort by the corresponding face, those of each row of the 2^nd sort by the corresponding edge, and adding.

Let us now suppose that one performs the second operation, that is to say that one transforms by adding the row of the 1^st sort which corresponds to $a^{2}_{i}$ to that of the 1^st sort which corresponds to $a^{2}_{k}$. We agree to say that to the new $k^{\text{th}}$ row (the one to which the $i^{\text{th}}$ row has been added) there still corresponds the manifold $a^{2}_{k}$; but that to the new $i^{\text{th}}$ row (which, moreover, has not changed) there corresponds the manifold $a^{2}_{i} - a^{2}_{k}$.

If one performs the fifth operation on the $k^{\text{th}}$ row of the 1^st sort, multiplying its elements by a constant $m$, we shall agree to say that to the new $k^{\text{th}}$ row there corresponds the manifold $\dfrac{1}{m} a^{2}_{k}$ (a notation which has only a symbolic value, unless $\dfrac{1}{m}$ is an integer).

As for the fourth operation, it is only a combination of several operations analogous to the second.

We have thus defined the manifold which corresponds to each of the rows of the 1^st sort of the table, after any combination of the 2^nd, 4^th and 5^th operations has been applied to these rows.

We should define in the same way the manifolds which correspond to the different rows of the 2^nd sort, after a combination of the 2^nd, 4^th and 5^th operations had been applied to these rows.

Thanks to these conventions, it will still suffice, in order to obtain the congruences and the homologies, to add and set equal to zero, after having multiplied the elements of each row by the corresponding manifold, and having changed the sign of the products thus obtained as regards the rows of the 2^nd sort.

Now, if one applies to the columns of the table the 1^st, 3^rd and 5^th operations, one will only combine the congruences with one another, and the homologies with one another; or multiply a congruence and a homology by a constant factor.

Whence the following result:

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To deduce the congruences from the transformed table, here is what must be done: multiply each row of the 1^st sort by the manifold which corresponds to it by virtue of the convention we have just made, and add; do the same for the rows of the 2^nd sort; set the two results thus obtained equal; one will thus have as many congruences as columns of the 1^st sort; all the other possible congruences will be only combinations of them.

To deduce the homologies in the same way, one must: multiply each row of the 1^st sort by the corresponding manifold, add, and set equal to zero; one will thus have as many homologies as columns of the 2^nd sort; all the other possible homologies will be only combinations of them.

It is important to remark that the congruences and homologies thus obtained may have only a symbolic value, because the coefficients may be fractional.

And, indeed, on the one hand the elements of the transformed table may no longer be integers; on the other hand, the manifold which corresponds to a row may, as I said above, itself have only a symbolic value.

But since the coefficients, integer or not, are always commensurable, it will suffice to multiply our congruence or our homology by a suitable integer in order to deduce from it a congruence or a homology with integer coefficients, which will have a meaning in itself.

Let us suppose, now, that the table has been reduced, as I said above.

How many distinct homologies will there be?

Among our $N_{3}$ columns of the 2^nd sort, there will be $N_{3} - N'_{2}$ all of whose elements will be null, and $N_{2}$Editorial note: Printed $N_{2}$; the context requires $N'_{2}$, an apparent misprint. one of whose elements will be equal to 1 and all the others null. The first $N_{3} - N'_{2}$ will give us no homology; each of the $N'_{2}$ others will give us one, and these $N'_{2}$ homologies will evidently all be distinct.

There are therefore $N'_{2}$ distinct homologies.

How many distinct congruences are there between the faces and the edges?

There are evidently $N_{2}$ of them, corresponding to the $N_{2}$ columns of the

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1^st sort, and these congruences are distinct, because the determinant formed with the rows and the columns of the 1^st sort is not null.

Let us now consider in our reduced table the $N_{1}$ rows of the 2^nd sort; among them there will be $N_{1} - N''_{2}$ all of whose elements are null, and $N''_{2}$ one of whose elements is equal to 1 and all the others null. Among our $N_{2}$ congruences there will therefore be $N''_{2}$ which will contain an edge, and $N_{2} - N'_{2}$Editorial note: Printed $N'_{2}$ with a single accent; the congruences containing no edge number $N_{2} - N''_{2}$, as the next sentence states, so a misprint or a lost second accent. which will contain no edge. There are therefore $N_{2} - N''_{2}$ congruences between the faces only, and these congruences are all distinct.

There will therefore be, between the faces only, $N_{2} - N'_{2} - N''_{2}$ congruences which will remain distinct if one no longer regards as distinct those which can be deduced from one another by means of the homologies.

The number of Betti relative to the faces of $P$ is therefore: \[ N_{2} - N'_{2} - N''_{2} + 1. \]

Let us now look for the number of Betti relative to the edges of $P$.

One will evidently find it by operating as we have just done on the table (1 bis), relative to the edges of $P'$.

But one passes from one table to the other by replacing the rows by the columns, and conversely. The numbers which will play, with respect to (1 bis), the same role as \[ N_{2}, \qquad N'_{2}, \qquad N''_{2} \] play with respect to (1), will therefore be respectively: \[ N_{2}, \qquad N''_{2}, \qquad N'_{2}. \]

Hence the number of Betti relative to the edges of $P'$ is again: \[ N_{2} - N'_{2} - N''_{2} + 1. \]

Thus the numbers of Betti relative, the one to the faces of $P$, the other to the edges of $P'$, are equal.

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Now we have seen above that the numbers of Betti relative to the edges of $P$ and to those of $P'$ are equal, as are the numbers of Betti relative to the faces of $P$ and to those of $P'$.

Hence the number of Betti relative to the faces of $P$ is equal to the number of Betti relative to the edges of $P$.

Our fundamental theorem is therefore proved as regards the polyhedron $P$, that is to say, as regards the polyhedra of space of four dimensions.

The proof could, without any doubt, be extended to any polyhedron.

§ IX. Various remarks.

The fundamental theorem is thus established by a proof which differs essentially from that of page 43 of the Analysis situs.

But that cannot suffice us. We must strive to recover the intermediate propositions and, in particular, this one:

The necessary and sufficient condition for one to be able to find a manifold $V$ such that $\displaystyle\sum N(V, V_{i}) \neq 0$ is that one does not have the homology $\displaystyle\sum V_{i} \backsim 0$.

Let us consider two manifolds, the first $V_{1}$, of one dimension, composed of edges of $P'$, the second $V_{2}$, of two dimensions, composed of faces of $P$, in such a way that one will have: \[ V_{1} = \sum \alpha_{i} b^{1}_{i}, \qquad V_{2} = \sum \alpha'_{i} a^{2}_{i}, \] the edge $b^{1}_{i}$ being the one which corresponds to the face $a^{2}_{i}$, according to the conventions of § 7.

The edge $b^{1}_{i}$ cuts the face $a^{2}_{i}$, and cuts no other, in such a way that if we take up again the notation of the Analysis situs, pag. 38, we shall have: \[ N(V_{1}, V_{2}) = \sum \alpha_{i} \alpha'_{i}. \]

We shall suppose in what follows that the manifolds $V_{1}$ and

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$V_{2}$ are closed, which is expressed by the congruences: \[ \sum \alpha_{i} b^{1}_{i} \equiv 0, \qquad \sum \alpha'_{i} a^{2}_{i} \equiv 0. \tag{1} \]

Let us verify first that one will have \[ \sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0, \] provided that one has one of the two homologies${}^{(*)}$: \[ \sum \alpha_{i} b^{1}_{i} \backsim 0, \qquad \sum \alpha'_{i} a^{2}_{i} \backsim 0. \tag{2} \]

If indeed we have, for example, the second homology (2), it is because one will have: \[ \alpha'_{i} = \sum_{j=1}^{j=N_{3}} \zeta_{j} \varepsilon^{3}_{i,j}, \]Editorial note: Printed $\varepsilon^{3}_{i,j}$; the argument that follows and (4) use $\varepsilon^{3}_{j,i}$, an apparent misprint. $\zeta_{j}$ being a coefficient depending only on $j$.

On the other hand, the first of the congruences (1) can be deduced from the following ones: \[ b^{1}_{i} \equiv \sum b^{0}_{j} \varepsilon^{3}_{j,i}, \tag{3} \] whence \[ \sum \alpha_{i} b^{1}_{i} \equiv \sum \sum \alpha_{i} b^{0}_{j} \varepsilon^{3}_{j,i}. \]

On setting the coefficient of $b^{0}_{j}$ equal to zero, there comes successively: \[ \sum \alpha_{i} \varepsilon^{3}_{j,i} = 0, \qquad \sum \sum \alpha_{i} \zeta_{j} \varepsilon^{3}_{j,i} = 0, \qquad \sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0, \qquad \text{Q.~E.~D.} \]

One would reason in the same way if one had the first homology (2).

I say now that if the second homology (2) does not hold, one can choose the $\alpha_{i}$ in such a way that $V_{1}$ remains closed and yet that.Editorial note: Printed “que.” with a stray point. $\displaystyle\sum \alpha_{i} \alpha'_{i}$ is not null.

(*) Cf. Analysis situs, pag. 42.

Indeed, to say that the second homology (2) does not hold is

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to say that one cannot find numbers $\zeta_{j}$ such that one has: \[ \alpha'_{i} = \sum \zeta_{j} \varepsilon^{3}_{j,i}. \tag{4} \]

To say that $V_{1}$ remains closed is to say that the $\alpha_{i}$ are subject to the conditions: \[ \sum \alpha_{i} \varepsilon^{3}_{j,i} = 0. \tag{5} \]

Now it is clear that if the $\alpha'_{i}$ do not satisfy equalities of the form (4), the linear equation $\displaystyle\sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0$ will be distinct from the equations (5); one can therefore always find numbers $\alpha_{i}$ which satisfy the equations (5) without satisfying $\displaystyle\sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0$.

Let us remark moreover that we have not restricted the generality by supposing that our manifolds $V_{1}$ and $V_{2}$ were combinations of the $b^{1}_{i}$ and of the $a^{2}_{i}$, whatever the manifold $V$ may be whose subdivision forms the polyhedra $P$ and $P'$. Whatever the manifolds $V_{1}$ and $V_{2}$ may be, we can always subdivide $V$ so as to form two reciprocal polyhedra $P$ and $P'$ such that $V_{1}$ is a combination of the edges of the second, and $V_{2}$ a combination of the faces of the first.

It would be necessary to see how the table (1) of § 8 and the analogous tables can enable us to determine the numbers of Betti such as Betti himself defines them, and no longer the numbers of Betti defined in the second way, that is to say those which we have considered up to now.

Let us consider, for example, a table analogous to the table (1), but relative to the edges of the polyhedron $P$ and to their relations with the faces and the vertices. Let us consider, in particular, the columns of the 2^nd sort and the rowsEditorial note: Printed “signes” for “lignes”; an apparent misprint. of the 1^st sort, in which the numbers $\varepsilon^{2}_{i,j}$ figure. Let $T$ be the partial table thus obtained. With the aid of this table one can form the congruences \[ a^{2}_{i} \equiv \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j}, \] from which one deduces the homologies \[ \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j} \backsim 0. \tag{6} \]

Then, to recognize whether several closed lines formed of

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combinations of the edges $a^{1}_{j}$ are distinct in the sense of the 1^st definition, that is to say, in the sense of Betti, one must know whether they are connected by a homology obtained by combining the homologies (6) by addition, subtraction or multiplication, but without division.

Let us suppose that one has applied to our table a series of those transformations which I called arithmetic in § 8.

Let $\zeta^{2}_{i,j}$ be the number which, in the transformed table, figures in the $j^{\text{th}}$ row of the 1^st sort and the $i^{\text{th}}$ column of the 2^nd sort. Let $c_{j}$ be the manifold which corresponds to the $j^{\text{th}}$ row of the 1^st sort of our transformed table by virtue of the conventions of § 8. According to what we saw in that § 8, this manifold is only a combination of the edges $a^{1}_{j}$. We shall then have the homologies \[ \sum \zeta^{2}_{i,j} c_{j} \backsim 0. \tag{6 \textit{bis}} \]

These homologies are only combinations of the homologies (6) which can be obtained without division, and conversely one can draw the homologies (6) from the homologies (6 bis) without division; that is a consequence of the arithmetic character of the transformations.

One can therefore, when one wishes to make sure whether two closed lines are distinct in the sense of Betti, make use of the homologies (6 bis) instead of the homologies (6).

We may suppose that the arithmetic transformations have been used to reduce the table, as I explained in § 8, and consequently that $\xi^{2}_{i,j}$Editorial note: Printed $\xi$; the number defined above is $\zeta^{2}_{i,j}$, an apparent misprint. is null: 1° if $i > j$; 2° if $j > N_{2}$.

The table reduced to the columns of the 2^nd sort and the rows of the 1^st sort will take, for example, the following form: \[ \begin{matrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] e & b & 0 & 0 & 0 \\[1ex] f & g & c & 0 & 0 \\[1ex] h & k & l & d & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[1ex] 0 & 0 & 0 & 0 & 0. \end{matrix} \]

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I have supposed 6 rows and 5 columns; I have supposed that one of the numbers $\zeta^{2}_{i,i}$ is equal to zero, so that one of the columns of the transformed table is entirely composed of zeros. I add that if $d$ were equal to 1, the numbers $h$, $k$, $l$, which figure in the same row, would be null.

This posed, if $d$ is not equal to 1, the two definitions of the numbers of Betti do not coincide, because one has the homology $dc_{4} \backsim 0$, from which one could deduce the homology $c_{4} \backsim 0$ only by division. If $d = 1$, one has $h = k = l = 0$, and if $c$ is not equal to 1, one will have the homology $cc_{3} \backsim 0$, and the two definitions will not agree; and so on.

In summary, for the two definitions to agree, it is necessary and sufficient that the product $abcd$ be equal to 1.

To interpret this result, let us return to the untransformed table. The product $abcd$ will be the greatest common divisor of all the determinants obtained by suppressing $N_{2} - N_{3}$ rows in the table $T$, provided that these determinants are not all null (in which case there would not be in the transformed table any column composed exclusively of zeros). If the determinants are all null, one will form others by suppressing in the table $T$ one column and $N_{2} - N_{3} + 1$ rows; the product $abcd$ will be the greatest common divisor of all these determinants, if they are not all null; and so on.

We thus arrive at the following rule.

Let $\Delta_{p}$ be the greatest common divisor of the determinants obtained by starting from the table $T$ and suppressing in it $p$ rows and $N_{2} - N_{3} + p$ columns.Editorial note: The rule deletes $p$ lignes and $N_{2} - N_{3} + p$ colonnes, while the preceding paragraph deletes $N_{2} - N_{3}$ lignes, then one colonne and $N_{2} - N_{3} + 1$ lignes; the two do not agree as printed. The necessary and sufficient condition for the two definitions of the numbers of Betti to coincide is that the first of the $\Delta_{p}$ which does not vanish be equal to 1 (the greatest common divisor of several numbers equal to zero being zero by definition).

Let us suppose that the manifold $V_{1} = \displaystyle\sum \alpha_{i} b^{1}_{i}$, considered at the beginning of this paragraph, cannot be the boundary of a manifold of two dimensions, but satisfies the homology $V_{1} \backsim 0$. In other words, the homology $V_{1} \backsim 0$ can be deduced from the homologies (6) by division, but not without division. In this case, one will nevertheless have: \[ N(V_{1}, V_{2}) = \sum \alpha_{i} \alpha'_{i} = 0. \]

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§ X. Arithmetic proof of one of the theorems of § VII.

Here is a way of forming the homologies which may be useful to know.

Let $b^{0}_{i}$ be a vertex of the polyhedron $P'$, situated in the interior of a cell $a^{3}_{i}$ of the polyhedron $P$. Let, on the other hand, $a^{0}_{k}$ be a vertex of $P$ belonging to the cell $a^{3}_{i}$. Let us join $b^{0}_{i}$ to $a^{0}_{k}$ by a line which I shall call simply $b^{0}_{i} a^{0}_{k}$.

Let now $b^{1}_{i}$ be an edge of $P'$ whose two extremities are $b^{0}_{j}$ and $b^{0}_{h}$, in such a way that one of the congruences (3) (cf. § 2) relative to $P'$ is: \[ b^{1}_{i} \equiv b^{0}_{j} - b^{0}_{h}. \]

Let, on the other hand, $a^{2}_{i}$ be the face of $P$ which corresponds to the edge $b^{1}_{i}$ of $P'$, and $a^{0}_{k}$ one of the vertices of $a^{2}_{i}$; we shall have the homology: \[ b^{1}_{i} \backsim a^{0}_{k} b^{0}_{j} - a^{0}_{k} b^{0}_{h}. \tag{1} \]

Let $a^{1}_{i}$ be an edge of $P$ whose two extremities are $a^{0}_{j}$ and $a^{0}_{h}$, so that one of the congruences (3) relative to $P$ is: \[ a^{1}_{i} \equiv a^{0}_{j} - a^{0}_{h}. \]

Let $a^{3}_{k}$ be one of the cells of $P$ to which $a^{1}_{i}$ belongs, and $b^{0}_{k}$ the corresponding vertex of $P'$; one will have the homology: \[ a^{1}_{i} \backsim b^{0}_{k} a^{0}_{j} - b^{0}_{k} a^{0}_{h}. \tag{2} \]

I say now that all the homologies between the $a^{1}_{i}$ can be deduced from the homologies (2).

Indeed, let $a^{2}_{i}$ be any face of $P$, and let: \[ a^{2}_{i} \equiv \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j} \]

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be the congruence of the form (3) which corresponds to it; one deduces from it the homology: \[ \sum \varepsilon^{2}_{i,j} a^{1}_{j} \backsim 0, \tag{3} \] and we have seen in § 6 that all the homologies between the edges of $P$ are combinations of those which are obtained in this way.

Let then $a^{1}_{j}$ be one of the edges of $P$ which figure in the homology (3), and let: \[ a^{1}_{i} \equiv a^{0}_{h} - a^{0}_{l}. \] Editorial note: Printed $a^{1}_{i}$ on the left; the edge just introduced, and the homology (2 bis) below, call it $a^{1}_{j}$, so $a^{1}_{j}$ appears to be meant.

Let moreover $a^{3}_{k}$ be one of the cells of which $a^{2}_{i}$ forms part. We shall have the homology: \[ a^{1}_{j} \backsim b^{0}_{k} a^{0}_{h} - b^{0}_{k} a^{0}_{l}. \tag{2 \textit{bis}} \]

If we add the homologies (2 bis), which are of the form (2), after having multiplied them by $\varepsilon^{2}_{i,j}$, all the terms of the second member will disappear by virtue of the relations (5) of § 2; one would therefore recover the homology (3). Q. E. D.

One would prove in the same way that all the homologies between the $b^{1}_{i}$ can be deduced from the homologies (1).

We saw above, in § 7, that if one has a congruence: \[ \sum a^{1}_{i} \equiv 0, \] one can find another congruence between the edges of $P'$: \[ \sum b^{1}_{j} \equiv 0, \] and in such a way that one has the homology: \[ \sum a^{1}_{i} \backsim \sum b^{1}_{j}. \tag{4} \]

I say now that this homology (4) can be deduced from the homologies (1) and (2).

Let us cut up, indeed, the first member of our congruence $\displaystyle\sum a^{1}_{i} \equiv 0$ into a certain number of groups, in such a way that the

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edges of one and the same group belong to one and the same cell $a^{3}_{k}$. Let $\displaystyle\sum a^{1}_{j}$ be one of these groups; we shall have the congruence: \[ \sum a^{1}_{j} \equiv a^{0}_{m} - a^{0}_{p}, \tag{5} \] $a^{0}_{m}$ and $a^{0}_{p}$ being the two extremities of the line formed by the set of the edges of this group. I suppose that all these edges belong to the cell $a^{3}_{k}$. Let \[ a^{1}_{j} \equiv a^{0}_{h} - a^{0}_{l} \] be one of these edges; we shall have the homology: \[ a^{1}_{j} \equiv b^{0}_{k} a^{0}_{h} - b^{0}_{k} a^{0}_{l}, \tag{2 \textit{ter}} \] Editorial note: The print sets the congruence sign $\equiv$ here, though the text calls this an homology and it is of the form (2); the homology sign $\backsim$ appears to be meant. and on adding all these homologies, one would find: \[ \sum a^{1}_{j} \backsim b^{0}_{k} a^{0}_{m} - b^{0}_{k} a^{0}_{p}. \tag{6} \]

Let us add on the one hand all the homologies (6), on the other hand all the congruences (5), which correspond to the different groups. The addition of the congruences (5) must give us the congruence $\displaystyle\sum a^{1}_{i} \equiv 0$; it follows that if a vertex $a^{0}_{m}$ figures in one of the congruences (5) with the sign $+$, it must figure in another with the sign $-$. The addition of the homologies (6) will therefore give us: \[ \sum a^{1}_{j} \backsim \sum (b^{0}_{k} a^{0}_{m} - b^{0}_{q} a^{0}_{m}). \tag{7} \]

In writing this relation I suppose that $a^{0}_{m}$ figures in two of the congruences (5), once with the sign $+$ in the congruence which corresponds to the cell $a^{3}_{k}$, and once with the sign $-$ in the congruence which corresponds to the cell $a^{3}_{q}$.

Let us observe now that $b^{0}_{k}$ and $b^{0}_{q}$ are two vertices of $P'$, and that these two vertices both belong to the cell $b^{3}_{m}$. One can then find a line formed of edges of $P'$, belonging to this cell $b^{3}_{m}$, and going from $b^{0}_{k}$ to $b^{0}_{q}$. Let $\displaystyle\sum b^{1}_{s}$ be this line; one will have \[ \sum b^{1}_{s} \equiv b^{0}_{k} - b^{0}_{q}. \tag{5 \textit{bis}} \]

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Just as from the congruence (5) and from homologies (2 ter), which are of the form (2), we have deduced the homology (6), so from the congruence (5 bis) and from homologies of the form (1) we can deduce the homology: \[ \sum b^{1}_{s} \backsim a^{0}_{m} b^{0}_{k} - a^{0}_{m} b^{0}_{q}. \tag{6 \textit{bis}} \]

To each term of the second member of (7) there corresponds a homology (6 bis). On adding them, one will find: \[ \sum \sum b^{1}_{s} \backsim \sum (a^{0}_{m} b^{0}_{k} - a^{0}_{m} b^{0}_{q}), \tag{7 \textit{bis}} \] whence: \[ \sum a^{1}_{j} + \sum \sum b^{1}_{s} \backsim 0, \tag{8} \] a homology of the form (4), which is deduced, as one sees, from the homologies (1) and (2). Q. E. D.

One may ask why I judged it necessary to return to a theorem already proved in § 7. One will understand it on taking account of the geometric nature, so to speak, of the proof of § 7. The present proof has, on the contrary, an arithmetic character; it invokes only properties of the schemes defined in § 2 and of the tables constructed in § 8; and it would keep its value even if no polyhedron corresponded to these schemes and these tables.

What have we supposed, in fact? It is that if $\alpha^{p}_{0}, \alpha^{p}_{1}, \alpha^{p}_{2}$ are the numbers of the vertices, of the edges and of the faces belonging to one and the same cell, and if $\beta^{p}_{0}, \beta^{p}_{1}, \beta^{p}_{2}$ are the numbers of the cells, of the faces and of the edges to which one and the same vertex belongs, one has: \[ \alpha^{p}_{0} - \alpha^{p}_{1} + \alpha^{p}_{2} = \beta^{p}_{0} - \beta^{p}_{1} - \beta^{p}_{2} = 2; \] Editorial note: The print sets a minus before $\beta^{p}_{2}$; the Euler relation for the cells around a vertex, parallel to the left-hand member, requires $\beta^{p}_{0} - \beta^{p}_{1} + \beta^{p}_{2}$. The dash shows no trace of a lost vertical stroke, so this is reproduced as an apparent misprint. and moreover that any two vertices $a^{0}_{i}$ and $a^{0}_{k}$ are connected by the homology: \[ a^{0}_{i} \backsim a^{0}_{k}. \tag{9} \]

Now one can recognize whether a vertex belongs to a face, for

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example, by applying to the table of § 8 purely arithmetic rules, and one can in the same way recognize whether a homology such as (9) holds.

§ XI. Possibility of the subdivision.

All that precedes supposes that any manifold can be subdivided into simply connected manifolds so as to form a polyhedron $P$ of $p$ dimensions for which the manifolds $a^{p}_{i}, a^{p-1}_{i}, \ldots, a^{2}_{i}, a^{1}_{i}, a^{0}_{i}$ are all simply connected. For example, every manifold of three dimensions can be subdivided into simply connected cells, separated from one another by simply connected faces.

That is what remains for us to prove, and it is this proof that I am going to give. I state it more precisely: I am going to show that every manifold of $p$ dimensions can be subdivided so as to form a polyhedron $P$ all of whose manifolds $a^{p}_{i}, a^{p-1}_{i}, \ldots, a^{2}_{i}, a^{1}_{i}, a^{0}_{i}$ are generalized tetrahedra.

I shall suppose that the theorem has been proved for a manifold of $p - 1$ dimensions, and I propose to extend it to a manifold of $p$ dimensions.

We shall present the definition of our manifold in the following form, which will comprise the two definitions given in the Analysis situs.

We shall have the equations and the inequalities \[ \begin{aligned} &x_{i} = \theta_{i}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{q}), \qquad (i = 1, 2, \ldots, n)\\ &f_{k}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{q}) = 0, \qquad (k = 1, 2, \ldots, q - p)\\ &\varphi_{h}(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{q}) > 0. \end{aligned} \tag{1} \]

These equations and these inequalities will define a manifold $v$ which will be limited and, in general, not closed; one will have different analogous systems of equations and inequalities, defining as many partial manifolds, which I shall call $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{m}$.

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Two of these manifolds will be called contiguous if they have a common part, and I may suppose that one can pass from any point of one of these manifolds to any point of any other of them without leaving the set of these manifolds. This set will constitute the manifold which I shall call $V$, and which it was a question of defining.

I shall suppose that this manifold $V$ is two-sided.

That is evidently the most general possible way of defining a manifold.

Let us consider the partial manifold $v_{1}$, defined by the equations (1).

By the theorem of implicit functions, one can satisfy the equations \[ f_{k} = 0, \] by making \[ y_{j} = \psi_{j}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}), \] the $\psi$ being holomorphic functions of the $z$; but the series $\psi$ may not converge for all the points of the manifold $v_{1}$.

The conditions of convergence will be certain inequalities: \[ \eta_{k}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}) > 0. \]

When one replaces the $y$ by functions of the $z$, the relations: \[ x_{i} = \theta_{i}, \qquad \varphi_{h} > 0 \] will become: \[ \begin{aligned} &x_{i} = \theta'_{i}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p})\\ &\varphi'_{h}(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{p}) > 0. \end{aligned} \]

Then the set of relations \[ x_{i} = \theta'_{i}, \qquad \varphi'_{h} > 0, \qquad \eta_{k} > 0 \tag{1 \textit{bis}} \] will define a certain manifold $v'_{1}$, in such a way that the set of the manifolds analogous to $v'_{1}$ will reproduce the manifold $v_{1}$.

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We are thus brought back to the second definition of the Analysis situs.

This posed, let $v''_{1}$ be another manifold $v'_{1}$ satisfying the following conditions: it will be entirely contained in $v'_{1}$; it will comprise all the points of $v'_{1}$ which it does not have in common with one of the contiguous manifolds; consequently the complete boundary of $v''_{1}$ will lie entirely in the part common to $v'_{1}$ and to the contiguous manifolds.

To each of the manifolds \[ v'_{1}, \qquad v'_{2}, \qquad \ldots, \] whose set constitutes $V$, there will thus correspond a manifold \[ v''_{1}, \qquad v''_{2}, \qquad \ldots, \] satisfying the conditions I have just stated; and it is clear that one can arrange matters in such a way that every point of $V$ belongs to one of the manifolds $v''$, and to one only, unless it is on the boundary of one of the manifolds $v''$, in which case it must belong, in addition, to the boundary of at least one other manifold $v''$.

The manifold $V$, thus subdivided into manifolds $v''$, constitutes a polyhedron $P$, in the sense given to that word in § 2. But this polyhedron does not yet suit the question, for we cannot know whether the manifolds $v''$ are generalized tetrahedra, or even are simply connected.

Let us consider the manifold $v''_{1}$, and let: \[ z_{1} = 0, \qquad z_{2} = 0, \qquad \ldots, \qquad z_{p} = 0 \] be a point interior to this manifold; let us consider the manifold of one dimension: \[ z_{1} = \alpha_{1} t, \qquad z_{2} = \alpha_{2} t, \qquad \ldots, \qquad z_{p} = \alpha_{p} t, \] where the $\alpha$ are constants, and where we shall make $t$ vary from 0 to $+\infty$. This is what I shall call a radius vector.

Each radius vector will meet the complete boundary of $v''_{1}$ in an odd number of points; indeed, when one follows this radius, making

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$t$ vary from 0 to $+\infty$, one will leave the manifold $v''_{1}$; one may re-enter it afterwards and leave it several times, but one will always end by leaving it never to re-enter.

It may happen that a radius vector meets the boundary of $v''_{1}$ in two coincident points. The radii vectores which satisfy this condition will be called the remarkable radii.

The set of the remarkable radii will form one or several manifolds of $p - 1$ dimensions, which I shall call the remarkable cones.

The intersections of the remarkable cones with the boundary of $v''_{1}$ will form one or several manifolds of $p - 2$ dimensions, which I shall call $U$, and these manifolds $U$ will divide the boundary of $v''_{1}$ into regions which I shall call $R$.

A region $R$ cannot be met by a radius vector in more than one point; but according to what we have just seen, two cases can present themselves: when one follows this radius vector, making $t$ increase from 0 to $\infty$, one may, at the moment when one meets $R$, leave $v''_{1}$ or re-enter it. If the first case, for example, presents itself for one of the vectors which meet $R$, it will present itself for all the vectors which meet $R$.

Whence the distinction of the regions $R$ into regions of the 1^st sort, which the radii vectores meet on leaving $v''_{1}$, and regions of the 2^nd sort, which the radii vectores meet on re-entering $v''_{1}$.

The regions $R$, being manifolds of $p - 1$ dimensions, can, according to the hypothesis made at the beginning, be subdivided into generalized tetrahedra.

Let us suppose, to fix ideas, that a radius vector meets the boundary of $v''_{1}$ three times, that it meets successively the regions $R_{1}, R_{2}, R_{3}$; $R_{1}$ and $R_{3}$ will be of the 1^st sort, $R_{2}$ will be of the 2^nd sort.

Let us subdivide $R_{1}$ and $R_{3}$ into generalized tetrahedra of $p - 1$ dimensions.

If $T_{1}$ is one of the subdivisions of $R_{1}$, let us draw all the radii vectores which pass through the different points of $T_{1}$, and keep the part of these radii vectores which is comprised between the point $z_{i} = 0$ and the rayEditorial note: Sic in the print. $R_{1}$ is a region of the frontier of $v''_{1}$, not a ray; “la région” is presumably meant. $R_{1}$ (a part which is interior to $v''_{1}$); the set of these vectors will form a generalized tetrahedron of $p$ dimensions, having as vertex the point $z_{i} = 0$, and as base the generalized tetrahedron of $p - 1$ dimensions $T_{1}$.

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Let now $T_{3}$ be one of the subdivisions of $R_{3}$; let us again draw all the radii vectores which pass through the different points of $T_{3}$ and keep the part of these radii vectores which is comprised between $R_{2}$ andEditorial note: Printed “e”, apparently a misprint for “et”. $R_{3}$ (a part which is interior to $v''_{1}$). This set forms a manifold of $p - 1$ dimensions which one could call a trunk of a generalized tetrahedron, whose two bases are $T_{3}$ and a generalized tetrahedron of $p - 1$ dimensions, which I shall call $T_{2}$ and which will form part of $R_{2}$. It is, in other words, the difference of two generalized tetrahedra having as common vertex the point $z_{i} = 0$ and as bases the one $T_{3}$, the other $T_{2}$.

This trunk of a generalized tetrahedron can in its turn be divided into $p$ generalized tetrahedra, just as, in the classical theorem, the trunk of a triangular pyramid is divided into three triangular pyramids.

Finally $v''_{1}$ will be divided into generalized tetrahedra.

A difficulty remains, however; one can subdivide the other analogous manifolds $v''_{2}, v''_{3}, \ldots$ like $v''_{1}$; let us consider the subdivision of $v''_{1}$ into generalized tetrahedra $T_{1}$ and that of $v''_{2}$ into generalized tetrahedra $T_{2}$. The common boundary of $v''_{1}$ and $v''_{2}$ will be found subdivided on the one hand into generalized tetrahedra of $p - 1$ dimensions $\tau_{1}$, which will be the faces of the $T_{1}$, and on the other handEditorial note: Printed “d'autres part”, a misprint for “d'autre part”. into generalized tetrahedra of $p - 1$ dimensions $\tau_{2}$, which will be the faces of the $T_{2}$; but it is not evident that these two subdivisions coincide.

Let us then consider the part common to one of the $\tau_{1}$ and to one of the $\tau_{2}$; I can, according to the hypothesis made at the beginning, subdivide it into generalized tetrahedra of $p - 1$ dimensions $\sigma$. Thus each of the tetrahedra $\tau_{1}$ and each of the tetrahedra $\tau_{2}$ will be subdivided into tetrahedra $\sigma$.

Let now $\tau'_{1}$ be one of the manifolds of $q$ dimensions belonging to $\tau_{1}$ (I use the word belong here in the same sense as when I say that the faces, the edges and the vertices of an ordinary tetrahedron belong to that tetrahedron, or when I said in § 2 that the manifolds $a^{q}_{i}$ belonged to the polyhedron $P$). Let likewise $\tau'_{2}$ be one of the manifolds of $q$ dimensions belonging to $\tau_{2}$. These two manifolds $\tau'_{1}$ and $\tau'_{2}$ will be generalized tetrahedra since, according to the definition of the generalized tetrahedron, every manifold which belongs to a generalized tetrahedron is itself a generalized tetrahedron. Then $\tau'_{1}$ and $\tau'_{2}$ will be found subdivided into generalized

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tetrahedra of $q$ dimensions $\sigma$Editorial note: Printed $\sigma$; the text below refers to these tetrahedra as “ceux que j'ai appelés $\sigma'$”, so $\sigma'$ appears to be meant., which will belong to the tetrahedra of $p - 1$ dimensions $\sigma$.

This, strictly speaking, could suffice us; our manifolds $v''_{1}$, etc., would be divided into generalized tetrahedra of $p$ dimensions $T^{p}$, their boundaries into tetrahedra of $p - 1$ dimensions $T^{p-1}$, etc.; only these tetrahedra $T^{p-1}$ would not be those which belong to the tetrahedra $T^{p}$; they would be only subdivisions of them.

But we can go further.

Let us consider one of the tetrahedra of $p$ dimensions $T^{p}$ into which $v''_{1}$ is subdivided. I recall that they were obtained by subdividing the trunks of generalized tetrahedra discussed above. Consequently $T^{p}$ has all its vertices on the boundary of $v''_{1}$ (there would be an exception for the tetrahedra one of whose vertices is at the point $z_{i} = 0$, but for those there is no difficulty).

Let us suppose, for example, that the points common to $T^{p}$ and to the region which I called above $R_{3}$ form a generalized tetrahedron of $q$ dimensions $T^{q}$ belonging to $T^{p}$, and that the points common to $T^{p}$ and to the region $R_{2}$ form a tetrahedron of $p - q - 1$ dimensions $T^{p-q-1}$ belonging to $T^{p}$.

The tetrahedra $T^{q}$ and $T^{p-q-1}$ are analogous to the tetrahedra $\tau'_{1}$ treated above; they can therefore be subdivided into tetrahedra analogous to those which I called $\sigma'$; let $S^{q}_{1}, S^{q}_{2} \ldots$ be the tetrahedra analogous to $\sigma'$ which are subdivisions of $T^{q}$; let $S^{p-q-1}_{1}, S^{p-q-1}_{2}, \ldots$ be the tetrahedra analogous to $\sigma'$ which are subdivisions of $T^{p-q-1}$. I say that one can subdivide $T^{p}_{k}$ into tetrahedra of $p$ dimensions in such a way that the manifolds $S^{q}_{1}, S^{q}_{2}, \ldots, S^{p-q-1}_{1}, S^{p-q-1}_{2}, \ldots$ belong to $T^{p}$.

To prove it I suppose first that $T^{p}$ is a rectilinear tetrahedron (cf. § 2 in fine). We know that a rectilinear tetrahedron is entirely defined when one knows its $p + 1$ vertices. Then $T^{p}$ is the rectilinear tetrahedron which has as vertices those of $T^{q}$ and of $T^{p-q-1}$.

Let us suppose that $T^{q}$ is decomposed into $g$ partial tetrahedra: \[ S^{q}_{1}, \qquad S^{q}_{2}, \qquad \ldots, \qquad S^{q}_{g}, \] and $T^{p-q-1}$ into $h$ partial tetrahedra: \[ S^{p-q-1}_{1}, \qquad S^{p-q-1}_{2}, \qquad \ldots, \qquad S^{p-q-1}_{h}. \]

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One will then verify that $T^{p}$ is decomposed into $gh$ partial tetrahedra, which are those whose vertices are those of \[ S^{q}_{i} \text{ and } S^{p-q-1}_{k} \qquad (i = 1, 2, \ldots, g;\ k = 1, 2, \ldots, h). \]

If the tetrahedron $T^{p}$ is not rectilinear, the result subsists, since any tetrahedron is homeomorphic to a rectilinear tetrahedron.

Thus our manifold is decomposed into tetrahedra of $p$ dimensions so as to form a polyhedron such that every manifold belonging to this polyhedron belongs to one of these tetrahedra.

We are thus rid of the last doubts which could remain on the subject of the possibility of subdividing a manifold $V$ so as to form a polyhedron $P$ for which all the $a^{q}_{i}$ are simply connected.

Paris, March 1899.

H. Poincaré.

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Supplement to Analysis situs (in Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements) — trans. John Stillwell (2010) · in-copyright ·

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Revision history (2)

2026-09-30 — Transcription added (AI draft).
2026-09-30 — Translation (en) added (AI draft).

@article{Poincare1899Complement,
  author = {Poincaré, Henri},
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  journal = {Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo},
  volume = {13},
  pages = {285–343},
  year = {1899},
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  title = {Complément à l'Analysis situs. --- LaTeX transcription},
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  note = {AI transcription (claude-opus-5-5); status: ai-draft. Original: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 1899},
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  author = {Poincaré, Henri},
  title = {Supplement to Analysis situs. --- English translation},
  howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.org/works/poincare-1899-complement-analysis-situs/}},
  note = {English translation (AI, claude-opus-5-5); status: ai-draft},
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  year = {2026}
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@article{Poincare1899Complement-Stillwell2010,
  author = {Poincaré, Henri},
  title = {Supplement to Analysis situs (in Papers on Topology: Analysis Situs and Its Five Supplements)},
  note = {Translated by John Stillwell},
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  url = {https://bookstore.ams.org/hmath-37}
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Complément à l'Analysis situs.

Original (French)

Complément à l'Analysis situs;

§ I. Introduction.

§ II. Schéma d'un polyèdre.

§ III. Nombres de Betti réduits.

§ IV. Subdivision des polyèdres.

§ V. Influence de la subdivision sur les nombres de Betti réduits.

§ VI. Retour sur les démonstrations du § III.

§ VII. Polyèdre réciproque.

§ VIII. Démonstration du théorème fondamental.

§ IX. Remarques diverses.

§ X. Démonstration arithmétique de l'un des théorèmes du § VII.

§ XI. Possibilité de la subdivision.

English translation

Supplement to Analysis situs;

§ I. Introduction.

§ II. Scheme of a polyhedron.

§ III. Reduced Betti numbers.

§ IV. Subdivision of polyhedra.

§ V. Influence of subdivision on the reduced Betti numbers.

§ VI. Return to the proofs of § III.

§ VII. Reciprocal polyhedron.

§ VIII. Proof of the fundamental theorem.

§ IX. Various remarks.

§ X. Arithmetic proof of one of the theorems of § VII.

§ XI. Possibility of the subdivision.

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