Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie.

On the application of Abelian functions in geometry.

Alfred Clebsch · 1864 · Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), vol. 63, pp. 189–243 · ai-draft

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"Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie", Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal), Dreiundsechzigster Band, 3. Heft (Berlin: G. Reimer, 1864), pp. 189–243.

Significance

Riemann's theory of Abelian functions had been in print for six years, Clebsch remarks on his first page, without anyone having applied it to geometry; this paper is the application. To a plane curve $f = 0$ of order $n$ carrying $d$ double points he attaches the class of Abelian integrals belonging to it, and reads Riemann's characteristic number off the geometry alone: $p = \frac{(n-1)(n-2)}{2} - d$ (§. 1, eq. (4.))Riemann's own count, in this corpus: "Theorie der Abel'schen Functionen", printed p. 129, "so ist p = (n-1)(m-1) - r" — the formula Clebsch's footnote on p. 191 cites as "Band 54 dieses Journals p. 129". — a quantity that had belonged to a Riemann surface, now computed from nothing but the order of a curve and its double points. Each of those $p$ integrals takes a value at every point of the curve, and Clebsch works throughout with the totals got by adding those values over all the points of a set — his Integralsummen. Now deform a curve of order $m$ that cuts $f = 0$: its $mn$ intersections with $f = 0$ all shift at once, and the shifts cancel, so the total does not move. That is Abel's theorem, which §. 2 casts in this geometric form, and it is why one and the same total can serve every curve of order $m$ at once. §. 3 determines it: the total is zero, provided the integrals are measured from the starting points Riemann prescribes. Clebsch then turns the statement round: any $mn$ points whose totals come out zero are exactly the points some curve of order $m$ cuts out — the harder half, which he argues from the differential equations rather than proves. A geometric question, which sets of points other curves can carve out of $f = 0$, has become an arithmetic one. Clebsch's $p$ is the genus, and his §. 3 pair of theorems says that the divisors cut on $f = 0$ by the curves of a fixed order form one linear equivalence class: the Abel–Jacobi map sends such a divisor to $0$, and only such divisors go to $0$. A contact problem then asks for a divisor $D$ with $rD$ linearly equivalent to a fixed divisor, so its solutions form a coset of the $r$-torsion of the Jacobian — a group with $r^{2p}$ elements, which is his count, and a discrete one, which is his observation that no continuous variation carries a curve of one system into a curve of another. In §. 8 the divisor is canonical and $r = 2$, so his contact curves of order $n-3$ are the odd theta characteristics, of which there are $2^{p-1}(2^p - 1)$; his binary triples $(m; q)$ are those characteristics written out, and his parity condition is oddness. For a plane quartic $p = 3$, and $4 \cdot 7 = 28$. §. 8 shows what that buys: a curve of order $n-3$ touching $f = 0$ twice at each of $\frac{n(n-3)}{2}$ points can be laid in $2^{\frac{n(n-3)}{2}}\left(2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}-1\right)$ ways, and "for $n = 4$ this gives the 28 double tangents", so that Hesse's and Steiner's results on the quarticHesse's and Steiner's results on the double tangents of quartic curves and on systems of contact conics, in volume 49 of the same Journal, which Clebsch cites by page throughout §§. 9 and 10 (Hesse, p. 261; Steiner, p. 266 and following) and recovers as special cases. fall out as counting exercises rather than constructions. §§. 11 to 18 carry the same method to curves in space.

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Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie.

(Von Herrn A. Clebsch zu Giessen.)

Die Anwendungen, welche die elliptischen Functionen in der Geometrie bisher gefunden haben, sind, obwohl auf ganz wenige unter den möglichen Fällen beschränkt, dennoch schon zahlreich genug, um den allgemeinen Charakter derselben hervortreten zu lassen. Alle diese Anwendungen gehen von der Theilung aus, und zeigen, wie die Lösungen von gewissen in der Geometrie auftretenden algebraischen Gleichungen mit Hülfe der Theilung der elliptischen Functionen einfach dargestellt werden können. Dies ist um so mehr werth, als jene Gleichungen selbst ihrer verwickelten Form wegen im Allgemeinen sehr schwer aufzustellen sind; nicht minder aber deswegen, weil die eigenthümlichen Beziehungen und Gruppirungen der Wurzeln unter einander dabei aufs klarste hervortreten. Dass Steiner in so vielen Fällen diesen Beziehungen nachzugehen gewusst hat, und dass viele von ihm gelöste Probleme durch die Theorie der elliptischen Functionen erst ihre wahre analytische Ausdrucksweise finden, ist nicht die geringste der merkwürdigen Thatsachen, welche uns bei dem Studium der Schriften dieses grossen Geometers mit stets wachsender Bewunderung erfüllen.

Aehnliche Anwendungen der Theorie der Abelschen Functionen vorzuführen, ist der Zweck des gegenwärtigen Aufsatzes; und ich glaube, dass die darzulegenden wenigen Principien dazu dienen können, das Studium der algebraischen Curven in vieler Beziehung zu erleichtern. Dass solche Anwendungen bisher nicht versucht sind, obgleich wir seit sechs Jahren Riemanns Theorie dieser Functionen besitzen, ist ohne Zweifel grossentheils den Schwierigkeiten zuzuschreiben, welche dem Verständnisse der betreffenden Abhandlungen noch immer entgegenstehen, und welche auch durch die neueren Bemühungen jüngerer Mathematiker nicht ganz gehoben sind. Ein anderer Grund liegt darin, dass man bei diesen Anwendungen zu derjenigen Anschauungsweise der Natur dieser Functionen zurückkehren muss, welche Jacobi im $9^{\text{ten}}$ und $13^{\text{ten}}$ Bande dieses Journals aufgestellt hat, und welche sich bei Herrn Riemann durch eine andere ersetzt findet, obwohl für den Uebergang

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zu der Jacobischen Anschauungsweise das nöthige Material gegeben ist. Man kann sagen, dass bei Jacobi die gegenseitige Abhängigkeit zweier Reihen von gleich viel Variabeln in den Vordergrund tritt, während es sich bei Herrn Riemann vorzugsweise um eine Reihenentwicklung handelt. Ich werde im Folgenden immer von der Vorstellungsweise, wie Jacobi sie benutzt, Gebrauch machen. Die von der Theorie der Abelschen Functionen gemachten Ausführungen (von Herrn C. Neumann${}^{*)}$ und Herrn Prym${}^{**)}$), scheinen sogar zu zeigen, dass dieser Jacobische Standpunkt den nothwendigen Dnrchgangspunkt bildet, und dass alle Entwicklungen zuerst in der von Jacobi vorausgesagten Form auftreten, selbst wenn man, wie Herr Prym thut, dieselbe zu vermeiden bestrebt ist.

Die geometrischen Anwendungen dieser Theorie, welche im Folgenden angebahnt werden, sind so zahlreich, dass ich nur einige Fälle näher auszuführen versucht habe. Diese Ausführungen beziehen sich namentlich auf die Theorie der ebenen Curven vierter Ordnung und enthalten unter anderen eine Lösung des Problems der Doppeltangenten, welche sich durch eine aus der Natur der Sache fliessende übersichtliche Gruppirung dieser merkwürdigen Geraden empfiehlt. Dabei ergeben sich fast von selbst eine Reihe von Sätzen, welche Hesse und Steiner im $49^{\text{ten}}$ Bande dieses Journals angegeben haben, und auf welche Hesse seine elegante Deutung der zwischen den 28 Doppeltangenten eintretenden Beziehungen durch die Verbindungslinien von 8 Punkten im Raume gegründet hat. Es liegt in der Natur der hier angewandten Methoden, dass alle diese Sätze als ganz specielle Fälle von anderen, sehr allgemeinen, erscheinen, welche nicht bloss für ebene Curven beliebiger Ordnung, sondern auch für alle doppelt gekrümmten Curven in gleicher Weise ihr Geltung behalten.

§. 1.

Zusammenhang einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit einer Classe von Abelschen Integralen.

Jede algebraische Gleichung $F(s, z) = 0$, vermöge deren $s$ als Function von $z$ bestimmt ist, begründet nach Herrn Riemann eine Classe von Abelschen Integralen. Aus den überall endlich bleibenden Integralen, welche man dabei erhält, setzen sich die Argumente von $\theta$-Functionen auf lineare Weise zusammen. Nimmt man die $p$ Argumente einer $\theta$-Function als bekannt an,

*) Die Umkehrung der Abelschen Integrale, Halle 1863.

**) Theoria nova ff. ultraellipticarum, Diss. Berlin 1863.

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so entsprechen denselben $p$ Werthe von $z$, welche die oberen Grenzen der constituirenden Integrale bilden; und dieselben, oder irgend welche algebraische Functionen derselben, bestimmen sich als Wurzeln einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades, deren Coefficienten sich aus $\theta$-Functionen rational zusammensetzen. Die Zahl $p$ wird mit Hülfe der Formel \[ p = \frac{\mathrm{w}}{2} - (n-1)\,{}^{*)} \] gefunden; dabei ist $n$ der Grad, bis zu welchem $s$ in der gegebenen Gleichung ansteigt, $\mathrm{w}$ aber die Zahl der Werthsysteme, für welche $F'(s) = 0$, ohne dass $F'(z) = 0$. Dabei wird vorausgesetzt, dass für diejenigen Werthsysteme, wo $F'(s) = 0$ und $F'(z) = 0$, nicht $F''(ss).F''(zz) - F''(sz)^{2} = 0$ sei.

Herr Riemann legt die Gleichung $F(s, z) = 0$ zu Grunde in der Form, dass, wenn man die Gleichung nach Potenzen von $s$ ordnet, jeder Coefficient von gleich hoher Ordnung für $z$ sei. Für die geometrische Anwendung ist es zweckmässig, eine andere Form als allgemeine Grundform zu betrachten, nämlich diejenige, welche durch Substitution von $-\dfrac{a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3}}{b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3}}$ für $z$, $-\dfrac{\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + \alpha_{3}x_{3}}{\beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \beta_{3}x_{3}}$ für $s$ in eine homogene Function $n^{\text{ter}}$ Ordnung der drei Veränderlichen $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ übergeführt werden kann, wo die $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ beliebige Constante bezeichnen.

Sei die so entstehende Gleichung \[ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0 \tag{1.} \] die Gleichung einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung. Die Reduction dieser Gleichung auf die Form \[ F(s, z) = 0 \tag{2.} \] mit Hülfe der Gleichungen \[ \left\{ \begin{aligned} (a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3}) + z(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3}) &= 0, \\ (\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + \alpha_{3}x_{3}) + s(\beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \beta_{3}x_{3}) &= 0 \end{aligned} \right. \tag{3.} \] entspricht dann der Darstellung der Curve als Durchschnitt entsprechender Strahlen der Büschel (3.), in denen $s$, $z$ die veränderlichen Parameter bilden. Untersuchen wir, wie gross die Zahl $\mathrm{w}$ hienach wird.

Wenn $F's = 0$, ohne dass $F'z = 0$, so hat die Gleichung $z$ zwei gleiche Wurzeln; zwei aufeinanderfolgenden Strahlen des ersten Büschels entspricht

*) Band 54 dieses Journals p. 129.

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einer des zweiten. Mit anderen Worten, ein Strahl des zweiten Büschels wird Tangente der Curve. Der Fall $F''s = 0$, $F'''s = 0$ etc. ist leicht zu berücksichtigen; die Tangente berührt dann in höherer Ordnung. Aber dies kann nur für besondere Werthe der $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ eintreten.

Wenn $F'(s) = 0$ und $F'(z) = 0$, so ist auch \[ \frac{\partial f}{\partial x_{1}} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{3}} = 0; \] die Curve hat dann einen Doppelpunkt. Dass die Bedingung \[ F''(ss).F''(zz) - F''(sz)^{2} = 0 \] ausgeschlossen ist, bedeutet, dass kein Doppelpunkt ein Rückkehrspunkt werden solle${}^{*)}$.

Ist also die Zahl der Doppelpunkte gleich $d$, so hat man nach einer bekannten Formel für die Zahl der Tangenten, \[ \mathrm{w} = n.(n-1) - 2d. \] Daher \[ p = \frac{(n-1)(n-2)}{2} - d. \tag{4.} \] Dieses ist also die Zahl, welche die Classe der zu einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung gehörigen Abelschen Functionen angiebt.

So entsprechen die elliptischen Functionen $(p = 1)$ den allgemeinen Curven dritter Ordnung, den Curven vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten etc.; die erste Classe der Abelschen Transcendenten den Curven vierter Ordnung mit einem Doppelpunkt, oder denen fünfter Ordnung mit vier Doppelpunkten etc.; die folgende Classe $(p = 3)$ den allgemeinen Curven vierter Ordnung etc.

Nach der Theorie der Abelschen Functionen findet man $z$ mit Hülfe einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades durch $\theta$-Functionen ausgedrückt. Die erste Gleichung (3.) lehrt also, wenn die $p$ Argumente der $\theta$ als bekannt vorausgesetzt werden, eine lineare Relation zwischen den Coordinaten eines Punktes kennen; das zu $z$ gehörige $s$, dessen Ausdruck man aus dem von $z$ und aus seinen nach den Argumenten der $\theta$-Functionen genommenen Differentialquotienten ableitet, liefert eine zweite, und man kann endlich die Coordinaten einer Curve so durch $\theta$-Functionen ausdrücken, wobei, neben der allgemeinen Theorie der

*) Diese Beschränkung lässt sich, wie es scheint, aufheben, indem man festsetzt, dass für jeden Rückkehrpunkt zugleich die Zahl der Tangenten um eine vermehrt werden solle.

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betreffenden Abelschen Functionen, nur die Auflösung einer einzigen Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades gefordert wird.

Die überall endlichen Integrale, aus denen die Argumente der $\theta$-Functionen sich zusammensetzen, kann man nach Riemann (a. a. O. pag. 131.) und mit Hülfe der Gleichungen \[ \frac{x_{2}\,dx_{3} - x_{3}\,dx_{2}}{\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}} = \frac{x_{3}\,dx_{1} - x_{1}\,dx_{3}}{\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}} = \frac{x_{1}\,dx_{2} - x_{2}\,dx_{1}}{\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}} \] in die Form bringen: \[ \int \Theta.\frac{\Sigma\pm c_{1}x_{2}\,dx_{3}}{c_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + c_{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} + c_{3}\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}}, \] wobei $\Theta$ eine ganze homogene Function der Ordnung $n-3$ ist, welche für die Doppelpunkte der Curve verschwindet, und wo zwischen den $x$ die Gleichung $f = 0$ bestehend angesehen wird. Die $c$, welche der Symmetrie wegen eingeführt sind (vergl. Aronhold, Monatsber. der Berl. Acad., Sitzung vom 25. April 1861), haben auf das Integral gar keinen Einfluss, indem die Grösse unter dem Integralzeichen in Wahrheit von denselben unabhängig ist. Die zweckmässige Wahl der unteren Grenzen so wie der in den $\Theta$ auftretenden Coefficienten hat Herr Riemann gelehrt; ich werde beides so voraussetzen, wie es in der zweiten Abtheilung der angeführten Abhandlung gegeben ist.

§. 2.

Anwendung des Abelschen Satzes auf den Durchschnitt zweier Curven.

Der Abelsche Satz (Band 4 pag. 200 dieses Journals) kann nun, mit Zugrundelegung homogener Gleichungen statt der von Abel benutzten, in einer Weise ausgesprochen werden, welche wichtige Folgerungen gestattet. Ich werde den Beweis hinzufügen, wie derselbe sich bei der angegebenen Modification gestaltet.

Es sei $f = 0$ die Gleichung einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung, $\varphi = 0$ die einer anderen Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung. Es sei ferner $\Theta$ eine beliebige rationale homogene Function $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung. Betrachten wir die Summe \[ \Sigma\int \Theta.\frac{\Sigma\pm c_{1}x_{2}\,dx_{3}}{c_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + c_{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} + c_{3}\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}}, \]

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ausgedehnt über alle diejenigen Punkte als obere Grenzen der Integrale, welche das Schnittsystem von $f = 0$, $\varphi = 0$ bilden.

Unter dem Integralzeichen genügen die $x$ keineswegs der Gleichung $\varphi = 0$, sofern dieselbe eine bestimmte Curve repräsentirt; aber wir können die Gleichung $\varphi = 0$ bestehend annehmen, indem wir ihre Coefficienten als Variable einführen, welchen erst in den Grenzen die betreffenden gegebenen Werthe beizulegen sind.

Multiplicirt man nun unter dem Integralzeichen Zähler und Nenner mit $\Sigma\pm k_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}$, wo die $k$ beliebige Grössen sind, so findet man im Zähler die Determinante: \[ \begin{vmatrix} \Sigma k_{i}c_{i}, & \Sigma k_{i}x_{i}, & \Sigma k_{i}\,dx_{i} \\[4pt] \Sigma c_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}, & \Sigma x_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}, & \Sigma \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\,dx_{i} \\[4pt] \Sigma c_{i}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, & \Sigma x_{i}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, & \Sigma \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}\,dx_{i} \end{vmatrix}. \] Von den Elementen dieser Determinante verschwinden drei; das letzte wird gleich $-\delta\varphi$, wenn $\delta\varphi$ dasjenige bedeutet, was aus $\varphi$ durch Differentiation der Coefficienten entsteht; und man hat endlich als Werth der Determinante: \[ \Sigma c_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}.\Sigma k_{i}x_{i}.\delta\varphi, \] so dass die gesuchte Summe übergeht in \[ \Sigma\int \Theta.\frac{\Sigma k_{i}x_{i}}{\Sigma\pm k_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}}.\delta\varphi. \] Hier sind jetzt die Incremente der einzelnen Coefficienten von $\varphi$ in rationale Functionen der Coordinaten der verschiedenen Punkte multiplicirt, welche den Gleichungen $f = 0$, $\varphi = 0$ zusammen genügen. Sämmtliche Punkte kommen in diesen Functionen symmetrisch vor; man kann dieselben daher als rationale Functionen der Coefficienten von $f$ und $\varphi$ darstellen; und indem man nach letzteren integrirt, erhält man, neben rationalen Functionen der Coefficienten nur logarithmische und Kreisfunctionen von solchen. Dies ist der Abelsche Satz.

Bemerken wir nun insbesondere, dass, wenn $\Theta$ zugleich eine ganze Function ist, die Summe der unter dem Integralzeichen stehenden Functionen immer verschwindet. Indem man nämlich das von Jacobi (Band 14 dieses

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Journals p. 286) ausgesprochene Theorem auf homogene Gleichungen anwendet, und zugleich bemerkt, dass, wenn $f = 0$, $\varphi = 0$, auch: \[ \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}} - \dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}}{x_{1}} = \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{1}} - \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}}{x_{2}} = \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}}{x_{3}}, \] so erhält man die Formel: \[ \Sigma\frac{\Omega(k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2} + k_{3}x_{3})}{\Sigma\pm k_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}} = 0, \] wo $\Omega$ eine ganze homogene Function der Ordnung $m+n-3$ ist, und wo die Summe sich auf alle Werthsysteme bezieht, welche den Gleichungen $f = 0$, $\varphi = 0$ gleichzeitig genügen. Da nun $\Theta.\delta\varphi$ von der Form $\Omega$ ist, sobald $\Theta$, welches von der $(n-3)^{\text{ten}}$ Ordnung war, eine ganze Function bedeutet, so wird die obige Integralsumme dann constant, d. h. von den Coefficienten von $\varphi$ unabhängig

Man hat also folgenden Satz:

Bedeutet $f = 0$ die Gleichung einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung, und wird das Integral \[ \int \Theta.\frac{\Sigma\pm c_{1}x_{2}\,dx_{3}}{c_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + c_{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} + c_{3}\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}}, \] in welchem $\Theta$ eine homogene Function $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung ist, so gebildet, dass man die $x$ durch die Gleichung $f = 0$ von einander abhängig macht, so ist die Summe aller Werthe des Integrals für die Schnittpunkte von $f = 0$ mit einer anderen Curve $\varphi = 0$ ($m^{\text{ter}}$ Ordnung) als Aggregat von rationalen und von Logarithmen rationaler Functionen der Coefficienten von $\varphi$ darstellbar; insbesondere aber ist diese Summe von den Coefficienten von $\varphi$ unabhängig, sobald $\Theta$ zugleich eine ganze Function ist.

Da $\Theta$, wenn es eine ganze Function ist, noch $\dfrac{n-1.n-2}{2}$ willkürliche Coefficienten enthält, so erhält man hieraus ebensoviel einzelne Gleichungen, welche Summen von $mn$ Integralen Constanten gleich geben. Diese $\dfrac{n-1.n-2}{2}$ Gleichungen enthalten in keiner Weise die Coefficienten von $\varphi$; sie sind daher überhaupt die Bedingungen dafür, dass $mn$ Punkte einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung auf einer Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung liegen. Ist $m \geqq n$, so ist bekanntlich die Anzahl

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der hierzu erforderlichen Bedingungen genau gleich $\dfrac{n-1.n-2}{2}\,{}^{*)}$; ist aber $m$ kleiner als $n$, so ist die Anzahl der erforderlichen Bedingungen: \[ mn - \frac{m.m+3}{2}, \] und da \[ \left(mn - \frac{m.m+3}{2}\right) - \frac{n-1.n-2}{2} = -\frac{n-m-1.n-m-2}{2}, \] so ist auch noch für $m = n-1$, $m = n-2$ die Anzahl der erhaltenen Gleichungen der Anzahl der erforderlichen Bedingungen gleich. Ist $m < n-2$, so wird die Zahl der Bedingungsgleichungen grösser; dieselben können aber nicht aufhören mit einander verträglich zu sein, und die hinreichende Anzahl von Bestimmungen zu ersetzen.

Wenn die betrachtete Curve keinen Doppelpunkt besitzt, also im Allgemeinen, bestehen die durch das Theorem gegebenen Gleichungen nur zwischen überall endlich bleibenden Integralen, wie sie bei der Bildung der Argumente der $\Theta$-Functionen gebraucht werden. Dieser allgemeine Fall soll zunächst behandelt werden. Existiren Doppelpunkte, so sind in ebensoviel Gleichungen die Integrale nicht mehr unter diese Categorie gehörig.

§. 3.

Bestimmung der Constanten des Abelschen Satzes, und Umkehrung des Satzes über die Schnittpunkte algebraischer Curven.

Setzen wir im Folgenden voraus, die Curve besitze keinen Doppelpunkt. Aus diesem Fall können alle anderen als specielle abgeleitet werden. Wir haben $p = \dfrac{n-1.n-2}{2}$; die überall endlich bleibenden Integrale bezeichnen wir durch \[ u_{1}, \quad u_{2}, \quad \ldots \quad u_{p}, \] und unterscheiden das verschiedenen Punkten angehörige durch obere Indices. Die $u$ sollen so bestimmt sein, wie sie Herr Riemann zur Bildung der Argumente der $\theta$-Functionen verwendet; dadurch sind einerseits die unteren Grenzen bestimmt, andererseits ist festgesetzt, welche Veränderungen die $u$ durch Aenderung des Integrationsweges erfahren, dass sie nämlich bei gleichbleibender oberer Grenze dadurch nur übergeführt werden können in

*) Jacobi, dieses Journal Band 15. pag. 285.

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das System: \[ u_{1} + A_{1}, \quad u_{2} + A_{2}, \quad \ldots \quad u_{p} + A_{p}, \] wo, wie immer im Folgenden, die $A$ ein System der Form \[ \left\{ \begin{aligned} A_{1} &= m_{1}i\pi + a_{11}q_{1} + a_{12}q_{2} + \cdots + a_{1p}q_{p}, \\ A_{2} &= m_{2}i\pi + a_{21}q_{1} + a_{22}q_{2} + \cdots + a_{2p}q_{p}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ A_{p} &= m_{p}i\pi + a_{p1}q_{1} + a_{p2}q_{2} + \cdots + a_{pp}q_{p} \end{aligned} \right. \tag{5.} \] bezeichnen. In diesen Ausdrücken sind die $a$ durch die Curvengleichung gegeben, die $m$, $q$ aber bedeuten ganze Zahlen.

Die Gleichungen des Theorems gehen dann in folgende Form über: \[ \left\{ \begin{aligned} u'_{1} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(mn)} &\equiv \gamma_{1}, \\ u'_{2} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(mn)} &\equiv \gamma_{2}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ u'_{p} + u_{p}^{(2)} + \cdots + u_{p}^{(mn)} &\equiv \gamma_{p}. \end{aligned} \right. \tag{6.} \] Da die Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung aus $m$ Geraden bestehen kann, so muss man jede dieser Gleichungen dadurch bilden können, dass man die $m$ entsprechenden Gleichungen addirt, welche für $m = 1$ bestehen. Man hat daher, wenn $c_{1}$, $c_{2}$, $\ldots$ $c_{p}$ die zu $m = 1$ gehörigen Constanten $\gamma$ bedeuten, sogleich \[ \gamma_{1} = mc_{1}, \quad \gamma_{2} = mc_{2}, \quad \ldots \quad \gamma_{p} = mc_{p}. \] Die Constanten $c$ sind dann nicht blos von den Coefficienten sondern auch von dem Grade der Curve $\varphi = 0$ unabhängig. Ich werde jetzt zeigen, dass die $c$ sämmtlich gleich Null gesetzt werden können.

Hiezu führt die Betrachtung des Falles $m = n-3$. Herr Riemann nämlich hat a. a. O. p. 148 bewiesen, dass ein System der obigen Art congruent mit lauter Nullen ist, sobald es ausgedehnt wird über die gemeinschaftlichen Lösungen von $f = 0$ mit denjenigen Gleichungen, deren linker Theil aus den Zählern der in den $u$ integrirten Functionen linear zusammengesetzt ist, etwaige Doppelpunkte ausgeschlossen, welche hier von vorn herein nicht vorkommen. Nun ist eine lineare Function der Zähler der integrirten Ausdrücke eine allgemeine homogene Function $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung $(\Theta)$; für $m = n-3$ ist also $(n-3)c_{h} = 0$, also immer $c_{h} = 0$. Man hat daher folgenden Satz:

Bildet man die überall endlichen Integrale mit den von Herrn Riemann angegebenen unteren Grenzen, und bildet die Summen solcher Integrale

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für die Durchschnittspunkte der Curve $f = 0$ mit einer anderen, so ist das System der erhaltenen Integralsummen jederzeit einem System von Nullen congruent.

Dieser Satz gestattet die Umkehrung und lautet dann so:

Sobald die Summen der über $m.n$ Punkte ausgedehnten überall endlichen Integrale Null sind, liegen die $m.n$ Punkte im Durchschnitt einer Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung mit der Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung.

Die Differentialgleichungen nämlich: \[ \begin{aligned} du'_{1} + du_{1}^{(2)} + \cdots + du_{1}^{(mn)} &= 0, \\ du_{2}^{(1)} + du_{2}^{(2)} + \cdots + du_{2}^{(mn)} &= 0, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ du_{p}^{(1)} + du_{p}^{(2)} + \cdots + du_{p}^{(mn)} &= 0 \end{aligned} \] werden durch $p$ algebraische Gleichungen, welche der Abelsche Satz giebt, vollständig integrirt. Die $p$ Integrale enthalten $p$ willkürliche Constanten. Da die Differentialgleichungen ferner durch solche algebraische Gleichungen integrirt werden, welche aussagen, dass die $mn$ Punkte auf einer Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung liegen, so müssen diese letzteren aus jenen durch eine specielle Wahl der willkürlichen Constanten ableitbar sein, und wenn man solche Werthe der Constanten festhält, so müssen die algebraischen Integrale eben jene Gestalt haben, in welcher sie die $mn$ Punkte als den Durchschnittspunkt einer Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung mit der gegebenen charakterisiren. Die erforderliche Constantenbestimmung ist aber oben geleistet worden.

§. 4.

Berührungscurven, welche durch eine Anzahl auf der Curve gegebener Punkte bestimmt sind.

Mit Hülfe der entwickelten Sätze ergiebt sich leicht die Lösung folgender Aufgabe:

Es sei $m \geqq n-2$; auf der Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung sind $mn-pr$ Punkte beliebig gegeben; man soll durch sie eine Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung legen, welche die Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $p$ Punkten $r$-punktig berührt.

Diese Aufgabe ist lösbar, wenn $m \geqq n-2$. Sie ist auch bestimmt, wenn $m = n-2$ oder $m = n-1$. Denn in beiden Fällen ist die Anzahl der gestellten Bedingungen, nämlich $mn - pr + p(r-1)$ gleich der Zahl der in der Curvengleichung enthaltenen Constanten. Ist $m \geqq n$, so ist die Zahl der Bedingungsgleichungen $(mn - p)$ nach einem bereits erwähnten Satze eben ausreichend

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um das Punktsystem zu bestimmen, welches die Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung mit der Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung gemein haben muss; aber es erfüllt sodann die gestellten Bedingungen jede Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung, welche durch die gefundenen Punkte hindurchgeht.

Setzen wir der Kürze wegen $mn - pr = \lambda$. Von den Schnittpunkten beider Curven sind dann $\lambda$ gegeben, von den übrigen $pr$ sollen je $r$ zusammenfallen. Die Summen entsprechender Integrale, welche den gesuchten Berührungspunkten zugehören, seien $v_{1}$, $v_{2}$, $\ldots$ $v_{p}$; die Gleichungen (6.) nehmen dann die Gestalt an: \[ \begin{aligned} rv_{1} &\equiv -(u'_{1} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(\lambda)}), \\ rv_{2} &\equiv -(u'_{2} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(\lambda)}), \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ rv_{p} &\equiv -(u'_{p} + u_{p}^{(2)} + \cdots + u_{p}^{(\lambda)}). \end{aligned} \] Die rechten Theile dieser Congruenzen sind gegeben; durch Division mit $r$ findet man, indem man der Allgemeinheit wegen rechts ein willkürliches System der $A$, durch $r$ dividirt, hinzufügt: \[ \left\{ \begin{aligned} v_{1} &\equiv -\frac{u'_{1} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(\lambda)}}{r} + \frac{A_{1}}{r}, \\ v_{2} &\equiv -\frac{u'_{2} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(\lambda)}}{r} + \frac{A_{2}}{r}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ v_{p} &\equiv -\frac{u'_{p} + u_{p}^{(2)} + \cdots + u_{p}^{(\lambda)}}{r} + \frac{A_{p}}{r}. \end{aligned} \right. \tag{7.} \] Bildet man jetzt die $\theta$, deren Argumente eben diese $v$ sind, und die zugehörige Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades, so findet man durch Auflösung die $p$ Punkte, welche in den $v$ als obere Grenzen vorkommen, d. h. die $p$ Berührungspunkte, wodurch die Aufgabe gelöst ist.

Die $A$ enthalten die $2p$ Zahlen $m$, $q$, denen noch alle Werthe von 0 bis $r-1$ beigelegt werden können. Die Anzahl aller Lösungen des Problems ist daher $r^{2p}$.

Die $r^{2p}$ Systeme von je $p$ Berührungspunkten haben eine sehr merkwürdige Lage gegen einander. Unterscheidet man $r$ solcher Systeme, von denen auch mehrere gruppenweise zusammenfallen können, durch beigesetzte obere Indices, und addirt die entsprechenden Gleichungen (7.), so erhält man

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für $k = 1, 2, \ldots p$: \[ v_{k}^{(1)} + v_{k}^{(2)} + \cdots + v_{k}^{(r)} + u_{k}^{(1)} + u_{k}^{(2)} + \cdots + u_{k}^{(\lambda)} \equiv \frac{A_{k}^{(1)} + A_{k}^{(2)} + \cdots + A_{k}^{(r)}}{r}. \tag{8.} \] Bestimmt man also die in den $A$ vorkommenden Zahlen $m$, $q$ so, dass \[ \left\{ \begin{aligned} m_{k}^{(1)} + m_{k}^{(2)} + \cdots + m_{k}^{(r)} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } r), \\ q_{k}^{(1)} + q_{k}^{(2)} + \cdots + q_{k}^{(r)} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } r), \end{aligned} \right. \tag{9.} \] so kann man statt der rechten Seite von (8.) Null setzen, und es findet sich also, dass die $r$ Systeme von Berührungspunkten mit den gegebenen Punkten in einer Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung liegen. Aus (9.) sieht man, dass von den $r$ Systemen $r-1$ beliebig gewählt werden können, wodurch dann das $r^{\text{te}}$ sich bestimmt; und man hat also den Satz:

Legt man eine Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung durch die gegebenen Punkte und durch $r-1$ Systeme von Berührungspunkten, so geht dieselbe noch durch ein $r^{\text{tes}}$ System. Von ersteren können mehrere gruppenweise zusammenfallen; es kann aber auch geschehen, dass letzteres mit einem der ersteren zusammenfällt; was insbesondere bei $r = 2$ immer eintritt.

Es braucht kaum erwähnt zu werden, dass, wenn $\mu$ Systeme zusammenfallen, in den Punkten des Systems die neue Curve mit der gegebenen eine $\mu$-punktige Berührung hat.

§. 5.

Systeme von Berührungscurven, welche durch feste Punkte der Curve gehen.

Lassen wir in dem vorigen Problem von den gegebenen Punkten, deren Anzahl grösser als $\mu.r$ vorausgesetzt werden mag, $\mu$ mal $r$ Punkte zusammenfallen. Nehmen wir sodann nur die übrigen $mn - (p+\mu)r$ Punkte als gegeben an. Wir haben es dann mit der unbestimmten Aufgabe zu thun:

Eine Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung soll durch $mn - (p+\mu)r$ auf einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung gegebene Punkte gehen, und diese Curve ausserdem in $p+\mu$ Punkten $r$-punktig berühren.

Diese Aufgabe ist, wenn $m \geqq n-2$, wie die vorige lösbar, und zwar sind $\mu$ Berührungspunkte noch willkürlich, die $p$ übrigen aber dann bestimmt. Durch die gegebenen $mn - (p+\mu)r$ Punkte lassen sich also noch unendlich viele Curven der gesuchten Art legen; wenn $\mu$ Berührungspunkte willkürlich gewählt sind, noch immer $r^{2p}$.

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Herr Hesse hat den Begriff eines Systems von Berührungscurven eingeführt (Band 49 dieses Journals) und für die Theorie der Curven dritter und vierter Ordnung davon mannigfachen Gebrauch gemacht. Geht man nämlich von einer bestimmten Berührungscurve aus, und lässt dieselbe sich stetig verändern, so durchlaufen die Berührungspunkte allmälig alle nur möglichen Combinationen. Aber es ist keineswegs möglich, durch solche stetige Veränderung zu allen Berührungscurven zu gelangen; sondern man muss zu diesem Zwecke diejenigen Berührungscurven, welche eine möglichst grosse Anzahl von beliebig gewählten Berührungspunkten gemeinsam haben, gleichzeitig variiren lassen. Aus jeder dieser Curven entsteht dann ein System von Berührungscurven, deren keines mit einem anderen eine Curve gemein hat.

Man bemerkt nun, dass die verschiedenen Systeme von Berührungscurven bei der vorliegenden Darstellung durch ein sehr einfaches Kennzeichen charakterisirt sind. Jedem System entspricht nämlich ein bestimmtes System der $A$; denn diese Systeme sind völlig discret, und es kann daher niemals geschehen, dass man von einer Curve, welche einem System der $A$ entspricht, zu Curven welche einem anderen System entsprechen, einen stetigen Uebergang durch lauter Berührungscurven hindurch herstelle. Man darf daher folgenden Satz aussprechen:

Man kann unendlich viele Curven $m^{\text{ter}}$ Ordnung, wenn $m \geqq n-2$, bestimmen, welche eine Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $\dfrac{n-1.n-2}{2} + \mu$ Punkten $r$-punktig berühren, während der Rest der Schnittpunkte gegeben ist. Diese Curven theilen sich in $r^{2p}$ verschiedene Systeme ein, dergestalt dass es nicht möglich ist, von einer Curve eines Systems durch lauter Berührungscurven hindurch zu einer Curve eines anderen Systems stetig überzugehen.

Bezeichnen wir nun die den $p+\mu$ Berührungspunkten entsprechenden Integrale durch \[ w_{k}^{(1)}, \quad w_{k}^{(2)}, \quad \ldots \quad w_{k}^{(p+\mu)}, \] die Summen der den festen Punkten entsprechenden Integrale durch $U_{k}$, so haben wir: \[ w_{k}^{(1)} + w_{k}^{(2)} + \cdots + w_{k}^{(p+\mu)} \equiv \frac{-U_{k} + A_{k}}{r}. \] Betrachten wir jetzt $r$ Curven desselben Systems, und addiren die entsprechenden Gleichungen, was links durch das Zeichen $\mathrm{S}$ angedeutet werden mag,

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so kommt: \[ \mathrm{S}(w_{k}^{(1)} + w_{k}^{(2)} + \cdots + w_{k}^{(p+\mu)}) \equiv -U_{k}, \] d. h.

Die Berührungspunkte von irgend $r$ Berührungscurven desselben Systems liegen jederzeit auf einer Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung, welche durch die gegebenen festen Punkte hindurchgeht.

Ausserdem hat man, wie im vorigen §., den Satz:

Legt man eine Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung durch die gegebenen Punkte und durch $r-1$ Systeme von je $p+\mu$ Berührungspunkten, welche gleichen oder verschiedenen Systemen von Berührungscurven angehören, so geht dieselbe immer noch durch ein $r^{\text{tes}}$ System.

Der vorige Satz kann als specieller Fall dieses letzteren aufgefasst werden, und für $r = 2$, bei überall zweipunktiger Berührung, geht dieser geradezu in jenen über.

§. 6.

Systeme von Curven, welche die gegebene Curve in einer gewissen Ordnung berühren, wo sie derselben begegnen.

Wenn $mn$ durch $r$ theilbar ist, so treten insbesondere Berührungscurven auf, wie diejenigen, welche Herr Hesse a. a. O. untersucht hat, welche die Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung überall $r$-punktig berühren, wo sie derselben begegnen. Es ist dann $mn = (p+\mu)r$; die entstehenden Systeme sind allein von der Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung selbst abhängig, nicht mehr, wie im vorigen, ausserdem durch besondere auf ihr beliebig gewählte Punkte charakterisirt. Die übrigen im vorigen §. angeführten Sätze fahren hier fort zu gelten; aber die Anzahl der Systeme kann unter Umständen eine andere werden als die oben angegebene.

Nehmen wir nämlich an, es habe $m$ mit $r$ einen gemeinschaftlichen Factor, so dass \[ m = m's, \qquad r = r's, \] wo $m'$, $r'$ relative Primzahlen seien. So oft nun alle in den $A$ vorkommende Zahlen $m$, $q$ den Factor $s$ enthalten, hat man \[ \frac{A_{k}}{r} = \frac{A'_{k}}{r'}, \] wo die $A'$ Ausdrücke nach Art der $A$ sind. Dann ist immer, wenn für die Berührungspunkte die betreffenden Integrale durch $u_{k}^{(1)}$, $u_{k}^{(2)}$, $\ldots$ $u_{k}^{\left(\frac{mn}{r}\right)} = u_{k}^{\left(\frac{m'n}{r'}\right)}$

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bezeichnet werden: \[ u_{k}^{(1)} + u_{k}^{(2)} + \cdots + u_{k}^{\left(\frac{m'n}{r'}\right)} \equiv \frac{A'_{k}}{r'}, \] d. h. das System von Berührungscurven besteht in Wahrheit aus Curven der Ordnung $m'$, welche die gegebene Curve überall $r'$-punktig berühren, und welche, $s$ mal gezählt, als Systeme $m^{\text{ter}}$ Ordnung mit $r$-punktiger Berührung angesehen werden können. Indem man von diesen abstrahirt, und bemerkt, dass diese Ausnahmsysteme der $A$ an der Zahl $r'^{2p}$ sind, gelangt man zu dem Satz:

Wenn $mn = (p+\mu)r$, $m \geqq n-2$, so giebt es Systeme von Curven $m^{\text{ter}}$ Ordnung, welche die Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $p+\mu$ Punkten $r$-punktig berühren, von denen $\mu$ beliebig sind. Ist $m = m's$, $r = r's$, wo $m'$, $r'$ relative Primzahlen, so ist die Anzahl der Systeme $r^{2p} - r'^{2p}$; nur wenn $m$ und $r$ relative Primzahlen sind, ist die Anzahl derselben gleich $r^{2p}$.

Hieran knüpft sich eine Anzahl weiterer Sätze über diejenigen Fälle, in denen die Berührungspunkte mehrerer Berührungscurven zusammen den vollständigen Durchschnitt der Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit einer anderen Curve bilden. Solche Sätze existiren auch noch, wenn man nicht Berührungscurven gleicher Ordnung betrachtet. Es ist nämlich, wenn $m'$, $r'$; $m''$, $r''$; $\ldots$ $m^{(s)}$, $r^{(s)}$ die den verschiedenen zusammen betrachteten Berührungscurven entsprechenden Zahlen bezeichnen, und wenn die zugehörigen Systeme der $A$ in ähnlicher Weise bezeichnet werden, nur nöthig, dass \[ \frac{m'}{r'} + \frac{m''}{r''} + \cdots + \frac{m^{(\mu)}}{r^{(\mu)}} = h. \] eine ganze Zahl ist, und dass die Gleichungen stattfinden: \[ \frac{A'_{k}}{r'} + \frac{A''_{k}}{r''} + \cdots + \frac{A_{k}^{(\mu)}}{r^{(\mu)}} \equiv 0, \] damit die Berührungspunkte der Curven von den Ordnungen $m'$, $m''$, $\ldots$ $m^{(\mu)}$ auf einer Curve der $h^{\text{ten}}$ Ordnung liegen.

Ich begnüge mich diese Quelle von Sätzen hier angegeben zu haben.

§. 7.

Berührung einer Curve vierter Ordnung durch Curven dritter Ordnung, vierpunktig in drei Punkten; und Berührung einer Curve sechster Ordnung durch Curven fünfter Ordnung, dreipunktig in 10 Punkten.

Die im Vorigen behandelten Probleme sind wesentlich unbestimmt. Es giebt aber Classen von völlig bestimmten Berührungscurven. Für $m \geqq n$ treten

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dieselben immer ein, wenn $mn = pr$, oder $\dfrac{m}{r} = \dfrac{p}{n}$. Hat nun $n$ nicht die Form $4h+2$, so haben $p$ und $n$ keinen gemeinschaftlichen Factor; man hat daher als allgemeinste Annahme $m = p.s$, $r = n.s$. Nur wenn $n$ die Form $4h+2$ hat, haben $p$ und $s$ den gemeinsamen Factor 2. In diesem Falle muss man daher setzen $m = \dfrac{p}{2}.s$, $r = \dfrac{n}{2}.s$. Und verbindet man dies mit den Bestimmungen des vorigen §., so ergiebt sich folgender Satz:

Ist $s$ eine beliebige Zahl, und $n$ nicht von der Form $4h+2$, so giebt es immer $n^{2p}(s^{2p}-1)$ Curven der Ordnung $p.s$, welche die Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $p$ Punkten $n.s$-punktig berühren. Ist dagegen $n$ von der Form $4h+2$, so giebt es $(\tfrac{1}{2}n)^{2p}.(s^{2p}-1)$ Curven der Ordnung $\tfrac{1}{2}p.s$, welche die Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $p$ Punkten $\tfrac{1}{2}n.s$-punktig berühren.

Dieser Satz muss scheinbar zwei Ausnahmen erfahren, bei $s = 1$ und $n = 4$ oder $n = 6$, weil in diesen Fällen $m < n$ wird. Aber in beiden Fällen ist der Satz dennoch richtig, wovon man sich in folgender Weise überzeugt. Die Anzahl von Bedingungen, welchen eine in $\dfrac{mn}{r}$ Punkten $r$-punktig berührende Curve unterworfen ist, findet man gleich $\dfrac{mn}{r}(r-1)$. Damit hiedurch die Curve $m^{\text{ter}}$ Ordnung $(m < n)$ vollständig bestimmt sei, muss man die Gleichung haben: \[ \frac{mn(r-1)}{r} = \frac{m.m+3}{2}, \] oder \[ m = \frac{2n(r-1)}{r} - 3. \] Erstlich also muss $r$ ein Factor von $2n$ sein, setzt man ferner $m < n$, so findet man $r < 2 + \dfrac{6}{n-3}$. Diesen Bedingungen genügt im Allgemeinen nur $r = 2$; ausserdem aber $r = 4$ für $n = 4$, und $r = 3$ für $n = 6$. Man erhält daher folgende Berührungsaufgaben, welche als vollständig bestimmt von besonderem Interesse sind:

Die Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung soll von einer Curve der $(n-3)^{\text{ten}}$ Ordnung in $\dfrac{n.n-3}{2}$ Punkten zweipunktig berührt werden; wovon die Aufgabe der Doppeltangenten bei den Curven vierter Ordnung ein besonderer Fall ist;

eine gegebene Curve vierter Ordnung soll von einer Curve dritter Ordnung in drei Punkten vierpunktig berührt werden;

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eine gegebene Curve sechster Ordnung soll von einer Curve fünfter Ordnung in zehn Punkten dreipunktig berührt werden.

Die beiden letzten Aufgaben sind in dem oben angegebenen Satze bereits enthalten; dennoch mögen die allgemeinen Resultate für diese beiden Fälle hier noch näher specialisirt werden.

Für das zweite Problem erhält man folgende Bestimmung:

Es giebt 4096 Curven dritter Ordnung, welche eine gegebene Curve vierter Ordnung in drei Punkten vierpunktig berühren.

Die 4096 Curven entsprechen den 4096 verschiedenen Systemen der $A$, welche man für $p = 3$ bilden kann, wenn die Zahlen $m$, $q$ die Werthe 0, 1, 2, 3 erhalten dürfen. Die Berührungspunkte jeder Curve sind durch eine Gleichung dritten Grades bestimmt; die Coefficienten der Gleichung sind $\theta$-Functionen mit den Argumenten: \[ \left\{ \begin{aligned} v_{1} &= u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} \equiv \frac{A_{1}}{4}, \\ v_{2} &= u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)} \equiv \frac{A_{2}}{4}, \\ v_{3} &= u_{3}^{(1)} + u_{3}^{(2)} + u_{3}^{(3)} \equiv \frac{A_{3}}{4}. \end{aligned} \right. \tag{10.} \] Bezeichnet man die verschiedenen Berührungscurven entsprechenden Zahlen $m$, $q$ durch obere Indices, so hat man immer die Berührungspunkte dreier Curven auf einer neuen Curve dritter Ordnung, sobald \[ \begin{aligned} m'_{i} + m''_{i} + m'''_{i} + m''''_{i} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } 4), \\ q'_{i} + q''_{i} + q'''_{i} + q''''_{i} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } 4). \end{aligned} \] Die so erhaltenen Curven dritter Ordnung theilen sich in drei Classen; die Curven der ersten berühren zweipunktig in den Berührungspunkten zweier der obigen Curven; die der zweiten berühren in den Berührungspunkten einer Curve zweipunktig, und gehen durch die Berührungspunkte zweier anderen hindurch; die der dritten Classe endlich gehen durch die Berührungspunkte von vier verschiedenen Curven. Die Anzahl aller dieser Curven ist sehr gross, und man erhält sie leicht durch eine einfache Abzählung, was ich hier übergehen zu können glaube. Weiteres über die Gruppirung dieser Berührungscurven siehe unten.

Soll eine Curve sechster Ordnung von einer Curve fünfter Ordnung in zehn Punkten dreipunktig berührt werden, so hat man $p = 10$, $m = 5$, $n = 6$, $r = 3$; jedes System von zehn Berührungspunkten wird mittelst einer Gleichung

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zehnten Grades gefunden, deren Coefficienten $\theta$-Functionen sind mit den Argumenten: \[ \begin{aligned} v_{1} &= u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(10)} \equiv \frac{A_{1}}{3}, \\ v_{2} &= u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(10)} \equiv \frac{A_{2}}{3}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ v_{10} &= u_{10}^{(1)} + u_{10}^{(2)} + \cdots + u_{10}^{(10)} \equiv \frac{A_{10}}{3}. \end{aligned} \] Die Anzahl der Berührungscurven ist $3^{20}$. Indem man die Gleichungen dieser Art, welche zu drei verschiedenen Berührungscurven gehören, addirt, und dann \[ \frac{A_{k} + A'_{k} + A''_{k}}{3} \equiv 0 \] setzt, findet man den Satz:

Jede zwei Systeme von Berührungspunkten liegen auf einer Curve fünfter Ordnung, welche die Curve sechster Ordnung noch in den Berührungspunkten einer dritten Berührungscurve schneidet. Solcher Curven fünfter Ordnung giebt es also $\dfrac{3^{20}.3^{20}-1}{6}$.

§. 8.

Curven $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung, welche eine gegebene Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $\dfrac{n.n-3}{2}$ Punkten zweipunktig berühren.

Die Aufgabe, eine Curve $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung so legen, dass sie eine gegebene Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $\dfrac{n.n-3}{2}$ Punkten zweipunktig berührt, ist bei weitem wichtiger als die vorigen, und von hervorragendem Interesse. Indem wir bei der bisher benutzten Bezeichnung bleiben, stellen sich die Gleichungen zwischen den Integralen, auf welche diese Aufgabe führt, folgendermassen dar: \[ \left\{ \begin{aligned} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{\left(\frac{n.n-3}{2}\right)} &\equiv \frac{A_{1}}{2}, \\ u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{\left(\frac{n.n-3}{2}\right)} &\equiv \frac{A_{2}}{2}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ u_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}^{(1)} + u_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}^{(2)} + \cdots + u_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}^{\left(\frac{n.n-3}{2}\right)} &\equiv \frac{A_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}}{2}. \end{aligned} \right. \tag{11.} \]

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Die Anzahl dieser Gleichungen ist um eins grösser als die der Unbekannten. Dennoch sind die Gleichungen unter einander verträglich, wie jetzt gezeigt werden soll; es ist aber keine eine Folge der anderen, vielmehr können sie nur für gewisse Systeme der $A$ neben einander bestehen.

Herr Riemann hat a. a. O. p. 147 den Satz bewiesen, dass man ein gegebenes System von $p$ Grössen immer und nur dann, und im Allgemeinen nur auf eine Weise, den Summen von je $p-1$ entsprechenden Integralen gleich setzen könne, wenn $\theta$ für die gegebenen Grössen als Argumente verschwindet. In unserem Falle ist $p = \dfrac{n-1.n-2}{2}$, $p-1 = \dfrac{n.n-3}{2}$; es giebt also stets eine Berührungscurve der gesuchten Art, sobald $\theta$, mit den Argumenten $\frac{A_{1}}{2}$, $\frac{A_{2}}{2}$, … $\frac{A_{p}}{2}$ gebildet, gleich Null wird. Man muss also haben: \[ \begin{aligned} 0 &= \mathop{\Sigma}\limits_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{\mathop{\Sigma}\limits_{h,k=1}^{h,k=p} a_{hk}\,n_{h}\,(n_{k}+q_{k}) \,+\, i\pi \mathop{\Sigma}\limits_{k=1}^{k=p} n_{k}m_{k}}\\[2ex] &= e^{-\frac{i\pi}{2}\Sigma m_{k}q_{k} \,-\, \frac{1}{4}\Sigma\Sigma a_{hk}\,q_{h}q_{k}}.\Sigma e^{\Sigma\Sigma \frac{2n_{h}+q_{h}}{2}.\frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,a_{hk} \,+\, i\pi\Sigma \frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,m_{k}}. \end{aligned} \] Die in der letzten Form auftretende Summe geht, wenn man $-(n_{k}+q_{k})$, $-(n_{h}+q_{h})$ für $n_{k}$, $n_{h}$ setzt, auch über in \[ \Sigma e^{\Sigma\Sigma \frac{2n_{h}+q_{h}}{2}.\frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,a_{hk} \,-\, i\pi \Sigma \frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,m_{k}}, \] und wenn man diese Summe zu der vorigen, mit welcher sie identisch ist, addirt, findet sich: \[ 0 = \left\{ \Sigma e^{\Sigma\Sigma \frac{2n_{h}+q_{h}}{2}.\frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,a_{hk}}.(-1)^{\Sigma n_{k}m_{k}} \right\} \cos\left(\frac{\Sigma q_{k}m_{k}}{2}\pi\right). \] Die betrachtete $\theta$-Function verschwindet also immer, wenn \[ q_{1}m_{1}+q_{2}m_{2}+\cdots+q_{p}m_{p} = 2h+1, \tag{12.} \] und dieses ist die Bedingung für das Zusammenbestehen der Gleichungen (11.).

Untersuchen wir nun die Anzahl der Combinationen, durch welche die Gleichungen (12.) erfüllt werden kann. Seien $k$ der Grössen $q$ gleich 0, die übrigen $(p-k)$ gleich 1; die den ersten Grössen $q$ entsprechenden $m$ können dann 0 oder 1 sein, was $2^{k}$ Combinationen giebt; die Summe der anderen $m$ aber muss ungerade sein, oder es ist immer das letzte durch die übrigen $p-k-1$

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bestimmt. Die letzteren $m$ können daher noch auf $2^{p-k-1}$ Weisen gewählt werden, oder die $m$ im Ganzen auf $2^{p-1}$ Arten. Da die $q$ auf $\frac{p.p-1\ldots p-k+1}{1.2\ldots k}$ Arten den angegebenen Bedingungen genügen können, so giebt es \[ \frac{p.p-1\ldots p-k+1}{1.2\ldots k}.2^{p-1} \] Systeme der $A$, bei denen $k$ der Grössen $q$ gleich 0 sind. Setzen wir nun $k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots p-1$, so finden sich im Ganzen \[ 2^{p-1}\left(1+\frac{p}{1}+\frac{p.p-1}{1.2}+\cdots+p\right) = 2^{p-1}(2^{p}-1) \] Systeme der $A$, oder der Satz:

Es giebt $2^{\frac{n.n-3}{2}}\left(2^{\frac{n-1.n-2}{2}}-1\right)$ Curven $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung, welche eine gegebene Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $\frac{n.n-3}{2}$ Punkten zweipunktig berühren.

Für $n=4$ giebt dies die 28 Doppeltangenten.

Die Berührungspunkte jeder Curve können mittelst einer Gleichung $(p-1)^{\text{ten}}$ Grades gefunden werden. Man braucht nämlich nur auf beiden Seiten der Gleichungen (11.) die einem beliebig gegebenen Punkte entsprechenden $u$ zu addiren, und man hat dann die Argumente von $\theta$-Functionen vor sich. Aus diesen setzen sich die Coefficienten einer Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades zusammen, von der eine Wurzel (dem beliebig gewählten Punkte entsprechend) bekannt ist.

Die Berührungspunkte von $\mu$ Curven dieser Art liegen jedesmal auf einer Curve der Ordnung $\frac{\mu(n-3)}{2}$, sobald das System besteht: \[ \frac{A_{k}^{(1)}+A_{k}^{(2)}+\cdots+A_{k}^{(\mu)}}{2} \equiv 0, \] bei welchem die oberen Indices sich auf die verschiedenen betrachteten Curven beziehen. Man überblickt das Feld von Sätzen und Abzählungen, welche sich hieraus ergeben, und welche die natürliche Verallgemeinerung derjenigen Resultate bilden, auf welche man in der Theorie der Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung geführt ist. Ich bemerke nur noch einen Satz, welcher ebenfalls in speciellster Fassung bei den Curven vierter Ordnung bereits bekannt ist. Betrachtet man nämlich die Curven $2h-(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung, welche eine Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $hn-\frac{n.n-3}{2}$ Punkten zweipunktig berühren, und addirt zu den entsprechenden Gleichungen \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{\left(hn-\frac{n.n-3}{2}\right)} \equiv \frac{A_{k}}{2} \]

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die Gleichungen (11.) unter Voraussetzung desselben Systems der $A$, so findet sich, dass die ersten $hn-\frac{n.n-3}{2}$ Berührungspunkte mit den $\frac{n.n-3}{2}$ Berührungspunkten der Curve $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung in einer Curve $h^{\text{ter}}$ Ordnung liegen. Nun ist die Anzahl der Systeme von Berührungscurven $2h-(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung gleich $2^{2p}$, und nur, wenn $n$ ungerade ist, muss man das System ausschliessen, für welches das System der $A$ verschwindet. Man hat also folgenden Satz:

Unter den $2^{2p}\left(p = \frac{n-1.n-2}{2}\right)$ Systemen von Berührungscurven, welche bei geradem $n$ von ungerader Ordnung $m$, oder bei ungeradem $n$ von gerader Ordnung $m$ sind, und welche die gegebene Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung überall, wo sie derselben begegnen, zweipunktig berühren, giebt es immer $2^{p-1}(2^{p}-1)$ solche, dass die Berührungspunkte jeder Curve des Systems mit denen einer bestimmten der obigen Berührungscurven $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung in einer Curve $\frac{m+n-3}{2}{}^{\text{ter}}$ Ordnung liegen; und es giebt bei geradem $n$ $2^{p-1}(2^{p}+1)$, bei ungeradem $2^{p-1}(2^{p}+1)-1$ solcher Systeme, bei denen die Berührungspunkte niemals auf einer Curve $\frac{m+n-3}{2}{}^{\text{ter}}$ Ordnung liegen.

§. 9.

Die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung.

Die entwickelten allgemeinen Resultate sollen jetzt für die Curven vierter Ordnung genauer ausgeführt werden.

Die Anzahl der Doppeltangenten ist nach §. 8 gleich 28, wie bekannt. Man kann aber nach dem Vorigen sie schematisch darstellen, wie folgt. Jede Doppeltangente mag bezeichnet werden durch die in Klammern geschlossene Reihe der ihr entsprechenden Zahlen $m$, $q$, also durch: \[ (m_{1},\, m_{2},\, m_{3};\, q_{1},\, q_{2},\, q_{3}). \] Die Zahlen können 0 oder 1 sein, doch so, dass immer \[ m_{1}q_{1}+m_{2}q_{2}+m_{3}q_{3} \equiv 1 \quad \text{(mod.\ 2)}. \] Nehmen wir also für die $m$ alle möglichen aus den Zahlen 0 und 1 bestehenden Systeme, $0,0,0$ ausgeschlossen, und bestimmen obiger Gleichung gemäss die zugehörigen Systeme der $q$, so erhalten wir die 28 Doppeltangenten in folgendem Schema: \[ \begin{array}{ccccccc} (100,\,100) & (010,\,010) & (001,\,001) & (011,\,010) & (101,\,100) & (110,\,100) & (111,\,100)\\ (100,\,110) & (010,\,110) & (001,\,011) & (011,\,001) & (101,\,110) & (110,\,101) & (111,\,010)\\ (100,\,101) & (010,\,011) & (001,\,101) & (011,\,110) & (101,\,001) & (110,\,010) & (111,\,001)\\ (100,\,111) & (010,\,111) & (001,\,111) & (011,\,101) & (101,\,011) & (110,\,011) & (111,\,111). \end{array} \]

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Es giebt nach §. 5 63 Systeme von Kegelschnitten (Hesse, dieses Journal Band 49.), welche die Curve in 4 Punkten berühren, entsprechend den 63 möglichen Combinationen \[ (m_{1},\, m_{2},\, m_{3};\, q_{1},\, q_{2},\, q_{3}), \] die Combination $(000,\, 000)$ allein ausgeschlossen.

Ein solcher Berührungskegelschnitt zerfällt immer in zwei Doppeltangenten \[ (m'_{1},\, m'_{2},\, m'_{3};\; q'_{1},\, q'_{2},\, q'_{3}), \qquad (m''_{1},\, m''_{2},\, m''_{3};\; q''_{1},\, q''_{2},\, q''_{3}), \] sobald \[ m'_{i}+m''_{i} \equiv m_{i}, \qquad q'_{i}+q''_{i} \equiv q_{i} \quad \text{(mod.\ 2)}, \tag{13.} \] wobei ausserdem sein muss: \[ \left\{ \begin{aligned} m'_{1}q'_{1}+m'_{2}q'_{2}+m'_{3}q'_{3} &\equiv 1,\\ m''_{1}q''_{1}+m''_{2}q''_{2}+m''_{3}q''_{3} &\equiv 1. \end{aligned} \right. \tag{14.} \] Es sind dabei entweder die $q$ oder die $m$ nicht sämmtlich Null; nehmen wir an, dies trete bei den $q$ ein; sonst wären in der folgenden Bestimmung nur die $q$ mit den $m$ zu vertauschen. Dann zeigen erstlich die Gleichungen (13.), dass man für gegebene $q_{i}$ die $q'_{i}$, $q''_{i}$ auf sechs verschiedene Arten wählen kann. Ueberhaupt nämlich existiren acht Combinationen der $q'$, $q''$, welche jene Gleichungen erfüllen; von diesen aber sind die beiden auszuschliessen, für welche sämmtliche $q'$ oder sämmtliche $q''$ Null sind (was nicht zusammen eintreten kann). Diese sechs Arten geben drei Paare von Systemen $q'$, $q''$, indem immer zwei Arten sich nur durch Vertauschung der $q'$ mit den $q''$ von einander unterscheiden.

In jedem Paar von Systemen ist wenigstens ein Paar entsprechender $q$ ungleich, also 0 und 1, demnach irgend ein anderes 1 und 0 oder 1 und 1. Es existiren daher ein $q'$ und ein $q''$ mit verschiedenem unteren Index, welche gleich 1 sind. Bestimmt man nun die dem dritten Index entsprechenden $m$ so, dass sie der betreffenden Gleichung (13.) genügen (was auf zwei Arten geschehen kann), so bestimmen die übrigen $m$ sich aus (14.) und (13.) successive. Jedem der drei Paare $q$ entsprechen also zwei Paare $m$; oder man hat den Satz:

In jedem System von Berührungskegelschnitten kommen sechs Paare von Doppeltangenten vor. (Hesse, l. c., Salmon, higher plane curves.)

Da für irgend zwei solcher demselben System angehöriger Paare die Summe aller $m_{i}$ so wie die Summe aller $q_{i}$ stets gerade ist, so hat man ferner den Satz:

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Die Berührungspunkte je zweier Paare, welche demselben System angehören, liegen auf einem Kegelschnitt. (ib., ib.)

Die Zahl der so erhaltenen Kegelschnitte ist bekanntlich gleich der der 63 Systeme, multiplicirt mit der Anzahl 15 der Combinationen von 6 Paaren zu zweien, und dividirt durch 3, da jede vier Tangenten, deren Berührungspunkte auf einem Kegelschnitt liegen, auf drei Arten in zwei Paare zerlegt werden können, also jeder Kegelschnitt dreimal vorkommt. So ist die Zahl dieser Kegelschnitte 315. Das obige Schema erlaubt sofort, die solchen Kegelschnitten entsprechenden Doppeltangenten zusammenzustellen.

Der allgemeinere Satz, dass die Berührungspunkte je zweier Kegelschnitte desselben Systems auf einem Kegelschnitt liegen (Hesse, l. c.), folgt aus §. 6.

Es giebt ferner nach §. 6 64 Systeme von Curven dritter Ordnung, welche die Curve vierter Ordnung in 6 Punkten berühren. Die den Berührungspunkten entsprechenden Integrale genügen dann immer den Gleichungen: \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{(6)} \equiv \frac{A_{k}}{2}. \tag{15.} \] Man übersieht nun, dass diese 64 Systeme sich sofort in zwei Classen sondern, je nachdem das System der $A$ zugleich bei den Doppeltangenten vorkommt oder nicht; je nachdem also $\Sigma mq \equiv 1$ (was 28 mal geschieht) oder $\Sigma mq \equiv 0$ (was auf 36 Arten geschehen kann). Hat man nämlich für irgend eine Doppeltangente \[ u_{k}^{(7)}+u_{k}^{(8)} \equiv \frac{A_{k}}{2}, \tag{16.} \] so folgt \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{(8)} \equiv 0, \] d. h. die Berührungspunkte der Curve dritter Ordnung liegen mit denen der Doppeltangente auf einem Kegelschnitt; während, wenn es für ein System der $A$ keine Gleichung wie (16.) giebt, auch die Berührungspunkte der Curve auf keinem Kegelschnitt liegen können, da die Gleichung (15.) dann eine passende Ergänzung nicht zulässt. Man hat also den Satz (Hesse, l. c.):

Von den 64 Systemen der Curven dritter Ordnung haben 28 die Eigenschaft, dass die 6 Berührungspunkte einer Curve auf einem Kegelschnitt liegen, und jeder Kegelschnitt geht dann noch immer durch die Berührungspunkte einer Doppeltangente, welche für dasselbe System constant bleibt. Die Berührungspunkte bei Curven der übrigen 36 Systeme liegen nicht in einem Kegelschnitt.

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Dagegen haben nach §. 6 beide Classen die gemeinsame Eigenschaft, dass die Berührungspunkte je zweier Curven desselben Systems auf einer Curve dritter Ordnung liegen. (Hesse, l. c.)

Zu diesen Systemen gehören auch die 4096 Curven dritter Ordnung, welche die Curve vierter Ordnung in drei Punkten vierpunktig berühren (§. 7). In der That folgt aus (10.) \[ 2\,(u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+u_{k}^{(3)}) \equiv \frac{A_{k}}{2}; \] jede Curve gehört also zu demjenigen System von Berührungscurven, dem das System der $A_{k}$ zukommt. Umgekehrt aber folgt aus dieser Gleichung \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+u_{k}^{(3)} \equiv \frac{A_{k}}{4}+\frac{A'_{k}}{2}, \] wo in $A_{k}$, $A'_{k}$ die Zahlen $m$, $q$ jetzt überall nur die Werthe 0 und 1 erhalten dürfen. Ist über die $A_{k}$ verfügt, so können die $A'_{k}$ noch auf 64 Arten gewählt werden; daher gehören in jedes der 64 Systeme von Berührungscurven dritter Ordnung 64 solche Curven, welche die Curve vierter Ordnung in drei Punkten vierpunktig berühren. Dies stimmt damit überein, dass nach §. 4 durch jede zwei Punkte einer Curve vierter Ordnung 64 Kegelschnitte gelegt werden können, welche dieselbe in drei Punkten berühren. Legt man diese Kegelschnitte durch die Berührungspunkte einer Doppeltangente, so sind die Berührungspunkte des Kegelschnitts zugleich diejenigen, in welchen eine Curve dritter Ordnung vierpunktig berühren kann. So erhält man die $28.64$ Berührungscurven, welche den erwähnten 28 Systemen angehören; aber man sieht, dass es noch $36.64$ solcher Berührungscurven giebt, in deren Berührungspunkten nicht zugleich ein Kegelschnitt die Curve vierter Ordnung berühren kann.

Ueberhaupt giebt es nach §. 5 je 63 Systeme von Curven $(2m)^{\text{ter}}$ Ordnung und je 64 Systeme von Curven $(2m+1)^{\text{ter}}$ Ordnung, welche die Curve vierter Ordnung zweipunktig berühren, wo sie derselben begegnen. Und diese letzteren 64 Systeme theilen sich immer in 28 und 36 so, dass die Berührungspunkte einer Curve aus einem der 28 Systeme immer mit den Berührungspunkten einer der 28 Doppeltangenten auf einer Curve $(m+1)^{\text{ter}}$ Ordnung liegen, während etwas Aehnliches bei den anderen 36 Systemen niemals stattfindet. Aber alle Systeme haben die Eigenschaft, dass die Berührungspunkte je zweier Curven desselben Systems auf einer Curve desselben Grades liegen.

Man kann von diesen Sätzen leicht zu einer genaueren Discussion derjenigen Fälle übergehen, in denen die Berührungspunkte von 6, 8 etc. Doppeltangenten

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auf einer Curve dritter, vierter etc. Ordnung liegen, worüber von Hesse und Steiner (Bd. 49 dieses Journals) Sätze gefunden sind. Ich übergehe diese Ausführungen, welche nach den entwickelten Principien durch blosse Abzählungen erhalten werden können.

Von Curven, welche die Curve vierter Ordnung mehrpunktig berühren, will ich wenigstens noch die der dritten Ordnung anführen. Aus §. 6 folgt der Satz:

Es giebt 728 Systeme von Curven dritter Ordnung, welche eine Curve vierter Ordnung in vier Punkten dreipunktig berühren.

Zwischen den Integralen bestehen hier die Gleichungen: \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+u_{k}^{(3)}+u_{k}^{(4)} \equiv \frac{A_{k}}{3}; \] das System der $A$ darf niemals verschwinden. Betrachtet man eine Curve, einem anderen System angehörig, für welches immer $2A_{k}$ an die Stelle von $A_{k}$ tritt, und addirt die einer solchen Curve entsprechenden Gleichungen zu den vorigen, so findet sich die Summe analoger Integrale immer der Null congruent. Man hat daher folgenden Satz, welcher (unter anderen) das Verhalten dieser Systeme charakterisirt:

Diese 728 Systeme theilen sich in 364 Paare zu zweien so, dass die Berührungspunkte jeder Curve des einen Systems mit denen jeder Curve des anderen Systems auf einem Kegelschnitt liegen.

Aehnliche Sätze kann man für die Berührungscurven dieser und anderer Ordnungen in Menge aufstellen.

§. 10.

Ueber einige Sätze von Steiner, die Curven vierter Ordnung betreffend.

Ich benutze diese Gelegenheit, um einige Sätze über Curven vierter Ordnung zu beweisen, welche Steiner (dieses Journal Bd. 49, p. 266 folgg.) angegeben hat, obwohl dieselben nicht in die Reihe der hier angestellten Betrachtungen gehören.

Nach Hesse (dieses Journal Band 49, p. 261) kommt die Aufstellung eines Berührungskegelschnitts darauf hinaus, der Gleichung der Curve die Form \[ uw - v^{2} = 0 \] zu geben, wo $u$, $v$, $w$ Ausdrücke der zweiten Ordnung sind. Alle Kegelschnitte, welche demselben der 63 Systeme angehören, sind dann in der Form enthalten \[ u + 2\lambda v + \lambda^{2} w = 0, \]

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und man findet die 6 in dem System vorkommenden Tangentenpaare durch eine Gleichung sechsten Grades in $\lambda$, indem man die Determinante dieses Kegelschnitts verschwinden lässt. Für den Schnittpunkt $x$ der Tangenten eines Paars müssen dann die Differentialquotienten \[ u_{i} + 2\lambda v_{i} + \lambda^{2} w_{i} \] verschwinden, und man findet nach einem bekannten Verfahren die Producte und Quadrate der Coordinaten $x$ den Unterdeterminanten des Kegelschnittes $u+2\lambda v+\lambda^{2}w = 0$ proportional. Diese Ausdrücke haben, wie man sofort sieht, die Form: \[ \varrho\, x_{i} x_{k} = p_{ik}+\lambda q_{ik}+\lambda^{2} r_{ik}+\lambda^{3} s_{ik}+\lambda^{4} t_{ik}, \] wo $\varrho$ einen willkürlichen Factor bedeutet, und wo die $p$, $q$, $\ldots$ nur noch von den Coefficienten der Curve abhängen. Bildet man daher die Determinante dieser sechs Gleichungen, indem man $\varrho$ und $\lambda$ eliminirt, so hat man eine Gleichung zweiten Grades für die $x$, welche von der gewählten Wurzel $\lambda$ ganz unabhängig ist. Und so hat man den von Steiner a. a. O. gegebenen Satz:

Die Doppelpunkte der 6 demselben System angehörigen Paare von Doppeltangenten liegen auf einem Kegelschnitt.

Da identisch \[ (uw-v^{2})(k-\lambda)^{2} = (u+2kv+k^{2}w)(u+2\lambda v+\lambda^{2}w)-(u+(k+\lambda)v+k\lambda w)^{2}, \] so ist \[ u+(k+\lambda)v+k\lambda w = 0, \] oder was dasselbe ist, jeder Kegelschnitt von der Form \[ \alpha u+\beta v+\gamma w = 0 \] ist ein solcher, welcher durch die Berührungspunkte zweier Kegelschnitte des Systems hindurchgeht. Lässt man denselben in ein Linienpaar $p$, $q$ zerfallen, d. h. setzt man: \[ \alpha u_{ik}+\beta v_{ik}+\gamma w_{ik} = p_{i} q_{k}+q_{i} p_{k}, \] so genügen die Coordinaten einer Geraden des Paars der Gleichung, welche durch Elimination von $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$ entsteht: \[ K = \begin{vmatrix} u_{11} & v_{11} & w_{11} & 2p_{1} & 0 & 0\\ u_{22} & v_{22} & w_{22} & 0 & 2p_{2} & 0\\ u_{33} & v_{33} & w_{33} & 0 & 0 & 2p_{3}\\ u_{23} & v_{23} & w_{23} & 0 & p_{3} & p_{2}\\ u_{31} & v_{31} & w_{31} & p_{3} & 0 & p_{1}\\ u_{12} & v_{12} & w_{12} & p_{2} & p_{1} & 0 \end{vmatrix} = 0. \]

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Die Doppelpunkte der Paare müssen zugleich den Gleichungen genügen: \[ \alpha u_{i}+\beta v_{i}+\gamma w_{i} = 0, \] oder, indem man $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ eliminirt, der Gleichung \[ G = \begin{vmatrix} u_{1} & v_{1} & w_{1}\\ u_{2} & v_{2} & w_{2}\\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{vmatrix} = 0. \] Man hat also den Satz:

Wenn man die vollständigen Vierecke construirt, deren Ecken die Berührungspunkte von Kegelschnitten desselben Systems sind, so bilden die Durchschnitte gegenüberliegender Seiten die Curve dritter Ordnung $G=0$, und die Seiten selbst umhüllen die Curve dritter Classe $K=0$.

Insbesondere folgen daraus die von Steiner a. a. O. gegebenen Sätze als specielle Fälle:

Auf der Curve $G=0$ liegen die Doppelpunkte der 6 dem System angehörigen Paare von Doppeltangenten, so wie die Schnittpunkte der Geraden, welche die Berührungspunkte jedes Paars kreuzweise verbinden.

Und:

Die Curve $K=0$ wird berührt von den sechs Paaren dem System angehöriger Doppeltangenten, so wie von den Geraden, welche die Berührungspunkte der Paare kreuzweise verbinden.

Lässt man in einem vollständigen Viereck 1, 2, 3, 4, dessen Ecken Berührungspunkte eines Kegelschnitts sein sollen, zwei, etwa 2 und 3 zusammenfallen, so fallen auch 5, 6 (siehe die Fig.) in denselben Punkt. Es gehören aber die Punkte 5, 6 der Curve $G=0$ an; diese schneidet also in dem betreffenden Punkte die gegebene Curve vierter Ordnung, indem erstere die Gerade 5, 6, letztere die Gerade 2, 3 zur Tangente hat. Die Schnittpunkte von $G=0$ mit der gegebenen Curve haben also die Eigenschaft, dass in ihnen ein Kegelschnitt die Curve vierpunktig berühren kann, der sie ausserdem noch (in 1 und 4) zweimal zweipunktig berührt. In jedem System giebt es demnach 12 Kegelschnitte dieser Art.

Line diagram of a degenerate complete quadrilateral: points 5 and 2, 3 near the top, with straight lines through them meeting at points labelled 6, 8, 4 in the interior and at 1 (lower left) and 7 (right), illustrating the harmonic system 1, 8, 4, 7. — Fig.

Da ferner die Punkte 1, 8, 4, 7 ein harmonisches System bilden, so bilden auch in den betrachteten Punkten die Tangente an die gegebene Curve, die Tangente an $G=0$, und die von der vierpunktigen Berührungsstelle nach

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den zweipunktigen gezogenen Geraden ein harmonisches System. — Der Punkt 7 gehört der Curve $G=0$ an; er wird hier der Durchschnitt der Tangente an der vierpunktigen Berührungsstelle mit der Sehne, welche die zweipunktigen Berührungsstellen verbindet.

Die Tangente 2, 3 an einer der vierpunktigen Berührungsstellen ist Tangente an $K=0$; ebenso die Geraden 2, 1; 3, 4, welche jene Stelle mit denen der zweipunktigen Berührung verbinden; da nun auch 3, 1; 2, 4 Tangenten dieser Curve sind, und diese mit den ebengenannten Geraden unendlich nahe zusammenfallen, so müssen 1, 4, die Stellen der zweipunktigen Berührung, als Schnittpunkte nächster Tangenten auf $K=0$ liegen. Diese Curve ist von der sechsten Ordnung; die 24 in einem System vorkommenden Punkte 1, 4 stellen also das vollständige Schnittsystem der Curve $K=0$ mit der gegebenen Curve vor. So sind die folgenden von Steiner gegebenen Sätze bewiesen:

Es giebt $63.12 = 756$ Kegelschnitte, welche eine gegebene Curve vierter Ordnung in einem Punkte $a$ vierpunktig, und ausserdem noch in zwei anderen, $b$, $c$, zweipunktig berühren.

Die Punkte $a$ sind in jedem System die 12 Durchschnitte von $G=0$ mit der gegebenen Curve; auf $G=0$ liegen auch $b$, $c$ und der Schnittpunkt der Tangente der gegebenen Curve im Punkte $a$ mit der Sehne $b$, $c$.

In jedem Punkte $a$ bilden die nach $b$, $c$ gezogenen Geraden mit den Tangenten der gegebenen Curve und der Curve $G=0$ ein harmonisches System.

Die Tangente in $a$, sowie die drei Geraden $ab$, $ac$, $bc$ berühren die Curve $K=0$, und zwar $ab$, $ac$ in $b$ und $c$ selbst, so dass die Punkte $b$, $c$ in jedem System den vollständigen Durchschnitt von $K=0$ mit der gegebenen Curve darstellen.

Steiner entwickelt endlich Zusammenhänge zwischen den Curven $G=0$, $K=0$. Die Beziehung, in welcher diese Curven zu einander stehen, kann man folgendermassen erkennen.

Betrachten wir statt der Functionen $u$, $v$, $w$ irgend welche lineare Verbindungen derselben \[ \begin{aligned} U_{1} &= a_{1} u+b_{1} v+c_{1} w,\\ U_{2} &= a_{2} u+b_{2} v+c_{2} w,\\ U_{3} &= a_{3} u+b_{3} v+c_{3} w. \end{aligned} \]

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Diese drei neuen Functionen können immer so bestimmt werden, dass sie die partiellen Differentialquotienten einer Function dritter Ordnung nach $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ sind. Hierzu ist nöthig, dass folgende identische Gleichungen bestehen: \[ \begin{aligned} a_{2} u_{3}+b_{2} v_{3}+c_{2} w_{3} &= a_{3} u_{2}+b_{3} v_{2}+c_{3} w_{2},\\ a_{3} u_{1}+b_{3} v_{1}+c_{3} w_{1} &= a_{1} u_{3}+b_{1} v_{3}+c_{1} w_{3},\\ a_{1} u_{2}+b_{1} v_{2}+c_{1} w_{2} &= a_{2} u_{1}+b_{2} v_{1}+c_{2} w_{1}. \end{aligned} \] Diese Gleichungen sind für die $x$ linear; setzt man also die Coefficienten auf beiden Seiten einander gleich, so findet man 9 lineare Gleichungen, welche in Bezug auf die gesuchten Grössen $a$, $b$, $c$ homogen sind. Dennoch sind sie erfüllbar; denn man bemerkt sofort, dass ihre Determinante eine überschlagene ist, und demnach, weil von ungeradem Grade, identisch verschwindet.

Nun ändern sich offenbar die Ausdrücke $G$ und $K$ keineswegs, wenn man bei der Bildung derselben statt $u$, $v$, $w$ irgend welche lineare Verbindungen derselben zu Grunde legt, z. B. die eben gefundenen partiellen Differentialquotienten einer homogenen Function $f$ dritter Ordnung. Dann aber hat man, bis auf einen Zahlenfactor: \[ G = \Delta_{f}, \qquad K = S_{f}, \] wo $\Delta_{f}$ die Covariante dritter Ordnung, $S_{f}$ die erste zugehörige Form dritter Classe von $f$ bedeutet. Aus der bekannten Rolle, welche die Curven $\Delta_{f}=0$, $S_{f}=0$ in der Theorie der Curven dritter Ordnung spielen, folgen daher unmittelbar die von Steiner angegebenen Beziehungen. Die Curven $\Delta_{f}=0$, $S_{f}=0$ sind dieselben, welche Herr Cremona in seiner „Introduzione ad una teoria geometrica della curve piane“ als Hessesche und Cayleysche Curve bezeichnet hat. Von diesen gelten folgende Sätze:

Die zu den Wendepunkten der Hesseschen Curve gehörigen harmonischen Polaren sind die Rückkehrtangenten der Cayleyschen Curve. (Hesse, dieses Journal Bd. 38, p. 252.)

Die zu den Rückkehrtangenten der Cayleyschen Curve gehörigen harmonischen Punkte sind die Wendepunkte der Hesseschen Curve. (ib.)

Die Wendetangenten von $u=0$ berühren die Hessesche und die Cayleysche Curve in denselben 9 Punkten. (Cremona, l. c. p. 116.)

Jede Tangente der Cayleyschen Curve schneidet die Hessesche Curve in zwei Punkten, deren Tangenten sich auf der Hesseschen Curve treffen, und in einem dritten Punkt, der mit dem Berührungspunkt auf der Cayleyschen Curve und mit den anderen beiden Schnittpunkten ein harmonisches System bildet. (ib.)

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Von jedem Punkte der Hesseschen Curve gehen an die Cayleysche drei Tangenten; die Verbindungslinie der Berührungspunkte zweier ist Tangente der Cayleyschen Curve; die dritte bildet mit der im Ausgangspunkt an die Hessesche Curve gezogenen Tangente und mit den ersten beiden Tangenten ein harmonisches System. (ib.)

Die blosse Anwendung dieser Sätze giebt die folgenden, von Steiner gegebenen Resultate:

Aus jedem Wendepunkte $w$ der Curve $G=0$ gehen drei Tangenten $Q$, $Q_{1}$, $Q_{2}$ an die Curve, welche in $q$, $q_{1}$, $q_{2}$ berühren. Die letzteren drei Punkte liegen auf einer Rückkehrtangente $R$ der Curve $K=0$. Diese schneidet $K=0$ ausser $q$ und ausser dem Rückkehrpunkt $r$ in zwei Punkten $q'$, $q''$, deren Tangenten $Q'$, $Q''$ sich ebenfalls in $w$ schneiden. Die Punkte $r$, $q$, $q_{1}$, $q_{2}$ bilden ein harmonisches System, die Tangenten $Q$, $Q'$, $Q''$ mit der in $w$ gezogenen Wendetangente ein zweites.

§. 11.

Ueber den Zusammenhang der Curven doppelter Krümmung mit Abelschen Functionen.

Im Vorigen sind nur ebene Curven behandelt worden. Ich werde jetzt zeigen, wie ähnliche Principien sich für die Behandlung der Curven doppelter Krümmung aufstellen lassen.

Betrachten wir den Durchschnitt zweier algebraischen Flächen. Die eine derselben, $u=0$, sei $m^{\text{ter}}$ Ordnung, die andere, $v=0$, $n^{\text{ter}}$ Ordnung. Die Durchschnittscurve können wir mit zwei Ebenenbüscheln, deren Axen beliebig im Raume liegen, so in Zusammenhang bringen, dass zwei entsprechende Ebenen beider Büschel sich auf der Curve durchschneiden. Sind nämlich die Gleichungen der Büschel \[ \left\{ \begin{aligned} (a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}+a_{4} x_{4})+z\,(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}+b_{4} x_{4}) &= 0,\\ (\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\alpha_{3} x_{3}+\alpha_{4} x_{4})+s\,(\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\beta_{3} x_{3}+\beta_{4} x_{4}) &= 0, \end{aligned} \right. \tag{17.} \] so führt die Elimination der $x$ aus diesen Gleichungen und aus $u=0$, $v=0$ auf eine Gleichung \[ F(s,z) = 0, \tag{18.} \] welche das gegenseitige Abhängigkeitsverhältniss der Parameter der Büschel ausdrückt.

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Diese Gleichung ist sowohl für $s$ als für $z$ vom Grade $m+n$. Aber sie ist nicht unter allen Umständen irreductibel, sondern zerfällt, wenn die Oberflächen $u=0$, $v=0$ besondere Lagen gegen einander haben, von selbst in Factoren. Sei nämlich ein Theil der Schnittcurve zugleich als Theil des Durchschnitts zweier Flächen $u'=0$, $v'=0$ darstellbar, welche von niedrigerem Grade als $u=0$, $v=0$ sind; sei der zugefügte Theil $a'$ mit einem andern $a''$ zusammen die Schnittcurve zweier Flächen $u''=0$, $v''=0$, welche wieder von niedrigerem Grade sind, u. s. w., bis endlich ein Curventheil $a^{(\mu-1)}$ mit einer Curve $a^{(\mu)}$ zusammen der Durchschnitt zweier Flächen $u^{(\mu)}=0$, $v^{(\mu)}=0$ ist, und $a^{(\mu)}$ sich als der vollständige Schnitt zweier Flächen von niedrigerem Grade darstellen lässt. So giebt es unzählige Oberflächenpaare deren Durchschnitt in eine andere Curve und in eine Raumcurve dritter Ordnung zerfällt; diese ist zusammen mit einer geraden Linie als Durchschnitt zweier Flächen zweiter Ordnung darstellbar, und die hinzugefügte Gerade endlich bildet den vollständigen Durchschnitt zweier Ebenen. Denken wir uns nun für alle diese Schnittcurven der Reihe nach die der Gleichung (18.) entsprechenden Gleichungen gebildet; \[ F(s,z)=0, \qquad F^{(1)}(s,z)=0, \qquad \ldots \qquad F^{(\mu+1)}(s,z)=0, \] so müssen folgende Gleichungen bestehen, in welchen die $\varphi$ ganze Functionen bedeuten: \[ \begin{aligned} F^{(\mu)}(s,z) &= \varphi^{(\mu)}(s,z).F^{(\mu+1)}(s,z),\\ F^{(\mu-1)}(s,z) &= \varphi^{(\mu-1)}(s,z).\varphi^{(\mu)}(s,z),\\ F^{(\mu-2)}(s,z) &= \varphi^{(\mu-2)}(s,z).\varphi^{(\mu-1)}(s,z), \end{aligned} \] \[ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \] \[ F(s,z) = \varphi(s,z).\varphi^{(1)}(s,z). \] In diesem Falle ist also die Gleichung $F(s,z)=0$ reductibel, und man kann sie als dass Product zweier, oder allgemein zu reden, mehrerer irreductibler Factoren auffassen. Jeder Zweig einer Raumcurve, welcher einem solchen Factor entspricht, kann als algebraisch definirte einfache Raumcurve gelten. Ihre Ordnung ist die Ordnung von $s$ und $z$ in dem entsprechenden Factor; Ordnungen, welche immer gleich sein werden, wie aus dem eben angeführten Schema folgt, da nach dem früheren $s$ und $z$ in allen Functionen $F$ zu gleichen Ordnungen vorkommen.

Jede solche einfache Raumcurve begründet nun eine Classe von Abelschen Functionen. Sei $k$ die Ordnung der Curve, $\varphi(s,z)=0$ die ihr entsprechende Gleichung.

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Die Zahl $p$, welche die zugehörigen Abelschen Functionen charakterisirt, ist dann nach §. 1. gleich $\tfrac{1}{2}\mathrm{w}-(k-1)$, wo $\mathrm{w}$ die Anzahl derjenigen Werthsysteme $s$, $z$ bedeutet, für welche $\varphi'(s)=0$, ohne dass $\varphi'(z)=0$.

Ist $\varphi'(s)=0$, so bedeutet dieses, dass die Gleichung $\varphi=0$ zwei gleiche Wurzeln $s$ hat. Der zugehörige Werth von $z$ bestimmt eine Ebene des ersten Büschels (17.), welcher die Curve in $k$ Punkten schneidet; von diesen müssen zwei zusammenfallen, damit von den zugehörigen Ebenen des Büschels $s$ zwei identisch werden. Es können nun hiebei folgende Fälle eintreten. Entweder ist die betreffende Ebene des Büschels $z$ Tangentenebene der Curve; oder die Ebene $s$ schneidet sich mit der Ebene $z$ in einer Geraden, welche die Curve in zwei verschiedenen Punkten trifft; oder endlich die Curve hat einen Doppelpunkt, was eine Berührung der gegebenen Oberflächen oder einen Knotenpunkt in einer von beiden anzeigt. In den beiden letzten Fällen gehört ebensowohl ein Doppelwerth von $s$ zu einem Werthe von $z$, als umgekehrt ein Doppelwerth von $z$ zu einem Werthe von $s$; in beiden Fällen müssen also sowohl $\varphi'(s)$ als $\varphi'(z)$ verschwinden. Schliessen wir nur diejenigen Fälle aus, in denen der Doppelpunkt in einen Rückkehrpunkt übergeht und also auch noch $\varphi''(ss)\,\varphi''(zz)-\varphi''(sz)^{2}=0$.

Die Zahl $\mathrm{w}$ bedeutet also offenbar den Rang der Curve, d. h. die Zahl derjenigen Tangenten der Curve, welche eine gegebene Gerade treffen. So oft nämlich die Axe des Büschels $s$ von einer Tangente der Curve getroffen wird, ist eine Ebene des Büschels Tangentenebene der Curve, und also für dieselbe $\varphi'(s)=0$, ohne dass $\varphi'(z)$ verschwindet. Nach Herrn Salmon (Geometry of three dimensions p. 237) bestimmt sich diese Zahl aus der Formel \[ \mathrm{w} = k(k-1)-2d, \] wo $d$ die Anzahl der von einem Punkte ausgehenden Strahlen bedeutet, welche der Curve zweimal begegnen, mag diese zweifache Begegnung nun, wie bei einem Doppelpunkte, in demselben, oder mag sie in verschiedenen Punkten stattfinden.

So hat man also endlich \[ p = \frac{(k-1)(k-2)}{2}-d \] für die charakteristische Zahl der der Curve zugehörigen Abelschen Functionen.

Ich werde im Folgenden voraussetzen, dass die betrachtete Curve der vollständige und nicht in Theile zerlegbare Durchschnitt zweier Oberflächen

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sei, welche sich nicht berühren; dass die Curve keinerlei Rückkehrpunkte und Doppelpunkte besitze ${}^{*)}$. In diesem Falle wird die Ordnung der Curve $=mn$, und nach Herrn Salmon (l. c. p. 249) der Rang derselben \[ \mathrm{w} = mn\,(m+n-2), \] also \[ p = \frac{mn\,(m+n-4)}{2}+1; \] eine Zahl welche, übereinstimmend mit dem Früheren, für $m=1$ in $\dfrac{n-1.n-2}{2}$ übergeht.

Es ist leicht, die $p$ überall endlichen Integrale zu bilden, welche diesem Falle entsprechen. Aus den Gleichungen \[ \begin{aligned} u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+u_{3} x_{3}+u_{4} x_{4} &= 0,\\ v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}+v_{3} x_{3}+v_{4} x_{4} &= 0,\\ u_{1}\,dx_{1}+u_{2}\,dx_{2}+u_{3}\,dx_{3}+u_{4}\,dx_{4} &= 0,\\ v_{1}\,dx_{1}+v_{2}\,dx_{2}+v_{3}\,dx_{3}+v_{4}\,dx_{4} &= 0 \end{aligned} \qquad \left(u_{i} = \frac{\partial u}{\partial x_{i}}, \quad v_{i} = \frac{\partial v}{\partial x_{i}}\right) \] ergeben sich folgende, in denen $d\mu$ einen unbestimmten Factor bedeutet: \[ \begin{aligned} x_{1}\,dx_{2}-x_{2}\,dx_{1} &= (u_{3} v_{4}-u_{4} v_{3})\,d\mu, & x_{2}\,dx_{3}-x_{3}\,dx_{2} &= (u_{1} v_{4}-u_{4} v_{1})\,d\mu,\\ x_{1}\,dx_{3}-x_{3}\,dx_{1} &= (u_{4} v_{2}-u_{2} v_{4})\,d\mu, & x_{3}\,dx_{4}-x_{4}\,dx_{3} &= (u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1})\,d\mu,\\ x_{1}\,dx_{4}-x_{4}\,dx_{1} &= (u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2})\,d\mu, & x_{4}\,dx_{2}-x_{2}\,dx_{4} &= (u_{1} v_{3}-u_{3} v_{1})\,d\mu. \end{aligned} \] Bezeichnen also $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$ ganz beliebige Grössen, so ist der Ausdruck \[ \frac{\Sigma \pm a_{1} b_{2} x_{3}\,dx_{4}}{\Sigma a_{i} u_{i}.\Sigma b_{i} v_{i} - \Sigma a_{i} v_{i}.\Sigma b_{i} u_{i}} = d\mu, \] demnach von den Werthen dieser Grössen völlig unabhängig. Derselbe ist von der $-(m+n-4)^{\text{ten}}$ Dimension; das Integral \[ \Psi = \int \frac{\Theta.\Sigma \pm a_{1} b_{2} x_{3}\,dx_{4}}{\Sigma a_{i} u_{i}.\Sigma b_{i} v_{i} - \Sigma a_{i} v_{i}.\Sigma b_{i} u_{i}} \] lässt sich also mit Hülfe von $u=0$, $v=0$ als das Integral eines Differentialausdrucks mit einer einzigen Variablen darstellen, sobald $\Theta$ eine homogene Function der Ordnung $(m+n-4)$ ist. Unter den gemachten Voraussetzungen bleibt dieses

*) Eine solche Curve soll bisweilen der Kürze wegen eine Curve $mn^{\text{ter}}$ Ordnung genannt werden. Die Natur der Curve hängt dann nicht blos von der Ordnungszahl, sondern auch von ihrer Zerlegung ab, d. h. von den Ordnungen der Flächen, welche sich in ihr durchschneiden.

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Integral auch überall endlich, und es ist nur noch nöthig sich zu überzeugen, ob wirklich $p$ Integrale durch verschiedene Annahme von $\Theta$ erhalten werden. Bemerken wir hiezu, dass $\Theta$ mit Hülfe der Gleichungen $u=0$, $v=0$ umgeformt werden kann, ohne dass das Integral sich ändert. Man kann also, wenn $U$, $V$ zwei Functionen $(m-4)^{\text{ter}}$ und $(n-4)^{\text{ter}}$ Ordnung bedeuten, statt $\Theta$ die Function \[ \Theta+Uu+Vv \] setzen, und die Constanten von $U$, $V$ so bestimmen, dass ebensoviel Constante in $\Theta$ verschwinden. Demnach ist die Zahl der in $\Theta$ enthaltenen willkürlichen Constanten noch \[ \begin{aligned} &\tfrac{1}{6}\{(m+n-1)(m+n-2)(m+n-3)-(m-1)(m-2)(m-3)-(n-1)(n-2)(n-3)\}\\ &\qquad = \frac{mn\,(m+n-4)}{2}+1 = p. \end{aligned} \] Man erhält also wirklich weder mehr noch weniger als $p$ unabhängige, überall endliche Integrale, indem man diesen Constanten alle möglichen Werthe beilegt.

§. 12.

Der Abelsche Satz auf den Schnitt algebraischer Flächen angewandt.

Es sei nun $w=0$ eine Oberfläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung. Betrachten wir den Ausdruck $\Sigma\Psi$ ausgedehnt über alle Schnittpunkte der Fläche $w=0$ mit der gegebenen Curve. Führen wir bei der Integration wieder die Coefficienten einer Function $w$ durch die Gleichung $w=0$ als Variable ein, so dass erst in den oberen Grenzen $w$ in die gegebene Fläche übergehe. Bezeichnen wir durch $\delta w$, was aus $w$ durch Variation der Coefficienten entsteht, so ist \[ \Sigma w_{i}\,dx_{i} = -\delta w. \]

Multipliciren wir also unter dem Integralzeichen von $\Psi$ mit der Determinante \[ \Sigma \pm c_{1} u_{2} v_{3} w_{4}, \] so erhalten wir im Zähler: \[ \Sigma \pm a_{1} b_{2} x_{3}\,dx_{4}.\Sigma \pm c_{1} u_{2} v_{3} w_{4} = \begin{vmatrix} \Sigma a_{i} c_{i} & \Sigma b_{i} c_{i} & \Sigma c_{i} x_{i} & \Sigma c_{i}\,dx_{i}\\ \Sigma a_{i} u_{i} & \Sigma b_{i} u_{i} & 0 & 0\\ \Sigma a_{i} v_{i} & \Sigma b_{i} v_{i} & 0 & 0\\ \Sigma a_{i} w_{i} & \Sigma b_{i} w_{i} & 0 & -\delta w \end{vmatrix} \] \[ = -\delta w.\Sigma c_{i} x_{i}.\{\Sigma a_{i} u_{i} \Sigma b_{i} v_{i} - \Sigma b_{i} u_{i} \Sigma a_{i} v_{i}\}, \]

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also \[ \Psi = -\int \frac{\Theta.\Sigma c_{i}x_{i}.\delta w}{\Sigma\pm c_{1}u_{2}v_{3}w_{4}}. \] Bilden wir nun die Summe solcher Ausdrücke, über die betrachteten Schnittpunkte ausgedehnt: \[ \Sigma\Psi = -\int\Sigma\,\frac{\Theta.\Sigma c_{i}x_{i}.\delta w}{\Sigma\pm c_{1}u_{2}v_{3}w_{4}}, \tag{19.} \] und setzen wir über $\Theta$ nur voraus, dass es eine homogene Function $m+n-4^{\text{ter}}$ Ordnung sei, so ist mit der Variation jedes Coefficienten von $w$ nur eine rationale symmetrische Function der Coordinaten aller Schnittpunkte multiplicirt, welche sich durch die Coefficienten von $w$ rational ausdrücken lässt. Die Ausführung der Integration kann also nur auf rationale und logarithmische Functionen der Coefficienten von $w$ führen. Und so hat man folgenden Satz:

Wenn man die Schnittcurve zweier Flächen $u=0$, $v=0$ $m^{\text{ter}}$ und $n^{\text{ter}}$ Ordnung durch eine Oberfläche $w=0$ schneidet, und wenn $\Theta$ eine homogene rationale Function $(m+n-4)^{\text{ter}}$ Ordnung ist, so wird die Summe der Integrale \[ \int \frac{\Theta.\Sigma\pm a_{i}b_{i}x_{i}\,dx_{i}}{\Sigma a_{i}u_{i}.\Sigma b_{i}v_{i} - \Sigma b_{i}u_{i}.\Sigma a_{i}v_{i}}, \] ausgedehnt über alle Schnittpunkte der Curve mit $w=0$, ein Aggregat rationaler und logarithmischer Functionen der Coefficienten von $w$.Editorial note: The numerator of the displayed integral is printed with one index throughout, $\Sigma\pm a_{i}b_{i}x_{i}\,dx_{i}$. The same sum is set $\Sigma\pm a_{1}b_{2}x_{3}\,dx_{4}$ on pp. 221 and 222, and again in the very next theorem; the alternating sum requires four distinct indices. Kept as printed.

Man kann indess, wie im folgenden §. geschehen soll, nachweisen, dass, wenn $\Theta$ eine ganze Function $(m+n-4)^{\text{ter}}$ Ordnung ist, in der Gleichung (19.) der unter dem Integralzeichen stehende Ausdruck verschwindet, indem überhaupt die Summe der Ausdrücke \[ \frac{F.\Sigma c_{i}x_{i}}{\Sigma\pm c_{1}u_{2}v_{3}w_{4}}, \] wo $F$ eine homogene Function $(m+n+k-4)^{\text{ter}}$ Ordnung ist, verschwindet, wenn man sie über die Schnittpunkte der Flächen $u=0$, $v=0$, $w=0$ ausdehnt. Dann wird $\Sigma\Psi$ eine Constante, und man erhält den Satz:

Die Summe der Integrale \[ \int \frac{\Theta.\Sigma\pm a_{1}b_{2}x_{3}\,dx_{4}}{\Sigma a_{i}u_{i}.\Sigma b_{i}v_{i} - \Sigma a_{i}v_{i}.\Sigma b_{i}u_{i}}, \] wo $\Theta$ eine ganze Function $(m+n-4)^{\text{ter}}$ Ordnung ist, wird einer Constanten gleich, wenn man die Summe ausdehnt über alle Schnittpunkte der Flächen $m^{\text{ter}}$, $n^{\text{ter}}$ und $k^{\text{ter}}$ Ordnung $u=0$, $v=0$, $w=0$.

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Diese Sätze sind specielle Fälle des folgenden, welcher für eine beliebige Anzahl von Variabeln ausgesprochen ist:

Die Variabeln $x_{1}$, $x_{2}$ … $x_{r}$ seien mit einander in Verbindung gesetzt durch die Gleichungen \[ u_{1}=0, \quad u_{2}=0, \quad \ldots \quad u_{r-2}=0, \] welche in Bezug auf jene homogen und von der Ordnung $m_{1}$, $m_{2}$, … $m_{r-2}$ sein sollen. Wählen wir nun ganz beliebig irgend $r(r-2)$ Grössen \[ \begin{matrix} a_{1}^{(1)}, & a_{2}^{(1)}, & \ldots & a_{r}^{(1)},\\ a_{1}^{(2)}, & a_{2}^{(2)}, & \ldots & a_{r}^{(2)},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot & \cdot\quad\cdot\quad\cdot & \cdot\quad\cdot & \cdot\quad\cdot\\ a_{1}^{(r-2)}, & a_{2}^{(r-2)}, & \ldots & a_{r}^{(r-2)}, \end{matrix} \] und bezeichnen durch $\alpha_{k}^{(i)}$ den Ausdruck \[ \alpha_{k}^{(i)} = a_{1}^{(i)}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{1}} + a_{2}^{(i)}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{2}}\cdots + a_{r}^{(i)}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{r}}, \] ist endlich $\Theta$ eine homogene Function $(m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r-2}-r)^{\text{ter}}$ Ordnung, so ist die Summe der Integrale \[ \int \frac{\Theta.\Sigma\pm a_{1}^{(1)}a_{2}^{(2)}\ldots a_{r-2}^{(r-2)}x_{r-1}\,dx_{r}}{\Sigma\pm\alpha_{1}^{(1)}\alpha_{2}^{(2)}\ldots\alpha_{r}^{(r)}}, \] ausgedehnt über alle Werthsysteme, welche die gegebenen Gleichungen zusammen mit einer $(r-1)^{\text{ten}}$ Gleichung $u=0$ bestimmen, aus algebraischen und logarithmischen Functionen der Coefficienten der letzten Gleichung zusammengesetzt, und ist insbesondere constant, wenn $\Theta$ eine ganze Function ist.

§. 13.

Erweiterung eines von Jacobi aufgestellten algebraischen Satzes.

Den oben angewandten Hülfssatz kann man nun für beliebig viel Variable, den von Jacobi (dieses Journal Bd. 14, pag. 281.) geführten Beweis erweiternd, folgendermassen ableiten.

Es seien $s$ Gleichungen \[ u^{(1)}=0, \quad u^{(2)}=0, \quad \ldots \quad u^{(s)}=0 \] gegeben, welche die Unbekannten $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$, nicht homogen, enthalten. Die Anzahl der allen gemeinsamen Lösungen ist $\mu$. Man kann diese Lösungen finden, indem man alle Unbekannte bis auf eine eliminirt, und dann eine

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Gleichung $\mu^{\text{ten}}$ Grades auflöst. Je nachdem $x_{1}$, $x_{2}$ … $x_{s}$ die beibehaltene Unbekannte ist, mögen diese Endgleichungen $\mu^{\text{ten}}$ Grades durch \[ X_{1}=0, \quad X_{2}=0, \quad \ldots \quad X_{s}=0 \] bezeichnet sein. Man kann dann identisch setzen: \[ \left\{ \begin{aligned} M_{1}^{(1)}u^{(1)}+M_{1}^{(2)}u^{(2)}+\cdots+M_{1}^{(s)}u^{(s)} &= X_{1},\\ M_{2}^{(1)}u^{(1)}+M_{2}^{(2)}u^{(2)}+\cdots+M_{2}^{(s)}u^{(s)} &= X_{2},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ M_{s}^{(1)}u^{(1)}+M_{s}^{(2)}u^{(2)}+\cdots+M_{s}^{(s)}u^{(s)} &= X_{s}; \end{aligned} \right. \tag{20.} \] und zwar ist dabei, wenn $m^{(i)}$ den Grad von $u^{(i)}$ bezeichnet, $M_{k}^{(i)}$ von der Ordnung $\mu-m^{(i)}$. Setzen wir nun in diesen Gleichungen für die $x$ Werthe, welche zwar einzeln den Gleichungen $X_{1}=0$, $X_{2}=0$, … $X_{s}=0$ genügen, aber kein zusammengehöriges, den gegebenen Gleichungen genügendes Werthsystem bilden, so verschwinden in (20.) die linken Seiten, nicht aber die $u$, und es muss also die Determinante der $M$ verschwinden.

Differentiiren wir nun die Gleichungen (20.) nach den verschiedenen $x$, und setzen sodann zusammengehörige Werthsysteme ein. Aus der Differentiation der $i^{\text{ten}}$ Gleichung erhalten wir das SystemEditorial note: The second row of the system below is printed with a roman $d$ in its last denominator, $\partial u^{(s)}/dx_{2}$. Every other denominator in the system has $\partial$, and a partial derivative is what the differentiation requires. Kept as printed. \[ \begin{aligned} M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{1}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{1}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{\partial x_{1}} &= 0,\\ M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{2}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{2}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{dx_{2}} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{i}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{i}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{\partial x_{i}} &= \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{s}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{s}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{\partial x_{s}} &= 0, \end{aligned} \] und, wenn $R$ die Functionaldeterminante der $u$ ist, durch Auflösung: \[ R.M_{i}^{(h)} = \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}.\frac{\partial R}{\partial\dfrac{\partial u^{(h)}}{\partial x_{i}}}. \] Bildet man also jetzt die Determinante $\Delta$ der $M$ für ein solches zusammengehöriges System der $x$, so findet sich: \[ \Delta = \frac{1}{R}.\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}.\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}\ldots\frac{\partial X_{s}}{\partial x_{s}}. \tag{21.} \]

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Inzwischen hat man nach den gewöhnlichen Regeln der Partialbruchzerlegung: \[ \frac{\Delta}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}} = \Sigma\left(\frac{\Delta}{\dfrac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}\dfrac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}\ldots\dfrac{\partial X_{s}}{\partial x_{s}}}\right).\frac{1}{x_{1}-x'_{1}.x_{2}-x'_{2}\ldots x_{s}-x'_{s}}, \] wo $x'_{1}$, $x'_{2}$, … $x'_{s}$ irgend welche Wurzeln von $X_{1}=0$, $X_{2}=0$, … $X_{s}=0$ bedeuten, welche in dem eingeklammerten Ausdruck für $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$ zu setzen sind, und wo die Summe sich auf alle möglichen Combinationen dieser Wurzeln bezieht. Nun ist nach dem Vorigen der eingeklammerte Ausdruck 0 oder gleich dem entsprechenden Werth von $\dfrac{1}{R}$, jenachdem die $x'$ ein zusammengehöriges System bilden oder nicht.Editorial note: Printed so. By equation (21.) and by the argument just above it, the bracketed expression equals $1/R$ when the $x'$ DO form a system belonging together and 0 when they do not, so the two alternatives are paired the wrong way round. Kept as printed. Bezeichnen wir also die zusammengehörigen Systeme durch obere Indices 1, 2, … $\mu$, so hat man \[ \frac{\Delta}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}} = \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\,\frac{1}{R^{(h)}.x_{1}-x_{1}^{(h)}.x_{2}-x_{2}^{(h)}\ldots x_{s}-x_{s}^{(h)}}. \tag{22.} \] Die Formel kann, entsprechend einer Bemerkung von Jacobi, dazu angewandt werden, die Werthe der Summen \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\left(x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\ldots x_{s}^{\alpha_{s}}\right)^{h} \] zu bestimmen, wo keiner der Exponenten $\alpha$ verschwindet. Multipliciren wir nämlich (22.) mit irgend einer Function $\Omega$ von $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$. Der Werth von $\Omega$ für das $h^{\text{te}}$ zusammengehörige System sei $\Omega^{(h)}$; man hat dann \[ \Omega = \Omega^{(h)}+A_{1}(x_{1}-x_{1}^{(h)})+A_{2}(x_{2}-x_{2}^{(h)})\ldots. \] Beschränkt man sich also auf diejenigen Terme, welche nach absteigenden Potenzen der $x$ entwickelt, negative Potenzen sämmtlicher $x$ enthalten, so kann man rechts in (22.) unter dem Summenzeichen $\Omega^{(h)}$ statt $\Omega$ setzen. Und setzt man endlich $\Omega=R$, so findet man, dass die Entwicklung von $\dfrac{\Delta R}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}}$ mit der Entwicklung der Summe \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\,\frac{1}{x_{1}-x_{1}^{(h)}.x_{2}-x_{2}^{(h)}\ldots x_{s}-x_{s}^{(h)}} \] in allen denjenigen Termen übereinstimmt, welche negative Potenzen sämmtlicher $x$ enthalten; dass also \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\left(x_{1}^{(h)}\right)^{\alpha_{1}}.\left(x_{2}^{(h)}\right)^{\alpha_{2}}\ldots\left(x_{s}^{(h)}\right)^{\alpha_{s}} \] gleich dem Coefficienten von $x_{1}^{-\alpha_{1}-1}.x_{2}^{-\alpha_{2}-1}\ldots x_{s}^{-\alpha_{s}-1}$ in der Entwicklung von $\dfrac{\Delta R}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}}$ ist, sobald keines der $\alpha$ verschwindet.

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In der Formel (22.) ist $\Delta$ von der Ordnung \[ s\mu-m^{(1)}-m^{(2)}-\cdots-m^{(s)}, \] während der Nenner $X_{1}X_{2}\ldots X_{s}$ von der Ordnung $s\mu$ ist. Entwickelt man also in (22.) rechts nach absteigenden Potenzen der $x$, so verschwinden die Summen der Coefficienten von $x_{1}^{-\alpha_{1}-1}.x_{2}^{-\alpha_{2}-1}\ldots x_{s}^{-\alpha_{s}-1}$, d. h. die Summen \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\,\frac{\left(x_{1}^{(h)}\right)^{\alpha_{1}}.\left(x_{2}^{(h)}\right)^{\alpha_{2}}\ldots\left(x_{s}^{(h)}\right)^{\alpha_{s}}}{R^{(h)}}, \] sobald $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s}<m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s$. Und man hat also den Satz:

Ist $R$ die Functionaldeterminante der $s$ Functionen $m^{(1)\text{ten}}$, $m^{(2)\text{ten}}$, … $m^{(s)\text{ten}}$ Grades $u^{(1)}$, $u^{(2)}$, … $u^{(s)}$ nach den Variabeln $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$, und ist $F$ irgend eine Function der $x$, welche den Grad $m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s-1$ nicht übersteigt, so verschwindet die Summe der Werthe von $\dfrac{F}{R}$, genommen für alle Werthsysteme der $x$, welche den Gleichungen \[ u^{(1)}=0,\qquad u^{(2)}=0,\qquad \ldots\qquad u^{(s)}=0 \] genügen${}^{*)}$.

Lassen wir endlich $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$ übergehen in $\dfrac{y_{1}}{y}$, $\dfrac{y_{2}}{y}$, … $\dfrac{y_{s}}{y}$, und die $u$ in homogene Functionen $v$ dieser $s+1$ Variablen, dividirt durch die entsprechenden Potenzen von $y$. Ist dann $D$ die Functionaldeterminante der $v$ nach $y_{1}$, $y_{2}$, … $y_{s}$, so hat man auch \[ R = \frac{D}{y^{m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s}}; \] und da auch $F$ in eine homogene Function $\Phi$ dividirt durch $y^{m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s-1}$ übergeht, so erhält man die Formel \[ 0 = \Sigma\,\frac{\Phi.y}{D}. \] Weil nun die Gleichungen bestehen:Editorial note: Rows 2 and 3 below are printed with the coefficient $y_{2}$ on the second term. Euler's relation for a homogeneous function, of which row 1 is the pattern, pairs $y_{1}$ with $\partial v/\partial y_{1}$, so $y_{1}$ is what the argument requires. Kept as printed. \[ \begin{aligned} y\frac{\partial v^{(1)}}{\partial y}+y_{1}\frac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{1}}+\cdots+y_{s}\frac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{s}} &= 0,\\ y\frac{\partial v^{(2)}}{\partial y}+y_{2}\frac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{1}}+\cdots+y_{s}\frac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{s}} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ y\frac{\partial v^{(s)}}{\partial y}+y_{2}\frac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{1}}+\cdots+y_{s}\frac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{s}} &= 0, \end{aligned} \]

*) Für drei Gleichungen hat Jacobi diesen Satz ohne Beweis mitgetheilt. Band 15, dieses Journals pag. 307.

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so verhält sich \[ y:y_{1}:\ldots:y_{s} = D:D_{1}:\ldots:D_{s}, \] wo $D_{i}$ die Functionaldeterminante der $v$ nach den $y$ mit Auschluss von $y_{i}$, und mit passend gewähltem Vorzeichen bedeutet. Es ist daher auch \[ \frac{y}{D} = \frac{cy+c_{1}y_{1}+\cdots+c_{s}y_{s}}{\Sigma\pm c\dfrac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{1}}\dfrac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{2}}\ldots\dfrac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{s}}}, \] welche Werthe auch den $c$ beigelegt werden. Und endlich hat man den Satz, welcher der oben angewandte Hülfsatz selbst ist:

Sind $v^{(1)}$, $v^{(2)}$, … $v^{(s)}$ homogene Functionen von $y$, $y_{1}$, … $y_{s}$ von den Ordnungen $m_{1}$, $m_{2}$, … $m_{s}$, und ist $\Phi$ eine homogene Function der Ordnung $m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s-1$, so verschwindet immer die Summe der Ausdrücke \[ \frac{\Phi.(cy+c_{1}y_{1}+\cdots+c_{s}y_{s})}{\Sigma\pm c\dfrac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{1}}.\dfrac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{2}}\ldots\dfrac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{s}}}, \] gebildet für alle Werthsysteme der $y$, welche den Gleichungen $v^{(1)}=0$, $v^{(2)}=0$, … $v^{(s)}=0$ gleichzeitig genügen.

§. 14.

Bestimmung der Constanten, und Umkehrung des Satzes über die Punkte einer Curve $mn^{\text{ter}}$ Ordnung, welche auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung liegen.

Kehren wir zu der vollständigen und nicht zerfällbaren Schnittcurve der Flächen $u=0$, $v=0$ $m^{\text{ter}}$ und $n^{\text{ter}}$ Ordnung zurück. Die irgend einem Punkte der Curve entsprechenden überall endlichen Integrale seien wieder $u_{1}$, $u_{2}$, … $u_{p}$ $\left(p=\dfrac{mn(m+n-4)}{2}+1\right)$, und werden für verschiedene Punkte durch obere Indices unterschieden.

Für die $mnk$ Schnittpunkte der Curve mit einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung, $w=0$, hat man dann nach dem Vorigen: \[ \left\{ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(mnk)} &\equiv \gamma_{1},\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(mnk)} &\equiv \gamma_{2}.\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ u_{p}^{(1)}+u_{p}^{(2)}+\cdots+u_{p}^{(mnk)} &\equiv \gamma_{p}, \end{aligned} \right.\tag{23.} \] wo die $\gamma$ nur noch von der Ordnung von $w$ abhängen. Da ferner die Fläche $n^{\text{ter}}$ OrdnungEditorial note: Printed $n^{\text{ter}}$. It is the cutting surface $w=0$, of order $k$, that is allowed to degenerate, and the same clause counts $k$ planes, so $k^{\text{ter}}$ is what the argument requires. Kept as printed. als System von $k$ Ebenen erscheinen kann, so hat man offenbar

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$\gamma_{i}=k.c_{i}$, wo die $c$ dem Durchschnitt einer Ebene mit der Curve entsprechen. Endlich sind (vgl. §. 3) diese Constanten Null, wenn $w$ in eine Function $\Theta$ übergeht, also für $k=m+n-4$, und sind daher überhaupt Null. Und man hat den Satz:

Die Summen der entsprechenden, überall endlichen Integrale, ausgedehnt über die Schnittpunkte einer algebraischen Fläche mit der gegebenen Curve, sind gleich Null.

Nach Jacobi (dieses Journal Bd. 15, p. 305) bestimmen sich von solchen $mnk$ Punkten einer gegebenen Schnittcurve zweier Flächen $m^{\text{ter}}$ und $n^{\text{ter}}$ Ordnung, welche auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung liegen können, immer eine gewisse Zahl durch die übrigen; und zwar ist die Zahl der durch die übrigen bestimmten, wenn \[ k\geqq m+n-3,\qquad k\geqq m,\qquad k\geqq n, \] genau gleich $p$. Ist aber $k<m+n-3$, so wird diese Zahl kleiner, nämlich gleich \[ p-\frac{m+n-k-1.m+n-k-2.m+n-k-3}{6}, \] so lange $k$ grösser als die Zahlen $m$, $n$ bleibt; sie ist gleich \[ mnk-\frac{k+1.k+2.k+3}{6}+\frac{k-n+1.k-n+2.k-n+3}{6}+1, \] wenn $m>k\geqq n-3$, und gleich \[ mnk-\frac{k+1.k+2.k+3}{6}+1, \] wenn $k$ kleiner ist als beide Zahlen. Hieraus geht hervor, dass, wenn $k\geqq m+n-3$, die Zahl der Gleichungen (23.) genau gleich der Zahl der mittelst derselben zu bestimmenden Punkte ist, welche neben einer Anzahl beliebig zu wählender auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung liegen können; und dass, wenn $k<m+n-3$, die Anzahl jener Gleichungen grösser, insbesondere bei $k=m+n-4$, um 1 grösser ist, ohne dass dieselben deswegen aufhören können verträglich zu sein.

Bemerken wir nun, dass nach dem Abelschen Theorem die Differentialgleichungen \[ \begin{aligned} du_{1}^{(1)}+du_{1}^{(2)}+\cdots+du_{1}^{(mnk)} &= 0,\\ du_{2}^{(1)}+du_{2}^{(2)}+\cdots+du_{2}^{(mnk)} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ du_{p}^{(1)}+du_{p}^{(2)}+\cdots+du_{p}^{(mnk)} &= 0 \end{aligned} \]

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die vollständige algebraische Integration zulassen, so sehen wir, dass insbesondere diese algebraischen Integrale vermittelst einer geeigneten Bestimmung der in ihnen enthaltenen Constanten dahin müssen gebracht werden können, die Bedingungen auszudrücken, unter welchen $mnk$ Punkte der Curve auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung liegen. Da nun die passende Bestimmung dieser Constanten in der transcendenten Form der Integralgleichungen soeben geleistet ist, so kann man den umgekehrten Satz aufstellen:

Sobald zwischen den überall endlich bleibenden, den von Herrn Riemann aufgestellten Bedingungen gemäss gebildeten Integralen die Gleichungen bestehen: \[ \left\{ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(mnk)} &= 0,\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(mnk)} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ u_{p}^{(1)}+u_{p}^{(2)}+\cdots+u_{p}^{(mnk)} &= 0, \end{aligned} \right.\tag{24.} \] liegen die entsprechenden $mnk$ Punkte der Curve auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung.

§. 15.

Berührungsflächen, welche durch gegebene Punkte der Curve gehen. Systeme von Berührungsflächen.

Die Aufgaben, welche im Früheren bei ebenen Curven behandelt sind, können nun in ganz ähnlicher Weise bei Raumcurven durchgeführt werden.

Es sei $k\geqq m+n-3$; auf der Curve $mn^{\text{ter}}$ Ordnung seien $mnk-pr$ Punkte beliebig gegeben; man soll durch sie eine Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung${}^{*)}$ legen, welche die Curve in $p$ Punkten $r$-punktig berührt. \[ \left(p=\frac{mn(m+n-4)}{2}+1\right). \]

*) Ist $k\geqq n$, $k<m$, so wird die Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung insofern unbestimmt, als jede Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung, welche durch den Schnitt derselben mit der Fläche $n^{\text{ter}}$ Ordnung hindurchgeht, denselben Bedingungen genügt. In diesem Falle kann man also statt von der Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung, von der Raumcurve $kn^{\text{ter}}$ Ordnung sprechen, welche bei solchen Veränderungen constant bleibt, und kann dieser die Eigenschaften beilegen, welche von der Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung gefordert werden. Ist dagegen $k$ auch $\geqq m$, so hat jede Fläche die verlangten Eigenschaften, welche durch die Schnittpunkte der drei Flächen $m^{\text{ter}}$, $n^{\text{ter}}$, $k^{\text{ter}}$ Ordnung hindurchgeht. In diesem Falle also hat man es nur noch mit einem bestimmten Punktsystem zu thun, welches das gemeinsame Element eines Flächenbündels bildet.

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Die Anzahl der in der Aufgabe enthaltenen Bedingungen ist \[ mnk-pr+p(r-1) = mnk-p. \] Nehmen wir hinzu, dass nach dem Vorigen für die $mnk$ Schnittpunkte einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung mit der Curve $p$ Bedingungen eintreten, so sieht man, dass die Aufgabe sowohl bestimmt als lösbar ist. Aber nur die Berührungspunkte sind unter allen Umständen wirklich bestimmt; die Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung selbst kann, je nach der Grösse von $k$, mehr oder minder willkürlich bleiben.

Die den gegebenen Schnittpunkten entsprechenden Integralsummen seien nun $U_{1}$, $U_{2}$, … $U_{p}$; die den gesuchten $p$ Berührungspunkten entsprechenden seien $v_{1}$, $v_{2}$, … $v_{p}$. Die Gleichungen (24.) gehen dann für den vorliegenden Fall über in: \[ \begin{aligned} rv_{1} &\equiv -U_{1},\\ rv_{2} &\equiv -U_{2},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ rv_{p} &\equiv -U_{p}, \end{aligned} \] oder in: \[ \begin{aligned} v_{1} &\equiv -\frac{U_{1}}{r}+\frac{A_{1}}{r},\\ v_{2} &\equiv -\frac{U_{2}}{r}+\frac{A_{2}}{r},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ v_{p} &\equiv -\frac{U_{p}}{r}+\frac{A_{p}}{r}. \end{aligned} \] Die $p$ Berührungspunkte bestimmen sich also durch eine Gleichung $p^{\text{ten}}$ Grades, deren Coefficienten $\theta$-Functionen mit den Argumenten $v$ sind. Die letzteren enthalten die $2p$ Zahlen $m$, $q$ in den $A$, und da jeder derselben alle Werthe von 0 bis $r-1$ beigelegt werden dürfen, so ist die Anzahl aller Lösungen des Problems: \[ r^{2p} = r^{mn(m+n-4)+2}. \] Man kann hier ähnliche Betrachtungen anstellen, wie in §. 4, und findet den Satz:

Wenn man durch $r-1$ Systeme von Berührungspunkten und durch die gegebenen Punkte eine Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung legt, so schneidet sie die gegebene Curve in $p$ Punkten, in denen eine durch die gegebenen Punkte gehende Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung die Curve berührt.

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Von den $r-1$ Systemen können mehrere zusammenfallen, wo denn die ersterwähnte Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung an solchen Punkten berühren muss.

Von den gegebenen Punkten können selbst $\mu$ mal $r$ so zusammentreten, dass in ihnen die gesuchte Fläche ebenfalls $r$-punktig berührt. Alsdann berühren also die betrachteten Flächen in $(p+\mu)$ Punkten $r$-punktig, und gehen ausserdem durch $mnk-(p+\mu)r$ gegebene Punkte.

Lassen wir nur die letzteren gegeben sein, so wird die Aufgabe offenbar unbestimmt, und es können immer $\mu$ Berührungspunkte beliebig gewählt werden, wo denn jedesmal die Aufgabe noch $r^{2p}$ Lösungen gestattet.

Hiebei entsteht der Begriff eines Systems von Berührungsflächen. Durch continuirliche Aenderung der $\mu$ wählbaren Berührungspunkte kann man aus einer Berührungsfläche unendlich viele stetig ableiten; aber nur diejenigen, für welche das System der $A$ dasselbe ist. Bezeichnen wir also als System von Berührungsflächen solche, die durch stetigen Uebergang aus einander abgeleitet werden können, so hat man den Satz:

Eine Curve $m.n^{\text{ter}}$ Ordnung lässt $r^{mn(m+n-4)+2}$ Systeme von Berührungsflächen $k^{\text{ter}}$ Ordnung zu, welche die Curve in $p+\mu$ Punkten $r$-punktig berühren, und ausserdem durch $mnk-(p+\mu)r$ auf der Curve gegebene Punkte geht; wobei $k\geqq m+n-3$ vorausgesetzt wird.

Und man hat über dieselben (vgl. §. 5.) folgende Sätze:

Die Berührungspunkte von irgend $r$ Flächen desselben Systems liegen auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung, welche durch die festen Punkte hindurchgeht.

Legt man durch die gegebenen Punkte und durch $r-1$ Systeme von je $p+\mu$ Berührungspunkten, welche gleichen oder verschiedenen Systemen angehören können, eine Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung, so trifft dieselbe noch immer ein $r^{\text{tes}}$ System von Berührungspunkten.

Von besonderem Interesse ist der Fall, wo $mnk$ durch $r$ theilbar ist. In diesem Falle kann man alle Schnittpunkte der Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung mit der Curve zu $r$ in $\dfrac{mnk}{r}$ Punkte zusammenrücken lassen, und man erhält dann Systeme von Berührungsflächen, welche die gegebene Curve $r$-punktig berühren, wo sie derselben begegnen. Diese Systeme sind dadurch wichtig, dass sie nur noch von der Natur der Curve selbst abhängen, nicht mehr von der Lage eines beliebig auf ihr gewählten Punktsystems. Die $p+\mu = \dfrac{mnk}{r}$ Integrale $u_{h}$, welche den Berührungspunkten entsprechen, werden hier bestimmt

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durch Gleichungen der Form: \[ u_{h}^{(1)}+u_{h}^{(2)}+\cdots+u_{h}^{\left(\frac{mnk}{r}\right)} \equiv \frac{A_{h}}{r}. \] Man leitet daraus, wie in §. 6, den Satz ab:

Wenn $k\geqq m+n-3$ und $mn = (p+\mu)r$, so giebt es Systeme von Flächen $k^{\text{ter}}$ Ordnung, welche die Curve $m.n^{\text{ter}}$ Ordnung in $p+\mu$ Punkten $r$-punktig berühren. Die Zahl der Systeme ist $r^{2p}$, wenn $k$ und $r$ relative Primzahlen sind; ist dagegen $k=k's$, $r=r's$, und sind $k'$, $r'$ relative Primzahlen, so ist die Anzahl der Systeme $r^{2p}-r'^{2p}$.

Sätze über die Lage der Berührungspunkte erhält man, wie in §. 6 angedeutet ist.

§. 16.

Berührungsflächen, welche nur in endlicher Anzahl existiren.

Unter den soeben behandelten Aufgaben zeichnen einige sich durch die Eigenschaft aus, völlig bestimmt zu sein.

Ist $k\geqq m+n-3$ und $mnk = pr$, so hat man eine in $p$ Punkten $r$-punktig berührende Fläche vor sich, deren Berührungspunkte wenigstens vollkommen bestimmt sind. Nun können die Zahlen $mn$ und $p = \dfrac{mn(m+n-4)}{2}+1$ nur den Factor 2 gemein haben, und zwar auch diesen nur, wenn eine der Zahlen $m$, $n$ die Form $4h+2$ hat, während die andere ungerade ist. In diesem Falle setze man \[ k = \frac{p}{2}.s, \quad r = \frac{mn}{2}.s, \] in jedem anderen \[ k = p.s, \quad r = mn.s, \] und man erhält nach den Sätzen des vorigen §. für die in Rede stehenden Aufgaben, deren Lösung auf der Hand liegt, folgende Bestimmungen:

Für eine Curve $m.n^{\text{ter}}$ Ordnung giebt es $n^{2p}(s^{2p}-1)$ Berührungsflächen der Ordnung $p.s$, welche in $p$ Punkten $mn.s$-punktig berühren. Nur wenn eine der Zahlen $m$, $n$ von der Form $4h+2$, die andere ungerade ist, giebt es $\left(\dfrac{n}{2}\right)^{2p}(s^{2p}-1)$ Berührungsflächen von der Ordnung $\dfrac{p}{2}.s$, welche in $p$ Punkten $\dfrac{mn}{2}.s$-punktig berühren.Editorial note: Printed $n^{2p}$ and $\left(\dfrac{n}{2}\right)^{2p}$. The curve here is of order $m.n$, not $n$, and the theorem of §. 15 that this specializes gives the count as a power of the number of systems, so $(mn)^{2p}$ and $\left(\dfrac{mn}{2}\right)^{2p}$ are what the argument requires; the $n^{2p}$ of the corresponding plane theorem in §. 7, where the curve really is of order $n$, appears to have been carried over. Kept as printed.

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Ueber die gegenseitige Lage der Systeme von Berührungspunkten gelten analoge Sätze wie bei den Systemen von Berührungsflächen.

Aber zu diesen Aufgaben treten andere, welche ebenfalls völlig bestimmt und dadurch merkwürdig sind, dass für $n=1$, $m=4$ die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung als specieller Fall erscheinen. Ist nämlich $k<m+n-3$, aber zugleich $k$ gleich oder grösser als die Zahlen $m$, $n$, so ist nach §. 16 die zur Bestimmung der Schnittpunkte der Fläche mit der Curve gleich \[ p-\frac{m+n-k-1.m+n-k-2.m+n-k-3}{6} \] Damit eine Fläche $n^{\text{ter}}$ Ordnung überall, wo sie die Curve trifft, $r$-punktig berühre, sind $mnk.\dfrac{r-1}{r}$ Bedingungen zu erfüllen. Diese Zahl wird der vorigen gleich, und also die Aufgabe völlig bestimmt, wenn $r$ $= 2$, $k = m+n-4$. Und man hat also den Satz:

Die Curve $m.n^{\text{ter}}$ Ordnung kann von einer bestimmten Anzahl von Flächen der Ordnung $m+n-4$ in $\dfrac{mn(m+n-4)}{2}$ Punkten zweipunktig berührt werden.

Dies ist selbst dann noch richtig, wenn, was anfangs ausgeschlossen wurde, $k = m+n-4$ kleiner als eine der Zahlen $m$ oder $n$ wird. Ist nämlich $n=2$ oder $n=3$, so hat man $k=m-2$ oder $k=m-1$. Nach §. 16 muss, damit der vorstehende Satz dann noch richtig bleibe, die Gleichung \[ mnk-\frac{k+1.k+2.k+3}{6}+\frac{k-n+1.k-n+2.k-n+3}{6}+1 = \frac{mnk}{2} \] stattfinden, was wirklich der Fall ist.

Die Berührungspunkte einer solchen Fläche werden, wie in §. 8 die Berührungspunkte der Curven, aus den Gleichungen \[ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(p-1)} &\equiv \frac{A_{1}}{2},\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(p-1)} &\equiv \frac{A_{2}}{2},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \cdot\\ u_{p}^{(1)}+u_{p}^{(2)}+\cdots+u_{p}^{(p-1)} &\equiv \frac{A_{p}}{2}, \end{aligned} \] gefunden, welche nur bestehen können, wenn zwischen den in den $A$ enthaltenen Zahlen $m$, $q$ die Relation besteht: \[ m_{1}q_{1}+m_{2}q_{2}+\cdots+m_{p}q_{p} = 2h+1. \] Man findet daraus nach der Schlussweise des angeführten §.:

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Die Anzahl dieser Berührungsflächen ist: \[ 2^{\frac{mn(m+n-4)}{2}}\left\{2^{\frac{mn(m+n-4)}{2}+1}-1\right\}. \] Ueber die gegenseitige Lage der Systeme von Berührungspunkten vgl. §. 8. Insbesondere findet sich, ähnlich wie dort, hier der Satz:

Unter den $2^{2p}\left(p = \dfrac{mn(m+n-4)}{2}+1\right)$ Systemen von Berührungsflächen $k^{\text{ter}}$ Ordnung, welche, bei geradem $m+n$ von gerader, bei ungeradem $m+n$ von ungerader Ordnung sind, und welche die Curve $m.n^{\text{ter}}$ Ordnung überall, wo sie derselben begegnen, zweipunktig berühren, giebt es immer $2^{p-1}(2^{p}-1)$ Systeme, bei welchen die Berührungspunkte jeder Fläche mit denen einer bestimmten der vorhin behandelten Berührungsflächen $(m+n-4)^{\text{ter}}$ Ordnung in einer Fläche $\dfrac{k+m+n-4}{2}{}^{\text{ter}}$ Ordnung liegen; und es giebt, wenn $m+n$ gerade, $2^{p-1}(2^{p}+1)-1$, wenn $m+n$ ungerade, $2^{p-1}(2^{p}+1)$ solcher Systeme, bei welchen die Berührungspunkte einer Fläche niemals auf einer Fläche der Ordnung $\dfrac{k+m+n-4}{2}$ liegen.

§. 17.

Curven vierter Ordnung, welche den Schnitt zweier Flächen zweiter Ordnung bilden.

Die einfachsten vollständigen Raumcurven sind die der vierten Ordnung, welche den Durchschnitt zweier Flächen der zweiten Ordnung bilden. Für diese ist $p=1$, sie führen also auf elliptische Functionen, wovon man sich auch durch directe Betrachtung des überall endlich bleibenden Integrals überzeugt. Vier Punkte, welche in einer Ebene liegen, genügen dann bei geeigneter Bestimmung über den Anfangswerth jenes Integrals der Gleichung: \[ u^{(1)}+u^{(2)}+u^{(3)}+u^{(4)} \equiv 0. \] Statt der Modulsysteme $A$ kann man hier die Grössen $2aK+2biK'$ setzen. Zunächst also findet man, indem man die Grössen $u$ sämmtlich einander gleich setzt, die Punkte, in welchen eine Ebene vierpunktig berühren kann, aus der Formel: \[ u \equiv \frac{2aK+2biK'}{4}. \tag{25.} \] Die Zahlen $a$, $b$ können die Werthe 0, 1, 2, 3 erhalten; die Anzahl solcher Punkte ist also 16, wie bekannt. Für einen derselben ist $a=0$, $b=0$, also auch $u=0$; die untere Grenze des Integrals $u$ ist daher so zu wählen, dass für den Berührungspunkt einer Wendungsberührebene das Integral verschwindet.

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Lässt man nur drei der $u$ einander gleich werden, so hat man eine Gleichung der Form: \[ u+3u' \equiv 0, \] oder \[ u' \equiv -\frac{u}{3}+\frac{2aK+2biK'}{3}, \tag{26.} \] woraus der Satz folgt:

Durch jeden Punkt der Curve vierter Ordnung kann man neun Schmiegungsebenen an die Curve legen.

Unter diesen ist die SchwingungsebeneEditorial note: Printed Schwingungsebene, the plane of oscillation. The sentence before it, the sentence after it and the mathematics all require Schmiegungsebene, the osculating plane. Kept as printed. im Punkte selbst nicht enthalten.

Lässt man nur zwei der $u$ einander gleich werden, so hat man \[ u'' \equiv -\frac{u+u'}{2}+\frac{2aK+2biK'}{2}, \tag{27.} \] d. h.

Durch je zwei Punkte der Curve lassen sich vier Tangentenebenen an dieselbe legen.

Werden auch die andern $u$ einander gleich, so hat man eine doppeltberührende Ebene, und für die BerührungspunkteEditorial note: Equation (28.) is printed with a two-bar $=$, where (25.), (26.) and (27.) all set the three-bar $\equiv$. These are congruences with respect to the periods, not equations, so $\equiv$ is what the argument requires. Kept as printed. \[ u+u' = \frac{2aK+2biK'}{2}, \tag{28.} \] d. h.

Es giebt vier Systeme von Ebenen, welche die Curve zweimal berühren, und durch jede Tangente geht eine Ebene jedes Systems.

Wenn man die vier Argumente $u''$, welche aus der Gleichung (27.) entspringen, addirt, so findet man ihre Summe gleich $-2(u+u')$, d. h.

Durch irgend zwei Punkte der Curve und die Berührungspunkte der durch sie an die Curve gelegten Tangentenebenen, lässt sich eine Schaar von Flächen zweiter Ordnung legen, welche in den gegebenen Punkten die Curve berühren.

Von den 9 Punkten (26.), in denen eine aus einem gegebenen Punkte gelegte Schmiegungsebene die Curve berühren kann, liegen drei mit dem gegebenen in einer Ebene, so oft die Summen der entsprechenden $a$ und der entsprechenden $b$ durch drei theilbar sind. Mit Rücksicht auf die von mir pag. 111 dieses Bandes gegebene Darstellung der Wendepunkte einer Curve dritter Ordnung kann man diese Beziehungen durch folgenden Satz ausdrücken:

Wenn man einen Punkt der Curve vierter Ordnung mit denjenigen 9 Punkten verbindet, in denen eine von demselben gelegte Schmiegungsebene

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die Curve berühren kann, und wenn man diese 9 Strahlen durch irgend eine Ebene schneidet, so erhält man ein Punktsystem, welches das System von Wendepunkten einer Curve dritter Ordnung sein kann.

Ferner:

So oft drei dieser 9 Punkte mit dem gegebenen in einer Ebene liegen, liegen die anderen 6 auf einer Schaar von Flächen zweiter Ordnung, welche in dem gegebenen Punkte die Curve berühren.

Alle 9 Punkte liegen auf einer Schaar von Flächen dritter Ordnung, welche in dem gegebenen Punkte die Curve dreipunktig berühren.

Betrachten wir noch die gegenseitige Lage der Berührungspunkte der Wendungsberührebenen, welche durch die Formel (25.) gegeben sind. Bezeichnen wir irgend einen jener 16 Punkte, den Coefficienten $a$, $b$ entsprechend, durch $(a,b)$, so liegen offenbar, weil die entsprechenden $u$ zusammen congruent 0 sind, $(a,b)$, $(a+2,b)$, $(a,b+2)$, $(a+2,b+2)$ in einer Ebene. Ferner ist auch mit 0 congruent die Summe irgend zweier der solchen vier Punkten angehörigen Integrale, multiplicirt mit 2. Man hat daher die Sätze:

Die 16 Berührungspunkte der Wendungsberührebenen theilen sich in vier Gruppen zu vier. Je vier Punkte derselben Gruppe liegen in einer Ebene; und die Tangenten je zweier Punkte derselben Gruppe liegen gleichfalls in einer Ebene, so dass solche vier Tangenten sich in demselben Punkte schneiden.

Bekanntlich sind jene vier Ebenen die des beiden Flächen gemeinsamen Polartetraeders, und die letzterwähnten Punkte sind die Ecken desselben.

§. 18.

Raumcurven sechster Ordnung.

Die Theorie der Curven sechster Ordnung, welche der vollständige Durchschnitt von Flächen zweiter und dritter Ordnung sind, knüpft sich wesentlich an die Theorie der dreifach berührenden Ebenen, welche für sie fast ganz dieselbe Rolle spielen, wie die Doppeltangenten für die ebenen Curven vierter Ordnung. Man hat für diese Curven $p=4$; die Bedingungen also dafür, dass 6 Punkte der Curve in einer Ebene liegen, sind enthalten in den Gleichungen \[ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(6)} &\equiv 0,\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(6)} &\equiv 0,\\ u_{3}^{(1)}+u_{3}^{(2)}+\cdots+u_{3}^{(6)} &\equiv 0,\\ u_{4}^{(1)}+u_{4}^{(2)}+\cdots+u_{4}^{(6)} &\equiv 0. \end{aligned} \]

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Dreifach berührende Ebenen erhält man, wenn dreimal zwei Systeme der $u$ zusammenfallen, wenn also \[ u'_{k}+u''_{k}+u'''_{k} \equiv \frac{A_{k}}{2}. \] Der Schluss des §. 16 führt dann sofort auf folgende Sätze:

Es giebt 120 Ebenen, welche eine Raumcurve sechster Ordnung in drei verschiedenen Punkten berühren.

Legt man durch irgend drei Berührungspunkte einer solchen Ebene eine Fläche $h^{\text{ter}}$ Ordnung, so schneidet sie die Curve noch in $6h-3$ Punkten, in welchen dieselbe von einer Fläche $(2h-1)^{\text{ter}}$ Ordnung zweipunktig berührt werden kann. Man erhält so 120 Systeme von Berührungsflächen $(2h-1)^{\text{ter}}$ Ordnung. Es giebt deren noch 136 andere, deren Berührungspunkte nie auf einer Fläche $h^{\text{ter}}$ Ordnung liegen. Aber alle 256 Systeme haben die gemeinsame Eigenschaft, dass die Berührungspunkte je zweier Flächen desselben Systems auf einer Fläche $(2h-1)^{\text{ter}}$ Ordnung liegen.

Ferner:

Es giebt 255 Systeme von Flächen zweiter Ordnung, welche die Curve sechster Ordnung in 6 verschiedenen Punkten berühren; die Berührungspunkte je zweier Flächen desselben Systems liegen auf einer Fläche zweiter Ordnung.

In jedem dieser Systeme kommen 28 Flächen vor, welche in Paare dreifach berührender Ebenen zerfallen. Die 12 Berührungspunkte je zweier solcher Paare liegen auf einer Flächenschaar zweiter Ordnung, d. h. auf einer Raumcurve vierter Ordnung.

Solcher Raumcurven vierter Ordnung giebt es hienach $\dfrac{255.28.27}{2}$. Aber da ein System von vier Ebenen auf drei Arten in zwei Paare getheilt werden kann, so ist dabei jede Curve vierter Ordnung dreimal gerechnet. Die wirkliche Zahl dieser Curven vierter Ordnung ist daher $\dfrac{255.28.27}{2.3}=32130$.

Da sämmtliche 360 Berührungspunkte auf mehrfache Weise so unter 30 Flächen zweiter Ordnung (Raumcurven vierter Ordnung) vertheilt werden können, dass kein Punkt auf mehreren Flächen liegt, so liegen alle 360 Berührungspunkte auf einer Flächenschaar der sechszigsten Ordnung, und sind der vollständige Durchschnitt derselben mit der Curve sechster Ordnung.

Damit 12 Punkte der Curve sechster Ordnung auf einer Flächenschaar zweiter Ordnung, oder auf einer Raumcurve vierter Ordnung liegen, müssen

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die Gleichungen \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{(12)} \equiv 0 \] erfüllt sein. Lässt man viermal drei Punkte zusammenfallen, so ergeben sich die verschieden gebliebenen Integrale aus Gleichungen der Form \[ u_{k}+u'_{k}+u''_{k}+u'''_{k} \equiv \frac{A_{k}}{3}, \] wonach sich die Punkte jedesmal mittelst einer Gleichung vierten Grades bestimmen. Man hat also den Satz:

Es giebt $3^{8} = 6561$ Raumcurven vierter Ordnung, welche die Raumcurve sechster Ordnung in vier verschiedenen Punkten dreipunktig berühren.

Und:

Legt man durch die Berührungspunkte zweier solcher Curven eine Fläche zweiter Ordnung, so schneidet sie die Curve sechster Ordnung noch in den Berührungspunkten einer dritten Berührungscurve.

§. 19.

Erweiterung eines Steinerschen Problems.

Im Vorigen sind ausschliesslich Berührungsaufgaben behandelt, und gezeigt, wie die Lösung derselben mit Hülfe der Abelschen Functionen sich aufs Einfachste darstellt. Ich werde jetzt noch ein anderes sehr allgemeines Problem untersuchen; ein Problem, dessen speciellster Fall von Steiner behandelt ist, und von welchem ich p. 94 u. folgg. dieses Bandes eine analytische Lösung gegeben habe, welche sich im Wesentlichen gleichfalls auf die hier auseinander gesetzten Principien stützt. Dieses allgemeine Problem lautet folgendermassen:

Gegeben sind $r$ Gruppen von je $mnk-pf$ Punkten einer Curve $mn^{\text{ter}}$ Ordnung ($k \geqq m+n-3$); gesucht $r$ Systeme von je $p$ Punkten auf derselben, in folgender Art. Eine Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung soll durch die Punkte der ersten Gruppe und die ersten $f-1$ Systeme gehen; sie ist dadurch vollständig bestimmt, und ihre übrigen Schnittpunkte mit der Curve bilden das $f^{\text{te}}$ System. Eine zweite Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung soll durch die zweite Gruppe und durch das $2^{\text{te}}$, $3^{\text{te}}$, … $f^{\text{te}}$ System gehen; sie bestimmt das $f+1^{\text{te}}$ System. Auf diese Weise soll man fortfahren, so dass der Reihe nach $r$ Flächen $k^{\text{ter}}$ Ordnung gebildet werden, und dass die Reihe der Systeme sich schliesst, indem nach dem $r^{\text{ten}}$ System kein neues mehr erzeugt wird, sondern wieder das erste, nach diesem das zweite, u. s. w.

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Man erhält die entsprechende Aufgabe für die Ebene, indem man nur $n=1$ setzt.

Bezeichnen wir die den Gruppen entsprechenden Integralsummen durch $w_{k}$, die den Systemen entsprechenden durch $v_{k}$, indem wir die verschiedenen Gruppen und Systeme durch obere Indices unterscheiden. Der Ansatz des Problems ist dann in folgenden Gleichungen enthalten: \[ \left\{ \begin{aligned} v_{k}^{(1)}+v_{k}^{(2)}+\cdots+v_{k}^{(f)} &\equiv -w_{k}^{(1)}, \\ v_{k}^{(2)}+v_{k}^{(3)}+\cdots+v_{k}^{(f+1)} &\equiv -w_{k}^{(2)}, \\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ v_{k}^{(r)}+v_{k}^{(1)}+\cdots+v_{k}^{(f-1)} &\equiv -w_{k}^{(r)}. \end{aligned} \right. \tag{1.} \] Um die Lösung dieser für die $v$ linearen Gleichungen zu erleichtern, werde ich unter $v_{k}^{(h)}$ auch dann noch eine Grösse $v_{k}$ verstehen, wenn der Index $h$ den Werth $r$ überschreitet; und zwar soll $v_{k}^{(h)}$ dann dasjenige $v$ bedeuten, dessen oberer Index bei der Division von $h$ durch $r$ als Rest bleibt. Aus den obigen Gleichungen leiten sich dann zunächst folgende ab, in denen $h$ einen beliebigen Index bedeutet: \[ w_{k}^{(h+1)}-w_{k}^{(h)} \equiv v_{k}^{(h)}-v_{k}^{(f+h)}; \] daher auch: \[ \mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=s-1} \left\{ w_{k}^{(h+1+\lambda f)}-w_{k}^{(h+\lambda f)} \right\} \equiv v_{k}^{(h)}-v_{k}^{(h+sf)}. \tag{2.} \]

Nun bemerkt man, dass zwei Fälle unterschieden werden müssen. Sind nämlich $f$ und $r$ nicht relative Primzahlen, also etwa \[ f=g.f', \qquad r=g.r', \] wo $f'$, $r'$ relative Primzahlen sind, so steht auf der rechten Seite Null, sobald man $s=r'$ macht. Man wird dann also auf Bedingungen zwischen den $v$ geführt, und kann folgenden Satz aussprechen:

Sind $f$, $r$ nicht relative Primzahlen, sondern ist $f=gf'$, $r=gr'$, wo $f'$, $r'$ relative Primzahlen sind, so ist die obige Aufgabe nur möglich, wenn die $p(g-1)$ Bedingungen erfüllt werden:

\[ \left\{ \begin{aligned} & w_{k}^{(1)}+w_{k}^{(f+1)}+\cdots+w_{k}^{((r'-1)f+1)} \\ \equiv{} & w_{k}^{(2)}+w_{k}^{(f+2)}+\cdots+w_{k}^{((r'-1)f+2)} \\ & \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ \equiv{} & w_{k}^{(g)}+w_{k}^{(f+g)}+\cdots+w_{k}^{((r'-1)f+g)}; \end{aligned} \right. \tag{3.} \]

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und wenn diese Gleichungen erfüllt sind, so gestattet die Aufgabe unendlich viele Lösungen, indem die ersten $f-1$ Systeme ganz willkürlich gewählt werden können.

Sind dagegen $f$, $r$ relative Primzahlen, so kann man mittelst der Gleichung (2.) alle $v_{k}$ durch irgend eines derselben ausdrücken, und erhält: \[ v_{k}^{(h+sf)} \equiv v_{k}^{(h)}+\mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=s-1}\left\{ w_{k}^{(h+\lambda f)}-w_{k}^{(h+1+\lambda f)} \right\}. \tag{4.} \] Addiren wir nun sämmtliche Gleichungen (1.), so findet sich \[ f\Sigma v_{k} \equiv -\Sigma w_{k}, \] oder, wenn $\Sigma w_{k}=z_{k}$ gesetzt wird, und man bemerkt, dass sämmtliche $v_{k}$ nach (4.) dasselbe Submultiplum der Perioden, ihre Summe also das $r$-fache eines solchen enthalten muss: \[ v_{k}^{(1)}+v_{k}^{(2)}+\cdots+v_{k}^{(r)} \equiv -\frac{z_{k}}{f}+\frac{rA_{k}}{f}. \] Setzen wir in diese Gleichung die oben in (4.) erhaltenen Werthe der $v$ ein, so kommt: \[ \begin{aligned} & r v_{k}^{(h)}+\mathop{\Sigma}\limits_{s=1}^{s=r-1}\mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=s-1}\left( w_{k}^{(h+\lambda f)}-w_{k}^{(h+1+\lambda f)} \right) \equiv -\frac{z_{k}}{f}+\frac{rA_{k}}{f} \\ \equiv{} & r v_{k}^{(h)}+\mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=r-2}(r-\lambda-1)\left( w_{k}^{(h+\lambda f)}-w_{k}^{(h+1+\lambda f)} \right). \end{aligned} \] Führt man also endlich die Bezeichnung ein: \[ z_{k}^{(h)} = (r-1)w_{k}^{(h)}+(r-2)w_{k}^{(h+f)}+\cdots+1.w_{k}^{(h+(r-2)f)}, \tag{5.} \] so ergiebt sich: \[ v_{k}^{(h)} \equiv -\frac{z_{k}}{rf}+\frac{z_{k}^{(h+1)}-z_{k}^{(h)}}{r}+\frac{A_{k}}{f}. \tag{6.} \]

Durch diese Formel ist die Lösung der Aufgabe vollständig gegeben, da man aus den gefundenen Werthen der $v$ die Punkte der Systeme mittelst Gleichungen $p^{\text{ten}}$ Grades berechnet. Da in den $A$ die Zahlen $m$, $q$ alle Werthe von 0 bis $f-1$ erhalten dürfen, so erhält man das Resultat:

Wenn $f$, $r$ relative Primzahlen sind, so ist die Aufgabe auf $f^{2p}$ Arten lösbar.

Diese Aufgabe hat Steiner a. a. O. nicht behandelt; wohl aber bei ebenen Curven dritter Ordnung ($p=1$) einen besonderen Fall des oben als unbestimmt erkannten Problems. Man kann nämlich festsetzen, dass die $r=gr'$ Gruppen nicht sämmtlich verschieden sein sollen, sondern dass nur $g$

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verschiedene Gruppen existiren, welche $r'$mal hinter einander in derselben Reihenfolge benutzt werden. Man kann ferner festsetzen, dass die Anzahl der Punkte jeder Gruppe gleich $p$ sei, wie in den Systemen, dass also \[ mnk = p(f+1). \] Aehnlich wie in §. 16 ergiebt sich dann \[ k=\frac{p}{2}.s, \qquad f=\frac{mn}{2}.s-1, \] wenn eine der Zahlen $m$, $n$ von der Form $4h+2$, die andere ungerade ist; und \[ k=ps, \qquad f=mns-1 \] in jedem anderen Falle. Die Gleichungen (3.) gehen dann über in: \[ r'.w_{k}^{(1)} \equiv r'.w_{k}^{(2)} \ldots \equiv r'.w_{k}^{(g)}, \] und wenn also die erste Gruppe beliebig angenommen wird, so bestimmen sich die Punkte der übrigen Gruppen den Gleichungen \[ \begin{aligned} w_{k}^{(2)} &\equiv w_{k}^{(1)}+\frac{A_{k}}{r'}, \\ w_{k}^{(3)} &\equiv w_{k}^{(1)}+\frac{A'_{k}}{r'}, \\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ w_{k}^{(g)} &\equiv w_{k}^{(1)}+\frac{A_{k}^{(g-2)}}{r'} \end{aligned} \] entsprechend durch ebensoviel Gleichungen $p^{\text{ten}}$ Grades. In diesen Gleichungen können den in den $A$ vorkommenden Zahlen $m$, $q$ die Werthe $0$, $1$, … $r'-1$ beigelegt werden; doch so, dass niemals zwei Systeme der $A$ mit ungleichen oberen Indices gleich werden. Die Anzahl aller möglichen, zu einer gegebenen gehörigen Reihen von Gruppen ist also: \[ \frac{{r'}^{2p}-1.{r'}^{2p}-2\ldots{r'}^{2p}-(g-1)}{1.2\ldots(g-1)}. \]

Unter diesen Lösungen der Aufgaben sind aber, wenn $r'$ keine Primzahl ist, auch solche enthalten, bei denen der Kreis von Flächen sich früher als nach $r'$maliger Benutzung aller Gruppen schliesst, und welche daher für das vorliegende Problem nur insofern mitzählen, als die dabei gebildete Reihe von Flächen mehrfach gerechnet wird.

Dieses ist die unmittelbare Erweiterung des angeführten Steinerschen Problems, welches, wie man sieht, für alle ebenen und doppelt gekrümmten Curven eintritt, und in allen Fällen nach den hier entwickelten Principien mit

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Leichtigkeit gelöst wird. Auch für die gegenseitige Lage der aus den einzelnen Lösungen erhaltenen Punktgruppen existiren ähnliche Sätze, wie ich sie bezüglich des ursprünglichen Steinerschen Problems in der angeführten Abhandlung entwickelt habe. Ein genaueres Eingehen in diese Verhältnisse würde hier zu weit führen; auch scheint es, als ob bei so allgemeinen Problemen vorzüglich die Einsicht von Interesse ist, dass ihre Lösung in einer bestimmten Weise aus gegebenen Principien abgeleitet werden könne, weniger aber die Entwicklung der dabei eintretenden Umstände, welche der Natur der Sache nach nicht anders als weitläufig sein kann, wenn sie einigermassen erschöpfend sein soll. —

Ich benutze diese Gelegenheit, um eine Bemerkung bezüglich meiner Abhandlung „über eine Classe von Gleichungen, welche nur reelle Wurzeln besitzen“ (Bd. 62, p. 232 dieses Journals) nachzutragen. Gleichungen der betrachteten Art sind bereits früher von Hermite in den Comptes Rendus der Pariser Akademie, 1855, zweites Semester, untersucht worden, wo sich die Eigenschaft derselben, nur reelle Wurzeln zu besitzen, angegeben findet.

Giessen, den 28. October 1863.

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On the application of Abelian functions in geometry.

(By Mr. A. Clebsch of Giessen.)

The applications which the elliptic functions have hitherto found in geometry are, although restricted to very few among the possible cases, nevertheless already numerous enough to let their general character come forward. All these applications proceed from the division, and show how the solutions of certain algebraic equations occurring in geometry can be simply represented by means of the division of the elliptic functions. This is the more valuable in that those equations themselves are in general very hard to set up, on account of their involved form; but no less so because the peculiar relations and groupings of the roots among one another thereby come out in the clearest way. That Steiner knew how to follow up these relations in so many cases, and that many problems solved by him first find their true analytical expression through the theory of the elliptic functions, is not the least of the remarkable facts which fill us with ever growing admiration in the study of the writings of this great geometer.

To bring forward similar applications of the theory of Abelian functions is the purpose of the present paper; and I believe that the few principles to be set forth may serve to make the study of algebraic curves easier in many respects. That such applications have not been attempted hitherto, although we have possessed Riemann's theory of these functions for six years, is without doubt to be ascribed in great part to the difficulties which still stand in the way of an understanding of the memoirs in question, and which have not been entirely removed even by the more recent efforts of younger mathematicians. Another ground lies in this, that in these applications one must return to that way of conceiving the nature of these functions which Jacobi set up in the $9^{\text{th}}$ and $13^{\text{th}}$ volumes of this Journal, and which in Mr. Riemann is found replaced by another, although for the passage

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to the Jacobian way of conceiving it the necessary material is given. One may say that in Jacobi the mutual dependence of two series of equally many variables comes into the foreground, while in Mr. Riemann it is chiefly a matter of a series expansion. In what follows I shall always make use of the mode of representation as Jacobi employs it. The developments made from the theory of the Abelian functions (by Mr. C. Neumann${}^{*)}$ and Mr. Prym${}^{**)}$) seem even to show that this Jacobian standpoint forms the necessary point of passage, and that all developments appear first in the form foretold by Jacobi, even when one strives, as Mr. Prym does, to avoid it.

The geometrical applications of this theory which are opened up in what follows are so numerous that I have attempted to carry out only a few cases more closely. These developments relate in particular to the theory of the plane curves of the fourth order, and contain among others a solution of the problem of the double tangents, which recommends itself by a perspicuous grouping of these remarkable straight lines flowing from the nature of the thing itself. In this way there result almost of themselves a series of theorems which Hesse and Steiner have given in the $49^{\text{th}}$ volume of this Journal, and upon which Hesse has founded his elegant interpretation of the relations subsisting among the 28 double tangents by means of the connecting lines of 8 points in space. It lies in the nature of the methods here applied that all these theorems appear as quite special cases of others, very general ones, which retain their validity in the same way not merely for plane curves of arbitrary order, but also for all curves of double curvature.

§. 1.

Connexion of a curve of the $n^{\text{th}}$ order with a class of Abelian integrals.

Every algebraic equation $F(s, z) = 0$, by virtue of which $s$ is determined as a function of $z$, founds, according to Mr. Riemann, a class of Abelian integrals. Out of the everywhere finite integrals which one obtains thereby, the arguments of $\theta$-functions are put together in a linear way. If one assumes the $p$ arguments of a $\theta$-function as known,

*) Die Umkehrung der Abelschen Integrale, Halle 1863.

**) Theoria nova ff. ultraellipticarum, Diss. Berlin 1863.

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then there correspond to them $p$ values of $z$, which form the upper limits of the constituent integrals; and these, or any algebraic functions of them, are determined as roots of an equation of the $p^{\text{th}}$ degree, whose coefficients are put together rationally out of $\theta$-functions. The number $p$ is found by means of the formula \[ p = \frac{\mathrm{w}}{2} - (n-1)\,{}^{*)} \] here $n$ is the degree to which $s$ rises in the given equation, but $\mathrm{w}$ is the number of the systems of values for which $F'(s) = 0$ without $F'(z) = 0$. It is thereby presupposed that for those systems of values where $F'(s) = 0$ and $F'(z) = 0$, $F''(ss).F''(zz) - F''(sz)^{2} = 0$ shall not hold.

Mr. Riemann lays the equation $F(s, z) = 0$ at the foundation in the form that, when one orders the equation according to powers of $s$, every coefficient shall be of equally high order in $z$. For the geometrical application it is expedient to consider another form as the general fundamental form, namely that which, by substitution of $-\dfrac{a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3}}{b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3}}$ for $z$, and of $-\dfrac{\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + \alpha_{3}x_{3}}{\beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \beta_{3}x_{3}}$ for $s$, can be carried over into a homogeneous function of the $n^{\text{th}}$ order of the three variables $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, where the $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$ denote arbitrary constants.

Let the equation thus arising \[ f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0 \tag{1.} \] be the equation of a curve of the $n^{\text{th}}$ order. The reduction of this equation to the form \[ F(s, z) = 0 \tag{2.} \] by means of the equations \[ \left\{ \begin{aligned} (a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3}) + z(b_{1}x_{1} + b_{2}x_{2} + b_{3}x_{3}) &= 0, \\ (\alpha_{1}x_{1} + \alpha_{2}x_{2} + \alpha_{3}x_{3}) + s(\beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \beta_{3}x_{3}) &= 0 \end{aligned} \right. \tag{3.} \] then corresponds to the representation of the curve as the intersection of corresponding rays of the pencils (3.), in which $s$, $z$ form the variable parameters. Let us investigate how great the number $\mathrm{w}$ becomes accordingly.

If $F's = 0$ without $F'z = 0$, then the equation has two equal roots $z$; to two consecutive rays of the first pencil there corresponds

*) Volume 54 of this Journal p. 129.

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one of the second. In other words, a ray of the second pencil becomes a tangent of the curve. The case $F''s = 0$, $F'''s = 0$ etc. is easy to take into account; the tangent then touches to a higher order. But this can occur only for particular values of the $a$, $b$, $\alpha$, $\beta$.

If $F'(s) = 0$ and $F'(z) = 0$, then also \[ \frac{\partial f}{\partial x_{1}} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{2}} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial x_{3}} = 0; \] the curve then has a double point. That the condition \[ F''(ss).F''(zz) - F''(sz)^{2} = 0 \] is excluded means that no double point shall become a cusp${}^{*)}$.

If therefore the number of the double points is equal to $d$, one has, by a known formula for the number of the tangents, \[ \mathrm{w} = n.(n-1) - 2d. \] Hence \[ p = \frac{(n-1)(n-2)}{2} - d. \tag{4.} \] This then is the number which gives the class of the Abelian functions belonging to a curve of the $n^{\text{th}}$ order.

Thus the elliptic functions $(p = 1)$ correspond to the general curves of the third order, to the curves of the fourth order with two double points etc.; the first class of the Abelian transcendents to the curves of the fourth order with one double point, or to those of the fifth order with four double points etc.; the following class $(p = 3)$ to the general curves of the fourth order etc.

According to the theory of the Abelian functions one finds $z$ expressed by $\theta$-functions by means of an equation of the $p^{\text{th}}$ degree. The first equation (3.) therefore makes known a linear relation between the coordinates of a point, when the $p$ arguments of the $\theta$ are presupposed as known; the $s$ belonging to $z$, whose expression one derives from that of $z$ and from its differential quotients taken with respect to the arguments of the $\theta$-functions, furnishes a second; and one can finally express the coordinates of a curve by $\theta$-functions in this way, where, besides the general theory of the

*) This restriction can, as it seems, be lifted, by laying down that for every cusp the number of the tangents shall at the same time be increased by one.

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Abelian functions in question, only the solution of a single equation of the $p^{\text{th}}$ degree is demanded.

The everywhere finite integrals out of which the arguments of the $\theta$-functions are put together can, following Riemann (loc. cit. pag. 131.) and by means of the equations \[ \frac{x_{2}\,dx_{3} - x_{3}\,dx_{2}}{\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}} = \frac{x_{3}\,dx_{1} - x_{1}\,dx_{3}}{\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}} = \frac{x_{1}\,dx_{2} - x_{2}\,dx_{1}}{\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}} \] be brought into the form: \[ \int \Theta.\frac{\Sigma\pm c_{1}x_{2}\,dx_{3}}{c_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + c_{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} + c_{3}\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}}, \] where $\Theta$ is an integral homogeneous function of the order $n-3$ which vanishes for the double points of the curve, and where the equation $f = 0$ is regarded as subsisting between the $x$. The $c$, which are introduced for the sake of symmetry (cf. Aronhold, Monatsber. der Berl. Acad., session of 25 April 1861), have no influence at all upon the integral, since the quantity under the integral sign is in truth independent of them. The expedient choice of the lower limits, as well as of the coefficients occurring in the $\Theta$, Mr. Riemann has taught; I shall presuppose both as they are given in the second Division of the memoir cited.

§. 2.

Application of Abel's theorem to the intersection of two curves.

Abel's theorem (volume 4 pag. 200 of this Journal) can now, with homogeneous equations laid at the foundation instead of those used by Abel, be enunciated in a way which permits important consequences. I shall add the proof, as it shapes itself under the modification indicated.

Let $f = 0$ be the equation of a curve of the $n^{\text{th}}$ order, $\varphi = 0$ that of another curve of the $m^{\text{th}}$ order. Let further $\Theta$ be an arbitrary rational homogeneous function of the $(n-3)^{\text{th}}$ order. Let us consider the sum \[ \Sigma\int \Theta.\frac{\Sigma\pm c_{1}x_{2}\,dx_{3}}{c_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + c_{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} + c_{3}\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}}, \]

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extended over all those points as upper limits of the integrals which form the system of intersection of $f = 0$, $\varphi = 0$.

Under the integral sign the $x$ by no means satisfy the equation $\varphi = 0$, in so far as this represents a determinate curve; but we can assume the equation $\varphi = 0$ as subsisting, by introducing its coefficients as variables, to which the given values in question are to be assigned only in the limits.

If one now multiplies numerator and denominator under the integral sign by $\Sigma\pm k_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}$, where the $k$ are arbitrary quantities, one finds in the numerator the determinant: \[ \begin{vmatrix} \Sigma k_{i}c_{i}, & \Sigma k_{i}x_{i}, & \Sigma k_{i}\,dx_{i} \\[4pt] \Sigma c_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}, & \Sigma x_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}, & \Sigma \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\,dx_{i} \\[4pt] \Sigma c_{i}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, & \Sigma x_{i}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}, & \Sigma \dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}\,dx_{i} \end{vmatrix}. \] Of the elements of this determinant three vanish; the last becomes equal to $-\delta\varphi$, if $\delta\varphi$ denotes that which arises from $\varphi$ by differentiation of the coefficients; and one has finally as the value of the determinant: \[ \Sigma c_{i}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}.\Sigma k_{i}x_{i}.\delta\varphi, \] so that the sum sought passes over into \[ \Sigma\int \Theta.\frac{\Sigma k_{i}x_{i}}{\Sigma\pm k_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}}.\delta\varphi. \] Here the increments of the individual coefficients of $\varphi$ are now multiplied into rational functions of the coordinates of the various points which satisfy the equations $f = 0$, $\varphi = 0$ together. All the points occur symmetrically in these functions; one can therefore represent the latter as rational functions of the coefficients of $f$ and $\varphi$; and by integrating with respect to the latter one obtains, besides rational functions of the coefficients, only logarithmic and circular functions of such. This is Abel's theorem.

Let us now remark in particular that, if $\Theta$ is at the same time an integral function, the sum of the functions standing under the integral sign always vanishes. For by applying the theorem enunciated by Jacobi (volume 14 of this

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Journal p. 286) to homogeneous equations, and remarking at the same time that, if $f = 0$, $\varphi = 0$, then also: \[ \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}} - \dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}}{x_{1}} = \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{1}} - \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}}{x_{2}} = \frac{\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{2}} - \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}}{x_{3}}, \] one obtains the formula: \[ \Sigma\frac{\Omega(k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2} + k_{3}x_{3})}{\Sigma\pm k_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\dfrac{\partial \varphi}{\partial x_{3}}} = 0, \] where $\Omega$ is an integral homogeneous function of the order $m+n-3$, and where the sum relates to all systems of values which satisfy the equations $f = 0$, $\varphi = 0$ simultaneously. Since now $\Theta.\delta\varphi$ is of the form $\Omega$ as soon as $\Theta$, which was of the $(n-3)^{\text{th}}$ order, denotes an integral function, the above sum of integrals then becomes constant, i. e. independent of the coefficients of $\varphi$.

One has therefore the following theorem:

If $f = 0$ denotes the equation of a curve of the $n^{\text{th}}$ order, and if the integral \[ \int \Theta.\frac{\Sigma\pm c_{1}x_{2}\,dx_{3}}{c_{1}\dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} + c_{2}\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} + c_{3}\dfrac{\partial f}{\partial x_{3}}}, \] in which $\Theta$ is a homogeneous function of the $(n-3)^{\text{th}}$ order, is formed in such a way that one makes the $x$ dependent upon one another by the equation $f = 0$, then the sum of all values of the integral for the points of intersection of $f = 0$ with another curve $\varphi = 0$ (of the $m^{\text{th}}$ order) is representable as an aggregate of rational functions and of logarithms of rational functions of the coefficients of $\varphi$; but in particular this sum is independent of the coefficients of $\varphi$ as soon as $\Theta$ is at the same time an integral function.

Since $\Theta$, if it is an integral function, still contains $\dfrac{n-1.n-2}{2}$ arbitrary coefficients, one obtains from this just as many separate equations, which give sums of $mn$ integrals equal to constants. These $\dfrac{n-1.n-2}{2}$ equations in no way contain the coefficients of $\varphi$; they are therefore in general the conditions that $mn$ points of a curve of the $n^{\text{th}}$ order lie on a curve of the $m^{\text{th}}$ order. If $m \geqq n$, then, as is known, the number

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of the conditions requisite for this is exactly equal to $\dfrac{n-1.n-2}{2}\,{}^{*)}$; but if $m$ is smaller than $n$, then the number of the requisite conditions is: \[ mn - \frac{m.m+3}{2}, \] and since \[ \left(mn - \frac{m.m+3}{2}\right) - \frac{n-1.n-2}{2} = -\frac{n-m-1.n-m-2}{2}, \] the number of the equations obtained is, for $m = n-1$, $m = n-2$ also, still equal to the number of the requisite conditions. If $m < n-2$, the number of the equations of condition becomes greater; but they cannot cease to be compatible with one another, and to take the place of the sufficient number of determinations.

If the curve considered possesses no double point, and therefore in general, the equations given by the theorem subsist only between everywhere finite integrals, such as are used in the formation of the arguments of the $\Theta$-functions. This general case shall be treated first. If double points exist, then in just as many equations the integrals no longer belong under this category.

§. 3.

Determination of the constants of Abel's theorem, and converse of the theorem on the points of intersection of algebraic curves.

Let us presuppose in what follows that the curve possesses no double point. From this case all the others can be derived as special ones. We have $p = \dfrac{n-1.n-2}{2}$; the everywhere finite integrals we denote by \[ u_{1}, \quad u_{2}, \quad \ldots \quad u_{p}, \] and distinguish those belonging to different points by upper indices. The $u$ shall be determined as Mr. Riemann employs them for the formation of the arguments of the $\theta$-functions; thereby the lower limits are determined on the one hand, and on the other hand it is laid down what changes the $u$ undergo through alteration of the path of integration, namely that, the upper limit remaining the same, they can thereby only be carried over into

*) Jacobi, this Journal volume 15. pag. 285.

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the system: \[ u_{1} + A_{1}, \quad u_{2} + A_{2}, \quad \ldots \quad u_{p} + A_{p}, \] where, as always in what follows, the $A$ denote a system of the form \[ \left\{ \begin{aligned} A_{1} &= m_{1}i\pi + a_{11}q_{1} + a_{12}q_{2} + \cdots + a_{1p}q_{p}, \\ A_{2} &= m_{2}i\pi + a_{21}q_{1} + a_{22}q_{2} + \cdots + a_{2p}q_{p}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ A_{p} &= m_{p}i\pi + a_{p1}q_{1} + a_{p2}q_{2} + \cdots + a_{pp}q_{p} \end{aligned} \right. \tag{5.} \] In these expressions the $a$ are given by the equation of the curve, but the $m$, $q$ denote whole numbers.

The equations of the theorem then pass over into the following form: \[ \left\{ \begin{aligned} u'_{1} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(mn)} &\equiv \gamma_{1}, \\ u'_{2} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(mn)} &\equiv \gamma_{2}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ u'_{p} + u_{p}^{(2)} + \cdots + u_{p}^{(mn)} &\equiv \gamma_{p}. \end{aligned} \right. \tag{6.} \] Since the curve of the $m^{\text{th}}$ order can consist of $m$ straight lines, one must be able to form each of these equations by adding the $m$ corresponding equations which subsist for $m = 1$. One therefore has at once, if $c_{1}$, $c_{2}$, $\ldots$ $c_{p}$ denote the constants $\gamma$ belonging to $m = 1$, \[ \gamma_{1} = mc_{1}, \quad \gamma_{2} = mc_{2}, \quad \ldots \quad \gamma_{p} = mc_{p}. \] The constants $c$ are then independent not merely of the coefficients but also of the degree of the curve $\varphi = 0$. I shall now show that the $c$ can all be set equal to zero.

To this the consideration of the case $m = n-3$ leads. For Mr. Riemann has proved loc. cit. p. 148 that a system of the above kind is congruent to nothing but zeros as soon as it is extended over the common solutions of $f = 0$ with those equations whose left-hand part is put together linearly out of the numerators of the functions integrated in the $u$, any double points being excluded, which here do not occur from the outset. Now a linear function of the numerators of the integrated expressions is a general homogeneous function of the $(n-3)^{\text{th}}$ order $(\Theta)$; for $m = n-3$ we therefore have $(n-3)c_{h} = 0$, hence always $c_{h} = 0$. One has therefore the following theorem:

If one forms the everywhere finite integrals with the lower limits given by Mr. Riemann, and forms the sums of such integrals

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for the points of intersection of the curve $f = 0$ with another, then the system of the sums of integrals obtained is at all times congruent to a system of zeros.

This theorem admits of a converse, and then runs thus:

As soon as the sums of the everywhere finite integrals extended over $m.n$ points are zero, the $m.n$ points lie in the intersection of a curve of the $m^{\text{th}}$ order with the curve of the $n^{\text{th}}$ order.

For the differential equations: \[ \begin{aligned} du'_{1} + du_{1}^{(2)} + \cdots + du_{1}^{(mn)} &= 0, \\ du_{2}^{(1)} + du_{2}^{(2)} + \cdots + du_{2}^{(mn)} &= 0, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ du_{p}^{(1)} + du_{p}^{(2)} + \cdots + du_{p}^{(mn)} &= 0 \end{aligned} \] are completely integrated by $p$ algebraic equations which Abel's theorem gives. The $p$ integrals contain $p$ arbitrary constants. Since the differential equations are further integrated by such algebraic equations as state that the $mn$ points lie on a curve of the $m^{\text{th}}$ order, these latter must be derivable from the former by a special choice of the arbitrary constants; and if one holds such values of the constants fast, then the algebraic integrals must have precisely that shape in which they characterize the $mn$ points as the intersection of a curve of the $m^{\text{th}}$ order with the given one. But the requisite determination of the constants has been accomplished above.

§. 4.

Contact curves which are determined by a number of points given on the curve.

By means of the theorems developed the solution of the following problem results easily:

Let $m \geqq n-2$; on the curve of the $n^{\text{th}}$ order $mn-pr$ points are given arbitrarily; through them one is to lay a curve of the $m^{\text{th}}$ order which touches the curve of the $n^{\text{th}}$ order at $p$ points with $r$-point contact.

This problem is soluble if $m \geqq n-2$. It is also determinate if $m = n-2$ or $m = n-1$. For in both cases the number of the conditions imposed, namely $mn - pr + p(r-1)$, is equal to the number of the constants contained in the equation of the curve. If $m \geqq n$, then the number of the equations of condition $(mn - p)$ is, by a theorem already mentioned, just sufficient

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to determine that system of points which the curve of the $m^{\text{th}}$ order must have in common with the curve of the $n^{\text{th}}$ order; but then every curve of the $m^{\text{th}}$ order which passes through the points found fulfils the conditions imposed.

Let us put for brevity $mn - pr = \lambda$. Of the points of intersection of the two curves $\lambda$ are then given; of the remaining $pr$, $r$ at a time shall coincide. Let the sums of corresponding integrals which belong to the sought points of contact be $v_{1}$, $v_{2}$, $\ldots$ $v_{p}$; the equations (6.) then take the shape: \[ \begin{aligned} rv_{1} &\equiv -(u'_{1} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(\lambda)}), \\ rv_{2} &\equiv -(u'_{2} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(\lambda)}), \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ rv_{p} &\equiv -(u'_{p} + u_{p}^{(2)} + \cdots + u_{p}^{(\lambda)}). \end{aligned} \] The right-hand parts of these congruences are given; by division by $r$ one finds, adding on the right, for the sake of generality, an arbitrary system of the $A$ divided by $r$: \[ \left\{ \begin{aligned} v_{1} &\equiv -\frac{u'_{1} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(\lambda)}}{r} + \frac{A_{1}}{r}, \\ v_{2} &\equiv -\frac{u'_{2} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(\lambda)}}{r} + \frac{A_{2}}{r}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ v_{p} &\equiv -\frac{u'_{p} + u_{p}^{(2)} + \cdots + u_{p}^{(\lambda)}}{r} + \frac{A_{p}}{r}. \end{aligned} \right. \tag{7.} \] If one now forms the $\theta$ whose arguments are just these $v$, and the corresponding equation of the $p^{\text{th}}$ degree, then one finds by solution the $p$ points which occur in the $v$ as upper limits, i. e. the $p$ points of contact, whereby the problem is solved.

The $A$ contain the $2p$ numbers $m$, $q$, to which all values from 0 to $r-1$ may still be assigned. The number of all solutions of the problem is therefore $r^{2p}$.

The $r^{2p}$ systems of $p$ points of contact each have a very remarkable position with respect to one another. If one distinguishes $r$ such systems, of which several may also coincide in groups, by appended upper indices, and adds the corresponding equations (7.), one obtains

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for $k = 1, 2, \ldots p$: \[ v_{k}^{(1)} + v_{k}^{(2)} + \cdots + v_{k}^{(r)} + u_{k}^{(1)} + u_{k}^{(2)} + \cdots + u_{k}^{(\lambda)} \equiv \frac{A_{k}^{(1)} + A_{k}^{(2)} + \cdots + A_{k}^{(r)}}{r}. \tag{8.} \] If therefore one determines the numbers $m$, $q$ occurring in the $A$ so that \[ \left\{ \begin{aligned} m_{k}^{(1)} + m_{k}^{(2)} + \cdots + m_{k}^{(r)} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } r), \\ q_{k}^{(1)} + q_{k}^{(2)} + \cdots + q_{k}^{(r)} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } r), \end{aligned} \right. \tag{9.} \] then one may put zero instead of the right-hand side of (8.), and it is thus found that the $r$ systems of points of contact lie, together with the given points, on a curve of the $m^{\text{th}}$ order. From (9.) one sees that of the $r$ systems $r-1$ can be chosen arbitrarily, whereby the $r^{\text{th}}$ is then determined; and one has therefore the theorem:

If one lays a curve of the $m^{\text{th}}$ order through the given points and through $r-1$ systems of points of contact, it still passes through an $r^{\text{th}}$ system. Of the former several may coincide in groups; but it may also happen that the latter coincides with one of the former, which in particular always occurs when $r = 2$.

It scarcely needs to be mentioned that, if $\mu$ systems coincide, the new curve has at the points of the system a $\mu$-point contact with the given one.

§. 5.

Systems of contact curves which pass through fixed points of the curve.

In the previous problem let us make $\mu$ times $r$ of the given points, whose number may be presupposed greater than $\mu.r$, coincide. Let us then assume only the remaining $mn - (p+\mu)r$ points as given. We have then to do with the indeterminate problem:

A curve of the $m^{\text{th}}$ order shall pass through $mn - (p+\mu)r$ points given on a curve of the $n^{\text{th}}$ order, and shall besides touch this curve at $p+\mu$ points with $r$-point contact.

This problem is, when $m \geqq n-2$, soluble like the previous one, and indeed $\mu$ points of contact are still arbitrary, but the $p$ remaining ones are then determined. Through the given $mn - (p+\mu)r$ points there can therefore still be laid infinitely many curves of the kind sought; and when $\mu$ points of contact have been chosen arbitrarily, still $r^{2p}$.

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Mr. Hesse has introduced the notion of a system of contact curves (volume 49 of this Journal) and has made manifold use of it for the theory of the curves of the third and fourth order. For if one starts from a determinate contact curve and lets it vary continuously, then the points of contact gradually run through all the combinations that are at all possible. But it is by no means possible to arrive at all contact curves by such continuous variation; rather, one must for this purpose let those contact curves which have in common as great a number as possible of arbitrarily chosen points of contact vary simultaneously. Out of each of these curves there then arises a system of contact curves, no one of which has a curve in common with another.

One now remarks that in the present representation the various systems of contact curves are characterized by a very simple mark. For to each system there corresponds a determinate system of the $A$; for these systems are completely discrete, and it can therefore never happen that from a curve which corresponds to one system of the $A$ one should set up a continuous passage, through contact curves throughout, to curves which correspond to another system. One may therefore enunciate the following theorem:

One can determine infinitely many curves of the $m^{\text{th}}$ order, if $m \geqq n-2$, which touch a curve of the $n^{\text{th}}$ order at $\dfrac{n-1.n-2}{2} + \mu$ points with $r$-point contact, while the rest of the points of intersection are given. These curves divide into $r^{2p}$ different systems, in such a way that it is not possible to pass continuously from a curve of one system, through contact curves throughout, to a curve of another system.

If we now denote the integrals corresponding to the $p+\mu$ points of contact by \[ w_{k}^{(1)}, \quad w_{k}^{(2)}, \quad \ldots \quad w_{k}^{(p+\mu)}, \] and the sums of the integrals corresponding to the fixed points by $U_{k}$, then we have: \[ w_{k}^{(1)} + w_{k}^{(2)} + \cdots + w_{k}^{(p+\mu)} \equiv \frac{-U_{k} + A_{k}}{r}. \] Let us now consider $r$ curves of the same system, and add the corresponding equations, which on the left may be indicated by the sign $\mathrm{S}$,

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then there comes: \[ \mathrm{S}(w_{k}^{(1)} + w_{k}^{(2)} + \cdots + w_{k}^{(p+\mu)}) \equiv -U_{k}, \] i. e.

The points of contact of any $r$ contact curves of the same system lie at all times on a curve of the $m^{\text{th}}$ order which passes through the given fixed points.

Besides this one has, as in the previous §., the theorem:

If one lays a curve of the $m^{\text{th}}$ order through the given points and through $r-1$ systems of $p+\mu$ points of contact each, which may belong to the same or to different systems of contact curves, it still always passes through an $r^{\text{th}}$ system.

The previous theorem can be conceived as a special case of this latter one, and for $r = 2$, with two-point contact everywhere, the latter passes directly over into the former.

§. 6.

Systems of curves which touch the given curve to a certain order wherever they meet it.

If $mn$ is divisible by $r$, then there occur in particular contact curves like those which Mr. Hesse has investigated loc. cit., which touch the curve of the $n^{\text{th}}$ order with $r$-point contact everywhere where they meet it. Then $mn = (p+\mu)r$; the systems arising depend on the curve of the $n^{\text{th}}$ order alone, and are no longer, as in the foregoing, characterized besides by particular points arbitrarily chosen upon it. The remaining theorems adduced in the previous §. continue to hold here; but the number of the systems may under circumstances become another than the one given above.

For let us assume that $m$ has a common factor with $r$, so that \[ m = m's, \qquad r = r's, \] where $m'$, $r'$ shall be relatively prime. As often now as all the numbers $m$, $q$ occurring in the $A$ contain the factor $s$, one has \[ \frac{A_{k}}{r} = \frac{A'_{k}}{r'}, \] where the $A'$ are expressions after the manner of the $A$. Then, if for the points of contact the integrals in question are denoted by $u_{k}^{(1)}$, $u_{k}^{(2)}$, $\ldots$ $u_{k}^{\left(\frac{mn}{r}\right)} = u_{k}^{\left(\frac{m'n}{r'}\right)}$

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one always has: \[ u_{k}^{(1)} + u_{k}^{(2)} + \cdots + u_{k}^{\left(\frac{m'n}{r'}\right)} \equiv \frac{A'_{k}}{r'}, \] i. e. the system of contact curves consists in truth of curves of the order $m'$ which touch the given curve everywhere with $r'$-point contact, and which, counted $s$ times, may be regarded as systems of the $m^{\text{th}}$ order with $r$-point contact. Abstracting from these, and remarking that these exceptional systems of the $A$ are $r'^{2p}$ in number, one arrives at the theorem:

If $mn = (p+\mu)r$, $m \geqq n-2$, then there are systems of curves of the $m^{\text{th}}$ order which touch the curve of the $n^{\text{th}}$ order at $p+\mu$ points with $r$-point contact, of which $\mu$ are arbitrary. If $m = m's$, $r = r's$, where $m'$, $r'$ are relatively prime, then the number of the systems is $r^{2p} - r'^{2p}$; only when $m$ and $r$ are relatively prime is their number equal to $r^{2p}$.

To this attaches itself a number of further theorems on those cases in which the points of contact of several contact curves form together the complete intersection of the curve of the $n^{\text{th}}$ order with another curve. Such theorems still exist even when one does not consider contact curves of equal order. For if $m'$, $r'$; $m''$, $r''$; $\ldots$ $m^{(s)}$, $r^{(s)}$ denote the numbers corresponding to the various contact curves considered together, and if the associated systems of the $A$ are denoted in a similar way, it is only necessary that \[ \frac{m'}{r'} + \frac{m''}{r''} + \cdots + \frac{m^{(\mu)}}{r^{(\mu)}} = h. \] be a whole number, and that the equations \[ \frac{A'_{k}}{r'} + \frac{A''_{k}}{r''} + \cdots + \frac{A_{k}^{(\mu)}}{r^{(\mu)}} \equiv 0, \] should hold, in order that the points of contact of the curves of the orders $m'$, $m''$, $\ldots$ $m^{(\mu)}$ may lie on a curve of the $h^{\text{th}}$ order.

I content myself with having indicated this source of theorems here.

§. 7.

Contact of a curve of the fourth order by curves of the third order, with four-point contact at three points; and contact of a curve of the sixth order by curves of the fifth order, with three-point contact at 10 points.

The problems treated in the foregoing are essentially indeterminate. But there are classes of completely determinate contact curves. For $m \geqq n$ these

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always occur when $mn = pr$, or $\dfrac{m}{r} = \dfrac{p}{n}$. If now $n$ has not the form $4h+2$, then $p$ and $n$ have no common factor; one has therefore as the most general assumption $m = p.s$, $r = n.s$. Only when $n$ has the form $4h+2$ do $p$ and $s$ have the common factor 2. In this case one must therefore put $m = \dfrac{p}{2}.s$, $r = \dfrac{n}{2}.s$. And if one combines this with the determinations of the previous §., the following theorem results:

If $s$ is an arbitrary number, and $n$ not of the form $4h+2$, then there are always $n^{2p}(s^{2p}-1)$ curves of the order $p.s$ which touch the curve of the $n^{\text{th}}$ order at $p$ points with $n.s$-point contact. If on the other hand $n$ is of the form $4h+2$, then there are $(\tfrac{1}{2}n)^{2p}.(s^{2p}-1)$ curves of the order $\tfrac{1}{2}p.s$ which touch the curve of the $n^{\text{th}}$ order at $p$ points with $\tfrac{1}{2}n.s$-point contact.

This theorem must apparently suffer two exceptions, for $s = 1$ and $n = 4$ or $n = 6$, because in these cases $m < n$. But in both cases the theorem is nevertheless correct, of which one convinces oneself in the following way. The number of conditions to which a curve touching at $\dfrac{mn}{r}$ points with $r$-point contact is subjected is found equal to $\dfrac{mn}{r}(r-1)$. In order that the curve of the $m^{\text{th}}$ order $(m < n)$ shall thereby be completely determined, one must have the equation: \[ \frac{mn(r-1)}{r} = \frac{m.m+3}{2}, \] or \[ m = \frac{2n(r-1)}{r} - 3. \] First, then, $r$ must be a factor of $2n$; if one further puts $m < n$, one finds $r < 2 + \dfrac{6}{n-3}$. These conditions are in general satisfied only by $r = 2$; but besides by $r = 4$ for $n = 4$, and $r = 3$ for $n = 6$. One therefore obtains the following contact problems, which as completely determinate are of particular interest:

The curve of the $n^{\text{th}}$ order shall be touched by a curve of the $(n-3)^{\text{th}}$ order at $\dfrac{n.n-3}{2}$ points with two-point contact; of which the problem of the double tangents in the curves of the fourth order is a particular case;

a given curve of the fourth order shall be touched by a curve of the third order at three points with four-point contact;

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a given curve of the sixth order shall be touched by a curve of the fifth order at ten points with three-point contact.

The two last problems are already contained in the theorem given above; nevertheless the general results may here be specialized still more closely for these two cases.

For the second problem one obtains the following determination:

There are 4096 curves of the third order which touch a given curve of the fourth order at three points with four-point contact.

The 4096 curves correspond to the 4096 different systems of the $A$ which one can form for $p = 3$ when the numbers $m$, $q$ may receive the values 0, 1, 2, 3. The points of contact of each curve are determined by an equation of the third degree; the coefficients of the equation are $\theta$-functions with the arguments: \[ \left\{ \begin{aligned} v_{1} &= u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + u_{1}^{(3)} \equiv \frac{A_{1}}{4}, \\ v_{2} &= u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + u_{2}^{(3)} \equiv \frac{A_{2}}{4}, \\ v_{3} &= u_{3}^{(1)} + u_{3}^{(2)} + u_{3}^{(3)} \equiv \frac{A_{3}}{4}. \end{aligned} \right. \tag{10.} \] If one denotes the numbers $m$, $q$ corresponding to the various contact curves by upper indices, then one always has the points of contact of three curves upon a new curve of the third order, as soon as \[ \begin{aligned} m'_{i} + m''_{i} + m'''_{i} + m''''_{i} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } 4), \\ q'_{i} + q''_{i} + q'''_{i} + q''''_{i} &\equiv 0 \quad (\text{mod. } 4). \end{aligned} \] The curves of the third order thus obtained divide into three classes; the curves of the first touch with two-point contact at the points of contact of two of the above curves; those of the second touch with two-point contact at the points of contact of one curve, and pass through the points of contact of two others; those of the third class, finally, pass through the points of contact of four different curves. The number of all these curves is very great, and one obtains it easily by a simple enumeration, which I believe I may pass over here. For more on the grouping of these contact curves see below.

If a curve of the sixth order is to be touched by a curve of the fifth order at ten points with three-point contact, then one has $p = 10$, $m = 5$, $n = 6$, $r = 3$; each system of ten points of contact is found by means of an equation

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of the tenth degree, whose coefficients are $\theta$-functions with the arguments: \[ \begin{aligned} v_{1} &= u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{(10)} \equiv \frac{A_{1}}{3}, \\ v_{2} &= u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{(10)} \equiv \frac{A_{2}}{3}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ v_{10} &= u_{10}^{(1)} + u_{10}^{(2)} + \cdots + u_{10}^{(10)} \equiv \frac{A_{10}}{3}. \end{aligned} \] The number of the contact curves is $3^{20}$. By adding the equations of this kind which belong to three different contact curves, and then putting \[ \frac{A_{k} + A'_{k} + A''_{k}}{3} \equiv 0 \] one finds the theorem:

Any two systems of points of contact lie on a curve of the fifth order, which cuts the curve of the sixth order further in the points of contact of a third contact curve. Of such curves of the fifth order there are therefore $\dfrac{3^{20}.3^{20}-1}{6}$.

§. 8.

Curves of the $(n-3)^{\text{th}}$ order which touch a given curve of the $n^{\text{th}}$ order at $\dfrac{n.n-3}{2}$ points with two-point contact.

The problem, so to lay a curve of the $(n-3)^{\text{th}}$ order that it touches a given curve of the $n^{\text{th}}$ order at $\dfrac{n.n-3}{2}$ points with two-point contact, is by far more important than the previous ones, and of outstanding interest. Keeping to the notation used hitherto, the equations between the integrals to which this problem leads present themselves as follows: \[ \left\{ \begin{aligned} u_{1}^{(1)} + u_{1}^{(2)} + \cdots + u_{1}^{\left(\frac{n.n-3}{2}\right)} &\equiv \frac{A_{1}}{2}, \\ u_{2}^{(1)} + u_{2}^{(2)} + \cdots + u_{2}^{\left(\frac{n.n-3}{2}\right)} &\equiv \frac{A_{2}}{2}, \\ &\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \\ u_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}^{(1)} + u_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}^{(2)} + \cdots + u_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}^{\left(\frac{n.n-3}{2}\right)} &\equiv \frac{A_{\left(\frac{n-1.n-2}{2}\right)}}{2}. \end{aligned} \right. \tag{11.} \]

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The number of these equations is greater by one than that of the unknowns. Nevertheless the equations are compatible with one another, as shall now be shown; but no one of them is a consequence of the others, rather they can subsist side by side only for certain systems of the $A$.

Mr. Riemann has proved loc. cit. p. 147 the theorem that one can set a given system of $p$ quantities equal to the sums of $p-1$ corresponding integrals each always and only then, and in general only in one way, when $\theta$ vanishes for the given quantities as arguments. In our case $p = \dfrac{n-1.n-2}{2}$, $p-1 = \dfrac{n.n-3}{2}$; there is therefore always a contact curve of the kind sought as soon as $\theta$, formed with the arguments $\frac{A_{1}}{2}$, $\frac{A_{2}}{2}$, … $\frac{A_{p}}{2}$, becomes equal to zero. One must therefore have: \[ \begin{aligned} 0 &= \mathop{\Sigma}\limits_{n=-\infty}^{n=+\infty} e^{\mathop{\Sigma}\limits_{h,k=1}^{h,k=p} a_{hk}\,n_{h}\,(n_{k}+q_{k}) \,+\, i\pi \mathop{\Sigma}\limits_{k=1}^{k=p} n_{k}m_{k}}\\[2ex] &= e^{-\frac{i\pi}{2}\Sigma m_{k}q_{k} \,-\, \frac{1}{4}\Sigma\Sigma a_{hk}\,q_{h}q_{k}}.\Sigma e^{\Sigma\Sigma \frac{2n_{h}+q_{h}}{2}.\frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,a_{hk} \,+\, i\pi\Sigma \frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,m_{k}}. \end{aligned} \] The sum occurring in the last form passes over, if one puts $-(n_{k}+q_{k})$, $-(n_{h}+q_{h})$ for $n_{k}$, $n_{h}$, also into \[ \Sigma e^{\Sigma\Sigma \frac{2n_{h}+q_{h}}{2}.\frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,a_{hk} \,-\, i\pi \Sigma \frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,m_{k}}, \] and if one adds this sum to the previous one, with which it is identical, there is found: \[ 0 = \left\{ \Sigma e^{\Sigma\Sigma \frac{2n_{h}+q_{h}}{2}.\frac{2n_{k}+q_{k}}{2}\,a_{hk}}.(-1)^{\Sigma n_{k}m_{k}} \right\} \cos\left(\frac{\Sigma q_{k}m_{k}}{2}\pi\right). \] The $\theta$-function considered therefore always vanishes when \[ q_{1}m_{1}+q_{2}m_{2}+\cdots+q_{p}m_{p} = 2h+1, \tag{12.} \] and this is the condition for the coexistence of the equations (11.).

Let us now investigate the number of the combinations by which the equations (12.) can be satisfied. Let $k$ of the quantities $q$ be equal to 0, the remaining $(p-k)$ equal to 1; the $m$ corresponding to the first quantities $q$ can then be 0 or 1, which gives $2^{k}$ combinations; but the sum of the other $m$ must be odd, or the last is always determined by the remaining $p-k-1$

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of them. The latter $m$ can therefore still be chosen in $2^{p-k-1}$ ways, or the $m$ as a whole in $2^{p-1}$ ways. Since the $q$ can satisfy the stated conditions in $\frac{p.p-1\ldots p-k+1}{1.2\ldots k}$ ways, there are \[ \frac{p.p-1\ldots p-k+1}{1.2\ldots k}.2^{p-1} \] systems of the $A$ in which $k$ of the quantities $q$ are equal to 0. If we now put $k = 0,\ 1,\ 2,\ \ldots p-1$, there are found in all \[ 2^{p-1}\left(1+\frac{p}{1}+\frac{p.p-1}{1.2}+\cdots+p\right) = 2^{p-1}(2^{p}-1) \] systems of the $A$, or the theorem:

There are $2^{\frac{n.n-3}{2}}\left(2^{\frac{n-1.n-2}{2}}-1\right)$ curves of the $(n-3)^{\text{th}}$ order which touch a given curve of the $n^{\text{th}}$ order at $\frac{n.n-3}{2}$ points with two-point contact.

For $n=4$ this gives the 28 double tangents.

The points of contact of each curve can be found by means of an equation of the $(p-1)^{\text{th}}$ degree. For one needs only to add, on both sides of the equations (11.), the $u$ corresponding to an arbitrarily given point, and one then has before one the arguments of $\theta$-functions. Out of these are put together the coefficients of an equation of the $p^{\text{th}}$ degree, of which one root (corresponding to the arbitrarily chosen point) is known.

The points of contact of $\mu$ curves of this kind lie in every case on a curve of the order $\frac{\mu(n-3)}{2}$, as soon as the system subsists: \[ \frac{A_{k}^{(1)}+A_{k}^{(2)}+\cdots+A_{k}^{(\mu)}}{2} \equiv 0, \] in which the upper indices relate to the various curves considered. One surveys the field of theorems and enumerations which result from this, and which form the natural generalization of those results to which one is led in the theory of the double tangents of the curves of the fourth order. I remark upon only one further theorem, which likewise, in its most special form, is already known in the case of the curves of the fourth order. For if one considers the curves of the $2h-(n-3)^{\text{th}}$ order which touch a curve of the $n^{\text{th}}$ order at $hn-\frac{n.n-3}{2}$ points with two-point contact, and adds to the corresponding equations \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{\left(hn-\frac{n.n-3}{2}\right)} \equiv \frac{A_{k}}{2} \]

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the equations (11.), on the presupposition of the same system of the $A$, then it is found that the first $hn-\frac{n.n-3}{2}$ points of contact lie, together with the $\frac{n.n-3}{2}$ points of contact of the curve of the $(n-3)^{\text{th}}$ order, on a curve of the $h^{\text{th}}$ order. Now the number of the systems of contact curves of the $2h-(n-3)^{\text{th}}$ order is equal to $2^{2p}$, and only when $n$ is odd must one exclude the system for which the system of the $A$ vanishes. One has therefore the following theorem:

Among the $2^{2p}\left(p = \frac{n-1.n-2}{2}\right)$ systems of contact curves which, for even $n$, are of odd order $m$, or, for odd $n$, of even order $m$, and which touch the given curve of the $n^{\text{th}}$ order with two-point contact everywhere where they meet it, there are always $2^{p-1}(2^{p}-1)$ such that the points of contact of every curve of the system lie, together with those of a determinate one of the above contact curves of the $(n-3)^{\text{th}}$ order, on a curve of the $\frac{m+n-3}{2}{}^{\text{th}}$ order; and there are, for even $n$, $2^{p-1}(2^{p}+1)$, for odd, $2^{p-1}(2^{p}+1)-1$ such systems in which the points of contact never lie on a curve of the $\frac{m+n-3}{2}{}^{\text{th}}$ order.

§. 9.

The double tangents of the curves of the fourth order.

The general results developed shall now be carried out more closely for the curves of the fourth order.

The number of the double tangents is, by §. 8, equal to 28, as is known. But according to the foregoing one can represent them schematically, as follows. Each double tangent may be denoted by the series, enclosed in brackets, of the numbers $m$, $q$ corresponding to it, that is by: \[ (m_{1},\, m_{2},\, m_{3};\, q_{1},\, q_{2},\, q_{3}). \] The numbers can be 0 or 1, yet so that always \[ m_{1}q_{1}+m_{2}q_{2}+m_{3}q_{3} \equiv 1 \quad \text{(mod.\ 2)}. \] If therefore we take for the $m$ all possible systems consisting of the numbers 0 and 1, $0,0,0$ excepted, and determine, in accordance with the above equation, the corresponding systems of the $q$, we obtain the 28 double tangents in the following scheme: \[ \begin{array}{ccccccc} (100,\,100) & (010,\,010) & (001,\,001) & (011,\,010) & (101,\,100) & (110,\,100) & (111,\,100)\\ (100,\,110) & (010,\,110) & (001,\,011) & (011,\,001) & (101,\,110) & (110,\,101) & (111,\,010)\\ (100,\,101) & (010,\,011) & (001,\,101) & (011,\,110) & (101,\,001) & (110,\,010) & (111,\,001)\\ (100,\,111) & (010,\,111) & (001,\,111) & (011,\,101) & (101,\,011) & (110,\,011) & (111,\,111). \end{array} \]

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There are, by §. 5, 63 systems of conics (Hesse, this Journal volume 49.) which touch the curve at 4 points, corresponding to the 63 possible combinations \[ (m_{1},\, m_{2},\, m_{3};\, q_{1},\, q_{2},\, q_{3}), \] the combination $(000,\, 000)$ alone excepted.

Such a contact conic always breaks up into two double tangents \[ (m'_{1},\, m'_{2},\, m'_{3};\; q'_{1},\, q'_{2},\, q'_{3}), \qquad (m''_{1},\, m''_{2},\, m''_{3};\; q''_{1},\, q''_{2},\, q''_{3}), \] as soon as \[ m'_{i}+m''_{i} \equiv m_{i}, \qquad q'_{i}+q''_{i} \equiv q_{i} \quad \text{(mod.\ 2)}, \tag{13.} \] where besides it must be the case that: \[ \left\{ \begin{aligned} m'_{1}q'_{1}+m'_{2}q'_{2}+m'_{3}q'_{3} &\equiv 1,\\ m''_{1}q''_{1}+m''_{2}q''_{2}+m''_{3}q''_{3} &\equiv 1. \end{aligned} \right. \tag{14.} \] Here either the $q$ or the $m$ are not all zero; let us assume that this occurs with the $q$; otherwise, in the following determination, the $q$ would merely have to be interchanged with the $m$. Then, first, the equations (13.) show that for given $q_{i}$ one can choose the $q'_{i}$, $q''_{i}$ in six different ways. For in general there exist eight combinations of the $q'$, $q''$ which satisfy those equations; but of these the two are to be excluded for which all the $q'$ or all the $q''$ are zero (which cannot occur together). These six ways give three pairs of systems $q'$, $q''$, since two ways always differ from one another only by the interchange of the $q'$ with the $q''$.

In each pair of systems at least one pair of corresponding $q$ is unequal, hence 0 and 1, and accordingly some other one is 1 and 0 or 1 and 1. There exist therefore a $q'$ and a $q''$ with different lower index which are equal to 1. If one now determines the $m$ corresponding to the third index so that they satisfy the equation (13.) in question (which can happen in two ways), then the remaining $m$ are determined successively from (14.) and (13.). To each of the three pairs $q$ there correspond therefore two pairs $m$; or one has the theorem:

In every system of contact conics there occur six pairs of double tangents. (Hesse, l. c., Salmon, higher plane curves.)

Since for any two such pairs belonging to the same system the sum of all the $m_{i}$ as well as the sum of all the $q_{i}$ is always even, one has further the theorem:

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The points of contact of any two pairs which belong to the same system lie on a conic. (ib., ib.)

The number of the conics thus obtained is, as is known, equal to that of the 63 systems, multiplied by the number 15 of the combinations of 6 pairs two at a time, and divided by 3, since any four tangents whose points of contact lie on a conic can be resolved into two pairs in three ways, so that every conic occurs three times. Thus the number of these conics is 315. The above scheme permits one at once to put together the double tangents corresponding to such conics.

The more general theorem, that the points of contact of any two conics of the same system lie on a conic (Hesse, l. c.), follows from §. 6.

There are further, by §. 6, 64 systems of curves of the third order which touch the curve of the fourth order at 6 points. The integrals corresponding to the points of contact then always satisfy the equations: \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{(6)} \equiv \frac{A_{k}}{2}. \tag{15.} \] One now sees at a glance that these 64 systems separate at once into two classes, according as the system of the $A$ occurs at the same time among the double tangents or not; that is, according as $\Sigma mq \equiv 1$ (which happens 28 times) or $\Sigma mq \equiv 0$ (which can happen in 36 ways). For if one has for any double tangent \[ u_{k}^{(7)}+u_{k}^{(8)} \equiv \frac{A_{k}}{2}, \tag{16.} \] then it follows that \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{(8)} \equiv 0, \] i. e. the points of contact of the curve of the third order lie, together with those of the double tangent, on a conic; whereas, if for a system of the $A$ there is no equation like (16.), the points of contact of the curve cannot lie on any conic either, since the equation (15.) then admits of no suitable completion. One has therefore the theorem (Hesse, l. c.):

Of the 64 systems of the curves of the third order, 28 have the property that the 6 points of contact of a curve lie on a conic, and every conic then still always passes through the points of contact of a double tangent, which remains constant for the same system. The points of contact in the case of the curves of the remaining 36 systems do not lie on a conic.

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On the other hand both classes have, by §. 6, the common property that the points of contact of any two curves of the same system lie on a curve of the third order. (Hesse, l. c.)

To these systems belong also the 4096 curves of the third order which touch the curve of the fourth order at three points with four-point contact (§. 7). In fact there follows from (10.) \[ 2\,(u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+u_{k}^{(3)}) \equiv \frac{A_{k}}{2}; \] every curve therefore belongs to that system of contact curves to which the system of the $A_{k}$ pertains. Conversely, however, there follows from this equation \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+u_{k}^{(3)} \equiv \frac{A_{k}}{4}+\frac{A'_{k}}{2}, \] where in $A_{k}$, $A'_{k}$ the numbers $m$, $q$ may now everywhere receive only the values 0 and 1. If the $A_{k}$ have been disposed of, then the $A'_{k}$ can still be chosen in 64 ways; hence to each of the 64 systems of contact curves of the third order there belong 64 such curves as touch the curve of the fourth order at three points with four-point contact. This agrees with the fact that, by §. 4, through any two points of a curve of the fourth order 64 conics can be laid which touch it at three points. If one lays these conics through the points of contact of a double tangent, then the points of contact of the conic are at the same time those at which a curve of the third order can touch with four-point contact. Thus one obtains the $28.64$ contact curves which belong to the 28 systems mentioned; but one sees that there are still $36.64$ such contact curves at whose points of contact a conic cannot at the same time touch the curve of the fourth order.

In general there are, by §. 5, 63 systems of curves of the $(2m)^{\text{th}}$ order and 64 systems of curves of the $(2m+1)^{\text{th}}$ order which touch the curve of the fourth order with two-point contact wherever they meet it. And these latter 64 systems always divide into 28 and 36 in such a way that the points of contact of a curve out of one of the 28 systems always lie, together with the points of contact of one of the 28 double tangents, on a curve of the $(m+1)^{\text{th}}$ order, while anything similar never takes place with the other 36 systems. But all the systems have the property that the points of contact of any two curves of the same system lie on a curve of the same degree.

From these theorems one can easily pass to a more exact discussion of those cases in which the points of contact of 6, 8 etc. double tangents

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lie on a curve of the third, fourth etc. order, on which theorems have been found by Hesse and Steiner (vol. 49 of this Journal). I pass over these developments, which by the principles developed can be obtained by mere enumerations.

Of curves which touch the curve of the fourth order with multiple-point contact I will at least adduce those of the third order. From §. 6 there follows the theorem:

There are 728 systems of curves of the third order which touch a curve of the fourth order at four points with three-point contact.

Between the integrals there subsist here the equations: \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+u_{k}^{(3)}+u_{k}^{(4)} \equiv \frac{A_{k}}{3}; \] the system of the $A$ may never vanish. If one considers a curve belonging to another system, for which $2A_{k}$ always takes the place of $A_{k}$, and adds the equations corresponding to such a curve to the previous ones, then the sum of analogous integrals is always found congruent to zero. One has therefore the following theorem, which (among others) characterizes the behaviour of these systems:

These 728 systems divide into 364 pairs, two at a time, in such a way that the points of contact of every curve of the one system lie, together with those of every curve of the other system, on a conic.

Similar theorems can be set up in abundance for the contact curves of this and of other orders.

§. 10.

On some theorems of Steiner concerning the curves of the fourth order.

I take this opportunity to prove some theorems on curves of the fourth order which Steiner (this Journal vol. 49, p. 266 ff.) has given, although they do not belong to the series of considerations here set forth.

According to Hesse (this Journal volume 49, p. 261) the setting up of a contact conic comes to this, that one gives the equation of the curve the form \[ uw - v^{2} = 0 \] where $u$, $v$, $w$ are expressions of the second order. All conics which belong to the same one of the 63 systems are then contained in the form \[ u + 2\lambda v + \lambda^{2} w = 0, \]

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and one finds the 6 pairs of tangents occurring in the system by an equation of the sixth degree in $\lambda$, by letting the determinant of this conic vanish. For the point of intersection $x$ of the tangents of a pair the differential quotients \[ u_{i} + 2\lambda v_{i} + \lambda^{2} w_{i} \] must then vanish, and one finds, by a known procedure, the products and squares of the coordinates $x$ proportional to the minor determinants of the conic $u+2\lambda v+\lambda^{2}w = 0$. These expressions have, as one sees at once, the form: \[ \varrho\, x_{i} x_{k} = p_{ik}+\lambda q_{ik}+\lambda^{2} r_{ik}+\lambda^{3} s_{ik}+\lambda^{4} t_{ik}, \] where $\varrho$ denotes an arbitrary factor, and where the $p$, $q$, $\ldots$ depend only upon the coefficients of the curve. If therefore one forms the determinant of these six equations, eliminating $\varrho$ and $\lambda$, one has an equation of the second degree for the $x$ which is entirely independent of the root $\lambda$ chosen. And thus one has the theorem given by Steiner loc. cit.:

The double points of the 6 pairs of double tangents belonging to the same system lie on a conic.

Since identically \[ (uw-v^{2})(k-\lambda)^{2} = (u+2kv+k^{2}w)(u+2\lambda v+\lambda^{2}w)-(u+(k+\lambda)v+k\lambda w)^{2}, \] we have \[ u+(k+\lambda)v+k\lambda w = 0, \] or, what is the same thing, every conic of the form \[ \alpha u+\beta v+\gamma w = 0 \] is one which passes through the points of contact of two conics of the system. If one lets it break up into a pair of lines $p$, $q$, i. e. if one puts: \[ \alpha u_{ik}+\beta v_{ik}+\gamma w_{ik} = p_{i} q_{k}+q_{i} p_{k}, \] then the coordinates of a straight line of the pair satisfy the equation which arises by elimination of $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$: \[ K = \begin{vmatrix} u_{11} & v_{11} & w_{11} & 2p_{1} & 0 & 0\\ u_{22} & v_{22} & w_{22} & 0 & 2p_{2} & 0\\ u_{33} & v_{33} & w_{33} & 0 & 0 & 2p_{3}\\ u_{23} & v_{23} & w_{23} & 0 & p_{3} & p_{2}\\ u_{31} & v_{31} & w_{31} & p_{3} & 0 & p_{1}\\ u_{12} & v_{12} & w_{12} & p_{2} & p_{1} & 0 \end{vmatrix} = 0. \]

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The double points of the pairs must at the same time satisfy the equations: \[ \alpha u_{i}+\beta v_{i}+\gamma w_{i} = 0, \] or, eliminating $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, the equation \[ G = \begin{vmatrix} u_{1} & v_{1} & w_{1}\\ u_{2} & v_{2} & w_{2}\\ u_{3} & v_{3} & w_{3} \end{vmatrix} = 0. \] One has therefore the theorem:

If one constructs the complete quadrangles whose vertices are the points of contact of conics of the same system, then the intersections of opposite sides form the curve of the third order $G=0$, and the sides themselves envelop the curve of the third class $K=0$.

In particular there follow from this, as special cases, the theorems given by Steiner loc. cit.:

On the curve $G=0$ lie the double points of the 6 pairs of double tangents belonging to the system, as well as the points of intersection of the straight lines which connect the points of contact of each pair crosswise.

And:

The curve $K=0$ is touched by the six pairs of double tangents belonging to the system, as well as by the straight lines which connect the points of contact of the pairs crosswise.

If in a complete quadrangle 1, 2, 3, 4, whose vertices are to be points of contact of a conic, one lets two, say 2 and 3, coincide, then 5, 6 (see the Fig.) also fall into the same point. But the points 5, 6 belong to the curve $G=0$; this therefore cuts the given curve of the fourth order at the point in question, the former having the straight line 5, 6, the latter the straight line 2, 3, for tangent. The points of intersection of $G=0$ with the given curve have therefore the property that at them a conic can touch the curve with four-point contact, which besides touches it twice more (at 1 and 4) with two-point contact. In every system there are accordingly 12 conics of this kind.

Since further the points 1, 8, 4, 7 form a harmonic system, so also, at the points considered, the tangent to the given curve, the tangent to $G=0$, and the straight lines drawn from the place of four-point contact to

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the places of two-point contact form a harmonic system. — The point 7 belongs to the curve $G=0$; it becomes here the intersection of the tangent at the place of four-point contact with the chord which joins the places of two-point contact.

The tangent 2, 3 at one of the places of four-point contact is a tangent to $K=0$; likewise the straight lines 2, 1; 3, 4, which join that place with those of two-point contact; since now 3, 1; 2, 4 are also tangents of this curve, and these coincide infinitely nearly with the straight lines just named, 1, 4, the places of two-point contact, must lie on $K=0$ as points of intersection of consecutive tangents. This curve is of the sixth order; the 24 points 1, 4 occurring in one system therefore represent the complete system of intersection of the curve $K=0$ with the given curve. Thus the following theorems given by Steiner are proved:

There are $63.12 = 756$ conics which touch a given curve of the fourth order at one point $a$ with four-point contact, and besides at two others, $b$, $c$, with two-point contact.

The points $a$ are in every system the 12 intersections of $G=0$ with the given curve; on $G=0$ lie also $b$, $c$ and the point of intersection of the tangent of the given curve at the point $a$ with the chord $b$, $c$.

At every point $a$ the straight lines drawn to $b$, $c$ form, with the tangents of the given curve and of the curve $G=0$, a harmonic system.

The tangent at $a$, as well as the three straight lines $ab$, $ac$, $bc$, touch the curve $K=0$, and indeed $ab$, $ac$ at $b$ and $c$ themselves, so that the points $b$, $c$ represent in every system the complete intersection of $K=0$ with the given curve.

Steiner finally develops connexions between the curves $G=0$, $K=0$. The relation in which these curves stand to one another can be recognized as follows.

Let us consider, instead of the functions $u$, $v$, $w$, any linear combinations of them \[ \begin{aligned} U_{1} &= a_{1} u+b_{1} v+c_{1} w,\\ U_{2} &= a_{2} u+b_{2} v+c_{2} w,\\ U_{3} &= a_{3} u+b_{3} v+c_{3} w. \end{aligned} \]

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These three new functions can always be so determined that they are the partial differential quotients of a function of the third order with respect to $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$. For this it is necessary that the following identical equations subsist: \[ \begin{aligned} a_{2} u_{3}+b_{2} v_{3}+c_{2} w_{3} &= a_{3} u_{2}+b_{3} v_{2}+c_{3} w_{2},\\ a_{3} u_{1}+b_{3} v_{1}+c_{3} w_{1} &= a_{1} u_{3}+b_{1} v_{3}+c_{1} w_{3},\\ a_{1} u_{2}+b_{1} v_{2}+c_{1} w_{2} &= a_{2} u_{1}+b_{2} v_{1}+c_{2} w_{1}. \end{aligned} \] These equations are linear in the $x$; if therefore one sets the coefficients on both sides equal to one another, one finds 9 linear equations which are homogeneous with respect to the sought quantities $a$, $b$, $c$. Nevertheless they can be satisfied; for one remarks at once that their determinant is a skew one, and accordingly, being of odd degree, vanishes identically.

Now the expressions $G$ and $K$ obviously do not change at all if in forming them one lays at the foundation, instead of $u$, $v$, $w$, any linear combinations of them, e. g. the partial differential quotients, just found, of a homogeneous function $f$ of the third order. But then one has, up to a numerical factor: \[ G = \Delta_{f}, \qquad K = S_{f}, \] where $\Delta_{f}$ denotes the covariant of the third order, $S_{f}$ the first associated form of the third class of $f$. From the known part which the curves $\Delta_{f}=0$, $S_{f}=0$ play in the theory of the curves of the third order there follow therefore immediately the relations given by Steiner. The curves $\Delta_{f}=0$, $S_{f}=0$ are the same which Mr. Cremona, in his „Introduzione ad una teoria geometrica della curve piane“, has designated as the Hessian and the Cayleyan curve. Of these the following theorems hold:

The harmonic polars belonging to the points of inflexion of the Hessian curve are the cuspidal tangents of the Cayleyan curve. (Hesse, this Journal vol. 38, p. 252.)

The harmonic points belonging to the cuspidal tangents of the Cayleyan curve are the points of inflexion of the Hessian curve. (ib.)

The inflexional tangents of $u=0$ touch the Hessian and the Cayleyan curve at the same 9 points. (Cremona, l. c. p. 116.)

Every tangent of the Cayleyan curve cuts the Hessian curve at two points whose tangents meet on the Hessian curve, and at a third point which forms a harmonic system with the point of contact on the Cayleyan curve and with the other two points of intersection. (ib.)

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From every point of the Hessian curve three tangents go to the Cayleyan; the connecting line of the points of contact of two of them is a tangent of the Cayleyan curve; the third forms a harmonic system with the tangent drawn to the Hessian curve at the starting point and with the first two tangents. (ib.)

The mere application of these theorems gives the following results, given by Steiner:

From every point of inflexion $w$ of the curve $G=0$ three tangents $Q$, $Q_{1}$, $Q_{2}$ go to the curve, which touch at $q$, $q_{1}$, $q_{2}$. These latter three points lie on a cuspidal tangent $R$ of the curve $K=0$. This cuts $K=0$, besides at $q$ and besides at the cusp $r$, at two points $q'$, $q''$, whose tangents $Q'$, $Q''$ likewise intersect at $w$. The points $r$, $q$, $q_{1}$, $q_{2}$ form a harmonic system, the tangents $Q$, $Q'$, $Q''$ with the inflexional tangent drawn at $w$ a second.

§. 11.

On the connexion of the curves of double curvature with Abelian functions.

In the foregoing only plane curves have been treated. I shall now show how similar principles can be set up for the treatment of the curves of double curvature.

Let us consider the intersection of two algebraic surfaces. Let the one of them, $u=0$, be of the $m^{\text{th}}$ order, the other, $v=0$, of the $n^{\text{th}}$ order. The curve of intersection we can bring into connexion with two pencils of planes, whose axes lie arbitrarily in space, in such a way that two corresponding planes of the two pencils intersect one another on the curve. For if the equations of the pencils are \[ \left\{ \begin{aligned} (a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}+a_{4} x_{4})+z\,(b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+b_{3} x_{3}+b_{4} x_{4}) &= 0,\\ (\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\alpha_{3} x_{3}+\alpha_{4} x_{4})+s\,(\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\beta_{3} x_{3}+\beta_{4} x_{4}) &= 0, \end{aligned} \right. \tag{17.} \] then the elimination of the $x$ from these equations and from $u=0$, $v=0$ leads to an equation \[ F(s,z) = 0, \tag{18.} \] which expresses the mutual relation of dependence of the parameters of the pencils.

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This equation is of the degree $m+n$ for $s$ as well as for $z$. But it is not irreducible under all circumstances; rather, if the surfaces $u=0$, $v=0$ have particular positions with respect to one another, it breaks up of itself into factors. For let a part of the curve of section be at the same time representable as part of the intersection of two surfaces $u'=0$, $v'=0$ which are of lower degree than $u=0$, $v=0$; let the part $a'$ thus added, together with another $a''$, be the curve of section of two surfaces $u''=0$, $v''=0$ which are again of lower degree, and so on, until at last a part of a curve $a^{(\mu-1)}$, together with a curve $a^{(\mu)}$, is the intersection of two surfaces $u^{(\mu)}=0$, $v^{(\mu)}=0$, and $a^{(\mu)}$ can be represented as the complete section of two surfaces of lower degree. Thus there are innumerable pairs of surfaces whose intersection breaks up into another curve and into a space curve of the third order; this, together with a straight line, is representable as the intersection of two surfaces of the second order, and the straight line added forms finally the complete intersection of two planes. If we now conceive the equations corresponding to the equation (18.) to be formed in succession for all these curves of section; \[ F(s,z)=0, \qquad F^{(1)}(s,z)=0, \qquad \ldots \qquad F^{(\mu+1)}(s,z)=0, \] then the following equations must subsist, in which the $\varphi$ denote integral functions: \[ \begin{aligned} F^{(\mu)}(s,z) &= \varphi^{(\mu)}(s,z).F^{(\mu+1)}(s,z),\\ F^{(\mu-1)}(s,z) &= \varphi^{(\mu-1)}(s,z).\varphi^{(\mu)}(s,z),\\ F^{(\mu-2)}(s,z) &= \varphi^{(\mu-2)}(s,z).\varphi^{(\mu-1)}(s,z), \end{aligned} \] \[ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot \] \[ F(s,z) = \varphi(s,z).\varphi^{(1)}(s,z). \] In this case, therefore, the equation $F(s,z)=0$ is reducible, and one can conceive it as the product of two, or, generally speaking, of several irreducible factors. Every branch of a space curve which corresponds to such a factor may count as an algebraically defined simple space curve. Its order is the order of $s$ and $z$ in the corresponding factor; orders which will always be equal, as follows from the scheme just adduced, since, according to what precedes, $s$ and $z$ occur in all the functions $F$ to equal orders.

Every such simple space curve now founds a class of Abelian functions. Let $k$ be the order of the curve, $\varphi(s,z)=0$ the equation corresponding to it.

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The number $p$ which characterizes the associated Abelian functions is then, by §. 1. equal to $\tfrac{1}{2}\mathrm{w}-(k-1)$, where $\mathrm{w}$ denotes the number of those systems of values $s$, $z$ for which $\varphi'(s)=0$ without $\varphi'(z)=0$.

If $\varphi'(s)=0$, this means that the equation $\varphi=0$ has two equal roots $s$. The corresponding value of $z$ determines a plane of the first pencil (17.), which cuts the curve at $k$ points; of these two must coincide in order that two of the corresponding planes of the pencil $s$ shall become identical. Here the following cases may now occur. Either the plane in question of the pencil $z$ is a tangent plane of the curve; or the plane $s$ intersects the plane $z$ in a straight line which meets the curve at two different points; or finally the curve has a double point, which indicates a contact of the given surfaces or a node in one of the two. In the two last cases a double value of $s$ belongs to a value of $z$ just as much as, conversely, a double value of $z$ belongs to a value of $s$; in both cases, therefore, both $\varphi'(s)$ and $\varphi'(z)$ must vanish. We exclude only those cases in which the double point passes over into a cusp and therefore also $\varphi''(ss)\,\varphi''(zz)-\varphi''(sz)^{2}=0$.

The number $\mathrm{w}$ therefore obviously denotes the rank of the curve, i. e. the number of those tangents of the curve which meet a given straight line. For as often as the axis of the pencil $s$ is met by a tangent of the curve, a plane of the pencil is a tangent plane of the curve, and therefore for it $\varphi'(s)=0$ without $\varphi'(z)$ vanishing. According to Mr. Salmon (Geometry of three dimensions p. 237) this number is determined from the formula \[ \mathrm{w} = k(k-1)-2d, \] where $d$ denotes the number of the rays proceeding from a point which meet the curve twice, whether this twofold meeting take place, as in the case of a double point, at the same point, or at different points.

Thus one has finally \[ p = \frac{(k-1)(k-2)}{2}-d \] for the characteristic number of the Abelian functions belonging to the curve.

In what follows I shall presuppose that the curve considered is the complete intersection, not resolvable into parts, of two surfaces

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which do not touch one another; that the curve possesses no cusps and no double points whatever ${}^{*)}$. In this case the order of the curve becomes $=mn$, and, according to Mr. Salmon (l. c. p. 249), its rank \[ \mathrm{w} = mn\,(m+n-2), \] hence \[ p = \frac{mn\,(m+n-4)}{2}+1; \] a number which, in agreement with what precedes, passes over for $m=1$ into $\dfrac{n-1.n-2}{2}$.

It is easy to form the $p$ everywhere finite integrals which correspond to this case. From the equations \[ \begin{aligned} u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}+u_{3} x_{3}+u_{4} x_{4} &= 0,\\ v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}+v_{3} x_{3}+v_{4} x_{4} &= 0,\\ u_{1}\,dx_{1}+u_{2}\,dx_{2}+u_{3}\,dx_{3}+u_{4}\,dx_{4} &= 0,\\ v_{1}\,dx_{1}+v_{2}\,dx_{2}+v_{3}\,dx_{3}+v_{4}\,dx_{4} &= 0 \end{aligned} \qquad \left(u_{i} = \frac{\partial u}{\partial x_{i}}, \quad v_{i} = \frac{\partial v}{\partial x_{i}}\right) \] there result the following, in which $d\mu$ denotes an indeterminate factor: \[ \begin{aligned} x_{1}\,dx_{2}-x_{2}\,dx_{1} &= (u_{3} v_{4}-u_{4} v_{3})\,d\mu, & x_{2}\,dx_{3}-x_{3}\,dx_{2} &= (u_{1} v_{4}-u_{4} v_{1})\,d\mu,\\ x_{1}\,dx_{3}-x_{3}\,dx_{1} &= (u_{4} v_{2}-u_{2} v_{4})\,d\mu, & x_{3}\,dx_{4}-x_{4}\,dx_{3} &= (u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1})\,d\mu,\\ x_{1}\,dx_{4}-x_{4}\,dx_{1} &= (u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2})\,d\mu, & x_{4}\,dx_{2}-x_{2}\,dx_{4} &= (u_{1} v_{3}-u_{3} v_{1})\,d\mu. \end{aligned} \] If therefore $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$, $b_{1}$, $b_{2}$, $\ldots$ denote entirely arbitrary quantities, then the expression \[ \frac{\Sigma \pm a_{1} b_{2} x_{3}\,dx_{4}}{\Sigma a_{i} u_{i}.\Sigma b_{i} v_{i} - \Sigma a_{i} v_{i}.\Sigma b_{i} u_{i}} = d\mu, \] is accordingly completely independent of the values of these quantities. It is of the $-(m+n-4)^{\text{th}}$ dimension; the integral \[ \Psi = \int \frac{\Theta.\Sigma \pm a_{1} b_{2} x_{3}\,dx_{4}}{\Sigma a_{i} u_{i}.\Sigma b_{i} v_{i} - \Sigma a_{i} v_{i}.\Sigma b_{i} u_{i}} \] can therefore, by means of $u=0$, $v=0$, be represented as the integral of a differential expression with a single variable, as soon as $\Theta$ is a homogeneous function of the order $(m+n-4)$. Under the presuppositions made this

*) Such a curve shall sometimes, for brevity, be called a curve of the $mn^{\text{th}}$ order. The nature of the curve then depends not merely on the number of its order, but also on its resolution, i. e. on the orders of the surfaces which intersect one another in it.

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integral also remains everywhere finite, and it is only still necessary to convince oneself whether $p$ integrals are really obtained by different assumptions of $\Theta$. Let us remark for this purpose that $\Theta$ can be transformed by means of the equations $u=0$, $v=0$ without the integral changing. One can therefore, if $U$, $V$ denote two functions of the $(m-4)^{\text{th}}$ and $(n-4)^{\text{th}}$ order, put in place of $\Theta$ the function \[ \Theta+Uu+Vv \] and determine the constants of $U$, $V$ so that just as many constants vanish in $\Theta$. Accordingly the number of the arbitrary constants contained in $\Theta$ is still \[ \begin{aligned} &\tfrac{1}{6}\{(m+n-1)(m+n-2)(m+n-3)-(m-1)(m-2)(m-3)-(n-1)(n-2)(n-3)\}\\ &\qquad = \frac{mn\,(m+n-4)}{2}+1 = p. \end{aligned} \] One therefore really obtains neither more nor fewer than $p$ independent, everywhere finite integrals by assigning to these constants all possible values.

§. 12.

Abel's theorem applied to the section of algebraic surfaces.

Let now $w=0$ be a surface of the $k^{\text{th}}$ order. Let us consider the expression $\Sigma\Psi$ extended over all the points of intersection of the surface $w=0$ with the given curve. Let us again introduce in the integration the coefficients of a function $w$, by the equation $w=0$, as variables, so that only in the upper limits does $w$ pass over into the given surface. If we denote by $\delta w$ that which arises from $w$ by variation of the coefficients, then \[ \Sigma w_{i}\,dx_{i} = -\delta w. \]

If we therefore multiply under the integral sign of $\Psi$ by the determinant \[ \Sigma \pm c_{1} u_{2} v_{3} w_{4}, \] we obtain in the numerator: \[ \Sigma \pm a_{1} b_{2} x_{3}\,dx_{4}.\Sigma \pm c_{1} u_{2} v_{3} w_{4} = \begin{vmatrix} \Sigma a_{i} c_{i} & \Sigma b_{i} c_{i} & \Sigma c_{i} x_{i} & \Sigma c_{i}\,dx_{i}\\ \Sigma a_{i} u_{i} & \Sigma b_{i} u_{i} & 0 & 0\\ \Sigma a_{i} v_{i} & \Sigma b_{i} v_{i} & 0 & 0\\ \Sigma a_{i} w_{i} & \Sigma b_{i} w_{i} & 0 & -\delta w \end{vmatrix} \] \[ = -\delta w.\Sigma c_{i} x_{i}.\{\Sigma a_{i} u_{i} \Sigma b_{i} v_{i} - \Sigma b_{i} u_{i} \Sigma a_{i} v_{i}\}, \]

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hence \[ \Psi = -\int \frac{\Theta.\Sigma c_{i}x_{i}.\delta w}{\Sigma\pm c_{1}u_{2}v_{3}w_{4}}. \] If we now form the sum of such expressions, extended over the points of intersection considered: \[ \Sigma\Psi = -\int\Sigma\,\frac{\Theta.\Sigma c_{i}x_{i}.\delta w}{\Sigma\pm c_{1}u_{2}v_{3}w_{4}}, \tag{19.} \] and if we presuppose about $\Theta$ only that it is a homogeneous function of the $m+n-4^{\text{th}}$ order, then with the variation of each coefficient of $w$ there is multiplied only a rational symmetric function of the coordinates of all the points of intersection, which can be expressed rationally by the coefficients of $w$. The performance of the integration can therefore lead only to rational and logarithmic functions of the coefficients of $w$. And thus one has the following theorem:

If one cuts the curve of section of two surfaces $u=0$, $v=0$ of the $m^{\text{th}}$ and $n^{\text{th}}$ order by a surface $w=0$, and if $\Theta$ is a homogeneous rational function of the $(m+n-4)^{\text{th}}$ order, then the sum of the integrals \[ \int \frac{\Theta.\Sigma\pm a_{i}b_{i}x_{i}\,dx_{i}}{\Sigma a_{i}u_{i}.\Sigma b_{i}v_{i} - \Sigma b_{i}u_{i}.\Sigma a_{i}v_{i}}, \] extended over all the points of intersection of the curve with $w=0$, becomes an aggregate of rational and logarithmic functions of the coefficients of $w$.Editorial note: The numerator of the displayed integral is printed with one index throughout, $\Sigma\pm a_{i}b_{i}x_{i}\,dx_{i}$. The same sum is set $\Sigma\pm a_{1}b_{2}x_{3}\,dx_{4}$ on pp. 221 and 222, and again in the very next theorem; the alternating sum requires four distinct indices. Kept as printed.

One can, however, as shall be done in the following §., prove that, if $\Theta$ is an integral function of the $(m+n-4)^{\text{th}}$ order, the expression standing under the integral sign in the equation (19.) vanishes, since in general the sum of the expressions \[ \frac{F.\Sigma c_{i}x_{i}}{\Sigma\pm c_{1}u_{2}v_{3}w_{4}}, \] where $F$ is a homogeneous function of the $(m+n+k-4)^{\text{th}}$ order, vanishes when one extends it over the points of intersection of the surfaces $u=0$, $v=0$, $w=0$. Then $\Sigma\Psi$ becomes a constant, and one obtains the theorem:

The sum of the integrals \[ \int \frac{\Theta.\Sigma\pm a_{1}b_{2}x_{3}\,dx_{4}}{\Sigma a_{i}u_{i}.\Sigma b_{i}v_{i} - \Sigma a_{i}v_{i}.\Sigma b_{i}u_{i}}, \] where $\Theta$ is an integral function of the $(m+n-4)^{\text{th}}$ order, becomes equal to a constant if one extends the sum over all the points of intersection of the surfaces of the $m^{\text{th}}$, $n^{\text{th}}$ and $k^{\text{th}}$ order $u=0$, $v=0$, $w=0$.

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These theorems are special cases of the following, which is enunciated for an arbitrary number of variables:

Let the variables $x_{1}$, $x_{2}$ … $x_{r}$ be brought into connexion with one another by the equations \[ u_{1}=0, \quad u_{2}=0, \quad \ldots \quad u_{r-2}=0, \] which shall be homogeneous with respect to them and of the order $m_{1}$, $m_{2}$, … $m_{r-2}$. If we now choose quite arbitrarily any $r(r-2)$ quantities \[ \begin{matrix} a_{1}^{(1)}, & a_{2}^{(1)}, & \ldots & a_{r}^{(1)},\\ a_{1}^{(2)}, & a_{2}^{(2)}, & \ldots & a_{r}^{(2)},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot & \cdot\quad\cdot\quad\cdot & \cdot\quad\cdot & \cdot\quad\cdot\\ a_{1}^{(r-2)}, & a_{2}^{(r-2)}, & \ldots & a_{r}^{(r-2)}, \end{matrix} \] and denote by $\alpha_{k}^{(i)}$ the expression \[ \alpha_{k}^{(i)} = a_{1}^{(i)}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{1}} + a_{2}^{(i)}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{2}}\cdots + a_{r}^{(i)}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{r}}, \] and if finally $\Theta$ is a homogeneous function of the $(m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r-2}-r)^{\text{th}}$ order, then the sum of the integrals \[ \int \frac{\Theta.\Sigma\pm a_{1}^{(1)}a_{2}^{(2)}\ldots a_{r-2}^{(r-2)}x_{r-1}\,dx_{r}}{\Sigma\pm\alpha_{1}^{(1)}\alpha_{2}^{(2)}\ldots\alpha_{r}^{(r)}}, \] extended over all the systems of values which the given equations determine together with an $(r-1)^{\text{th}}$ equation $u=0$, is composed of algebraic and logarithmic functions of the coefficients of the last equation, and is in particular constant when $\Theta$ is an integral function.

§. 13.

Extension of an algebraic theorem set up by Jacobi.

The lemma applied above can now be derived for arbitrarily many variables in the following way, extending the proof carried out by Jacobi (this Journal vol. 14, pag. 281.).

Let $s$ equations \[ u^{(1)}=0, \quad u^{(2)}=0, \quad \ldots \quad u^{(s)}=0 \] be given which contain the unknowns $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$, not homogeneously. The number of the solutions common to all is $\mu$. One can find these solutions by eliminating all the unknowns but one, and then solving an

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equation of the $\mu^{\text{th}}$ degree. According as $x_{1}$, $x_{2}$ … $x_{s}$ is the unknown retained, let these final equations of the $\mu^{\text{th}}$ degree be denoted by \[ X_{1}=0, \quad X_{2}=0, \quad \ldots \quad X_{s}=0 \] One can then put identically: \[ \left\{ \begin{aligned} M_{1}^{(1)}u^{(1)}+M_{1}^{(2)}u^{(2)}+\cdots+M_{1}^{(s)}u^{(s)} &= X_{1},\\ M_{2}^{(1)}u^{(1)}+M_{2}^{(2)}u^{(2)}+\cdots+M_{2}^{(s)}u^{(s)} &= X_{2},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ M_{s}^{(1)}u^{(1)}+M_{s}^{(2)}u^{(2)}+\cdots+M_{s}^{(s)}u^{(s)} &= X_{s}; \end{aligned} \right. \tag{20.} \] and here, if $m^{(i)}$ denotes the degree of $u^{(i)}$, $M_{k}^{(i)}$ is of the order $\mu-m^{(i)}$. If we now substitute in these equations for the $x$ values which indeed satisfy singly the equations $X_{1}=0$, $X_{2}=0$, … $X_{s}=0$, but form no system of values belonging together and satisfying the given equations, then in (20.) the left-hand sides vanish, but not the $u$, and the determinant of the $M$ must therefore vanish.

Let us now differentiate the equations (20.) with respect to the various $x$, and then substitute systems of values belonging together. From the differentiation of the $i^{\text{th}}$ equation we obtain the systemEditorial note: The second row of the system below is printed with a roman $d$ in its last denominator, $\partial u^{(s)}/dx_{2}$. Every other denominator in the system has $\partial$, and a partial derivative is what the differentiation requires. Kept as printed. \[ \begin{aligned} M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{1}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{1}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{\partial x_{1}} &= 0,\\ M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{2}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{2}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{dx_{2}} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{i}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{i}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{\partial x_{i}} &= \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ M_{i}^{(1)}\frac{\partial u^{(1)}}{\partial x_{s}} + M_{i}^{(2)}\frac{\partial u^{(2)}}{\partial x_{s}} + \cdots + M_{i}^{(s)}\frac{\partial u^{(s)}}{\partial x_{s}} &= 0, \end{aligned} \] and, if $R$ is the functional determinant of the $u$, by solution: \[ R.M_{i}^{(h)} = \frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}}.\frac{\partial R}{\partial\dfrac{\partial u^{(h)}}{\partial x_{i}}}. \] If therefore one now forms the determinant $\Delta$ of the $M$ for such a system of the $x$ belonging together, there is found: \[ \Delta = \frac{1}{R}.\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}.\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}\ldots\frac{\partial X_{s}}{\partial x_{s}}. \tag{21.} \]

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Meanwhile one has, by the ordinary rules of decomposition into partial fractions: \[ \frac{\Delta}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}} = \Sigma\left(\frac{\Delta}{\dfrac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}\dfrac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}\ldots\dfrac{\partial X_{s}}{\partial x_{s}}}\right).\frac{1}{x_{1}-x'_{1}.x_{2}-x'_{2}\ldots x_{s}-x'_{s}}, \] where $x'_{1}$, $x'_{2}$, … $x'_{s}$ denote any roots of $X_{1}=0$, $X_{2}=0$, … $X_{s}=0$ which are to be put in the bracketed expression for $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$, and where the sum relates to all possible combinations of these roots. Now, by the foregoing, the bracketed expression is 0 or equal to the corresponding value of $\dfrac{1}{R}$, according as the $x'$ form a system belonging together or not.Editorial note: Printed so. By equation (21.) and by the argument just above it, the bracketed expression equals $1/R$ when the $x'$ DO form a system belonging together and 0 when they do not, so the two alternatives are paired the wrong way round. Kept as printed. If we therefore denote the systems belonging together by upper indices 1, 2, … $\mu$, one has \[ \frac{\Delta}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}} = \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\,\frac{1}{R^{(h)}.x_{1}-x_{1}^{(h)}.x_{2}-x_{2}^{(h)}\ldots x_{s}-x_{s}^{(h)}}. \tag{22.} \] The formula can, in accordance with a remark of Jacobi, be applied to determine the values of the sums \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\left(x_{1}^{\alpha_{1}}x_{2}^{\alpha_{2}}\ldots x_{s}^{\alpha_{s}}\right)^{h} \] where none of the exponents $\alpha$ vanishes. For let us multiply (22.) by any function $\Omega$ of $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$. Let the value of $\Omega$ for the $h^{\text{th}}$ system belonging together be $\Omega^{(h)}$; one has then \[ \Omega = \Omega^{(h)}+A_{1}(x_{1}-x_{1}^{(h)})+A_{2}(x_{2}-x_{2}^{(h)})\ldots. \] If therefore one restricts oneself to those terms which, developed according to descending powers of the $x$, contain negative powers of all the $x$, then one may put on the right in (22.), under the summation sign, $\Omega^{(h)}$ instead of $\Omega$. And if one finally puts $\Omega=R$, one finds that the expansion of $\dfrac{\Delta R}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}}$ agrees with the expansion of the sum \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\,\frac{1}{x_{1}-x_{1}^{(h)}.x_{2}-x_{2}^{(h)}\ldots x_{s}-x_{s}^{(h)}} \] in all those terms which contain negative powers of all the $x$; that therefore \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\left(x_{1}^{(h)}\right)^{\alpha_{1}}.\left(x_{2}^{(h)}\right)^{\alpha_{2}}\ldots\left(x_{s}^{(h)}\right)^{\alpha_{s}} \] is equal to the coefficient of $x_{1}^{-\alpha_{1}-1}.x_{2}^{-\alpha_{2}-1}\ldots x_{s}^{-\alpha_{s}-1}$ in the expansion of $\dfrac{\Delta R}{X_{1}X_{2}\ldots X_{s}}$, as soon as none of the $\alpha$ vanishes.

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In the formula (22.) $\Delta$ is of the order \[ s\mu-m^{(1)}-m^{(2)}-\cdots-m^{(s)}, \] while the denominator $X_{1}X_{2}\ldots X_{s}$ is of the order $s\mu$. If therefore one expands on the right in (22.) according to descending powers of the $x$, then the sums of the coefficients of $x_{1}^{-\alpha_{1}-1}.x_{2}^{-\alpha_{2}-1}\ldots x_{s}^{-\alpha_{s}-1}$ vanish, i. e. the sums \[ \mathop{\Sigma}\limits_{h=1}^{h=\mu}\,\frac{\left(x_{1}^{(h)}\right)^{\alpha_{1}}.\left(x_{2}^{(h)}\right)^{\alpha_{2}}\ldots\left(x_{s}^{(h)}\right)^{\alpha_{s}}}{R^{(h)}}, \] as soon as $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s}<m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s$. And one has therefore the theorem:

If $R$ is the functional determinant of the $s$ functions of the $m^{(1)\text{th}}$, $m^{(2)\text{th}}$, … $m^{(s)\text{th}}$ degree $u^{(1)}$, $u^{(2)}$, … $u^{(s)}$ with respect to the variables $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$, and if $F$ is any function of the $x$ which does not exceed the degree $m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s-1$, then the sum of the values of $\dfrac{F}{R}$, taken for all the systems of values of the $x$ which satisfy the equations \[ u^{(1)}=0,\qquad u^{(2)}=0,\qquad \ldots\qquad u^{(s)}=0 \] vanishes${}^{*)}$.

Let us finally let $x_{1}$, $x_{2}$, … $x_{s}$ pass over into $\dfrac{y_{1}}{y}$, $\dfrac{y_{2}}{y}$, … $\dfrac{y_{s}}{y}$, and the $u$ into homogeneous functions $v$ of these $s+1$ variables, divided by the corresponding powers of $y$. If then $D$ is the functional determinant of the $v$ with respect to $y_{1}$, $y_{2}$, … $y_{s}$, one has also \[ R = \frac{D}{y^{m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s}}; \] and since $F$ too passes over into a homogeneous function $\Phi$ divided by $y^{m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s-1}$, one obtains the formula \[ 0 = \Sigma\,\frac{\Phi.y}{D}. \] Since now the equations subsist:Editorial note: Rows 2 and 3 below are printed with the coefficient $y_{2}$ on the second term. Euler's relation for a homogeneous function, of which row 1 is the pattern, pairs $y_{1}$ with $\partial v/\partial y_{1}$, so $y_{1}$ is what the argument requires. Kept as printed. \[ \begin{aligned} y\frac{\partial v^{(1)}}{\partial y}+y_{1}\frac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{1}}+\cdots+y_{s}\frac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{s}} &= 0,\\ y\frac{\partial v^{(2)}}{\partial y}+y_{2}\frac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{1}}+\cdots+y_{s}\frac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{s}} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ y\frac{\partial v^{(s)}}{\partial y}+y_{2}\frac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{1}}+\cdots+y_{s}\frac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{s}} &= 0, \end{aligned} \]

*) For three equations Jacobi has communicated this theorem without proof. Volume 15, of this Journal pag. 307.

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we have the proportion \[ y:y_{1}:\ldots:y_{s} = D:D_{1}:\ldots:D_{s}, \] where $D_{i}$ denotes the functional determinant of the $v$ with respect to the $y$ with the exclusion of $y_{i}$, and with suitably chosen sign. It is therefore also the case that \[ \frac{y}{D} = \frac{cy+c_{1}y_{1}+\cdots+c_{s}y_{s}}{\Sigma\pm c\dfrac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{1}}\dfrac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{2}}\ldots\dfrac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{s}}}, \] whatever values may be assigned to the $c$. And finally one has the theorem which is the lemma applied above itself:

If $v^{(1)}$, $v^{(2)}$, … $v^{(s)}$ are homogeneous functions of $y$, $y_{1}$, … $y_{s}$ of the orders $m_{1}$, $m_{2}$, … $m_{s}$, and if $\Phi$ is a homogeneous function of the order $m^{(1)}+m^{(2)}+\cdots+m^{(s)}-s-1$, then the sum of the expressions \[ \frac{\Phi.(cy+c_{1}y_{1}+\cdots+c_{s}y_{s})}{\Sigma\pm c\dfrac{\partial v^{(1)}}{\partial y_{1}}.\dfrac{\partial v^{(2)}}{\partial y_{2}}\ldots\dfrac{\partial v^{(s)}}{\partial y_{s}}}, \] formed for all the systems of values of the $y$ which satisfy the equations $v^{(1)}=0$, $v^{(2)}=0$, … $v^{(s)}=0$ simultaneously, always vanishes.

§. 14.

Determination of the constants, and converse of the theorem on the points of a curve of the $mn^{\text{th}}$ order which lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order.

Let us return to the complete and non-resolvable curve of section of the surfaces $u=0$, $v=0$ of the $m^{\text{th}}$ and $n^{\text{th}}$ order. Let the everywhere finite integrals corresponding to any point of the curve again be $u_{1}$, $u_{2}$, … $u_{p}$ $\left(p=\dfrac{mn(m+n-4)}{2}+1\right)$, and let them be distinguished for different points by upper indices.

For the $mnk$ points of intersection of the curve with a surface of the $k^{\text{th}}$ order, $w=0$, one has then, by the foregoing: \[ \left\{ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(mnk)} &\equiv \gamma_{1},\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(mnk)} &\equiv \gamma_{2}.\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ u_{p}^{(1)}+u_{p}^{(2)}+\cdots+u_{p}^{(mnk)} &\equiv \gamma_{p}, \end{aligned} \right.\tag{23.} \] where the $\gamma$ depend only on the order of $w$. Since further the surface of the $n^{\text{th}}$ orderEditorial note: Printed $n^{\text{ter}}$. It is the cutting surface $w=0$, of order $k$, that is allowed to degenerate, and the same clause counts $k$ planes, so $k^{\text{ter}}$ is what the argument requires. Kept as printed. can appear as a system of $k$ planes, one obviously has

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$\gamma_{i}=k.c_{i}$, where the $c$ correspond to the intersection of a plane with the curve. Finally (cf. §. 3) these constants are zero when $w$ passes over into a function $\Theta$, hence for $k=m+n-4$, and they are therefore zero in general. And one has the theorem:

The sums of the corresponding everywhere finite integrals, extended over the points of intersection of an algebraic surface with the given curve, are equal to zero.

According to Jacobi (this Journal vol. 15, p. 305), of such $mnk$ points of a given curve of section of two surfaces of the $m^{\text{th}}$ and $n^{\text{th}}$ order as can lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order, a certain number is always determined by the rest; and indeed the number of those determined by the rest is, when \[ k\geqq m+n-3,\qquad k\geqq m,\qquad k\geqq n, \] exactly equal to $p$. But if $k<m+n-3$, this number becomes smaller, namely equal to \[ p-\frac{m+n-k-1.m+n-k-2.m+n-k-3}{6}, \] so long as $k$ remains greater than the numbers $m$, $n$; it is equal to \[ mnk-\frac{k+1.k+2.k+3}{6}+\frac{k-n+1.k-n+2.k-n+3}{6}+1, \] when $m>k\geqq n-3$, and equal to \[ mnk-\frac{k+1.k+2.k+3}{6}+1, \] when $k$ is smaller than both numbers. From this it appears that, if $k\geqq m+n-3$, the number of the equations (23.) is exactly equal to the number of the points to be determined by means of them, which, besides a number to be chosen arbitrarily, can lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order; and that, if $k<m+n-3$, the number of those equations is greater, in particular for $k=m+n-4$ greater by 1, without their being able on that account to cease to be compatible.

Let us now remark that, by Abel's theorem, the differential equations \[ \begin{aligned} du_{1}^{(1)}+du_{1}^{(2)}+\cdots+du_{1}^{(mnk)} &= 0,\\ du_{2}^{(1)}+du_{2}^{(2)}+\cdots+du_{2}^{(mnk)} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ du_{p}^{(1)}+du_{p}^{(2)}+\cdots+du_{p}^{(mnk)} &= 0 \end{aligned} \]

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admit of complete algebraic integration; we then see that in particular these algebraic integrals must, by means of a suitable determination of the constants contained in them, be capable of being brought to express the conditions under which $mnk$ points of the curve lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order. Since now the suitable determination of these constants has just been accomplished in the transcendent form of the integral equations, one can set up the converse theorem:

As soon as between the everywhere finite integrals, formed in accordance with the conditions set up by Mr. Riemann, the equations subsist: \[ \left\{ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(mnk)} &= 0,\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(mnk)} &= 0,\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ u_{p}^{(1)}+u_{p}^{(2)}+\cdots+u_{p}^{(mnk)} &= 0, \end{aligned} \right.\tag{24.} \] the corresponding $mnk$ points of the curve lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order.

§. 15.

Contact surfaces which pass through given points of the curve. Systems of contact surfaces.

The problems which were treated earlier in the case of plane curves can now be carried through in an entirely similar way in the case of space curves.

Let $k\geqq m+n-3$; on the curve of the $mn^{\text{th}}$ order let $mnk-pr$ points be given arbitrarily; through them one is to lay a surface of the $k^{\text{th}}$ order${}^{*)}$ which touches the curve at $p$ points with $r$-point contact. \[ \left(p=\frac{mn(m+n-4)}{2}+1\right). \]

*) If $k\geqq n$, $k<m$, then the surface of the $k^{\text{th}}$ order becomes indeterminate in so far as every surface of the $k^{\text{th}}$ order which passes through its section with the surface of the $n^{\text{th}}$ order satisfies the same conditions. In this case one may therefore speak, instead of the surface of the $k^{\text{th}}$ order, of the space curve of the $kn^{\text{th}}$ order, which remains constant under such changes, and may assign to it the properties which are demanded of the surface of the $k^{\text{th}}$ order. If on the other hand $k$ is also $\geqq m$, then every surface which passes through the points of intersection of the three surfaces of the $m^{\text{th}}$, $n^{\text{th}}$, $k^{\text{th}}$ order has the required properties. In this case, therefore, one has to do only with a determinate system of points, which forms the common element of a bundle of surfaces.

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The number of the conditions contained in the problem is \[ mnk-pr+p(r-1) = mnk-p. \] If we add that, by the foregoing, $p$ conditions occur for the $mnk$ points of intersection of a surface of the $k^{\text{th}}$ order with the curve, one sees that the problem is both determinate and soluble. But only the points of contact are really determinate under all circumstances; the surface of the $k^{\text{th}}$ order itself may, according to the magnitude of $k$, remain more or less arbitrary.

Let the sums of integrals corresponding to the given points of intersection now be $U_{1}$, $U_{2}$, … $U_{p}$; those corresponding to the sought $p$ points of contact be $v_{1}$, $v_{2}$, … $v_{p}$. The equations (24.) then pass over, for the present case, into: \[ \begin{aligned} rv_{1} &\equiv -U_{1},\\ rv_{2} &\equiv -U_{2},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ rv_{p} &\equiv -U_{p}, \end{aligned} \] or into: \[ \begin{aligned} v_{1} &\equiv -\frac{U_{1}}{r}+\frac{A_{1}}{r},\\ v_{2} &\equiv -\frac{U_{2}}{r}+\frac{A_{2}}{r},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot &\\ v_{p} &\equiv -\frac{U_{p}}{r}+\frac{A_{p}}{r}. \end{aligned} \] The $p$ points of contact are therefore determined by an equation of the $p^{\text{th}}$ degree, whose coefficients are $\theta$-functions with the arguments $v$. The latter contain the $2p$ numbers $m$, $q$ in the $A$, and since to each of these all values from 0 to $r-1$ may be assigned, the number of all solutions of the problem is: \[ r^{2p} = r^{mn(m+n-4)+2}. \] One can here institute considerations similar to those in §. 4, and finds the theorem:

If one lays a surface of the $k^{\text{th}}$ order through $r-1$ systems of points of contact and through the given points, then it cuts the given curve at $p$ points at which a surface of the $k^{\text{th}}$ order passing through the given points touches the curve.

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Of the $r-1$ systems several may coincide, in which case the surface of the $k^{\text{th}}$ order first mentioned must touch at such points.

Of the given points, $\mu$ times $r$ may themselves come together in such a way that at them the surface sought likewise touches with $r$-point contact. Then the surfaces considered touch at $(p+\mu)$ points with $r$-point contact, and besides pass through $mnk-(p+\mu)r$ given points.

If we let only the latter be given, then the problem obviously becomes indeterminate, and $\mu$ points of contact can always be chosen arbitrarily, in which case the problem still admits in each instance of $r^{2p}$ solutions.

Herewith arises the notion of a system of contact surfaces. By continuous alteration of the $\mu$ points of contact that may be chosen, one can derive continuously from one contact surface infinitely many; but only those for which the system of the $A$ is the same. If therefore we designate as a system of contact surfaces those which can be derived from one another by continuous passage, then one has the theorem:

A curve of the $m.n^{\text{th}}$ order admits of $r^{mn(m+n-4)+2}$ systems of contact surfaces of the $k^{\text{th}}$ order, which touch the curve at $p+\mu$ points with $r$-point contact, and besides pass through $mnk-(p+\mu)r$ points given on the curve; where $k\geqq m+n-3$ is presupposed.

And concerning them one has (cf. §. 5.) the following theorems:

The points of contact of any $r$ surfaces of the same system lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order which passes through the fixed points.

If one lays a surface of the $k^{\text{th}}$ order through the given points and through $r-1$ systems of $p+\mu$ points of contact each, which may belong to the same or to different systems, it still always meets an $r^{\text{th}}$ system of points of contact.

Of particular interest is the case where $mnk$ is divisible by $r$. In this case one can let all the points of intersection of the surface of the $k^{\text{th}}$ order with the curve draw together, $r$ at a time, into $\dfrac{mnk}{r}$ points, and one then obtains systems of contact surfaces which touch the given curve with $r$-point contact wherever they meet it. These systems are important in this, that they depend only on the nature of the curve itself, no longer on the position of a system of points arbitrarily chosen upon it. The $p+\mu = \dfrac{mnk}{r}$ integrals $u_{h}$ which correspond to the points of contact are here determined

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by equations of the form: \[ u_{h}^{(1)}+u_{h}^{(2)}+\cdots+u_{h}^{\left(\frac{mnk}{r}\right)} \equiv \frac{A_{h}}{r}. \] From this one deduces, as in §. 6, the theorem:

If $k\geqq m+n-3$ and $mn = (p+\mu)r$, then there are systems of surfaces of the $k^{\text{th}}$ order which touch the curve of the $m.n^{\text{th}}$ order at $p+\mu$ points with $r$-point contact. The number of the systems is $r^{2p}$ when $k$ and $r$ are relatively prime; if on the other hand $k=k's$, $r=r's$, and $k'$, $r'$ are relatively prime, then the number of the systems is $r^{2p}-r'^{2p}$.

Theorems on the position of the points of contact one obtains as is indicated in §. 6.

§. 16.

Contact surfaces which exist only in finite number.

Among the problems just treated some are distinguished by the property of being completely determinate.

If $k\geqq m+n-3$ and $mnk = pr$, then one has before one a surface touching at $p$ points with $r$-point contact, whose points of contact at least are perfectly determinate. Now the numbers $mn$ and $p = \dfrac{mn(m+n-4)}{2}+1$ can have only the factor 2 in common, and this too only when one of the numbers $m$, $n$ has the form $4h+2$ while the other is odd. In this case one puts \[ k = \frac{p}{2}.s, \quad r = \frac{mn}{2}.s, \] in every other \[ k = p.s, \quad r = mn.s, \] and one obtains, by the theorems of the previous §., for the problems in question, whose solution lies at hand, the following determinations:

For a curve of the $m.n^{\text{th}}$ order there are $n^{2p}(s^{2p}-1)$ contact surfaces of the order $p.s$ which touch at $p$ points with $mn.s$-point contact. Only when one of the numbers $m$, $n$ is of the form $4h+2$ and the other is odd are there $\left(\dfrac{n}{2}\right)^{2p}(s^{2p}-1)$ contact surfaces of the order $\dfrac{p}{2}.s$ which touch at $p$ points with $\dfrac{mn}{2}.s$-point contact.Editorial note: Printed $n^{2p}$ and $\left(\dfrac{n}{2}\right)^{2p}$. The curve here is of order $m.n$, not $n$, and the theorem of §. 15 that this specializes gives the count as a power of the number of systems, so $(mn)^{2p}$ and $\left(\dfrac{mn}{2}\right)^{2p}$ are what the argument requires; the $n^{2p}$ of the corresponding plane theorem in §. 7, where the curve really is of order $n$, appears to have been carried over. Kept as printed.

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Concerning the mutual position of the systems of points of contact analogous theorems hold as in the case of the systems of contact surfaces.

But to these problems there come others which are likewise completely determinate, and remarkable in this, that for $n=1$, $m=4$ the double tangents of the curves of the fourth order appear as a special case. For if $k<m+n-3$, but at the same time $k$ is equal to or greater than the numbers $m$, $n$, then by §. 16 the [number] serving for the determination of the points of intersection of the surface with the curve is equal to \[ p-\frac{m+n-k-1.m+n-k-2.m+n-k-3}{6} \] In order that a surface of the $n^{\text{th}}$ order shall touch with $r$-point contact everywhere where it meets the curve, $mnk.\dfrac{r-1}{r}$ conditions are to be fulfilled. This number becomes equal to the previous one, and hence the problem completely determinate, when $r$ $= 2$, $k = m+n-4$. And one has therefore the theorem:

The curve of the $m.n^{\text{th}}$ order can be touched by a determinate number of surfaces of the order $m+n-4$ at $\dfrac{mn(m+n-4)}{2}$ points with two-point contact.

This is still correct even when, what was at first excluded, $k = m+n-4$ becomes smaller than one of the numbers $m$ or $n$. For if $n=2$ or $n=3$, one has $k=m-2$ or $k=m-1$. By §. 16 the equation \[ mnk-\frac{k+1.k+2.k+3}{6}+\frac{k-n+1.k-n+2.k-n+3}{6}+1 = \frac{mnk}{2} \] must, in order that the above theorem may then still remain correct, hold, which is really the case.

The points of contact of such a surface are found, like the points of contact of the curves in §. 8, from the equations \[ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(p-1)} &\equiv \frac{A_{1}}{2},\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(p-1)} &\equiv \frac{A_{2}}{2},\\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \cdot\\ u_{p}^{(1)}+u_{p}^{(2)}+\cdots+u_{p}^{(p-1)} &\equiv \frac{A_{p}}{2}, \end{aligned} \] which can subsist only when between the numbers $m$, $q$ contained in the $A$ the relation subsists: \[ m_{1}q_{1}+m_{2}q_{2}+\cdots+m_{p}q_{p} = 2h+1. \] From this one finds, by the mode of reasoning of the § cited:

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The number of these contact surfaces is: \[ 2^{\frac{mn(m+n-4)}{2}}\left\{2^{\frac{mn(m+n-4)}{2}+1}-1\right\}. \] On the mutual position of the systems of points of contact cf. §. 8. In particular there is found here, similarly as there, the theorem:

Among the $2^{2p}\left(p = \dfrac{mn(m+n-4)}{2}+1\right)$ systems of contact surfaces of the $k^{\text{th}}$ order which, for even $m+n$, are of even order, for odd $m+n$ of odd order, and which touch the curve of the $m.n^{\text{th}}$ order with two-point contact everywhere where they meet it, there are always $2^{p-1}(2^{p}-1)$ systems in which the points of contact of every surface lie, together with those of a determinate one of the contact surfaces of the $(m+n-4)^{\text{th}}$ order treated just now, on a surface of the $\dfrac{k+m+n-4}{2}{}^{\text{th}}$ order; and there are, when $m+n$ is even, $2^{p-1}(2^{p}+1)-1$, when $m+n$ is odd, $2^{p-1}(2^{p}+1)$ such systems in which the points of contact of a surface never lie on a surface of the order $\dfrac{k+m+n-4}{2}$.

§. 17.

Curves of the fourth order which form the section of two surfaces of the second order.

The simplest complete space curves are those of the fourth order which form the intersection of two surfaces of the second order. For these $p=1$; they therefore lead to elliptic functions, of which one convinces oneself also by direct consideration of the everywhere finite integral. Four points which lie in a plane then satisfy, on a suitable determination of the initial value of that integral, the equation: \[ u^{(1)}+u^{(2)}+u^{(3)}+u^{(4)} \equiv 0. \] Instead of the systems of moduli $A$ one may here put the quantities $2aK+2biK'$. First, then, by setting the quantities $u$ all equal to one another, one finds the points at which a plane can touch with four-point contact, from the formula: \[ u \equiv \frac{2aK+2biK'}{4}. \tag{25.} \] The numbers $a$, $b$ may receive the values 0, 1, 2, 3; the number of such points is therefore 16, as is known. For one of them $a=0$, $b=0$, hence also $u=0$; the lower limit of the integral $u$ is therefore to be so chosen that for the point of contact of an inflexional tangent plane the integral vanishes.

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If one lets only three of the $u$ become equal to one another, one has an equation of the form: \[ u+3u' \equiv 0, \] or \[ u' \equiv -\frac{u}{3}+\frac{2aK+2biK'}{3}, \tag{26.} \] whence the theorem follows:

Through every point of the curve of the fourth order one can lay nine osculating planes to the curve.

Among these the osculating plane at the point itself is not included.Editorial note: Printed Schwingungsebene, the plane of oscillation. The sentence before it, the sentence after it and the mathematics all require Schmiegungsebene, the osculating plane. The transcription keeps the misprint; this translation renders the word the sense requires.

If one lets only two of the $u$ become equal to one another, one has \[ u'' \equiv -\frac{u+u'}{2}+\frac{2aK+2biK'}{2}, \tag{27.} \] i. e.

Through any two points of the curve four tangent planes to it can be laid.

If the other $u$ also become equal to one another, one has a doubly touching plane, and for the points of contactEditorial note: Equation (28.) is printed with a two-bar $=$, where (25.), (26.) and (27.) all set the three-bar $\equiv$. These are congruences with respect to the periods, not equations, so $\equiv$ is what the argument requires. Kept as printed. \[ u+u' = \frac{2aK+2biK'}{2}, \tag{28.} \] i. e.

There are four systems of planes which touch the curve twice, and through every tangent there passes a plane of each system.

If one adds the four arguments $u''$ which spring from the equation (27.), one finds their sum equal to $-2(u+u')$, i. e.

Through any two points of the curve and the points of contact of the tangent planes laid through them to the curve, a family of surfaces of the second order can be laid which touch the curve at the given points.

Of the 9 points (26.) at which an osculating plane laid from a given point can touch the curve, three lie with the given one in a plane as often as the sums of the corresponding $a$ and of the corresponding $b$ are divisible by three. With regard to the representation of the points of inflexion of a curve of the third order given by me pag. 111 of this volume, one can express these relations by the following theorem:

If one joins a point of the curve of the fourth order with those 9 points at which an osculating plane laid from it

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can touch the curve, and if one cuts these 9 rays by any plane, then one obtains a system of points which can be the system of points of inflexion of a curve of the third order.

Further:

As often as three of these 9 points lie with the given one in a plane, the other 6 lie on a family of surfaces of the second order which touch the curve at the given point.

All 9 points lie on a family of surfaces of the third order which touch the curve at the given point with three-point contact.

Let us further consider the mutual position of the points of contact of the inflexional tangent planes, which are given by the formula (25.). If we denote any one of those 16 points, corresponding to the coefficients $a$, $b$, by $(a,b)$, then obviously, because the corresponding $u$ are together congruent to 0, $(a,b)$, $(a+2,b)$, $(a,b+2)$, $(a+2,b+2)$ lie in a plane. Further, the sum of any two of the integrals belonging to such four points, multiplied by 2, is also congruent to 0. One has therefore the theorems:

The 16 points of contact of the inflexional tangent planes divide into four groups of four. Any four points of the same group lie in a plane; and the tangents at any two points of the same group lie likewise in a plane, so that four such tangents intersect at the same point.

As is known, those four planes are those of the polar tetrahedron common to the two surfaces, and the points last mentioned are its vertices.

§. 18.

Space curves of the sixth order.

The theory of the curves of the sixth order which are the complete intersection of surfaces of the second and third order attaches itself essentially to the theory of the triply touching planes, which play for them almost exactly the same part as the double tangents for the plane curves of the fourth order. For these curves one has $p=4$; the conditions, therefore, that 6 points of the curve lie in a plane are contained in the equations \[ \begin{aligned} u_{1}^{(1)}+u_{1}^{(2)}+\cdots+u_{1}^{(6)} &\equiv 0,\\ u_{2}^{(1)}+u_{2}^{(2)}+\cdots+u_{2}^{(6)} &\equiv 0,\\ u_{3}^{(1)}+u_{3}^{(2)}+\cdots+u_{3}^{(6)} &\equiv 0,\\ u_{4}^{(1)}+u_{4}^{(2)}+\cdots+u_{4}^{(6)} &\equiv 0. \end{aligned} \]

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Triply touching planes one obtains when three times two systems of the $u$ coincide, that is when \[ u'_{k}+u''_{k}+u'''_{k} \equiv \frac{A_{k}}{2}. \] The conclusion of §. 16 then leads at once to the following theorems:

There are 120 planes which touch a space curve of the sixth order at three different points.

If one lays a surface of the $h^{\text{th}}$ order through any three points of contact of such a plane, then it cuts the curve further at $6h-3$ points at which the curve can be touched with two-point contact by a surface of the $(2h-1)^{\text{th}}$ order. One thus obtains 120 systems of contact surfaces of the $(2h-1)^{\text{th}}$ order. There are 136 others of them, whose points of contact never lie on a surface of the $h^{\text{th}}$ order. But all 256 systems have the common property that the points of contact of any two surfaces of the same system lie on a surface of the $(2h-1)^{\text{th}}$ order.

Further:

There are 255 systems of surfaces of the second order which touch the curve of the sixth order at 6 different points; the points of contact of any two surfaces of the same system lie on a surface of the second order.

In each of these systems there occur 28 surfaces which break up into pairs of triply touching planes. The 12 points of contact of any two such pairs lie on a family of surfaces of the second order, i. e. on a space curve of the fourth order.

Of such space curves of the fourth order there are accordingly $\dfrac{255.28.27}{2}$. But since a system of four planes can be divided into two pairs in three ways, every curve of the fourth order is thereby counted three times. The actual number of these curves of the fourth order is therefore $\dfrac{255.28.27}{2.3}=32130$.

Since all 360 points of contact can be distributed in several ways among 30 surfaces of the second order (space curves of the fourth order) in such a way that no point lies on more than one surface, all 360 points of contact lie on a family of surfaces of the sixtieth order, and are the complete intersection of the same with the curve of the sixth order.

In order that 12 points of the curve of the sixth order shall lie on a family of surfaces of the second order, or on a space curve of the fourth order,

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the equations \[ u_{k}^{(1)}+u_{k}^{(2)}+\cdots+u_{k}^{(12)} \equiv 0 \] must be fulfilled. If one lets three points coincide four times over, then the integrals which have remained different result from equations of the form \[ u_{k}+u'_{k}+u''_{k}+u'''_{k} \equiv \frac{A_{k}}{3}, \] according to which the points are in each case determined by means of an equation of the fourth degree. One has therefore the theorem:

There are $3^{8} = 6561$ space curves of the fourth order which touch the space curve of the sixth order at four different points with three-point contact.

And:

If one lays a surface of the second order through the points of contact of two such curves, then it cuts the curve of the sixth order further in the points of contact of a third contact curve.

§. 19.

Extension of a problem of Steiner.

In the foregoing exclusively problems of contact have been treated, and it has been shown how their solution presents itself in the simplest way by means of the Abelian functions. I shall now investigate yet another very general problem; a problem whose most special case has been treated by Steiner, and of which I have given on p. 94 and following of this volume an analytical solution which likewise rests essentially on the principles here set forth. This general problem runs as follows:

Given are $r$ groups of $mnk-pf$ points each of a curve of the $mn^{\text{th}}$ order ($k \geqq m+n-3$); sought are $r$ systems of $p$ points each upon it, in the following manner. A surface of the $k^{\text{th}}$ order shall pass through the points of the first group and the first $f-1$ systems; it is thereby completely determined, and its remaining points of intersection with the curve form the $f^{\text{th}}$ system. A second surface of the $k^{\text{th}}$ order shall pass through the second group and through the $2^{\text{nd}}$, $3^{\text{rd}}$, … $f^{\text{th}}$ system; it determines the $f+1^{\text{th}}$ system. In this way one is to proceed, so that in succession $r$ surfaces of the $k^{\text{th}}$ order are formed, and so that the series of the systems closes, in that after the $r^{\text{th}}$ system no new one is generated any more, but again the first, after this the second, and so on.

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One obtains the corresponding problem for the plane by merely putting $n=1$.

Let us denote the sums of integrals corresponding to the groups by $w_{k}$, those corresponding to the systems by $v_{k}$, distinguishing the various groups and systems by upper indices. The statement of the problem is then contained in the following equations: \[ \left\{ \begin{aligned} v_{k}^{(1)}+v_{k}^{(2)}+\cdots+v_{k}^{(f)} &\equiv -w_{k}^{(1)}, \\ v_{k}^{(2)}+v_{k}^{(3)}+\cdots+v_{k}^{(f+1)} &\equiv -w_{k}^{(2)}, \\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ v_{k}^{(r)}+v_{k}^{(1)}+\cdots+v_{k}^{(f-1)} &\equiv -w_{k}^{(r)}. \end{aligned} \right. \tag{1.} \] In order to facilitate the solution of these equations, which are linear in the $v$, I shall understand by $v_{k}^{(h)}$ a quantity $v_{k}$ even when the index $h$ exceeds the value $r$; and indeed $v_{k}^{(h)}$ shall then denote that $v$ whose upper index remains as remainder on the division of $h$ by $r$. From the above equations there are then first deduced the following, in which $h$ denotes an arbitrary index: \[ w_{k}^{(h+1)}-w_{k}^{(h)} \equiv v_{k}^{(h)}-v_{k}^{(f+h)}; \] hence also: \[ \mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=s-1} \left\{ w_{k}^{(h+1+\lambda f)}-w_{k}^{(h+\lambda f)} \right\} \equiv v_{k}^{(h)}-v_{k}^{(h+sf)}. \tag{2.} \]

Now one remarks that two cases must be distinguished. For if $f$ and $r$ are not relatively prime, so that say \[ f=g.f', \qquad r=g.r', \] where $f'$, $r'$ are relatively prime, then on the right-hand side there stands zero as soon as one makes $s=r'$. One is then led to conditions between the $v$, and can enunciate the following theorem:

If $f$, $r$ are not relatively prime, but $f=gf'$, $r=gr'$, where $f'$, $r'$ are relatively prime, then the above problem is possible only when the $p(g-1)$ conditions are fulfilled:

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and when these equations are fulfilled, the problem admits of infinitely many solutions, since the first $f-1$ systems can be chosen quite arbitrarily.

If on the other hand $f$, $r$ are relatively prime, then by means of the equation (2.) one can express all the $v_{k}$ by any one of them, and obtains: \[ v_{k}^{(h+sf)} \equiv v_{k}^{(h)}+\mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=s-1}\left\{ w_{k}^{(h+\lambda f)}-w_{k}^{(h+1+\lambda f)} \right\}. \tag{4.} \] If we now add all the equations (1.), there is found \[ f\Sigma v_{k} \equiv -\Sigma w_{k}, \] or, if $\Sigma w_{k}=z_{k}$ is put, and one remarks that all the $v_{k}$ must, by (4.), contain the same submultiple of the periods, and their sum therefore $r$ times such a one: \[ v_{k}^{(1)}+v_{k}^{(2)}+\cdots+v_{k}^{(r)} \equiv -\frac{z_{k}}{f}+\frac{rA_{k}}{f}. \] If we substitute in this equation the values of the $v$ obtained above in (4.), there comes: \[ \begin{aligned} & r v_{k}^{(h)}+\mathop{\Sigma}\limits_{s=1}^{s=r-1}\mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=s-1}\left( w_{k}^{(h+\lambda f)}-w_{k}^{(h+1+\lambda f)} \right) \equiv -\frac{z_{k}}{f}+\frac{rA_{k}}{f} \\ \equiv{} & r v_{k}^{(h)}+\mathop{\Sigma}\limits_{\lambda=0}^{\lambda=r-2}(r-\lambda-1)\left( w_{k}^{(h+\lambda f)}-w_{k}^{(h+1+\lambda f)} \right). \end{aligned} \] If therefore one finally introduces the notation: \[ z_{k}^{(h)} = (r-1)w_{k}^{(h)}+(r-2)w_{k}^{(h+f)}+\cdots+1.w_{k}^{(h+(r-2)f)}, \tag{5.} \] there results: \[ v_{k}^{(h)} \equiv -\frac{z_{k}}{rf}+\frac{z_{k}^{(h+1)}-z_{k}^{(h)}}{r}+\frac{A_{k}}{f}. \tag{6.} \]

By this formula the solution of the problem is completely given, since from the values of the $v$ found one calculates the points of the systems by means of equations of the $p^{\text{th}}$ degree. Since in the $A$ the numbers $m$, $q$ may receive all values from 0 to $f-1$, one obtains the result:

If $f$, $r$ are relatively prime, then the problem is soluble in $f^{2p}$ ways.

This problem Steiner has not treated loc. cit.; but he has treated, for plane curves of the third order ($p=1$), a particular case of the problem recognized above as indeterminate. For one may lay down that the $r=gr'$ groups shall not all be different, but that only $g$

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different groups exist, which are used $r'$ times in succession in the same order. One may further lay down that the number of the points of each group be equal to $p$, as in the systems, so that \[ mnk = p(f+1). \] Similarly as in §. 16 there then results \[ k=\frac{p}{2}.s, \qquad f=\frac{mn}{2}.s-1, \] when one of the numbers $m$, $n$ is of the form $4h+2$ and the other odd; and \[ k=ps, \qquad f=mns-1 \] in every other case. The equations (3.) then pass over into: \[ r'.w_{k}^{(1)} \equiv r'.w_{k}^{(2)} \ldots \equiv r'.w_{k}^{(g)}, \] and if therefore the first group is assumed arbitrarily, then the points of the remaining groups are determined, in accordance with the equations \[ \begin{aligned} w_{k}^{(2)} &\equiv w_{k}^{(1)}+\frac{A_{k}}{r'}, \\ w_{k}^{(3)} &\equiv w_{k}^{(1)}+\frac{A'_{k}}{r'}, \\ \cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot\quad\cdot & \\ w_{k}^{(g)} &\equiv w_{k}^{(1)}+\frac{A_{k}^{(g-2)}}{r'} \end{aligned} \] by just as many equations of the $p^{\text{th}}$ degree. In these equations the values $0$, $1$, … $r'-1$ may be assigned to the numbers $m$, $q$ occurring in the $A$; yet so that two systems of the $A$ with unequal upper indices never become equal. The number of all possible series of groups belonging to a given one is therefore: \[ \frac{{r'}^{2p}-1.{r'}^{2p}-2\ldots{r'}^{2p}-(g-1)}{1.2\ldots(g-1)}. \]

Among these solutions of the problems there are, however, if $r'$ is not a prime number, also such as those in which the circle of surfaces closes earlier than after an $r'$-fold use of all the groups, and which therefore count for the problem in hand only in so far as the series of surfaces thereby formed is reckoned several times.

This is the immediate extension of the Steiner problem cited, which, as one sees, occurs for all plane and doubly curved curves, and in all cases, by the principles here developed, is solved with

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ease. For the mutual position of the groups of points obtained from the individual solutions there exist theorems similar to those which I have developed with respect to the original Steiner problem in the memoir cited. A more exact entering into these relations would lead too far here; it also seems as if, with problems so general, it is chiefly the insight that their solution can be derived in a determinate way from given principles which is of interest, and less the development of the circumstances thereby occurring, which by the nature of the case cannot be otherwise than prolix if it is to be in any degree exhaustive. —

I take this opportunity to add a remark with respect to my memoir „über eine Classe von Gleichungen, welche nur reelle Wurzeln besitzen“ (vol. 62, p. 232 of this Journal). Equations of the kind considered have already been investigated earlier by Hermite in the Comptes Rendus of the Paris Academy, 1855, second semester, where their property of possessing only real roots is found stated.

Giessen, 28 October 1863.

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Revision history (4)

2026-09-03 — Translation (en) added (AI draft); glossary.yaml added; the eight misprints that mislead a reader of the mathematics marked with an \ednote popover in the transcription and the translation alike (R4 + R10); significance note and Clebsch portrait added.
2026-09-01 — Transcription completed to pp. 223–243; earlier pages conformed to notation.md.
2026-08-31 — Transcription extended to pp. 207–222 (AI draft).
2026-08-29 — Transcription added (AI draft), pp. 189–206 from the 1864 Crelle's Journal scan.

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Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie.

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Original (German)

Ueber die Anwendung der Abelschen Functionen in der Geometrie.

§. 1.

Zusammenhang einer Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung mit einer Classe von Abelschen Integralen.

§. 2.

Anwendung des Abelschen Satzes auf den Durchschnitt zweier Curven.

§. 3.

Bestimmung der Constanten des Abelschen Satzes, und Umkehrung des Satzes über die Schnittpunkte algebraischer Curven.

§. 4.

Berührungscurven, welche durch eine Anzahl auf der Curve gegebener Punkte bestimmt sind.

§. 5.

Systeme von Berührungscurven, welche durch feste Punkte der Curve gehen.

§. 6.

Systeme von Curven, welche die gegebene Curve in einer gewissen Ordnung berühren, wo sie derselben begegnen.

§. 7.

Berührung einer Curve vierter Ordnung durch Curven dritter Ordnung, vierpunktig in drei Punkten; und Berührung einer Curve sechster Ordnung durch Curven fünfter Ordnung, dreipunktig in 10 Punkten.

§. 8.

Curven $(n-3)^{\text{ter}}$ Ordnung, welche eine gegebene Curve $n^{\text{ter}}$ Ordnung in $\dfrac{n.n-3}{2}$ Punkten zweipunktig berühren.

§. 9.

Die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung.

§. 10.

Ueber einige Sätze von Steiner, die Curven vierter Ordnung betreffend.

§. 11.

Ueber den Zusammenhang der Curven doppelter Krümmung mit Abelschen Functionen.

§. 12.

Der Abelsche Satz auf den Schnitt algebraischer Flächen angewandt.

§. 13.

Erweiterung eines von Jacobi aufgestellten algebraischen Satzes.

§. 14.

Bestimmung der Constanten, und Umkehrung des Satzes über die Punkte einer Curve $mn^{\text{ter}}$ Ordnung, welche auf einer Fläche $k^{\text{ter}}$ Ordnung liegen.

§. 15.

Berührungsflächen, welche durch gegebene Punkte der Curve gehen. Systeme von Berührungsflächen.

§. 16.

Berührungsflächen, welche nur in endlicher Anzahl existiren.

§. 17.

Curven vierter Ordnung, welche den Schnitt zweier Flächen zweiter Ordnung bilden.

§. 18.

Raumcurven sechster Ordnung.

§. 19.

Erweiterung eines Steinerschen Problems.

English translation

On the application of Abelian functions in geometry.

§. 1.

Connexion of a curve of the $n^{\text{th}}$ order with a class of Abelian integrals.

§. 2.

Application of Abel's theorem to the intersection of two curves.

§. 3.

Determination of the constants of Abel's theorem, and converse of the theorem on the points of intersection of algebraic curves.

§. 4.

Contact curves which are determined by a number of points given on the curve.

§. 5.

Systems of contact curves which pass through fixed points of the curve.

§. 6.

Systems of curves which touch the given curve to a certain order wherever they meet it.

§. 7.

Contact of a curve of the fourth order by curves of the third order, with four-point contact at three points; and contact of a curve of the sixth order by curves of the fifth order, with three-point contact at 10 points.

§. 8.

Curves of the $(n-3)^{\text{th}}$ order which touch a given curve of the $n^{\text{th}}$ order at $\dfrac{n.n-3}{2}$ points with two-point contact.

§. 9.

The double tangents of the curves of the fourth order.

§. 10.

On some theorems of Steiner concerning the curves of the fourth order.

§. 11.

On the connexion of the curves of double curvature with Abelian functions.

§. 12.

Abel's theorem applied to the section of algebraic surfaces.

§. 13.

Extension of an algebraic theorem set up by Jacobi.

§. 14.

Determination of the constants, and converse of the theorem on the points of a curve of the $mn^{\text{th}}$ order which lie on a surface of the $k^{\text{th}}$ order.

§. 15.

Contact surfaces which pass through given points of the curve. Systems of contact surfaces.

§. 16.

Contact surfaces which exist only in finite number.

§. 17.

Curves of the fourth order which form the section of two surfaces of the second order.

§. 18.

Space curves of the sixth order.