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Ableitung der Elementarteilertheorie aus der Gruppentheorie.
E. Noether.
Die Elementarteilertheorie gibt bekanntlich für Moduln aus ganzzahligen Linearformen eine Normalbasis von der Form $(e_1 y_1, e_2 y_2, \ldots, e_r y_r)$, wo jedes $e$ durch das folgende teilbar ist; die $e$ sind dadurch bis aufs Vorzeichen eindeutig festgelegt. Da jede Abelsche Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden dem Restklassensystem nach einem solchen Modul isomorph ist, ist dadurch der Zerlegungssatz dieser Gruppen als direkte Summe größter zyklischer mitbewiesen. Es wird nun umgekehrt der Zerlegungssatz rein gruppentheoretisch direkt gewonnen, in Verallgemeinerung des für endliche Gruppen üblichen Beweises, und daraus durch Übergang vom Restklassensystem zum Modul selbst die Elementarteilertheorie abgeleitet. Der Gruppensatz erweist sich so als der einfachere Satz; in den Anwendungen des Gruppensatzes — z. B. Bettische und Torsionszahlen in der Topologie — ist somit ein Zurückgehen auf die Elementarteilertheorie nicht erforderlich.
English translation
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page 104
Derivation of elementary divisor theory from group theory.
E. Noether.
As is well known, elementary divisor theory gives, for modules of integral linear forms, a normal basis of the form $(e_1 y_1, e_2 y_2, \ldots, e_r y_r)$, where each $e$ is divisible by the one following; the $e$ are thereby uniquely determined up to sign. Since every Abelian group with finitely many generators is isomorphic to the residue class system modulo such a module, the decomposition theorem for these groups as a direct sum of largest cyclic [groups] is thereby proved as well. Conversely, the decomposition theorem is now obtained directly and purely group-theoretically, in generalization of the proof customary for finite groups, and from it elementary divisor theory is derived by passing from the residue class system to the module itself. The group theorem thus proves to be the simpler theorem; in the applications of the group theorem — e. g. Betti and torsion numbers in topology — going back to elementary divisor theory is accordingly not required.
@article{Noether1926Ableitung,
author = {Noether, Emmy},
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journal = {Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung},
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@misc{Noether1926Ableitung-en,
author = {Noether, Emmy},
title = {Derivation of elementary divisor theory from group theory. --- English translation},
howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.org/works/noether-1926-elementarteilertheorie-gruppentheorie/}},
note = {English translation (AI, claude-opus-5); status: ai-draft},
language = {English},
year = {2026}
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