Über das Dirichletsche Prinzip.

On the Dirichlet Principle

David Hilbert · 1904 · Mathematische Annalen, vol. 59, pp. 161–186 · AI draft — Machine output, not yet human-checked. Treat it as a working draft and check anything that matters against the scan. How review levels work →

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Significance

In this landmark 1904 paper in the Mathematische Annalen, David Hilbert provides the first rigorous justification of the Dirichlet principle, rehabilitating the foundational method used by Bernhard Riemann in 1851 that had been called into question by Karl Weierstrass in 1870.David Hilbert, "Über das Dirichletsche Prinzip", Mathematische Annalen, Band 59 (1904), pp. 161–186. Rather than seeking harmonic functions via indirect boundary integral equations (such as Schwarz's alternating method or Neumann's method), Hilbert created the "direct method in the calculus of variations."Richard Courant, "Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces" (Interscience Publishers, New York, 1950), Chapter 1: "Historical Remarks". By constructing minimizing sequences of functions and proving their compactness and convergence to a genuine harmonic minimizer, Hilbert not only rescued Riemann's approach to function theory and conformal mapping, but also laid the cornerstone for modern functional analysis, Sobolev spaces, and the direct methods of the calculus of variations in the twentieth century.David Hilbert, "Über das Dirichletsche Prinzip", Mathematische Annalen, Band 59 (1904), pp. 161–186.

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Über das Dirichletsche Prinzip.${}^{*)}$

Von David Hilbert in Göttingen.

Inhalt.

§ 1. Darlegung des Problems … 162

§ 2. Hilfssatz über Dirichletsche Integrale … 163

§ 3. Allgemeiner Hilfssatz über gleichmäßige Konvergenz … 165

§ 4. Hilfssatz über das Verschwinden eines gewissen Doppelintegrals bei willkürlicher Wahl einer unter dem Integralzeichen vorkommenden Funktion … 166

§ 5. Konstruktion der gesuchten Potentialfunktion auf Grund des Dirichletschen Prinzips … 169

§ 6. Beweis der Existenz der Funktion $v$ … 173

§ 7. Existenz der Funktion $u$ und Beweis ihrer Potentialeigenschaft … 175

§ 8. Beweis für die vorgeschriebene Unstetigkeit der Funktion $u$ auf der Kurve $C$ … 180

§ 9. Der Wert des Dirichletschen Integrals der Potentialfunktion $u$ auf der Riemannschen Fläche … 181

§ 10. Beweis für das reguläre Verhalten der Potentialfunktion $u$ in den unendlichfernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche … 184

Unter dem Dirichletschen Prinzip verstehen wir diejenige Schlußweise auf die Existenz einer Minimalfunktion, welche Gauß (1839), Thomson (1847), Dirichlet (1856) und andere Mathematiker zur Lösung sogenannter Randwertaufgaben angewandt haben und deren Unzulässigkeit zuerst von Weierstraß erkannt worden ist. Daß dieses Prinzip dennoch zur Auffindung von strengen und einfachen Existenzbeweisen dienen kann, habe ich in einem Vortrage${}^{**)}$ in der Deutschen Mathematiker-Vereinigung

*) Abdruck aus der Festschrift zur Feier des 150\,jährigen Bestehens der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1901.

**) Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, VIII, 1900.

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hervorgehoben; meine damaligen Andeutungen sind seitdem von Ch. A. Noble${}^{*)}$ für einfache bestimmte Integrale und von E. R. Hedrick${}^{**)}$ für gewisse Fälle von Doppelintegralen ausgeführt worden.

Im folgenden soll ein dem Dirichletschen Prinzip nachgebildetes Verfahren dargelegt werden, bei welchem wir nicht, wie früher, die Lösung der Randwertaufgabe für irgend ein spezielles Gebiet voraussetzen. Das neue Verfahren gestattet daher weitgehende Verallgemeinerungen auf die Lösung von Randwertaufgaben für gewisse aus Variationsproblemen entspringende partielle Differentialgleichungen oder für Systeme von solchen Differentialgleichungen. Vor allem aber scheinen mir die folgenden Entwicklungen ein methodisches Interesse zu bieten, insofern sie zeigen, wie die modernen Hilfsmittel der Analysis und insbesondere der Variationsrechnung imstande sind, den der geometrischen und physikalischen Anschauung entnommenen Grundgedanken des Dirichletschen Prinzips in genauem Anschluß an die anschauliche Bedeutung desselben derart zu verfolgen, daß aus demselben ein streng mathematischer Beweis für die Existenz der Minimalfunktion entsteht.

§ 1. Darlegung des Problems.

Durch das Dirichletsche Prinzip hat insbesondere Riemann die Existenz der überall endlichen Integrale auf einer vorgelegten Riemannschen Fläche zu beweisen gesucht. Ich bediene mich im folgenden dieses klassischen Beispiels zur Darlegung meines strengen Beweisverfahrens.

Auf der Ebene der komplexen Zahlen sei eine Riemannsche Fläche $F$ gegeben mit einer gewissen endlichen Anzahl von Verzweigungspunkten und einer gewissen endlichen Anzahl von Blättern. Sodann sei auf der Riemannschen Fläche $F$ eine Kurve $C$ gegeben, die im Endlichen verläuft, keinen Verzweigungspunkt trifft und, ohne die Fläche $F$ zu zerstückeln, in sich zurückkehrt. Wir nehmen diese Kurve $C$ als einen Polygonzug an, der aus geradlinigen, teils zur $x$-Achse, teils zur $y$-Achse parallelen Stücken besteht.

Eine Funktion $u$ der beiden Veränderlichen $x$, $y$, die in einem gewöhnlichen Punkte der Riemannschen Fläche nebst sämtlichen Ableitungen stetig ist und der Differentialgleichung

*) Eine neue Methode in der Variationsrechnung, Inauguraldissertation, Göttingen 1901.

**) Über den analytischen Charakter der Lösungen von Differentialgleichungen, Inauguraldissertation, Göttingen 1901, Kapitel V.

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\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \Delta u = 0 \] genügt, heiße eine in diesem Punkte reguläre Potentialfunktion.

Sind $a$, $b$ die Koordinaten eines $r$-fachen Verzweigungspunktes der Riemannschen Fläche $F$ und verhält sich die Potentialfunktion $u$ überall in der Umgebung dieses Verzweigungspunktes regulär, so setze man in $u$ an Stelle von $x$, $y$ bezüglich den reellen und den mit $i$ multiplizierten Bestandteil des Ausdruckes \[ a + ib + (\xi + i\eta)^r; \] wenn dann $u$ in eine Potentialfunktion von $\xi$, $\eta$ übergeht, die sich auch im Punkte $\xi = 0$, $\eta = 0$ regulär verhält, so heißt die ursprüngliche Potentialfunktion von $x$, $y$ in dem Verzweigungspunkte $a$, $b$ regulär.

Wenn eine Potentialfunktion $u$ in der Umgebung eines unendlichfernen Punktes unserer Riemannschen Fläche sich regulär verhält und durch die Transformation \[ x = \frac{\xi}{\xi^2 + \eta^2}, \qquad y = \frac{-\eta}{\xi^2 + \eta^2} \] in eine Potentialfunktion der Veränderlichen $\xi$, $\eta$ übergeht, die sich im Punkte $\xi = 0$, $\eta = 0$ regulär verhält, so heiße die ursprüngliche Funktion $u$ von $x$, $y$ in jenem unendlichfernen Punkte regulär.

Wenn endlich eine Potentialfunktion $u$ in der Umgebung der Punkte der Kurve $C$ zu beiden Seiten regulär ist, auf der Kurve $C$ aber sich in der Weise unstetig verhält, daß die Werte der Potentialfunktion $u$ auf der einen Seite, um die Konstante 1 vermehrt, genau die reguläre Fortsetzung der Potentialfunktion $u$ auf der anderen Seite der Kurve $C$ bilden, so sagen wir, die Potentialfunktion $u$ erleide beim Übergange von der einen auf die andere Seite den Sprung 1.

Unsere Aufgabe soll nun darin bestehen, die Existenz einer Potentialfunktion $u$ auf der vorgelegten Riemannschen Fläche $F$ nachzuweisen, die sich in allen Punkten dieser Fläche $F$ einschließlich der unendlichfernen Punkte und der Verzweigungspunkte regulär verhält und überdies beim Übergange über die gegebene Unstetigkeitskurve $C$ den Sprung 1 erleidet. Mit der Lösung dieser Aufgabe ist bekanntlich der Nachweis für die Existenz der überall endlichen Integrale auf der Riemannschen Fläche $F$ geführt.

§ 2. Hilfssatz über Dirichletsche Integrale.

Wir erörtern in diesem und den beiden folgenden Paragraphen einige einfache Hilfssätze. Der erste Hilfssatz behandelt gewisse Ungleichungen

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zwischen bestimmten Integralen, wenn das sogenannte Dirichletsche Integral für die in Betracht kommende Funktion einen bestimmten endlichen Wert hat. Wir wollen stets unter dem Dirichletschen Integral für eine vorgelegte Funktion $U$ das über ein gewisses Gebiet $G$ der $xy$-Ebene zu erstreckende Doppelintegral \[ D = \int\!\!\int_{(G)} \left\{ \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \] verstehen.

Hilfssatz 1. Es sei in der $xy$-Ebene ein Rechteck $R$ gegeben, dessen Seiten parallel zur $x$-Achse bezw. zur $y$-Achse laufen und die Längen $l$ bezw. $l'$ besitzen; die Ecken dieses Rechteckes mögen die Koordinaten \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l' \] haben. Ferner bezeichne $U(x, y)$ eine Funktion der Veränderlichen $x$, $y$, die im Inneren und auf den Seiten des Rechtecks $R$ stückweise analytisch ist und es werde \[ D = \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \left\{ \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \] gesetzt: dann gelten folgende drei Formeln: \[ \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx = \int_a^{a+l} U(x, b+l')\,dx + \vartheta \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right) \tag{I} \] \[ \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} U(x, y)\,dx\,dy = l' \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx + \vartheta' l' \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right) \tag{II} \] \[ l \int_b^{b+l'} U(a, y)\,dy = l' \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx + \vartheta'' (l + l') \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right); \tag{III} \] darin bedeuten $\vartheta$, $\vartheta'$, $\vartheta''$ gewisse den Ungleichungen \[ -1 \leqq \vartheta \leqq +1, \quad -1 \leqq \vartheta' \leqq +1, \quad -1 \leqq \vartheta'' \leqq +1 \] genügende Zahlen.

„Stückweise analytisch“ heiße eine stetige Funktion, wenn sie aus einer endlichen Anzahl von analytischen Funktionen zusammengesetzt ist, die in stückweise analytischen Kurven stetig aneinander grenzen und einschließlich dieser Grenzkurven sich regulär verhalten.

Beweis. Aus der Ungleichung: \[ \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right|^2 - \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| + \frac{1}{4} \geqq 0 \]

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folgt durch Integration nach $y$ zwischen den Grenzen $b$, $b+l'$ \[ \int_b^{b+l'} \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| dy \le \int_b^{b+l'} \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2 dy + \frac{1}{4}\,l' \] und hieraus durch Integration nach $x$ zwischen den Grenzen $a$, $a+l$: \[ \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| dx\,dy \le D + \frac{1}{4}\,l l'. \] Mit Benutzung von \[ \left| \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \frac{\partial U}{\partial y}\,dx\,dy \right| \leqq \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| dx\,dy \] erhalten wir \[ \left| \int_a^{a+l} U(x, b+l')\,dx - \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx \right| \leqq D + \frac{1}{4}\,l l' \] und damit ist die Formel I des Hilfssatzes 1 bewiesen.

Die Formeln II und III sind unmittelbare Folgerungen aus Formel I.

§ 3. Allgemeiner Hilfssatz über gleichmäßige Konvergenz.

Bei der Herstellung der gesuchten Potentialfunktion $u$ werden wir folgenden, leicht zu beweisenden Hilfssatz gebrauchen, dessen wesentlicher Inhalt bekannt ist.${}^{*)}$

Hilfssatz 2. Es sei $G$ ein im Endlichen gelegenes Gebiet der $xy$-Ebene und \[ v_1, v_2, v_3, \dots \] seien eine unendliche Reihe von Funktionen von $x$, $y$ mit folgenden Eigenschaften:

1. jede der Funktion $v_h$ sei innerhalb und auf dem Rande des Gebietes $G$ stetig und einmal nach $x$ sowie nach $y$ differentiierbar;

2. die ersten Ableitungen von $v_h$ innerhalb und auf dem Rande von $G$ liegen absolut genommen unterhalb einer endlichen Größe $A$, die von $x$, $y$ und von $h$ unabhängig ist:

wenn dann die Funktionen \[ v_1, v_2, v_3, \dots \]

*) Bendixson, Öfversigt of kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, Bd. 54, sowie Townsend, Begriff und Anwendung des Doppellimes, Inauguraldissertation, Göttingen 1900, S. 34.

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für jeden Punkt einer in $G$ überall dichten Punktmenge gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren, so konvergieren sie für jeden beliebigen Punkt in $G$ und auf dem Rande von $G$ gegen einen endlichen Grenzwert und zwar gleichmäßig für das Gebiet $G$.

Der Limes \[ \underset{h=\infty}{L} v_h \] stellt mithin eine in $G$ einschließlich des Randes stetige Funktion von $x$, $y$ dar.

§ 4. Hilfssatz über das Verschwinden eines gewissen Doppelintegrals bei willkürlicher Wahl einer unter dem Integralzeichen vorkommenden Funktion.

Hilfssatz 3. Es sei in der $xy$-Ebene ein Rechteck $R$ gegeben, dessen Seiten parallel zur $x$-Achse bezw. zur $y$-Achse laufen und die Längen $l$ bezw. $l'$ besitzen; die Ecken dieses Rechteckes mögen die KoordinatenEditorial note: In the 1904 print the semicolon after $a, b$ is omitted; cf. Hilfssatz 1 on p. 164. \[ a, b \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l' \] haben. Ferner sei $\zeta$ eine Funktion von $x$, $y$, die folgende Bedingungen erfüllt:

1. die Ableitungen \[ \frac{\partial^{m+n} \zeta}{\partial x^m \partial y^n}, \qquad (m, n = 0, 1, 2, 3) \] existieren im Rechteck $R$ einschließlich der Seiten desselben und sind daselbst stetig.

2. für $x=a$ und $x=a+l$ ist identisch für alle Werte von $y$ \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2} = 0 \] und für $y=b$, $y=b+l'$ ist identisch für alle Werte von $x$ \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial y^2} = 0; \] wenn dann $F(x, y)$ eine Funktion von $x$, $y$ bezeichnet, die in $R$ einschließlich der Seiten stetig verläuft, und wenn das über $R$ erstreckte Integral \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3}\,F(x, y)\,dx\,dy \] für alle den Bedingungen 1. und 2. genügenden Funktionen $\zeta$ verschwindet, so hat die Funktion $F$ notwendig die Form \[ F = X + X'y + X''y^2 + Y + Y'x + Y''x^2, \]

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wo $X$, $X'$, $X''$ stetige Funktionen von $x$ allein und $Y$, $Y'$, $Y''$ stetige Funktionen von $y$ allein bedeuten.

Beweis: Es seien $s$, $\sigma$, $\alpha$, $\alpha'$, $\alpha''$ irgend solche Zahlen, daß die sämtlichen Ausdrücke \[ (s + \varepsilon\sigma + e\alpha + e'\alpha' + e''\alpha'') \] \[ (\varepsilon, e, e', e'' = 0, 1) \] Werte darstellen, die $\geqq a$ und $\leqq a+l$ sind. Desgleichen seien $t$, $\tau$, $\beta$, $\beta'$, $\beta''$ irgend solche Zahlen, daß die sämtlichen Ausdrücke \[ t + \varepsilon\tau + e\beta + e'\beta' + e''\beta'' \] \[ (\varepsilon, e, e', e'' = 0, 1) \] Werte darstellen, die $\geqq b$ und $\leqq b+l'$ sind. Wir definieren dann eine Funktion $\xi$ von $x$ allein und eine Funktion $\eta$ von $y$ allein durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} \xi &= 0 & \text{für } & x \le s \\ & & \text{und ,, } & x \geqq s + \sigma \\ \xi &= (x-s)(s+\sigma-x) & \text{,, } & s \leqq x \leqq s + \sigma \\ \eta &= 0 & \text{für } & y \le t \\ & & \text{und ,, } & y \geqq t + \tau \\ \eta &= (y-t)(t+\tau-y) & \text{,, } & t \leqq y \leqq t + \tau. \end{aligned} \] Endlich führen wir zur Abkürzung die folgenden Bezeichnungen ein, worin $A(x)$, $B(y)$ irgend welche Ausdrücke des Arguments $x$ bezw. $y$ bedeuten: \[ \begin{aligned} d_x^{(\alpha)} A &= A(x+\alpha) - A(x), \\ d_x^{(\alpha')} A &= A(x+\alpha') - A(x), \\ d_x^{(\alpha'')} A &= A(x+\alpha'') - A(x), \\ d_y^{(\beta)} B &= B(y+\beta) - B(y), \\ d_y^{(\beta')} B &= B(y+\beta') - B(y), \\ d_y^{(\beta'')} B &= B(y+\beta'') - B(y). \end{aligned} \] Die Funktion \[ \zeta = \int_a^x \int_a^x \int_a^x d_x^{(-\alpha)} d_x^{(-\alpha')} d_x^{(-\alpha'')} \xi\,dx\,dx\,dx \cdot \int_b^y \int_b^y \int_b^y d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta\,dy\,dy\,dy \] besitzt dann offenbar alle oben vorgeschriebenen Eigenschaften und nach der Voraussetzung des zu beweisenden Hilfssatzes ist daher \[ \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} d_x^{(-\alpha)} d_x^{(-\alpha')} d_x^{(-\alpha'')} \xi \cdot d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta \cdot F(x, y)\,dx\,dy = 0. \]

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Setzen wir zunächstEditorial note: In the 1904 print this is set as $g(x)$, whereas capital $G(x)$ is used in the subsequent equations (2) and (3); a reader has corrected this to $G(x)$ by hand in the scanned copy. \[ \int_b^{b+l'} d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta \cdot F(x, y)\,dy = g(x), \tag{1} \] so haben wir \[ \int_a^{a+l} d_x^{(-\alpha)} d_x^{(-\alpha')} d_x^{(-\alpha'')} \xi \cdot G(x)\,dx = 0 \tag{2} \] oder \[ \int_a^{a+l} \xi \cdot d_x^{(\alpha)} d_x^{(\alpha')} d_x^{(\alpha'')} G(x)\,dx = 0 \] und, indem wir hier auf das Integral linker Hand den Mittelwertsatz für bestimmte Integrale anwenden, folgt unter Fortlassung des Faktors: \[ \int_0^\sigma x(\sigma - x)\,dx: \] die Gleichung \[ d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} G(s + \vartheta\sigma) = 0, \qquad (0 \leqq \vartheta \leqq 1) \] Der Grenzübergang für $\sigma = 0$ führt uns zu der Gleichung \[ d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} G(s) = 0. \tag{3} \] Setzen wir in (1) statt $x$ die Variable $s$ ein und wenden wir dann die Operation $d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')}$ auf (1) an, so folgt vermöge (3) die Gleichung \[ \int_b^{b+l'} d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta \cdot d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} F(s, y)\,dy = 0 \] und genau wie vorhin die Gleichung (3) aus (2) folgte, so gewinnen wir jetzt aus (4)Editorial note: The preceding displayed formula is referenced here as (4), but was left unnumbered by the compositor in the 1904 print. die Gleichung \[ d_t^{(\beta)} d_t^{(\beta')} d_t^{(\beta'')} d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} F(s, t) = 0. \] Diese Formel gilt identisch für alle Zahlen $s$, $\alpha$, $\alpha'$, $\alpha''$, $t$, $\beta$, $\beta'$, $\beta''$, wenn nur die sämtlichen Ausdrücke \[ s + e\alpha + e'\alpha' + e''\alpha'', \quad t + e\beta + e'\beta' + e''\beta'' \] \[ (e, e', e'' = 0, 1) \] noch in die Intervalle $a$ bis $a+l$ bezw. $b$ bis $b+l'$ fallen. Aus diesem Umstande folgt ohne Schwierigkeit, daß $F(x, y)$ die im Hilfssatze 3 behauptete Gestalt haben muß.

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§ 5. Konstruktion der gesuchten Potentialfunktion auf Grund des Dirichletschen Prinzips.

Entsprechend dem Grundgedanken des Dirichletschen Prinzips werden wir im folgenden auf unserer Riemannschen Fläche $F$ Systeme von stückweise analytischen Funktionen $U(x, y)$ ins Auge fassen, deren jede auf der Kurve $C$ den Sprung 1 erleidet und für welche das über die gesamte Riemannsche Fläche $F$ erstreckte Dirichletsche Integral einen endlichen Wert besitzt. Dabei wird, wie in Hilfssatz 1 in § 2, eine Funktion als „stückweise analytisch“ bezeichnet, wenn sie aus einer endlichen Anzahl von analytischen Funktionen zusammengesetzt ist, die in stückweise analytischen Kurven stetig aneinandergrenzen und einschließlich dieser Grenzkurven sich regulär verhalten. Daß es auf unserer Riemannschen Fläche $F$ Funktionen $U(x, y)$ von der verlangten Beschaffenheit gewiß gibt, erkennen wir leicht auf folgende Weise. Wir konstruieren auf der Riemannschen Fläche $F$ in genügender Nähe neben $C$ einen $C$ nicht schneidenden und ebenfalls geschlossenen Polygonzug $C^*$, dessen Teilstücke den geradlinigen Stücken von $C$ bezüglich parallel sind, so daß das von $C$ und $C^*$ begrenzte ringförmige Gebiet von Verzweigungspunkten frei bleibt und es möglich wird, aus linearen Funktionen von $x$, $y$ stückweise eine Funktion zusammenzusetzen, die im Inneren dieses ringförmigen Gebietes stetig ist und auf $C$ den Wert 1, auf $C^*$ den Wert 0 annimmt. Setzt man $U$ in dem zwischen $C$ und $C^*$ gelegenen Gebiete gleich dieser stückweise linearen Funktion und definiert man $U$ in allen übrigen Punkten der Riemannschen Fläche gleich 0, so erfüllt $U$ offenbar die gestellten Forderungen.

Nunmehr bezeichnen wir mit $d$ die untere Grenze der Werte der Dirichletschen Integrale aller möglichen Funktionen $U(x, y)$ und denken uns dann eine solche unendliche Reihe von Funktionen $U(x, y)$ ausgewählt, etwa \[ U_1, U_2, U_3, \dots, \tag{5} \] deren Dirichletsche Integrale gegen $d$ konvergieren. Endlich sei $D$ eine Zahl, die größer als alle Werte der Dirichletschen Integrale der Funktionen (5) ausfällt.

Wenn wir eine Funktion $U$ um irgend eine Konstante vermehren, so ändert sich der Wert des Dirichletschen Integrals dadurch nicht. Es bezeichne $S$ auf der Riemannschen Fläche irgend eine geradlinige endliche zur $x$-Achse parallele Strecke, die keinen Verzweigungspunkt enthält und die Kurve $C$ nicht trifft; dann denken wir uns jede der Funk-

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tionen (5) um je eine solche Konstante vermehrt, daß die Integrale der veränderten Funktionen, über die Strecke $S$ erstreckt, sämtlich verschwinden. Behalten wir für die veränderten Funktionen die ursprüngliche Bezeichnung $U_h$ bei, so genügen sie den folgenden Bedingungen:Editorial note: The closing parenthesis in $(h = 1, 2, 3, \dots$ is omitted in the 1904 print. \[ \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial U_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy < D, \qquad (h = 1, 2, 3, \dots \] \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial U_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy = d, \] \[ \int_{(S)} U_h\,dx = 0, \qquad (h = 1, 2, 3, \dots). \] Man könnte zeigen, daß die Werte unserer Funktionen \[ U_1, U_2, U_3, \dots \tag{6} \] nicht notwendig für jeden Punkt der Riemannschen Fläche gegen einen Grenzwert konvergieren und daß es auch im allgemeinen nicht möglich ist, aus dieser Funktionenreihe (6) eine solche unendliche Reihe auszuwählen, deren Werte für jeden Punkt der Riemannschen Fläche gegen einen Grenzwert konvergieren. Hingegen wird sich aus den Funktionen (6) eine unendliche Reihe derart auswählen lassen, daß die Doppelintegrale dieser Funktionen über gewisse auf der Riemannschen Fläche gelegene Rechtecke stets gegen einen Grenzwert konvergieren und diese Grenzwerte werden uns dann zur Konstruktion der gesuchten Potentialfunktion dienen.

Wir fixieren in den verschiedenen Blättern der Riemannschen Fläche sämtliche derartige Punkte, deren Koordinaten rationale Zahlen sind. Sodann fassen wir alle diejenigen auf der Riemannschen Fläche gelegenen Rechtecke $R$ ins Auge, deren Ecken derartige Punkte sind und deren Seiten parallel zur $x$-Achse und $y$-Achse laufen, die überdies so gelegen sind, daß in ihrem Inneren oder auf den Seiten kein Verzweigungspunkt der Riemannschen Fläche und auch kein Punkt der Kurve $C$ enthalten ist. Diese Rechtecke $R$ bilden eine abzählbare Menge und seien in die unendliche Reihe \[ R_1, R_2, R_3, \dots \tag{7} \] angeordnet.

Wir betrachten nun irgend eines der Rechtecke (7), etwa das Rechteck $R_k$ und bilden auf der Riemannschen Fläche eine endliche Kette von Rechtecken, deren erstes ein Rechteck mit der Seite $S$ und deren letztes das Rechteck $R_k$ ist und in welcher jedes folgende Rechteck mit dem vorhergehenden eine Seite gemein hat. Da die Integrale der Funktionen (6) über die Strecke $S$ sämtlich verschwinden, so schließen wir, indem wir

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die Formeln I und III des Hilfssatzes 1 in § 2 auf die Rechtecke unserer Kette anwenden und unter $D$ die vorhin eingeführte obere Grenze der Dirichletschen Integrale verstehen, daß die über die Seiten von $R_k$ erstreckten Integrale der Funktionen $U_h$ absolut genommen gewiß unterhalb einer endlichen Grenze bleiben, welche nur von der Gestalt und Lage des Rechteckes $R_k$, nicht aber von dem Index $h$, d. h. nicht von der Auswahl der Funktion $U_h$ aus der Reihe (6) abhängt. Wenden wir dann noch die Formel II des Hilfssatzes 1 in § 2 auf das Rechteck $R_k$ an, so folgt, daß auch das über dieses Rechteck erstreckte Doppelintegral der Funktion $U_h$, d. h. das Integral \[ \int\!\!\int_{(R_k)} U_h\,dx\,dy \] absolut genommen unterhalb einer endlichen vom Index $h$ unabhängigen Grenze liegen muß.

Diese Betrachtung setzt uns in den Stand, in der Reihe der Funktionen (6) die gewünschte Auswahl zu treffen.

Wir betrachten zunächst das Rechteck $R_1$. Da die über dieses Rechteck erstreckten Doppelintegrale \[ \int\!\!\int_{(R_1)} U_h\,dx\,dy \qquad (h = 1, 2, 3, \dots) \] absolut genommen sämtlich unter einer endlichen Grenze bleiben, so ist es leicht möglich eine unendliche Anzahl aus den Funktionen $U_h$ der unendlichen Reihe (6) auszuwählen, etwa die Funktionen \[ U_1', U_2', U_3', \dots \tag{8} \] derart, daß die Doppelintegrale dieser Funktionen sich einem bestimmten endlichen Grenzwerte nähern und mithin \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_1)} U_h'\,dx\,dy \] existiert. Jetzt heben wir aus der Funktionenreihe (8) eine solche unendliche Anzahl von Funktionen, etwa die Funktionen \[ U_1'', U_2'', U_3'', \dots \tag{9} \] heraus derart, daß die über das Rechteck $R_2$ erstreckten Doppelintegrale dieser Funktionen sich einem bestimmten endlichen Grenzwerte nähern und mithinEditorial note: Printed $U_2''$ with subscript 2 instead of $h$; an apparent compositor misprint for $U_h''$. \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_2)} U_2''\,dx\,dy \] existiert. Entsprechend wählen wir aus der Funktionenreihe (9) eine unendliche Anzahl von Funktionen

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\[ U_1''', U_2''', U_3''', \dots \] aus derart, daß \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_3)} U_h'''\,dx\,dy \] existiert u. s. f.

Setzen wir nun \[ u_1 = U_1', \quad u_2 = U_2'', \quad u_3 = U_3''', \dots \] so ist offenbar die unendliche Funktionenreihe \[ u_1, u_2, u_3, \dots \tag{10} \] eine derartige, daß für jedes Rechteck $R_k$ aus der unendlichen Reihe (7) \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_k)} u_h\,dx\,dy \] existiert.

Die Funktionenreihe (10) wird uns die Konstruktion der gesuchten Potentialfunktion auf der Riemannschen Fläche in folgender Weise ermöglichen.

Es sei ein Rechteck $R$ auf der Riemannschen Fläche gegeben, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen laufen und die Längen $l$ bezw. $l'$ besitzen, die Koordinaten der Ecken dieses Rechteckes seien \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l', \] und $x$, $y$ seien die Koordinaten eines Punktes im Inneren oder auf einer Seite dieses Rechteckes $R$. Wir setzen zur Abkürzung \[ v_h = \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy \] und beweisen dann folgende Tatsachen.

I. Es existiert stets der Grenzwert \[ v(x, y) = \underset{h=\infty}{L} v_h = \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy \tag{I} \] und zwar konvergieren die Funktionen $v_h$ gleichmäßig für alle Punkte $x$, $y$ im Inneren oder auf einer Seite des Rechteckes $R$ gegen jenen Grenzwert; die durch jenen Grenzwert I dargestellte Funktion ist daher eine stetige Funktion von $x$, $y$ in $R$.

II. Die durch den Grenzwert I dargestellte Funktion von $x$, $y$ ist beliebig oft differentiierbar und zwar definiert \[ u(x, y) = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy = \underset{\substack{\varepsilon=0 \\ \eta=0}}{L} \ \underset{h=\infty}{L} \frac{1}{\varepsilon\eta} \int_x^{x+\varepsilon} \int_y^{y+\eta} u_h\,dx\,dy \tag{II} \] im Rechteck $R$ die gesuchte Potentialfunktion auf der Riemannschen Fläche $F$.

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§ 6. Beweis der Existenz der Funktion $v$.

Zum Beweise der aufgestellten Behauptungen I und II dienen die folgenden Entwicklungen.

Es sei $R_k$ ein bestimmt ausgewähltes Rechteck in der unendlichen Reihe (7) mit den Ecken $a$, $b$; $a+l$, $b$; $a+l$, $b+l'$; $a$, $b+l'$ und $x$, $y$ seien die Koordinaten eines Punktes im Inneren oder auf den Seiten dieses Rechteckes. Wir haben erkannt, daß die über die Seiten von $R_k$ erstreckten Integrale der Funktionen $U_h$ unterhalb einer endlichen von $h$ unabhängigen Grenze liegen; wir nennen diese Grenze $G_k$. Da die Funktionen $u_h$ unter den Funktionen $U_h$ enthalten sind, so gelten mithin Gleichungen von der Form \[ \int_a^{a+l} u_h\,dx = \vartheta^* G_k, \] \[ \int_b^{b+l'} u_h\,dy = \vartheta^{**} G_k, \] worin $\vartheta^*$, $\vartheta^{**}$ Zahlen sind, die den Ungleichungen \[ -1 \leqq \vartheta^* \leqq +1, \qquad -1 \leqq \vartheta^{**} \leqq +1 \] genügen. Wenden wir nun die Formel III des Hilfssatzes 1 in § 2 auf das Rechteck mit den Ecken \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, y; \quad a, y \] an, so erhalten wir \[ \begin{aligned} l \int_b^y u_h(a, y)\,dy &= (y-b) \int_a^{a+l} u_h(x, b)\,dx + \vartheta''(l+y-b)\left(D + \frac{1}{4}\,l(y-b)\right), \\ &= \vartheta l' \cdot \vartheta^* G_k + \vartheta''' (l+l') \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right), \end{aligned} \] \[ (-1 \leqq \vartheta \leqq +1, \quad -1 \leqq \vartheta'' \leqq +1 - 1 \leqq \vartheta''' \leqq +1) \] Editorial note: In the 1904 print a comma is missing between $+1$ and $-1$ in the preceding inequality list.% und diese Gleichung zeigt, daß der absolute Wert des einfachen IntegralsEditorial note: Printed with differential $dx$ instead of $dy$; an apparent compositor misprint. \[ \int_b^y u_h(a, y)\,dx \] unterhalb einer gewissen endlichen Grenze liegt, die weder von $h$ noch von der Ordinate des Punktes $x$, $y$ in $R_k$ abhängig ist. Hieraus folgt unmittelbar, wenn wir die Formel I des Hilfssatzes 1 in § 2 auf das Rechteck mit den Ecken \[ a, b; \quad x, b; \quad x, y; \quad a, y \]

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anwenden, daß auch der absolute Wert des einfachen Integrales \[ \int_b^y u_h(x, y)\,dy \] unterhalb einer gewissen endlichen Grenze liegt, die weder von $h$ noch von der Lage des Punktes $x$, $y$ in $R_k$ abhängt.

Das gleiche wird in analoger Weise von dem einfachen Integral \[ \int_a^x u_h(x, y)\,dx \] gezeigt.

Wenn die Koordinaten $x$, $y$ rationale Zahlen sind, so gehört das aus den Ecken \[ a, b; \quad x, b; \quad x, y; \quad a, y \] gebildete Rechteck selbst zu den Rechtecken (7); in diesem Falle existiert mithin nach § 5 der Grenzwert \[ \underset{h=\infty}{L} v_h = \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy. \] Da andererseits nach dem eben Bewiesenen die Ableitungen von $v_h$ nach $x$, $y$: \[ \frac{\partial v_h}{\partial x} = \int_b^y u_h\,dy, \qquad \frac{\partial v_h}{\partial y} = \int_a^x u_h\,dx \] absolut genommen sämtlich unterhalb einer von $h$ und von $x$, $y$ unabhängigen Grenze bleiben, so erfüllt die unendliche Reihe der Funktionen \[ v_1, v_2, v_3, \dots \] alle Bedingungen des Hilfssatzes 3 in § 3Editorial note: Printed Hilfssatz 3 in § 3, though the lemma in § 3 was numbered Hilfssatz 2 on p. 165.; nach diesem Hilfssatze konvergieren also diese Funktionen gleichmäßig in $R_k$ gegen eine Grenzfunktion: \[ v(x, y) = \underset{h=\infty}{L} v_h; \] diese Gleichung definiert mithin eine in $R_k$ stetige Funktion der Variabeln $x$, $y$. Damit ist die Behauptung I in § 5 bewiesen für den Fall, daß wir ein Rechteck $R_k$ aus der Reihe (7) der Betrachtung zugrunde legen.

Wählen wir nun statt dieses Rechteckes $R_k$ ein beliebiges Rechteck, dessen Seiten parallel zur $x$-Achse und zur $y$-Achse laufen und das keinen Verzweigungspunkt und keinen Punkt der Kurve $C$ enthält, etwa das Rechteck $R$ mit den Ecken \[ \alpha, \beta; \quad \alpha+\lambda, \beta; \quad \alpha+\lambda, \beta+\lambda'; \quad \alpha, \beta+\lambda' \]

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und bezeichnen wir mit $x$, $y$ einen in diesem Rechteck $R$ gelegenen Punkt, so erweist sich auch von der Funktionenreihe \[ v_h = \int_\alpha^x \int_\beta^y u_h\,dx\,dy \] die Behauptung I in § 5 leicht als zutreffend, wenn wir ein Rechteck $R_k$ in der Reihe (7) wählen, welches das Rechteck $R$ im Inneren enthält und dann auf $R_k$ die eben bewiesene Behauptung I anwenden.

§ 7. Existenz der Funktion $u$ und Beweis ihrer Potentialeigenschaft.

Wir gehen nun zum Beweise der Behauptung II in § 5 über. Zu dem Zwecke erörtern wir zunächst folgende Eigenschaft unserer Funktionenreihe (10).

Es sei $R$ irgend ein Rechteck auf unserer Riemannschen Fläche mit den Ecken \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l', \] welches keinen Verzweigungspunkt und keinen Punkt der Kurve $C$ enthält. Wenn dann $\zeta$ irgend eine stückweise analytische Funktion von $x$, $y$ bedeutet, die nebst ihren ersten Ableitungen nach $x$, $y$ innerhalb des Rechteckes $R$ einschließlich seiner Seiten stetig ist und auf den Seiten von $R$ verschwindet, so gilt stets die Gleichung \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y} \right\} dx\,dy = 0, \tag{11} \] wo das Doppelintegral über das Rechteck $R$ zu erstrecken ist.

Zum Beweise dieser Behauptung nehmen wir im Gegenteil an, es ließe sich aus unserer Funktionenreihe (10) \[ u_1, u_2, u_3, \dots \] eine unendliche Reihe \[ u_1', u_2', u_3', \dots \] der Art herausgreifen, daß für alle $h$ \[ \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h'}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h'}{\partial y} \right\} dx\,dy \geqq \varrho \quad \text{oder} \quad \leqq \varrho \] wäre, wo $\varrho$ im ersten Fall eine positive, im zweiten Falle eine negative, von $h$ unabhängige Zahl bedeutet. Dann setzen wir

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\[ \varkappa = \frac{\varrho}{\displaystyle\int\!\!\int_{(R)} \left\{ \left(\frac{\partial\zeta}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial\zeta}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy} \] und definieren auf unserer Riemannschen Fläche $F$ eine stetige Funktion $\zeta$, so daß $\zeta$ in $R$ mit der vorgelegten Funktion $\zeta$ übereinstimmt und außerhalb überall den Wert 0 hat. Die Funktionen \[ u_h' - \varkappa\zeta, \qquad (h = 1, 2, 3, \dots) \] sind dann stückweise analytische Funktionen auf $F$, die in $C$ den Sprung 1 erleiden, und das über $F$ erstreckte Dirichletsche Integral für diese Funktion erhält den Wert \[ \begin{aligned} & \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \\ &= \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial u_h'}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h'}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy - 2\varkappa \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h'}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h'}{\partial y} \right\} dx\,dy + \varkappa\varrho \end{aligned} \] und folglich würden wir für alle $h$ \[ \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \leqq d_h - \varkappa\varrho, \] erhalten, wo $d_h$ das über $F$ erstreckte Dirichletsche Integral für $u_h'$ bedeutet und also auf Grund der Festsetzung in § 5 $d_h$ sich bei wachsendem $h$ der Grenze $d$ nähert. Da \[ \varkappa\varrho = \frac{\varrho^2}{\displaystyle\int\!\!\int_{(R)} \left\{ \left(\frac{\partial\zeta}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial\zeta}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy} \] eine positive, von $h$ unabhängige Zahl wird, so wäre mithin $d$ gewiß nicht die untere Grenze aller möglichen Werte von Dirichletschen Integralen. Dieser Widerspruch zeigt die Unzulässigkeit unserer Annahme und damit ist der Beweis für unsere obige Behauptung erbracht.

Die eben bewiesene Gleichung (11) entspricht der Forderung des Verschwindens der ersten Variation in der gewöhnlichen Variationsrechnung.

Um nun den Grenzübergang für $h=\infty$ unter dem Integralzeichen in (11) ausführen zu können, wenden wir das Mittel der partiellen Integration an, aber nicht, indem wir wie in der gewöhnlichen Variationsrechnung nach Lagrange die Ableitungen der Variation $\zeta$ fortschaffen,

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sondern wir schaffen im Gegenteil die Ableitungen von $u_h$ fort und führen statt derselben mehrfache Integrale von $u_h$ ein.

Die Variation $\zeta$ sei von nun an eine stückweise analytische Funktion von $x$, $y$, die folgende Bedingung erfüllt.

1. Die Ableitungen \[ \frac{\partial^{m+n} \zeta}{\partial x^m \partial y^n}, \qquad (m, n = 0, 1, 2, 3) \] existieren im Rechteck $R$ einschließlich der Seiten desselben und sind daselbst stetig.

2. Für $x=a$ und $x=a+l$ ist identisch für alle Werte von $y$ \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2} = 0, \] Für $y=b$ und $y=b+l'$ ist identisch für alle Werte von $x$ \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial y^2} = 0. \] Indem wir dann die Formel für partielle Integration wiederholt für die Integration nach $x$ und nach $y$ in Anwendung bringen, gelangen wir, unter $a^*$, $b^*$ irgend zwei bezüglich zwischen den Grenzen $a$, $a+l$ und $b$, $b+l'$ gelegene Zahlen verstanden, zu folgenden Gleichungen \[ \int_a^{a+l} \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x}\,dx = -\int_a^{a+l} \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2}\,u_h\,dx \] \[ \int_a^{a+l} \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2}\,u_h\,dx = -\int_a^{a+l} \frac{\partial^3\zeta}{\partial x^3} \cdot \int_{a^*}^x u_h\,dx \cdot dx \] und ferner, wenn \[ v_h = \int_{a^*}^x \int_{b^*}^y u_h\,dx\,dy \] gesetzt wird: \[ \int_b^{b+l'} \frac{\partial^3\zeta}{\partial x^3} \cdot \int_{a^*}^x u_h\,dx \cdot dy = -\int_b^{b+l'} \frac{\partial^4\zeta}{\partial x^3 \partial y}\,v_h\,dy \] \[ \int_b^{b+l'} \frac{\partial^4\zeta}{\partial x^3 \partial y}\,v_h\,dy = -\int_b^{b+l'} \frac{\partial^5\zeta}{\partial x^3 \partial y^2} \cdot \int_b^y v_h\,dy \cdot dy \] \[ \int_b^{b+l'} \frac{\partial^5\zeta}{\partial x^3 \partial y^2} \cdot \int_b^y v_h\,dy \cdot dy = -\int_b^{b+l'} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy \cdot dy. \]

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Mithin ist \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x}\,dx\,dy = -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \cdot \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy \cdot dx\,dy. \] Ebenso finden wir \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y}\,dx\,dy = -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \cdot \int_a^x \int_a^x v_h\,dx\,dx \cdot dx\,dy. \] Die Addition der beiden letzten Formeln liefert \[ \begin{aligned} & \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \\ &= -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \left\{ \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy + \int_a^x \int_a^x v_h\,dx\,dx \right\} dx\,dy. \end{aligned} \] Wenden wir nun die Behauptung I in § 5, die in § 6 bereits bewiesen worden ist, auf diejenigen vier Rechtecke an, in welche das Rechteck $R$ durch die beiden Geraden \[ x = a^*, \quad y = b^* \] zerlegt wird, so erkennen wir, daß die Funktionenreihe \[ v_1, v_2, v_3, \dots \] gleichmäßig im Rechteck $R$ einschließlich der Seiten desselben konvergiert. Die GrenzfunktionEditorial note: The closing parenthesis in $v(x, y)$ is omitted in the 1904 print. \[ v(x, y = \underset{h=\infty}{L} v_h = \underset{h=\infty}{L} \int_{a^*}^x \int_{b^*}^y u_h\,dx\,dy \] ist mithin in $R$ stetig und da wegen der gleichmäßigen Konvergenz die Reihenfolge des Grenzüberganges für $h=\infty$ und der Integrationsprozesse vertauscht werden darf, so haben wir \[ \begin{aligned} & \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \\ &= -\underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \left\{ \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy + \int_a^x \int_a^x v_h\,dx\,dx \right\} dx\,dy \\ &= -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \left\{ \int_b^y \int_b^y v\,dy\,dy + \int_a^x \int_a^x v\,dx\,dx \right\} dx\,dy. \end{aligned} \]

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Unter Benutzung dieser Umformung und bei Einführung der abkürzenden Bezeichnung \[ w(x, y) = \int_a^x \int_a^x \int_b^y \int_b^y v\,dx\,dx\,dy\,dy \] drückt sich die in Formel (11) ausgesprochene Behauptung wie folgt aus.

Die Funktion $w(x, y)$ ist von der Art, daß für jede beliebige den Bedingungen 1. und 2. genügende Funktion $\zeta$ stets das über $R$ erstreckte Doppelintegral \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3}\,\Delta w\,dx\,dy \] den Wert 0 hat.

Da $\Delta w$ eine stetige Funktion von $x$, $y$ ist, so folgt hieraus nach Hilfssatz 3 in § 4, daß $\Delta w$ notwendig die Gestalt hat \[ \Delta w = Xy^2 + X'y + X'' + Yx^2 + Y'x + Y'', \tag{12} \] wo $X$, $X'$, $X''$ stetige Funktionen der Variabeln $x$ allein und $Y$, $Y'$, $Y''$ stetige Funktionen der Variabeln $y$ allein bedeuten. Setzen wir \[ \begin{aligned} z = w &- \int_a^x \int_a^x \left\{ Xy^2 + X'y + X'' \right\} dx\,dx + 2 \int_a^x \int_a^x \int_a^x \int_a^x X\,dx\,dx\,dx\,dx \\ &- \int_b^y \int_b^y \left\{ Yx^2 + Y'x + Y'' \right\} dy\,dy + 2 \int_b^y \int_b^y \int_b^y \int_b^y Y\,dy\,dy\,dy\,dy, \end{aligned} \] so geht die Gleichung (12) über in die Gleichung \[ \Delta z = 0 \] und diese zeigt, daß $z$ eine innerhalb $R$ reguläre Potentialfunktion ist. Da eine reguläre Potentialfunktion nach den beiden Veränderlichen $x$, $y$ beliebig oft differentiiert werden kann und alle ihre Ableitungen ebenfalls reguläre Potentialfunktionen sind, so folgt, daß auch \[ \frac{\partial^4 z}{\partial x^2 \partial y^2} = v - 2X - 2Y \] eine innerhalb $R$ reguläre Potentialfunktion ist.

Setzen wir in dem Ausdruck $v - 2X - 2Y$ insbesondere $y = b^*$ ein und berücksichtigen, daß $v$ für $y = b^*$ identisch in $x$ verschwindet, so folgt, daß $X$ notwendig eine analytische und also nach $x$ differentiierbare Funktion sein muß; ebenso folgt durch Einsetzen von $x = a^*$ in jenen Ausdruck, daß $Y$ eine analytische und also nach $y$ differentiierbare Funktion sein muß. Mithin ist die Funktion $v$ analytisch und also gewiß nach $x$ und nach $y$ differentiierbar: setzen wir

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\[ u(x, y) = \frac{\partial^6 z}{\partial x^3 \partial y^3} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \] so erhellt, daß $u$ ebenfalls eine innerhalb $R$ reguläre Potentialfunktion ist.

Die hieraus zu entnehmende Formel \[ u(x, y) = \underset{\substack{\varepsilon=0 \\ \eta=0}}{L} \ \underset{h=\infty}{L} \frac{1}{\varepsilon\eta} \int_x^{x+\varepsilon} \int_y^{y+\eta} u_h\,dx\,dy \] zeigt, daß der Wert der Funktion $u$ von der Wahl der Zahlen $a^*$, $b^*$ unabhängig ist und mithin definiert diese Formel auf der ganzen Riemannschen Fläche $F$ eine Potentialfunktion, die gewiß überall im Endlichen sich regulär verhält, wenn man von den Punkten der Kurve $C$ und den Verzweigungsstellen absieht.

Um zu erkennen, daß $u(x, y)$ die gesuchte Potentialfunktion der gegebenen Riemannschen Fläche $F$ ist, erübrigt noch zu zeigen, daß $u(x, y)$ in dem in § 1 festgesetzten Sinne beim Übergange über die Kurve $C$ den Sprung 1 erleidet und daß $u$ auch in den unendlichfernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche $F$ in dem in § 1 festgesetzten Sinne sich regulär verhält.

§ 8. Beweis für die verlangte Unstetigkeit der Potentialfunktion $u$ auf der Kurve $C$.

Der Nachweis für das verlangte unstetige Verhalten auf der Kurve $C$ läßt sich sehr einfach führen. Wir ändern zu dem Zwecke die Kurve $C$ auf der Riemannschen Fläche $F$ in der Weise ab, wie wir dies im § 5 getan haben, indem wir die einzelnen geradlinigen Stücke des Polygonzuges $C$ parallel mit sich nach der Seite hin verschieben, nach welcher die Vermehrung der Funktionswerte um 1 eintritt, und gleichzeitig jedes geradlinige Stück in geeigneter Weise verlängern oder verkürzen, so daß die abgeänderten Stücke wiederum einen geschlossenen Polygonzug bilden, den wir $C^*$ nennen. Wir treffen die Abänderung so, daß in dem zwischen $C$ und $C^*$ gelegenen ringförmigen Gebiete kein Verzweigungspunkt der Riemannschen Fläche zu liegen kommt. Nunmehr führen wir unsere gesamte Betrachtung für den Polygonzug $C^*$ anstatt wie früher für den Polygonzug $C$ aus. Wir bezeichnen der Kürze halber eine Funktion, die innerhalb des von $C$ und $C^*$ begrenzten ringförmigen Gebietes den konstanten Wert 1 hat und sonst überall auf der Riemannschen Fläche verschwindet, mit $1^*$. Aus jeder beliebigen Funktion $U$, die auf der Riemannschen Fläche $F$ stetig verläuft und nur in $C$ den Sprung 1

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erleidet, gewinnen wir dann offenbar durch Subtraktion der Funktion $1^*$ eine Funktion, die auf der Riemannschen Fläche $F$ stetig verläuft und nur in $C^*$ den Sprung 1 erleidet und wir können offenbar für die neue Betrachtung von vornherein die Funktionenreihe \[ u_1 - 1^*, \ u_2 - 1^*, \ u_3 - 1^*, \dots \] zugrunde legen, wo $u_1, u_2, u_3, \dots$ die in den vorigen Entwickelungen gewonnenen und zur Konstruktion unserer Potentialfunktion $u$ verwandten Funktionen (10) bedeuten. Unser Verfahren zeigt dann, daß sich aus dieser Funktionenreihe eine Auswahl \[ u_1' - 1^*, \ u_2' - 1^*, \ u_3' - 1^*, \dots \] muß treffen lassen, derart, daß der durch die Formel \[ u^* = \underset{\substack{\varepsilon=0 \\ \eta=0}}{L} \ \underset{h=\infty}{L} \frac{1}{\varepsilon\eta} \int_x^{x+\varepsilon} \int_y^{y+\eta} (u_h' - 1^*)\,dx\,dy \] definierte Ausdruck eine Potentialfunktion darstellt, die nur in den Punkten des Polygonzuges $C^*$ unstetig ist. Nun ist aber jener Ausdruck $u^*$ offenbar gleich $u - 1^*$ und mithin $u - 1^*$ eine auf $C$ reguläre Potentialfunktion, d. h. $u$ erleidet in dem in § 1 festgesetzten Sinne beim Übergange über die Kurve $C$ den Sprung 1.

§ 9. Der Wert des Dirichletschen Integrals der Potentialfunktion $u$ auf der Riemannschen Fläche.

Um das Verhalten der gefundenen Potentialfunktion $u$ in den unendlichfernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche $F$ zu beurteilen, ist es zuvor nötig, zu zeigen, daß die Funktion $u$ das ins Auge gefaßte Dirichletsche Variationsproblem löst, daß der Wert des über die gesamte Riemannsche Fläche erstreckten Dirichletschen Integrals für diese Funktion wirklich gleich der in § 5 mit $d$ bezeichneten Grenze aller möglichen Werte der über $F$ erstreckten Dirichletschen Integrale wird.

Beim Nachweise hierfür bedienen wir uns der folgenden Tatsache:

Es sei $R$ irgend ein Rechteck auf unserer Riemannschen Fläche mit den Ecken \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l', \] welches keinen Verzweigungspunkt und keinen Punkt der Kurve $C$ enthält und $f(x, y)$ sei eine in $R$ einschließlich der Seiten von $R$ reguläre analytische Funktion: wird dann zur Abkürzung \[ \omega_h = u_h - u \]

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gesetzt, so behaupte ich, daß stets die Gleichung gilt \[ \begin{gathered} \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y f(x, y) \cdot \omega_h\,dx\,dy = 0. \\ (a \leqq x \leqq a+l, \quad b \leqq y \leqq b+l') \end{gathered} \] und zwar konvergiert das Doppelintegral gleichmäßig für alle in $R$ gelegenen Punkte $x$, $y$ gegen den Wert 0.

Zum Beweise dieser Behauptung formen wir das Doppelintegral wie folgt um \[ \begin{aligned} \int_a^x \int_b^y f \cdot \omega_h\,dx\,dy &= f \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy - \int_b^y \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy \cdot dy \\ &\quad - \int_a^x \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy \cdot dx + \int_a^x \int_b^y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy \cdot dx\,dy \end{aligned} \] und bedenken dann, daß das Doppelintegral \[ \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy = \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy - \int_a^x \int_b^y u\,dx\,dy \] gleichmäßig für alle in $R$ gelegenen Punkte $x$, $y$ gegen den Wert 0 konvergiert.

Wir wollen nun zeigen, daß das über die gesamte Riemannsche Fläche $F$ erstreckte Dirichletsche Integral für die Potentialfunktion $u$ einen endlichen Wert besitzt, der gewiß nicht größer als $d$ ist. Im entgegengesetzten Falle nämlich müßte es gewiß auch möglich sein, auf der Riemannschen Fläche $F$ ein ganz im Endlichen gelegenes, von Verzweigungspunkten und Punkten der Kurve $C$ freies Gebiet $G$ abzugrenzen, so daß das über $G$ erstreckte Dirichletsche Integral für die Funktion $u$ größer als $d$ ausfällt und zwar nehmen wir an, es sei das über $G$ erstreckte Dirichletsche Integral $\geqq d+p$, wo $p$ eine gewisse positive Zahl bedeutet. Dann konstruieren wir einen Polygonzug $P$, der aus einer endlichen Anzahl geradliniger zur $x$-Achse oder zur $y$-Achse paralleler Stücke besteht derart, daß das Gebiet $G$ auf der Riemannschen Fläche ganz in das Innere des durch diesen Polygonzug $P$ begrenzten Polygones zu liegen kommt. Endlich wählen wir noch eine positive Größe $\delta$ so klein, daß das Gebiet $G$ auch innerhalb jedes solchen Polygonzuges $P_{\xi\eta}$ enthalten bleibt, der aus $P$ durch eine Parallelverschiebung: \[ \begin{aligned} x' &= x + \xi, \quad 0 \leqq \xi \leqq \delta \\ y' &= y + \eta, \quad 0 \leqq \eta \leqq \delta \end{aligned} \]

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hervorgeht. Offenbar sind dann die über das Innere der Polygonzüge $P_{\xi\eta}$ erstreckten Dirichletschen Integrale für die Funktion $u$ ebenfalls sämtlich $\geqq d+p$; wir können daher aus der Identität \[ \begin{aligned} &\int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial u_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \\ = &\int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy + 2 \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \\ &\quad + \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial \omega_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \omega_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy, \end{aligned} \] in der die Doppelintegrale über das Innere des Polygones $P_{\xi\eta}$ zu erstrecken sind, die Ungleichung entnehmen \[ \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial u_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \geqq d + p + 2 \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy. \]

Um so mehr ist \[ \tag{13} \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial u_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \geqq d + p + 2 \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \] wenn das Doppelintegral linker Hand über die ganze Riemannsche Fläche $F$ erstreckt wird. Andererseits gilt die Formel \[ \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy = - \int_{(P_{\xi\eta})} \frac{\partial u}{\partial t} \omega_h\,ds - \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \Delta u\ \omega_h\,dx\,dy; \] hierin ist das erste Integral rechter Hand über den Polygonzug $P_{\xi\eta}$ zu erstrecken, wobei $s$, $t$ die Variabeln $x$, $\pm y$ bezüglich $y$, $\pm x$ bedeuten, jenachdem die betreffende Polygonseite zur $x$-Achse oder zur $y$-Achse parallel läuft. Wegen $\Delta u = 0$ gewinnen wir die FormelEditorial note: Compositor omitted differential $dx\,dy$ on the left-hand side of equation (14). \[ \tag{14} \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} = - \int_{(P_{\xi\eta})} \frac{\partial u}{\partial t} \omega_h\,ds. \]

Nun lehrt die am Anfang dieses Paragraphen erkannte Tatsache, daß, wenn wir das Integral rechter Hand in (14) nach $\xi$ und $\eta$ zwischen den Grenzen 0 und $\delta$ integrieren und dann zur Grenze $h = \infty$ übergehen,

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sich Null ergibt und mithin gilt das gleiche für die linke Seite, d. h. wir habenEditorial note: Printed $k=\infty$ under the limit sign; an apparent compositor misprint for $h=\infty$. \[ \underset{k=\infty}{L} \int_0^\delta \int_0^\delta \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \cdot d\xi\,d\eta = 0. \]

Integrieren wir nun die Gleichung (13) nach $\xi$ und $\eta$ zwischen den Grenzen 0 und $\delta$ und gehen dann zur Grenze $h = \infty$ über, so erhalten wir \[ \delta^2 d \geqq \delta^2 (d + p) \] und diese Ungleichung enthält wegen $p > 0$ einen Widerspruch. Unsere Annahme ist mithin unzulässig, d. h. das über die gesamte Riemannsche Fläche $F$ erstreckte Integral für die Potentialfunktion $u$ besitzt einen endlichen Wert, der gewiß nicht größer als $d$ ist.

Dieser Wert kann auch nicht kleiner als $d$ sein, da unserer anfänglichen Festsetzung zufolge $d$ die untere Grenze aller möglichen Werte der Dirichletschen Integrale für die in Betracht kommenden Funktionen bezeichnet. Das über $F$ erstreckte Dirichletsche Integral für die Funktion $u$ hat daher genau den Wert $d$ und mithin löst die Potentialfunktion $u$ das Dirichletsche Variationsproblem.

§ 10. Beweis für das reguläre Verhalten der Potentialfunktion $u$ in den unendlichfernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche.

Um zu beweisen, daß die gefundene Funktion $u$ auch in den unendlichfernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche $F$ in dem in § 1 festgesetzten Sinne sich regulär verhält, bedenken wir, daß bei der in § 1 angegebenen Transformation das vorgelegte Dirichletsche Integral wieder in ein Dirichletsches Integral übergeht und mithin das über die transformierte Riemannsche Fläche erstreckte Dirichletsche Integral den gleichen endlichen Wert besitzt, wie das über die ursprünglich vorgelegte Fläche $F$ erstreckte Integral. Bei der in § 1 angegebenen Transformation gehen die Verzweigungspunkte, bezw. die unendlichfernen Punkte der Riemannschen Fläche $F$ in gewöhnliche Punkte über und mithin haben wir nach der dort getroffenen Festsetzung nur nötig zu zeigen, daß die transformierte Potentialfunktion $u^*$ in einem gewöhnlichen Punkte $P$ sich regulär verhalten muß, falls sie in der Umgebung dieses Punktes $P$ eindeutig und regulär ist und ein endliches Dirichletsches Integral aufweist. Hierzu benutzen wir die aus

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dem Laurentschen Satze leicht zu folgernde Tatsache, daß $u^*$ in der Umgebung von $P$ eine Reihenentwickelung von der Gestalt \[ \begin{aligned} u^*(x, y) &= (a + \alpha l r) \\ &\quad + \left(a_1 r + \frac{\alpha_1}{r}\right) \cos \varphi + \left(a_2 r^2 + \frac{\alpha_2}{r^2}\right) \cos 2\varphi + \left(a_3 r^3 + \frac{\alpha_3}{r^3}\right) \cos 3\varphi + \dots \\ &\quad + \left(b_1 r + \frac{\beta_1}{r}\right) \sin \varphi + \left(b_2 r^2 + \frac{\beta_2}{r^2}\right) \sin 2\varphi + \left(b_3 r^3 + \frac{\beta_3}{r^3}\right) \sin 3\varphi + \dots \end{aligned} \] besitzen muß, wo $r$ die Entfernung des Punktes $x, y$ von $P$ und $\varphi$ den Winkel bezeichnet, den die VerbindungsgradeEditorial note: Printed Verbindungsgrade; an apparent compositor misprint for Verbindungsgerade. zwischen diesen Punkten mit der $x$-Achse einschließt und wo $a, \alpha, a_1, \alpha_1, a_2, \alpha_2, a_3, \alpha_3, \dots b_1, \beta_1, b_2, \beta_2, b_3, \beta_3, \dots$ Konstante bedeuten. Es mögen $r, r'>r$ zwei besondere Werte bezeichnen, für welche jene Reihenentwickelung konvergiert, die von den mit $r$ und $r'$ um $P$ geschlagenen Kreisen gebildet wird. Das über diesen Kreisring erstreckte Dirichletsche Integral für die Potentialfunktion $u^*$ ist bekanntlich nach dem Greenschen Satz durch die Integrale über die Peripherie jener beiden Kreise ansdrückbarEditorial note: Printed ansdrückbar with n; an apparent compositor misprint for ausdrückbar.; man erhält für dasselbe den Wert \[ \int_0^{2\pi} u^* \frac{\partial u^*}{\partial r}\,r\,d\varphi - \int_0^{2\pi} \left[ u^* \frac{\partial u^*}{\partial r} \right]_{r=r'} r'\,d\varphi. \]

Da das Dirichletsche Integral über die gesamte Fläche erstreckt einen endlichen Wert $d$ haben soll, so muß auch \[ \int_0^{2\pi} u^* \frac{\partial u^*}{\partial r}\,r\,d\varphi \] bei abnehmendem $r$, absolut genommen, unterhalb einer endlichen Größe $A$ bleiben und daraus entnehmen wir, daß das Integral \[ \int_r^{r'} \int_0^{2\pi} u^* \frac{\partial u^*}{\partial r}\,d\varphi \cdot dr = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} u^{*2}\,d\varphi - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ u^{*2} \right]_{r=r'} d\varphi \] absolut genommen unterhalb der Grenze \[ \int_r^{r'} \frac{A}{r}\,dr = A l \frac{r'}{r} \] bleibt, d. h. das Integral \[ \int_0^{2\pi} u^{*2}\,d\varphi \]

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muß bei abnehmendem $r$ absolut genommen unterhalb einer Größe von der Form \[ 2 A l \frac{1}{r} + B \] bleiben, wo $B$ eine geeignet gewählte Konstante ist. Wegen \[ \begin{aligned} \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} u^{*2}\,d\varphi &= 2(a + \alpha l r)^2 + \left(a_1 r + \frac{\alpha_1}{r}\right)^2 + \left(a_2 r^2 + \frac{\alpha_2}{r^2}\right)^2 + \dots \\ &\quad + \left(b_1 r + \frac{\beta_1}{r}\right)^2 + \left(b_2 r^2 + \frac{\beta_2}{r^2}\right)^2 + \dots \end{aligned} \] folgt aber hieraus, daß die Konstanten $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, \dots \beta_1, \beta_2, \dots$ sämtlich gleich 0 sind, d. h. die Potentialfunktion $u^*$ verhält sich auch im Punkte $P$ regulär.

Göttingen, den 18. September 1901.

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On the Dirichlet Principle.${}^{*)}$

By David Hilbert in Göttingen.

Contents.

§ 1. Statement of the Problem … 162

§ 2. Lemma on Dirichlet Integrals … 163

§ 3. General Lemma on Uniform Convergence … 165

§ 4. Lemma on the Vanishing of a Certain Double Integral under Arbitrary Choice of a Function Occurring under the Integral Sign … 166

§ 5. Construction of the Desired Potential Function on the Basis of the Dirichlet Principle … 169

§ 6. Proof of the Existence of the Function $v$ … 173

§ 7. Existence of the Function $u$ and Proof of its Potential Property … 175

§ 8. Proof of the Prescribed Discontinuity of the Function $u$ on the Curve $C$ … 180

§ 9. The Value of the Dirichlet Integral of the Potential Function $u$ on the Riemann Surface … 181

§ 10. Proof of the Regular Behavior of the Potential Function $u$ at the Points at Infinity and at the Branch Points of the Riemann Surface … 184

By the Dirichlet principle we understand that mode of inference regarding the existence of a minimal function which Gauss (1839), Thomson (1847), Dirichlet (1856), and other mathematicians have applied to the solution of so-called boundary value problems, and whose inadmissibility was first recognized by Weierstrass. That this principle can nevertheless serve to find rigorous and simple existence proofs, I emphasized in a lecture${}^{**)}$ at the German Mathematical Society;

*) Reprint from the Festschrift celebrating the 150th anniversary of the Royal Society of Sciences in Göttingen, 1901.

**) Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, VIII, 1900.

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my suggestions at that time have since been carried out by Ch. A. Noble${}^{*)}$ for simple definite integrals and by E. R. Hedrick${}^{**)}$ for certain cases of double integrals.

In what follows, a method modeled after the Dirichlet principle shall be presented, in which we do not, as previously, assume the solution of the boundary value problem for any special domain. The new method therefore admits wide-ranging generalizations to the solution of boundary value problems for certain partial differential equations arising from variational problems or for systems of such differential equations. Above all, however, the following developments seem to me to offer a methodological interest, insofar as they show how the modern tools of analysis, and of the calculus of variations in particular, are capable of pursuing the fundamental idea of the Dirichlet principle—drawn from geometric and physical intuition—in exact accordance with its intuitive meaning, in such a way that from it there arises a rigorous mathematical proof for the existence of the minimal function.

§ 1. Statement of the Problem.

Through the Dirichlet principle, Riemann in particular sought to prove the existence of everywhere finite integrals on a given Riemann surface. In what follows, I make use of this classical example to set forth my rigorous method of proof.

Let there be given in the plane of complex numbers a Riemann surface $F$ with a certain finite number of branch points and a certain finite number of sheets. Furthermore, let there be given on the Riemann surface $F$ a curve $C$ which runs in the finite region, meets no branch point, and returns into itself without dividing the surface $F$ into pieces. We assume this curve $C$ to be a polygonal path consisting of straight segments, partly parallel to the $x$-axis and partly to the $y$-axis.

A function $u$ of the two variables $x$, $y$ that is continuous in an ordinary point of the Riemann surface together with all its derivatives, and satisfies the differential equation

*) Eine neue Methode in der Variationsrechnung, Inaugural dissertation, Göttingen 1901.

**) Über den analytischen Charakter der Lösungen von Differentialgleichungen, Inaugural dissertation, Göttingen 1901, Chapter V.

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\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \Delta u = 0 \] shall be called a regular potential function at this point.

If $a$, $b$ are the coordinates of an $r$-fold branch point of the Riemann surface $F$, and the potential function $u$ behaves regularly everywhere in the neighborhood of this branch point, then let one substitute into $u$ in place of $x$, $y$ respectively the real part and the part multiplied by $i$ of the expression \[ a + ib + (\xi + i\eta)^r; \] if $u$ then transforms into a potential function of $\xi$, $\eta$ that also behaves regularly at the point $\xi = 0$, $\eta = 0$, then the original potential function of $x$, $y$ is said to be regular at the branch point $a$, $b$.

If a potential function $u$ behaves regularly in the neighborhood of a point at infinity of our Riemann surface and by the transformation \[ x = \frac{\xi}{\xi^2 + \eta^2}, \qquad y = \frac{-\eta}{\xi^2 + \eta^2} \] transforms into a potential function of the variables $\xi$, $\eta$ that behaves regularly at the point $\xi = 0$, $\eta = 0$, then the original function $u$ of $x$, $y$ shall be called regular at that point at infinity.

If finally a potential function $u$ is regular on both sides in the neighborhood of the points of the curve $C$, but on the curve $C$ behaves discontinuously in such a manner that the values of the potential function $u$ on the one side, increased by the constant 1, form precisely the regular continuation of the potential function $u$ on the other side of the curve $C$, then we say that the potential function $u$ undergoes a jump of 1 upon crossing from one side to the other.

Our task shall now consist in demonstrating the existence of a potential function $u$ on the given Riemann surface $F$ which behaves regularly at all points of this surface $F$, including the points at infinity and the branch points, and moreover undergoes a jump of 1 upon crossing over the given curve of discontinuity $C$. With the solution of this problem, the proof of the existence of everywhere finite integrals on the Riemann surface $F$ is, as is well known, accomplished.

§ 2. Lemma on Dirichlet Integrals.

In this and the following two sections we discuss some simple lemmas. The first lemma treats certain inequalities

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between definite integrals when the so-called Dirichlet integral for the function under consideration has a definite finite value. By the Dirichlet integral for a given function $U$, we shall always understand the double integral \[ D = \int\!\!\int_{(G)} \left\{ \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \] extended over a certain domain $G$ of the $xy$-plane.

Hilfssatz 1. In the $xy$-plane let there be given a rectangle $R$ whose sides run parallel to the $x$-axis and the $y$-axis respectively and have lengths $l$ and $l'$ respectively; let the vertices of this rectangle have coordinates \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l' \] Furthermore, let $U(x, y)$ denote a function of the variables $x$, $y$ that is piecewise analytic in the interior and on the sides of the rectangle $R$, and let \[ D = \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \left\{ \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \] be set: then the following three formulas hold: \[ \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx = \int_a^{a+l} U(x, b+l')\,dx + \vartheta \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right) \tag{I} \] \[ \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} U(x, y)\,dx\,dy = l' \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx + \vartheta' l' \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right) \tag{II} \] \[ l \int_b^{b+l'} U(a, y)\,dy = l' \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx + \vartheta'' (l + l') \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right); \tag{III} \] wherein $\vartheta$, $\vartheta'$, $\vartheta''$ denote certain numbers satisfying the inequalities \[ -1 \leqq \vartheta \leqq +1, \quad -1 \leqq \vartheta' \leqq +1, \quad -1 \leqq \vartheta'' \leqq +1 \]

A continuous function shall be called “piecewise analytic” if it is composed of a finite number of analytic functions which border continuously on one another along piecewise analytic curves and behave regularly up to and including these boundary curves.

Proof. From the inequality: \[ \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right|^2 - \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| + \frac{1}{4} \geqq 0 \]

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it follows by integration with respect to $y$ between the limits $b$, $b+l'$ that \[ \int_b^{b+l'} \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| dy \le \int_b^{b+l'} \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)^2 dy + \frac{1}{4}\,l' \] and from this by integration with respect to $x$ between the limits $a$, $a+l$: \[ \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| dx\,dy \le D + \frac{1}{4}\,l l'. \] Using \[ \left| \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \frac{\partial U}{\partial y}\,dx\,dy \right| \leqq \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} \left|\frac{\partial U}{\partial y}\right| dx\,dy \] we obtain \[ \left| \int_a^{a+l} U(x, b+l')\,dx - \int_a^{a+l} U(x, b)\,dx \right| \leqq D + \frac{1}{4}\,l l' \] and with this Formula I of Lemma 1 is proved.

Formulas II and III are direct consequences of Formula I.

§ 3. General Lemma on Uniform Convergence.

In the construction of the desired potential function $u$ we shall make use of the following easily proved lemma, the essential content of which is known.${}^{*)}$

Hilfssatz 2. Let $G$ be a domain of the $xy$-plane situated in the finite region, and let \[ v_1, v_2, v_3, \dots \] be an infinite sequence of functions of $x$, $y$ with the following properties:

1. each of the functions $v_h$ is continuous inside and on the boundary of the domain $G$ and differentiable once with respect to $x$ as well as with respect to $y$;

2. the first derivatives of $v_h$ inside and on the boundary of $G$ lie in absolute value below a finite quantity $A$ that is independent of $x$, $y$ and of $h$:

if then the functions \[ v_1, v_2, v_3, \dots \]

*) Bendixson, Öfversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Förhandlingar, Vol. 54, as well as Townsend, Begriff und Anwendung des Doppellimes, Inaugural dissertation, Göttingen 1900, p. 34.

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converge toward a finite limit for every point of a point set that is dense everywhere in $G$, then they converge toward a finite limit for every arbitrary point in $G$ and on the boundary of $G$, and indeed uniformly for the domain $G$.

The limit \[ \underset{h=\infty}{L} v_h \] consequently represents a function of $x$, $y$ continuous in $G$ including the boundary.

§ 4. Lemma on the Vanishing of a Certain Double Integral under Arbitrary Choice of a Function Occurring under the Integral Sign.

Hilfssatz 3. In the $xy$-plane let there be given a rectangle $R$ whose sides run parallel to the $x$-axis and the $y$-axis respectively and have lengths $l$ and $l'$ respectively; let the vertices of this rectangle have coordinatesEditorial note: In the 1904 print the semicolon after $a, b$ is omitted; cf. Hilfssatz 1 on p. 164. \[ a, b \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l' \] Furthermore, let $\zeta$ be a function of $x$, $y$ satisfying the following conditions:

1. the derivatives \[ \frac{\partial^{m+n} \zeta}{\partial x^m \partial y^n}, \qquad (m, n = 0, 1, 2, 3) \] exist in the rectangle $R$ including its sides and are continuous there.

2. for $x=a$ and $x=a+l$ identically for all values of $y$, \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2} = 0 \] and for $y=b$, $y=b+l'$ identically for all values of $x$, \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial y^2} = 0; \] if then $F(x, y)$ denotes a function of $x$, $y$ that runs continuously in $R$ including the sides, and if the integral extended over $R$ \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3}\,F(x, y)\,dx\,dy \] vanishes for all functions $\zeta$ satisfying conditions 1. and 2., then the function $F$ necessarily has the form \[ F = X + X'y + X''y^2 + Y + Y'x + Y''x^2, \]

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where $X$, $X'$, $X''$ denote continuous functions of $x$ alone and $Y$, $Y'$, $Y''$ continuous functions of $y$ alone.

Proof. Let $s$, $\sigma$, $\alpha$, $\alpha'$, $\alpha''$ be any numbers such that all the expressions \[ (s + \varepsilon\sigma + e\alpha + e'\alpha' + e''\alpha'') \] \[ (\varepsilon, e, e', e'' = 0, 1) \] represent values that are $\geqq a$ and $\leqq a+l$. Likewise let $t$, $\tau$, $\beta$, $\beta'$, $\beta''$ be any numbers such that all the expressions \[ t + \varepsilon\tau + e\beta + e'\beta' + e''\beta'' \] \[ (\varepsilon, e, e', e'' = 0, 1) \] represent values that are $\geqq b$ and $\leqq b+l'$. We then define a function $\xi$ of $x$ alone and a function $\eta$ of $y$ alone by the equations \[ \begin{aligned} \xi &= 0 & \text{for } & x \le s \\ & & \text{and for } & x \geqq s + \sigma \\ \xi &= (x-s)(s+\sigma-x) & \text{for } & s \leqq x \leqq s + \sigma \\ \eta &= 0 & \text{for } & y \le t \\ & & \text{and for } & y \geqq t + \tau \\ \eta &= (y-t)(t+\tau-y) & \text{for } & t \leqq y \leqq t + \tau. \end{aligned} \] Finally, for abbreviation we introduce the following notations, wherein $A(x)$, $B(y)$ denote any expressions of the arguments $x$ and $y$ respectively: \[ \begin{aligned} d_x^{(\alpha)} A &= A(x+\alpha) - A(x), \\ d_x^{(\alpha')} A &= A(x+\alpha') - A(x), \\ d_x^{(\alpha'')} A &= A(x+\alpha'') - A(x), \\ d_y^{(\beta)} B &= B(y+\beta) - B(y), \\ d_y^{(\beta')} B &= B(y+\beta') - B(y), \\ d_y^{(\beta'')} B &= B(y+\beta'') - B(y). \end{aligned} \] The function \[ \zeta = \int_a^x \int_a^x \int_a^x d_x^{(-\alpha)} d_x^{(-\alpha')} d_x^{(-\alpha'')} \xi\,dx\,dx\,dx \cdot \int_b^y \int_b^y \int_b^y d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta\,dy\,dy\,dy \] then evidently possesses all the properties prescribed above, and according to the hypothesis of the lemma to be proved, we therefore have \[ \int_a^{a+l} \int_b^{b+l'} d_x^{(-\alpha)} d_x^{(-\alpha')} d_x^{(-\alpha'')} \xi \cdot d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta \cdot F(x, y)\,dx\,dy = 0. \]

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Setting firstEditorial note: In the 1904 print this is set as $g(x)$, whereas capital $G(x)$ is used in the subsequent equations (2) and (3); a reader has corrected this to $G(x)$ by hand in the scanned copy. \[ \int_b^{b+l'} d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta \cdot F(x, y)\,dy = g(x), \tag{1} \] we have \[ \int_a^{a+l} d_x^{(-\alpha)} d_x^{(-\alpha')} d_x^{(-\alpha'')} \xi \cdot G(x)\,dx = 0 \tag{2} \] or \[ \int_a^{a+l} \xi \cdot d_x^{(\alpha)} d_x^{(\alpha')} d_x^{(\alpha'')} G(x)\,dx = 0 \] and applying here to the integral on the left-hand side the mean value theorem for definite integrals, there follows, omitting the factor: \[ \int_0^\sigma x(\sigma - x)\,dx: \] the equation \[ d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} G(s + \vartheta\sigma) = 0, \qquad (0 \leqq \vartheta \leqq 1) \] Passing to the limit for $\sigma = 0$ leads us to the equation \[ d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} G(s) = 0. \tag{3} \] Substituting in (1) the variable $s$ in place of $x$ and then applying the operation $d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')}$ to (1), there follows by virtue of (3) the equation \[ \int_b^{b+l'} d_y^{(-\beta)} d_y^{(-\beta')} d_y^{(-\beta'')} \eta \cdot d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} F(s, y)\,dy = 0 \] and exactly as earlier equation (3) followed from (2), we now obtain from (4)Editorial note: The preceding displayed formula is referenced here as (4), but was left unnumbered by the compositor in the 1904 print. the equation \[ d_t^{(\beta)} d_t^{(\beta')} d_t^{(\beta'')} d_s^{(\alpha)} d_s^{(\alpha')} d_s^{(\alpha'')} F(s, t) = 0. \] This formula holds identically for all numbers $s$, $\alpha$, $\alpha'$, $\alpha''$, $t$, $\beta$, $\beta'$, $\beta''$, provided only that all the expressions \[ s + e\alpha + e'\alpha' + e''\alpha'', \quad t + e\beta + e'\beta' + e''\beta'' \] \[ (e, e', e'' = 0, 1) \] still fall into the intervals $a$ to $a+l$ and $b$ to $b+l'$ respectively. From this circumstance it follows without difficulty that $F(x, y)$ must have the form asserted in Lemma 3.

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§ 5. Construction of the Desired Potential Function on the Basis of the Dirichlet Principle.

In accordance with the fundamental idea of the Dirichlet principle, we shall in what follows consider on our Riemann surface $F$ systems of piecewise analytic functions $U(x, y)$, each of which undergoes a jump of 1 on the curve $C$ and for which the Dirichlet integral extended over the entire Riemann surface $F$ has a finite value. In this connection, as in Lemma 1 in § 2, a function is termed “piecewise analytic” if it is composed of a finite number of analytic functions which border continuously on one another along piecewise analytic curves and behave regularly up to and including these boundary curves. That there certainly exist on our Riemann surface $F$ functions $U(x, y)$ of the required nature, we easily recognize in the following way. On the Riemann surface $F$, sufficiently close to $C$, we construct an also closed polygonal path $C^*$ not intersecting $C$, whose segments are respectively parallel to the straight segments of $C$, so that the annular domain bounded by $C$ and $C^*$ remains free of branch points and it becomes possible to compose piecewise from linear functions of $x$, $y$ a function which is continuous in the interior of this annular domain and takes the value 1 on $C$, the value 0 on $C^*$. If one sets $U$ in the domain situated between $C$ and $C^*$ equal to this piecewise linear function, and defines $U$ equal to 0 at all remaining points of the Riemann surface, then $U$ clearly satisfies the requirements posed.

Now we denote by $d$ the lower bound of the values of the Dirichlet integrals of all possible functions $U(x, y)$, and then conceive of such an infinite sequence of functions $U(x, y)$ as being selected, say \[ U_1, U_2, U_3, \dots, \tag{5} \] whose Dirichlet integrals converge toward $d$. Finally, let $D$ be a number that turns out to be greater than all values of the Dirichlet integrals of the functions (5).

If we increase a function $U$ by any constant, the value of the Dirichlet integral is not thereby altered. Let $S$ on the Riemann surface denote any finite rectilinear segment parallel to the $x$-axis which contains no branch point and does not meet the curve $C$; then we conceive of each of the func-

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tions (5) as being increased by such a constant that the integrals of the altered functions, extended over the segment $S$, all vanish. If we retain for the altered functions the original notation $U_h$, they satisfy the following conditions:Editorial note: The closing parenthesis in $(h = 1, 2, 3, \dots$ is omitted in the 1904 print. \[ \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial U_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy < D, \qquad (h = 1, 2, 3, \dots \] \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial U_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial U_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy = d, \] \[ \int_{(S)} U_h\,dx = 0, \qquad (h = 1, 2, 3, \dots). \] One could show that the values of our functions \[ U_1, U_2, U_3, \dots \tag{6} \] do not necessarily converge toward a limit for every point of the Riemann surface, and that it is also in general not possible to select from this sequence of functions (6) such an infinite sequence whose values converge toward a limit for every point of the Riemann surface. On the other hand, it will be possible to select from the functions (6) an infinite sequence in such a way that the double integrals of these functions over certain rectangles situated on the Riemann surface always converge toward a limit, and these limits will then serve us for the construction of the desired potential function.

In the various sheets of the Riemann surface we fix all such points whose coordinates are rational numbers. Then we consider all those rectangles $R$ situated on the Riemann surface whose vertices are such points and whose sides run parallel to the $x$-axis and $y$-axis, which moreover are so situated that in their interior or on their sides neither a branch point of the Riemann surface nor any point of the curve $C$ is contained. These rectangles $R$ form a countable set and let them be arranged in the infinite sequence \[ R_1, R_2, R_3, \dots \tag{7} \] arranged.

We now consider any one of the rectangles (7), say the rectangle $R_k$, and form on the Riemann surface a finite chain of rectangles whose first is a rectangle with side $S$ and whose last is the rectangle $R_k$, and in which each subsequent rectangle has a side in common with the preceding one. Since the integrals of the functions (6) over the segment $S$ all vanish, we conclude, by

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applying Formulas I and III of Lemma 1 in § 2 to the rectangles of our chain and understanding by $D$ the upper bound of the Dirichlet integrals introduced above, that the integrals of the functions $U_h$ extended over the sides of $R_k$ in absolute value certainly remain below a finite bound which depends only on the shape and position of the rectangle $R_k$, but not on the index $h$, that is, not on the selection of the function $U_h$ from the sequence (6). If we then further apply Formula II of Lemma 1 in § 2 to the rectangle $R_k$, it follows that the double integral of the function $U_h$ extended over this rectangle, that is, the integral \[ \int\!\!\int_{(R_k)} U_h\,dx\,dy \] must also lie in absolute value below a finite bound independent of the index $h$.

This consideration puts us in a position to make the desired selection in the sequence of functions (6).

We first consider the rectangle $R_1$. Since the double integrals extended over this rectangle \[ \int\!\!\int_{(R_1)} U_h\,dx\,dy \qquad (h = 1, 2, 3, \dots) \] in absolute value all remain below a finite bound, it is easily possible to select an infinite number from the functions $U_h$ of the infinite sequence (6), say the functions \[ U_1', U_2', U_3', \dots \tag{8} \] in such a way that the double integrals of these functions approach a definite finite limit, and therefore \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_1)} U_h'\,dx\,dy \] exists. Now from the sequence of functions (8) we extract such an infinite number of functions, say the functions \[ U_1'', U_2'', U_3'', \dots \tag{9} \] in such a way that the double integrals of these functions extended over the rectangle $R_2$ approach a definite finite limit, and thereforeEditorial note: Printed $U_2''$ with subscript 2 instead of $h$; an apparent compositor misprint for $U_h''$. \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_2)} U_2''\,dx\,dy \] exists. Correspondingly, from the sequence of functions (9) we select an infinite number of functions

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\[ U_1''', U_2''', U_3''', \dots \] in such a way that \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_3)} U_h'''\,dx\,dy \] exists, and so forth.

If we now set \[ u_1 = U_1', \quad u_2 = U_2'', \quad u_3 = U_3''', \dots \] then evidently the infinite sequence of functions \[ u_1, u_2, u_3, \dots \tag{10} \] is such that for every rectangle $R_k$ from the infinite sequence (7) \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R_k)} u_h\,dx\,dy \] exists.

The sequence of functions (10) will enable us to construct the desired potential function on the Riemann surface in the following way.

Let there be given a rectangle $R$ on the Riemann surface whose sides run parallel to the coordinate axes and have lengths $l$ and $l'$ respectively, let the coordinates of the vertices of this rectangle be \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l', \] and let $x$, $y$ be the coordinates of a point in the interior or on a side of this rectangle $R$. For abbreviation we set \[ v_h = \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy \] and then prove the following facts.

I. There always exists the limit \[ v(x, y) = \underset{h=\infty}{L} v_h = \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy \tag{I} \] and indeed the functions $v_h$ converge uniformly for all points $x$, $y$ in the interior or on a side of the rectangle $R$ toward that limit; the function represented by that limit I is therefore a continuous function of $x$, $y$ in $R$.

II. The function of $x$, $y$ represented by the limit I is arbitrarily often differentiable, and indeed \[ u(x, y) = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy = \underset{\substack{\varepsilon=0 \\ \eta=0}}{L} \ \underset{h=\infty}{L} \frac{1}{\varepsilon\eta} \int_x^{x+\varepsilon} \int_y^{y+\eta} u_h\,dx\,dy \tag{II} \] defines in the rectangle $R$ the desired potential function on the Riemann surface $F$.

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§ 6. Proof of the Existence of the Function $v$.

The following developments serve to prove the assertions I and II set forth above.

Let $R_k$ be a specifically selected rectangle in the infinite sequence (7) with vertices $a$, $b$; $a+l$, $b$; $a+l$, $b+l'$; $a$, $b+l'$ and let $x$, $y$ be the coordinates of a point in the interior or on the sides of this rectangle. We have recognized that the integrals of the functions $U_h$ extended over the sides of $R_k$ lie below a finite bound independent of $h$; we call this bound $G_k$. Since the functions $u_h$ are contained among the functions $U_h$, there consequently hold equations of the form \[ \int_a^{a+l} u_h\,dx = \vartheta^* G_k, \] \[ \int_b^{b+l'} u_h\,dy = \vartheta^{**} G_k, \] wherein $\vartheta^*$, $\vartheta^{**}$ are numbers satisfying the inequalities \[ -1 \leqq \vartheta^* \leqq +1, \qquad -1 \leqq \vartheta^{**} \leqq +1 \] If we now apply Formula III of Lemma 1 in § 2 to the rectangle with vertices \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, y; \quad a, y \] we obtain \[ \begin{aligned} l \int_b^y u_h(a, y)\,dy &= (y-b) \int_a^{a+l} u_h(x, b)\,dx + \vartheta''(l+y-b)\left(D + \frac{1}{4}\,l(y-b)\right), \\ &= \vartheta l' \cdot \vartheta^* G_k + \vartheta''' (l+l') \left(D + \frac{1}{4}\,l l'\right), \end{aligned} \] \[ (-1 \leqq \vartheta \leqq +1, \quad -1 \leqq \vartheta'' \leqq +1 - 1 \leqq \vartheta''' \leqq +1) \] Editorial note: In the 1904 print a comma is missing between $+1$ and $-1$ in the preceding inequality list.% and this equation shows that the absolute value of the simple integralEditorial note: Printed with differential $dx$ instead of $dy$; an apparent compositor misprint. \[ \int_b^y u_h(a, y)\,dx \] lies below a certain finite bound that depends neither on $h$ nor on the ordinate of the point $x$, $y$ in $R_k$. From this it follows immediately, if we apply Formula I of Lemma 1 in § 2 to the rectangle with vertices \[ a, b; \quad x, b; \quad x, y; \quad a, y \]

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that the absolute value of the simple integral \[ \int_b^y u_h(x, y)\,dy \] also lies below a certain finite bound that depends neither on $h$ nor on the position of the point $x$, $y$ in $R_k$.

The same is shown in an analogous manner for the simple integral \[ \int_a^x u_h(x, y)\,dx \]

If the coordinates $x$, $y$ are rational numbers, then the rectangle formed by the vertices \[ a, b; \quad x, b; \quad x, y; \quad a, y \] itself belongs to the rectangles (7); in this case there consequently exists, according to § 5, the limit \[ \underset{h=\infty}{L} v_h = \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy. \] Since on the other hand, according to what has just been proved, the derivatives of $v_h$ with respect to $x$, $y$: \[ \frac{\partial v_h}{\partial x} = \int_b^y u_h\,dy, \qquad \frac{\partial v_h}{\partial y} = \int_a^x u_h\,dx \] in absolute value all remain below a bound independent of $h$ and of $x$, $y$, the infinite sequence of functions \[ v_1, v_2, v_3, \dots \] satisfies all conditions of Lemma 3 in § 3Editorial note: Printed Hilfssatz 3 in § 3, though the lemma in § 3 was numbered Hilfssatz 2 on p. 165.; according to this lemma, these functions therefore converge uniformly in $R_k$ toward a limit function: \[ v(x, y) = \underset{h=\infty}{L} v_h; \] this equation consequently defines a continuous function of the variables $x$, $y$ in $R_k$. With this, Assertion I in § 5 is proved for the case where we take a rectangle $R_k$ from the sequence (7) as the basis of the consideration.

If we now choose, instead of this rectangle $R_k$, an arbitrary rectangle whose sides run parallel to the $x$-axis and the $y$-axis and which contains no branch point and no point of the curve $C$, say the rectangle $R$ with vertices \[ \alpha, \beta; \quad \alpha+\lambda, \beta; \quad \alpha+\lambda, \beta+\lambda'; \quad \alpha, \beta+\lambda' \]

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and denote by $x$, $y$ a point situated in this rectangle $R$, then for the sequence of functions \[ v_h = \int_\alpha^x \int_\beta^y u_h\,dx\,dy \] Assertion I in § 5 easily proves to be valid as well, if we choose a rectangle $R_k$ in the sequence (7) which contains the rectangle $R$ in its interior, and then apply to $R_k$ the Assertion I just proved.

§ 7. Existence of the Function $u$ and Proof of its Potential Property.

We now pass to the proof of Assertion II in § 5. For this purpose we first discuss the following property of our sequence of functions (10).

Let $R$ be any rectangle on our Riemann surface with vertices \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l', \] which contains no branch point and no point of the curve $C$. If then $\zeta$ denotes any piecewise analytic function of $x$, $y$ which together with its first derivatives with respect to $x$, $y$ is continuous inside the rectangle $R$ including its sides and vanishes on the sides of $R$, then there always holds the equation \[ \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y} \right\} dx\,dy = 0, \tag{11} \] where the double integral is to be extended over the rectangle $R$.

To prove this assertion, let us assume on the contrary that from our sequence of functions (10) \[ u_1, u_2, u_3, \dots \] there could be extracted an infinite sequence \[ u_1', u_2', u_3', \dots \] such that for all $h$ \[ \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h'}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h'}{\partial y} \right\} dx\,dy \geqq \varrho \quad \text{or} \quad \leqq \varrho \] would hold, where $\varrho$ denotes in the first case a positive, in the second case a negative number independent of $h$. Then we set

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\[ \varkappa = \frac{\varrho}{\displaystyle\int\!\!\int_{(R)} \left\{ \left(\frac{\partial\zeta}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial\zeta}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy} \] and define on our Riemann surface $F$ a continuous function $\zeta$ such that $\zeta$ in $R$ coincides with the given function $\zeta$ and outside everywhere has the value 0. The functions \[ u_h' - \varkappa\zeta, \qquad (h = 1, 2, 3, \dots) \] are then piecewise analytic functions on $F$ which undergo a jump of 1 on $C$, and the Dirichlet integral extended over $F$ for this function receives the value \[ \begin{aligned} & \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \\ &= \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial u_h'}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h'}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy - 2\varkappa \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h'}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h'}{\partial y} \right\} dx\,dy + \varkappa\varrho \end{aligned} \] and consequently we would obtain for all $h$ \[ \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial (u_h' - \varkappa\zeta)}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \leqq d_h - \varkappa\varrho, \] where $d_h$ denotes the Dirichlet integral extended over $F$ for $u_h'$ and thus, by virtue of the stipulation in § 5, $d_h$ approaches the limit $d$ as $h$ increases. Since \[ \varkappa\varrho = \frac{\varrho^2}{\displaystyle\int\!\!\int_{(R)} \left\{ \left(\frac{\partial\zeta}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial\zeta}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy} \] becomes a positive number independent of $h$, $d$ would consequently certainly not be the lower bound of all possible values of Dirichlet integrals. This contradiction shows the inadmissibility of our assumption, and with this the proof of our assertion above is accomplished.

The equation (11) just proved corresponds to the requirement of the vanishing of the first variation in the ordinary calculus of variations.

In order now to be able to carry out the passage to the limit for $h=\infty$ under the integral sign in (11), we apply the tool of integration by parts, but not, as in the ordinary calculus of variations according to Lagrange, by removing the derivatives of the variation $\zeta$,

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but on the contrary by removing the derivatives of $u_h$ and introducing in their stead multiple integrals of $u_h$.

From now on let the variation $\zeta$ be a piecewise analytic function of $x$, $y$ satisfying the following conditions:

1. The derivatives \[ \frac{\partial^{m+n} \zeta}{\partial x^m \partial y^n}, \qquad (m, n = 0, 1, 2, 3) \] exist in the rectangle $R$ including its sides and are continuous there.

2. For $x=a$ and $x=a+l$ identically for all values of $y$, \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2} = 0, \] For $y=b$ and $y=b+l'$ identically for all values of $x$, \[ \zeta = 0, \quad \frac{\partial\zeta}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial^2\zeta}{\partial y^2} = 0. \] By then applying repeatedly the formula for integration by parts for integration with respect to $x$ and with respect to $y$, we arrive, understanding by $a^*$, $b^*$ any two numbers situated respectively between the limits $a$, $a+l$ and $b$, $b+l'$, at the following equations: \[ \int_a^{a+l} \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x}\,dx = -\int_a^{a+l} \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2}\,u_h\,dx \] \[ \int_a^{a+l} \frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2}\,u_h\,dx = -\int_a^{a+l} \frac{\partial^3\zeta}{\partial x^3} \cdot \int_{a^*}^x u_h\,dx \cdot dx \] and further, if \[ v_h = \int_{a^*}^x \int_{b^*}^y u_h\,dx\,dy \] is set: \[ \int_b^{b+l'} \frac{\partial^3\zeta}{\partial x^3} \cdot \int_{a^*}^x u_h\,dx \cdot dy = -\int_b^{b+l'} \frac{\partial^4\zeta}{\partial x^3 \partial y}\,v_h\,dy \] \[ \int_b^{b+l'} \frac{\partial^4\zeta}{\partial x^3 \partial y}\,v_h\,dy = -\int_b^{b+l'} \frac{\partial^5\zeta}{\partial x^3 \partial y^2} \cdot \int_b^y v_h\,dy \cdot dy \] \[ \int_b^{b+l'} \frac{\partial^5\zeta}{\partial x^3 \partial y^2} \cdot \int_b^y v_h\,dy \cdot dy = -\int_b^{b+l'} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy \cdot dy. \]

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Consequently \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x}\,dx\,dy = -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \cdot \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy \cdot dx\,dy. \] Likewise we find \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y}\,dx\,dy = -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \cdot \int_a^x \int_a^x v_h\,dx\,dx \cdot dx\,dy. \] The addition of the last two formulas yields \[ \begin{aligned} & \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \\ &= -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \left\{ \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy + \int_a^x \int_a^x v_h\,dx\,dx \right\} dx\,dy. \end{aligned} \] If we now apply Assertion I in § 5, which was already proved in § 6, to those four rectangles into which the rectangle $R$ is decomposed by the two straight lines \[ x = a^*, \quad y = b^* \] we recognize that the sequence of functions \[ v_1, v_2, v_3, \dots \] converges uniformly in the rectangle $R$ including its sides. The limit functionEditorial note: The closing parenthesis in $v(x, y)$ is omitted in the 1904 print. \[ v(x, y = \underset{h=\infty}{L} v_h = \underset{h=\infty}{L} \int_{a^*}^x \int_{b^*}^y u_h\,dx\,dy \] is consequently continuous in $R$, and since on account of the uniform convergence the order of the limit passage for $h=\infty$ and the processes of integration may be interchanged, we have \[ \begin{aligned} & \underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R)} \left\{ \frac{\partial\zeta}{\partial x} \frac{\partial u_h}{\partial x} + \frac{\partial\zeta}{\partial y} \frac{\partial u_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \\ &= -\underset{h=\infty}{L} \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \left\{ \int_b^y \int_b^y v_h\,dy\,dy + \int_a^x \int_a^x v_h\,dx\,dx \right\} dx\,dy \\ &= -\int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3} \left\{ \int_b^y \int_b^y v\,dy\,dy + \int_a^x \int_a^x v\,dx\,dx \right\} dx\,dy. \end{aligned} \]

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Using this transformation and introducing the abbreviated notation \[ w(x, y) = \int_a^x \int_a^x \int_b^y \int_b^y v\,dx\,dx\,dy\,dy \] the assertion expressed in formula (11) is expressed as follows.

The function $w(x, y)$ is of such a kind that for any arbitrary function $\zeta$ satisfying conditions 1. and 2., the double integral extended over $R$ \[ \int\!\!\int_{(R)} \frac{\partial^6\zeta}{\partial x^3 \partial y^3}\,\Delta w\,dx\,dy \] always has the value 0.

Since $\Delta w$ is a continuous function of $x$, $y$, it follows from this according to Lemma 3 in § 4 that $\Delta w$ necessarily has the form \[ \Delta w = Xy^2 + X'y + X'' + Yx^2 + Y'x + Y'', \tag{12} \] where $X$, $X'$, $X''$ denote continuous functions of the variable $x$ alone and $Y$, $Y'$, $Y''$ continuous functions of the variable $y$ alone. If we set \[ \begin{aligned} z = w &- \int_a^x \int_a^x \left\{ Xy^2 + X'y + X'' \right\} dx\,dx + 2 \int_a^x \int_a^x \int_a^x \int_a^x X\,dx\,dx\,dx\,dx \\ &- \int_b^y \int_b^y \left\{ Yx^2 + Y'x + Y'' \right\} dy\,dy + 2 \int_b^y \int_b^y \int_b^y \int_b^y Y\,dy\,dy\,dy\,dy, \end{aligned} \] then equation (12) transforms into the equation \[ \Delta z = 0 \] and this shows that $z$ is a regular potential function inside $R$. Since a regular potential function can be differentiated arbitrarily often with respect to the two variables $x$, $y$ and all its derivatives are likewise regular potential functions, it follows that \[ \frac{\partial^4 z}{\partial x^2 \partial y^2} = v - 2X - 2Y \] is also a regular potential function inside $R$.

If in the expression $v - 2X - 2Y$ we substitute in particular $y = b^*$ and take into account that $v$ vanishes identically in $x$ for $y = b^*$, it follows that $X$ must necessarily be an analytic and therefore differentiable function with respect to $x$; likewise it follows by substituting $x = a^*$ into that expression that $Y$ must be an analytic and therefore differentiable function with respect to $y$. Consequently the function $v$ is analytic and therefore certainly differentiable with respect to $x$ and with respect to $y$: if we set

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\[ u(x, y) = \frac{\partial^6 z}{\partial x^3 \partial y^3} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}, \] it becomes evident that $u$ is likewise a regular potential function inside $R$.

The formula to be inferred from this: \[ u(x, y) = \underset{\substack{\varepsilon=0 \\ \eta=0}}{L} \ \underset{h=\infty}{L} \frac{1}{\varepsilon\eta} \int_x^{x+\varepsilon} \int_y^{y+\eta} u_h\,dx\,dy \] shows that the value of the function $u$ is independent of the choice of the numbers $a^*$, $b^*$, and consequently this formula defines on the whole Riemann surface $F$ a potential function which certainly behaves regularly everywhere in the finite region, if one disregards the points of the curve $C$ and the branch points.

In order to recognize that $u(x, y)$ is the desired potential function of the given Riemann surface $F$, it remains only to show that $u(x, y)$ undergoes a jump of 1 upon crossing the curve $C$ in the sense stipulated in § 1, and that $u$ also behaves regularly at the points at infinity and at the branch points of the Riemann surface $F$ in the sense stipulated in § 1.

§ 8. Proof of the Prescribed Discontinuity of the Potential Function $u$ on the Curve $C$.

The proof of the required discontinuous behavior on the curve $C$ can be carried out very simply. For this purpose we modify the curve $C$ on the Riemann surface $F$ in the manner in which we did this in § 5, by shifting the individual straight segments of the polygonal path $C$ parallel to themselves toward the side on which the increase of the function values by 1 occurs, and at the same time suitably lengthening or shortening each straight segment, so that the modified segments again form a closed polygonal path, which we call $C^*$. We arrange the modification in such a way that no branch point of the Riemann surface comes to lie in the annular domain situated between $C$ and $C^*$. Now we carry out our entire consideration for the polygonal path $C^*$ instead of, as earlier, for the polygonal path $C$. For brevity we denote a function which has the constant value 1 inside the annular domain bounded by $C$ and $C^*$ and vanishes everywhere else on the Riemann surface by $1^*$. From any arbitrary function $U$ which runs continuously on the Riemann surface $F$ and undergoes a jump of 1 only on $C$,

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we then evidently obtain, by subtraction of the function $1^*$, a function which runs continuously on the Riemann surface $F$ and undergoes a jump of 1 only on $C^*$, and we can evidently take from the outset as the basis for the new consideration the sequence of functions \[ u_1 - 1^*, \ u_2 - 1^*, \ u_3 - 1^*, \dots \] where $u_1, u_2, u_3, \dots$ denote the functions (10) obtained in the preceding developments and used for the construction of our potential function $u$. Our method then shows that from this sequence of functions it must be possible to make a selection \[ u_1' - 1^*, \ u_2' - 1^*, \ u_3' - 1^*, \dots \] in such a way that the expression defined by the formula \[ u^* = \underset{\substack{\varepsilon=0 \\ \eta=0}}{L} \ \underset{h=\infty}{L} \frac{1}{\varepsilon\eta} \int_x^{x+\varepsilon} \int_y^{y+\eta} (u_h' - 1^*)\,dx\,dy \] represents a potential function which is discontinuous only at the points of the polygonal path $C^*$. But now that expression $u^*$ is evidently equal to $u - 1^*$, and consequently $u - 1^*$ is a potential function regular on $C$, that is, $u$ undergoes a jump of 1 upon crossing over the curve $C$ in the sense stipulated in § 1.

§ 9. The Value of the Dirichlet Integral of the Potential Function $u$ on the Riemann Surface.

In order to judge the behavior of the found potential function $u$ at the points at infinity and at the branch points of the Riemann surface $F$, it is first necessary to show that the function $u$ solves the contemplated Dirichlet variational problem, that the value of the Dirichlet integral extended over the entire Riemann surface for this function really becomes equal to the bound, denoted in § 5 by $d$, of all possible values of the Dirichlet integrals extended over $F$.

In demonstrating this we make use of the following fact:

Let $R$ be any rectangle on our Riemann surface with vertices \[ a, b; \quad a+l, b; \quad a+l, b+l'; \quad a, b+l', \] which contains no branch point and no point of the curve $C$, and let $f(x, y)$ be an analytic function regular in $R$ including the sides of $R$: if for abbreviation \[ \omega_h = u_h - u \]

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is set, then I assert that there always holds the equation \[ \begin{gathered} \underset{h=\infty}{L} \int_a^x \int_b^y f(x, y) \cdot \omega_h\,dx\,dy = 0. \\ (a \leqq x \leqq a+l, \quad b \leqq y \leqq b+l') \end{gathered} \] and indeed the double integral converges uniformly toward the value 0 for all points $x$, $y$ situated in $R$.

To prove this assertion, we transform the double integral as follows: \[ \begin{aligned} \int_a^x \int_b^y f \cdot \omega_h\,dx\,dy &= f \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy - \int_b^y \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy \cdot dy \\ &\quad - \int_a^x \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy \cdot dx + \int_a^x \int_b^y \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \cdot \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy \cdot dx\,dy \end{aligned} \] and then reflect that the double integral \[ \int_a^x \int_b^y \omega_h\,dx\,dy = \int_a^x \int_b^y u_h\,dx\,dy - \int_a^x \int_b^y u\,dx\,dy \] converges uniformly toward the value 0 for all points $x$, $y$ situated in $R$.

We now wish to show that the Dirichlet integral for the potential function $u$ extended over the entire Riemann surface $F$ possesses a finite value, which is certainly not greater than $d$. In the opposite case, namely, it would certainly also have to be possible to demarcate on the Riemann surface $F$ a domain $G$ situated entirely in the finite region, free of branch points and points of the curve $C$, such that the Dirichlet integral for the function $u$ extended over $G$ turns out to be greater than $d$, and indeed we assume the Dirichlet integral extended over $G$ to be $\geqq d+p$, where $p$ denotes a certain positive number. Then we construct a polygonal path $P$ consisting of a finite number of straight segments parallel to the $x$-axis or the $y$-axis in such a way that the domain $G$ on the Riemann surface comes to lie entirely in the interior of the polygon bounded by this polygonal path $P$. Finally we choose a positive quantity $\delta$ so small that the domain $G$ also remains contained inside every such polygonal path $P_{\xi\eta}$ that arises from $P$ by a translation: \[ \begin{aligned} x' &= x + \xi, \quad 0 \leqq \xi \leqq \delta \\ y' &= y + \eta, \quad 0 \leqq \eta \leqq \delta \end{aligned} \]

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Evidently the Dirichlet integrals for the function $u$ extended over the interior of the polygonal paths $P_{\xi\eta}$ are then also all $\geqq d+p$; from the identity \[ \begin{aligned} &\int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial u_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \\ = &\int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy + 2 \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \\ &\quad + \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial \omega_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial \omega_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy, \end{aligned} \] in which the double integrals are to be extended over the interior of the polygon $P_{\xi\eta}$, we can therefore extract the inequality \[ \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \left(\frac{\partial u_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \geqq d + p + 2 \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy. \]

All the more is \[ \tag{13} \int\!\!\int_{(F)} \left\{ \left(\frac{\partial u_h}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_h}{\partial y}\right)^2 \right\} dx\,dy \geqq d + p + 2 \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \] when the double integral on the left-hand side is extended over the whole Riemann surface $F$. On the other hand, there holds the formula \[ \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy = - \int_{(P_{\xi\eta})} \frac{\partial u}{\partial t} \omega_h\,ds - \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \Delta u\ \omega_h\,dx\,dy; \] wherein the first integral on the right-hand side is to be extended over the polygonal path $P_{\xi\eta}$, with $s$, $t$ denoting the variables $x$, $\pm y$ and $y$, $\pm x$ respectively, according as the polygon side in question runs parallel to the $x$-axis or to the $y$-axis. On account of $\Delta u = 0$ we obtain the formulaEditorial note: Compositor omitted differential $dx\,dy$ on the left-hand side of equation (14). \[ \tag{14} \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} = - \int_{(P_{\xi\eta})} \frac{\partial u}{\partial t} \omega_h\,ds. \]

Now the fact recognized at the beginning of this section teaches that if we integrate the integral on the right-hand side in (14) with respect to $\xi$ and $\eta$ between the limits 0 and $\delta$, and then pass to the limit $h = \infty$,

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zero results, and consequently the same holds for the left-hand side, that is, we haveEditorial note: Printed $k=\infty$ under the limit sign; an apparent compositor misprint for $h=\infty$. \[ \underset{k=\infty}{L} \int_0^\delta \int_0^\delta \int\!\!\int_{(P_{\xi\eta})} \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial \omega_h}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial \omega_h}{\partial y} \right\} dx\,dy \cdot d\xi\,d\eta = 0. \]

If we now integrate the equation (13) with respect to $\xi$ and $\eta$ between the limits 0 and $\delta$, and then pass to the limit $h = \infty$, we obtain \[ \delta^2 d \geqq \delta^2 (d + p) \] and this inequality contains, on account of $p > 0$, a contradiction. Our assumption is consequently inadmissible, that is, the integral extended over the entire Riemann surface $F$ for the potential function $u$ possesses a finite value which is certainly not greater than $d$.

This value can also not be less than $d$, since according to our initial stipulation $d$ denotes the lower bound of all possible values of the Dirichlet integrals for the functions under consideration. The Dirichlet integral extended over $F$ for the function $u$ therefore has precisely the value $d$, and consequently the potential function $u$ solves the Dirichlet variational problem.

§ 10. Proof of the Regular Behavior of the Potential Function $u$ at the Points at Infinity and at the Branch Points of the Riemann Surface.

In order to prove that the found function $u$ also behaves regularly at the points at infinity and at the branch points of the Riemann surface $F$ in the sense stipulated in § 1, we reflect that under the transformation indicated in § 1 the given Dirichlet integral again transforms into a Dirichlet integral, and consequently the Dirichlet integral extended over the transformed Riemann surface possesses the same finite value as the integral extended over the originally given surface $F$. Under the transformation indicated in § 1, the branch points and the points at infinity of the Riemann surface $F$ respectively transform into ordinary points, and consequently, according to the stipulation made there, we only need to show that the transformed potential function $u^*$ must behave regularly at an ordinary point $P$ if it is single-valued and regular in the neighborhood of this point $P$ and exhibits a finite Dirichlet integral. For this purpose we make use of the fact,

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easily deduced from Laurent's theorem, that $u^*$ in the neighborhood of $P$ must possess a series expansion of the form \[ \begin{aligned} u^*(x, y) &= (a + \alpha l r) \\ &\quad + \left(a_1 r + \frac{\alpha_1}{r}\right) \cos \varphi + \left(a_2 r^2 + \frac{\alpha_2}{r^2}\right) \cos 2\varphi + \left(a_3 r^3 + \frac{\alpha_3}{r^3}\right) \cos 3\varphi + \dots \\ &\quad + \left(b_1 r + \frac{\beta_1}{r}\right) \sin \varphi + \left(b_2 r^2 + \frac{\beta_2}{r^2}\right) \sin 2\varphi + \left(b_3 r^3 + \frac{\beta_3}{r^3}\right) \sin 3\varphi + \dots \end{aligned} \] where $r$ denotes the distance of the point $x, y$ from $P$ and $\varphi$ the angle which the line connectingEditorial note: Printed Verbindungsgrade; an apparent compositor misprint for Verbindungsgerade. these points makes with the $x$-axis, and where $a, \alpha, a_1, \alpha_1, a_2, \alpha_2, a_3, \alpha_3, \dots b_1, \beta_1, b_2, \beta_2, b_3, \beta_3, \dots$ denote constants. Let $r, r'>r$ denote two particular values for which that series expansion converges, formed by the circles described about $P$ with $r$ and $r'$. The Dirichlet integral for the potential function $u^*$ extended over this circular ring is, as is well known, expressibleEditorial note: Printed ansdrückbar with n; an apparent compositor misprint for ausdrückbar. by Green's theorem through the integrals over the periphery of those two circles; one obtains for the same the value \[ \int_0^{2\pi} u^* \frac{\partial u^*}{\partial r}\,r\,d\varphi - \int_0^{2\pi} \left[ u^* \frac{\partial u^*}{\partial r} \right]_{r=r'} r'\,d\varphi. \]

Since the Dirichlet integral extended over the entire surface is to have a finite value $d$, \[ \int_0^{2\pi} u^* \frac{\partial u^*}{\partial r}\,r\,d\varphi \] must also, in absolute value, remain below a finite quantity $A$ as $r$ decreases, and from this we infer that the integral \[ \int_r^{r'} \int_0^{2\pi} u^* \frac{\partial u^*}{\partial r}\,d\varphi \cdot dr = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} u^{*2}\,d\varphi - \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} \left[ u^{*2} \right]_{r=r'} d\varphi \] remains in absolute value below the limit \[ \int_r^{r'} \frac{A}{r}\,dr = A l \frac{r'}{r} \] that is, the integral \[ \int_0^{2\pi} u^{*2}\,d\varphi \]

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must, in absolute value, remain below a quantity of the form \[ 2 A l \frac{1}{r} + B \] as $r$ decreases, where $B$ is a suitably chosen constant. On account of \[ \begin{aligned} \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} u^{*2}\,d\varphi &= 2(a + \alpha l r)^2 + \left(a_1 r + \frac{\alpha_1}{r}\right)^2 + \left(a_2 r^2 + \frac{\alpha_2}{r^2}\right)^2 + \dots \\ &\quad + \left(b_1 r + \frac{\beta_1}{r}\right)^2 + \left(b_2 r^2 + \frac{\beta_2}{r^2}\right)^2 + \dots \end{aligned} \] it follows from this, however, that the constants $\alpha, \alpha_1, \alpha_2, \dots \beta_1, \beta_2, \dots$ are all equal to 0, that is, the potential function $u^*$ behaves regularly at the point $P$ as well.

Göttingen, 18 September 1901.

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Revision history (2)

2026-09-25 — Translation (en) added (AI draft).
2026-09-22 — Transcription added (AI draft).

@article{Hilbert1904Uber,
  author = {Hilbert, David},
  title = {Über das Dirichletsche Prinzip.},
  journal = {Mathematische Annalen},
  volume = {59},
  pages = {161–186},
  year = {1904},
  url = {https://eudml.org/doc/158152}
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@misc{Hilbert1904Uber-rtm,
  author = {Hilbert, David},
  title = {Über das Dirichletsche Prinzip. --- LaTeX transcription},
  howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.org/works/hilbert-1904-dirichletsche-prinzip/}},
  note = {AI transcription (gemini-3-8-flash); status: ai-draft. Original: Mathematische Annalen 1904},
  year = {2026}
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@misc{Hilbert1904Uber-en,
  author = {Hilbert, David},
  title = {On the Dirichlet Principle --- English translation},
  howpublished = {ReadTheMasters, \url{https://readthemasters.org/works/hilbert-1904-dirichletsche-prinzip/}},
  note = {English translation (AI, gemini-3-8-flash); status: ai-draft},
  language = {English},
  year = {2026}
}

Über das Dirichletsche Prinzip.

Original (German)

Über das Dirichletsche Prinzip.${}^{*)}$

Von David Hilbert in Göttingen.

Inhalt.

§ 1. Darlegung des Problems.

§ 2. Hilfssatz über Dirichletsche Integrale.

§ 3. Allgemeiner Hilfssatz über gleichmäßige Konvergenz.

§ 4. Hilfssatz über das Verschwinden eines gewissen Doppelintegrals bei willkürlicher Wahl einer unter dem Integralzeichen vorkommenden Funktion.

§ 5. Konstruktion der gesuchten Potentialfunktion auf Grund des Dirichletschen Prinzips.

§ 6. Beweis der Existenz der Funktion $v$.

§ 7. Existenz der Funktion $u$ und Beweis ihrer Potentialeigenschaft.

§ 8. Beweis für die verlangte Unstetigkeit der Potentialfunktion $u$ auf der Kurve $C$.

§ 9. Der Wert des Dirichletschen Integrals der Potentialfunktion $u$ auf der Riemannschen Fläche.

§ 10. Beweis für das reguläre Verhalten der Potentialfunktion $u$ in den unendlichfernen Punkten und in den Verzweigungspunkten der Riemannschen Fläche.

English translation

On the Dirichlet Principle.${}^{*)}$

By David Hilbert in Göttingen.

Contents.

§ 1. Statement of the Problem.

§ 2. Lemma on Dirichlet Integrals.

§ 3. General Lemma on Uniform Convergence.

§ 4. Lemma on the Vanishing of a Certain Double Integral under Arbitrary Choice of a Function Occurring under the Integral Sign.

§ 5. Construction of the Desired Potential Function on the Basis of the Dirichlet Principle.

§ 6. Proof of the Existence of the Function $v$.

§ 7. Existence of the Function $u$ and Proof of its Potential Property.

§ 8. Proof of the Prescribed Discontinuity of the Potential Function $u$ on the Curve $C$.

§ 9. The Value of the Dirichlet Integral of the Potential Function $u$ on the Riemann Surface.

§ 10. Proof of the Regular Behavior of the Potential Function $u$ at the Points at Infinity and at the Branch Points of the Riemann Surface.