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Analyse mathématique. — Sur les intégrales de différentielles totales. Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermite.
«La découverte récente de M. Picard sur les différentielles totales de première espèce a ouvert aux analystes une voie toute nouvelle où ils rencontreront sans aucun doute bien des propositions importantes. Aussi ne sera-t-il peut-être pas sans intérêt de signaler ici certains résultats partiels qui, bien que très faciles à démontrer, pourront être utiles aux géomètres qui s'occuperont de cette question.
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»J'ai cherché d'abord à déterminer quelles sont les surfaces du quatrième ordre qui possèdent des intégrales de première espèce. J'ai trouvé que toutes ces surfaces peuvent se ramener, par un changement linéaire de variables, soit à la surface réglée \[ \begin{aligned} x^{2}(az^{2} + 2b - z + c) &+ 2xy(a'z^{2} + 2b'z + c') \\ &+ y^{2}(a''z^{2} + 2b''z + c'') = 0, \end{aligned} \]Editorial note: Printed $2b - z + c$ — an apparent misprint for $2bz$, matching $2b'z$ and $2b''z$, and the denominator of the integral immediately following. Reproduced here as printed. qui admet l'intégrale \[ \int \frac{y\,dz}{x(az^{2} + 2bz + c) + y(a'z^{2} + 2b'z + c')}, \] soit à la surface de révolution \[ (x^{2} + y^{2})^{2} + 2(x^{2} + y^{2})Z_{2} + Z_{4} = 0 \] ($Z_{2}$ et $Z_{4}$ désignant deux polygonesEditorial note: Printed “polygones” — an apparent compositor's slip for “polynômes”. Reproduced here as printed. de degré 2 et 4 en $z$), qui admet l'intégrale \[ \int \frac{dz}{x^{2} + y^{2} + Z_{2}}. \]
»Il est ailleurs aisé de voir que toutes les surfaces réglées et toutes les surfaces de révolution admettent des intégrales de première espèce, à moins, bien entendu, qu'elles ne soient unicursales.
»Si une surface admet une intégrale de première espèce $u$, réductible aux intégrales elliptiques, les courbes $u = \text{const.}$ sont algébriques.
»Si l'on peut tracer sur une surface une courbe unicursale, et si $u$ est une intégrale de première espèce quelconque de cette surface, la valeur de $u$ sera la même tout le long de la courbe.
»De inême, si la surface admet un point conique du second ordre, dont le cône tangent soit indécomposable, la valeur de $u$ en ce point conique sera déterminée.
»Si l'on peut tracer sur une surface deux séries de courbes unicursales, elle n'aura pas d'intégrale de première espèce; si, sur une surface non unicursale, on peut tracer une série de courbes unicursales, de telle façon que par chaque point de la surface passe, en général, une seule de ces courbes, elle aura des intégrales de première espèce.
»Supposons qu'une surface soit engendrée par l'élimination de deux
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paramètres $a$ et $b$, entre les trois équations \[ \begin{gathered} \varphi(x, y, z, a, b) = 0, \\ \varphi_{1}(x, y, z, a, b) = 0, \\ \psi(a, b) = 0. \end{gathered} \]
»Si les trois polynômes $\varphi$, $\varphi_{1}$ et $\psi$ sont les plus généraux de leurs degrés, la relation $\psi = 0$ est de genre plus grand que 0; à un point de la surface correspond un seul système de valeurs des paramètres et, par conséquent, la surface admet des intégrales de première espèce.
»Enfin, le théorème d'Abel s'applique aux intégrales de différentielles totales.
»Soient $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{q}$ les points d'intersection de la surface avec la courbe \[ \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{\beta}{\mu} = \frac{\gamma}{\nu}, \] $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ étant des polynômes entiers en $x$, $y$, $z$ et $\lambda$, $\mu$, $\nu$ des constantes. Soient $u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{q}$ les valeurs d'une certaine intégrale de première espèce $u$ en ces différents points.
»Soient $M'_{1}, M'_{2}, \ldots, M'_{q}$ les points d'intersection de la surface avec la courbe \[ \frac{\alpha}{\lambda'} = \frac{\beta}{\mu'} = \frac{\gamma}{\nu'}, \] $\lambda'$, $\mu'$ et $\nu'$ étant de nouvelles constantes. Soient $u'_{1}, u'_{2}, \ldots, u'_{q}$ les valeurs de l'intégrale $u$ aux points $M'_{1}, M'_{2}, \ldots, M'_{q}$.
»On aura \[ u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{q} = u'_{1} + u'_{2} + \ldots + u'_{q}, \]»